张祖锦2023年数学专业真题分类70天之第64天
1450、 8、 $\displaystyle V$ 是复数域上的 $\displaystyle n$ 维线性空间, $\displaystyle \varphi$ 是 $\displaystyle V$ 上的线性变换. 证明:
$$\begin{aligned} \exists\ f(x)\in\mathbb{C}[x],\mathrm{ s.t.} \varphi f(\varphi)=\sigma, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
其中 $\displaystyle \sigma$ 可对角化, 并且 $\displaystyle \varphi$ 与 $\displaystyle \sigma$ 有相同的特征多项式. (厦门大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle \varphi$ 的特征多项式为 $\displaystyle |x \mathscr{E}-\varphi|=\prod_{k=1}^s (x-\lambda_k)^{n_k}$, 其中 $\displaystyle \lambda_k$ 互异, $\displaystyle n_k\geq 1$, $\displaystyle \sum_{k=1}^s n_k=n$, 则有直和分解
$$\begin{aligned} V=\oplus_{k=1}^s V_k, V_k=\ker(\varphi-\lambda_k\mathscr{E})^{n_k}.\qquad(I) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(1)、 若 $\displaystyle 0$ 是 $\displaystyle \varphi$ 的特征值, 则考虑同余式
$$\begin{aligned} g(x)\equiv \lambda_k, \mod (x-\lambda_k)^{n_k}, 1\leq k\leq s,\qquad(II) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2)、 若 $\displaystyle 0$ 不是 $\displaystyle \varphi$ 的特征值, 则考虑同余式
$$\begin{aligned} &g(x)\equiv \lambda_k, \mod (x-\lambda_k)^{n_k}, 1\leq k\leq s,\\\\ &g(x)\equiv 0, \mod x.\qquad(II)' \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由中国剩余定理知 $\displaystyle (II)$ 或 $\displaystyle (II)'$ 有解 $\displaystyle g(x)$, 它满足
$$\begin{aligned} g(\varphi)\alpha=\lambda_k\alpha, \forall\ \alpha\in V_k. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
而 $\displaystyle g(\varphi)$ 在 $\displaystyle V_k$ 的任一组基下的矩阵为 $\displaystyle \lambda_k E_{n_k}$, $\displaystyle g(\varphi)$ 在由 $\displaystyle V_k, 1\leq k\leq s$ 的基拼接而成的基下的矩阵为 $\displaystyle \mathrm{diag}(\lambda_1E_{n_1},\cdots,\lambda_s E_{n_s})$. 从而 $\displaystyle g(\varphi)$ 的特征多项式就是 $\displaystyle \prod_{k=1}^s (x-\lambda_k)^{n_k}$, 与 $\displaystyle \varphi$ 的相同. 再者,
$$\begin{aligned} g(x)=0\Rightarrow \exists\ f(x),\mathrm{ s.t.} g(x)=xf(x). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle \sigma=g(\varphi)=\varphi f(\varphi)$ 满足题设.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1451、 1、 每题 10 分, 共 90 分. (1)、 设 $\displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_t$ 是一组线性无关的向量,
$$\begin{aligned} \beta_i=\sum_{j=1}^n a_{ij}\alpha_j\left(i=1,\cdots,t\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
证明: $\displaystyle \beta_1,\cdots,\beta_t$ 线性无关的充要条件是 $\displaystyle \left|\begin{array}{cccccccccc}a_{11}&\cdots&a_{1t}\\\\ \vdots&&\vdots\\\\ a_{t1}&\cdots&a_{tt}\end{array}\right|\neq 0$. (山东大学2023年高等代数与常微分方程考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle \beta_1,\cdots,\beta_t \mbox{线性无关}$
$$\begin{aligned} &\Leftrightarrow 0=\sum_{i=1}^t x_i\beta_i=(\beta_1,\cdots,\beta_t)X =(\alpha_1,\cdots,\alpha_t)A^\mathrm{T} X\mbox{只有零解}\\\\ \Leftrightarrow&A^\mathrm{T} X\mbox{只有零解}\Leftrightarrow t=\mathrm{rank} (A^\mathrm{T})=\mathrm{rank} A\Leftrightarrow \left|\begin{array}{cccccccccc}a_{11}&\cdots&a_{1t}\\\\ \vdots&&\vdots\\\\ a_{t1}&\cdots&a_{tt}\end{array}\right|\neq 0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1452、 (2)、 设 $\displaystyle A$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上 $\displaystyle m\times n$ 矩阵, $\displaystyle V$ 是 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上满足 $\displaystyle AX=0$ ($X$ 是 $\displaystyle n\times s$ 未知矩阵, $\displaystyle O$ 是 $\displaystyle m\times s$ 零矩阵) 的全体 $\displaystyle n\times s$ 矩阵组成的集合. 问: 对矩阵普通加法以及数与矩阵的乘法, $\displaystyle V$ 是否构成线性空间? 若 $\displaystyle V$ 构成线性空间, 求其维数并给出一组基. (山东大学2023年高等代数与常微分方程考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由 $\displaystyle V\subset \mathbb{K}^{n\times s}$ 及
$$\begin{aligned} X_1,X_2\in V, k_1,k_2\in\mathbb{K}\Rightarrow& A(k_1X_1+k_2X_2)=k_1AX_1+k_2AX_2=0\\\\ \Rightarrow& k_1X_1+k_2X_2\in V \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle V$ 是 $\displaystyle \mathbb{K}^{n\times s}$ 的子空间, 而是线性空间. 设 $\displaystyle \mathrm{rank} A=r$, 则可设 $\displaystyle \eta_1,\cdots,\eta_{n-r}$ 是 $\displaystyle Ax=0$ 的基础解系. 于是
$$\begin{aligned} &X=(X_1,\cdots,X_s)\in V\Leftrightarrow \forall\ 1\leq i\leq s, AX_i=0 \Leftrightarrow X_i=\sum_{j=1}^{n-r}x_{ij}\eta_j\\\\ \Leftrightarrow& X=\sum_{i=1}^s (0,\cdots,X_i,\cdots,0) =\sum_{i=1}^s (0,\cdots, \sum_{j=1}^{n-r}x_{ij}\eta_j,\cdots,0)\\\\ &=\sum_{i=1}^s \sum_{j=1}^{n-r} x_{ij}(0,\cdots,\eta_j,\cdots,0). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle V$ 有一组基 $\displaystyle (0,\cdots,\eta_j,\cdots,0)$, 其中 $\displaystyle \eta_j$ 位于第 $\displaystyle i$ 列. 而 $\displaystyle \dim V=s(n-r)$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1453、 (3)、 设 $\displaystyle \alpha_1=(1,1,1)^\mathrm{T}, \alpha_2=(1,1,2)^\mathrm{T}, \alpha_3=(1,2,3)^\mathrm{T}$. 试证: $\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 为线性空间 $\displaystyle \mathbb{R}^3$ 的一组基, 并用两种方法求向量 $\displaystyle \alpha=(6,9,14)^\mathrm{T}$ 在该组基下的坐标. (山东大学2023年高等代数与常微分方程考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由 $\displaystyle |\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3|=\left|\begin{array}{cccccccccc}1&1&1\\\\ 1&1&2\\\\ 1&2&3\end{array}\right|=-1\neq 0$ 知 $\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性无关, 而是 $\displaystyle \mathbb{R}^3$ 的一组基. 设 $\displaystyle \alpha=x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+x_3\alpha_3$, 则由
$$\begin{aligned} (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1&1&6\\\\ 1&1&2&9\\\\ 1&2&3&14\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&0&1\\\\ 0&1&0&2\\\\ 0&0&1&3\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle x_1=1,x_2=2,x_3=3$. 也可另解如下:
$$\begin{aligned} X=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)^{-1}\alpha=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1\\\\2\\\\3\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1454、 (4)、 设 $\displaystyle V$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上的线性空间, $\displaystyle \sigma$ 是 $\displaystyle V$ 的一个线性变换, $\displaystyle f(x),g(x)\in\mathbb{P}[x], h(x)=f(x)g(x)$. 证明: (1)、 $\displaystyle \ker f(\sigma)+\ker g(\sigma)\subset \ker h(\sigma)$; (2)、 若 $\displaystyle \left(f(x),g(x)\right)=1$, 则 $\displaystyle \ker h(\sigma)=\ker f(\sigma)\oplus \ker g(\sigma)$. (山东大学2023年高等代数与常微分方程考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由
