张祖锦2023年数学专业真题分类70天之第60天
1358、 (4)、 在 $\displaystyle 4$ 维行向量空间 $\displaystyle \mathbb{P}^4$ 中, 记 $\displaystyle V_1=L(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3), V_2=L(\beta_1,\beta_2)$, 其中
$$\begin{aligned} &\alpha_1=(1,-1,1,1), \alpha_2=(-2,1,2,-1), \alpha_3=(-4,3,0,-3),\\\\ &\beta_1=(1,2,1,0), \beta_2=(4,2,-2,1). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则 $\displaystyle V_1+V_2$ 的维数为 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$, $\displaystyle V_1\cap V_2$ 的维数为 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (安徽大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由
$$\begin{aligned} &A=(\alpha_1^\mathrm{T}, \alpha_2^\mathrm{T}, \alpha_3^\mathrm{T}, \beta_1^\mathrm{T},\beta_2^\mathrm{T})\\\\ =&\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&-2&-4&1&4\\\\ -1&1&3&2&2\\\\ 1&2&0&1&-2\\\\ 1&-1&-3&0&1\end{array}\right) \to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&-2&0&-\frac{1}{2}\\\\ 0&1&1&0&-\frac{3}{2}\\\\ 0&0&0&1&\frac{3}{2}\\\\ 0&0&0&0&0\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\beta_1$ 线性无关, 且 [张祖锦注: 初等行变换不改变列向量组的秩及极大无关组所在的位置, 并且可以一下得到其余向量用极大无关组的表示法, 这是张祖锦独创的, 具体证明见张祖锦编著的《樊启斌参考书》中张祖锦常用的结论]
$$\begin{aligned} \alpha_3=-2\alpha_1+\alpha_2, \beta_2=-\frac{1}{2}\alpha_1-\frac{3}{2}\alpha_2+\frac{3}{2}\beta_1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle \dim(V_1+V_2)=3$. 又由 $\displaystyle \dim V_1=2, \dim V_2=2$ 及维数公式知 $\displaystyle \dim(V_1\cap V_2)=1$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1359、 (4)、 设 $\displaystyle V$ 为线性空间, $\displaystyle V_1,V_2,V_3$ 为 $\displaystyle V$ 的子空间, 则
$$\begin{aligned} (V_1+V_2)\cap V_3=(V_1\cap V_3)+(V_2\cap V_3) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
恒成立. (安徽大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle \times$. 比如对
$$\begin{aligned} V_1&=L\left((1,0,0), (0,1,0)\right),\\\\ V_2&=L\left((1,0,0), (0,0,1)\right),\\\\ V_3&=L\left((1,0,0), (0,1,1)\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
有
$$\begin{aligned} (V_1+V_2)\cap V_3&=V_3,\\\\ (V_1\cap V_3)+(V_2\cap V_3)&=L\left((1,0,0)\right)+\left((1,0,0)\right) =L\left((1,0,0)\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1360、 4、 (20 分) 设 $\displaystyle V$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{F}$ 上的 $\displaystyle n$ 维线性空间, $\displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_n$ 为 $\displaystyle V$ 的一组基. 用 $\displaystyle V_1$ 表示 $\displaystyle \alpha_1+\cdots+\alpha_n$ 生成的子空间. 令
$$\begin{aligned} V_2=\left\{\sum_{i=1}^n k_i\alpha_i; \sum_{i=1}^n k_i=0, k_i\in\mathbb{F}\right\}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(1)、 证明: $\displaystyle V_2$ 是 $\displaystyle V$ 的子空间, 且 $\displaystyle V=V_1\oplus V_2$; (2)、 设 $\displaystyle V$ 上的线性变换 $\displaystyle \varphi$ 在基 $\displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_n$ 下的矩阵 $\displaystyle A$ 是置换矩阵 (即 $\displaystyle A$ 每行每列只有一个元素为 $\displaystyle 1$, 其余元素为 $\displaystyle 0$). 证明: $\displaystyle V_1,V_2$ 都是 $\displaystyle \varphi$ 的不变子空间. (北京工业大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 由
$$\begin{aligned} &\sum_{i=1}^n k_i\alpha_i\in V_2, \sum_{i=1}^n l_i\alpha_i\in V_2, \sum_{i=1}^n k_i=\sum_{i=1}^n l_i=0\\\\ \Rightarrow&\sum_{i=1}^n (kk_i+ll_i) =k\sum_{i=1}^n k_i+l\sum_{i=1}^n l_i=k0+l0=0\\\\ \Rightarrow&k\left(\sum_{i=1}^n k_i\alpha_i\right) +l\left(\sum_{i=1}^n l_i\alpha_i\right) =\sum_{i=1}^n (kk_i+ll_i)\alpha_i \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
即知 $\displaystyle V_2$ 是 $\displaystyle V$ 的子空间. (2)、 由
$$\begin{aligned} &V\ni \alpha=\sum_{i=1}^n k_i\alpha_i =\frac{\sum_{j=1}^n k_j}{n}\sum_{i=1}^n \alpha_i+\sum_{i=1}^n \left(k_i-\frac{\sum_{j=1}^n k_j}{n}\right)\alpha_i \in V_1+V_2,\\\\ &\alpha\in V_1\cap V_2 \Rightarrow \alpha=k\sum_{i=1}^n \alpha_i =\sum_{i=1}^n k_i\alpha_i, \sum_{i=1}^n k_i=0\\\\ &\Rightarrow \sum_{i=1}^n (k-k_i)\alpha_i=0 \Rightarrow k-k_i=0\Rightarrow 0=\sum_{i=1}^n k_i=nk\\\\ &\Rightarrow k=0\Rightarrow \alpha=0 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
即知 $\displaystyle V=V_1\oplus V_2$. (3)、 由题设, 存在 $\displaystyle n$ 阶排列 $\displaystyle i_1\cdots i_n$ 使得
$$\begin{aligned} \varphi(\alpha_j)=\alpha_{i_j}, 1\leq j\leq n. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
从而
$$\begin{aligned} &\varphi(\alpha_1+\cdots+\alpha_n)=\varphi(\alpha_1)+\cdots+\varphi(\alpha_n)\\\\ =&\alpha_{i_1}+\cdots+\alpha_{i_n}=\alpha_1+\cdots+\alpha_n\in V_1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle V_1$ 是 $\displaystyle \varphi$ 的不变子空间. 再者, 对 $\displaystyle \sum_{j=1}^n k_j=0$,
$$\begin{aligned} \varphi\left(\sum_{j=1}^n k_j\alpha_j\right) =\sum_{j=1}^n k_j\varphi(\alpha_j) =\sum_{j=1}^n k_j\alpha_{i_j} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
还是 $\displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_n$ 的线性组合, 且组合系数的和还是 $\displaystyle 0$. 故 $\displaystyle \varphi\left(\sum_{j=1}^n k_j\alpha_j\right)\in V_2$. 这就证明了 $\displaystyle V_2$ 也是 $\displaystyle \varphi$ 的不变子空间.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1361、 7、 (30 分) 设 $\displaystyle V$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{F}$ 上的 $\displaystyle n$ 维线性空间, $\displaystyle \sigma_1,\cdots,\sigma_s$ 都是 $\displaystyle V$ 上的非零线性变换, $\displaystyle \mathrm{rank} \sigma$ 表示线性变换 $\displaystyle \sigma$ 的秩. (1)、 证明: 存在 $\displaystyle \alpha\in V$, 使得 $\displaystyle \sigma_i(\alpha)\neq 0, i=1,\cdots,s$; (2)、 令 $\displaystyle \sigma=\sigma_1+\cdots+\sigma_s$. 证明: $\displaystyle \sigma$ 是幂等变换且 $\displaystyle \mathrm{rank} \sigma=\sum_{i=1}^s \mathrm{rank} \sigma_i$ 的充要条件为 $\displaystyle \sigma_1,\cdots,\sigma_s$ 都是幂等变换, 且 $\displaystyle \sigma_i\sigma_j=0\ (i\neq j)$ (北京工业大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /
