张祖锦2023年数学专业真题分类70天之第63天
1427、 2、 (20 分) 设 $\displaystyle V$ 是数域 $\displaystyle \varOmega$ 上的 $\displaystyle n$ 维向量空间, $\displaystyle n\geq 2$, $\displaystyle \sigma$ 是 $\displaystyle V$ 上的线性变换. 若 $\displaystyle 3\sigma^3+2\sigma^2+\sigma=\mathscr{O}$, 证明:
$$\begin{aligned} V=\ker\sigma\oplus\mathrm{im}\sigma. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(吉林大学2023年高等代数与解析几何考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由
$$\begin{aligned} &\alpha\in \ker\sigma\cap \mathrm{im} \sigma \Rightarrow \sigma(\alpha)=0; \exists\ \beta\in V,\mathrm{ s.t.} \alpha=\sigma(\beta)\\\\ \Rightarrow&0=\sigma(\alpha)=\sigma^2(\beta) \Rightarrow \alpha=\sigma(\beta)=-(3\sigma^3+2\sigma^2)(\beta)=0 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle \ker \sigma\cap \mathrm{im}\sigma=\left\{0\right\}$,
$$\begin{aligned} \dim\left(\ker\sigma+\mathrm{im} \sigma\right)=&\dim \ker \sigma+\dim \mathrm{im}\sigma -\dim\left(\ker \sigma\cap \mathrm{im}\sigma\right)\\\\ =&n-0=n. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle \ker \sigma+\mathrm{im}\sigma=V$. 联合 $\displaystyle \ker \sigma\cap \mathrm{im}\sigma=\left\{0\right\}$ 知 $\displaystyle V=\ker \sigma\oplus \mathrm{im} \sigma$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1428、 4、 已知
$$\begin{aligned} \alpha_1=(a,2,10)^\mathrm{T}, \alpha_2=(-2,1,5)^\mathrm{T}, \alpha_3=(-1,1,4)^\mathrm{T}, \beta=(1,b,c)^\mathrm{T}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
当 $\displaystyle a,b,c$ 满足什么条件时, 下面结论分别成立? (1)、 $\displaystyle \beta$ 可由 $\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性表出, 且表示唯一; (2)、 $\displaystyle \beta$ 不可由 $\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性表出; (3)、 $\displaystyle \beta$ 可由 $\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性表出, 且表示不唯一, 并写出表示形式. (暨南大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /
$$\begin{aligned} &(A,\beta)=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\beta)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}a&-2&-1&1\\\\ 2&1&1&b\\\\ 10&5&4&c\end{array}\right)\\\\ \to&\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}a+4&0&1&1+2b\\\\ 2&1&1&b\\\\ 0&0&-1&c-5b\end{array}\right) \to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}4+a&0&0&1-3b+c\\\\ 2&1&0&c-4b\\\\ 0&0&1&5b-c\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(1)、 若 $\displaystyle a\neq -4$, 则 $\displaystyle |A|\neq 0$, $\displaystyle Ax=\beta$ 有唯一解, $\displaystyle \beta$ 可由 $\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性表出, 且表示唯一. (2)、 若 $\displaystyle a=-4, 3b-c\neq 1$, 则 $\displaystyle Ax=\beta$ 无解, $\displaystyle \beta$ 不可由 $\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性表出. (3)、 若 $\displaystyle a=-4, 3b-c=1$, 则
$$\begin{aligned} (A,\beta)\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&\frac{1}{2}&0&-\frac{1+b}{2}\\\\ 0&0&1&1+2b\\\\ 0&0&0&0\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle Ax=\beta$ 的通解为 $\displaystyle k\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-1\\\\2\\\\0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-\frac{1+b}{2}\\\\ 0\\\\1+2b\end{array}\right), \forall\ k$. 故 $\displaystyle \beta$ 可由 $\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性表出, 且表示不唯一, 并
$$\begin{aligned} \beta=\left(-k-\frac{1+b}{2}\right)\alpha_1+2k\alpha_2+(1+2b)\alpha_3, \forall\ k. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1429、 7、 线性变换的最小多项式是否一定整除特征多项式, 请给出证明或举出反例. (暨南大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 是. 设 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的最小多项式和特征多项式分别为 $\displaystyle m(x), f(x)$, 则由 Hamilton-Cayley 定理, $\displaystyle f(\mathscr{A})=\mathscr{O}$. 又由带余除法,
$$\begin{aligned} f(x)=q(x)m(x)+r(x), r(x)=0\mbox{或} \deg r < \deg m. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
往用反证法证明 $\displaystyle r(x)=0\Rightarrow m(x)\mid f(x)$. 若不然, $\displaystyle \deg r < \deg m$, 则由上式知 $\displaystyle r(x)$ 是使得 $\displaystyle r(\mathscr{A})=\mathscr{O}$ 的, 次数比 $\displaystyle m(x0$ 更低的多项式. 这与最小多项式的定义矛盾. 故有结论.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1430、 7、 设 $\displaystyle \mathbb{P}$ 是数域, $\displaystyle \sigma$ 是 $\displaystyle \mathbb{P}$ 上 $\displaystyle n$ 维线性空间 $\displaystyle V$ 的线性变换, $\displaystyle m(x)$ 是 $\displaystyle \sigma$ 的最小多项式. 证明: 对任意 $\displaystyle f(x)\in\mathbb{P}[x]$, 只要 $\displaystyle \left(f(x),m(x)\right)=d(x)$, 则
$$\begin{aligned} \mathrm{rank} f(\sigma)=\mathrm{rank} d(\sigma). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(南昌大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 由 $\displaystyle (f,m)=d$ 知
$$\begin{aligned} &\exists\ u,v,\mathrm{ s.t.} uf+vm=d\\\\ \Rightarrow&d(\sigma)=u(\sigma)f(\sigma)+v(\sigma)m(\sigma)=u(\sigma)f(\sigma)\\\\ \Rightarrow&\mathrm{im} d(\sigma)\subset \mathrm{im} f(\sigma). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2)、 由 $\displaystyle d\mid f$ 知