$$\begin{aligned} \alpha\in \ker f(\sigma)\Rightarrow f(\sigma)\alpha=0\Rightarrow h(\sigma)\alpha=f(\sigma)g(\sigma)\alpha=0\Rightarrow \alpha\in \ker h(\sigma) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle \ker f(\sigma)\subset \ker h(\sigma)$. 同理, $\displaystyle \ker g(\sigma)\subset \ker h(\sigma)$. 故
$$\begin{aligned} \ker f(\sigma)+\ker g(\sigma)\subset \ker h(\sigma). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
再由 $\displaystyle (f,g)=1$ 知 $\displaystyle \exists\ u,v,\mathrm{ s.t.} uf+vg=1$. 于是
$$\begin{aligned} \alpha\in \ker h(\sigma)&\Rightarrow \alpha=u(\sigma)f(\sigma)\alpha+v(\sigma)g(\alpha)\alpha \in \ker g(\sigma)+\ker f(\sigma). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这表明 $\displaystyle \ker h(\sigma)=\ker f(\sigma)+\ker g(\sigma)$. 又由
$$\begin{aligned} \alpha\in \ker f(\sigma)\cap \ker g(\sigma) &\Rightarrow f(\sigma)\alpha=0=g(\sigma)\alpha\\\\ &\Rightarrow \alpha=u(\sigma)f(\sigma)\alpha+v(\sigma)g(\alpha)\alpha=0 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle \ker h(\sigma)=\ker f(\sigma)\oplus\ker g(\sigma)$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1455、 3、 (15 分) $\displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_s,\beta$ 的秩与 $\displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_s$ 的秩相同. 证明: $\displaystyle \beta$ 可由 $\displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_s$ 线性表出, 且表法唯一的充分必要条件为 $\displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_s$ 线性无关. (山西大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle A=(\alpha_1,\cdots,\alpha_s)$, 则由题设, $\displaystyle \mathrm{rank} (A,\beta)=\mathrm{rank} A$, 而 $\displaystyle Ax=\beta$ 有解, 此即 $\displaystyle \beta$ 可由 $\displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_s$ 线性表出, 且表法唯一 $\displaystyle \Leftrightarrow Ax=\beta$ 有唯一解 $\displaystyle \Leftrightarrow \mathrm{rank} A=s\Leftrightarrow \alpha_1,\cdots,\alpha_s$ 线性无关.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1456、 5、 (20 分) $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&2&2\\\\ 2&2&2\\\\ 2&2&2\end{array}\right)$. $\displaystyle C(A)$ 为可与 $\displaystyle A$ 交换的实矩阵所构成的集合. (1)、 证明: $\displaystyle C(A)$ 为线性空间 $\displaystyle \mathbb{R}^{3\times 3}$ 的子空间. (2)、 求 $\displaystyle C(A)$ 的基和维数. (山西大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 由
$$\begin{aligned} &B,C\in C(A)\Rightarrow AB=BA, AC=CA\\\\ \Rightarrow& A(kB+lC)=kAB+lAC=kBA+lCA=(kB+lC)A\\\\ \Rightarrow& kB+lC\in C(A) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle C(A)$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}^{3\times 3}$ 的线性子空间. (2)、 设 $\displaystyle \alpha_1=(1,1,1)^\mathrm{T}$, 则 $\displaystyle A\alpha_1=6\alpha_1$. 又由 $\displaystyle A\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1&1\\\\ 0&0&0\\\\ 0&0&0\end{array}\right)$ 知 $\displaystyle Ax=0$ 的基础解系为 $\displaystyle \alpha_2=(-1,1,0)^\mathrm{T}, \alpha_3=(-1,0,1)^\mathrm{T}$. 设
$$\begin{aligned} P=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&-1&-1\\\\ 1&1&0\\\\ 1&0&1\end{array}\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则 $\displaystyle P$ 可逆, 且 $\displaystyle P^{-1}AP=\mathrm{diag}(6,0,0)$. 对 $\displaystyle B\in C(A)$, 设 $\displaystyle \tilde{B}=P^{-1}BP=(\tilde{b}_{ij})$, 则
$$\begin{aligned} &AB=BA\Leftrightarrow P^{-1}AP\cdot P^{-1}BP=P^{-1}BP\cdot P^{-1}AP\\\\ \Leftrightarrow& \tilde{B}\mathrm{diag}(6,0,0)=\mathrm{diag}(6,0,0)\tilde{B} \Leftrightarrow \tilde{B}=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}a&&\\\\ &b&c\\\\ &d&e\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle \dim C(A)=5$, 且 $\displaystyle C(A)$ 有一组基
$$\begin{aligned} PE_{11}P^{-1}, PE_{22}P^{-1}, PE_{23}P^{-1}, PE_{32}P^{-1}, PE_{33}P^{-1}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1457、 8、 (15 分) $\displaystyle \sigma,\tau$ 为 $\displaystyle n$ 维线性空间 $\displaystyle V$ 的线性变换, $\displaystyle \sigma^2=\sigma$. 证明: $\displaystyle \sigma\tau=\tau\sigma$ 的充分必要条件是 $\displaystyle \sigma$ 的值域 $\displaystyle \mathrm{im} \sigma$ 与核 $\displaystyle \ker \sigma$ 是 $\displaystyle \tau$ 的不变子空间. (山西大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle V_0=\left\{\alpha\in V; \sigma\alpha=0\right\}=\ker \sigma$, $\displaystyle V_1=\left\{\alpha\in V; \sigma\alpha=\alpha\right\}=\mathrm{im}\sigma$. (1)、 由
$$\begin{aligned} \alpha\in V&\Rightarrow \alpha=\left[\alpha-\sigma(\alpha)\right]+\sigma(\alpha)\in V_0+V_1,\\\\ \alpha\in V_0\cap V_1&\Rightarrow \sigma(\alpha)=0, \sigma(\alpha)=\alpha\Rightarrow \alpha=0 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle V=V_0\oplus V_1$. (2)、 $\displaystyle \Rightarrow$: 若 $\displaystyle \sigma\tau=\tau\sigma$, 则由
$$\begin{aligned} \alpha\in V_0&\Rightarrow \sigma(\alpha)=0 \Rightarrow \sigma\left(\tau(\alpha)\right) =\tau\left(\sigma(\alpha)\right) =\tau(0)=0\\\\ &\Rightarrow \tau(\alpha)\in V_0,\\\\ \alpha\in V_1&\Rightarrow \sigma(\alpha)=\alpha \Rightarrow \sigma\left(\tau(\alpha)\right) =\tau\left(\sigma(\alpha)\right)=\tau(\alpha)\\\\ &\Rightarrow \tau(\alpha)\in V_1 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle V_0,V_1$ 是 $\displaystyle \tau$ 不变的. (3)、 $\displaystyle \Leftarrow$: 设 $\displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_r$ 是 $\displaystyle V_0$ 的一组基, $\displaystyle \alpha_{r+1},\cdots,\alpha_n$ 是 $\displaystyle V_1$ 的一组基, 则由第 1 步知 $\displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_n$ 是 $\displaystyle V$ 的一组基. 为证 $\displaystyle \sigma\tau=\tau\sigma$, 只需验证它们在一组基下的作用相同. 事实上,
$$\begin{aligned} 1\leq i\leq r&\Rightarrow \tau(\alpha_i)\in V_0\Rightarrow \sigma\left(\tau(\alpha_i)\right) =0=\tau\left(\sigma(\alpha_i)\right),\\\\ r+1\leq i\leq n&\Rightarrow \tau(\alpha_i)\in V_1\Rightarrow \sigma\left(\tau(\alpha_i)\right)=\tau(\alpha_i)=\tau\left(\sigma(\alpha_i)\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1458、 3、 (20 分) 已知向量组 $\displaystyle (I)$ 为
$$\begin{aligned} \beta_1=(0,1,-1)^\mathrm{T}, \beta_2=(s,2,1)^\mathrm{T}, \beta_3=(t,1,0)^\mathrm{T}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
向量组 $\displaystyle (II)$ 为
$$\begin{aligned} \alpha_1=(1,2,-3)^\mathrm{T}, \alpha_2=(3,0,1)^\mathrm{T}, \alpha_3=(9,6,-7)^\mathrm{T}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
向量组 $\displaystyle (I)$ 与 $\displaystyle (II)$ 有相同的秩, 且 $\displaystyle \beta_3$ 可由 $\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性表出, 求 $\displaystyle s,t$ 的值. (陕西师范大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由
