张祖锦2023年数学专业真题分类70天之第62天
1404、 7、 设线性空间 $\displaystyle V_1$ 的一组基为
$$\begin{aligned} \alpha_1=(1,2,1)^\mathrm{T}, \alpha_2=(1,1,-1)^\mathrm{T}, \alpha_3=(1,3,3)^\mathrm{T}, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
线性空间 $\displaystyle V_2$ 的一组基为
$$\begin{aligned} \beta_1=(2,3,-1)^\mathrm{T}, \beta_2=(1,2,2)^\mathrm{T}, \beta_3=(1,1,-3)^\mathrm{T}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
求 $\displaystyle V_1+V_2$ 与 $\displaystyle V_1\cap V_2$ 的一组基与维数. (河北工业大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由
$$\begin{aligned} A=&(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\beta_1,\beta_2,\beta_3) =\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1&1&2&1&1\\\\ 2&1&3&3&2&1\\\\ 1&-1&3&-1&2&-3\end{array}\right)\\\\ \to&\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&2&0&2&-2\\\\ 0&1&-1&0&1&-1\\\\ 0&0&0&1&-1&2\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\beta_1$ 线性无关, 是 $\displaystyle V_1+V_2$ 的一组基, $\displaystyle \dim(V_1+V_2)=3$, 且 [张祖锦注: 初等行变换不改变列向量组的秩及极大无关组所在的位置, 并且可以一下得到其余向量用极大无关组的表示法, 这是张祖锦独创的, 具体证明见张祖锦编著的《樊启斌参考书》中张祖锦常用的结论.]
$$\begin{aligned} \alpha_3=2\alpha_1-\alpha_2, \beta_2=2\alpha_1+\alpha_2-\beta_1, \beta_3=-2\alpha_1-\alpha_2+2\beta_1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
又由
$$\begin{aligned} &\alpha\in V_1\cap V_2\Leftrightarrow \alpha=\sum_i x_i\alpha_i=-\sum_i x_i\beta_i\\\\ \Leftrightarrow&\alpha=\sum_i x_i\alpha_i, Ax=0\\\\ \stackrel{(I)}{\Leftrightarrow}&\alpha=\sum_i x_i\alpha_i, x\in L\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}(-2,1,1,0,0,0)^\mathrm{T}, (-2,-1,0,1,1,0)^\mathrm{T},\\\\ (2,1,0,-2,0,1)^\mathrm{T}\end{array}\right)\\\\ \Leftrightarrow&\alpha\in L(-2\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3, -2\alpha_1-\alpha_2, 2\alpha_1+\alpha_2)\\\\ &=L(2\alpha_1+\alpha_2)=L((3,5,1)^\mathrm{T}) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle (3,5,1)^\mathrm{T}$ 是 $\displaystyle V_1\cap V_2$ 的一组基, $\displaystyle \dim(V_1\cap V_2)=1$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1405、 (2)、 二维线性空间 $\displaystyle V$ 上的线性变换 $\displaystyle \mathscr{A}$ 在 $\displaystyle V$ 的基 $\displaystyle \varepsilon_1,\varepsilon_2$ 下的矩阵为 $\displaystyle \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&4\\\\ 4&1\end{array}\right)$, 则 $\displaystyle \mathscr{A}$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_1+\varepsilon_2,\varepsilon_2$ 下的矩阵为 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (黑龙江大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由题设,
$$\begin{aligned} \mathscr{A}(\varepsilon_1,\varepsilon_2)=&(\varepsilon_1,\varepsilon_2)A, A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&4\\\\ 4&1\end{array}\right);\\\\ (\varepsilon_1+\varepsilon_1,\varepsilon_2)=&(\varepsilon_1,\varepsilon_2)T, T=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0\\\\ 1&1\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是
$$\begin{aligned} &\mathscr{A}(\varepsilon_1+\varepsilon_1,\varepsilon_2)=\mathscr{A}(\varepsilon_1,\varepsilon_2)T =(\varepsilon_1,\varepsilon_2)AT =(\varepsilon_1+\varepsilon_1,\varepsilon_2)T^{-1}AT. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle \mathscr{A}$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_1+\varepsilon_2,\varepsilon_2$ 下的矩阵为 $\displaystyle T^{-1}AT=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}6&4\\\\-1&-3\end{array}\right)$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1406、 (2)、 设 $\displaystyle \mathbb{P}[x]_4$ 为数域 $\displaystyle \mathbb{P}$ 上的次数小于 $\displaystyle 4$ 的多项式与零多项式构成的线性空间, $\displaystyle \mathscr{A}$ 是 $\displaystyle \mathbb{P}[x]_4$ 上的线性变换, 满足
$$\begin{aligned} \mathscr{A} f(x)=f'(x)-2f(x),\quad \forall\ f(x)\in \mathbb{P}[x]_4. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(1)、 求 $\displaystyle \mathscr{A}$ 在基 $\displaystyle 1,x,x^2,x^3$ 下的矩阵; (2)、 求 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的核与值域. (黑龙江大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 由
$$\begin{aligned} \mathscr{A} 1=-2, \mathscr{A} x=1-2x, \mathscr{A} x^2=2x-2x^2, \mathscr{A} x^3=3x^2-2x^3 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知
$$\begin{aligned} \mathscr{A}(1,x,x^2,x^3)=(1,x,x^2,x^3)A, A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-1&1&0&0\\\\ 0&-2&2&0\\\\ 0&0&-2&3\\\\ 0&0&0&-2\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2)、 由 $\displaystyle A$ 可逆知 $\displaystyle \mathscr{A}$ 可逆, 而 $\displaystyle \ker\mathscr{A}=\left\{0\right\}, \mathrm{im}\mathscr{A}=\mathbb{P}[x]_4$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1407、 (4)、 $\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性无关, $\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$ 线性相关, $\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_5$ 线性无关. 证明: (1)、 $\displaystyle \alpha_4$ 可由 $\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性表示; (2)、 $\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4-\alpha_5$ 线性无关. (黑龙江大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 由 $\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$ 线性相关知存在不全为 $\displaystyle 0$ 的数 $\displaystyle k_1,\cdots,k_4$, 使得
$$\begin{aligned} k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3+k_4\alpha_4=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
往用反证法证明 $\displaystyle k_4\neq 0$. 若不然, $\displaystyle k_4=0$, 则 $\displaystyle k_1,k_2,k_3$ 不全为 $\displaystyle 0$, 且 $\displaystyle k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3=0$. 而 $\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性相关. 这与题设矛盾. 故 $\displaystyle k_4\neq 0$,
$$\begin{aligned} \alpha_4=-\frac{1}{k_4}(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle \alpha_4$ 可由 $\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性表示. (2)、 由
$$\begin{aligned} &(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4-\alpha_5)\\\\ =&\left(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,-\frac{1}{k_4}(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3)-\alpha_5\right)\\\\ =&(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_5)A, A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&0&-k_1/k_4\\\\ 0&1&0&-k_2/k_4\\\\ 0&0&1&-k_3/k_4\\\\ 0&0&0&-1\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
及 $\displaystyle A$ 可逆知 $\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4-\alpha_5$ 线性无关.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1408、 3、 设数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上的多项式 $\displaystyle f_1(x), \cdots, f_s(x)$ 的最大公因式为 $\displaystyle f_0(x)$, 且 $\displaystyle f_0(x)$ 的次数 $\displaystyle \deg f(x)=d < n$. 设