(1)、 先证明一个结论: 非完全覆盖原理 (线性空间不能被其任意有限个真子空间覆盖). 设 $\displaystyle V$ 是 $\displaystyle n$ 维线性空间, $\displaystyle V_1,\cdots,V_m$ 是 $\displaystyle V$ 的 $\displaystyle m$ 个真子空间, 则
$$\begin{aligned} \exists\ \mbox{无限多个}\alpha\in\left\{\beta_j\right\}_{j=1}^\infty\subset V,\mathrm{ s.t.} \alpha\not\in V_1\cup \cdots \cup V_m. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
事实上, 取定 $\displaystyle V$ 的一组基 $\displaystyle \varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n$, 令
$$\begin{aligned} \alpha_i=\varepsilon_1+i \varepsilon_2+\cdots+i^{n-1}\varepsilon_n, i=1,2,\cdots, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则 $\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\cdots$ 中的任意 $\displaystyle n$ 个
$$\begin{aligned} (\alpha_{i_1},\cdots,\alpha_{i_n})=(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 1&1&\cdots&1\\\\ i_1&i_2&\cdots&i_n\\\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\\\ i_1^{n-1}&i_2^{n-1}&\cdots&i_n^{n-1}\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由范德蒙行列式知 $\displaystyle \alpha_{i_1},\cdots,\alpha_{i_n}$ 是 $\displaystyle V$ 的一组基. 由于 $\displaystyle V_i$ 是 $\displaystyle V$ 的真子空间, 而每个 $\displaystyle V_i$ 至多包含 $\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\cdots$ 中 的 $\displaystyle n-1$ 个, $\displaystyle \bigcup_{i=1}^m V_i$ 至多包含 $\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\cdots$ 中的 $\displaystyle m(n-1)$ 个. 于是
$$\begin{aligned} \exists\ \mbox{无限多个} k,\mathrm{ s.t.} \alpha_k\not\in \bigcup_{i=1}^mV_i. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2)、 回到题目. 由 $\displaystyle \sigma_i$ 非零知 $\displaystyle \ker\sigma_i$ 是 $\displaystyle V$ 的真子空间, 而由第 1 步知
$$\begin{aligned} \exists\ \alpha\in V,\mathrm{ s.t.} \alpha\not\in \bigcup_{i=1}^s \ker\sigma_i \Rightarrow\forall\ 1\leq i\leq s, \sigma_i(\alpha)\neq 0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(3)、 为证第 2 问, 我们给出一个结论. 设 $\displaystyle A$ 为 $\displaystyle n$ 阶幂等矩阵 (即 $\displaystyle A^2=A$).
(3-1)、 证明 $\displaystyle A$ 相似于对角阵, 且 $\displaystyle \mathrm{rank} A=\mathrm{tr} A$;
(3-2)、 $\displaystyle \mathrm{rank} A+\mathrm{rank}(I-A)=n$, 其中 $\displaystyle I$ 为 $\displaystyle n$ 阶单位阵.
事实上,
(3-1)、 设
$$\begin{aligned} V_1=\left\{x; Ax=x\right\}, V_2=\left\{x; Ax=0\right\}, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则
$$\begin{aligned} &\mathbb{P}^n\ni \alpha=A\alpha+(\alpha-A\alpha)\ni V_1+V_2,\\\\ &\alpha\in V_1\cap V_2\Rightarrow A\alpha=\alpha, A\alpha=0\Rightarrow \alpha=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle \mathbb{P}^n=V_1\oplus V_2$. 取定 $\displaystyle V_1$ 的一组基 $\displaystyle \varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_r$, $\displaystyle V_2$ 的一组基 $\displaystyle \varepsilon_{r+1},\cdots,\varepsilon_n$, 则 $\displaystyle \varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n$ 是 $\displaystyle V$ 的一组基. 令 $\displaystyle P=(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)$, 则
$$\begin{aligned} AP=P\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E_r&\\\\ &0\end{array}\right)\Rightarrow P^{-1}AP=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E_r&\\\\ &0\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(3-2)、 由
$$\begin{aligned} \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A&\\\\ &A-E\end{array}\right)\to&\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A&A\\\\ &A-E\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A&A\\\\ -A&-E\end{array}\right)\\\\ \to&\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A-A^2&\\\\ -A&-E\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A-A^2&\\\\ &E\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知
$$\begin{aligned} \mathrm{rank}(A)+\mathrm{rank}(A-E)=\mathrm{rank}(A-A^2)+n. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故
$$\begin{aligned} \mathrm{rank}(A)+\mathrm{rank}(A-E)=n&\Leftrightarrow \mathrm{rank}(A-A^2)=0\\\\ &\Leftrightarrow A-A^2=0\Leftrightarrow A=A^2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(4)、 取定 $\displaystyle V$ 的一组基, 设 $\displaystyle \sigma_i,\sigma$ 在该基下的矩阵分别为 $\displaystyle A_i,A$, 则 $\displaystyle A=\sum_{i=1}^s A_i$, 且只要证明
$$\begin{aligned} A^2=A, \mathrm{rank} A=\sum_{i=1}^s \mathrm{rank} A_i \Leftrightarrow A_i^2=A_i, A_iA_j=0, \forall\ 1\leq i\neq j\leq n. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(4-1)、 $\displaystyle \Leftarrow$:
$$\begin{aligned} A^2=\left(\sum_{i=1}^s A_i\right)^2=\sum_{i=1}^s A_i \sum_{j=1}^s A_j =\sum_{i=1}^s A_i^2=\sum_{i=1}^s A_i=A, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
且
$$\begin{aligned} \mathrm{rank} A=\mathrm{tr} A=\mathrm{tr}\left(\sum_{i=1}^s A_i\right)=\sum_{i=1}^s \mathrm{tr} A_i=\sum_{i=1}^s \mathrm{rank} A_i. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(4-2)、 $\displaystyle \Rightarrow$: 由