$$\begin{aligned} &(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\beta_3)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&3&9&t\\\\ 2&0&6&1\\\\ -3&1&-7&0\end{array}\right)\\\\ \to& \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&3&9&t\\\\ 0&-6&-12&1-2t\\\\ 0&10&20&3t\end{array}\right) \to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&3&9&t\\\\ 0&1&2&\frac{2t-1}{6}\\\\ 0&0&0&\frac{5-t}{3}\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
及题设’$\beta_3$ 可由 $\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性表出‘知 $\displaystyle t=5$. 再者, 上式及题设蕴含
$$\begin{aligned} \mathrm{rank}(\beta_1,\beta_2,\beta_3)=\mathrm{rank}(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由
$$\begin{aligned} (\beta_1,\beta_2,\beta_3)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&s&5\\\\ 1&2&1\\\\ -1&1&0\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&s&5\\\\ 1&2&1\\\\ 0&3&1\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&2&1\\\\ 0&3&1\\\\ 0&s-15&0\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle s=15$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1459、 6、 (25 分) 已知
$$\begin{aligned} &\alpha_1=(1,2,1,-2), \alpha_2=(2,3,1,0), \alpha_3=(1,2,2,-3);\\\\ &\beta_1=(1,1,1,1), \beta_2=(1,0,1,-1), \beta_3=(1,3,0,-4). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(1)、 求 $\displaystyle W_1=L(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$ 的基与维数; (2)、 求 $\displaystyle W_2=L(\beta_1,\beta_2,\beta_3)$ 的基与维数; (3)、 求 $\displaystyle W_1+W_2$ 及 $\displaystyle W_1\cap W_2$ 的基与维数. (陕西师范大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由
$$\begin{aligned} (\alpha_1^\mathrm{T}, \alpha_2^\mathrm{T}, \alpha_3^\mathrm{T})=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&2&1\\\\ 2&3&2\\\\ 1&1&2\\\\ -2&0&-3\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&0\\\\ 0&1&0\\\\ 0&0&1\\\\ 0&0&0\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle W_1$ 有一组基 $\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$, $\displaystyle \dim W_1=3$. 又由
$$\begin{aligned} (\beta_1^\mathrm{T},\beta_2^\mathrm{T},\beta_3^\mathrm{T})=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1&1\\\\ 1&0&3\\\\ 1&1&0\\\\ 1&-1&-4\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&0\\\\ 0&1&0\\\\ 0&0&1\\\\ 0&0&0\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle W_2$ 有一组基 $\displaystyle \beta_1,\beta_2,\beta_3$, $\displaystyle \dim W_2=3$. 再由
$$\begin{aligned} C\equiv (\alpha_1^\mathrm{T}, \alpha_2^\mathrm{T}, \alpha_3^\mathrm{T},\beta_1^\mathrm{T},\beta_2^\mathrm{T},\beta_3^\mathrm{T})=&\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&2&1&1&1&1\\\\ 2&3&2&1&0&3\\\\ 1&1&2&1&1&0\\\\ -2&0&-3&1&-1&-4\end{array}\right)\\\\ \to&\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&0&-2&0&5\\\\ 0&1&0&1&0&-1\\\\ 0&0&1&1&0&-2\\\\ 0&0&0&0&1&0\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\beta_2$ 线性无关, 且 [张祖锦注: 初等行变换不改变列向量组的秩及极大无关组所在的位置, 并且可以一下得到其余向量用极大无关组的表示法, 这是张祖锦独创的, 具体证明见张祖锦编著的《樊启斌参考书》中张祖锦常用的结论]
$$\begin{aligned} \beta_1=-2\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3, \beta_3=5\alpha_1-\alpha_2-2\alpha_3. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\beta_2$ 是 $\displaystyle W_1+W_2$ 的一组基, $\displaystyle \dim(W_1+W_2)=4$. 最后, $\displaystyle Cx=0$ 的基础解系为
$$\begin{aligned} (2,-1,-1,1,0,0)^\mathrm{T}, (-5,1,2,0,0,1)^\mathrm{T}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是
$$\begin{aligned} &\gamma\in W_1\cap W_2\Leftrightarrow \gamma=\sum_i x_i\alpha_i=-\sum_j x_{3+j}\beta_j\\\\ \Leftrightarrow& \gamma=\sum_j x_{3+j}\beta_j, Cx=0 \Leftrightarrow \gamma\in L(\beta_1,\beta_3). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这表明 $\displaystyle \beta_1,\beta_3$ 是 $\displaystyle W_1\cap W_2$ 的一组基, $\displaystyle \dim(W_1\cap W_2)=2$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1460、 7、 (20 分) 设 $\displaystyle A,B$ 都是 $\displaystyle n$ 级实矩阵, 并设 $\displaystyle \lambda$ 为 $\displaystyle BA$ 的非零特征值, 以 $\displaystyle V_\lambda^{BA}$ 表示 $\displaystyle BA$ 关于 $\displaystyle \lambda$ 的特征子空间. 证明: (1)、 $\displaystyle \lambda$ 也是 $\displaystyle AB$ 的特征值; (2)、 $\displaystyle \dim(V_\lambda^{AB})=\dim(V_\lambda^{BA})$. (陕西师范大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 由
$$\begin{aligned} \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E&0\\\\ B&E\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}AB&A\\\\ 0&0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E&0\\\\ -B&E\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&A\\\\ 0&BA\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}AB&A\\\\ 0&0\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&A\\\\ 0&BA\end{array}\right)$. 从而
$$\begin{aligned} &\left|\begin{array}{cccccccccc}\lambda E-AB&-A\\\\ 0&\lambda E\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccccccccc}\lambda E&-A\\\\ 0&\lambda E-BA\end{array}\right|\\\\ \Rightarrow&|\lambda E-AB|\cdot \lambda^n=\lambda^n |\lambda E-BA| \Rightarrow |\lambda E-AB|=|\lambda E-BA|. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是 $\displaystyle |\lambda E-BA|=0\Rightarrow |\lambda E-AB|=0\Rightarrow \lambda$ 是 $\displaystyle AB$ 的特征值. (2)、 由第 1 步知 $\displaystyle \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\lambda E-AB&A\\\\ 0&\lambda E\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\lambda E&-A\\\\ 0&\lambda E-BA\end{array}\right)$. 再由 $\displaystyle \lambda\neq 0$ 知
$$\begin{aligned} &\mathrm{rank}(\lambda E-AB)+n=\mathrm{rank}\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\lambda E-AB&\\\\ &\lambda E\end{array}\right)\\\\ =&\mathrm{rank}\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\lambda E-AB&A\\\\ &\lambda E\end{array}\right) =\mathrm{rank}\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\lambda E&-A\\\\ 0&\lambda E-BA\end{array}\right)\\\\ =&\mathrm{rank}\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\lambda E&\\\\ &\lambda E-BA\end{array}\right)=n+\mathrm{rank}(\lambda E-BA). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是
