张祖锦2023年数学专业真题分类70天之第66天
1496、 (5)、 若 $\displaystyle W$ 是实线性空间 $\displaystyle \mathbb{R}^5$ 的非零子空间, 且 $\displaystyle W$ 中任意非零向量的分量都不为零, 则 $\displaystyle \dim W=\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (云南大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由 $\displaystyle W$ 是非零子空间知 $\displaystyle \dim W\geq 1$. 往用反证法证明 $\displaystyle \dim W=1$. 若不然, $\displaystyle \dim W\geq 2$, 则 $\displaystyle W$ 有线性无关的向量 $\displaystyle \alpha=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}a_1\\\\\vdots\\\\a_5\end{array}\right), \beta=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}b_1\\\\\vdots\\\\b_5\end{array}\right)$, 则
$$\begin{aligned} \alpha\neq 0, \beta\neq 0, k\alpha+l\beta=0\Rightarrow k=l=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
不妨设 $\displaystyle a_1\neq 0$, 则
$$\begin{aligned} 1\neq 0\Rightarrow 0\neq -\frac{b_1}{a_1}\alpha+1\cdot \beta\in W, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
但 $\displaystyle 0\neq -\frac{b_1}{a_1}\alpha+1\cdot \beta$ 的第一个分量为 $\displaystyle -\frac{b_1}{a_1}\cdot a_1+1\cdot b_1=0$. 这与 $\displaystyle W$ 的定义矛盾. 故 $\displaystyle \dim W=1$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1497、 7、 (15 分) 设 $\displaystyle \sigma,\tau$ 是非零的有限维复线性空间 $\displaystyle V$ 上的任意两个线性变换. 证明: $\displaystyle \sigma\tau-\tau\sigma$ 不可能是 $\displaystyle V$ 上的恒等变换. 举例说明若 $\displaystyle V$ 是无限维线性空间, 则此结论不成立. (云南大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 当 $\displaystyle \dim V=n < \infty$ 时, 用反证法证明. 若 $\displaystyle \sigma\tau-\tau\sigma=\mathscr{E}$, 则设 $\displaystyle \sigma,\tau$ 在 $\displaystyle V$ 的基 $\displaystyle \varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n$ 下的矩阵分别为 $\displaystyle A,B$ 后,
$$\begin{aligned} AB-BA=E\Rightarrow 0=\mathrm{tr}(AB-BA)=\mathrm{tr} E=n. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这是一个矛盾. 故有结论. (2)、 当 $\displaystyle V$ 是无限维时, $\displaystyle \sigma\tau-\tau\sigma$ 可能为恒等变换. 比如 $\displaystyle \mathbb{P}[x]$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上全体多项式按通常的加法和数于多项式的乘法构成的线性空间,
$$\begin{aligned} &V=\left\{f(x)\in\mathbb{P}[x]; f(0)=0\right\},\\\\ &\sigma\left[f(x)\right]=f'(x), \tau\left[f(x)\right]=xf(x), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则
$$\begin{aligned} &\sigma\tau \left[f(x)\right]-\tau\sigma\left[f(x)\right] =\sigma\left[xf(x)\right]-\tau\left[f'(x)\right]\\\\ =&[xf(x)]'-xf'(x)=f(x)=\mathscr{E} \left[f(x)\right]. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle \sigma\tau-\tau\sigma=\mathscr{E}$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1498、 (0-4)、 已知向量 $\displaystyle \alpha_1=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1\\\\0\\\\3\end{array}\right), \alpha_2=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1\\\\-1\\\\a\end{array}\right), \alpha_3=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2\\\\a+1\\\\1\end{array}\right), \beta=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1\\\\1\\\\b+2\end{array}\right)$, 当 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$ 时, $\displaystyle \beta$ 可被 $\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性表出且表示法不唯一. (长安大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由
$$\begin{aligned} &(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\beta) =\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1&2&1\\\\ 0&-1&a+1&1\\\\ 3&a&1&b+2\end{array}\right)\\\\ \to& \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1&2&1\\\\ 0&1&-a-1&-1\\\\ 0&a-3&-5&b-1\end{array}\right)\\\\ \to&\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&a+3&2\\\\ 0&1&-a-1&-1\\\\ 0&0&(a-4)(a+2)&a+b-4\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知
$$\begin{aligned} (a-4)(a+2)=0, a+b-4=0\Rightarrow a=4, b=0\mbox{或} a=-2, b=6. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1499、 7、 (10 分) 设 $\displaystyle \mathscr{A}$ 是 $\displaystyle n$ 维线性空间 $\displaystyle V$ 上的线性变换, 证明: $\displaystyle \mathscr{A}$ 的秩 $\displaystyle +\mathscr{A}$ 的零度 $\displaystyle =n$. (长安大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle \varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_r$ 是 $\displaystyle \ker \mathscr{A}$ 的一组基, 将其扩充为 $\displaystyle V$ 的一组基 $\displaystyle \varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n$, 则由