$$\begin{aligned} &\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A_1&&&\\\\ &\ddots&&\\\\ &&A_s&\\\\ &&&I-A\end{array}\right) \to \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A_1&&&\\\\ &\ddots&&\\\\ &&A_s&\\\\ A_1&\cdots&A_s&I-A\end{array}\right)\\\\ \to& \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A_1&&&A_1\\\\ &\ddots&&A_s\\\\ &&A_s&\vdots\\\\ A_1&\cdots&A_s&I\end{array}\right) \to \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A_1-A_1^2&-A_1A_2&\cdots&-A_1A_s&0\\\\ -A_2A_1&A_2-A_2^2&\cdots&-A_2A_s&0\\\\ \vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\\\ -A_sA_1&-A_sA_2&\cdots&A_s-A_s^2&0\\\\ A_1&A_2&\cdots&A_s&I\end{array}\right)\\\\ \to&\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A_1-A_1^2&-A_1A_2&\cdots&-A_1A_s&0\\\\ -A_2A_1&A_2-A_2^2&\cdots&-A_2A_s&0\\\\ \vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\\\ -A_sA_1&-A_sA_2&\cdots&A_s-A_s^2&0\\\\ 0&0&\cdots&0&I\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知
$$\begin{aligned} &\sum_{i=1}^s \mathrm{rank} A_i+\mathrm{rank}(I-A)\\\\ =&n+\mathrm{rank}\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A_1-A_1^2&-A_1A_2&\cdots&-A_1A_s\\\\ -A_2A_1&A_2-A_2^2&\cdots&-A_2A_s\\\\ \vdots&\vdots&&\vdots&\\\\ -A_sA_1&-A_sA_2&\cdots&A_s-A_s^2\end{array}\right).\qquad(I) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由 $\displaystyle A^2=A$ 知 $\displaystyle \mathrm{rank}(I-A)+\mathrm{rank} A=n$. 联合 $\displaystyle (I)$ 及 $\displaystyle \mathrm{rank} A=\sum_{i=1}^s \mathrm{rank} A_i$ 知
$$\begin{aligned} \mathrm{rank}\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A_1-A_1^2&-A_1A_2&\cdots&-A_1A_s\\\\ -A_2A_1&A_2-A_2^2&\cdots&-A_2A_s\\\\ \vdots&\vdots&&\vdots&\\\\ -A_sA_1&-A_sA_2&\cdots&A_s-A_s^2\end{array}\right)=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
从而 $\displaystyle A_i=A_i^2, A_iA_j=0\left(i\neq j\right)$.
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1362、 3、 (20 分) 已知矩阵
$$\begin{aligned} A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&-1&0\\\\ -1&2&1\\\\ 0&1&1\\\\ -2&6&4\end{array}\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
$\displaystyle \mathbb{R}^{n\times 5}$ 为实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的所有 $\displaystyle n\times 5$ 矩阵构成的线性空间,
$$\begin{aligned} W=\left\{B\in\mathbb{R}^{n\times 5}; BA=0\right\}, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
其中 $\displaystyle 0$ 为零矩阵. (1)、 证明: $\displaystyle W$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}^{n\times 5}$ 的子空间; (2)、 求 $\displaystyle W$ 的一组基和维数. [题目有问题, 跟锦数学微信公众号没法做哦.] (北京科技大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / [题目有问题, 跟锦数学微信公众号没法做哦.]跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1363、 5、 (20 分) $\displaystyle \mathbb{P}^{2\times 2}$ 为数域 $\displaystyle \mathbb{P}$ 上的 $\displaystyle 2\times 2$ 方阵构成的线性空间. 令 $\displaystyle \sigma: \mathbb{P}^{2\times 2}\to \mathbb{P}^{2\times 2}$,
$$\begin{aligned} \sigma(X)=AXB, \forall\ X\in\mathbb{P}^{2\times 2}, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
其中 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-1&1\\\\ 1&-1\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&1\\\\ 1&0\end{array}\right)$. (1)、 证明: $\displaystyle \sigma$ 是 $\displaystyle \mathbb{P}^{2\times 2}$ 上的线性变换; (2)、 求 $\displaystyle \sigma$ 在 $\displaystyle \mathbb{P}^{2\times 2}$ 的基
$$\begin{aligned} E_{11}=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0\\\\ 0&0\end{array}\right), E_{12}=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&1\\\\ 0&0\end{array}\right), E_{21}=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&0\\\\ 1&0\end{array}\right), E_{22}=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&0\\\\ 0&1\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
下的表示矩阵; (3)、 是否存在 $\displaystyle \mathbb{P}^{2\times 2}$ 的某组基, 使得 $\displaystyle \sigma$ 在此基下的矩阵为对角阵? 存在的话, 求出基和对应的对角阵. (北京科技大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 对 $\displaystyle \forall\ k,l\in\mathbb{P}, X,Y\in \mathbb{P}^{2\times 2}$, 由
$$\begin{aligned} \sigma(kX+lY)&=A(kX+lY)B=kAXB+lAYB=k\sigma(X)+l\sigma(Y) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle \sigma$ 是 $\displaystyle \mathbb{P}^{2\times 2}$ 上的线性变换. (2)、 由
$$\begin{aligned} &\sigma(E_{11})=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&-1\\\\0&1\end{array}\right), \sigma(E_{12})=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&1\\\\0&0\end{array}\right),\\\\ &\sigma(E_{21})=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&0\\\\1&0\end{array}\right), \sigma(E_{22})=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0\\\\-1&0\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知
$$\begin{aligned} \sigma(E_{11},E_{12},E_{21},E_{22})=(E_{11},E_{12},E_{21},E_{22})C, C=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&0&0&1\\\\ -1&1&0&0\\\\ 0&0&1&-1\\\\ 1&0&0&0\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(3)、 易知 $\displaystyle C$ 的特征值为 $\displaystyle 1,1,1,-1$. 由
$$\begin{aligned} C-E\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&0&0\\\\ 0&0&0&1\\\\ 0&0&0&0\\\\ 0&0&0&0 \end{array}\right)\Rightarrow \mathrm{rank}(C-E)=2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle C$ 的 Jordan 标准形 $\displaystyle J$ 满足 $\displaystyle \mathrm{rank}(J-E)=2$, 而 $\displaystyle J$ 的严格上三角部分有一个 $\displaystyle 1$,