$$\begin{aligned} \dim(V_\lambda^{AB})=n-\mathrm{rank}(\lambda E-AB)=\mathrm{rank}(\lambda E-BA)=\dim(V_\lambda^{BA}). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1461、 4、 已知 $\displaystyle \gamma_1,\cdots,\gamma_n$ 中无零向量. 证明: $\displaystyle \gamma_1,\cdots,\gamma_n$ 线性相关的充要条件是至少存在 $\displaystyle \gamma_t$ ($2\leq t\leq n$) 被 $\displaystyle \gamma_1,\cdots,\gamma_{t-1},\gamma_{t+1},\cdots,\gamma_n$ 线性表示. (上海财经大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 $\displaystyle \Leftarrow$: 若存在 $\displaystyle \gamma_t$ ($2\leq t\leq n$) 被 $\displaystyle \gamma_1,\cdots,\gamma_{t-1},\gamma_{t+1},\cdots,\gamma_n$ 线性表示, 则
$$\begin{aligned} &\gamma_t=x_1\gamma_1+\cdots+x_{t-1}\gamma_{t-1}+x_{t+1}\gamma_{t+1}+\cdots+x_n\gamma_n\\\\ \Rightarrow&x_1\gamma_1+\cdots+x_{t-1}\gamma_{t-1}+1\gamma_t+x_{t+1}\gamma_{t+1}+\cdots+x_n\gamma_n=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这就证明了 $\displaystyle \gamma_1,\cdots,\gamma_n$ 线性相关. (2)、 $\displaystyle \Rightarrow$: 由 $\displaystyle \gamma_1,\cdots,\gamma_n$ 线性相关知存在不全为 $\displaystyle 0$ 的数 $\displaystyle x_i$, 使得
$$\begin{aligned} x_1\gamma_1+\cdots+x_n\gamma_n=0.\qquad(I) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由
$$\begin{aligned} x_2=\cdots=x_n=0&\left\{\begin{array}{llllllllllll}\stackrel{(I)}{\Rightarrow} x_1\gamma_1=0\\\\ \stackrel{x_i\mbox{不全为 $\displaystyle 0$}}{\Rightarrow}x_1\neq 0\end{array}\right.\\\\ &\ \Rightarrow\gamma_1=0,\mbox{与题设矛盾} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle x_2,\cdots,x_n$ 不全为 $\displaystyle 0$. 不妨设 $\displaystyle x_t\neq 0, 2\leq t\leq n$, 则
$$\begin{aligned} \gamma_t=-\frac{x_1}{x_t}\gamma_1-\cdots-\frac{x_{t-1}}{x_t}\gamma_{t-1} -\frac{x_{t+1}}{x_t}\gamma_{t+1}-\cdots-\frac{x_n}{x_t}\gamma_n. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1462、 9、 设 $\displaystyle V$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{P}$ 上的 $\displaystyle n$ 维线性空间, $\displaystyle \varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n$ 是 $\displaystyle V$ 的一组基. 再设
$$\begin{aligned} V_1=&\left\{k(\varepsilon_1+\cdots+\varepsilon_n); k\in\mathbb{P}\right\},\\\\ V_2=&\left\{\sum_{i=1}^n k_i\varepsilon_i; \sum_{i=1}^n k_i=0\right\}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
证明: (1)、 $\displaystyle V_1,V_2$ 都是 $\displaystyle V$ 的子空间; (2)、 $\displaystyle V=V_1\oplus V_2$; (3)、 令 $\displaystyle V$ 上的线性变换 $\displaystyle \sigma$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n$ 下的矩阵为置换矩阵 $\displaystyle P$, 即 $\displaystyle P$ 的每一行每一列只有一个元素为 $\displaystyle 1$, 其余元素为 $\displaystyle 0$. 证明: $\displaystyle V_1,V_2$ 都是 $\displaystyle \sigma$ 的不变子空间. (上海财经大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 $\displaystyle V_1=L(\varepsilon_1+\cdots+\varepsilon_n)$, 而是 $\displaystyle V$ 的子空间. 由
$$\begin{aligned} &\sum_{i=1}^n k_i\alpha_i\in V_2, \sum_{i=1}^n l_i\alpha_i\in V_2, \sum_{i=1}^n k_i=\sum_{i=1}^n l_i=0\\\\ \Rightarrow&\sum_{i=1}^n (kk_i+ll_i) =k\sum_{i=1}^n k_i+l\sum_{i=1}^n l_i=k0+l0=0\\\\ \Rightarrow&k\left(\sum_{i=1}^n k_i\alpha_i\right) +l\left(\sum_{i=1}^n l_i\alpha_i\right) =\sum_{i=1}^n (kk_i+ll_i)\alpha_i \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
即知 $\displaystyle V_2$ 是 $\displaystyle V$ 的子空间. (2)、 由
$$\begin{aligned} &V\ni \alpha=\sum_{i=1}^n k_i\alpha_i =\frac{\sum_{j=1}^n k_j}{n}\sum_{i=1}^n \alpha_i+\sum_{i=1}^n \left(k_i-\frac{\sum_{j=1}^n k_j}{n}\right)\alpha_i \in V_1+V_2,\\\\ &\alpha\in V_1\cap V_2 \Rightarrow \alpha=k\sum_{i=1}^n \alpha_i =\sum_{i=1}^n k_i\alpha_i, \sum_{i=1}^n k_i=0\\\\ &\Rightarrow \sum_{i=1}^n (k-k_i)\alpha_i=0 \Rightarrow k-k_i=0\Rightarrow 0=\sum_{i=1}^n k_i=nk\\\\ &\Rightarrow k=0\Rightarrow \alpha=0 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
即知 $\displaystyle V=V_1\oplus V_2$. (3)、 由题设, 存在 $\displaystyle n$ 阶排列 $\displaystyle i_1\cdots i_n$ 使得
$$\begin{aligned} \sigma(\alpha_j)=\alpha_{i_j}, 1\leq j\leq n. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
从而
$$\begin{aligned} &\sigma(\alpha_1+\cdots+\alpha_n)=\sigma(\alpha_1)+\cdots+\sigma(\alpha_n)\\\\ =&\alpha_{i_1}+\cdots+\alpha_{i_n}=\alpha_1+\cdots+\alpha_n\in V_1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle V_1$ 是 $\displaystyle \sigma$ 的不变子空间. 再者, 对 $\displaystyle \sum_{j=1}^n k_j=0$,
$$\begin{aligned} \sigma\left(\sum_{j=1}^n k_j\alpha_j\right) =\sum_{j=1}^n k_j\sigma(\alpha_j) =\sum_{j=1}^n k_j\alpha_{i_j} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
还是 $\displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_n$ 的线性组合, 且组合系数的和还是 $\displaystyle 0$. 故 $\displaystyle \sigma\left(\sum_{j=1}^n k_j\alpha_j\right)\in V_2$. 这就证明了 $\displaystyle V_2$ 也是 $\displaystyle \sigma$ 的不变子空间.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1463、 (6)、 (20 分) 设 $\displaystyle \sigma$ 是有限维线性空间 $\displaystyle W$ 上的线性变换, 记 $\displaystyle \det\sigma$ 在 $\displaystyle W$ 的任意一组基下矩阵的行列式. 现设 $\displaystyle V$ 是 $\displaystyle n$ 维复线性空间, $\displaystyle \mathscr{A}$ 是 $\displaystyle V$ 上的线性变换, 把数域从复数域缩小到实数域, 则 $\displaystyle V$ 称为实数域上 $\displaystyle 2n$ 维实线性空间, 记为 $\displaystyle V_0$. 这是 $\displaystyle \mathscr{A}$ 可看成 $\displaystyle V_0$ 上的实线性变换, 记为 $\displaystyle \mathscr{A}_0$. (6-1)、 若 $\displaystyle e_1,\cdots,e_n$ 为 $\displaystyle V$ 的一组基, 证明:
$$\begin{aligned} e_1,\cdots,e_n, \mathrm{ i} e_1,\cdots,\mathrm{ i} e_n \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
为 $\displaystyle V_0$ 的一组基, 其中 $\displaystyle \mathrm{ i}$ 为虚数单位; (6-2)、 若 $\displaystyle \mathscr{A}$ 在基 $\displaystyle e_1,\cdots,e_n$ 下的矩阵为 $\displaystyle A$, 求 $\displaystyle \mathscr{A}_0$ 在基
$$\begin{aligned} e_1,\cdots,e_n, \mathrm{ i} e_1,\cdots,\mathrm{ i} e_n \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
下的矩阵; (6-3)、 求 $\displaystyle \det \mathscr{A}$ 与 $\displaystyle \det \mathscr{A}_0$ 的关系. (上海大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 由
$$\begin{aligned} &\sum_{i=1}^n x_ie_i+\sum_{i=1}^n y_i\mathrm{ i} e_i=0, x_i,y_i\in\mathbb{R}\\\\ \Rightarrow&\sum_{i=1}^n (x_i+\mathrm{ i} y_i)e_i=0\\\\ \Rightarrow& x_i+\mathrm{ i} y_i=0, 1\leq i\leq n\Rightarrow x_i=y_i=0, 1\leq i\leq n \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle e_1,\cdots,e_n, \mathrm{ i} e_1,\cdots,\mathrm{ i} e_n$ 线性无关. 又由
$$\begin{aligned} \alpha\in V&\Rightarrow \alpha =\sum_{i=1}^n z_ie_i\left(z_i=x_i+\mathrm{ i} y_i\in\mathbb{C}, x_i,y_i\in\mathbb{C}\right)\\\\ &\Rightarrow \alpha=\sum_{i=1}^n x_ie_i+\sum_{i=1}^n y_i\mathrm{ i} e_i \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle e_1,\cdots,e_n, \mathrm{ i} e_1,\cdots,\mathrm{ i} e_n$ 确为 $\displaystyle V_0$ 的一组基. (2)、 设 $\displaystyle A=(a_{ij}), a_{ij}=b_{ij}+\mathrm{ i} c_{ij}, b_{ij},c_{ij}\in\mathbb{R}, B=(b_{ij}), C=(c_{ij})$, 则