$$\begin{aligned} &\sum_{i=r+1}^n k_i\mathscr{A}\varepsilon_i=0\Rightarrow \mathscr{A}\left(\sum_{i=r+1}^n k_i\varepsilon_i\right)=0 \Rightarrow \sum_{i=r+1}^n k_i\varepsilon_i\in \ker \mathscr{A}\\\\ \Rightarrow& \exists\ 1\leq i\leq r,\mathrm{ s.t.} \sum_{i=r+1}^n k_i\varepsilon_i =-\sum_{i=1}^r k_i\varepsilon_i \Rightarrow k_i=0 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle \mathscr{A}\varepsilon_{r+1},\cdots,\mathscr{A}\varepsilon_n$ 线性无关, 而是 $\displaystyle \mathrm{im} \mathscr{A}$ 的一组基. 于是$\mathscr{A}$ 的零度 $\displaystyle +\mathscr{A}$ 的秩
$$\begin{aligned} =\dim \ker \mathscr{A}+\dim \mathrm{im} \mathscr{A}=r+(n-r)=n. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1500、 (3)、 设 $\displaystyle \mathbb{F}$ 是一个数域,
$$\begin{aligned} W=\left\{A\in\mathbb{F}^{n\times n}; A^\mathrm{T} =A\right\}, V=\left\{A\in\mathbb{F}^{n\times n}; A^\mathrm{T}=-A\right\}, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则 $\displaystyle \dim(W+V)=\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (郑州大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle \dim(W+V)=\dim\mathbb{F}^{n\times n}=n^2$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1501、 (2)、 设
$$\begin{aligned} &\alpha_1=(1+a,1,1,1)^\mathrm{T}, \alpha_2=(2,2+a,2,2)^\mathrm{T},\\\\ &\alpha_3=(3,3,3+a,3)^\mathrm{T}, \alpha_4=(4,4,4,4+a)^\mathrm{T}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2-1)、 当 $\displaystyle a$ 满足什么条件时, $\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$ 线性相关. (2-2)、 在 (1) 的情形下, 求 $\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$ 的极大线性无关组, 并将剩余向量用极大线性无关组线性表出. (郑州大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (2-1)、 由
$$\begin{aligned} \det(\alpha_1,\cdots,\alpha_4)=a^3(a+10) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知当且仅当 $\displaystyle a=0\mbox{或} a=-10$ 时, $\displaystyle \det A=0$, $\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$ 线性相关. (2-2)、 若 $\displaystyle a=0$, 则 $\displaystyle \alpha_1$ 就是一个极大线性无关组, 且 $\displaystyle \alpha_2=\alpha_1,\alpha_3=\alpha_1, \alpha_4=\alpha_1$. 若 $\displaystyle a=-10$, 则由
$$\begin{aligned} (\alpha_1,\cdots,\alpha_4)\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&0&-1\\\\ 0&1&0&-1\\\\ 0&0&1&-1\\\\ 0&0&0&0\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 是一个极大无关组, 且 [张祖锦注: 初等行变换不改变列向量组的秩及极大无关组所在的位置, 并且可以一下得到其余向量用极大无关组的表示法, 这是张祖锦独创的, 具体证明见张祖锦编著的《樊启斌参考书》中张祖锦常用的结论]
$$\begin{aligned} \alpha_4=-\alpha_1-\alpha_2-\alpha_3. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1502、 3、 已知 $\displaystyle V$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{P}$ 上的 $\displaystyle n$ 维线性空间, $\displaystyle W_1,W_2$ 是 $\displaystyle V$ 的子空间, 且满足
$$\begin{aligned} \dim W_1+\dim W_2=n. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
证明: 存在 $\displaystyle V$ 上的线性变换 $\displaystyle \sigma$, 使得 $\displaystyle \ker \sigma=W_1, \mathrm{im} \sigma=W_2$. (郑州大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle \dim W_1=r, \dim W_2=n-r$. 取定 $\displaystyle W_1$ 的一组基 $\displaystyle \varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_r$, 并将其扩充为 $\displaystyle V$ 的一组基 $\displaystyle \varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n$. 再取 $\displaystyle W_2$ 的一组基 $\displaystyle \eta_{r+1},\cdots,\eta_n$. 作 $\displaystyle V$ 上的线性变换 $\displaystyle \sigma$ 使得
$$\begin{aligned} \sigma(\varepsilon_i)=\left\{\begin{array}{llllllllllll}0,&1\leq i\leq r,\\\\ \eta_i,&r+1\leq i\leq n.\end{array}\right. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则
$$\begin{aligned} \mathrm{im} \sigma&=L\left(\sigma(\varepsilon_1),\cdots,\sigma(\varepsilon_n)\right) =L\left(\sigma(\varepsilon_{r+1}),\cdots,\sigma(\varepsilon_n)\right)\\\\ &=L(\eta_{r+1},\cdots,\eta_n)=W_2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
又由
$$\begin{aligned} &\alpha=\sum_{i=1}^n k_i\varepsilon_i\in \ker \sigma \Leftrightarrow 0=\sigma(\alpha)=\sum_{i=r+1}^n k_i\eta_i\\\\ \Leftrightarrow& k_i=0, r+1\leq i\leq n \Leftrightarrow \alpha=\sum_{i=1}^r k_i\varepsilon_i \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle \ker \sigma=L(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_r)=W_1$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1503、 4、 设 $\displaystyle f(x),g(x)$ 为数域 $\displaystyle \mathbb{P}$ 上的互素多项式, $\displaystyle A\in\mathbb{P}^{n\times n}$. 证明:
$$\begin{aligned} \ker\left(f(A)g(A)\right)=\ker f(A)\oplus \ker g(A). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(郑州大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 易知 $\displaystyle \ker f(A)\subset \ker\left(f(A)g(A)\right), \ker g(A)\subset \ker\left(f(A)g(A)\right)$. 由
$$\begin{aligned} (f,g)=1\Rightarrow& \exists\ u,v,\mathrm{ s.t.} uf+vg=1\\\\ \Rightarrow&E_n=u(A)f(A)+v(A)g(A). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是
$$\begin{aligned} \alpha\in \mathbb{P}^n\Rightarrow&\alpha=E_n\alpha=v(A)g(A)\alpha+u(A)f(A)\alpha\\\\ &\in \ker f(A)+\ker g(A),\\\\ \alpha\in \ker f(A)\cap \ker g(A)\Rightarrow&f(A)\alpha=0, g(A)\alpha=0\\\\ \Rightarrow&\alpha=E_n\alpha=v(A)g(A)\alpha+u(A)f(A)\alpha=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这表明 $\displaystyle \ker\left(f(A)g(A)\right)=\ker f(A)\oplus \ker g(A)$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1504、 (3)、 (20 分) 考虑二阶复方阵 $\displaystyle M_2(\mathbb{C})$ 组成的复线性空间, 方阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}8&1\\\\ 3&8\end{array}\right)$. 定义线性变换
$$\begin{aligned} \mathscr{B}: M_2(\mathbb{C})\to M_2(\mathbb{C}) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
使得 $\displaystyle \mathscr{B}(X)=AX-XA$, 其中 $\displaystyle X$ 为任意二阶复方阵. 试求线性变换 $\displaystyle \mathscr{B}$ 的特征值, 相应的特征子空间以及最小多项式. (中国科学技术大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由
$$\begin{aligned} \mathscr{B} E_{11}=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&-1\\\\3&0\end{array}\right), \mathscr{B} E_{12}=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-3&0\\\\0&3\end{array}\right),\\\\ \mathscr{B} E_{21}=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0\\\\0&-1\end{array}\right), \mathscr{B} E_{22}=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&1\\\\-3&0\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知
$$\begin{aligned} \mathscr{B}(E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}) =&(E_{11},E_{12},E_{21},E_{22})B,\\\\ B=&\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 0&-3&1&0\\\\ -1&0&0&1\\\\ 3&0&0&-3\\\\ 0&3&-1&0 \end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
易知 $\displaystyle B$ 的特征值为 $\displaystyle 2\sqrt{3}, -2\sqrt{3},0,0$. 由
$$\begin{aligned} 2\sqrt{3}E_4-B\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&0&1\\\\ 0&1&0&-\frac{1}{\sqrt{3}}\\\\ 0&0&1&\sqrt{3}\\\\ 0&0&0&0\end{array}\right),\\\\ -2\sqrt{3}E_4-B\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&0&1\\\\ 0&1&0&\frac{1}{\sqrt{3}}\\\\ 0&0&1&-\sqrt{3}\\\\ 0&0&0&0\end{array}\right),\\\\ 0E_4-B\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&0&-1\\\\ 0&1&-\frac{1}{3}&0\\\\ 0&0&0&0\\\\ 0&0&0&0\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle B$ 的属于特征值 $\displaystyle 2\sqrt{3}, -2\sqrt{3},0$ 的特征向量为
$$\begin{aligned} \xi_1=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-\sqrt{3}\\\\1\\\\-3\\\\\sqrt{3}\end{array}\right); \quad \xi_2=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-\sqrt{3}\\\\-1\\\\3\\\\\sqrt{3}\end{array}\right);\quad \xi_3=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0\\\\1\\\\3\\\\0\end{array}\right), \xi_4=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1\\\\0\\\\0\\\\1\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故线性变换 $\displaystyle \mathscr{B}$ 的特征子空间为
$$\begin{aligned} V_{2\sqrt{3}}=L\left(\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-\sqrt{3}&1\\\\-3&\sqrt{3}\end{array}\right)\right), V_{-2\sqrt{3}}=L\left(\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-\sqrt{3}&-1\\\\3&\sqrt{3}\end{array}\right)\right),\\\\ V_0=L\left(\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&1\\\\3&0\end{array}\right), E_4\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由 $\displaystyle B$ 有 $\displaystyle 4$ 个线性无关的特征向量知 $\displaystyle B$ 可对角化, 而 $\displaystyle \mathscr{B}$ 的最小多项式为
$$\begin{aligned} (\lambda-2\sqrt{3})(\lambda+2\sqrt{3})\lambda=\lambda^3-12\lambda. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1505、 5、 设 $\displaystyle M_{2\times 2}$ 是二阶矩阵集合,
$$\begin{aligned} A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&-1\\\\ 2&0\end{array}\right),\quad B=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}4&0\\\\ 3&1\end{array}\right),\quad L: X\mapsto AXB. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
求 $\displaystyle L$ 的迹和行列式. (中国科学院大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由