$$\begin{aligned} V_n=\left\{f(x)=\sum_{i=1}^s u_i(x)f_i(x); u_i(x)\in\mathbb{K}[x], \deg f(x) < n\right\}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(1)、 证明: $\displaystyle V_n$ 对于多项式加法及数乘运算构成 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上的线性空间; (2)、 计算线性空间 $\displaystyle V_n$ 的维数, 并写出 $\displaystyle V_n$ 的一组基. (湖南大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 对 $\displaystyle \forall\ k,l\in\mathbb{K}$,
$$\begin{aligned} f(x)=\sum_{i=1}^s u_i(x)f_i(x), g(x)=\sum_{i=1}^s v_i(x)f_i(x)\in V_n, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
有
$$\begin{aligned} kf(x)+lg(x)=\sum_{i=1}^s [ku_i(x)+lv_i(x)]f_i(x)\in V_n. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle V_n$ 是 $\displaystyle \mathbb{P}[x]_n$ 的线性子空间, 而是 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上的线性空间. (2)、 为证第 2 问, 我们先给出一个结果. 设 $\displaystyle p_1(x),\cdots,p_s(x)$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}[x]$ 中的非零多项式, 其次数各不相同, 分别为 $\displaystyle n_1,\cdots,n_s$. 则 $\displaystyle p_1(x),\cdots, p_s(x)$ 在实数域上线性无关. 事实上, 不妨设 $\displaystyle n_1 < \cdots < n_s$, $\displaystyle p_i(x)$ 的最高次项系数为 $\displaystyle a_i$. 再设
$$\begin{aligned} c_1p_1(x)+\cdots+c_sp_s(x)=0.\qquad(I) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
若 $\displaystyle c_s\neq 0$, 则由
$$\begin{aligned} \deg\left(c_1p_1(x)+\cdots+c_{s-1}p_{s-1}(x)\right)\leq n_{s-1} < n_s \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle (I)$ 的左端是 $\displaystyle n_s$ 次多项式, 不等于 $\displaystyle 0$. 这与 $\displaystyle (I)$ 矛盾. 故 $\displaystyle c_s=0$. 同理可不断推得 $\displaystyle c_{s-1}=0, \cdots,c_1=0$. 故有结论. (3)、 由 $\displaystyle (f_1,\cdots,f_n)=f_0$ 知
$$\begin{aligned} \exists\ g_i\in \mathbb{K}[x],\mathrm{ s.t.} f_i=g_if_0; \exists\ w_i\in\mathbb{K}[x],\mathrm{ s.t.} f_0=\sum_{i=1}^s w_if_i. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
对 $\displaystyle f(x)=\sum_{i=1}^s u_i(x)f_i(x)\in V_n$,
$$\begin{aligned} f(x)=\sum_{i=1}^s u_i(x)\cdot g_i(x)f_0(x)\Rightarrow f_0\mid f. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
反之, 若 $\displaystyle f_0\mid f$, 则
$$\begin{aligned} \exists\ g\in\mathbb{K}[x],\mathrm{ s.t.} f=gf_0=g\sum_{i=1}^s w_if_i =\sum_{i=1}^s (gw_i)f_i\in V_n. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这就证明了
$$\begin{aligned} f\in V_n\Leftrightarrow&\exists\ g\in \mathbb{K}[x],\mathrm{ s.t.} f=gf_0, \deg f < n\\\\ &\Leftrightarrow \exists g(x)=\sum_{i=0}^{n-1-d}a_ix^i, \mathrm{ s.t.} f(x)=\sum_{i=0}^{n-1-d}a_ix^if_0(x)\\\\ &\Leftrightarrow f\in L\left(f_0(x), xf_0(x),\cdots, x^{n-1-d}f_0(x)\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由第 2 步知 $\displaystyle f_0(x), xf_0(x),\cdots, x^{n-1-d}f_0(x)$ 线性无关, 而是 $\displaystyle V_n$ 的一组基, $\displaystyle \dim V_n=n-d$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1409、 5、 设
$$\begin{aligned} \mathbb{K}[x]_n=\left\{f(x)\in\mathbb{K}[x]; \deg f(x) < n\right\}\cup\left\{0\right\} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
为数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上次数小于 $\displaystyle n$ 的多项式全体构成的线性空间, 定义 $\displaystyle \mathbb{K}[x]_n$ 上的线性变换 $\displaystyle \mathscr{A}$ 如下:
$$\begin{aligned} \mathscr{A} f(x)=f(x)+f'(x)+\frac{f‘(x)}{2}+\cdots+\frac{f^{(n-1)}(x)}{(n-1)!}, \forall\ f(x)\in \mathbb{K}[x]. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(1)、 写出线性变换 $\displaystyle \mathscr{A}$ 在 $\displaystyle \mathbb{K}[x]_n$ 的基
$$\begin{aligned} \varepsilon_0=1, \varepsilon_1=x, \varepsilon_2=x^2, \cdots, \varepsilon_{n-1}=x^{n-1} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
下的矩阵 $\displaystyle A$; (2)、 证明:
$$\begin{aligned} \eta_0=1, \eta_1=x-1, \eta_2=(x-1)^2, \cdots, \eta_{n-1}=(x-1)^{n-1} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
是 $\displaystyle \mathbb{K}[x]_n$ 的一组基; (3)、 证明: 线性变换 $\displaystyle \mathscr{A}$ 是双射, 且
$$\begin{aligned} \mathscr{A}^{-1} f(x)=f(x)-f'(x)+\frac{f''(x)}{2}+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{f^{(n-1)}(x)}{(n-1)!}; \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(4)、 判断线性变换 $\displaystyle \mathscr{A}$ 是否可对角化, 并给出理由. (湖南大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 由
$$\begin{aligned} \mathscr{A} x^k=&x^k+kx^{k-1}+\frac{k(k-1)x^{k-2}}{2} +\frac{k(k-1)(k-2)x^{k-3}}{3!}+\cdots\\\\ =&\sum_{i=0}^k C_k^ix^i \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知
$$\begin{aligned} \mathscr{A}(\varepsilon_0,\cdots,\varepsilon_{n-1})=(\varepsilon_0,\cdots,\varepsilon_{n-1})A, A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1&1&\cdots&1\\\\ &1&2&\cdots&C_{n-1}^2\\\\ &&1&\cdots&C_{n-1}^3\\\\ &&&\ddots&\vdots\\\\ &&&&1\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2)、 (2-1)、 我们先给出一个结果. 设 $\displaystyle p_1(x),\cdots,p_s(x)$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}[x]$ 中的非零多项式, 其次数各不相同, 分别为 $\displaystyle n_1,\cdots,n_s$. 则 $\displaystyle p_1(x),\cdots, p_s(x)$ 在实数域上线性无关. 事实上, 不妨设 $\displaystyle n_1 < \cdots < n_s$, $\displaystyle p_i(x)$ 的最高次项系数为 $\displaystyle a_i$. 再设
$$\begin{aligned} c_1p_1(x)+\cdots+c_sp_s(x)=0.\qquad(I) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
若 $\displaystyle c_s\neq 0$, 则由
$$\begin{aligned} \deg\left(c_1p_1(x)+\cdots+c_{s-1}p_{s-1}(x)\right)\leq n_{s-1} < n_s \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle (I)$ 的左端是 $\displaystyle n_s$ 次多项式, 不等于 $\displaystyle 0$. 这与 $\displaystyle (I)$ 矛盾. 故 $\displaystyle c_s=0$. 同理可不断推得 $\displaystyle c_{s-1}=0, \cdots,c_1=0$. 故有结论. (2-2)、 由 $\displaystyle \deg \eta_i=i, 0\leq i\leq n-1$ 及第 i 步知 $\displaystyle \eta_0,\cdots,\eta_{n-1}$ 线性无关, 是 $\displaystyle n$ 维线性空间 $\displaystyle \mathbb{K}[x]_n$ 的一组基. (3)、 由 $\displaystyle |A|=1\neq 0$ 知 $\displaystyle \mathscr{A}$ 是可逆的, 是双射. 再者, 考虑 $\displaystyle \mathbb{K}[x]_n$ 的两组基
$$\begin{aligned} \varepsilon_i: 1,x,x^2,\cdots,x^{n-1};\quad \eta_i: 1,x-1,(x-1)^2,\cdots,(x-1)^{n-1}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则
$$\begin{aligned} &\left(1,x-1,(x-1)^2,\cdots,(x-1)^{n-1}\right)\\\\ =&(1,x,x^2,\cdots,x^{n-1})\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&-1&1&\cdots&(-1)^{n-1}\\\\ 0&1&-2&\cdots&(-1)^{n-2}C_{n-1}^1\\\\ 0&0&1&\cdots&(-1)^{n-3}C_{n-1}^2\\\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\\\ 0&0&0&\cdots&1\end{array}\right)\\\\ =&(1,x,x^2,\cdots,x^{n-1})T. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故
$$\begin{aligned} (1,x,x^2,\cdots,x^{n-1})=&\left(1,x-1,(x-1)^2,\cdots,(x-1)^{n-1}\right)T^{-1}.\qquad(1) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