$$\begin{aligned} &\mathscr{A}(e_1,\cdots,e_n)=(e_1,\cdots,e_n)A=(e_1,\cdots,e_n)(B+\mathrm{ i} C)\\\\ =&(e_1,\cdots,e_n)B+(\mathrm{ i} e_1,\cdots,\mathrm{ i} e_n)C. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
进而
$$\begin{aligned} &\mathscr{A}(\mathrm{ i} e_1,\cdots,\mathrm{ i} e_n)=\mathrm{ i}\left[\mathscr{A}(e_1,\cdots,e_n)\right]\\\\ =&(e_1,\cdots,e_n)(-C)+(\mathrm{ i} e_1,\cdots,\mathrm{ i} e_n)B. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故
$$\begin{aligned} &\mathscr{A}(e_1,\cdots,e_n, \mathrm{ i} e_1,\cdots,\mathrm{ i} e_n)\\\\ =&(e_1,\cdots,e_n, \mathrm{ i} e_1,\cdots,\mathrm{ i} e_n)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}B&-C\\\\ C&B\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
所求矩阵即为 $\displaystyle \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\mathrm{ Re} A&-\mathrm{ Im} A\\\\ \mathrm{ Im} A&\mathrm{ Re} A\end{array}\right)$. (3)、 我们给出一个常用的行列式计算公式. 设 $\displaystyle A,B,C,D$ 为同级方阵且 $\displaystyle AC=CA$, 则
$$\begin{aligned} \left|\begin{array}{cccccccccc}A&B\\\\ C&D\end{array}\right|=|AD-CB|. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
事实上, (3-1)、 若 $\displaystyle A$ 可逆, 则由
$$\begin{aligned} \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc} E&0\\\\ -CA^{-1}&E\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc} A&B\\\\ C&D\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc} E&-A^{-1}B\\\\ 0&E\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc} A&0\\\\ 0&D-CA^{-1}B\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知
$$\begin{aligned} \left|\begin{array}{cccccccccc} A&B\\\\ C&D\end{array}\right|&=|A|\cdot |D-CA^{-1}B|\\\\ &=|A|\cdot |D-A^{-1}CB|\left(AC=CA\Rightarrow CA^{-1}=A^{-1}C\right)\\\\ &=|A(D-A^{-1}CB|\left(|AB|=|A|\cdot |B|\right)\\\\ &=|AD-CB|. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(3-2)、 若 $\displaystyle A$ 奇异, 则关于 $\displaystyle \lambda$ 的多项式 $\displaystyle |\lambda E+A|=0$ 至多有 $\displaystyle n$ 个复根 $\displaystyle \lambda_1,\cdots,\lambda_n$. 而
$$\begin{aligned} &\forall\ \lambda\not\in \left\{\lambda_1,\cdots,\lambda_n\right\}, |\lambda E+A|\neq 0\\\\ \Rightarrow&\tilde{A}=\lambda E+A\mbox{可逆, 满足}\tilde{A} C=C\tilde{A}\\\\ \Rightarrow&\left|\begin{array}{cccccccccc} \tilde{A}&B\\\\ C&D\end{array}\right|=|\tilde{A} D-CB|\left(\mbox{由 (1)}\right)\\\\ \Rightarrow& \left|\begin{array}{cccccccccc} \lambda E+A&B\\\\ C&D\end{array}\right|=|(\lambda E+A)D-CB|. \qquad(210226: eq)\tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
设 $\displaystyle f(\lambda)\equiv \left|\begin{array}{cccccccccc} \lambda E+A&B\\\\ C&D\end{array}\right|-|(\lambda E+A)D-CB|$. 若 $\displaystyle f(\lambda)\not\equiv 0$, 则 $\displaystyle f(\lambda)$ 是次数 $\displaystyle \leq n$ 的多项式, 至多有 $\displaystyle n$ 个复根. 这与 (210226: eq) 矛盾. 故
$$\begin{aligned} &f(\lambda)\equiv 0, \forall\ \lambda\in\mathbb{C}\\\\ \Rightarrow&f(0)=0\Rightarrow \left|\begin{array}{cccccccccc}A&B\\\\ C&D\end{array}\right|=|AD-CB|. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
回到题目. 由
$$\begin{aligned} \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\mathrm{ Re} A&-\mathrm{ Im} A\\\\ \mathrm{ Im} A&\mathrm{ Re} A\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\mathrm{ Re} A+\mathrm{ i} \mathrm{ Im} A&-\mathrm{ Im} A\\\\ \mathrm{ Im} A-\mathrm{ i} \mathrm{ Re} A&\mathrm{ Re} A\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A&-\mathrm{ Im} A\\\\ -\mathrm{ i} A&\mathrm{ Re} A\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知
$$\begin{aligned} \det \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\mathrm{ Re} A&-\mathrm{ Im} A\\\\ \mathrm{ Im} A&\mathrm{ Re} A\end{array}\right)&=\det\left[A\cdot \mathrm{ Re} A-(-\mathrm{ i} A)(-\mathrm{ Im} A)\right]\\\\ &=\det\left[A\cdot(\mathrm{ Re} A-\mathrm{ i} \mathrm{ Im} A)\right]\\\\ &=\det(A\cdot \bar{A}) =\det A\cdot \overline{\det A}=|\det A|^2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这就证明了 $\displaystyle \det \mathscr{A}_0=|\det \mathscr{A}|^2$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1464、 8、 (20 分)设 $\displaystyle U,V,W$ 是域 $\displaystyle \mathbb{F}$ 上的有限维向量空间, 设 $\displaystyle \alpha: U\to V, \beta: V\to W$ 是线性映射, 且满足下列条件: (1)、 $\displaystyle \beta\alpha=\mathscr{O}$; (2)、 对任意向量空间 $\displaystyle X$ 与线性映射 $\displaystyle f: V\to X$, 若 $\displaystyle f\alpha=\mathscr{O}$, 则存在唯一的线性映射 $\displaystyle \mu: W\to X$, 使得 $\displaystyle f=\mu\beta$. 证明: (1)、 $\displaystyle \beta$ 是满映射; (2)、 $\displaystyle W\cong V/\mathrm{im} \alpha$. (上海交通大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 用反证法. 若 $\displaystyle \beta$ 不是满射, 则 $\displaystyle \dim \mathrm{im}\beta=r < n=\dim W$. 取定 $\displaystyle \mathrm{im}\beta$ 的一组基 $\displaystyle \eta_1,\cdots,\eta_r$, 将其扩充为 $\displaystyle W$ 的一组基 $\displaystyle \eta_1,\cdots,\eta_r,\eta_{r+1},\cdots,\eta_n$. 对题中条件 2 的 $\displaystyle X,f,\mu$, 我们可定义线性映射 $\displaystyle \mu_1: W\to X$ 使得
$$\begin{aligned} \mu_1(\eta_i)=\left\{\begin{array}{llllllllllll}\mu(\eta_i),&1\leq r,\\\\ 0,&r+1\leq i\leq n.\end{array}\right. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
它也满足
$$\begin{aligned} \forall\ \alpha\in W, \mu_1\beta(\alpha)=\mu_1\left(\sum_{i=1}^r x_i\eta_i\right) =\mu\left(\sum_{i=1}^r x_i\eta_i\right)=\mu\beta(\alpha). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
与题中的’唯一性‘矛盾. 故有结论. (2)、 由 $\displaystyle \beta\alpha=\mathscr{O}$ 知 $\displaystyle \mathrm{im}\alpha\subset \ker \beta$. 往用反证法证明 $\displaystyle \mathrm{im}\alpha=\ker \beta$, 而
$$\begin{aligned} &\dim W\overset{\tiny\mbox{第1步}}{=} \dim \mathrm{im}\beta=\dim V-\dim \ker \beta\\\\ &=\dim V-\dim \mathrm{im} \alpha=\dim(V/\mathrm{im} \alpha)\\\\ \Rightarrow& W\cong V/\mathrm{im} \alpha. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
若不然, $\displaystyle \dim \mathrm{im} \alpha=s < \dim \ker \beta=t$. 设 $\displaystyle \varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_s$ 是 $\displaystyle \mathrm{im}\alpha$ 的一组基, 将其扩充为 $\displaystyle \ker \beta$ 的一组基 $\displaystyle \varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_s, \varepsilon_{s+1},\cdots,\varepsilon_t$, 再将其扩充为 $\displaystyle V$ 的一组基 $\displaystyle \varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_s, \varepsilon_{s+1},\cdots,\varepsilon_t, \eta_1,\cdots,\eta_r$. 取 $\displaystyle X=L(\varepsilon_t), f: V\to W$ 满足
