张祖锦2023年数学专业真题分类70天之第59天
1335、 5、 (20 分) 设 $\displaystyle A\in \mathbb{R}^{n\times n}$ 是正定矩阵, $\displaystyle \beta\in \mathbb{R}^n, c\in\mathbb{R}$. 如果存在 $\displaystyle x\in\mathbb{R}^n$ 使得
$$\begin{aligned} x^\mathrm{T} Ax+2\beta^\mathrm{T} x+c=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
证明: $\displaystyle \beta^\mathrm{T} A^{-1}\beta\geq c$. (南开大学2023年高等代数考研试题) [二次型 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由 $\displaystyle A$ 正定知存在正交矩阵 $\displaystyle P$ 使得
$$\begin{aligned} &P^\mathrm{T} AP=\mathrm{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_n),\quad \lambda_i > 0\\\\ \Rightarrow&P^\mathrm{T} A^{-1}P=\mathrm{diag}(\lambda_1^{-1},\cdots,\lambda_n^{-1}). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
设 $\displaystyle \beta=P\gamma, x=Py$, 则
$$\begin{aligned} &\beta^\mathrm{T} A^{-1}\beta+x^\mathrm{T} Ax\\\\ =&\gamma^\mathrm{T} \mathrm{diag}(\lambda_1^{-1},\cdots,\lambda_n^{-1})\gamma +y^\mathrm{T} \mathrm{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_n)y\\\\ =&\sum_{i=1}^n \frac{\gamma_i^2}{\lambda_i} +\sum_{i=1}^n \lambda_iy_i^2 =\sum_{i=1}^n \left(\frac{\gamma_i^2}{\lambda_i}+\lambda_iy_i^2\right)\\\\ \stackrel{\tiny\mbox{Schwarz}}{\geq}&\sum_{i=1}^n 2\left|\frac{\gamma_i}{\sqrt{\lambda_i}}\cdot \sqrt{\lambda_i}y_i\right| =2\left|\sum_{i=1}^n \gamma_iy_i\right|\\\\ =&2|\gamma^\mathrm{T} y| =2|\beta^\mathrm{T} P\cdot P^\mathrm{T} x| =2|\beta^\mathrm{T} x|\geq -2\beta^\mathrm{T} x. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
移项后利用题中等式即知结论成立.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1336、
(10)、 设 $\displaystyle f(x)=ax_1^2+ax_2^2+(a-1)x_3^2+2x_1x_3-2x_2x_3$, 则当 $\displaystyle a=\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$ 时, $\displaystyle f(x)$ 的规范形为 $\displaystyle y_1^2+y_2^2$. [题目有问题, 理由见参考解答.] (厦门大学2023年高等代数考研试题) [二次型 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle 2=\mathrm{tr} f=a+a+(a-1)\Rightarrow a=1$. 但代入一算知 $\displaystyle f$ 的规范形为 $\displaystyle y_1^2+y_2^2-y_3^2$. 与题设矛盾.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1337、 9、 (15 分) 设二次型
$$\begin{aligned} f(x_1,x_2,x_3)=5x_1^2+5x_2^2-6x_1x_3+6x_1x_2+6x_2x_3+tx_3^2 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
的秩为 $\displaystyle 2$. (1)、 求 $\displaystyle t$ 的值; (2)、 用正交替换把二次型化为标准形, 并把正交替换写出. (山西大学2023年高等代数考研试题) [二次型 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle f$ 的矩阵为 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}5&3&-3\\\\ 3&5&3\\\\ -3&3&t\end{array}\right)$. 由题设, $\displaystyle 0=|A|=16(t-9)\Rightarrow t=9$. 易知 $\displaystyle A$ 的特征值为 $\displaystyle 11,8,0$. 由
$$\begin{aligned} &11E-A\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&\frac{1}{3}\\\\ 0&1&-\frac{1}{3}\\\\ 0&0&0 \end{array}\right), 8E-A\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&-1&0\\\\ 0&0&1\\\\ 0&0&0 \end{array}\right),\\\\ &0E-A\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&-\frac{3}{2}\\\\ 0&1&\frac{3}{2}\\\\ 0&0&0 \end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle A$ 的属于特征值 $\displaystyle 11,8,0$ 的特征向量分别为
$$\begin{aligned} \xi_1=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-1\\\\1\\\\3 \end{array}\right), \xi_2=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1\\\\1\\\\0 \end{array}\right), \xi_3=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}3\\\\-3\\\\2 \end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
将 $\displaystyle \xi_1,\xi_2,\xi_3$ 标准正交化为 $\displaystyle \eta_1,\eta_2,\eta_3$. 令
$$\begin{aligned} P=(\eta_1,\eta_2,\eta_3)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc} -\frac{1}{\sqrt{11}}&\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{3}{\sqrt{22}}\\\\ \frac{1}{\sqrt{11}}&\frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{3}{\sqrt{22}}\\\\ \frac{3}{\sqrt{11}}&0&\frac{2}{\sqrt{22}} \end{array}\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则 $\displaystyle P$ 正交, 且
$$\begin{aligned} P^\mathrm{T} AP=P^{-1}AP=\mathrm{diag}\left(11,8,0\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故经过正交线性替换 $\displaystyle X=PY$ 后, $\displaystyle f$ 化为了标准形 $\displaystyle 11y_1^2+8y_2^2$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1338、 5、 (15 分) 求使实二次型
$$\begin{aligned} f(x_1,\cdots,x_n)=\sum_{i=1}^n (x_i+a_ix_{i+1})^2\left(\mbox{约定 $\displaystyle x_{n+1}=x_1$}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
正定的充分必要条件. (陕西师范大学2023年高等代数考研试题) [二次型 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设