注意到
$$\begin{aligned} x^{i-1}=&\left[(x-1)+1\right]^{i-1} =\sum_{j=0}^{i-1}C_{i-1}^j (x-1)^j\\\\ =&\sum_{j=1}^i C_{i-1}^{j-1} (x-1)^{j-1}, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
我们知
$$\begin{aligned} &(1,x,x^2,\cdots,x^{n-1})\\\\ =&\left(1,x-1,(x-1)^2,\cdots,(x-1)^{n-1}\right) \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1&1&\cdots&C_{n-1}^1\\\\ 0&1&2&\cdots&C_{n-1}^1\\\\ 0&0&1&\cdots&C_{n-1}^2\\\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\\\ 0&0&0&\cdots&1\end{array}\right).\qquad(2) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
比较 $\displaystyle (1),(2)$ 即知
$$\begin{aligned} &T^{-1}=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1&1&\cdots&C_{n-1}^1\\\\ 0&1&2&\cdots&C_{n-1}^1\\\\ 0&0&1&\cdots&C_{n-1}^2\\\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\\\ 0&0&0&\cdots&1\end{array}\right)=A. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是
$$\begin{aligned} \mathscr{A}^{-1}(1,x,x^2,\cdots,x^{n-1})=&(1,x,x^2,\cdots,x^{n-1})A^{-1}\\\\ =&(1,x,x^2,\cdots,x^{n-1})T. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
此即
$$\begin{aligned} \mathscr{A}^{-1} x^k=&x^k-C_k^1 x^{k-1}+C_k^2 x^{k-2}+\cdots+(-1)^k\\\\ =&x^k-(x^k)'+\frac{(x^k)''}{2!}-\cdots+(-1)^k \frac{(x^k)^{(k)}}{k!}, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
进而
$$\begin{aligned} \mathscr{A}^{-1} f(x)=f(x)-f'(x)+\frac{f''(x)}{2}+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{f^{(n-1)}(x)}{(n-1)!}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(4)、 易知 $\displaystyle A$ 的特征值为 $\displaystyle 1$. 又由 $\displaystyle A-E$ 的右上角有一个 $\displaystyle n-1$ 阶子式 $\displaystyle =(n-1)!\neq 0$ 知
$$\begin{aligned} \mathrm{rank}(A-E)=n-1\Rightarrow A\mbox{的 Jordan 标准形为 }\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1&&\\\\ &\ddots&\ddots&\\\\ &&\ddots&1\\\\ &&&1\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是 $\displaystyle \mathscr{A}$ 在 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上不可对角化, 进而在 $\displaystyle \mathbb{K}$ 中不可对角化. 当然, 你可以由 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的属于特征值 $\displaystyle 1$ 的特征向量只有一个知 $\displaystyle \mathscr{A}$ 不可对角化.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1410、 (3)、 考虑欧氏空间 $\displaystyle \mathbb{R}^4$ 中的向量
$$\begin{aligned} &\alpha_1=(1,3,1,-1), \alpha_2=(2,3,2,1),\\\\ &\beta_1=(3,-1,-3,-5), \beta_2=(2,-1,0,1). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
设 $\displaystyle W_1$ 是由 $\displaystyle \alpha_1,\alpha_2$ 生成的子空间, $\displaystyle W_2$ 是由 $\displaystyle \beta_1,\beta_2$ 生成的子空间, 则 $\displaystyle W_1\cap W_2$ 的维数是 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (华东师范大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由
$$\begin{aligned} A&=(\alpha_1^\mathrm{T}, \alpha_2^\mathrm{T}, \beta_1^\mathrm{T}, \beta_2^\mathrm{T}) =\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&2&3&2\\\\ 3&3&-1&-1\\\\ 1&2&-3&0\\\\ -1&1&-5&1\end{array}\right)\\\\ \to&\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&0&-\frac{13}{9}\\\\ 0&1&0&\frac{11}{9}\\\\ 0&0&1&\frac{1}{3}\\\\ 0&0&0&0\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle AX=0$ 的基础解系为 $\displaystyle \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}13\\\\-11\\\\-3\\\\9\end{array}\right)$. 故
$$\begin{aligned} \alpha\in W_1\cap W_2\Leftrightarrow&\alpha=x_1\alpha_1+x_2\alpha_2=-x_3\beta_1-x_4\beta_2\\\\ \Leftrightarrow&\alpha=x_1\alpha_1+x_2\alpha_2, Ax=0\\\\ \Leftrightarrow&\alpha=k(13\alpha_1-11\alpha_2)=3k(-3,2,-3,-8). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这表明 $\displaystyle W_1\cap W_2=L\left((-3,2,-3,-8)\right), \dim (W_1\cap W_2)=1$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1411、 2、 解答题 (每题 20 分, 共 100 分). (1)、 考虑由所有二阶复系数方阵构成的集合
$$\begin{aligned} M_2(\mathbb{C})=\left\{\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}a&b\\\\ c&d\end{array}\right); a,b,c,d\in\mathbb{C}\right\}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
已知 $\displaystyle M_2(\mathbb{C})$ 是以 $\displaystyle E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}$ 为基的复线性空间, 这里 $\displaystyle E_{ij}$ 是指出第 $\displaystyle i$ 行第 $\displaystyle j$ 列元素为 $\displaystyle 1$ 外, 其余元素均为 $\displaystyle 0$ 的二阶方阵. 设
$$\begin{aligned} B=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1\\\\ 1&1\end{array}\right)=E_{11}+E_{12}+E_{21}+E_{22}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(1-1)、 证明: 如下映射为线性映射,
$$\begin{aligned} \begin{array}{cccc} \varphi_B: &M_2(\mathbb{C})&\to&M_2(\mathbb{C}),\\\\ &X&\mapsto&\varphi_B(X)=BX. \end{array} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(1-2)、 求 $\displaystyle \varphi_B$ 在上述基下的表示矩阵. (1-3)、 分别求核空间 $\displaystyle \ker\varphi_B$ 和像空间 $\displaystyle \mathrm{im} \varphi_B$ 的维数与基. (1-4)、 求 $\displaystyle \varphi_B$ 的若尔当典范形. (华东师范大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1-1)、 对 $\displaystyle \forall\ k,l\in\mathbb{C}, X,Y\in M_2(\mathbb{C})$,
$$\begin{aligned} \varphi_B(kX+lY)=&B(kX+lY) =kBX+lBY\\\\ =&k\varphi_B(X)+l\varphi_B(Y). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle \varphi_B$ 是线性映射. (1-2)、 由
$$\begin{aligned} \varphi_B E_{11}=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0\\\\1&0\end{array}\right), \varphi_B E_{12}=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&1\\\\0&1\end{array}\right),\\\\ \varphi_B E_{21}=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0\\\\1&0\end{array}\right), \varphi_B E_{22}=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&1\\\\0&1\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知
$$\begin{aligned} \varphi_B(E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}) =&(E_{11},E_{12},E_{21},E_{22})A,\\\\ A=&\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 1&0&1&0\\\\ 0&1&0&1\\\\ 1&0&1&0\\\\ 0&1&0&1 \end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(1-3)、 由
$$\begin{aligned} A\to \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&1&0\\\\ 0&1&0&1\\\\ 0&0&0&0\\\\ 0&0&0&0\end{array}\right)\qquad(I) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle Ax=0$ 的基础解系为 $\displaystyle (-1,0,1,0)^\mathrm{T}, (0,-1,0,1)^\mathrm{T}$, 而
$$\begin{aligned} \ker \varphi_B=L\left(\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-1&0\\\\1&0\end{array}\right), \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&-1\\\\0&1\end{array}\right)\right)\Rightarrow \dim \ker \varphi_B=2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