$$\begin{aligned} J=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1&&\\\\ &1&&\\\\ &&-1&\\\\ &&&-1\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这表明 $\displaystyle \sigma$ 不可对角化, 即不存在 $\displaystyle \mathbb{P}^{2\times 2}$ 的某组基, 使得 $\displaystyle \sigma$ 在此基下的矩阵为对角阵跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1364、 (2)、 向量组 $\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 的秩为 $\displaystyle 3$, 则
$$\begin{aligned} \alpha_1+\alpha_2, \alpha_2+\alpha_3, \alpha_3+\alpha_1 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
的秩为 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (北京理工大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (2-1)、 我们给出一般的结果. 已知向量组 $\displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_s\ (s > 1)$ 线性无关, 设
$$\begin{aligned} \beta_1=\alpha_1+\alpha_2, \beta_2=\alpha_2+\alpha_3, \cdots, \beta_s=\alpha_s+\alpha_1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
讨论向量 $\displaystyle \beta_1,\cdots, \beta_s$ 的线性相关性. 写出
$$\begin{aligned} (\beta_1,\cdots,\beta_s)=(\alpha_1,\cdots,\alpha_s)A, A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&\cdots&1\\\\ 1&1&\cdots&0\\\\ 0&1&\cdots&0\\\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\\\ 0&0&\cdots&1\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
按第一行展开,
$$\begin{aligned} |A|=1+(-1)^{1+s}=\left\{\begin{array}{llllllllllll}2\neq 0,&s\mbox{为奇数},\\\\ 0,&s\mbox{为偶数}.\end{array}\right. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故当 $\displaystyle s$ 为奇数时, $\displaystyle \beta_1,\cdots,\beta_s$ 线性无关; 当 $\displaystyle s$ 为偶数时, $\displaystyle \beta_1,\cdots,\beta_s$ 线性相关. (2-2)、 回到题目. 由第 i 步知
$$\begin{aligned} \alpha_1+\alpha_2, \alpha_2+\alpha_3, \alpha_3+\alpha_1 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
线性无关.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1365、 (3)、 已知
$$\begin{aligned} \alpha_1=(1,-1,0)^\mathrm{T}, \alpha_2=(2,1,3)^\mathrm{T}, \alpha_3=(3,1,2)^\mathrm{T} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
是 $\displaystyle \mathbb{R}^3$ 的一组基, 则 $\displaystyle \beta=(1,1,1)^\mathrm{T}$ 在这组基下的坐标为 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (北京理工大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设
$$\begin{aligned} &\beta=x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+x_3\alpha_3\Leftrightarrow \beta=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)X\\\\ \Leftrightarrow&X=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)^{-1}\beta=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-\frac{1}{2}\\\\0\\\\\frac{1}{2}\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1366、 4、 写出数域 $\displaystyle \mathbb{P}$ 上线性空间 $\displaystyle V$ 上的线性变换 $\displaystyle \sigma$ 可对角化的充要条件, 至少四个. (北京理工大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 $\displaystyle \sigma$ 可对角化当且仅当存在 $\displaystyle \sigma$ 有 $\displaystyle n$ 个线性无关的特征向量; (2)、 $\displaystyle \sigma$ 可对角化当且仅当存在 $\displaystyle \sigma$ 的特征子空间的维数之和为 $\displaystyle \dim V$; (3)、 $\displaystyle \sigma$ 可对角化当且仅当 $\displaystyle \sigma$ 的每个特征值都在 $\displaystyle \mathbb{P}$ 中, 且它的代数重数等于几何重数; (4)、 $\displaystyle \sigma$ 可对角化当且仅当存在 $\displaystyle \sigma$ 的最小多项式在 $\displaystyle \mathbb{P}$ 中的因式分解中因式全都是一次的.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1367、 4、 设 $\displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_n$ 是秩为 $\displaystyle r$ 的向量组,
$$\begin{aligned} J=\left\{(k_1,\cdots,k_n)\in\mathbb{R}^n; \sum_{i=1}^n k_i\alpha_i=0\right\}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
证明: $\displaystyle \dim J=n-r$. (北京师范大学2023年高等代数与解析几何考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle A=(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)$, 则 $\displaystyle \mathrm{rank} A=r$. 由
$$\begin{aligned} x=(k_1,\cdots,k_n)\in J\Leftrightarrow&\sum_{i=1}^n k_i\alpha_i=0\Leftrightarrow Ax^\mathrm{T}=0 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle J\ni x\mapsto x^\mathrm{T}\in \left\{y; Ay=0\right\}$ 是同构映射, 从而
$$\begin{aligned} \dim J=\dim\left\{y; Ay=0\right\}=n-\mathrm{rank} A=n-r. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1368、 4、 设向量组
$$\begin{aligned} &\alpha_1=(1,1,1,3)^\mathrm{T}, \alpha_2=(-1,-3,5,1)^\mathrm{T},\\\\ &\alpha_3=(3,2,-1,p+2)^\mathrm{T}, \alpha_4=(-2,-6,10,p)^\mathrm{T}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(1)、 $\displaystyle p$ 为何值时, 该向量组线性无关? 并将向量 $\displaystyle \alpha=(4,1,6,10)^\mathrm{T}$ 用 $\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$ 线性表出; (2)、 $\displaystyle p$ 为何值时, 该向量组线性相关? 并求出它的秩和一个极大线性无关组. (北京邮电大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle (\alpha_1,\cdots,\alpha_4,\alpha)$
$$\begin{aligned} =&\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&-1&3&-2&4\\\\ 1&-3&2&-6&1\\\\ 1&5&-1&10&6\\\\ 3&1&p=2&p&10\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&-1&3&-2&4\\\\ 0&-2&-1&-4&-3\\\\ 0&6&-4&12&2\\\\ 0&4&p-7&p+6&-2\end{array}\right)\\\\ \to&\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&-1&3&-2&4\\\\ 0&-2&-1&-4&-3\\\\ 0&0&-7&0&-7\\\\ 0&0&p-9&p-2&-8\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&-1&3&-2&4\\\\ 0&-2&0&-4&-2\\\\ 0&0&1&0&1\\\\ 0&0&0&p-2&1-p\end{array}\right)\\\\ \to&\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&0&0&2\\\\ 0&1&0&2&1\\\\ 0&0&1&0&1\\\\ 0&0&0&p-2&1-p\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 (1)、 当$p\neq 2$ 时, $\displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_4$ 线性无关, 且上式可简单化简后知