$$\begin{aligned} \exists\ q, \mathrm{ s.t.} f=dq \Rightarrow f(\sigma)=d(\sigma)q(\sigma) \Rightarrow \mathrm{im} f(\sigma)\subset \mathrm{im} d(\sigma). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle \mathrm{im} f(\sigma)=\mathrm{im} d(\sigma)$,
$$\begin{aligned} \mathrm{rank} f(\sigma)=\dim \mathrm{im} f(\sigma)=\dim \mathrm{im} d(\sigma)=\mathrm{rank} d(\sigma). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1431、 8、 设 $\displaystyle f(x),g(x)$ 为数域 $\displaystyle \mathbb{P}$ 上的互素多项式, $\displaystyle A\in\mathbb{P}^{n\times n}$. 证明:
$$\begin{aligned} \ker\left(f(A)g(A)\right)=\ker f(A)\oplus \ker g(A). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(南昌大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 易知 $\displaystyle \ker f(A)\subset \ker\left(f(A)g(A)\right), \ker g(A)\subset \ker\left(f(A)g(A)\right)$. 由
$$\begin{aligned} (f,g)=1\Rightarrow& \exists\ u,v,\mathrm{ s.t.} uf+vg=1\\\\ \Rightarrow&E_n=u(A)f(A)+v(A)g(A). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是
$$\begin{aligned} \alpha\in \mathbb{P}^n\Rightarrow&\alpha=E_n\alpha=v(A)g(A)\alpha+u(A)f(A)\alpha\\\\ &\in \ker f(A)+\ker g(A),\\\\ \alpha\in \ker f(A)\cap \ker g(A)\Rightarrow&f(A)\alpha=0, g(A)\alpha=0\\\\ \Rightarrow&\alpha=E_n\alpha=v(A)g(A)\alpha+u(A)f(A)\alpha=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这表明 $\displaystyle \ker\left(f(A)g(A)\right)=\ker f(A)\oplus \ker g(A)$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1432、 5、 $\displaystyle W=\mathbb{R}^{n\times 2}$ 是 $\displaystyle n\times 2$ 实矩阵生成的线性空间, 映射
$$\begin{aligned} \mathscr{T}: W\to W, \qquad \mathscr{T} X=AX, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
其中 $\displaystyle A$ 是秩为 $\displaystyle r$ 的 $\displaystyle n$ 阶实方阵. (1)、 验证 $\displaystyle \mathscr{T}$ 为线性变换; (2)、 求 $\displaystyle \dim \ker\mathscr{T}, \dim \mathrm{im}\mathscr{T}$. (南方科技大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 对 $\displaystyle \forall\ k,l\in\mathbb{R}, X,Y\in W$,
$$\begin{aligned} \mathscr{T}(kX+lY)=A(kX+lY)=kAX+lAY=k\mathscr{T} X+l\mathscr{T} Y. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle \mathscr{T}$ 是线性变换. (2)、 由 $\displaystyle \mathrm{rank} A=r$ 知 $\displaystyle Ax=0$ 有 $\displaystyle n-r$ 个线性无关的基础解系 $\displaystyle \eta_1,\cdots,\eta_{n-r}$. 于是
$$\begin{aligned} &X\in \ker\mathscr{T}\Leftrightarrow AX=0, X=(\alpha_1,\alpha_2)\\\\ \Leftrightarrow& X=(\alpha_1,\alpha_2), \alpha_i=\sum_{j=1}^n x_{ij}\eta_j\\\\ \Leftrightarrow& X=(\alpha_1,0)+(0,\alpha_2) =\sum_{j=1}^n x_{1j}(\eta_j,0)+\sum_{j=1}^n x_{2j}(0,\eta_j). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这表明 $\displaystyle \ker\mathscr{T}$ 有一组基
$$\begin{aligned} (\eta_j,0), (0,\eta_j), j=1,\cdots, n-r, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
$\displaystyle \dim \ker\mathscr{T}=2(n-r), \dim \mathrm{im}\mathscr{T}=\dim W-\dim \ker \mathscr{T}=2r$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1433、 8、 设 $\displaystyle \varSigma$ 是 $\displaystyle n$ 阶实方阵构成的线性空间, $\displaystyle U$ 是 $\displaystyle \varSigma$ 的子空间且 $\displaystyle U$ 中所有非零元素都是可逆矩阵,
$$\begin{aligned} \varphi(n)=\max_{U\in\varSigma}\dim U. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
证明: (1)、 $\displaystyle n$ 为奇数时, $\displaystyle \varphi(n)=1$; (2)、 $\displaystyle n$ 为偶数时, $\displaystyle \varphi(n)\leq n$. (南方科技大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 用反证法. 若 $\displaystyle \varphi(n)\geq 2$, 则存在 $\displaystyle \varSigma$ 的一个维数 $\displaystyle \geq 2$ 的子空间 $\displaystyle U$, 使得 $\displaystyle U$ 中任意非零矩阵都可逆. 设 $\displaystyle A,B$ 是 $\displaystyle U$ 中两个线性无关的矩阵. 则对 $\displaystyle \forall\ k\in\mathbb{R}$, $\displaystyle 1,k$ 不全为 $\displaystyle 0$, $\displaystyle A+kB\neq 0$, 而 $\displaystyle A+kB$ 可逆, $\displaystyle |A+kB|\neq 0$. 这与奇数次多项式 $\displaystyle |A+kB|$ 至少有一个实根矛盾. 故有结论. (2)、 用反证法. 若 $\displaystyle \dim V\geq n+1$, 则存在 $\displaystyle n+1$ 个线性无关的 $\displaystyle n$ 阶方阵 $\displaystyle A_1,\cdots,A_{n+1}$. 考虑关于 $\displaystyle x_1,\cdots,x_{n+1}$ 的方程
$$\begin{aligned} |x_1A_1+\cdots+x_{n+1}A_{n+1}|=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
设
$$\begin{aligned} A_i=(\alpha_1^i,\cdots,\alpha_{n}^i)\left(1\leq i\leq n+1\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
考虑线性方程组
$$\begin{aligned} x_1\alpha^1_1+\cdots+x_{n+1}\alpha^{n+1}_1=0, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由于未知量的个数大于方程的个数, 而该线性方程组有非零解 $\displaystyle (c_1,\cdots,c_{n+1})$. 也即 $\displaystyle c_1A_1+\cdots+c_{n+1}A_{n+1}$ 的第一列为 $\displaystyle 0$. 这表明 $\displaystyle |c_1A_1+\cdots+c_{n+1}A_{n+1}|=0$. 这就证明了 $\displaystyle V$ 中存在非零矩阵
$$\begin{aligned} c_1A_1+\cdots+c_{n+1}A_{n+1} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