$$\begin{aligned} L E_{11}=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}4&0\\\\8&0\end{array}\right), L E_{12}=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}3&1\\\\6&2\end{array}\right),\\\\ L E_{21}=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-4&0\\\\0&0\end{array}\right), L E_{22}=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-3&-1\\\\0&0\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知
$$\begin{aligned} L (E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}) =&(E_{11},E_{12},E_{21},E_{22})C,\\\\ C=&\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 4&3&-4&-3\\\\ 0&1&0&-1\\\\ 8&6&0&0\\\\ 0&2&0&0 \end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle L$ 的迹为 $\displaystyle \mathrm{tr} C=5$, $\displaystyle L$ 的行列式为 $\displaystyle \det C=64$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1506、 6、 设 $\displaystyle \mathscr{A},\mathscr{B}$ 是 $\displaystyle \mathbb{C}^n$ 上的线性变换, 且 $\displaystyle \mathscr{A}^2=\mathscr{B}^2=\mathscr{E}$, 其中 $\displaystyle \mathscr{E}$ 为恒等变换. 证明: (1)、 若 $\displaystyle n$ 为奇数, 则 $\displaystyle \mathscr{A},\mathscr{B}$ 有公共特征向量; (2)、 若 $\displaystyle n$ 为偶数, 则存在一个子空间 $\displaystyle W$, 同时为 $\displaystyle \mathscr{A},\mathscr{B}$ 的不变子空间, 且 $\displaystyle \dim W=1\mbox{或} 2$. (中国科学院大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 设
$$\begin{aligned} V_{\pm 1}=\left\{\alpha\in\mathbb{C}^n; \mathscr{A}\alpha=\pm \alpha\right\}, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则由
$$\begin{aligned} &\mathbb{C}^n\ni \alpha=\frac{\alpha+\mathscr{A}\alpha}{2}+\frac{\alpha-\mathscr{A}\alpha}{2}\in V_1+V_{-1},\\\\ &\alpha\in V_1\cap V_{-1}\Rightarrow \alpha=\mathscr{A}\alpha=-\alpha\Rightarrow \alpha=0 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle \mathbb{C}^n=V_1\oplus V_{-1}$, $\displaystyle n=\dim V_1+\dim V_{-1}$. 再设
$$\begin{aligned} W_{\pm 1}=\left\{\alpha\in\mathbb{C}^n; \mathscr{B}\alpha=\alpha\right\}, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则也有 $\displaystyle n=\dim W_1+\dim W_{-1}$. 于是
$$\begin{aligned} &\exists\ i\in \left\{-1,1\right\},\mathrm{ s.t.} \dim V_i\geq \frac{n}{2}\Rightarrow \dim V_i\geq \frac{n+1}{2},\\\\ &\exists\ j\in \left\{-1,1\right\},\mathrm{ s.t.} \dim W_j\geq \frac{n}{2}\Rightarrow \dim W_j\geq \frac{n+1}{2}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是
$$\begin{aligned} \dim(V_i\cap W_j)=&\dim V_i+\dim W_j-\dim(V_i+W_j)\\\\ \geq&\frac{n+1}{2}+\frac{n+1}{2}-n=1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故
$$\begin{aligned} \exists\ \alpha\in V_i\cap V_j\Rightarrow \mathscr{A}\alpha=i\alpha, \mathscr{B}\alpha=j\alpha. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
此 $\displaystyle \alpha$ 就是 $\displaystyle \mathscr{A}, \mathscr{B}$ 的公共特征向量. (2)、 考虑 $\displaystyle \mathscr{A}\mathscr{B}: \mathbb{C}^n\to\mathbb{C}^n$, 它有一个复特征值 $\displaystyle \lambda$. 设对应的特征向量为 $\displaystyle \alpha\neq 0$, 则 $\displaystyle \mathscr{A}\mathscr{B}\alpha=\lambda \alpha$. 考虑 $\displaystyle W=L(\alpha,\mathscr{A}\alpha)$, 则 $\displaystyle W$ 自然是 $\displaystyle \mathscr{A}$ 不变的. 又由
$$\begin{aligned} &\mathscr{B}\alpha=\mathscr{A}\mathscr{A}\mathscr{B}\alpha =\mathscr{A}(\lambda \alpha)=\lambda \mathscr{A}\alpha,\qquad(I)\\\\ &\lambda \mathscr{B}\mathscr{A}\alpha=\mathscr{B}\mathscr{A}(\lambda \alpha) =\mathscr{B}(\lambda \mathscr{A}\alpha)\stackrel{(I)}{=}\mathscr{B}\mathscr{B}\alpha=\alpha\neq 0\\\\ \Rightarrow&\lambda\neq 0, \mathscr{B}\mathscr{A}\alpha=\frac{1}{\lambda}\alpha \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle W$ 也是 $\displaystyle \mathscr{B}$ 不变的. 由 $\displaystyle \alpha\neq 0$ 蕴含 $\displaystyle \dim W=1\mbox{或} 2$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1507、 8、 设 $\displaystyle U,V,W$ 是某一线性空间的子空间, 证明:
$$\begin{aligned} (U+V)\cap (U+W)\cap (W+V)=U\cap (W+V)+V\cap(U+W). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
[题目有问题, 毕竟 $\displaystyle U\cap (W+V)\subset U+V$ 一般不成立啊. 所以张祖锦没法做哦.] (中国科学院大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / [题目有问题, 毕竟 $\displaystyle U\cap (W+V)\subset U+V$ 一般不成立啊. 所以张祖锦没法做哦.]跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1508、 (3)、 $\displaystyle m$ 个 $\displaystyle n$ 维向量空间的一个部分向量组是线性相关的, 则这个向量组是 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$.