$$\begin{aligned} y_1=x_1+a_1x_2, y_2=x_2+a_2x_3, \cdots, y_{n-1}=x_{n-1}+a_{n-1}x_n, y_n=x_n+a_nx_1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则当且仅当上述线性替换非奇异时, $\displaystyle f=y_1^2+\cdots+y_n^2$ 是正定二次型. 算出上述线性替换的矩阵的行列式
$$\begin{aligned} \left|\begin{array}{cccccccccc}1&0&\cdots&a_n\\\\ a_1&1&\cdots&\vdots\\\\ &\ddots&\ddots&\vdots\\\\ &&a_{n-1}&1\end{array}\right|=1+a_n\cdot(-1)^{1+n}a_1\cdots a_{n-1} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
即知 $\displaystyle f$ 正定 $\displaystyle \Leftrightarrow a_1\cdots a_n\neq (-1)^n$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1339、 8、 二次型
$$\begin{aligned} f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+5x_2^2+5x_3^2+2ax_1x_2+2bx_1x_3-8x_2x_3 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
可经过正交变换化为标准形 $\displaystyle y_1^2+y_2^2+cy_3^2$. 求 $\displaystyle a,b,c$ 及正交变换矩阵 $\displaystyle P$. (上海财经大学2023年高等代数考研试题) [二次型 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle f$ 的矩阵为 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&a&b\\\\ a&5&-4\\\\ b&-4&5\end{array}\right)$. 于是 $\displaystyle 12=\mathrm{tr} A=1+1+c\Rightarrow c=10$. 故
$$\begin{aligned} A\sim \mathrm{diag}(1,1,10)\Rightarrow \mathrm{rank}(A-E)=1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由 $\displaystyle A-E\to \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&a&b\\\\ 0&4-a^2&-(ab+4)\\\\ a+b&0&0\end{array}\right)$ 知 $\displaystyle a=\pm 2, b=\mp 2$. (1)、 当 $\displaystyle a=2, b=-2$ 时, $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&2&-2\\\\ 2&5&-4\\\\ -2&-4&5\end{array}\right)$. 易知 $\displaystyle A$ 的特征值为 $\displaystyle 1,1,10$. 由
$$\begin{aligned} E-A\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&2&-2\\\\ 0&0&0\\\\ 0&0&0 \end{array}\right), 10E-A\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&\frac{1}{2}\\\\ 0&1&1\\\\ 0&0&0 \end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle A$ 的属于特征值 $\displaystyle 1,10$ 的特征向量分别为
$$\begin{aligned} \xi_1=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-2\\\\1\\\\0 \end{array}\right), \xi_2=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2\\\\0\\\\1 \end{array}\right), \xi_3=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-1\\\\-2\\\\2 \end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
将 $\displaystyle \xi_1,\xi_2,\xi_3$ 标准正交化为 $\displaystyle \eta_1,\eta_2,\eta_3$. 令
$$\begin{aligned} P=(\eta_1,\eta_2,\eta_3)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc} -\frac{2}{\sqrt{5}}&\frac{2}{3\sqrt{5}}&-\frac{1}{3}\\\\ \frac{1}{\sqrt{5}}&\frac{4}{3\sqrt{5}}&-\frac{2}{3}\\\\ 0&\frac{\sqrt{5}}{3}&\frac{2}{3} \end{array}\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则 $\displaystyle P$ 正交, 且
$$\begin{aligned} P^\mathrm{T} AP=P^{-1}AP=\mathrm{diag}\left(1,1,10\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故经过正交变换 $\displaystyle X+PY$ 后, $\displaystyle f$ 化为了标准形 $\displaystyle y_1^2+y_2^2+10y_3^2$. (2)、 当 $\displaystyle a=-2, b=2$ 时, $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&-2&2\\\\ -2&5&-4\\\\ 2&-4&5\end{array}\right)$. 易知 $\displaystyle A$ 的特征值为 $\displaystyle 1,1,10$. 由
$$\begin{aligned} E-A\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&-2&2\\\\ 0&0&0\\\\ 0&0&0 \end{array}\right), 10E-A\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&-\frac{1}{2}\\\\ 0&1&1\\\\ 0&0&0 \end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle A$ 的属于特征值 $\displaystyle 1,10$ 的特征向量分别为
$$\begin{aligned} \xi_1=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2\\\\1\\\\0 \end{array}\right), \xi_2=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-2\\\\0\\\\1 \end{array}\right), \xi_3=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1\\\\-2\\\\2 \end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
将 $\displaystyle \xi_1,\xi_2,\xi_3$ 标准正交化为 $\displaystyle \eta_1,\eta_2,\eta_3$. 令
$$\begin{aligned} P=(\eta_1,\eta_2,\eta_3)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \frac{2}{\sqrt{5}}&-\frac{2}{3\sqrt{5}}&\frac{1}{3}\\\\ \frac{1}{\sqrt{5}}&\frac{4}{3\sqrt{5}}&-\frac{2}{3}\\\\ 0&\frac{\sqrt{5}}{3}&\frac{2}{3} \end{array}\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则 $\displaystyle P$ 正交, 且
$$\begin{aligned} P^\mathrm{T} AP=P^{-1}AP=\mathrm{diag}\left(1,1,10\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故经过正交变换 $\displaystyle X+PY$ 后, $\displaystyle f$ 化为了标准形 $\displaystyle y_1^2+y_2^2+10y_3^2$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1340、 (2)、 (15 分) 设二次型
$$\begin{aligned} f(x_1,x_2,x_3)=ax_1^2-3x_2^2-2x_3^2+2x_1x_3+2x_2x_3 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