不可逆, 与题设矛盾. 故有结论.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1434、 2、 (15 分) 设 $\displaystyle V$ 是实线性空间 $\displaystyle M_n(\mathbb{R})$ 的线性空间, 假设 $\displaystyle V$ 中任意非零矩阵都是可逆阵, 证明: $\displaystyle V$ 的维数不超过 $\displaystyle n$. (南京大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 用反证法. 若 $\displaystyle \dim V\geq n+1$, 则存在 $\displaystyle n+1$ 个线性无关的 $\displaystyle n$ 阶方阵 $\displaystyle A_1,\cdots,A_{n+1}$. 考虑关于 $\displaystyle x_1,\cdots,x_{n+1}$ 的方程
$$\begin{aligned} |x_1A_1+\cdots+x_{n+1}A_{n+1}|=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
设
$$\begin{aligned} A_i=(\alpha_1^i,\cdots,\alpha_{n}^i)\left(1\leq i\leq n+1\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
考虑线性方程组
$$\begin{aligned} x_1\alpha^1_1+\cdots+x_{n+1}\alpha^{n+1}_1=0, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由于未知量的个数大于方程的个数, 而该线性方程组有非零解 $\displaystyle (c_1,\cdots,c_{n+1})$. 也即 $\displaystyle c_1A_1+\cdots+c_{n+1}A_{n+1}$ 的第一列为 $\displaystyle 0$. 这表明 $\displaystyle |c_1A_1+\cdots+c_{n+1}A_{n+1}|=0$. 这就证明了 $\displaystyle V$ 中存在非零矩阵
$$\begin{aligned} c_1A_1+\cdots+c_{n+1}A_{n+1} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
不可逆. 这与题设矛盾. 故有结论.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1435、 8、 (20 分) 设 $\displaystyle n\geq 2, A\in M_n(\mathbb{R})$ 且 $\displaystyle \mathrm{rank} A=n-1$. 证明: 映射
$$\begin{aligned} \sigma: M_n(\mathbb{R})\to M_n(\mathbb{R}),\quad X\mapsto AX+XA \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
不是满射. (南京大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由 $\displaystyle \mathrm{rank} A=\mathrm{rank}(A^\mathrm{T})=n-1$ 知 $\displaystyle Ax=0, A^\mathrm{T} x=0$ 的基础解系各有 $\displaystyle 1$ 个线性无关的解向量 $\displaystyle \alpha,\beta$. 设 $\displaystyle B=\alpha\beta^\mathrm{T}\neq 0$, 则
$$\begin{aligned} \sigma(B)=AB+BA=A\alpha \beta^\mathrm{T}+\alpha\beta^\mathrm{T} A =0+\alpha(A^\mathrm{T} \beta)=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle \ker \sigma\neq \left\{0\right\}$. 由
$$\begin{aligned} \dim \ker \sigma+\dim \mathrm{im}\sigma=\dim \mathbb{R}^n=n\Rightarrow \dim \mathrm{im} \sigma\leq n-1 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle \sigma$ 不是满射.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1436、 3、 设 $\displaystyle V_1$ 是由向量
$$\begin{aligned} \alpha_1=(1,1,\alpha)^\mathrm{T}, \alpha_2=(-2,\alpha,4)^\mathrm{T}, \alpha_3=(-2,\alpha,-2)^\mathrm{T} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
生成的 $\displaystyle \mathbb{R}^3$ 的子空间, $\displaystyle V_2$ 是由
$$\begin{aligned} \beta_1=(1,1,\alpha)^\mathrm{T}, \beta_2=(1,\alpha,1)^\mathrm{T}, \beta_3=(\alpha,1,1)^\mathrm{T} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
生成的 $\displaystyle \mathbb{R}^3$ 的子空间. (1)、 若 $\displaystyle V_2$ 的维数为 $\displaystyle 1$, 求 $\displaystyle \alpha$ 的值; (2)、 若 $\displaystyle V_1=V_2$, 求 $\displaystyle \alpha$ 的值; (3)、 求 $\displaystyle V_1+V_2$ 维数的取值范围. (南京航空航天大学大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3), B=(\beta_1,\beta_2,\beta_3)$. (1)、 由
$$\begin{aligned} B=&\left(\beta_1,\beta_2,\beta_3\right)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1&\alpha\\\\ 1&\alpha&1\\\\ \alpha&1&1\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1&\alpha\\\\ 0&\alpha-1&1-\alpha\\\\ 0&1-\alpha&1-\alpha^2\end{array}\right)\\\\ \to&\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1&\alpha\\\\ 0&\alpha-1&1-\alpha\\\\ 0&0&-(\alpha-1)(\alpha+2)\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
及 $\displaystyle 1=\dim V_2=\mathrm{rank} B$ 知 $\displaystyle \alpha=1$. (2)、 由 $\displaystyle V_1=V_2$ 知 $\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 与 $\displaystyle \beta_1,\beta_2,\beta_3$ 等价, 即它们可以相互线性表出: $\displaystyle AX=B, BX=A$ 都有解,
$$\begin{aligned} \mathrm{rank} A=\mathrm{rank}(A,B)=\mathrm{rank} B . \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由
$$\begin{aligned} &(A,B)= (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\beta_1,\beta_2,\beta_3)\\\\ =&\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&-2&-2&1&1&\alpha\\\\ 0&\alpha+2&\alpha+2&0&\alpha-1&1-\alpha\\\\ 0&2(\alpha+2)&2(\alpha-1)&0&1-\alpha&1-\alpha^2\end{array}\right)\\\\ \to&\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&-2&-2&1&1&\alpha\\\\ 0&\alpha+2&\alpha+2&0&\alpha-1&1-\alpha\\\\ 0&0&-6&0&3(1-\alpha)&-(1-\alpha)^2\end{array}\right)\qquad(I) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知当 $\displaystyle \alpha=-2$ 时, $\displaystyle \mathrm{rank} A=2 < 3=\mathrm{rank}(A,B)$; 当 $\displaystyle \alpha=1$ 时, $\displaystyle \mathrm{rank} B=1 < 3=\mathrm{rank}(A,B)$. 故 $\displaystyle \alpha\neq -2$ 且 $\displaystyle \alpha\neq 1$. (3)、 (3-1)、 当 $\displaystyle \alpha=-2$ 时,
$$\begin{aligned} (A,B)\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&-2&0&1&0&-1\\\\ 0&0&1&0&0&0\\\\ 0&0&0&0&1&-1\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是 $\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\beta_2$ 线性无关, 是 $\displaystyle V_1+V_2$ 的一组基, 且 [张祖锦注: 初等行变换不改变列向量组的秩及极大无关组所在的位置, 并且可以一下得到其余向量用极大无关组的表示法, 这是张祖锦独创的, 具体证明见张祖锦编著的《樊启斌参考书》中张祖锦常用的结论.]