此外, $\displaystyle A$ 的列向量组的一个极大无关组为 $\displaystyle Ae_1,Ae_2$, 而
$$\begin{aligned} \mathrm{im}\varphi_B=L\left(\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0\\\\1&0\end{array}\right), \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&1\\\\0&1\end{array}\right)\right)\Rightarrow \dim \mathrm{im}\varphi_B=2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(1-4)、 易知 $\displaystyle A$ 的特征值为 $\displaystyle 2,2,0,0$. 由
$$\begin{aligned} 2E-A\to \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&-1&0\\\\ 0&1&0&-1\\\\ 0&0&0&0\\\\ 0&0&0&0\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
及 $\displaystyle (I)$ 知属于特征值 $\displaystyle 2$ 与 $\displaystyle 0$ 的特征向量都有 $\displaystyle 2$ 个. 故 $\displaystyle \varphi_B$ 可对角化, 其 Jordan 标准形为 $\displaystyle \mathrm{diag}(2,2,0,0)$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1412、 (3)、 已知 $\displaystyle D: \mathbb{R}[x]\to \mathbb{R}[x]$ 是实系数多项式空间上的线性映射, 满足: (3-1)、 $\displaystyle D(fg)=D(f)g+fD(g), \forall\ f,g\in \mathbb{R}[x]$; (3-2)、 $\displaystyle D(x)=1$. (3-1)、 证明: $\displaystyle D(f)=f'$ 是 $\displaystyle f$ 的形式导数; (3-2)、 求 $\displaystyle D$ 限制在 $\displaystyle \mathbb{R}[x]_n$ 上的所有不变子空间, 其中 $\displaystyle \mathbb{R}[x]_n$ 是次数不超过 $\displaystyle n$ 的实多项式空间. [张祖锦注: 如果没有条件’线性‘, 则 $\displaystyle D$ 未必是导数! 反例见参考解答.] (华东师范大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (3-1)、 若 $\displaystyle D(x^k)=x^{k-1}$, 则
$$\begin{aligned} D(x^{k+1})=&D(x^k\cdot x) =D(x^k)\cdot x+x^kD(x)\\\\ =&kx^{k-1}\cdot x+x^k\cdot 1=(k+1)x^k. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故由数学归纳法知 $\displaystyle D(x^k)=kx^{k-1}, k\geq 1$. 由 $\displaystyle D$ 的线性性知 $\displaystyle D(f)=f'$. 注意. 如果没有要求 $\displaystyle D$ 是线性的, 则得不到结果. 反例如下. 对任意 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的不可约多项式 $\displaystyle f$, 定义 $\displaystyle D(f)=1$. 对任一非零多项式 $\displaystyle f(x)=c\prod_k f_k$, 其中 $\displaystyle f_k$ 不可约, 可能相同, 定义
$$\begin{aligned} Df=f\sum_k \frac{D(f_k)}{f_k}=f\sum_k \frac{1}{f_k}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则 $\displaystyle D$ 是良定义的, 且由
$$\begin{aligned} &f=c \prod_k f_k, g=d \prod_l g_l\\\\ \Rightarrow&fg=cd \prod_k f_k \prod_l g_l, Df=f\sum_k \frac{1}{f_k}, Dg=g\sum_l \frac{1}{g_l}\\\\ \Rightarrow&D(fg)=fg\left(\sum_k \frac{1}{f_k}+\sum_l \frac{1}{g_l}\right) =gD(f)+fD(g) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle D$ 确实满足
$$\begin{aligned} D(fg)=D(f)g+fD(g), \forall\ f,g\in \mathbb{R}[x];\quad D(x)=1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
但由 $\displaystyle D(x^2+1)=1$ 知 $\displaystyle D$ 不是求导算子. (3-2)、 设 $\displaystyle W$ 是 $\displaystyle D$ 的非零不变子空间, 则考虑 $\displaystyle W$ 中次数最大的多项式
$$\begin{aligned} f(x)=a_mx^m+\cdots+a_0\in W, a_m\neq 0, m\geq 0, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
而
$$\begin{aligned} D^mf(x)=m!a_m\in W\Rightarrow 1\in W, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
$$\begin{aligned} D^{m-1}f(x)=a_m m!x+a_{m-1}(m-1)!\in W\Rightarrow x\in W, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
$$\begin{aligned} &D^{m-2}f(x)=m(m-1)\cdots 3x^2 +(m-1)!x+(m-2)!\in W\\\\ \Rightarrow& x^2\in W, \cdots. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
最终 $\displaystyle x^m\in W$. 于是 $\displaystyle D$ 的所有不变子空间为
$$\begin{aligned} \left\{0\right\}, L(1), L(1,x), L(1,x,x^2), \cdots, L(1,x,\cdots,x^{n-1}), V. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1413、 (5)、 设 $\displaystyle U$ 和 $\displaystyle V$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上的有限维线性空间, 如果 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上的线性空间 $\displaystyle T$ 和双线性映射 $\displaystyle \sigma: U\times V\to T$ 满足: 对 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上的任一线性空间 $\displaystyle W$ 以及任意双线性映射 $\displaystyle \theta: U\times V\to W$ 都存在唯一的线性映射 $\displaystyle \varphi: T\to W$, 使得 $\displaystyle \theta=\varphi\circ\sigma$, 则称 $\displaystyle T$ 是 $\displaystyle U$ 和 $\displaystyle V$ 的张量积. 证明: 张量积在同构意义下是唯一的. (华东师范大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (5-1)、 先证明 $\displaystyle \sigma: U\times V\to T$ 是满射. 用反证法. 设 $\displaystyle \mathrm{im}\sigma$ 的一组基为 $\displaystyle \varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_r$, 将其看扩充为 $\displaystyle T$ 的一组基 $\displaystyle \varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n$ ($r < n$). 则
$$\begin{aligned} \varphi: T\to T, \varphi(\varepsilon_i)=\left\{\begin{array}{llllllllllll}\varepsilon_i, &1\leq i\leq r,\\\\ 0,&r+1\leq i\leq n\end{array}\right. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
满足 $\displaystyle \varphi\neq 1_T$, 但 $\displaystyle \varphi\circ \sigma=1_T \circ \sigma=\sigma: T\to T$. 这与题设中的’唯一性‘矛盾. 故有结论. (5-2)、 设 $\displaystyle T,T_1$ 都是 $\displaystyle U,V$ 的张量积, 则存在
$$\begin{aligned} \sigma: U\times V\to T,\quad \sigma_1: U\times V\to T_1 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
使得题中的那些结论成立. 特别地,
$$\begin{aligned} &\exists\ \varphi: T\to T_1,\mathrm{ s.t.} \sigma_1=\varphi\circ \sigma,\\\\ &\exists\ \varphi_1: T_1\to T,\mathrm{ s.t.} \sigma=\varphi_1\circ \sigma_1\\\\ \Rightarrow&\sigma=\varphi_1\circ \varphi\circ \sigma, \sigma_1=\varphi\circ \varphi_1\circ \sigma_1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由 $\displaystyle \sigma: U\times V\to T, \sigma_1: U\times V\to T_1$ 都是满射知
$$\begin{aligned} &t=\varphi_1\circ \varphi(t),\quad \forall\ t\in T;\qquad(I) &t_1=\varphi\circ \varphi_1(t_1),\quad \forall\ t_1\in T_1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
$\displaystyle (I)$ 蕴含
$$\begin{aligned} \varphi(t)=\varphi(t')\Rightarrow t=\varphi_1\circ \varphi(t) =\varphi_1\circ \varphi(t')=t', \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
而 $\displaystyle \varphi$ 是单射. $\displaystyle (II)$ 蕴含 $\displaystyle \varphi$ 是满射. 故 $\displaystyle \varphi: T: \to T_1$ 是可逆的, 是同构映射. 这就证明了张量积在同构意义下是唯一的.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1414、 5、 $\displaystyle V$ 是有限维实线性空间, $\displaystyle \mathscr{A}$ 是 $\displaystyle V$ 上的线性变换, $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的特征多项式, 且存在复数 $\displaystyle a+b\mathrm{ i}\ (b\neq 0)$ 使得 $\displaystyle f(a+b\mathrm{ i})=0$. 证明: 存在 $\displaystyle V$ 的二维子空间 $\displaystyle W$, 使得 $\displaystyle \mathscr{A} W\subset W$. (华南理工大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 取定 $\displaystyle V$ 的一组基 $\displaystyle \varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n$, 设