A. 线性相关
B. 线性无关
C. 可能线性相关, 也可能线性无关
D. 以上都不对 (中国矿业大学(北京)2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle A$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1509、 (7)、 $\displaystyle V$ 是 $\displaystyle n$ 维线性空间, $\displaystyle \mathrm{Hom}(V)$ 表示 $\displaystyle V$ 上所有线性变换的集合, 它也是线性空间, 则 $\displaystyle \mathrm{Hom}(V)$ 的维数是 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$.
A. $\displaystyle n^2$
B. $\displaystyle n$
C. $\displaystyle 2n$
D. $\displaystyle \infty$ (中国矿业大学(北京)2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle A$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1510、 9、 设 $\displaystyle V$ 是 $\displaystyle n$ 维线性空间, $\displaystyle \mathscr{A}$ 是其上的一个线性变换, 它在 $\displaystyle V$ 的一组基下的矩阵为 $\displaystyle A$, 定义 $\displaystyle \mathrm{rank} \mathscr{A}=\mathrm{rank} A$. 证明: (1)、 $\displaystyle \mathrm{rank} \mathscr{A}$ 不依赖于基的选取; (2)、 若 $\displaystyle \mathrm{rank} \mathscr{A}=\mathrm{rank}(\mathscr{A}^2)$, 则 $\displaystyle \mathscr{A} V+\mathscr{A}^{-1}(0)$ 是直和. (中国矿业大学(北京)2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 设 $\displaystyle \varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n$ 与 $\displaystyle \eta_1,\cdots,\eta_n$ 是 $\displaystyle V$ 的两组基. 再设
$$\begin{aligned} \mathscr{A}(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n)=&(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n)A,\\\\ \mathscr{A}(\eta_1,\cdots,\eta_n)=&(\eta_1,\cdots,\eta_n)B,\\\\ (\eta_1,\cdots,\eta_n)=&(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n)T, |T|\neq 0, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则
$$\begin{aligned} &\mathscr{A}(\eta_1,\cdots,\eta_n)=\mathscr{A}(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n)T\\\\ =&(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n)AT =(\eta_1,\cdots,\eta_n)T^{-1}AT. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是 $\displaystyle B=T^{-1}AT\Rightarrow \mathrm{rank} B=\mathrm{rank} A$. 从而 $\displaystyle \mathrm{rank} \mathscr{A}$ 不依赖于基的选取. (2)、 易知 $\displaystyle \ker \mathscr{A}\subset \ker (\mathscr{A}^2)$. 又由
$$\begin{aligned} \dim \ker \mathscr{A}=n-\mathrm{rank} \mathscr{A}=n-\mathrm{rank}(\mathscr{A}^2)=\dim \ker (\mathscr{A}^2) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle \ker \mathscr{A}=\ker (\mathscr{A}^2)$. 于是
$$\begin{aligned} &\alpha\in \ker\mathscr{A}\cap \mathrm{im} \mathscr{A}\Rightarrow \mathscr{A}\alpha=0; \exists\ \beta\in V,\mathrm{ s.t.} \mathscr{A}\beta=\alpha\\\\ \Rightarrow&0=\mathscr{A}\alpha=\mathscr{A}^2\beta \Rightarrow \beta\in \ker (\mathscr{A}^2)=\ker \mathscr{A}\Rightarrow \alpha=\mathscr{A}\beta=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这表明 $\displaystyle \ker \mathscr{A}\cap \mathrm{im} \mathscr{A}=\left\{0\right\}$,
$$\begin{aligned} \dim\left(\ker \mathscr{A}+\mathrm{im} \mathscr{A}\right)=&\dim \ker \mathscr{A}+\dim \mathrm{im} \mathscr{A}-\dim\left(\ker \mathscr{A}\cap \mathrm{im} \mathscr{A}\right)\\\\ =&n-0=n. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是 $\displaystyle \ker \mathscr{A}+\mathrm{im} \mathscr{A}=V$. 联合 $\displaystyle \ker \mathscr{A}\cap \mathrm{im} \mathscr{A}=\left\{0\right\}$ 知 $\displaystyle V=\ker \mathscr{A}\oplus\mathrm{im} \mathscr{A}$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1511、 (6)、 记全体实数为 $\displaystyle \mathbb{R}$, 已知实矩阵
$$\begin{aligned} &A_1=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&1\\\\ -1&-1\end{array}\right), A_2=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&3\\\\ 0&-1\end{array}\right), A_3=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&0\\\\ 1&3\end{array}\right),\\\\ &A_4=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&2\\\\ 1&-2\end{array}\right), A_5=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&5\\\\ -2&-6\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则 $\displaystyle \mathbb{R}^{4\times 4}$ 的生成子空间 $\displaystyle L(A_1,A_2,A_3,A_4,A_5)$ 的维数是 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (中国矿业大学(徐州)2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由