$$\begin{aligned} \alpha_2=-2\alpha_1, \beta_1=\alpha_1, \beta_3=-\alpha_1-\beta_2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
此时, $\displaystyle \dim (V_1+V_2)=3$. (3-2)、 若 $\displaystyle \alpha=1$, 则
$$\begin{aligned} (A,B)\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&0&1&1&1\\\\ 0&1&0&0&0&0\\\\ 0&0&1&0&0&0\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性无关, 是 $\displaystyle V_1+V_2$ 的一组基, $\displaystyle \dim (V_1+V_2)=3$. (3-3)、 若 $\displaystyle \alpha\neq -2$ 且 $\displaystyle \alpha\neq 1$, 则 $\displaystyle |A|\neq 0, |B|\neq 0$, 而 $\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性无关, $\displaystyle \beta_1,\beta_2,\beta_3$ 可由 $\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性表出. 故 $\displaystyle \dim(V_1+V_2)=3$. 综上即知 $\displaystyle \dim(V_1+V_2)=3$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1437、 4、 设 $\displaystyle \sigma$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^3$ 上的线性变换, $\displaystyle \varepsilon_1=(1,1,0)^\mathrm{T}, \varepsilon_2=(0,1,1)^\mathrm{T}, \varepsilon_3=(1,1,1)^\mathrm{T}$, 且
$$\begin{aligned} \sigma \varepsilon_1=(0,-1,1)^\mathrm{T}, \sigma \varepsilon_2=(1,1+a,0)^\mathrm{T}, \sigma \varepsilon_3=(1,a-1,1)^\mathrm{T}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(1)、 求 $\displaystyle \sigma$ 在基
$$\begin{aligned} \eta_1=(1,0,0)^\mathrm{T}, \eta_2=(0,1,0)^\mathrm{T}, \eta_3=(0,0,1)^\mathrm{T} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
下的矩阵 $\displaystyle A$; (2)、 若 $\displaystyle \sigma$ 可对角化, 求 $\displaystyle a$ 的值; (3)、 当 $\displaystyle a=2$ 时, 求一多项式 $\displaystyle g(x)$, 使得 $\displaystyle g(A)=A^{-1}$. (南京航空航天大学大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 由题设,
$$\begin{aligned} (\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)=&(\eta_1,\eta_2,\eta_3)T, T=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&1\\\\ 1&1&1\\\\ 0&1&1\end{array}\right),\\\\ \sigma(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)=&(\eta_1,\eta_2,\eta_3)B, B=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&1&1\\\\ -1&1+a&a-1\\\\ 1&0&1\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故
$$\begin{aligned} \sigma(\eta_1,\eta_2,\eta_3)=\sigma(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)T^{-1} =(\eta_1,\eta_2,\eta_3)BT^{-1}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是 $\displaystyle A=BT^{-1}=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&0&1\\\\-2&1&a\\\\1&0&0\end{array}\right)$. (2)、 易知 $\displaystyle A$ 的特征值为 $\displaystyle 1,1,-1$. 由 $\displaystyle \sigma$ 可对角化知 $\displaystyle A$ 可对角化, $\displaystyle \sim \mathrm{diag}(1,1,-1)$. 从而
$$\begin{aligned} \mathrm{rank}(A-E)=1, A-E=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-1&0&1\\\\ -2&0&a\\\\ 1&0&-1\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle a=2$. (3)、 当 $\displaystyle a=2$ 时, 由第 2 步知 $\displaystyle A$ 可对角化, 且 $\displaystyle A$ 的最小多项式为 $\displaystyle (x-1)(x+1)=x^2-1$. 故 $\displaystyle A^2=E\Rightarrow A^{-1}=A$. 取 $\displaystyle g(x)=x$ 即可.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1438、 8、 设 $\displaystyle V$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{P}$ 上的 $\displaystyle n$ 维线性空间, $\displaystyle U,W$ 是 $\displaystyle V$ 的两个子空间, 并且 $\displaystyle V=U\oplus W$. 任给 $\displaystyle \alpha=\alpha_1+\alpha_2\in V$, 其中 $\displaystyle \alpha_1\in U, \alpha_2\in W$. 令 $\displaystyle \sigma\alpha=\alpha_1$. 记
$$\begin{aligned} \ker\sigma=&\left\{\alpha\in V; \sigma\alpha=0\right\},\\\\ \mathrm{im}\sigma=&\left\{\sigma\alpha; \alpha\in V\right\}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
证明: (1)、 $\displaystyle \sigma$ 是 $\displaystyle V$ 上的线性变换, 且 $\displaystyle \sigma^2=\sigma$; (2)、 $\displaystyle \ker\sigma=W, \mathrm{im}\sigma=U$; (3)、 $\displaystyle \sigma$ 可对角化. (南京航空航天大学大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 对 $\displaystyle \forall\ k,l\in\mathbb{P}, \alpha,\beta\in V$, 设 $\displaystyle \sigma\alpha=\alpha_1,\sigma\beta=\beta_1$, 则
$$\begin{aligned} &\alpha=\alpha_1+\alpha_2, \beta=\beta_1+\beta_2, \alpha_1,\beta_1\in U, \alpha_2,\beta_2\in W\\\\ \Rightarrow&k\alpha+l\beta=(k\alpha_1+l\beta_1)+(k\alpha_2+l\beta_2), k\alpha_1+l\beta_1\in U, k\alpha_2+l\beta_2\in W. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由直和分解的唯一性知
$$\begin{aligned} \sigma(k\alpha+l\beta)=k\alpha_1+l\beta_1=k\sigma\alpha+l\sigma\beta. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle \sigma$ 是线性变换, 且由 $\displaystyle \alpha_1=\alpha_1+0\in U+W$ 知
$$\begin{aligned} \sigma^2\alpha=\sigma\alpha_1=\alpha_1=\sigma\alpha. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle \sigma^2=\sigma$. (2)、 (2-1)、 设 $\displaystyle \alpha\in \ker\sigma$, 则 $\displaystyle 0=\sigma\alpha=\alpha_1$,
$$\begin{aligned} \alpha=\alpha_1+\alpha_2=\alpha_2\in W. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
反之, 若 $\displaystyle \alpha\in W$, 则
$$\begin{aligned} \alpha=0+\alpha\in U+W\Rightarrow \sigma\alpha=0\Rightarrow \alpha\in\ker\sigma. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故有 $\displaystyle \ker\sigma=W$. (2-2)、 设 $\displaystyle \alpha\in \mathrm{im}\sigma$, 则 $\displaystyle \exists\ \beta\in V,\mathrm{ s.t.} \alpha=\sigma\beta\in U$. 反之, 若 $\displaystyle \alpha\in U$, 则