$$\begin{aligned} \mathscr{A}(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n)=(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n)A, A\in\mathbb{R}^{n\times n}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则 $\displaystyle A$ 的特征多项式为 $\displaystyle f(x)\in\mathbb{R}[x]$. 由题设, $\displaystyle a+b\mathrm{ i}$ 是 $\displaystyle A$ 的特征值, 设 $\displaystyle 0\neq \xi+\mathrm{ i} \eta\ (\xi,\eta\in\mathbb{R}^n)$ 为对应的特征向量, 则
$$\begin{aligned} A(\xi+\mathrm{ i} \eta)=(a+b\mathrm{ i})(\xi+\mathrm{ i} \eta) \Rightarrow A\xi=a\xi-b\eta, A\eta=b\xi+a\eta. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2)、 往证 $\displaystyle \xi,\eta$ 线性无关. 设 $\displaystyle k\xi+l\eta=0, k,l\in\mathbb{R}$, 则
$$\begin{aligned} 0=&kA\xi+lA\eta=k(a\xi-b\eta)+l(b\xi+a\eta)\\\\ =&a(k\xi+l\eta)+b(-k\eta+l\xi) =b(-k\eta+l\xi). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由 $\displaystyle b\neq 0$ 知 $\displaystyle -k\eta+l\xi=0$. 于是
$$\begin{aligned} 0=&(k\xi+l\eta)^\mathrm{T} (k\xi+l\eta)=k^2\xi^\mathrm{T}\xi+2kl\xi^\mathrm{T} \eta+l^2\eta^\mathrm{T}\eta,\\\\ 0=&(-k\eta+l\xi)^\mathrm{T} (-k\eta+l\xi)=l^2\xi^\mathrm{T} \xi-2kl\xi^\mathrm{T} \eta+k^2\eta^\mathrm{T} \eta. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
相加即得
$$\begin{aligned} (k^2+l^2)(\xi^\mathrm{T} \xi+\eta^\mathrm{T} \eta)=0\stackrel{\xi+\mathrm{ i}\eta\neq 0}{\Rightarrow}k^2+l^2=0\Rightarrow k=l=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(3)、 设
$$\begin{aligned} \alpha=(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n)\xi, \beta=(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n)\eta\in V, W=L(\alpha,\beta), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则 $\displaystyle \dim W=2, \mathscr{A} W\subset W$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1415、 6、 设 $\displaystyle f(x)$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{P}$ 上的二次多项式, $\displaystyle x_1,x_2\in\mathbb{P}$ 是它的两个不同根. 再设 $\displaystyle \mathscr{A}$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{P}$ 上的线性空间 $\displaystyle V$ 上的非数乘线性变换, 满足 $\displaystyle f(\mathscr{A})=\mathscr{O}$. (1)、 证明: $\displaystyle x_1,x_2$ 是 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的特征值; (2)、 证明: $\displaystyle V=V_{x_1}\oplus V_{x_2}$, 其中 $\displaystyle V_{x_i}$ 是 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的属于特征值 $\displaystyle x_i$ 的特征子空间. (华南理工大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 由题设, $\displaystyle f(x)=(x-x_1)(x-x_2)$, 且
$$\begin{aligned} (\mathscr{A}-x_1\mathscr{E})(\mathscr{A}-x_2\mathscr{E})=\mathscr{O} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
($\mathscr{E}, \mathscr{O}$ 分别是单位变换和零变换). 往用反证法证明 $\displaystyle \mathscr{A}-x_1\mathscr{E}$ 不是可逆的, 若不然, 由上式知 $\displaystyle \mathscr{A}-x_2\mathscr{E}=\mathscr{O}$, 与题设矛盾. 故有结论. 从而
$$\begin{aligned} \exists\ 0\neq\alpha\in V,\mathrm{ s.t.} (\mathscr{A}-x_1\mathscr{E})\alpha=0\Rightarrow \mathscr{A}\alpha=x_1\alpha. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这表明 $\displaystyle x_1$ 是 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的特征值. 同理, $\displaystyle x_2$ 也是 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的特征值. (2)、 对 $\displaystyle \alpha\in V$, 若 $\displaystyle \alpha=\alpha_1+\alpha_2, \alpha_i\in V_{x_i}$, 则 $\displaystyle \mathscr{A}\alpha=x_1\alpha_1+x_2\alpha_2$. 从而求得 $\displaystyle \alpha_1=\frac{\mathscr{A}\alpha-x_2\alpha}{x_1-x_2}, \alpha_2=\frac{-\mathscr{A}\alpha+x_1\alpha}{x_1-x_2}$. 这就证明了 $\displaystyle V=V_{x_1}+V_{x_2}$. 又由
$$\begin{aligned} \alpha\in V_{x_1}\cap V_{x_2}\Rightarrow x_1\alpha=\mathscr{A}\alpha=x_2\alpha\stackrel{x_1\neq x_2}{\Rightarrow}\alpha=0 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle V=V_{x_1}\oplus V_{x_2}$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1416、 (4)、 向量空间 $\displaystyle \mathbb{F}^3$ 中定义线性变换
$$\begin{aligned} \sigma(x_1,x_2,x_3)=(x_3-x_2, 2x_2, 2x_1-x_2), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则线性变换关于基 $\displaystyle \alpha_1=(1,0,1), \alpha_2=(0,1,0), \alpha_3=(0,0,1)$ 的矩阵是 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (华南师范大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由
$$\begin{aligned} \sigma \alpha_1=(1,0,2), \sigma \alpha_2=(-1,2,-1), \sigma \alpha_3=(1,0,0) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知
$$\begin{aligned} \sigma(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=(e_1,e_2,e_3)A, A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&-1&1\\\\ 0&2&0\\\\ 2&-1&0\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由
$$\begin{aligned} (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=(e_1,e_2,e_3)T, T=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&0\\\\ 0&1&0\\\\ 1&0&1\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知
$$\begin{aligned} \sigma(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)T^{-1}A. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故线性变换 $\displaystyle \sigma$ 关于基 $\displaystyle \alpha_1=(1,0,1), \alpha_2=(0,1,0), \alpha_3=(0,0,1)$ 的矩阵是 $\displaystyle T^{-1}A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&-1&1\\\\ 0&2&0\\\\ 1&0&-1\end{array}\right)$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1417、 (5)、 向量空间 $\displaystyle \mathbb{F}[x]_3$ 中多项式 $\displaystyle f(x)=x^3-3x^2+2x+1$ 关于基
$$\begin{aligned} \left\{x-1,1-x^2,x^2+2x-2, x^3\right\} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
的坐标是 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (华南师范大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由
$$\begin{aligned} \left(x-1,1-x^2,x^2+2x-2, x^3\right)=(1,x,x^2,x^3)T, T=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-1&1&-2&0\\\\ 1&0&2&0\\\\ 0&-1&1&0\\\\ 0&0&0&1\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知
$$\begin{aligned} f(x)=&(1,x,x^2,x^3)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1\\\\2\\\\-3\\\\1\end{array}\right)\\\\ =&\left(x-1,1-x^2,x^2+2x-2, x^3\right)T^{-1}\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1\\\\2\\\\-3\\\\1\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle f$ 在题中基下的坐标为 $\displaystyle T^{-1}\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1\\\\2\\\\-3\\\\1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2\\\\3\\\\0\\\\1\end{array}\right)$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1418、 6、 设欧氏空间 $\displaystyle \mathbb{R}^4$ 上的一个线性变换 $\displaystyle \sigma$ 关于基 $\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$ 的矩阵为
$$\begin{aligned} A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&1&1&-1\\\\ 1&0&-1&1\\\\ 1&-1&0&1\\\\ -1&1&1&0\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(1)、 求正交矩阵 $\displaystyle P$ 和对角矩阵 $\displaystyle \varLambda$, 使得 $\displaystyle P^\mathrm{T} AP=\varLambda$; (2)、 判断线性变换 $\displaystyle \sigma$ 是否可逆? (3)、 证明: 向量组