$$\begin{aligned} f(\varepsilon_i)=0, 1\leq i\leq s; f(\varepsilon_i)=\varepsilon_t, s+1\leq i\leq t; f(\eta_i)=0, 1\leq i\leq r, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则 $\displaystyle s+1\leq i\leq t\Rightarrow f(\varepsilon_i)=\varepsilon_t, \beta(\varepsilon_i)=0$, 从而对 $\displaystyle \forall\ \mu: W\to X$, $\displaystyle f(\varepsilon_i)=\varepsilon_t\neq 0=\mu\beta(\varepsilon_i)$. 这表明满足题中条件 2 的 $\displaystyle \mu$ 根本找不到, 矛盾. 故有结论.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1465、 3、 设 $\displaystyle p_1(x),\cdots,p_s(x)$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}[x]$ 中的非零多项式, 其次数各不相同, 分别为 $\displaystyle n_1,\cdots,n_s$. 证明: $\displaystyle p_1(x),\cdots, p_s(x)$ 在实数域上线性无关. (首都师范大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 不妨设 $\displaystyle n_1 < \cdots < n_s$, $\displaystyle p_i(x)$ 的最高次项系数为 $\displaystyle a_i$. 再设
$$\begin{aligned} c_1p_1(x)+\cdots+c_sp_s(x)=0.\qquad(I) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
若 $\displaystyle c_s\neq 0$, 则由
$$\begin{aligned} \deg\left(c_1p_1(x)+\cdots+c_{s-1}p_{s-1}(x)\right)\leq n_{s-1} < n_s \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle (I)$ 的左端是 $\displaystyle n_s$ 次多项式, 不等于 $\displaystyle 0$. 这与 $\displaystyle (I)$ 矛盾. 故 $\displaystyle c_s=0$. 同理可不断推得 $\displaystyle c_{s-1}=0, \cdots,c_1=0$. 故有结论.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1466、 7、 设 $\displaystyle V$ 是一个 $\displaystyle n$ 维实线性空间, $\displaystyle \mathscr{A}: V\to V$ 为一个线性变换, $\displaystyle \mathscr{A}$ 的特征多项式为 $\displaystyle (x-p)^k(x-q)^{n-k}$, 其中 $\displaystyle p,q$ 是互异实数, $\displaystyle 0 < k < n$. 令
$$\begin{aligned} V_1=&\left\{\alpha\in V; (\mathscr{A}-p\mathscr{I})^k\alpha=0\right\},\\\\ V_2=&\left\{\alpha\in V; (\mathscr{A}-q\mathscr{I})^{n-k}\alpha=0\right\}, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
其中 $\displaystyle \mathscr{I}$ 是恒等变换. 证明: $\displaystyle V=V_1\oplus V_2$. (首都师范大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 先给出一般结果. 设 $\displaystyle \mathscr{A}$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上的 $\displaystyle n$ 维线性空间 $\displaystyle V$ 的线性变换, $\displaystyle f(\lambda)$ 是 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的特征多项式, 并且 $\displaystyle f(x)=f_1(x)f_2(x)$, $\displaystyle \left(f_1(x),f_2(x)\right)=1$, 则
$$\begin{aligned} V\xlongequal[\tiny\mbox{Cayley}]{\tiny\mbox{Hamilton-}} \ker f(\mathscr{A})=\ker f_1(\mathscr{A})\oplus \ker f_2(\mathscr{A}). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由 $\displaystyle (f_1,f_2)=1$ 知
$$\begin{aligned} \exists\ u_1,u_2\in\mathbb{K}[x],\mathrm{ s.t.} u_1f_1+u_2f_2=1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由
$$\begin{aligned} \alpha\in \ker f(\mathscr{A} )&\Rightarrow f(\mathscr{A} )\alpha=0\\\\ &\Rightarrow \alpha=f_2(\mathscr{A} )u_2(\mathscr{A} )\alpha +f_1(\mathscr{A} )u_1(\mathscr{A} )\alpha\\\\ &\quad \ \in \ker f_1(\mathscr{A} )+\ker f_2(\mathscr{A} ),\\\\ \alpha\in\ker f_1(\mathscr{A} )\cap \ker f_2(\mathscr{A} )&\Rightarrow f_1(\mathscr{A} )\alpha=f_2(\mathscr{A} )\alpha=0\\\\ &\Rightarrow \alpha=u_1(\mathscr{A} )f_1(\mathscr{A} )\alpha +u_2(\mathscr{A} )f_2(\mathscr{A} )\alpha=0 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知
$$\begin{aligned} V\xlongequal[\tiny\mbox{Cayley}]{\tiny\mbox{Hamilton-}}\ker f(\mathscr{A} )=\ker f_1(\mathscr{A} )\oplus \ker f_2(\mathscr{A} ). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2)、 回到题目. 取 $\displaystyle f_1(x)=(x-p)^k, f_2(x)=(x-q)^{n-k}$, 则由第 1 步即知结论成立.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1467、 4、 $\displaystyle V$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{F}$ 上的 $\displaystyle n$ 维线性空间. (1)、 叙述并证明两个子空间的和的维数公式; (2)、 任意取定 $\displaystyle 0\neq\alpha\in V$, 设
$$\begin{aligned} W=\left\{\beta\in V; \mbox{存在 $\displaystyle V$ 上的线性变换 $\displaystyle \mathscr{T}$ 使得 $\displaystyle \mathscr{T}\alpha=\beta$}\right\}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
证明: $\displaystyle W=V$. (四川大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 设 $\displaystyle V_1,V_2$ 为某个线性空间 $\displaystyle V$ 的两个有限维线性空间, 则
$$\begin{aligned} \dim V_1+\dim V_2=\dim(V_1+V_2)+\dim(V_1\cap V_2). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
事实上, 设 $\displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_r$ 是 $\displaystyle V_1\cap V_2$ 的一组基, 将其扩充为 $\displaystyle V_1$ 的一组基
$$\begin{aligned} \alpha_1,\cdots,\alpha_r,\beta_1,\cdots,\beta_{m-r}, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
也将其扩充为 $\displaystyle V_2$ 的一组基
$$\begin{aligned} \alpha_1,\cdots,\alpha_r,\gamma_1,\cdots,\gamma_{n-r}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由
$$\begin{aligned} &\sum_i x_i\alpha_i+\sum_j y_j\beta_j+\sum_k z_k\gamma_k=0\\\\ \Rightarrow&V_1\ni \sum_i x_i\alpha_i+\sum_j y_j\beta_j=-\sum_k z_k\gamma_k\in V_2\\\\ \Rightarrow&-\sum_k z_k\gamma_k\in V_1\cap V_2 \Rightarrow \exists\ k_i,\mathrm{ s.t.} -\sum_k z_k\gamma_k=\sum_i k_i\alpha_i\\\\ \Rightarrow&\sum_i k_i\alpha_i+\sum_k z_k\gamma_k=0\Rightarrow k_i=0, z_k=0\\\\ \Rightarrow&\sum_i x_i\alpha_i+\sum_j y_j\beta_j=0\Rightarrow x_i=0, y_j=0 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_r, \beta_1,\cdots,\beta_{m-r}, \gamma_1,\cdots,\gamma_{n-r}$ 线性无关, 是 $\displaystyle V_1+V_2$ 的一组基. 于是
$$\begin{aligned} \dim(V_1+V_2)+\dim(V_1\cap V_2)=&\left[r+(m-r)+(n-r)\right]+r\\\\ &=m+n=\dim V_1+\dim V_2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2)、 将 $\displaystyle \alpha_1=\alpha$ 扩充为 $\displaystyle V$ 的一组基 $\displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_n$, 对 $\displaystyle \forall\ \beta\in V$, 取 $\displaystyle V$ 上的线性变换 $\displaystyle \mathscr{T}$ 使得
$$\begin{aligned} \mathscr{T}\alpha_1=\beta, \mathscr{T}\alpha_i=0\left(2\leq i\leq n\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则 $\displaystyle \beta=\mathscr{T}\alpha_1=\mathscr{T}\alpha\in W$. 这就证明了 $\displaystyle V\subset W$. 按定义, $\displaystyle W\subset V$. 故 $\displaystyle W=V$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1468、 5、 设 $\displaystyle \mathbb{F}$ 为数域, $\displaystyle C(M)$ 表示数域 $\displaystyle \mathbb{F}$ 上所有与数域 $\displaystyle \mathbb{F}$ 上的方阵 $\displaystyle M$ 可交换的矩阵组成的集合. 设