$$\begin{aligned} \alpha=\alpha+0\in U+W\Rightarrow \alpha=\sigma\alpha\in \mathrm{im} \sigma. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故有 $\displaystyle \mathrm{im}\sigma=U$. (3)、 取定 $\displaystyle U$ 的一组基 $\displaystyle \varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_r$, $\displaystyle W$ 的一组基 $\displaystyle \varepsilon_{r+1},\cdots,\varepsilon_n$, 则由 $\displaystyle U+W=V$ 知 $\displaystyle \varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n$ 是 $\displaystyle V$ 的一组基, 且
$$\begin{aligned} 1\leq i\leq r\Rightarrow& \varepsilon_i=\varepsilon_i+0\in U+W\Rightarrow \sigma\varepsilon_i=\varepsilon_i;\\\\ r+1\leq i\leq n\Rightarrow&\varepsilon_i\in W\Rightarrow \sigma\varepsilon_i=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle \sigma$ 在 $\displaystyle V$ 的基 $\displaystyle \varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n$ 下的矩阵是对角阵 $\displaystyle \mathrm{diag}(E_r,0)$. 这就证明了 $\displaystyle \sigma$ 可对角化.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1439、 (4)、 已知 $\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 到
$$\begin{aligned} \beta_1=\alpha_1+\alpha_2, \beta_2=\alpha_2+\alpha_3, \beta_3=\alpha_3 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
的过渡矩阵为 $\displaystyle A$, 则 $\displaystyle A^4=\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (南京理工大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /
$$\begin{aligned} (\beta_1,\beta_2,\beta_3)=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)A, A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&0\\\\ 1&1&0\\\\ 0&1&1\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
设 $\displaystyle N=A-E$, 则
$$\begin{aligned} A^4=(E+N)^4=E+C_4^1 N+C_4^2 N^2 =\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&0\\\\ 4&1&0\\\\ 6&4&1\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1440、 4、 (12 分) 在线性恐艾金你 $\displaystyle \mathbb{R}^{2\times 2}$ 中定义
$$\begin{aligned} \mathscr{A}: \mathbb{R}^{2\times 2}\to\mathbb{R}^{2\times 2}, X\mapsto \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1\\\\ 1&1\end{array}\right)X-X\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1\\\\ 1&1\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(1)、 记 $\displaystyle E_{ij}\ (i,j=1,2)$ 是第 $\displaystyle i$ 行第 $\displaystyle j$ 列元素为 $\displaystyle 1$ 其余元素为 $\displaystyle 0$ 的二阶方阵, 求 $\displaystyle \mathscr{A}$ 在 $\displaystyle E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}$ 下的矩阵; (2)、 求 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的秩与零度. (南京理工大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 由
$$\begin{aligned} &\mathscr{A}(E_{11})=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&-1\\\\1&0\end{array}\right), \mathscr{A}(E_{12})=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-1&0\\\\0&1\end{array}\right),\\\\ &\mathscr{A}(E_{21}=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0\\\\0&-1\end{array}\right), \mathscr{A}(E_{22})=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&1\\\\-1&0\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知
$$\begin{aligned} \mathscr{A}(E_{11},E_{12},E_{21},E_{22})=&(E_{11},E_{12},E_{21},E_{22})A,\\\\ A=&\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&-1&1&0\\\\ -1&0&0&1\\\\ 1&0&0&-1\\\\ 0&1&-1&0\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2)、 由 $\displaystyle A\to \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&0&-1\\\\ 0&1&-1&0\\\\ 0&0&0&0\\\\ 0&0&0&0\end{array}\right)$ 知 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的秩 $\displaystyle \mathrm{rank} \mathscr{A}=\mathrm{rank} A=2$, $\displaystyle \mathscr{A}$ 的零度
$$\begin{aligned} \dim\ker \mathscr{A}=2^2-\dim \mathrm{im} \mathscr{A}=4-2=2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1441、 6、 (12 分) 设 $\displaystyle A$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{P}$ 上的 $\displaystyle n$ 阶矩阵. 证明:
$$\begin{aligned} \left\{g(A); g(x)\in\mathbb{P}[x]\right\} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
是 $\displaystyle \mathbb{P}^{n\times n}$ 的维数不超过 $\displaystyle n$ 的线性子空间. (南京理工大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle W=\left\{g(A); g(x)\in\mathbb{P}[x]\right\}$, 则对 $\displaystyle \forall\ k,l\in\mathbb{P}, g(x), h(x)\in\mathbb{P}[x]$,
$$\begin{aligned} kg(A)+lh(A)=(kg+lh)(A)\in W. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle W$ 是 $\displaystyle \mathbb{P}^{n\times n}$ 的子空间. 又由 Hamilton-Cayley 定理知对 $\displaystyle f(x)=|xE_n-A|$, 有 $\displaystyle f(A)=0$. 设 $\displaystyle A$ 的最小多项式为 $\displaystyle m(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_mx^m$, 则 $\displaystyle m(x)\mid f(x)\Rightarrow m=\deg m(x)\leq n$, 且
$$\begin{aligned} \forall\ g(x)\in \mathbb{P}[x], g(x)=q(x)m(x)+r(x), r(x)=0\mbox{或} \deg r(x)\leq m-1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是
$$\begin{aligned} g(A)=q(A)m(A)+r(A)=r(A)\in L(E,A,\cdots,A^{m-1}). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
此外, 显然有 $\displaystyle L(E,A,\cdots,A^{m-1})\subset V$, 而 $\displaystyle V=L(E,A,\cdots,A^{m-1})$. 若 $\displaystyle E,A,\cdots,A^{m-1}$ 线性相关, 则存在不全为 $\displaystyle 0$ 的 $\displaystyle k_i$, 使得
$$\begin{aligned} k_0E+k_1A+\cdots+k_{m-1}A^{m-1}=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
而多项式 $\displaystyle g(x)=k_0+k_1x+\cdots+k_{m-1}x^{m-1}$ 是 $\displaystyle A$ 的零化多项式. 由最小多项式的定义知
$$\begin{aligned} m(x)\mid g(x)\Rightarrow m=\partial\left(m(x)\right)\leq \deg g(x)\leq m-1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这是一个矛盾. 故 $\displaystyle E,A,\cdots,A^{m-1}$ 线性无关, 是 $\displaystyle V$ 的一组基, $\displaystyle \dim V=m\leq n$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1442、 9、 (20 分) 在数域 $\displaystyle \mathbb{P}$ 上的线性空间