是负定二次型, 且整数 $\displaystyle a$ 为 $\displaystyle 3$ 的倍数, 试确定 $\displaystyle a$ 的最大值, 并在此时用正交变换将此二次型化为标准形 (需写出正交变换及标准形). (上海大学2023年高等代数考研试题) [二次型 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle f$ 的矩阵为 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}a&0&1\\\\ 0&-3&1\\\\ 1&1&-2\end{array}\right)$. 由 $\displaystyle A$ 负定知 $\displaystyle a < 0, -3a > 0, |A|=5a+3 < 0\Leftrightarrow a < -\frac{3}{5}$. 联合 $\displaystyle a$ 是 $\displaystyle 3$ 的倍数知 $\displaystyle a=-3$. 易知 $\displaystyle A$ 的特征值为 $\displaystyle -1,-3,-4$. 由
$$\begin{aligned} &-E-A\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&-\frac{1}{2}\\\\ 0&1&-\frac{1}{2}\\\\ 0&0&0 \end{array}\right), -3 E-A\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1&0\\\\ 0&0&1\\\\ 0&0&0 \end{array}\right),\\\\ &-4 E-A\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&1\\\\ 0&1&1\\\\ 0&0&0 \end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle A$ 的属于特征值 $\displaystyle -1,-3,-4$ 的特征向量分别为
$$\begin{aligned} \xi_1=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1\\\\1\\\\2 \end{array}\right), \xi_2=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-1\\\\1\\\\0 \end{array}\right), \xi_3=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-1\\\\-1\\\\1 \end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
将 $\displaystyle \xi_1,\xi_2,\xi_3$ 标准正交化为 $\displaystyle \eta_1,\eta_2,\eta_3$. 令
$$\begin{aligned} P=(\eta_1,\eta_2,\eta_3)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \frac{1}{\sqrt{6}}&-\frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{3}}\\\\ \frac{1}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{3}}\\\\ \frac{2}{\sqrt{6}}&0&\frac{1}{\sqrt{3}} \end{array}\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则 $\displaystyle P$ 正交, 且
$$\begin{aligned} P^\mathrm{T} AP=P^{-1}AP=\mathrm{diag}\left(-1,-3,-4\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故经过正交线性替换 $\displaystyle X=PY$ 后, $\displaystyle f$ 化为了标准形 $\displaystyle -y_1^2-3y_2^2-4y_3^2$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1341、 10、 试用正交线性替换把二次型
$$\begin{aligned} 7x_1^2+x_2^2+x_3^2-8x_1x_2+8x_1x_3+16x_2x_3 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
化为标准形. (首都师范大学2023年高等代数考研试题) [二次型 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 题中二次型 $\displaystyle f$ 的矩阵为 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}7&-4&4\\\\ -4&1&8\\\\ 4&8&1\end{array}\right)$. 易知 $\displaystyle A$ 的特征值为 $\displaystyle 9,9,-9$. 由
$$\begin{aligned} 9E-A\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 1&2&-2\\\\ 0&0&0\\\\ 0&0&0 \end{array}\right), -9E-A\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 1&0&\frac{1}{2}\\\\ 0&1&1\\\\ 0&0&0 \end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle A$ 的属于特征值 $\displaystyle 9,-9$ 的特征向量分别为
$$\begin{aligned} \xi_1=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-2\\\\1\\\\0 \end{array}\right), \xi_2=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2\\\\0\\\\1 \end{array}\right), \xi_3=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-1\\\\-2\\\\2 \end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
将 $\displaystyle \xi_1,\xi_2,\xi_3$ 标准正交化为 $\displaystyle \eta_1,\eta_2,\eta_3$. 令
$$\begin{aligned} P=(\eta_1,\eta_2,\eta_3)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc} -\frac{2}{\sqrt{5}}&\frac{2}{3\sqrt{5}}&-\frac{1}{3}\\\\ \frac{1}{\sqrt{5}}&\frac{4}{3\sqrt{5}}&-\frac{2}{3}\\\\ 0&\frac{\sqrt{5}}{3}&\frac{2}{3} \end{array}\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则 $\displaystyle P$ 正交, 且
$$\begin{aligned} P^\mathrm{T} AP=P^{-1}AP=\mathrm{diag}\left(9,9,-9\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故经过正交线性替换 $\displaystyle X=PY$ 后, $\displaystyle f$ 化为标准形 $\displaystyle 9y_1^2+9y_2^2-9y_3^2$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1342、 8、 二次型
$$\begin{aligned} f(x_1,x_2,x_3)=x^\mathrm{T} Ax =x_1^2+x_2^2+x_3^2+2ax_1x_2+2x_1x_3+4bx_2x_3 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
在正交线性替换 $\displaystyle x=Qy$ 下化为标准形 $\displaystyle y_1^2+2y_2^2$. (1)、 求 $\displaystyle a,b$ 及 $\displaystyle Q$; (2)、 若 $\displaystyle tE+3A+A^2$ 正定, 确定 $\displaystyle t$ 的范围; (3)、 设 $\displaystyle x,y,z\in \mathbb{R}, x^2+y^2+z^2=1$, 证明: $\displaystyle 0\leq x^2+y^2+z^2+2xz\leq 2$. (太原理工大学2023年高等代数考研试题) [二次型 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 $\displaystyle f$ 的矩阵为 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&a&1\\\\ a&1&2b\\\\ 1&2b&1\end{array}\right)$. 由题设, $\displaystyle A$ 的特征值为 $\displaystyle 1,2,0$. 故
$$\begin{aligned} 0=|0E-A|=(-1)^3|A|=(a-2b)^2\Rightarrow a=2b. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