$$\begin{aligned} &(A_1,\cdots,A_5)=(E_{11},E_{12},E_{21},E_{22})A,\\\\ &A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&0&0&0&0\\\\ 1&3&0&2&5\\\\ -1&0&1&1&-2\\\\ -1&-1&3&-2&-6\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&0&-\frac{13}{7}&\frac{5}{7}\\\\ 0&1&0&\frac{9}{7}&\frac{10}{7}\\\\ 0&0&1&-\frac{6}{7}&-\frac{9}{7}\\\\ 0&0&0&0&0\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle \mathrm{rank} A=3$, 而 $\displaystyle \dim L(A_1,A_2,A_3,A_4,A_5)=\mathrm{rank} A=3$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1512、 (8)、 设 $\displaystyle V$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{P}$ 上全体 $\displaystyle 2$ 阶矩阵构成的线性空间, 对于给定的 $\displaystyle A\in V$, 定义 $\displaystyle V$ 上的线性变换 $\displaystyle \sigma$:
$$\begin{aligned} \sigma(B)=AB-BA, \forall\ B\in V. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
如果 $\displaystyle A$ 是幂零的, 则 $\displaystyle \sigma$ 在基 $\displaystyle E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}$ ($E_{ij})$ 表示 $\displaystyle (i,j)$ 元为 $\displaystyle 1$, 其余元素为 $\displaystyle 0$ 的矩阵) 下的矩阵 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$ 幂零的. (选题: 一定是, 未必是) (中国矿业大学(徐州)2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 把 $\displaystyle A$ 看成复矩阵, 则 $\displaystyle A$ 的特征值全为 $\displaystyle 0$, 而存在复可逆矩阵 $\displaystyle P$ 使得
$$\begin{aligned} P^{-1}AP=0\mbox{或} \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&1\\\\ 0&0\end{array}\right)\equiv J. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
若 $\displaystyle J=0$, 则 $\displaystyle A=0, \sigma(B)=0$, $\displaystyle \sigma$ 在基 $\displaystyle E_{11},\cdots,E_{22}$ 下的矩阵 $\displaystyle C=0$, 自然是幂零矩阵. 若 $\displaystyle J=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&1\\\\ 0&0\end{array}\right)$, 则
$$\begin{aligned} P^{-1}\sigma(E_{ij})P=P^{-1}(AE_{ij}-E_{ij}A)P =J\tilde{E}_{ij}-\tilde{E}_{ij}J, \qquad(I) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
其中 $\displaystyle \tilde{E}_{ij}=P^{-1}E_{ij}P$. 设
$$\begin{aligned} &\sigma(E_{11},\cdots,E_{22})=(E_{11},\cdots,E_{22})C,\\\\ &\sigma_J(\tilde{E}_{11},\cdots,\tilde{E}_{22})=((\tilde{E}_{11},\cdots,\tilde{E}_{22})\tilde{C},\\\\ &\varepsilon_1=E_{11},\cdots, \varepsilon_4=E_{22}; \tilde{\varepsilon}_1=\tilde{E}_{11}, \cdots, \tilde{\varepsilon}_4=\tilde{E}_{22}, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则
$$\begin{aligned} \sigma(\varepsilon_i)=\sum_k c_{ki}\varepsilon_k, \sigma(\tilde{\varepsilon}_i)=\sum_k\tilde{c}_{ki}\tilde{E}_k. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
从而
$$\begin{aligned} P^{-1}\sigma(\varepsilon_i)P=&P^{-1}\left(\sum_k c_{ki}\varepsilon_k\right)P =\sum_k c_{ki}P^{-1}\varepsilon_kP =\sum_k c_{ki}\tilde{\varepsilon}_k,\\\\ \sigma_j\left(\tilde{\varepsilon}_i\right)=&\sum_k \tilde{c}_{ki}\tilde{\varepsilon}_k. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
代入 $\displaystyle (I)$ 知
$$\begin{aligned} \tilde{c}_{ki}=c_{ki}\Leftrightarrow \tilde{C}=C. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由
$$\begin{aligned} &\sigma_J(E_{11})=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&-1\\\\ 0&0\end{array}\right), \sigma_J(E_{12})=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&0\\\\ 0&\end{array}\right),\\\\ &\sigma_J(E_{21})=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0\\\\ 0&-1\end{array}\right), \sigma_J(E_{22})=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&1\\\\ 0&0\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle \sigma_J$ 在 $\displaystyle V$ 的基 $\displaystyle E_{11},\cdots,E_{22}$ 下的矩阵为
$$\begin{aligned} D=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&0&1&0\\\\ -1&0&0&1\\\\ 0&0&0&0\\\\ 0&0&-1&0\end{array}\right)\sim \tilde{C}=C. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
易知 $\displaystyle D$ 的特征值全为 $\displaystyle 0$, 而 $\displaystyle D$ 幂零, $\displaystyle C$ 幂零, 选填’一定是‘.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1513、 6、 (20 分) 设 $\displaystyle A$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{P}$ 上的 $\displaystyle m\times n$ 矩阵, $\displaystyle \beta$ 是 $\displaystyle m$ 维非零列向量. 令