$$\begin{aligned} \alpha=2\alpha_1+\frac{3p-4}{p-2}\alpha_2+\alpha_3+\frac{1-p}{p-2}\alpha_4. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2)、 当 $\displaystyle p=2$ 时, $\displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_4$ 线性相关, 且它的秩为 $\displaystyle 3$, $\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 是它的一个极大线性无关组.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1369、 8、 设 $\displaystyle \sigma$ 是线性空间 $\displaystyle V$ 上的线性变换, $\displaystyle \sigma$ 在基 $\displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_4$ 下的矩阵是
$$\begin{aligned} \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&-1&-1&2\\\\ 0&1&0&0\\\\ 2&3&1&-1\\\\ 1&-2&-2&-1\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
求包含 $\displaystyle \alpha_1$ 的最小的 $\displaystyle \sigma$ 的不变子空间. (北京邮电大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设题中矩阵为 $\displaystyle A$, 则
$$\begin{aligned} &(\alpha_1,\sigma\alpha_1,\sigma^2\alpha_1,\sigma^3\alpha_1)=(\alpha_1,\cdots,\alpha_4)B,\\\\ &B=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}e_1,Ae_1,A^2e_1,A^3e_1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1&1&-10\\\\ 0&0&0&0\\\\ 0&2&3&4\\\\ 0&1&-4&-1\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&0&-14\\\\ 0&1&0&3\\\\ 0&0&1&1\\\\ 0&0&0&0\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故包含 $\displaystyle \alpha_1$ 的最小的 $\displaystyle \sigma$ 的不变子空间为 $\displaystyle L(\alpha_1,\sigma\alpha_1,\sigma^2\alpha_1)$, 且
$$\begin{aligned} \sigma^3\alpha_1=-14\alpha_1+3\sigma\alpha_1+\sigma^2\alpha_1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1370、 10、 证明: 数域 $\displaystyle \mathbb{P}$ 上的一元多项式组成的线性空间 $\displaystyle \mathbb{P}[x]$ 可以与它的一个真子空间同构. (北京邮电大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle \sigma: \mathbb{P}[x]\to\mathbb{P}[x]$ 为 $\displaystyle \sigma\left[f(x)\right]=f(x^2)$, 则由
$$\begin{aligned} \sigma\left[kf(x)+lg(x)\right]=kf(x^2)+lg(x^2)=k\sigma\left[f(x)\right]+l\sigma\left[g(x)\right] \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle \sigma$ 是线性变换. 又由 $\displaystyle \sigma\left[f(x)\right]=f(x^2)=0\Rightarrow f(x)=0$, $\displaystyle x\in\mathbb{P}[x]\backslash \mathrm{im} \sigma$ 知 $\displaystyle \sigma$ 是 $\displaystyle \mathbb{P}[x]$ 到它的一个真子空间 $\displaystyle \mathrm{im} \sigma$ 的一个同构.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1371、 (4)、 设 $\displaystyle \mathscr{A}$ 是 $\displaystyle n$ 维线性空间 $\displaystyle V$ 上的线性变换, 用 $\displaystyle \mathrm{im} \mathscr{A}$ 和 $\displaystyle \ker \mathscr{A}$ 分别表示 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的值域和核. 证明: $\displaystyle \mathrm{im}\mathscr{A}\subset \ker \mathscr{A}$ 的充要条件是 $\displaystyle \mathscr{A}^2$ 等于零变换. (大连理工大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (4-1)、 $\displaystyle \Rightarrow$: 对 $\displaystyle \forall\ \alpha\in V$,
$$\begin{aligned} \mathscr{A}\alpha\in \mathrm{im} \mathscr{A}\subset \ker \mathscr{A}\Rightarrow \mathscr{A}^2\alpha=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle \mathscr{A}^2=\mathscr{O}$. (4-2)、 $\displaystyle \Leftarrow$: 设 $\displaystyle \alpha\in\mathrm{im}\mathscr{A}$, 则
$$\begin{aligned} \exists\ \beta\in V,\mathrm{ s.t.} \alpha=\mathscr{A}\beta \Rightarrow \mathscr{A}\alpha=\mathscr{A}^2\beta=\mathscr{O}\beta=0\Rightarrow \alpha\in \ker \mathscr{A}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle \mathrm{im}\mathscr{A}\subset \ker \mathscr{A}$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1372、 (5)、 设 $\displaystyle A$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{P}$ 上的 $\displaystyle m\times n$ 矩阵, $\displaystyle B$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{P}$ 上的 $\displaystyle (n-m)\times n$ 矩阵. 令
$$\begin{aligned} V_1=&\left\{X\in\mathbb{P}^n; AX=0\right\},\\\\ V_2=&\left\{X\in\mathbb{P}^n; BX=0\right\}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
已知矩阵 $\displaystyle C=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A\\\\B\end{array}\right)$ 可逆. 证明: $\displaystyle \mathbb{P}^n=V_1\oplus V_2$. (大连理工大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由 $\displaystyle \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A\\\\B\end{array}\right)$ 非奇异知
$$\begin{aligned} X\in V_1\cap V_2&\Rightarrow \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A\\\\B\end{array}\right)X=0\Rightarrow X=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle V_1\cap V_2=\left\{0\right\}$. 又由 $\displaystyle \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A\\\\B\end{array}\right)$ 非奇异知
$$\begin{aligned} &\mathrm{rank}(A)=r, \mathrm{rank}(B)=n-r\Rightarrow \dim V_1=n-r, \dim V_2=r\\\\ \Rightarrow&\dim (V_1+V_2)=\dim V_1+\dim V_2-\dim(V_1\cap V_2)\\\\ &=(n-r)+r-0=n\\\\ \Rightarrow&V_1+V_2=\mathbb{P}^n\Rightarrow V_1\oplus V_2=\mathbb{P}^n. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1373、 (6)、 设 $\displaystyle \mathscr{A}$ 是 $\displaystyle n$ 维线性空间 $\displaystyle V$ 上的线性变换, $\displaystyle W$ 是 $\displaystyle V$ 的 $\displaystyle \mathscr{A}$-子空间. 已知 $\displaystyle \mathscr{A}$ 有 $\displaystyle k$ 个互异特征值 $\displaystyle \lambda_1,\cdots,\lambda_k$, 相应的特征向量分别为 $\displaystyle \xi_1,\cdots,\xi_k$. 证明: 若 $\displaystyle \xi_1+\cdots+\xi_k\in W$, 则 $\displaystyle \dim W\geq k$. (大连理工大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle \xi_1+\cdots+\xi_k=\alpha\in W$, 则