进而算出 $\displaystyle 0=|E-A|=-2a^2\Rightarrow a=0\Rightarrow b=0$. 由
$$\begin{aligned} 2E-A\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 1&0&-1\\\\ 0&1&0\\\\ 0&0&0 \end{array}\right), E-A\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 1&0&0\\\\ 0&0&1\\\\ 0&0&0 \end{array}\right), 0E-A\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 1&0&1\\\\ 0&1&0\\\\ 0&0&0 \end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle A$ 的属于特征值 $\displaystyle 2,1,0$ 的特征向量分别为
$$\begin{aligned} \xi_1=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1\\\\0\\\\1 \end{array}\right), \xi_2=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0\\\\1\\\\0 \end{array}\right), \xi_3=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-1\\\\0\\\\1 \end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
将 $\displaystyle \xi_1,\xi_2,\xi_3$ 标准正交化为 $\displaystyle \eta_1,\eta_2,\eta_3$. 令
$$\begin{aligned} Q=(\eta_1,\eta_2,\eta_3)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \frac{1}{\sqrt{2}}&0&-\frac{1}{\sqrt{2}}\\\\ 0&1&0\\\\ \frac{1}{\sqrt{2}}&0&\frac{1}{\sqrt{2}} \end{array}\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则 $\displaystyle Q$ 正交, 且
$$\begin{aligned} Q^\mathrm{T} AQ=Q^{-1}AQ=\mathrm{diag}\left(2,1,0\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2)、 设 $\displaystyle f(s)=t+3s+s^2$, 则
$$\begin{aligned} Q^\mathrm{T} (tE+3A+A^2)Q =\mathrm{diag}\left(f(2),f(1),f(0)\right) =\mathrm{diag}(10+t, 4+t, t). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle tE+3A+A^2$ 正定 $\displaystyle \Leftrightarrow 10+t > 0, 4+t > 0, t > 0\Leftrightarrow t > 0$. (3)、 设 $\displaystyle \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}x\\\\y\\\\z\end{array}\right)=Q\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}u\\\\v\\\\w\end{array}\right)$, 则
$$\begin{aligned} &u^2+v^2+w^2=(u,v,w)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}u\\\\v\\\\w\end{array}\right)\\\\ =&(x,y,z)Q Q^\mathrm{T}\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}x\\\\y\\\\z\end{array}\right)=x^2+y^2+z^2=1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是
$$\begin{aligned} x^2+y^2+z^2+2xz=f(x,y,z)\overset{\tiny\mbox{第1步}}{=} 2u_1^2+u_2^2\in [0,2]. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1343、 5、 (10 分) 设 $\displaystyle A\in \mathbb{R}^{n\times n}$ 为正定矩阵, $\displaystyle \beta$ 与 $\displaystyle x$ 均为 $\displaystyle n$ 维实向量, 试证二次函数
$$\begin{aligned} f(x)=x^\mathrm{T} Ax-2\beta^\mathrm{T} x+c \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
的极小值为 $\displaystyle c-\beta^\mathrm{T} A^{-1}\beta$. (西安电子科技大学2023年高等代数考研试题) [二次型 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由 $\displaystyle A$ 正定知存在可逆矩阵 $\displaystyle C$, 使得 $\displaystyle A=C^\mathrm{T} C$. 设 $\displaystyle y=Cx$, 则
$$\begin{aligned} f(x)=&y^\mathrm{T} y-2\beta^\mathrm{T} C^{-1}y+c\\\\ \stackrel{\gamma=\beta^\mathrm{T} C^{-1}=(r_1,\cdots,r_n)}{=}&\sum_{i=1}^n y_i^2-2\sum_{i=1}^n r_iy_i+c =\sum_{i=1}^n (y_i-c_i)^2+c-\sum_{i=1}^n r_i^2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故
$$\begin{aligned} \min f=c-\gamma\gamma^\mathrm{T} =c-\beta^\mathrm{T} C^{-1}C^{-\mathrm{T}}\beta=c-\beta^\mathrm{T} A^{-1}\beta. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1344、 11、 设实二次型
$$\begin{aligned} f(x_1,x_2,x_3,x_4)=&k(x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2)\\\\ &+2x_1x_2+2x_1x_3-2x_1x_4-2x_2x_3+2x_2x_4+2x_3x_4. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(1)、 若 $\displaystyle f$ 为正定二次型, 求 $\displaystyle k$ 的取值范围; (2)、 若 $\displaystyle f$ 通过正交线性替换化为标准形 $\displaystyle g=3y_1^2+3y_2^2+3y_3^2-y_4^2$, 求 $\displaystyle k$ 的值. (西北大学2023年高等代数考研试题) [二次型 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 $\displaystyle f$ 的矩阵为 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}k&1&1&-1\\\\ 1&k&-1&1\\\\ 1&-1&k&1\\\\ -1&1&1&k\end{array}\right)$. 而 $\displaystyle f$ 正定
$$\begin{aligned} &\Leftrightarrow k > 0, k^2-1 > 0, (k+1)^2(k-2) > 0, |A|=(k-3)(k+1)^3 > 0\\\\ &\Leftrightarrow k > 3. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2)、 由题设, $\displaystyle 4k=3+3+3-1\Rightarrow k=2$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1345、 5、 (20 分) 已知二次型
$$\begin{aligned} f(x_1,x_2,x_3)=(1+a)x_1^2+(1+a)x_2^2+2x_3^2+2(a-1)x_1x_2 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