$$\begin{aligned} W=\left\{\alpha\in\mathbb{P}^n; \exists\ t\in\mathbb{P},\mathrm{ s.t.} A\alpha=t\beta\right\}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(1)、 (5 分) 证明: $\displaystyle W$ 关于 $\displaystyle \mathbb{P}^n$ 的运算构成 $\displaystyle \mathbb{P}^n$ 的子空间; (2)、 (15 分) 设线性方程组 $\displaystyle AX=\beta$ 的增广矩阵的秩为 $\displaystyle r$, 证明: $\displaystyle W$ 的维数等于 $\displaystyle n-r+1$. [张祖锦需要擅自在’增广矩阵‘前面加上’系数矩阵和‘才能做哦.) (中国矿业大学(徐州)2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 对 $\displaystyle \forall\ k,k'\in\mathbb{P}, \alpha,\alpha'\in W$,
$$\begin{aligned} &\exists\ t,t'\in\mathbb{P},\mathrm{ s.t.} A\alpha=t\beta, A\alpha'=t'\beta\\\\ \Rightarrow&A(k\alpha+k'\alpha')=kA\alpha+k'A\alpha'=kt\beta+k't'\beta=(kt+k't')\beta\\\\ \Rightarrow&k\alpha+k'\alpha'\in W. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle W$ 是 $\displaystyle \mathbb{P}^n$ 的子空间. (2)、 设 $\displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_{n-r}$ 是 $\displaystyle AX=0$ 的一个基础解系, $\displaystyle \gamma\neq 0$ 是 $\displaystyle AX=\beta$ 的一个特解, 则由
$$\begin{aligned} &\sum_i x_i\alpha_i+y\gamma=0\stackrel{A\cdot}{\Rightarrow}y\beta=0\stackrel{\beta\neq 0}{\Rightarrow}y=0 \Rightarrow \sum_i x_i\alpha_i=0\Rightarrow x_i=0,\ \forall\ i \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_{n-r},\gamma$ 线性无关. 由
$$\begin{aligned} A\alpha_i=0=0\beta,\quad A\gamma=\beta=1\cdot \beta \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_{n-r},\gamma\in W$. 对 $\displaystyle \forall\ \alpha\in W$,
$$\begin{aligned} &\exists\ t\in \mathbb{P},\mathrm{ s.t.} A\alpha=t\beta\\\\ \Rightarrow&\left\{\begin{array}{llllllllllll}\exists\ x_i\in\mathbb{P},\mathrm{ s.t.} \alpha=\sum_i x_i\alpha_i, &t=0,\\\\ A\frac{\alpha}{t}=\beta\Rightarrow \frac{\alpha}{t}-\beta=\sum_i x_i\alpha_i \Rightarrow \alpha=\sum_i tx_i\alpha_i+t\beta,&t\neq 0.\end{array}\right. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_{n-r},\gamma$ 是 $\displaystyle W$ 的一组基, $\displaystyle \dim W=n-r+1$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1514、 (3)、 若把同构的子空间称作一类, 则 $\displaystyle n$ 维线性空间的子空间共分成 $\displaystyle n$ 类. (中国人民大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle \times$. $\displaystyle n$ 维线性空间 $\displaystyle V$ 的子空间的维数可能为 $\displaystyle 0,1,2,\cdots,n$, 共有 $\displaystyle n+1$ 类!跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1515、 (4)、 设 $\displaystyle V_1,V_2$ 是 $\displaystyle \mathbb{P}^n$ 的子空间, 且 $\displaystyle \dim V_1+\dim V_2=n$, 则 $\displaystyle \mathbb{P}^n=V_1\oplus V_2$. (中国人民大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle \times$. 比如 $\displaystyle n=2$, $\displaystyle V_1=V_2=L(e_1)$, 则 $\displaystyle \dim V_1+\dim V_2=2$, 但 $\displaystyle V_1\cap V_2=V_1\neq \left\{0\right\}$, 而 $\displaystyle V_1+V_2$ 不是直和.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1516、 (3)、 集合
$$\begin{aligned} V=\left\{(x_1,x_2+\mathrm{ i} x_3, -\mathrm{ i} x_3, -x_1)^\mathrm{T}, x_1,x_2,x_3\in\mathbb{R}\right\} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
对于向量的加法和数乘构成实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的线性空间, 则 $\displaystyle V$ 的一组基为 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (中国人民大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由
$$\begin{aligned} \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}x_1\\\\x_2+\mathrm{ i} x_3\\\\ -\mathrm{ i} x_3\\\\ -x_1\end{array}\right)=x_1\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1\\\\0\\\\0\\\\-1\end{array}\right)+x_2\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0\\\\1\\\\0\\\\0\end{array}\right)+x_3\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0\\\\\mathrm{ i}\\\\-\mathrm{ i}\\\\0\end{array}\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
及 $\displaystyle \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1\\\\0\\\\0\\\\-1\end{array}\right), \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0\\\\1\\\\0\\\\0\end{array}\right), \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0\\\\\mathrm{ i}\\\\-\mathrm{ i}\\\\0\end{array}\right)$ 线性无关知 $\displaystyle V$ 的一组基为