$$\begin{aligned} \lambda_1\xi_1+\cdots+\lambda_k\xi_k=\mathscr{A}\alpha\in W, \cdots, \lambda_1^{k-1}\xi_1+\cdots+\lambda_k^{k-1}\xi_k=\mathscr{A}^{k-1}\alpha\in W. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是
$$\begin{aligned} &(\xi_1,\cdots,\xi_k)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&\lambda_1&\cdots&\lambda_1^{k-1}\\\\ 1&\lambda_2&\cdots&\lambda_2^{k-1}\\\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\\\ 1&\lambda_k&\cdots&\lambda_k^{k-1}\end{array}\right)=(\alpha,\mathscr{A}\alpha,\cdots,\mathscr{A}^{k-1}\alpha)\\\\ \Rightarrow&(\xi_1,\cdots,\xi_k)=(\alpha,\mathscr{A}\alpha,\cdots,\mathscr{A}^{k-1}\alpha) \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&\lambda_1&\cdots&\lambda_1^{k-1}\\\\ 1&\lambda_2&\cdots&\lambda_2^{k-1}\\\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\\\ 1&\lambda_k&\cdots&\lambda_k^{k-1}\end{array}\right)^{-1}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这表明 $\displaystyle \xi_1,\cdots,\xi_k$ 是 $\displaystyle \alpha,\mathscr{A}\alpha,\cdots,\mathscr{A}^{k-1}\alpha\in W$ 的线性组合, 而 $\displaystyle \xi_1,\cdots,\xi_k\in W$. 又由 $\displaystyle \xi_1,\cdots,\xi_k$ 是 $\displaystyle \mathscr{A}$ 属于不同特征值的特征向量知它们线性无关. 于是
$$\begin{aligned} \dim W\geq \dim L\left(\xi_1,\cdots,\xi_k\right)=k. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1374、 (2)、 已知矩阵
$$\begin{aligned} A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{array}\right), F=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&0&\cdots&0&-a_n\\\\ 1&0&\cdots&0&-a_{n-1}\\\\ 0&1&\cdots&0&-a_{n-2}\\\\ \vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\\\ 0&0&\cdots&1&-a_1\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2-1)、 若 $\displaystyle AF=FA$, 证明:
$$\begin{aligned} A=a_{11}E+a_{21}F+a_{31}F^2+\cdots+a_{n1}F^{n-1}; \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2-2)、 求子空间 $\displaystyle C(F)=\left\{B\in\mathbb{C}^{n\times n};BF=BF\right\}$ 的维数. (大连理工大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (2-1)、 设
$$\begin{aligned} \beta&=(-a_n,-a_{n-1},\cdots,-a_1)^\mathrm{T},\\\\ e_i&=(\underbrace{0,\cdots,0,1}_i,0,\cdots,0)^\mathrm{T},\\\\ M&=a_{n1}F^{n-1}+a_{n-1,1}F^{n-2}+\cdots+a_{21}F+a_{11}E, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则
$$\begin{aligned} F=(e_2,\cdots,e_n,\beta), MF^i=F^iM\left(\forall\ i\in\mathbb{N}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
为证
$$\begin{aligned} A=M\Leftrightarrow Ae_i=Me_i\left(1\leq i\leq n\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
我们一个一个去验算 (从第一个就可看出 $\displaystyle M$ 的形状):
$$\begin{aligned} Ae_1&=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}a_{11}\\\\a_{21}\\\\\vdots\\\\a_{n1}\end{array}\right)=a_{11}e_1+a_{21}e_2+\cdots+a_{n1}e_n\\\\ &=a_{11}Ee_1+a_{21}Fe_1+\cdots+a_{n1}F^{n-1}e_1\\\\ &=Me_1,\\\\ Ae_2&=AFe_1=FAe_1=FMe_1=MFe_1=Me_2,\\\\ \cdot&=\cdots,\\\\ A_n&=AF^{n-1}e_1=F^{n-1}Ae_1=F^{n-1}Me_1=MF^{n-1}e_1=Me_n. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2-2)、 由第 1 步即知
$$\begin{aligned} C(F)=L(E,F,F^2,\cdots,F^{n-1}). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
往证 $\displaystyle E,F,F^2,\cdots,F^{n-1}$ 线性无关, 而 $\displaystyle \dim C(F)=n$. 事实上,
$$\begin{aligned} &k_0E+k_1F+k_2F^2+\cdots+k_{n-1}F^{n-1}=0\\\\ \Rightarrow&k_0Ee_1+k_1Fe_1+k_2F^2e_1+\cdots+k_{n-1}F^{n-1}e_1=0\\\\ \Rightarrow&k_0e_1+k_1e_2+k_2e_3+\cdots+k_{n-1}e_n=0\\\\ \Rightarrow&k_0=k_1=\cdots=k_{n-1}=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1375、 (3)、 设 $\displaystyle V$ 是全体 $\displaystyle 4$ 阶实矩阵关于矩阵的加法和数乘构成的实线性空间,
$$\begin{aligned} V_1=\left\{A\in V; A^\mathrm{T} =A\right\}, V_2=\left\{(a_{ij})\in V; a_{ij}=0, \forall\ i > j\right\}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则
$$\begin{aligned} \dim(V_1+V_2)-\dim(V_1\cap V_2)=\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(电子科技大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /
$$\begin{aligned} \mbox{原式}=&\left[\dim V_1+\dim V_2-\dim(V_1\cap V_2)\right]-\dim(V_1\cap V_2)\\\\ =&\dim V_1+\dim V_2-2\dim(V_1\cap V_2)\\\\ =&(4+3+2+1)+(4+3+2+1)-2\cdot 4=12. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1376、 3、 设 $\displaystyle 4$ 阶实矩阵 $\displaystyle A$ 的秩为 $\displaystyle 2$, 线性无关的向量 $\displaystyle \alpha,\beta\in\mathbb{R}^4$ 使得
$$\begin{aligned} A(\alpha+\beta)=4\alpha+3\beta,\quad A(\alpha-\beta)=2\alpha-3\beta. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
试确定线性空间 $\displaystyle S=\left\{B\in\mathbb{R}^{4\times 4}; AB=BA\right\}$ 的维数. (电子科技大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由题设, $\displaystyle A\alpha=3\alpha, A\beta=\alpha+3\beta$, 且 $\displaystyle \mathrm{rank} A=2\Rightarrow Ax=0$ 有两个线性无关的解 $\displaystyle \gamma,\delta$. 容易验证 $\displaystyle \alpha,\beta,\gamma,\delta$ 线性无关 [写出线性组合后用 $\displaystyle A$, $\displaystyle (A-3E),(A-3E)^2$ 作用即可]. 于是
$$\begin{aligned} A(\alpha,\beta,\gamma,\delta)=(\alpha,\beta,\gamma,\delta)J, J=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}3&1&&\\\\ &3&&\\\\ &&0&\\\\ &&&0\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