$$\begin{aligned} \mathbb{P}[x]_3=\left\{a_0+a_1x+a_2x^2; a_0,a_1,a_2\in\mathbb{P}\right\} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
上定义
$$\begin{aligned} f_t: \mathbb{P}[x]_3\to \mathbb{P}, p(x)\mapsto p(t), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
其中 $\displaystyle t=0,-1,1$. (1)、 证明: $\displaystyle f_0,f_{-1}, f_1$ 是对偶空间 $\displaystyle L(\mathbb{P}[x]_3,\mathbb{P})$ 的一组基; (2)、 求 $\displaystyle \mathbb{P}[x]_3$ 的一组基 $\displaystyle p_1(x),p_2(x),p_3(x)$, 使得 $\displaystyle f_0,f_{-1},f_1$ 是它的对偶基. (南京理工大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 显然 $\displaystyle f_t\in L(\mathbb{P}[x]_3,\mathbb{P})$. 由
$$\begin{aligned} &f_0(1)=1, f_0(x)=0, f_0(x^2)=0; f_{-1}(1)=1, f_{-1}(x)=-1, f_{-1}(x^2)=1;\\\\ &f_1(1)=1, f_1(x)=1, f_1(x^2)=1 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle f_0,f_{-1},f_1$ 在 $\displaystyle \mathbb{P}[x]_3$ 的基 $\displaystyle 1,x,x^2$ 及 $\displaystyle \mathbb{P}$ 的基 $\displaystyle 1$ 下的矩阵为
$$\begin{aligned} f_0(1,x,x^2)=1\cdot A_0, A_0=(1,0,0);\\\\ f_{-1}(1,x,x^2)=1\cdot A_{-1}, A_{-1}=(1,-1,1);\\\\ f_1(1,x,x^2)=1\cdot A_1, A_1=(1,1,1). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
设 $\displaystyle k_0f_0+k_{-1}f_{-1}+k_1f_1=0$, 则
$$\begin{aligned} (0,0,0)=(k_0f_0+k_{-1}f_{-1}+k_1f_1)(1,x,x^2) =k_0A_0+k_{-1}A_{-1}+k_1A_1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由
$$\begin{aligned} \left|\begin{array}{cccccccccc}A_0\\\\A_{-1}\\\\A_1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccccccccc}1&0&0\\\\ 1&-1&1\\\\ 1&1&1\end{array}\right|=-2\neq 0 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle A_0,A_{-1},A_1$ 线性无关, 而 $\displaystyle k_0=k_{-1}=k_1=0$. 故 $\displaystyle f_0,f_{-1},f_1$ 线性无关. 又设 $\displaystyle f\in L(\mathbb{P}[x]_3,\mathbb{P})$, 则
$$\begin{aligned} \exists\ \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{P},\mathrm{ s.t.} f(1,x,x^2)=1\cdot (\alpha,\beta,\gamma). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由 $\displaystyle A_0,A_{-1},A_1$ 线性无关知
$$\begin{aligned} \exists\ |\ x_i\in\mathbb{P},\mathrm{ s.t.} &f(1,x,x^2)=(\alpha,\beta,\gamma)=x_0A_0+x_{-1}A_{-1}+x_1A_1\\\\ =&x_0f_0(1,x,x^2)+x_{-1}f_{-1}(1,x,x^2)+x_1f_1(1,x,x^2). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle f=x_0f_0+x_{-1}f_{-1}+x_1f_1$. 这就证明了 $\displaystyle f_0,f_{-1}, f_1$ 是对偶空间 $\displaystyle L(\mathbb{P}[x]_3,\mathbb{P})$ 的一组基. (2)、 设
$$\begin{aligned} p_i(x)=a_{i1}+a_{i2}x+a_{i3}x^2, i=1,2,3 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
的对偶基为 $\displaystyle f_0,f_{-1},f_1$, 则
$$\begin{aligned} \delta_{ij}=&f_i\left(p_j(x)\right) =a_{j1}f_i(1)+a_{j2}f_i(x)+a_{j3}f_i(x^2)\\\\ =&\left(f_i(1),f_i(x),f_i(x^2)\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}a_{j1}\\\\a_{j2}\\\\a_{j3}\end{array}\right) =A_i\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}a_{j1}\\\\a_{j2}\\\\a_{j3}\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
此即
$$\begin{aligned} E=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A_0\\\\A_{-1}\\\\A_1\end{array}\right)A^\mathrm{T}, A=(a_{ij})\Rightarrow A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A_0\\\\A_{-1}\\\\A_1\end{array}\right)^{-1} =\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&-1\\\\ 0&-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\\ 0&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故
$$\begin{aligned} p_1(x)=1-x^2, p_2(x)=\frac{x^2-x}{2}, p_3(x)=\frac{x^2+x}{2}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1443、 6、 设 $\displaystyle V_1,V_2,V_3$ 是 $\displaystyle n$ 维线性空间 $\displaystyle V$ 的子空间, 且 $\displaystyle V_1\subset V_3$. 证明:
$$\begin{aligned} V_1+(V_2\cap V_3)=(V_1+V_2)\cap V_3. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(南京师范大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由
$$\begin{aligned} &V_1\subset V_1\cap V_2, V_1\subset V_3\Rightarrow V_1\subset (V_1+V_2)\cap V_3,\\\\ &V_2\cap V_3\subset V_2\subset V_1+V_2, V_2\cap V_3\subset V_3\Rightarrow V_2\cap V_3\subset (V_1+V_2)\cap V_3 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle V_1+(V_2\cap V_3)\subset(V_1+V_2)\cap V_3$. 又由
$$\begin{aligned} &\dim\left[V_1+(V_2\cap V_3)\right]=\dim V_1+\dim(V_2\cap V_3) -\dim\left[V_1\cap (V_2\cap V_3)\right]\\\\ =&\dim V_1+\dim (V_2\cap V_3)-\dim (V_1\cap V_2)\\\\ =&\dim (V_1+V_2)-\dim V_2+\dim (V_2\cap V_3)\\\\ &\left(\dim V_1+\dim V_2=\dim (V_1+V_2)+\dim (V_1\cap V_2)\right)\\\\ =&\dim (V_1+V_2)-\left[\dim V_2-\dim (V_2\cap V_3)\right]\\\\ =&\dim (V_1+V_2)-\left[\dim (V_2+V_3)-\dim V_3\right]\\\\ =&\dim (V_1+V_2)+\dim V_3-\dim (V_2+V_3)\\\\ =&\dim (V_1+V_2+V_3)+\dim \left[(V_1+V_2)\cap V_3\right]-\dim (V_2+V_3)\\\\ \stackrel{V_1\subset V_3}{=}&\dim \left[(V_1+V_2)\cap V_3\right] \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle V_1+(V_2\cap V_3)=(V_1+V_2)\cap V_3$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1444、 7、 设 $\displaystyle f(x)$ 是实系数多项式. 证明:
$$\begin{aligned} W=\left\{f(x); f(1)=0, \deg f(x)\leq n\mbox{或} f(x)=0\right\} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
是 $\displaystyle \mathbb{R}[x]$ 的一个线性子空间, 并求它的一组基. (南京师范大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由 $\displaystyle V$ 关于加法和数量乘法封闭知 $\displaystyle V$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}[x]_n$ 的一个线性子空间, 而是 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的线性空间. 由