$$\begin{aligned} \eta_1=\alpha_1+\alpha_2, \eta_2=\alpha_2, \eta_3=\alpha_3+\alpha_4, \eta_4=\alpha_4 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
仍是 $\displaystyle \mathbb{R}^4$ 的一个基, 并求 $\displaystyle \sigma$ 关于这组基的矩阵; (4)、 向量 $\displaystyle \alpha$ 关于基 $\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$ 的坐标为 $\displaystyle (1,2,1,2)$, 求 $\displaystyle \alpha$ 关于基 $\displaystyle \eta_1,\eta_2,\eta_3,\eta_4$ 的坐标. (华南师范大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 易知 $\displaystyle A$ 的特征值为 $\displaystyle 1,1,1,-3$. 由
$$\begin{aligned} E-A\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&-1&-1&1\\\\ 0&0&0&0\\\\ 0&0&0&0\\\\ 0&0&0&0\end{array}\right), -3E-A\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 1&0&0&-1\\\\ 0&1&0&1\\\\ 0&0&1&1\\\\ 0&0&0&0 \end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle A$ 的属于特征值 $\displaystyle 1,-3$ 的特征向量分别为
$$\begin{aligned} \xi_1=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1\\\\1\\\\0\\\\0 \end{array}\right), \xi_2=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1\\\\0\\\\1\\\\0 \end{array}\right), \xi_3=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-1\\\\0\\\\0\\\\1 \end{array}\right), \xi_4=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1\\\\-1\\\\-1\\\\1\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
将 $\displaystyle \xi_1,\xi_2,\xi_3,\xi_4$ 标准正交化为 $\displaystyle \eta_1,\eta_2,\eta_3,\eta_4$. 令
$$\begin{aligned} P=(\eta_1,\eta_2,\eta_3,\eta_4)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{6}}&-\frac{1}{2\sqrt{3}}&\frac{1}{2}\\\\ \frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{6}}&\frac{1}{2\sqrt{3}}&-\frac{1}{2}\\\\ 0&\frac{2}{\sqrt{6}}&\frac{1}{2\sqrt{3}}&-\frac{1}{2}\\\\ 0&0&\frac{\sqrt{3}}{2}&\frac{1}{2} \end{array}\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则 $\displaystyle P$ 正交, 且
$$\begin{aligned} P^\mathrm{T} AP=P^{-1}AP=\mathrm{diag}\left(1,1,1,-3\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2)、 由 $\displaystyle A$ 可逆知 $\displaystyle \sigma$ 可逆. (3)、 由
$$\begin{aligned} (\eta_1,\cdots,\eta_4)=(\alpha_1,\cdots,\alpha_4)T, T=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&&&\\\\ 1&1&&\\\\ &&1&\\\\ &&1&1\end{array}\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
$\displaystyle |T|=1\neq 0$ 知 $\displaystyle \eta_1,\cdots,\eta_4$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}^4$ 的一组基, 且
$$\begin{aligned} &\sigma(\eta_1,\cdots,\eta_4)=\sigma(\alpha_1,\cdots,\alpha_4)T\\\\ =&(\alpha_1,\cdots,\alpha_4)AT =(\eta_1,\cdots,\eta_4)T^{-1}AT. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle \sigma$ 在基 $\displaystyle \eta_1,\cdots,\eta_4$ 下的矩阵 $\displaystyle T^{-1}AT=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1&0&-1\\\\ 0&-1&0&2\\\\ 0&-1&1&1\\\\ 0&2&0&-1\end{array}\right)$. (4)、
$$\begin{aligned} \alpha=(\alpha_1,\cdots,\alpha_4)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1\\\\2\\\\1\\\\2\end{array}\right) =(\eta_1,\cdots,\eta_4)T^{-1}\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1\\\\2\\\\1\\\\2\end{array}\right)=(\eta_1,\cdots,\eta_4)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1\\\\1\\\\1\\\\1\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1419、 7、 在 $\displaystyle \mathbb{R}[x]$ 中, $\displaystyle V$ 是由多项式 $\displaystyle 1,x,x^2,\cdots,x^n$ 所生成的子空间, 即
$$\begin{aligned} V=\left\{a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n; a_i\in\mathbb{R}\right\}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
$\displaystyle V$ 上线性变换 $\displaystyle \sigma$ 定义为
$$\begin{aligned} \sigma\left[f(x)\right]=xf'(x)-f(x), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
其中 $\displaystyle f'(x)$ 表示 $\displaystyle f(x)$ 的导数. (1)、 求 $\displaystyle \ker\sigma$ 和 $\displaystyle \mathrm{im}\sigma$; (2)、 证明: $\displaystyle V=\ker \sigma\oplus \mathrm{im} \sigma$. (华南师范大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、
$$\begin{aligned} \sigma(kf(x)+lg(x))&=x[kf(x)+lg(x)]'-[kf(x)+lg(x)]\\\\ &=k[xf'(x)-f(x)] +l[xg'(x)-g(x)]\\\\ &=k\sigma f(x)+l \sigma g(x). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2)、 由
$$\begin{aligned} f\in \ker\sigma&\Leftrightarrow xf'(x)=f(x)\\\\ &\Leftrightarrow f\equiv 0\mbox{或}\frac{\mathrm{ d} f}{f}=\frac{1}{x}\\\\ &\Leftrightarrow f(x)\equiv cx \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知
$$\begin{aligned} \ker\sigma=L(x). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
又由
$$\begin{aligned} \sigma x^k&=x\cdot kx^{k-1}-x^k\\\\ &=(k-1)x^k\left(0\leq k\leq n-1\right)\\\\ &=\left\{\begin{array}{llllllllllll} (k-1)x^k,&k\neq 1\\\\ 0,&k=1 \end{array}\right. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知
$$\begin{aligned} \mathrm{im}\sigma&=L(\sigma (1),\sigma (x),\cdots,\sigma (x^n))\\\\ &=L(-1,0,x^2,\cdots,nx^n)\\\\ &=L(1,x^2,\cdots,x^n). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(3)、
$$\begin{aligned} V&=L(1,x,x^2,\cdots,x^n)\\\\ &=L(x)\oplus L(1,x^2,\cdots,x^n)\\\\ &=\ker\sigma\oplus \mathrm{im}\sigma. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1420、 8、 设 $\displaystyle \sigma,\tau$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{F}$ 上的 $\displaystyle n$ 维向量空间 $\displaystyle V$ 的两个线性变换, 且满足 $\displaystyle \sigma\tau=\tau\sigma$. 证明: (1)、 $\displaystyle \ker\sigma+\ker\tau$ 是 $\displaystyle V$ 的子空间; (2)、 $\displaystyle \ker\sigma+\ker\tau$ 在 $\displaystyle \sigma\tau$ 之下不变. (华南师范大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 $\displaystyle \ker\sigma, \ker\tau$ 是 $\displaystyle V$ 的子空间, 而 $\displaystyle \ker \sigma+\ker \tau$ 作为它们的直和, 是 $\displaystyle V$ 的子空间. (2)、 对 $\displaystyle \forall\ \alpha\in \ker \sigma$, $\displaystyle \sigma\tau(\alpha)=\tau\sigma(\alpha)=\tau(0)=0\in \ker \sigma$. 对 $\displaystyle \forall\ \alpha\in \ker \tau$, $\displaystyle \sigma\tau(\alpha)=\sigma(0)=0\in \ker \tau$. 故
$$\begin{aligned} &\alpha\in \ker \sigma+\ker\tau\Rightarrow \alpha=\beta+\gamma, \beta\in \ker \sigma, \gamma\in \ker \tau\\\\ \Rightarrow& \sigma\tau(\alpha)=0+0=0\in \ker \sigma+\ker \tau. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这就证明了 $\displaystyle \ker\sigma+\ker\tau$ 在 $\displaystyle \sigma\tau$ 之下不变.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1421、 5、 (20 分) 已知 $\displaystyle \sigma$ 为线性空间 $\displaystyle V$ 的一个线性变换, 回答如下问题: (1)、 $\displaystyle \ker\sigma=\ker\sigma^2$ 的充要条件是 $\displaystyle \ker\sigma\cap \mathrm{im}\sigma=\left\{0\right\}$; (2)、 $\displaystyle \mathrm{im}\sigma=\mathrm{im}\sigma^2$ 的充要条件是 $\displaystyle V=\ker \sigma+\mathrm{im}\sigma$. (华中科技大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 (1-1)、 $\displaystyle \Rightarrow$:
$$\begin{aligned} &\alpha\in \ker\sigma\cap \mathrm{im}\sigma\Rightarrow \sigma\alpha=0; \exists\ \beta\in V,\mathrm{ s.t.} \alpha=\sigma\beta\\\\ \Rightarrow&0=\sigma\alpha=\sigma^2\beta\Rightarrow \beta\in\ker\sigma^2=\ker\sigma \Rightarrow \alpha=\sigma\beta=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(1-2)、 $\displaystyle \Leftarrow$: 显然 $\displaystyle \ker\sigma\subset \ker\sigma^2$. 反之, 由
$$\begin{aligned} \alpha\in \ker\sigma^2\Rightarrow& \sigma^2\alpha=0\Rightarrow \sigma\alpha\in\mathrm{im} \sigma\cap \ker\sigma=\left\{0\right\}\\\\ \Rightarrow& \sigma\alpha=0\Rightarrow \alpha\in\ker\sigma \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle \ker\sigma^2\subset \ker\sigma$. 故 $\displaystyle \ker\sigma=\ker\sigma^2$. (2)、 写出
$$\begin{aligned} \dim(\ker\sigma+\mathrm{im}\sigma)=&\dim \ker\sigma+\dim \mathrm{im}\sigma-\dim\left(\ker\sigma\cap \mathrm{im}\sigma\right)\\\\ =&n-\dim\left(\ker\sigma\cap \mathrm{im}\sigma\right).\qquad(I) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
我们有
$$\begin{aligned} &\mathrm{im}\sigma=\mathrm{im}\sigma^2\stackrel{\mathrm{im} \sigma^2\subset \mathrm{im}\sigma}{\Leftrightarrow} \dim\mathrm{im}\sigma=\dim\mathrm{im}\sigma^2\\\\ \stackrel{\mbox{维数公式}}{\Leftrightarrow}&\dim\ker \sigma=\dim\ker\sigma^2 \stackrel{\ker\sigma\subset \ker\sigma^2}{\Leftrightarrow}\ker \sigma=\ker\sigma^2\\\\ \stackrel{\mbox{第 1 步}}{\Leftrightarrow}&\ker\sigma\cap \mathrm{im}\sigma=\left\{0\right\} \stackrel{\mbox{(I)}}{\Leftrightarrow}\dim(\ker\sigma+\mathrm{im}\sigma)=n\\\\ \Leftrightarrow& \ker\sigma+\mathrm{im}\sigma=V. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1422、 6、 (20 分) 设 $\displaystyle \sigma$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^3$ 上的一个线性变换, 且 $\displaystyle \sigma^2=\mathscr{O}$. 证明: 存在一个线性映射 $\displaystyle f: \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}$, 存在 $\displaystyle y\in\mathbb{R}^3$, 使得
$$\begin{aligned} \sigma(x)=f(x)y,\quad \forall\ x\in \mathbb{R}^3. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(华中科技大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 若 $\displaystyle \sigma=\mathscr{O}$, 则取 $\displaystyle y=0$, 任取线性映射 $\displaystyle f$ 即可. 若 $\displaystyle \sigma\neq \mathscr{O}$, 则 $\displaystyle \dim \mathrm{im}\sigma\geq 1$. 又由
$$\begin{aligned} &\sigma^2=\mathscr{O}\Rightarrow \mathrm{im}\sigma\subset \ker\sigma\\\\ \Rightarrow&3=\dim\mathrm{im}\sigma+\dim\ker\sigma \geq 2\dim \mathrm{im} \sigma\Rightarrow \dim\mathrm{im}\sigma\leq\frac{3}{2} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle \dim \mathrm{im}\sigma=1$. 设 $\displaystyle 0\neq y$ 是 $\displaystyle \mathrm{im}\sigma$ 的一组基, 则对 $\displaystyle \forall\ x\in\mathbb{R}^3$,
$$\begin{aligned} &\sigma x\in \mathrm{im} \sigma\Rightarrow \exists\ f(x)\in\mathbb{R},\mathrm{ s.t.} \sigma x=f(x)y. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由
$$\begin{aligned} \sigma(kx+k'x')=\left\{\begin{array}{llllllllllll}f(kx+k'x')y\\\\ k\sigma x+k'\sigma x'=\left[kf(x)+k'f(x')\right]y\end{array}\right. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle f(kx+k'x')=kf(x)+k'f(x')$. 故 $\displaystyle f$ 是线性函数, 且 $\displaystyle \sigma x=f(x)y$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1423、 8、 (20 分) 若 $\displaystyle n$ 维线性空间 $\displaystyle V$ 中共存在一组至少有一个不为零变换的线性变换 $\displaystyle \sigma_{ij}, 1\leq i,j\leq n$ 满足以下条件:
$$\begin{aligned} \sigma_{iji}\sigma_{hk}=\left\{\begin{array}{llllllllllll}\sigma_{ik},&j=h,\\\\ 0,&\mbox{其它}.\end{array}\right. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
证明: 在 $\displaystyle V$ 中存在一组基 $\displaystyle v_1,\cdots,v_n$, 使得
$$\begin{aligned} \sigma_{ij}(v_k)=\left\{\begin{array}{llllllllllll}v_i,&j=k,\\\\ 0,&\mbox{其它}.\end{array}\right. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(华中科技大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 由
$$\begin{aligned} \sigma_{ik}\sigma_{kh}\sigma_{hj}=\sigma_{ih}\sigma_{hj}=\sigma_{ij}\qquad(I) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 [从矩阵的观点看: $\displaystyle A=BCD\Rightarrow \mathrm{rank} A\leq \mathrm{rank} C$] $\displaystyle \mathrm{rank} \sigma_{ij}\leq \mathrm{rank} \sigma_{kh}$. 同理,
$$\begin{aligned} \sigma_{kh}=\sigma_{ki}\sigma_{ij}\sigma_{jh}\Rightarrow \mathrm{rank}\sigma_{kh}\leq \mathrm{rank} \sigma_{ij}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle \mathrm{rank} \sigma_{kh}=\mathrm{rank}\sigma_{ij}, \forall\ i,j,k,l$. (2)、 由 $\displaystyle (I)$ 知若某个 $\displaystyle \sigma_{kh}=\mathscr{O}$, 则 $\displaystyle \forall\ i,j, \sigma_{ij}=\mathscr{O}$. 这与题设矛盾. 故
$$\begin{aligned} \forall\ i,j, \sigma_{ij}\neq\mathscr{O}\Rightarrow \mathrm{rank} \sigma_{ij}\geq 1.\qquad(II) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
又由
$$\begin{aligned} &\sigma_{ii}=\sigma_{ii}\sigma_{ii}=\sigma_{ii}^2,\qquad(III)\\\\ i\neq j\Rightarrow&\sigma_{ii}\sigma_{jj}=\mathscr{O}\qquad(IV) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知若
$$\begin{aligned} 0=\sigma_{11}\alpha_1+\cdots+\sigma_{nn}\alpha_n, \alpha_i\in V\Rightarrow \sigma_{ii}\alpha_i\in \mathrm{im} \sigma_{ii}, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则用 $\displaystyle \sigma_{ii}$ 作用后得
$$\begin{aligned} 0\stackrel{(III)}{=}\sigma_{ii}^2\alpha_i\stackrel{(IV)}{=}\sigma_{ii}\alpha_i. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这就证明了 $\displaystyle \mathrm{im} \sigma_{11}+\cdots+\mathrm{im}\sigma_{nn}$ 中零向量分解的唯一性, $\displaystyle \mathrm{im} \sigma_{11}\oplus \cdots\oplus \mathrm{im} \sigma_{nn}$ 是直和,
$$\begin{aligned} n\geq&\dim \left(\mathrm{im} \sigma_{11}\oplus \cdots\oplus\mathrm{im}\sigma_{nn}\right) =\sum_{i=1}^n \dim \mathrm{im} \sigma_{ii} \overset{\tiny\mbox{第1步}}{=} n\mathrm{rank} \sigma_{11}\stackrel{(II)}{\geq}n. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故
$$\begin{aligned} \mathrm{rank} \sigma_{11}=1\overset{\tiny\mbox{第1步}}{\Longrightarrow} \mathrm{rank} \sigma_{ij}=1, \forall\ i,j, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
且
$$\begin{aligned} \mathrm{im} \sigma_{11}\oplus \cdots\oplus \mathrm{im} \sigma_{nn}=V.\qquad(IV) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(3)、 设 $\displaystyle 0\neq u_1$ 是 $\displaystyle \mathrm{im} \sigma_{11}$ 的一组基, 则