设 $\displaystyle P=(\alpha,\beta,\gamma,\delta)$, 则 $\displaystyle P$ 可逆, 而
$$\begin{aligned} B\in S\Leftrightarrow&P^{-1}BP\cdot P^{-1}AP=P^{-1}AP\cdot P^{-1}BP\\\\ \stackrel{C=P^{-1}BP}{\Leftrightarrow}& CJ=JC \Leftrightarrow C=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}a&b&&\\\\ &a&&\\\\ &&c&d\\\\ &&e&f\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle \dim S=7$, 且 $\displaystyle S$ 有一组基
$$\begin{aligned} &P^{-1} (E_{11}+E_{22}) P, P^{-1} E_{12} P,\\\\ &P^{-1} E_{33} P, P^{-1} E_{34} P, P^{-1} E_{43} P, P^{-1} E_{44} P. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1377、 4、 设 $\displaystyle \mathbb{F}[x]_4$ 为数域 $\displaystyle \mathbb{F}$ 上次数不超过 $\displaystyle 3$ 的多项式按加法和 $\displaystyle \mathbb{F}$-数乘构成的线性空间, 线性变换
$$\begin{aligned} \mathscr{A}: \mathbb{F}[x]_4\to \mathbb{F}[x]_4,\quad f(x)\mapsto f(2-x). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
试求 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的特征多项式与最小多项式. (电子科技大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由
$$\begin{aligned} &\mathscr{A} 1=1, \mathscr{A} x=2-x, \mathscr{A} x^2=4-4x+x^2,\\\\ &\mathscr{A} x^3=8-12x+6x^2-x^3 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知
$$\begin{aligned} \mathscr{A} (1,x,x^2,x^3)=(1,x,x^2,x^3)A, A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&2&4&8\\\\ 0&-1&-4&-12\\\\ 0&0&1&6\\\\ 0&0&0&-1\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
易知 $\displaystyle A$ 的特征值为 $\displaystyle 1,1,-1,-1$. 又由
$$\begin{aligned} A-E\to \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&1&2&0\\\\ 0&0&0&1\\\\ 0&0&0&0\\\\ 0&0&0&0\end{array}\right), A+E\to \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1&0&-2\\\\ 0&0&1&3\\\\ 0&0&0&0\\\\ 0&0&0&0\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle A$ 的属于特征值 $\displaystyle 1,-1$ 的特征向量各有两个. 故 $\displaystyle A\sim\mathrm{diag}(1,1,-1,-1)$. 故 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的特征多项式与最小多项式分别为
$$\begin{aligned} (\lambda-1)^2(\lambda+1)^2,\quad (\lambda-1)(\lambda+1). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1378、 8、 证明题 (共 60 分, 每题 15 分). (1)、 设 $\displaystyle \mathscr{A},\mathscr{B}$ 是 $\displaystyle n$ 维复线性空间 $\displaystyle V$ 上的线性变换, 且 $\displaystyle \mathscr{A}\mathscr{B}=\mathscr{B}\mathscr{A}$, $\displaystyle \lambda$ 是 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的一个负特征值, 此时 $\displaystyle \mathscr{A}$ 相应的特征子空间
$$\begin{aligned} V_\lambda=\left\{\alpha\in V; \mathscr{A}\alpha=\lambda \alpha\right\}\neq \left\{0\right\}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(1-1)、 证明: $\displaystyle V_\lambda$ 是一个 $\displaystyle \mathscr{B}$-子空间; (1-2)、 将 $\displaystyle \mathscr{B}$ 限制到 $\displaystyle V_\lambda$ 上得到的线性变换记为 $\displaystyle \mathscr{B}|_{V_\lambda}$, 如果 $\displaystyle \mathscr{B}$ 可以对角化, 证明 $\displaystyle \mathscr{B}|_{V_\lambda}$ 也可以对角化; (1-3)、 若 $\displaystyle \mathscr{A},\mathscr{B}$ 都可以对角化, 证明: 存在 $\displaystyle V$ 的一组基 $\displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_n$, 使得 $\displaystyle \mathscr{A},\mathscr{B}$ 在该基下的矩阵均为对角阵. (电子科技大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1-1)、 由
$$\begin{aligned} \alpha\in V_\lambda\Rightarrow&\mathscr{A}\mathscr{B}\alpha=\mathscr{B}\mathscr{A}\alpha=\mathscr{B}(\lambda\alpha)=\lambda \mathscr{B}\alpha \Rightarrow \mathscr{B}\alpha\in V_\lambda \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle V_\lambda$ 是一个 $\displaystyle \mathscr{B}$-子空间. (1-2)、 记 $\displaystyle m_\lambda(x)$, $\displaystyle m(x)$ 分别是 $\displaystyle \mathscr{B}|_W$ 和 $\displaystyle \mathscr{B}$ 的最小多项式. 设 $\displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_k$ 是 $\displaystyle W$ 的一组基, 将其扩充为 $\displaystyle V$ 的一组基 $\displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_n$, 则
$$\begin{aligned} \mathscr{B}(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)=(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)\left(\begin{array}{cc} A&B\\\\ 0&C \end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则
$$\begin{aligned} 0=m(\mathscr{B})(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)=(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)\left(\begin{array}{cc} m(A)&\star \\\\ 0&m(C) \end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这样, $\displaystyle m(A)=0$, $\displaystyle m(x)$ 是 $\displaystyle \mathscr{B}|_W$ 的零化多项式, 而 $\displaystyle m_\lambda(x)\mid m(x)$. 既然 $\displaystyle \mathscr{B}$ 可对角化, 而 $\displaystyle m(x)$ 没有重根, $\displaystyle m_\lambda(x)$ 更没有重根,$\mathscr{B}|_{V_\lambda}$ 可对角化. (1-3)、 由 $\displaystyle \mathscr{A}$ 可对角化知
$$\begin{aligned} V=\oplus_{i=1}^s V_{\lambda_i}, V_{\lambda_i}=\left\{\alpha\in V; \mathscr{A}\alpha=\lambda_i\alpha\right\}, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
其中 $\displaystyle \lambda_i$ 互异. 又由 $\displaystyle \mathscr{B}$ 可对角化及第 2 步知 $\displaystyle \mathscr{B}|_{V_{\lambda_i}}$ 也可对角化. 设 $\displaystyle \varepsilon_{i1},\cdots,\varepsilon_{in_i}$ 是 $\displaystyle V_{\lambda_i}$ 的基, 使得