$$\begin{aligned} &\sum_{i=1}^n k_i(x^i-1)=0\\\\ \Rightarrow&\left(-\sum_{i=1}^n k_i\right)+\sum_{i=1}^n k_ix^i=0\\\\ \Rightarrow&k_i=0\left(1\leq i\leq n\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle \left\{x^i-1, 1\leq i\leq n\right\}$ 线性无关, 且 $\displaystyle \subset V$. 又由
$$\begin{aligned} f\in V&\Rightarrow f(1)=0\\\\ &\Rightarrow\mbox{设 $\displaystyle f(x)=\sum_{i=0}^n a_ix^i$, 则 $\displaystyle \sum_{i=1}^n a_i=f(1)=0$}\\\\ &\Rightarrow f(x)=\sum_{i=1}^n a_ix^i+a_0 -\sum_{i=1}^n a_i =\sum_{i=1}^n a_i(x^i-1) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle \left\{x^i-1, 1\leq i\leq n\right\}$ 是 $\displaystyle V$ 的一组基, $\displaystyle \dim V=n$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1445、 6、 (20 分) 设 $\displaystyle \mathscr{A}$ 是 $\displaystyle n$ 维复线性空间 $\displaystyle V$ 上的线性变换, $\displaystyle 0$ 是 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的特征多项式的 $\displaystyle r$ 重根. 证明: $\displaystyle \mathscr{A}^r$ 的秩等于 $\displaystyle n-r$. (南开大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的 Jordan 标准形为
$$\begin{aligned} J=\mathrm{diag}\left(J_{n_1}(0),\cdots,J_{n_s}(0), \cdots\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
其中 $\displaystyle J_{n_i}(0)$ 为以 $\displaystyle 0$ 为对角元的 $\displaystyle n_i$ 阶 Jordan 块, $\displaystyle \cdots$ 为对角元非零的 Jordan 块, 则由 $\displaystyle J_{n_i}(0)^t$ 的形式知当且仅当 $\displaystyle t\geq \max_{1\leq i\leq s}n_i$ 时, 所有的 $\displaystyle J_{n_i}(0)^t$ 均为 $\displaystyle 0$. 此时, 其它 Jordan 块的对角元非零, 而 $\displaystyle \mathrm{rank}(\mathscr{A}^t)=n-r$. 于是
$$\begin{aligned} r=\sum_{i=1}^s n_i\geq \max_{1\leq i\leq s}n_i\Rightarrow \mathrm{rank}(\mathscr{A}^r)=n-r. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1446、 8、 (10 分) 设 $\displaystyle V$ 是 $\displaystyle n$ 维欧氏空间 $\displaystyle V$, $\displaystyle \mathscr{A},\mathscr{B},\mathscr{C}$ 是 $\displaystyle V$ 上的线性变换, 且满足下述条件: (1)、 $\displaystyle \mathscr{A}^2\alpha=0$, 对任意 $\displaystyle \alpha\in V$; (2)、 $\displaystyle (\mathscr{A}\alpha,\beta)=(\alpha,\mathscr{B}\beta)$, 对任意 $\displaystyle \alpha,\beta\in V$; (3)、 $\displaystyle \mathscr{C}=\mathscr{A}\mathscr{B}+\mathscr{B}\mathscr{A}$. 证明: $\displaystyle V$ 可以写成子空间 $\displaystyle \mathscr{C}^{-1}(0)$, $\displaystyle \mathscr{A} V$ 以及 $\displaystyle \mathscr{B} V$ 的直和. (南开大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 取定 $\displaystyle V$ 的一组标准正交基 $\displaystyle \varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n$ 后, 设
$$\begin{aligned} \mathscr{A}(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n)=&(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n)A,\\\\ \mathscr{B}(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n)=&(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n)B . \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则由 (2) 及
$$\begin{aligned} (\mathscr{A}\varepsilon_i,\varepsilon_j)=&\left(\sum_k a_{ki}\varepsilon_k,\varepsilon_j\right)=a_{ji},\\\\ (\varepsilon_i,\mathscr{B}\varepsilon_j)=&\left(\varepsilon_i,\sum_k b_{kj}\varepsilon_k\right)=b_{ij} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle B=A^\mathrm{T}$,
$$\begin{aligned} \dim \mathrm{im}\mathscr{A}=\mathrm{rank} A=\mathrm{rank} (A^\mathrm{T})=\dim \mathrm{im} \mathscr{B} . \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
再者,
$$\begin{aligned} \dim \ker \mathscr{C}&=n-\mathrm{rank}(AB+BA) =n-\mathrm{rank}(AA^\mathrm{T}+A^\mathrm{T} A)\\\\ &=n-\mathrm{rank}\left((A,A^\mathrm{T})\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A^\mathrm{T}\\\\A\end{array}\right)\right) =n-\mathrm{rank} (A,A^\mathrm{T}). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2)、 由
$$\begin{aligned} &\alpha\in \mathrm{im} \mathscr{A}\cap \mathrm{im} \mathscr{B}\Rightarrow \alpha=\mathscr{A}\beta=\mathscr{B}\gamma\\\\ \Rightarrow&(\alpha,\alpha)=(\mathscr{A}\beta,\mathscr{B}\gamma) =\left(\mathscr{A}^2\beta,\gamma\right)=0\Rightarrow \alpha=0 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知
$$\begin{aligned} \mathrm{im} \mathscr{A}\cap \mathrm{im} \mathscr{B}=\left\{0\right\}.\qquad(I) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是
$$\begin{aligned} 2\mathrm{rank} A&=\mathrm{rank} A+\mathrm{rank} B=\dim \mathrm{im} \mathscr{A}+\dim \mathrm{im} \mathscr{B}\\\\ &=\dim(\mathrm{im} \mathscr{A}\oplus \mathrm{im} \mathscr{B})\\\\ &=\dim L(\mathscr{A} \varepsilon_1,\cdots,\mathscr{A} \varepsilon_n,\mathscr{B}\varepsilon_1,\cdots,\mathscr{B}\varepsilon_n)\\\\ &=\mathrm{rank}(A,A^\mathrm{T}), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
$$\begin{aligned} \dim V&=n=n-\mathrm{rank}(A,A^\mathrm{T})+\mathrm{rank}(A,A^\mathrm{T})\\\\ &=\dim \ker \mathscr{C}+2\mathrm{rank} A\\\\ &=\dim \ker \mathscr{C}+\dim\mathrm{im}\mathscr{A}+\dim \mathrm{im} \mathscr{B} . \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(3)、 由维数公式知
$$\begin{aligned} &\dim(\ker \mathscr{C}+\mathrm{im} \mathscr{A}+\mathrm{im} \mathscr{B})\\\\ =&\dim \ker \mathscr{C}+\dim(\mathrm{im} \mathscr{A}+\mathrm{im} \mathscr{B})\\\\ &-\dim \left[\ker \mathscr{C}\cap (\mathrm{im} \mathscr{A}+\mathrm{im} \mathscr{B})\right]\\\\ =&\dim \ker \mathscr{C}+\dim \mathrm{im} \mathscr{A}+\dim \mathrm{im} \mathscr{B}\\\\ &-\dim \left[\ker \mathscr{C}\cap (\mathrm{im} \mathscr{A}+\mathrm{im} \mathscr{B})\right].\qquad(II) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
设 $\displaystyle \alpha=\mathscr{A}\beta+\mathscr{B}\gamma\in \ker \mathscr{C}$, 则
