张祖锦2023年数学专业真题分类70天之第55天
1243、 5、 设 $\displaystyle m,n$ 为正整数, $\displaystyle A$ 为 $\displaystyle n$ 阶实对称矩阵. 证明: $\displaystyle A$ 正定当且仅当对任意的 $\displaystyle n\times m$ 列满秩矩阵 $\displaystyle B$, 均有 $\displaystyle B^\mathrm{T} AB$ 正定. (西南大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 $\displaystyle \Rightarrow$: 由 $\displaystyle \mathrm{rank} B=m$ 知 $\displaystyle Bx=0$ 只有零解. 从而对 $\displaystyle \forall\ 0\neq x\in\mathbb{R}^m$, $\displaystyle y=Bx\neq 0$,
$$\begin{aligned} x^\mathrm{T}(B^\mathrm{T} AB)x=y^\mathrm{T} Ay > 0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle B^\mathrm{T} AB$ 正定. (2)、 $\displaystyle \Leftarrow$: 用反证法. 若 $\displaystyle A$ 不是正定的, 则 $\displaystyle A$ 有一个实特征值 $\displaystyle \lambda_1\leq 0$. 设 $\displaystyle 0\neq \alpha_1\in\mathbb{R}^n$ 为对应的单位特征向量, 将其扩充为 $\displaystyle \mathbb{R}^n$ 的一组标准正交基 $\displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_n$. 取 $\displaystyle B=(\alpha_1,\cdots,\alpha_m)$, 则 $\displaystyle \mathrm{rank} B=m$, 而 $\displaystyle B$ 列满秩, 但
$$\begin{aligned} B^\mathrm{T} AB=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\alpha_1^\mathrm{T}\\\\\vdots\\\\\alpha_m^\mathrm{T}\end{array}\right)A(\alpha_1,\cdots,\alpha_m) =\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\alpha_1^\mathrm{T} A\alpha_1&\star\\\\ \star&\star\end{array}\right) =\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\lambda_1&\star\\\\ \star&\star\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
蕴含 $\displaystyle e_1^\mathrm{T} (B^\mathrm{T} AB)e_1=\lambda_1\leq 0$. 这与 $\displaystyle B^\mathrm{T} AB$ 正定矛盾. 故有结论.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1244、 6、 设 $\displaystyle A,B,X$ 是复数域上的 $\displaystyle n$ 阶矩阵, 且满足 $\displaystyle XA=BX$. 证明: (1)、 对任意的复系数多项式 $\displaystyle f(x)$ 均有 $\displaystyle Xf(A)=f(B)X$; (2)、 若 $\displaystyle A,B$ 没有相同的特征值, 则 $\displaystyle X=0$. (西南大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 由 $\displaystyle XA=BX$,
$$\begin{aligned} XA^k=B^kX\Rightarrow XA^{k+1}=XA^kA=B^kXA=B^kBX=B^{k+1}X \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
及数学归纳法知 $\displaystyle XA^k=B^kX,\forall\ k\geq 0$. 从而对任一复系数多项式 $\displaystyle f(x)$, $\displaystyle Xf(A)=f(B)X$. (2)、 设 $\displaystyle f(x)=|xE-A|, g(x)=|xE-B|$. 由 $\displaystyle A,B$ 没有公共特征值知
$$\begin{aligned} &(f,g)=1\Rightarrow \exists\ u,v\in\mathbb{C}[x],\mathrm{ s.t.} uf+vg=1\\\\ \Rightarrow& E=u(B)f(B)+v(B)g(B)\xlongequal[\tiny\mbox{Cayley}]{\tiny\mbox{Hamilton-}} u(B)f(B)\Rightarrow f(B)\mbox{可逆}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
再由第 1 步知
$$\begin{aligned} f(B)X=Xf(A)\xlongequal[\tiny\mbox{Cayley}]{\tiny\mbox{Hamilton-}} X0=0\Rightarrow X=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1245、 7、 设
$$\begin{aligned} A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-1&2\cos\theta\\\\ 0&1\end{array}\right),\quad B=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0\\\\ 2\cos\theta&-1\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(1)、 当 $\displaystyle \theta=0$ 时, 不存在正整数 $\displaystyle n$, 使得 $\displaystyle (AB)^n$ 为单位矩阵; (2)、 对任意正整数 $\displaystyle m > 1$, 当 $\displaystyle \theta=\frac{\pi}{m}$ 时, 使得 $\displaystyle (AB)^n$ 为单位矩阵的最小正整数 $\displaystyle n$ 恰为 $\displaystyle m$. (西南大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 当 $\displaystyle \theta=0$ 时,