$$\begin{aligned} f(x)=(x-1)^2(x+2)^2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(1)、 证明: $\displaystyle C(M)$ 关于矩阵加法和数乘是 $\displaystyle \mathbb{F}$ 上的一个线性空间; (2)、 以 $\displaystyle f(x)$ 为特征多项式的 $\displaystyle \mathbb{F}$ 上的所有矩阵在相似意义下可以分几类? 并针对每一类写出一个具体的方阵. (3)、 设 $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle \mathbb{F}$ 上的方阵, 且特征多项式为 $\displaystyle f(x)$, 求 $\displaystyle \dim C(A)$; (4)、 设 $\displaystyle B$ 是 $\displaystyle \mathbb{F}$ 上的 $\displaystyle 3$ 阶方阵且满足 $\displaystyle f(B)=0$, 求 $\displaystyle \dim C(B)$. (四川大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 由
$$\begin{aligned} &B,C\in C(M)\Rightarrow MB=BM, MC=CM\\\\ \Rightarrow& M(kB+lC)=kMB+lMC=kBM+lCM=(kB+lC)M\\\\ \Rightarrow& kB+lC\in C(M) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle C(M)$ 是复线性空间 $\displaystyle M_n(\mathbb{C})$ 的线性子空间. (2)、 $\displaystyle 4$ 类. 它们的 Jordan 标准形 $\displaystyle J$ 只有以下四种:
$$\begin{aligned} &J_1=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&&&\\\\ &1&&\\\\ &&-2&\\\\ &&&-2\end{array}\right), J_2=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1&&\\\\ &1&&\\\\ &&-2&\\\\ &&&-2\end{array}\right),\\\\ &J_3=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&&&\\\\ &1&&\\\\ &&-2&1\\\\ &&&-2\end{array}\right), J_4=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1&&\\\\ &1&&\\\\ &&-2&1\\\\ &&&-2\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(3)、 由于与 $\displaystyle A$ 可交换的矩阵全体与 $\displaystyle J$ 可交换的矩阵全体线性同构, 我们知
$$\begin{aligned} \dim C(A)=\dim C(M)=\left\{\begin{array}{llllllllllll}4+4=8,&J=J_1,\\\\ 2+4=6,&J=J_2,\\\\ 4+2=6,&J=J_3,\\\\ 2+2=4,&J=J_4.\end{array}\right. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(4)、 设 $\displaystyle \left\{\lambda,\mu\right\}=\left\{1,-2\right\}$, 则 $\displaystyle B$ 的 Jordan 标准形 $\displaystyle J$ 可能为
$$\begin{aligned} &J_1=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\lambda&&\\\\ &\lambda&\\\\ &&\mu\end{array}\right)\Rightarrow \dim C(B)=4+1=5,\\\\ &J_2=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\lambda&1&\\\\ &\lambda&\\\\ &&\mu\end{array}\right)\Rightarrow \dim C(B)=2+1=3. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1469、 3、 设
$$\begin{aligned} A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&-2&1&-1&1\\\\ 2&1&-1&2&-3\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}3&-2&-1&1&-2\\\\ 2&-5&1&-2&2\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(1)、 再设
$$\begin{aligned} V=\left\{x\in\mathbb{P}^5; Ax=0\right\}, W=\left\{x\in\mathbb{P}^5; Bx=0\right\}, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
求 $\displaystyle V\cap W$ 的一组基; (2)、 证明
$$\begin{aligned} V=\left\{y\in\mathbb{P}^4; y=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A\\\\B\end{array}\right)x, x\in\mathbb{P}^5\right\} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
是 $\displaystyle \mathbb{P}^4$ 的一组基, 求 $\displaystyle V$ 的一组基与维数. (太原理工大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 由
$$\begin{aligned} \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A\\\\B\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&0&\frac{1}{2}&-\frac{7}{8}\\\\ 0&1&0&\frac{1}{2}&-\frac{5}{8}\\\\ 0&0&1&-\frac{1}{2}&\frac{5}{8}\\\\ 0&0&0&0&0\end{array}\right)\qquad(I) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知取 $\displaystyle x_4,x_5$ 为自由变量后, $\displaystyle \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A\\\\B\end{array}\right)x=0$ 的基础解系为
$$\begin{aligned} \eta_1=(-1,-1,1,2,0)^\mathrm{T}, \eta_2=(7,5,-5,0,8)^\mathrm{T}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
再由
$$\begin{aligned} x\in V\cap W&\Leftrightarrow Ax=0, Bx=0\Leftrightarrow \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A\\\\B\end{array}\right)x=0 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle \eta_1,\eta_2$ 就是 $\displaystyle V\cap W$ 的一组基. (2)、 $\displaystyle V=\mathrm{im} \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A\\\\B\end{array}\right)$ 是 $\displaystyle \mathbb{P}^4$ 的线性子空间. 由 $\displaystyle (I$) 知 $\displaystyle \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A\\\\B\end{array}\right)$ 的前三列
$$\begin{aligned} \xi_1=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1\\\\2\\\\3\\\\2\end{array}\right), \xi_2=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-2\\\\1\\\\-2\\\\-5\end{array}\right), \xi_3= \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1\\\\-1\\\\1\\\\-2\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
就是 $\displaystyle V=\mathrm{im} \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A\\\\B\end{array}\right)$ 的一组基, $\displaystyle \dim V=3$, 且 $\displaystyle \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A\\\\B\end{array}\right)$ 的后两列可由 $\displaystyle \xi_1,\xi_2,\xi_3$ 线性表示为 [张祖锦注: 初等行变换不改变列向量组的秩及极大无关组所在的位置, 并且可以一下得到其余向量用极大无关组的表示法, 这是张祖锦独创的, 具体证明见张祖锦编著的《樊启斌参考书》中张祖锦常用的结论]
$$\begin{aligned} \frac{1}{2}(\xi_1+\xi_2-\xi_3), \frac{1}{8}(-7\xi_1-5\xi_2+5\xi_3). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1470、 4、 设 $\displaystyle A\in\mathbb{P}^{n\times n}$, $\displaystyle E$ 为 $\displaystyle n$ 阶单位矩阵,
$$\begin{aligned} V_1=\left\{x\in\mathbb{P}^n; (A-E)x=0\right\}, V_2=\left\{x\in \mathbb{P}^n; (A+E)x=0\right\}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
证明: (1)、 $\displaystyle A^2=E\Leftrightarrow \mathrm{rank}(A+E)+\mathrm{rank}(A-E)=n$; (2)、 $\displaystyle \mathbb{P}^n=V_1\oplus V_2\Leftrightarrow A^2=E$. (太原理工大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 由
$$\begin{aligned} &\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A+E&0\\\\ 0&A-E\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A+E&A-E\\\\ 0&A-E\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2E&A-E\\\\ E-A&A-E\end{array}\right)\\\\ \to&\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2E&0\\\\ E-A&(A-E)+\frac{1}{2}(E-A)(E-A)\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E&0\\\\ 0&A^2-E\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知
$$\begin{aligned} \mathrm{rank}(A+E)+\mathrm{rank}(A-E)=&\mathrm{rank}(E_n)+\mathrm{rank}(A^2-E)\\\\ =&n+\mathrm{rank}(A^2-E). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故
$$\begin{aligned} A^2=E\Leftrightarrow \mathrm{rank}(A^2-E)=0\Leftrightarrow \mathrm{rank}(A+E)+\mathrm{rank}(A-E)=n. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2)、 (2-1)、 $\displaystyle \Leftarrow$: 由