$$\begin{aligned} &\mathscr{B}(\varepsilon_{i1},\cdots,\varepsilon_{in_i})=(\varepsilon_{i1},\cdots,\varepsilon_{in_i})\varLambda_i,\\\\ &\varLambda_i=\mathrm{diag}(\mu_{i1},\cdots,\mu_{in_i}), n_i=\dim V_i. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是在 $\displaystyle V$ 的基 $\displaystyle \varepsilon_{11},\cdots,\varepsilon_{1n_1}, \cdots, \varepsilon_{s1},\cdots, \varepsilon_{sn_s}$ 下, $\displaystyle \mathscr{A}, \mathscr{B}$ 的矩阵分别为
$$\begin{aligned} &\mathrm{diag}(\lambda_1E_{n_1},\cdots,\lambda_sE_{n_s}),\\\\ &\mathrm{diag}(\varLambda_1,\cdots,\varLambda_s)=\mathrm{diag}(\mu_{11},\cdots,\mu_{1n_1},\cdots,\mu_{s1},\cdots,\mu_{sn_s}). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
结论得证.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1379、 4、 设 $\displaystyle \varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3$ 是 $\displaystyle 3$ 维线性空间 $\displaystyle V$ 中的一组基. 已知 $\displaystyle V$ 上的线性变换 $\displaystyle \mathscr{A}$ 满足
$$\begin{aligned} \mathscr{A}\varepsilon_1+2\mathscr{A} \varepsilon_2+3\mathscr{A} \varepsilon_3=&6\varepsilon_1+7\varepsilon_2+8\varepsilon_3,\\\\ 3\mathscr{A} \varepsilon_2+4\mathscr{A} \varepsilon_3=&6\varepsilon_1+9\varepsilon_2+4\varepsilon_3,\\\\ 4\mathscr{A} \varepsilon_2+5\mathscr{A} \varepsilon_3=&8\varepsilon_1+12\varepsilon_2+5\varepsilon_3. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(1)、 是否存在 $\displaystyle V$ 的一组基, 使得 $\displaystyle \mathscr{A}$ 在此其下的矩阵为对角阵, 是的话求对应的对角矩阵; 不是的话请说明理由. (2)、 求 $\displaystyle \mathscr{A}$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_1,\varepsilon_1+\varepsilon_2,\varepsilon_1+\varepsilon_2+\varepsilon_3$ 下的矩阵. (东北大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 由题设,
$$\begin{aligned} &\mathscr{A}(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&0\\\\ 2&3&4\\\\ 3&4&5\end{array}\right)=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}6&6&8\\\\ 7&9&12\\\\ 8&4&5\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故
$$\begin{aligned} &\mathscr{A}(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)A,\\\\ &A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}6&6&8\\\\ 7&9&12\\\\ 8&4&5\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&0\\\\ 2&3&4\\\\ 3&4&5\end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&2&0\\\\ 1&3&0\\\\ 5&0&1\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
易知 $\displaystyle A$ 的特征值为 $\displaystyle 4,1,1$. 又由
$$\begin{aligned} E-A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&0\\\\ 0&1&0\\\\ 0&0&0\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle A$ 的 Jordan 标准形 $\displaystyle J$ 满足 $\displaystyle \mathrm{rank}(J-E)=\mathrm{rank}(A-E)=2$. 从而 $\displaystyle J$ 的严格上三角部分有一个 $\displaystyle 1$, $\displaystyle A$ (从而 $\displaystyle \mathscr{A}$) 不可对角化. (2)、 设
$$\begin{aligned} \eta_1=\varepsilon_1, \eta_2=\varepsilon_1+\varepsilon_2, \eta_3=\varepsilon_1+\varepsilon_2+\varepsilon_3, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则
$$\begin{aligned} (\eta_1,\eta_2,\eta_3)=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)T, T=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1&1\\\\ 0&1&1\\\\ 0&0&1\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故
$$\begin{aligned} &\mathscr{A}(\eta_1,\eta_2,\eta_3) =\mathscr{A}(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)T\\\\ =&(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)AT =(\eta_1,\eta_2,\eta_3)T^{-1}AT. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这表明 $\displaystyle \mathscr{A}$ 在基 $\displaystyle \eta_1,\eta_2,\eta_3$ 下的矩阵为
$$\begin{aligned} T^{-1}AT=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&0\\\\ -4&-1&-2\\\\ 5&5&6\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
$$\begin{aligned} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1380、 7、 设 $\displaystyle V_1$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{P}$ 上 $\displaystyle n$ 阶对称矩阵全体构成的集合, $\displaystyle V_2$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{P}$ 上 $\displaystyle n$ 阶反对称矩阵全体构成的集合. (1)、 证明: $\displaystyle V_1$ 与 $\displaystyle V_2$ 都是 $\displaystyle \mathbb{P}^{n\times n}$ 的线性子空间; (2)、 证明: 任一 $\displaystyle n$ 阶矩阵可分解为一个对称矩阵与一个反对称矩阵的和; (3)、 证明: $\displaystyle \mathbb{P}^{n\times n}$ 可表示为 $\displaystyle V_1$ 与 $\displaystyle V_2$ 的直和, 即 $\displaystyle \mathbb{P}^{n\times n}=V_1\oplus V_2$. (东北大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 对 $\displaystyle \forall\ k,l\in\mathbb{P}$,
$$\begin{aligned} &A,B\in V_1\Rightarrow A^\mathrm{T} =A, B^\mathrm{T} =B\\\\ \Rightarrow& (kA+lB)^\mathrm{T}=kA^\mathrm{T}+lB^\mathrm{T} =kA+lB\Rightarrow kA+lB\in V_1,\\\\ &A,B\in V_2\Rightarrow A^\mathrm{T} =-A, B^\mathrm{T} =-B\\\\ \Rightarrow& (kA+lB)^\mathrm{T}=kA^\mathrm{T}+lB^\mathrm{T} =-kA-lB\Rightarrow kA+lB\in V_2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle V_1$ 与 $\displaystyle V_2$ 都是 $\displaystyle \mathbb{P}^{n\times n}$ 的线性子空间. (2)、 对 $\displaystyle \forall\ A\in\mathbb{P}^{n\times n}$,
$$\begin{aligned} A=\frac{A+A^\mathrm{T}}{2}+\frac{A-A^\mathrm{T}}{2} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
是一个对称矩阵与一个反对称矩阵的和. (3)、 由第 2 步知 $\displaystyle \mathbb{P}^{n\times n}=V_1+V_2$. 又由
$$\begin{aligned} A\in V_1\cap V_2\Rightarrow A^\mathrm{T} =A, A^\mathrm{T}=-A\Rightarrow A=0 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle \mathbb{P}^{n\times n}=V_1\oplus V_2$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
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