$$\begin{aligned} 0&=(\mathscr{A}\mathscr{B}+\mathscr{B}\mathscr{A})(\mathscr{A}\beta+\mathscr{B}\gamma) =\mathscr{A}\mathscr{B}\mathscr{A}\beta+\mathscr{B}\mathscr{A}\mathscr{B}\gamma, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
$$\begin{aligned} \left(\mathscr{A}\mathscr{B}\gamma,\mathscr{A}\mathscr{B}\gamma\right)=&\left(\mathscr{B}\mathscr{A}\mathscr{B}\gamma,\mathscr{B}\gamma\right) =-\left(\mathscr{A}\mathscr{B}\mathscr{A}\beta,\mathscr{B}\gamma\right)\\\\ =&-\left(\mathscr{A}^2\mathscr{B}\mathscr{A}\beta,\gamma\right)=-(0,\gamma)=0, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
而 $\displaystyle \mathscr{A}\mathscr{B}\gamma=0$;
$$\begin{aligned} \left(\mathscr{B}\gamma,\mathscr{B}\gamma\right)=\left(\mathscr{A}\mathscr{B}\gamma,\gamma\right)=(0,\gamma)=0, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
而 $\displaystyle \mathscr{B}\gamma=0$. 同理, $\displaystyle \mathscr{A}\beta=0\Rightarrow \alpha=0$. 这就证明了
$$\begin{aligned} \ker \mathscr{C}\cap (\mathrm{im} \mathscr{A}+\mathrm{im} \mathscr{B})=\left\{0\right\}.\qquad(III) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是
$$\begin{aligned} (II)\Rightarrow& \dim(\ker \mathscr{C}+\mathrm{im} \mathscr{A}+\mathrm{im} \mathscr{B})\\\\ =&\dim \ker \mathscr{C}+\dim \mathrm{im} \mathscr{A}+\dim \mathrm{im} \mathscr{B} =n=\dim V. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这就证明了 $\displaystyle \ker \mathscr{C}+\mathrm{im} \mathscr{A}+\mathrm{im} \mathscr{B}=V$. 联合 $\displaystyle (I), (II)$ 即知
$$\begin{aligned} V=\ker \mathscr{C}\oplus \mathrm{im} \mathscr{A}\oplus\mathrm{im} \mathscr{B} . \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这里, 最后一步我们利用了如下直和的定理: 设 $\displaystyle V=V_1+\cdots+V_s$, 则
$$\begin{aligned} V=\oplus_{i=1}^s V_i\Leftrightarrow V_i\cap \sum_{j < i}V_j=\left\{0\right\}, i=2,\cdots,s. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1447、 (4)、 已知
$$\begin{aligned} V=\left\{\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&0&a\\\\ a+3b&c&0\\\\ 0&b-c&a\end{array}\right); a,b,c\in\mathbb{F}\right\} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
按照通常矩阵的加法和数乘构成线性空间, 则 $\displaystyle \dim V=\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (厦门大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle V$ 有一组基 $\displaystyle E_{13}+E_{21}+E_{33}, 3E_{21}+E_{32}, E_{22}-E_{32}$, 而 $\displaystyle \dim V=3$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1448、 (5)、 $\displaystyle \varphi$ 是线性空间 $\displaystyle V$ 到 $\displaystyle W$ 的线性映射, $\displaystyle e_1,e_2,e_3$ 是 $\displaystyle V$ 的一个基, $\displaystyle \eta_1,\eta_2$ 是 $\displaystyle W$ 的一个基, $\displaystyle \varphi$ 在上述两个基下的矩阵是 $\displaystyle \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1&2\\\\ -1&1&0\end{array}\right)$, 则 $\displaystyle \ker\varphi=\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (厦门大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设题中矩阵为 $\displaystyle A$, 则 $\displaystyle A\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&1\\\\ 0&1&1\end{array}\right)$, 而 $\displaystyle Ax=0$ 的基础解系为 $\displaystyle (-1,-1,1)^\mathrm{T}$, $\displaystyle \ker \varphi=L(-e_1-e_2+e_3)$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1449、 7、 设 $\displaystyle V$ 为复数域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上的 $\displaystyle n$ 维线性空间, $\displaystyle \varphi_j: V\to\mathbb{C}$ 是非零的线性函数, $\displaystyle j=1,2$. 若不存在 $\displaystyle 0\neq c\in\mathbb{C}$, 使得 $\displaystyle \varphi_1=c\varphi_2$. 证明: 任意的 $\displaystyle \alpha\in V$ 都可表示为 $\displaystyle \alpha=\alpha_1+\alpha_2$ 使得
$$\begin{aligned} \varphi_1(\alpha)=\varphi_1(\alpha_2), \varphi_2(\alpha)=\varphi_2(\alpha_1). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(厦门大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 由 $\displaystyle \varphi_j$ 不是非零的值 $\displaystyle \exists\ \beta\in V,\mathrm{ s.t.} l\equiv f(\beta)\neq 0$. 于是
$$\begin{aligned} \forall\ \alpha\in V, f(\alpha)=\frac{f(\alpha)}{l}\cdot l\in L(l). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle \dim \mathrm{im} \varphi_j=1$,
$$\begin{aligned} \dim \ker \varphi_j=n-\dim \mathrm{im} \varphi_j=n-1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2)、 我们用反证法证明 $\displaystyle \ker \varphi_1\neq \ker \varphi_2$. 若不然, $\displaystyle \ker \varphi_1=\ker \varphi_2$ 有一组基 $\displaystyle \varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_{n-1}$, 将其扩充为 $\displaystyle V$ 的一组基 $\displaystyle \varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n$, 则 $\displaystyle \varphi_i(\varepsilon_n)\neq 0$. 对 $\displaystyle \forall\ \alpha=\sum_i x_i\varepsilon_i\in V$,
$$\begin{aligned} \varphi_1(\alpha)=x_n\varphi_1(\varepsilon_n)=x_n\frac{\varphi_1(\varepsilon_n)}{\varphi_2(\varepsilon_n)}\varphi_2(\varepsilon_n) =\frac{\varphi_1(\varepsilon_n)}{\varphi_2(\varepsilon_n)}\varphi_2(\alpha). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这与题设矛盾. 故有结论. (3)、 由第 2 步知 $\displaystyle \ker \varphi_1+\ker \varphi_2\supsetneq \ker \varphi_1$,
$$\begin{aligned} & \dim (\ker \varphi_1+\ker \varphi_2) > \dim \ker \varphi_1=n-1\\\\ \Rightarrow& \ker \varphi_1+\ker \varphi_2=V. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
对 $\displaystyle \forall\ \alpha\in V$, 由上式知
$$\begin{aligned} \alpha=\alpha_1+\alpha_2, \alpha_i\in \ker \varphi_i, \varphi_1(\alpha)=\varphi_1(\alpha_2), \varphi_2(\alpha)=\varphi_2(\alpha_1). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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