的秩为 $\displaystyle 2$, 求 $\displaystyle a$ 的值, 并将二次型经过正交替换 $\displaystyle X=QY$ 化为标准形, 同时求 $\displaystyle f(x_1,x_2,x_3)=0$ 的解. (西南财经大学2023年高等代数考研试题) [二次型 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle f$ 的矩阵为 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1+a&a-1&0\\\\ a-1&1+a&0\\\\ 0&0&2\end{array}\right)$. 由题设, $\displaystyle 0=|A|=8a\Rightarrow a=0\Rightarrow A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&-1&0\\\\ -1&1&0\\\\ 0&0&2\end{array}\right)$. 易知 $\displaystyle A$ 的特征值为 $\displaystyle 2,2,0$. 由
$$\begin{aligned} 2E-A\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1&0\\\\ 0&0&0\\\\ 0&0&0 \end{array}\right), 0E-A\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&-1&0\\\\ 0&0&1\\\\ 0&0&0 \end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle A$ 的属于特征值 $\displaystyle 2,0$ 的特征向量分别为
$$\begin{aligned} \xi_1=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-1\\\\1\\\\0 \end{array}\right), \xi_2=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0\\\\0\\\\1 \end{array}\right);\quad \xi_3=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1\\\\1\\\\0 \end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
将 $\displaystyle \xi_1,\xi_2,\xi_3$ 标准正交化为 $\displaystyle \eta_1,\eta_2,\eta_3$. 令
$$\begin{aligned} P=(\eta_1,\eta_2,\eta_3)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-\frac{1}{\sqrt{2}}&0&\frac{1}{\sqrt{2}}\\\\ \frac{1}{\sqrt{2}}&0&\frac{1}{\sqrt{2}}\\\\ 0&1&0 \end{array}\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则 $\displaystyle P$ 正交, 且
$$\begin{aligned} P^\mathrm{T} AP=P^{-1}AP=\mathrm{diag}\left(2,2,0\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故经过正交线性替换 $\displaystyle X=PY$ 后, $\displaystyle f$ 化为了标准形 $\displaystyle 2y_1^2+2y_2^2=0$. 进一步,
$$\begin{aligned} f=0\Leftrightarrow y_1=y_2=0\Leftrightarrow x=P\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0\\\\0\\\\y_3\end{array}\right)=\frac{y_3}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1\\\\1\\\\0\end{array}\right) =k\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1\\\\1\\\\0\end{array}\right), \forall\ k. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1346、 7、 (10 分) 设 $\displaystyle \alpha,\beta$ 为实数域上的 $\displaystyle n$ 维非零列向量, 且 $\displaystyle A=\alpha\beta^\mathrm{T}+\beta\alpha^\mathrm{T}$, 求二次型 $\displaystyle f(x)=x^\mathrm{T} Ax$ 的符号差. (西南交通大学2023年高等代数考研试题) [二次型 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 8、 若 $\displaystyle \alpha,\beta$ 线性相关, 则由 $\displaystyle \alpha,\beta$ 均不为零知
$$\begin{aligned} \exists\ k\in\mathbb{R}\backslash\left\{0\right\},\mathrm{ s.t.} \beta=k\alpha. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
而
$$\begin{aligned} f(x)&=x^\mathrm{T} (2k\alpha\alpha^\mathrm{T})x =2kx^\mathrm{T} \alpha \alpha^\mathrm{T} x=2ky^\mathrm{T} y\left(y=\alpha^\mathrm{T} x\right)\\\\ &=\left\{\begin{array}{llllllllllll} z^\mathrm{T} z\Rightarrow\mbox{$f$ 的符号差为 $\displaystyle 1$},&z=\sqrt{2k}y, k\geq 0,\\\\ -z^\mathrm{T} z\Rightarrow\mbox{$f$ 的符号差为 $\displaystyle -1$},&z=\sqrt{-2k}y, k < 0. \end{array}\right. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
9、 若 $\displaystyle \alpha,\beta$ 线性无关, 则
$$\begin{aligned} \mathrm{rank}\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}a_1&\cdots&a_n\\\\ b_1&\cdots&b_n\end{array}\right)=2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
不妨设 $\displaystyle \left|\begin{array}{cccccccccc}a_1&a_2\\\\ b_1&b_2\end{array}\right|\neq 0$, 而非退化线性替换
$$\begin{aligned} \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}y_1\\\\\vdots\\\\ y_n\end{array}\right) =\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc} a_1&a_2&a_3&\cdots&a_n\\\\ b_1&b_2&b_3&\cdots&b_n\\\\ 0&0&1&\cdots&0\\\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\\ 0&0&0&\cdots&1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}x_1\\\\\vdots\\\\x_n\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
后,
$$\begin{aligned} f(x)&=x^\mathrm{T} \alpha\beta^\mathrm{T} x+x^\mathrm{T} \beta \alpha^\mathrm{T} x =x^\mathrm{T} \alpha \beta^\mathrm{T} x+(x^\mathrm{T} \beta \alpha^\mathrm{T} x)^\mathrm{T} =2x^\mathrm{T} \alpha \beta^\mathrm{T} x\\\\ & =2(\alpha^\mathrm{T} x)^\mathrm{T} (\beta^\mathrm{T} x) =2y_1y_2 =\frac{1}{2}\left[(y_1+y_2)^2-(y_1-y_2)^2\right]\\\\ &=z_1^2-z_2^2\left(z_1=\frac{y_1+y_2}{\sqrt{2}}, z_2=\frac{y_1-y_2}{\sqrt{2}}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
此时, $\displaystyle f$ 的符号差为 $\displaystyle 0$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1347、 7、 (20 分) 证明: 一个实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次多项式的乘积的充分必要条件是它的秩为 $\displaystyle 2$ 且符号差为 $\displaystyle 0$, 或者秩为 $\displaystyle 1$. (新疆大学2023年高等代数考研试题) [二次型 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 $\displaystyle \Rightarrow$: 设实二次型 $\displaystyle f(x)$ 的秩为 $\displaystyle 2$, 且符号差为 $\displaystyle 0$, 则存在非退化线性替换 $\displaystyle x=Py$ 使得