$$\begin{aligned} x\in V_1\cap V_2\Rightarrow x=Ax=-x\Rightarrow x=0 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle V_1\cap V_2=\left\{0\right\}$. 又由
$$\begin{aligned} &\dim(V_1+V_2) =\dim V_1+\dim V_2-\dim(V_1\cap V_2)\\\\ =&\left[n-\mathrm{rank}(A-E)\right]+\left[n-\mathrm{rank}(A+E)\right]\overset{\tiny\mbox{第1步}}{=} 2n-n=n \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle V_1+V_2=\mathbb{P}^n$. 联合 $\displaystyle V_1\cap V_2=\left\{0\right\}$ 知 $\displaystyle \mathbb{P}^n=V_1\oplus V_2$. (2-2)、 $\displaystyle \Rightarrow$: 由 $\displaystyle \mathbb{P}^n=V_1\oplus V_2$ 知
$$\begin{aligned} n=\dim V_1+\dim V_2=\left[n-\mathrm{rank}(A-E)\right]+\left[n-\mathrm{rank}(A+E)\right]. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle \mathrm{rank}(A+E)+\mathrm{rank}(A-E)=n$. 由第 1 步即知 $\displaystyle A^2=E$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1471、 5、 设 $\displaystyle V$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{P}$ 上的 $\displaystyle 4$ 维线性空间, $\displaystyle \varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3,\varepsilon_4$ 是 $\displaystyle V$ 的一组基, $\displaystyle V$ 上的线性变换 $\displaystyle \mathscr{A}$ 满足
$$\begin{aligned} \mathscr{A}(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3,\varepsilon_4)=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3,\varepsilon_4)A, A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&-1&-1&2\\\\ 0&1&0&0\\\\ 2&-3&1&-1\\\\ 1&4&-2&-1\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(1)、 证明: $\displaystyle L(\varepsilon_1,\varepsilon_3,\varepsilon_4)$ 为 $\displaystyle \mathscr{A}$ 子空间; (2)、 设 $\displaystyle W$ 是包含 $\displaystyle \varepsilon_1$ 的 $\displaystyle \mathscr{A}$ 子空间, 证明: $\displaystyle L(\varepsilon_1,\varepsilon_3,\varepsilon_4)\subset W$. (太原理工大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 由题设,
$$\begin{aligned} \mathscr{A}\varepsilon_1=\varepsilon_1+2\varepsilon_3+\varepsilon_4, \mathscr{A}\varepsilon_3=-\varepsilon_1+\varepsilon_3-2\varepsilon_4, \mathscr{A}\varepsilon_4=2\varepsilon_1-\varepsilon_3-\varepsilon_4 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle L(\varepsilon_1,\varepsilon_3,\varepsilon_4)$ 为 $\displaystyle \mathscr{A}$ 子空间. (2)、 由
$$\begin{aligned} A^2=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&9&-6&1\\\\ 0&1&0&0\\\\ 3&-12&1&4\\\\ -4&5&-1&5\end{array}\right), A^3=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-10&30&-9&7\\\\ 0&1&0&0\\\\ 9&-2&-10&1\\\\ -1&32&-7&-12\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
及题设知
$$\begin{aligned} \mathscr{A}\varepsilon_1=\varepsilon_1+2\varepsilon_3+\varepsilon_4, \mathscr{A}^2\varepsilon_1=\varepsilon_1+3\varepsilon_3-4\varepsilon_4, \mathscr{A}^3\varepsilon_1=-10\varepsilon_1+9\varepsilon_3-\varepsilon_4. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
此即
$$\begin{aligned} &(\mathscr{A}\varepsilon_1,\mathscr{A}^2\varepsilon_1,\mathscr{A}^3\varepsilon_1)=(\varepsilon_1,\varepsilon_3,\varepsilon_4)B, B=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1&-10\\\\ 2&3&9\\\\ 1&-4&-1\end{array}\right), |B|=154,\\\\ \Rightarrow&(\varepsilon_1,\varepsilon_3,\varepsilon_4)=(\mathscr{A}\varepsilon_1,\mathscr{A}^2\varepsilon_1,\mathscr{A}^3\varepsilon_1)B^{-1}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这表明 $\displaystyle \varepsilon_1,\varepsilon_3,\varepsilon_4$ 可由 $\displaystyle \mathscr{A}\varepsilon_1,\mathscr{A}^2\varepsilon_1,\mathscr{A}^3\varepsilon_1\in W$ 线性表出. 故 $\displaystyle L(\varepsilon_1,\varepsilon_3,\varepsilon_4)\subset W$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1472、 5、 已知向量组满足
$$\begin{aligned} \left\{\begin{array}{rrrrrrrrrrrrrrrr} \beta_1= \alpha_2+\alpha_3+\cdots+\alpha_m,\\\\ \beta_2=\alpha_1+\alpha_3+\cdots+\alpha_m,\\\\ \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots,\\\\ \beta_m=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_{m-1}. \end{array}\right. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
求证: $\displaystyle \beta_1,\cdots,\beta_m$ 与 $\displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_m$ 的秩相同. (天津大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 设
$$\begin{aligned} A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&1&\cdots&1\\\\ 1&0&\cdots&1\\\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\\\ 1&1&\cdots&0\end{array}\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则只要证明 $\displaystyle |A|\neq 0$, 则 $\displaystyle \beta_1,\cdots,\beta_m$ 与 $\displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_m$ 可相互线性表出, 而等价, 具有相同的秩. (2)、 为此, 我们先求一般的
$$\begin{aligned} \left|\begin{array}{cccccccccc}x&y&\cdots&y&y\\\\ y&x&\cdots&y&y\\\\ \vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\\\ y&y&\cdots&x&y\\\\ y&y&\cdots&y&x\end{array}\right|. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
事实上, 由
$$\begin{aligned} \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E&0\\\\ B&E\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E&A\\\\ -B&E\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E&-A\\\\ 0&E\end{array}\right)=&\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E&0\\\\ 0&E+BA\end{array}\right),\\\\ \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E&-A\\\\ 0&E\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E&A\\\\ -B&E\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E&0\\\\ B&E\end{array}\right)=&\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E+AB&0\\\\ 0&E\end{array}\right)\qquad(I) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
即知
$$\begin{aligned} |E+BA|=|E+AB|. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故当 $\displaystyle x\neq y$ 时,
$$\begin{aligned} |A|=&|(x-y)E+yee^\mathrm{T}|\left(e=(1,\cdots,1)^\mathrm{T}\right)\\\\ =&|(x-y)E|\cdot \left|E+\frac{y}{x-y}ee^\mathrm{T}\right| = (x-y)^n \left(1+\frac{y}{x-y}e^\mathrm{T} e\right)\\\\ =&(x-y)^n \left(1+\frac{ny}{x-y}\right) =(x-y)^n \left[x+(n-1)y\right]. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
上式两端都是关于 $\displaystyle x,y$ 的连续函数, 在 $\displaystyle x\neq y$ 时相等而恒等. (3)、 由第 2 步知 $\displaystyle |A|=-(n-1)\neq 0$. 而结论确实成立.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
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