$$\begin{aligned} \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1\\\\0\\\\0\\\\-1\end{array}\right), \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0\\\\1\\\\0\\\\0\end{array}\right), \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0\\\\\mathrm{ i}\\\\-\mathrm{ i}\\\\0\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1517、 (4)、 已知 $\displaystyle (I)$ 和 $\displaystyle (I)'$ 是三维线性空间 $\displaystyle V$ 的两组基, $\displaystyle V$ 中的任意向量 $\displaystyle \gamma$ 在这两组基下的坐标 $\displaystyle (x_1,x_2,x_3)$ 和 $\displaystyle (x_1',x_2',x_3')$ 满足
$$\begin{aligned} x_1'=x_1, x_2'=x_2-x_1, x_3'=x_3-x_2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则 $\displaystyle (I)$ 到 $\displaystyle (I)'$ 的过渡矩阵是 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (中国人民大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle (I): \varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3$, $\displaystyle (II): \varepsilon_1', \varepsilon_2',\varepsilon_3'$, 则
$$\begin{aligned} \gamma=&(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}x_1\\\\x_2\\\\x_3\end{array}\right)\\\\ =&(\varepsilon_1',\varepsilon_2',\varepsilon_3')\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}x_1'\\\\x_2'\\\\x_3'\end{array}\right) =(\varepsilon_1',\varepsilon_2',\varepsilon_3')\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&0\\\\ -1&1&0\\\\ 0&-1&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}x_1\\\\x_2\\\\x_3\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故
$$\begin{aligned} (\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)=&(\varepsilon_1',\varepsilon_2',\varepsilon_3')\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&0\\\\ -1&1&0\\\\ 0&-1&1\end{array}\right),\\\\ (\varepsilon_1',\varepsilon_2',\varepsilon_3')=&(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&0\\\\ -1&1&0\\\\ 0&-1&1\end{array}\right)^{-1} =(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&0\\\\ 1&1&0\\\\ 1&1&1\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故应填 $\displaystyle \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&0\\\\ 1&1&0\\\\ 1&1&1\end{array}\right)$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1518、 4、 设有 $\displaystyle \mathbb{R}^4$ 的两个子空间
$$\begin{aligned} W_1=&\left\{(x_1,x_2,x_3,x_4)^\mathrm{T}; x_1+2x_2-x_4=0\right\}, \\\\ W_2=&L(\alpha_1,\alpha_2), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
其中 $\displaystyle \alpha_1=(1,-1,0,1)^\mathrm{T}, \alpha_2=(1,0,2,3)^\mathrm{T}$. 求 $\displaystyle W_1+W_2$ 和 $\displaystyle W_1\cap W_2$ 的基和维数. (中国人民大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 取 $\displaystyle x_2,x_3,x_4$ 为自由变量知
$$\begin{aligned} W_1=L(\alpha_3,\alpha_4,\alpha_5), \alpha_3=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-2\\\\1\\\\0\\\\0\end{array}\right), \alpha_4=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0\\\\0\\\\1\\\\0\end{array}\right), \alpha_5=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1\\\\0\\\\0\\\\1\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由
$$\begin{aligned} A&=(\alpha_1,\cdots,\alpha_5)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1&-2&0&1\\\\ -1&0&1&0&0\\\\ 0&2&0&1&0\\\\ 1&3&0&0&1\end{array}\right) \to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&0&0&-\frac{1}{2}\\\\ 0&1&0&0&\frac{1}{2}\\\\ 0&0&1&0&-\frac{1}{2}\\\\ 0&0&0&1&-1\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle W_1+W_2$ 有一组基 $\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$, 且
$$\begin{aligned} \alpha_5=-\frac{1}{2}\alpha_1+\frac{1}{2}\alpha_2-\frac{1}{2}\alpha_3-\alpha_4. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
从而 $\displaystyle \dim(W_1+W_2)=4$. 再者, 由
$$\begin{aligned} \alpha\in W_1\cap W_2&\Leftrightarrow \alpha=x_1\alpha_1+x_2\alpha_2=-x_3\alpha_3-x_4\alpha_4-x_5\alpha_5\\\\ &\Leftrightarrow \alpha=x_1\alpha_1+x_2\alpha_2, Ax=0\\\\ &\Leftrightarrow \alpha=x_1\alpha_1+x_2\alpha_2, x=k\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{2},1,1\right)^\mathrm{T}\\\\ &\Leftrightarrow \alpha=k\left(\frac{1}{2}\alpha_1-\frac{1}{2}\alpha_2\right) =-\frac{k}{2}(\alpha_2-\alpha_1)=-\frac{k}{2}(0,1,2,2)^\mathrm{T} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle W_1\cap W_2$ 有一组基 $\displaystyle (0,1,2,2)^\mathrm{T}$, $\displaystyle \dim (W_1\cap W_2)=1$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
/4 
|Archiver|小黑屋|小张的小站
( 赣ICP备2024047342号-1 )
发表于 2023-3-5 13:24:56