$$\begin{aligned} f(x)&=y_1^2-y_2^2=(y_1+y_2)(y_1-y_2)\\\\ &=\left[(q_{11}+q_{21})x_1+\cdots+(q_{1n}+q_{2n})x_n\right]\\\\ &\quad \cdot \left[(q_{11}-q_{21})x_1+\cdots+(q_{1n}-q_{2n})x_n\right]\left(y=Qx, Q=P^{-1}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
若 $\displaystyle f$ 的秩为 $\displaystyle 1$, 则存在非退化线性替换 $\displaystyle x=Py$ 使得
$$\begin{aligned} f(x)=\left\{\begin{array}{llllllllllll} y_1^2=(q_{11}x_1+\cdots+q_{1n}x_n)^2,\\\\ -y_1^2=-(q_{11}x_1+\cdots+q_{1n}x_n)^2. \end{array}\right. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2)、 $\displaystyle \Leftarrow$: 设实二次型 $\displaystyle f$ 可以分解为两个实系数的一次齐次多项式的乘积, 则
$$\begin{aligned} f(x)=(k_1x_1+\cdots+k_nx_n)(l_1x_1+\cdots+l_nx_n). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
设
$$\begin{aligned} A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}k_1&\cdots&k_n\\\\ l_1&\cdots&l_n\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2-1)、 若 $\displaystyle \mathrm{rank}(A)=1$, 则不妨设
$$\begin{aligned} k_1\neq 0, \frac{l_1}{k_1}=\cdots=\frac{l_n}{k_n}=a\neq 0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是在可逆线性替换
$$\begin{aligned} y_1=k_1x_1+\cdots+k_nx_n, y_2=x_2,\cdots, y_n=x_n \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
下,
$$\begin{aligned} f(x)=y_1\cdot ay_1=ay_1^2, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
而 $\displaystyle f$ 的秩为 $\displaystyle 1$. (2-2)、 若 $\displaystyle \mathrm{rank}(A)=2$, 则不妨设
$$\begin{aligned} \left|\begin{array}{cccccccccc}k_1&k_2\\\\l_1&l_2\end{array}\right|\neq 0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
在非退化线性替换
$$\begin{aligned} y_1=k_1x_1+\cdots+k_nx_n, y_2=l_1x_1+\cdots+l_nx_n, y_3=x_3,\cdots, y_n=x_n \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
下,
$$\begin{aligned} f(x)&=y_1y_2=\left(\frac{y_1+y_2}{2}\right)^2 -\left(\frac{y_1-y_2}{2}\right)^2=z_1^2+z_2^2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
$\displaystyle f$ 的秩为 $\displaystyle 2$, 且符号差为 $\displaystyle 0$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1348、 4、 (15 分) 找出所有使三元实二次型
$$\begin{aligned} 2x_1^2+2x_2^2+2x_3^2+2x_1x_2+2ax_1x_3+2x_2x_3 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
正定的实数 $\displaystyle a$, 并在 $\displaystyle a=-1$ 时用正交的线性替换将其化为平方和. (云南大学2023年高等代数考研试题) [二次型 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 题中二次型 $\displaystyle f$ 的矩阵为 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&1&a\\\\ 1&2&1\\\\ a&1&2\end{array}\right)$, 而 $\displaystyle f$ 正定 $\displaystyle \Leftrightarrow A$ 的顺序主子式
$$\begin{aligned} 2 > 0, 3 > 0, |A|=-2(a+1)(a-2) > 0\Leftrightarrow -1 < a < 2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
当 $\displaystyle a=-1$ 时, $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&1&-1\\\\ 1&2&1\\\\ -1&1&2\end{array}\right)$. 易知 $\displaystyle A$ 的特征值为 $\displaystyle 3,3,0$. 由
$$\begin{aligned} 3E-A\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&-1&1\\\\ 0&0&0\\\\ 0&0&0 \end{array}\right), 0E-A\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 1&0&-1\\\\ 0&1&1\\\\ 0&0&0 \end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle A$ 的属于特征值 $\displaystyle 3,0$ 的特征向量分别为
$$\begin{aligned} \xi_1=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1\\\\1\\\\0 \end{array}\right), \xi_2=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-1\\\\0\\\\1 \end{array}\right), \xi_3=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1\\\\-1\\\\1 \end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
将 $\displaystyle \xi_1,\xi_2,\xi_3$ 标准正交化为 $\displaystyle \eta_1,\eta_2,\eta_3$. 令
$$\begin{aligned} P=(\eta_1,\eta_2,\eta_3)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{3}}\\\\ \frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{6}}&-\frac{1}{\sqrt{3}}\\\\ 0&\frac{2}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{3}} \end{array}\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则 $\displaystyle P$ 正交, 且
$$\begin{aligned} P^\mathrm{T} AP=P^{-1}AP=\mathrm{diag}\left(3,3,0\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故经过正交线性替换 $\displaystyle X=PY$ 后, $\displaystyle f$ 化为了平方和 $\displaystyle 3y_1^2+3y_2^2$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1349、 8、 (15 分) 将二次曲面方程
$$\begin{aligned} 5x^2+5y^2+8z^2-10xy-4xz+4yz-3\sqrt{2}x-3\sqrt{2}y=0 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
化为标准方程并指出它表示什么曲面. (长安大学2023年高等代数考研试题) [二次型 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 二次项的矩阵为 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}5&-5&-2\\\\ -5&5&2\\\\ -2&2&8\end{array}\right)$. 易知 $\displaystyle A$ 的特征值为 $\displaystyle 12,6,0$. 由