$$\begin{aligned} u_1\in \mathrm{im} \sigma_{11}\Rightarrow& \exists\ \alpha\in V,\mathrm{ s.t.} u_1=\sigma_{11}\alpha\\\\ \Rightarrow&\sigma_{11}u_1=\sigma_{11}^2\alpha\stackrel{(III)}{=}\sigma_{11}\alpha=u_1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
再设
$$\begin{aligned} u_i=\sigma_{i1}u_1=\sigma_{ii}\sigma_{i1}u_1\in \mathrm{im} \sigma_{ii}, 2\leq i\leq n. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
往用反证法证明 $\displaystyle u_i\neq 0$, 而由 $\displaystyle \mathrm{rank} \sigma_{ii}=1$ 知 $\displaystyle u_i$ 是 $\displaystyle \mathrm{im} \sigma_{ii}$ 的一组基. 若不然,
$$\begin{aligned} &\left\{\begin{array}{llllllllllll} \sigma_{i1}u_1=0\Rightarrow \sigma_{i1}|_{\mathrm{im}\sigma_{11}}=\mathscr{O}\\\\ 2\leq i\leq n\Rightarrow 1\neq i\Rightarrow \sigma_{i1}|_{\mathrm{im} \sigma_{ii}}=\mathscr{O}\end{array}\right. \stackrel{(IV)}{\Rightarrow}&\sigma_{i1}=\mathscr{O},\mbox{与 $\displaystyle (II)$ 矛盾}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
再由 $\displaystyle (IV)$ 知 $\displaystyle u_1,\cdots,u_n$ 是 $\displaystyle V$ 的一组基, 且
$$\begin{aligned} \sigma_{ij} v_k=\sigma_{ij}\sigma_{k1}v_1=\left\{\begin{array}{llllllllllll}\sigma_{i1}v_1=v_i,&j=k,\\\\ \mathscr{O} v_1=0,&j\neq k.\end{array}\right. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1424、 (5)、 设 $\displaystyle M_n(\mathbb{R})$ 是所有 $\displaystyle n$ 阶实方阵构成的实向量空间, 那么 它的由所有迹等于 $\displaystyle 0$ 的方阵构成的子空间的维数为 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (华中师范大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由 $\displaystyle a_{11}+\cdots+a_{nn}=0$ 的系数矩阵的秩为 $\displaystyle 1$ 知应填 $\displaystyle n^2-1$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1425、 (4)、 证明: 向量组 $\displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_k$ 线性无关当且仅当存在 $\displaystyle \alpha\in L(\alpha_1,\cdots,\alpha_k)$ 是 $\displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_k$ 的唯一线性组合. (华中师范大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (4-1)、 $\displaystyle \Rightarrow$: 取 $\displaystyle \alpha_1\in L(\alpha_1,\cdots,\alpha_k)$, 则由 $\displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_k$ 线性无关知 $\displaystyle \alpha_1=1\cdot \alpha_1+0\cdot \alpha_2+\cdots+0\cdot \alpha_k$ 是 $\displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_k$ 的唯一线性组合. (4-2)、 $\displaystyle \Leftarrow$: 设存在 $\displaystyle \alpha\in L(\alpha_1,\cdots,\alpha_k)$ 是 $\displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_k$ 的唯一线性组合, 则 $\displaystyle \alpha=\sum_{i=1}^k x_i\alpha_i$, 且表示法唯一. 往用反证法证明 $\displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_k$ 线性无关. 设 $\displaystyle \sum_{i=1}^k y_i\alpha_i=0$, 则 $\displaystyle \alpha=\sum_{i=1}^k x_i\alpha_i+0=\sum_{i=1}^k x_i\alpha_i+\sum_{i=1}^k y_i\alpha_i =\sum_{i=1}^k (x_i+y_i)\alpha_i$. 由表示法唯一知 $\displaystyle x_i+y_i=x_i\Rightarrow y_i=0$. 这就证明了 $\displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_k$ 线性无关.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1426、 (6)、 设 $\displaystyle \mathbb{C}$ 为复数域, $\displaystyle \mathbb{C}^n$ 是所有 $\displaystyle n$ 维列向量构成的复向量空间, $\displaystyle M_n(\mathbb{C})$ 是所有 $\displaystyle n$ 阶复方阵构成的集合. (6-1)、 证明: 对于 $\displaystyle \mathbb{C}^n$ 中任意的非零向量 $\displaystyle \alpha$, 由向量集合
$$\begin{aligned} \left\{A\alpha; A\in M_n(\mathbb{C})\right\} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
生成的子空间等于 $\displaystyle \mathbb{C}^n$. (6-2)、 若 $\displaystyle \theta$ 为 $\displaystyle \mathbb{C}^n$ 的一个线性变换, 且满足对任意的 $\displaystyle \alpha\in \mathbb{C}^n$ 以及任意的 $\displaystyle A\in M_n(\mathbb{C})$, 均有 $\displaystyle \theta(A\alpha)=A\theta(\alpha)$. 证明: 存在一个复数 $\displaystyle a$, 使得 $\displaystyle \theta(\alpha)=a\alpha$ 对任意的 $\displaystyle \alpha\in \mathbb{C}^n$ 都成立. [张祖锦注: 第 1 问中可以去掉’生成的子空间‘, 见参考解答.] (华中师范大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (6-1)、 将 $\displaystyle \alpha$ 扩充为 $\displaystyle \mathbb{C}^n$ 的一组基 $\displaystyle \alpha,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$. 对 $\displaystyle \forall\ \beta\in\mathbb{C}^n$, 取 $\displaystyle \mathbb{C}^n$ 上的线性变换 $\displaystyle \mathscr{A}$ 使得
$$\begin{aligned} \mathscr{A} \alpha=\beta, \mathscr{A}\alpha_i=0, 2\leq i\leq n. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
设 $\displaystyle \mathscr{A}$ 在 $\displaystyle \mathbb{C}^n$ 的标准基 $\displaystyle e_1,\cdots,e_n$ 下的矩阵为 $\displaystyle A$, 则
$$\begin{aligned} \beta=\mathscr{A}\alpha=\mathscr{A}(e_1,\cdots,e_n)\alpha =(e_1,\cdots,e_n)A\alpha=A\alpha. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这就证明了 $\displaystyle \left\{A\alpha; A\in M_n(\mathbb{C})\right\}=\mathbb{C}^n$. (6-2)、 为证第 ii 问, 我们先给出两个结论. 如果 $\displaystyle A$ 与所有对角矩阵可交换, 则 $\displaystyle A$ 也是对角矩阵. 如果 $\displaystyle A$ 与所有矩阵可交换, 则 $\displaystyle A$ 是数量矩阵. 事实上,
$$\begin{aligned} &\mbox{ $\displaystyle A$ 与所有对角矩阵可交换}\\\\ \Rightarrow& \forall\ D=\mathrm{diag}(d_1,\cdots,d_n), AD=DA\\\\ \Rightarrow&\forall\ D, a_{ij}d_j=d_ia_{ij}\\\\ \Rightarrow&\mbox{取 $\displaystyle d_i$ 互不相同, 则 $\displaystyle a_{ij}(d_j-d_i)=0$ 蕴含 $\displaystyle a_{ij}=0, \forall\ i\neq j$}\\\\ \Rightarrow&\mbox{ $\displaystyle A$ 是对角矩阵}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
若 $\displaystyle A$ 与所有矩阵可交换, 则 $\displaystyle A$ 与所有对角矩阵可交换, 而由已征知 $\displaystyle A$ 是对角矩阵 $\displaystyle \mathrm{diag}(d_1,\cdots,d_n)$. 进一步,
$$\begin{aligned} &\mbox{ $\displaystyle A$ 与所有矩阵可交换}\\\\ \Rightarrow& d_ib_{ij}=b_{ij}d_j, \forall\ B=(b_{ij})\in \mathbb{F}^{n\times n}\\\\ \Rightarrow&\mbox{取 $\displaystyle B$ 使得非对角元非零, 则知 $\displaystyle d_i=d_j$}\\\\ \Rightarrow&\mbox{ $\displaystyle A$ 是数量矩阵 $\displaystyle dI_n, d=d_1=\cdots=d_n$}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(6-3)、 回到第 ii 问的证明. 设 $\displaystyle \theta$ 在 $\displaystyle \mathbb{C}^n$ 的标准基 $\displaystyle e_1,\cdots,e_n$ 下的矩阵为 $\displaystyle B$, 则对 $\displaystyle \forall\ A\in M_n(\mathbb{C})$,
$$\begin{aligned} \theta(Ae_i)=&\theta(e_1,\cdots,e_n)Ae_i=(e_1,\cdots,e_n)BAe_i,\\\\ A\theta(e_i)=&A\theta(e_1,\cdots,e_n)e_i=ABe_i. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故
$$\begin{aligned} BAe_i=ABe_i\Rightarrow BA=BA(e_1,\cdots,e_n)=AB(e_1,\cdots,e_n)=AB. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由第 ii 步的结果知 $\displaystyle B$ 是数量矩阵 $\displaystyle \alpha I_n, \alpha\in\mathbb{C}$, 此即
$$\begin{aligned} \theta(\alpha)=\theta(e_1,\cdots,e_n)\alpha =(e_1,\cdots,e_n)aI_n\alpha=a\alpha,\forall\ \alpha\in \mathbb{C}^n. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
/4 
|Archiver|小黑屋|小张的小站
( 赣ICP备2024047342号-1 )
发表于 2023-3-5 13:22:58