$$\begin{aligned} 12E-A\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 1&0&1\\\\ 0&1&-1\\\\ 0&0&0 \end{array}\right), 6E-A\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&-\frac{1}{2}\\\\ 0&1&\frac{1}{2}\\\\ 0&0&0 \end{array}\right), 0E-A\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&-1&0\\\\ 0&0&1\\\\ 0&0&0 \end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle A$ 的属于特征值 $\displaystyle 12,6,0$ 的特征向量分别为
$$\begin{aligned} \xi_1=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-1\\\\1\\\\1 \end{array}\right), \xi_2=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1\\\\-1\\\\2 \end{array}\right), \xi_3=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1\\\\1\\\\0 \end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
将 $\displaystyle \xi_1,\xi_2,\xi_3$ 标准正交化为 $\displaystyle \eta_1,\eta_2,\eta_3$. 令
$$\begin{aligned} P=(\eta_1,\eta_2,\eta_3)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc} -\frac{1}{\sqrt{3}}&\frac{1}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\\\\ \frac{1}{\sqrt{3}}&-\frac{1}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\\\\ \frac{1}{\sqrt{3}}&\frac{2}{\sqrt{6}}&0\end{array}\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则 $\displaystyle P$ 正交, 且
$$\begin{aligned} P^\mathrm{T} AP=P^{-1}AP=\mathrm{diag}\left(12,6,0\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故经过正交线性替换 $\displaystyle X=PY$ 后, 二次项化为了标准形 $\displaystyle 12y_1^2+6y_2^2$. 再由
$$\begin{aligned} &(-3\sqrt{2},-3\sqrt{2},0)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}x\\\\y\\\\z\end{array}\right) =(-3\sqrt{2},-3\sqrt{2},0)P\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}y_1\\\\y_2\\\\y_3\end{array}\right)\\\\ =&(0,0,-6)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}y_1\\\\y_2\\\\y_3\end{array}\right)=-6y_3 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知原二次曲面方程化为了 $\displaystyle 12y_1^2+6y_2^2-6y_3=0\Leftrightarrow 2y_1^2+y_2^2-y_3=0$. 这是一张椭圆抛物面.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1350、 (3)、 设二次型
$$\begin{aligned} f(x)=2x_1^2+4x_2^2+x_3^2-2x_1x_2-2x_1x_3+2\alpha x_2x_3 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
经过正交变换 $\displaystyle X=QY$ 化为标准形 $\displaystyle 2y_1^2+2y_2^2+\beta y_3^2$. (3-1)、 求 $\displaystyle \alpha,\beta$ 及正交矩阵 $\displaystyle Q$; (3-2)、 当 $\displaystyle X^\mathrm{T} X=3$ 时, 求 $\displaystyle f$ 的最大值. [题目有问题, 跟锦数学微信公众号没法做哦.] (郑州大学2023年高等代数考研试题) [二次型 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / [题目有问题, 跟锦数学微信公众号没法做哦.]跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1351、 (6)、 二次型
$$\begin{aligned} (x-y)^2+2(y-z)^2+(z-x)^2 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
的正惯性指数为 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (中国科学技术大学2023年高等代数考研试题) [二次型 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 二次型的矩阵为 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&-1&-1\\\\ -1&3&-2\\\\ -1&-2&3\end{array}\right)$, 特征值为 $\displaystyle 5,3,0$, 而正惯性指数为 $\displaystyle 2$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1352、 4、 设有 $\displaystyle n$ 元实二次型
$$\begin{aligned} f(x_1,\cdots,x_n)=&(x_1+a_1x_2)^2+(x_2+a_2x_3)^2 +\cdots\\\\ &+(x_{n-1}+a_{n-1}x_n)^2+(x_n+a_nx_1)^2, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
其中 $\displaystyle a_i\ (i=1,\cdots,n)$ 为实数. 试问: 当 $\displaystyle a_1,\cdots,a_n$ 满足何种条件时, 二次型为正定二次型? (中国科学院大学2023年高等代数考研试题) [二次型 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设
$$\begin{aligned} &y_1=x_1+a_1x_2, y_2=x_2+a_2x_3, \cdots,\\\\ &y_{n-1}=x_{n-1}+a_{n-1}x_n, y_n=x_n+a_nx_1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则当且仅当上述线性替换非奇异时, $\displaystyle f=y_1^2+\cdots+y_n^2$ 是正定二次型. 算出上述线性替换的矩阵的行列式
$$\begin{aligned} \left|\begin{array}{cccccccccc}1&0&\cdots&a_n\\\\ a_1&1&\cdots&\vdots\\\\ &\ddots&\ddots&\vdots\\\\ &&a_{n-1}&1\end{array}\right|=1+a_n\cdot(-1)^{1+n}a_1\cdots a_{n-1} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
即知当 $\displaystyle a_1\cdots a_n\neq (-1)^n$ 时, 二次型为正定二次型.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1353、 7、 设实二次型 $\displaystyle f(x_1,\cdots,x_n)=\sum_{i=1}^n (a_{i1}x_1+\cdots+a_{in}x_n)^2$. (1)、 求 $\displaystyle f$ 的矩阵 $\displaystyle B$; (2)、 说明 $\displaystyle \mathrm{rank} B=\mathrm{rank} A$, 其中 $\displaystyle A=(a_{ij})_{n\times n}$. (中国矿业大学(北京)2023年高等代数考研试题) [二次型 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、
$$\begin{aligned} f&=\sum_i (x_1,\cdots,x_n)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}a_{i1}\\\\\vdots\\\\a_{in}\end{array}\right) (a_{i1},\cdots,a_{in})\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}x_1\\\\\vdots\\\\x_n\end{array}\right)\\\\ &=(x_1,\cdots,x_n)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \sum_ia_{i1}^2&\cdots&\sum_ia_{i1}a_{in}\\\\ \vdots&\ddots&\vdots\\\\ \sum_ia_{in}a_{i1}&\cdots&\sum_ia_{in}^2 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}x_1\\\\\vdots\\\\x_n\end{array}\right)\\\\ &=X^\mathrm{T} (A^\mathrm{T} A)X. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle f$ 的矩阵 $\displaystyle B=A^\mathrm{T} A$. (2)、 证明方程组 $\displaystyle AX=0$ 与 $\displaystyle A^\mathrm{T} AX=0$ 同解. 显然 $\displaystyle AX=0\Rightarrow A^\mathrm{T} AX=0$. 反之,
$$\begin{aligned} A^\mathrm{T} AX=0&\Rightarrow 0=X^\mathrm{T} A^\mathrm{T} AX=(AX)^\mathrm{T} (AX)\Rightarrow AX=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(3)、 由第 2 步知
$$\begin{aligned} &\left\{x\in\mathbb{R}^n; AX=0\right\}=\left\{x\in\mathbb{R}^n; A^\mathrm{T} Ax=0\right\}\\\\ \Rightarrow&\dim\left\{x\in\mathbb{R}^n; AX=0\right\}=\dim\left\{x\in\mathbb{R}^n; A^\mathrm{T} Ax=0\right\}\\\\ \Rightarrow&n-\mathrm{rank} A=n-\mathrm{rank}(A^\mathrm{T} A)\\\\ \Rightarrow& \mathrm{rank} A=\mathrm{rank}(A^\mathrm{T} A)=\mathrm{rank} B. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1354、 (5)、 二次型
$$\begin{aligned} f(x_1,x_2,x_3)=\lambda(x_1^2+x_2^2+x_3^2)-4x_1x_2-4x_1x_3+4x_2x_3 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
是负定的, 则 $\displaystyle \lambda$ 的取值范围是 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (中国矿业大学(徐州)2023年高等代数考研试题) [二次型 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle f$ 的矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\lambda&-2&-2\\\\ -2&\lambda&2\\\\ -2&2&\lambda\end{array}\right)$. 故 $\displaystyle f$ 负定等价于 $\displaystyle A$ 的顺序主子式
$$\begin{aligned} \lambda < 0, \lambda^2-4 > 0, |A|=(\lambda-2)^2(\lambda+4) < 0\Leftrightarrow \lambda < -4. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1355、 (6)、 若 $\displaystyle t$ 满足条件 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$, 则二次型
$$\begin{aligned} x_1^2+x_2^2+5x_3^2+2tx_1x_2-2x_1x_3+4x_2x_3 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
是正定的. (中国人民大学2023年高等代数考研试题) [二次型 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 二次型的矩阵为 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&t&-1\\\\ t&1&2\\\\ -1&2&5\end{array}\right)$, 而二次型正定
$$\begin{aligned} \Leftrightarrow 1 > 0, 1-t^2 > 0, |A|= -4t-5t^2 > 0\Leftrightarrow -\frac{4}{5} < t < 0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1356、 4、 (15 分) 设 $\displaystyle \mathbb{R}^4$ 中多项式
$$\begin{aligned} Q=x_1^2+x_2^2+x_3^2-2x_4^2+6x_1x_2+4x_1x_4+4x_2x_3+6x_2x_4-2x_3x_4. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
求 $\displaystyle Q$ 的正负惯性指数. (中山大学2023年高等代数考研试题) [二次型 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle Q$ 的矩阵为 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&3&0&2\\\\ 3&1&2&3\\\\ 0&2&1&-1\\\\ 2&3&-1&-2\end{array}\right)$. 由
$$\begin{aligned} P_1=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&-3&0&-2\\\\ 0&1&0&0\\\\ 0&0&1&0\\\\ 0&0&0&1\end{array}\right)\Rightarrow P_1^\mathrm{T} AP_1=A_1=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&&&\\\\ &-8&2&-3\\\\ &2&1&-1\\\\ &-3&-1&-6\end{array}\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
$$\begin{aligned} P_2=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&&&\\\\ &1&\frac{1}{4}&-\frac{3}{8}\\\\ &0&1&0\\\\ &0&0&1\end{array}\right)\Rightarrow P_2^\mathrm{T} A_1P_2=A_2=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&&&\\\\ &-8&&\\\\ &&\frac{3}{2}&-\frac{7}{4}\\\\ &&-\frac{7}{4}&-\frac{39}{8}\end{array}\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
$$\begin{aligned} P_3=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&&&\\\\ &1&&\\\\ &&1&\frac{7}{6}\\\\ &&&1\end{array}\right)\Rightarrow P_3^\mathrm{T} A_2P_3=\mathrm{diag}\left(1,-8,\frac{3}{2},-\frac{83}{12}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle f$ 的正负惯性指数都是 $\displaystyle 2$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1357、 6、 (12 分) 已知二次型 (有一项的系数为 $\displaystyle 2a$)
$$\begin{aligned} f(x_1,x_2,x_3)=\cdots, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
问 $\displaystyle a$ 为何值时, 存在正交变换可将 $\displaystyle f$ 化为 $\displaystyle y_1^2+2y_2^2+5y_3^2$. [题目不全, 跟锦数学微信公众号没法做哦.] (重庆师范大学2023年高等代数考研试题) [二次型 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / [题目不全, 跟锦数学微信公众号没法做哦.]跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
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