$$\begin{aligned} A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-1&2\\\\ 0&1\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0\\\\ 2&-1\end{array}\right)\Rightarrow C\equiv AB=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}3&-2\\\\ 2&-1\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
易知 $\displaystyle C$ 的特征值为 $\displaystyle 1,1$. 又由
$$\begin{aligned} C-E\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&-1\\\\ 0&0\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle C$ 的 Jordan 标准形为 $\displaystyle \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&-1\\\\ 0&0\end{array}\right)$. 从而存在复可逆矩阵 $\displaystyle P$ 使得
$$\begin{aligned} P^{-1}CP=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1\\\\ 0&1\end{array}\right)\Rightarrow P^{-1}C^nP=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&n\\\\ 0&1\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
用反证法. 若 $\displaystyle C^n=E$, 则 $\displaystyle E=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&n\\\\ 0&1\end{array}\right)\Rightarrow n=0$. 这是一个矛盾. 故有结论. (2)、 当 $\displaystyle \theta=\frac{\pi}{m}\ (m > 1)$ 时,
$$\begin{aligned} C\equiv AB=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}4\cos^2\frac{\pi}{m}-1&-2\cos\frac{\pi}{m}\\\\ 2\cos\frac{\pi}{m}&1\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
易知 $\displaystyle C$ 的特征值为 $\displaystyle \mathrm{e}^{\pm \frac{2\pi}{m}}$, 而存在复可逆矩阵 $\displaystyle P$ 使得
$$\begin{aligned} P^{-1}CP=\mathrm{diag}(\mathrm{e}^\frac{2\pi}{m},\mathrm{e}^{-\frac{2\pi}{m}}) \Rightarrow P^{-1}C^nP=\mathrm{diag}(\mathrm{e}^\frac{2n\pi}{m},\mathrm{e}^{-\frac{2n\pi}{m}}). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是
$$\begin{aligned} C^n=E\Leftrightarrow \mathrm{e}^\frac{2n\pi}{m}=1\Leftrightarrow \frac{2n\pi}{m}\in 2\pi\mathbb{Z}\Rightarrow \min_{n\geq 1; C^n=E}n=m. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1246、 (2)、 设 $\displaystyle A,B,C$ 为 $\displaystyle 3$ 阶实方阵, 且 $\displaystyle BAA^\mathrm{T} =CAA^\mathrm{T}$, 则 $\displaystyle \mathrm{rank}(BA-CA)=\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$ ($A^\mathrm{T}$ 表示矩阵 $\displaystyle A$ 的转置). (西南交通大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (2-1)、 先证明方程组 $\displaystyle AX=0$ 与 $\displaystyle A^\mathrm{T} AX=0$ 同解. 显然 $\displaystyle AX=0\Rightarrow A^\mathrm{T} AX=0$. 反之,
$$\begin{aligned} A^\mathrm{T} AX=0&\Rightarrow 0=X^\mathrm{T} A^\mathrm{T} AX=(AX)^\mathrm{T} (AX)\Rightarrow AX=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2-2)、 回到题目.
$$\begin{aligned} &BAA^\mathrm{T}=CAA^\mathrm{T}\Leftrightarrow(B-C)AA^\mathrm{T}=0\\\\ \stackrel{\mbox{转置}}{\Leftrightarrow}&AA^\mathrm{T}(B^\mathrm{T}-C^\mathrm{T})=0\stackrel{\mbox{第 i 步}}{\Leftrightarrow}A^\mathrm{T}(B^\mathrm{T}-C^\mathrm{T})=0\\\\ \stackrel{\mbox{转置}}{\Leftrightarrow}&(B-C)A=0\Leftrightarrow \mathrm{rank}\left[(B-C)A\right]=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1247、 (3)、 设实数域上 $\displaystyle n$ 阶方阵 $\displaystyle A$ 的每行元素之和等于常数 $\displaystyle a$, 则 $\displaystyle A^2+E$ 的每行元素之和等于 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (西南交通大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle e=(1,\cdots,1)^\mathrm{T}$, 则
$$\begin{aligned} Ae=ae\Rightarrow (A^2+E)e=A(ae)+e=(a^2+1)e. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故应填 $\displaystyle a^2+1$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1248、 (4)、 设 $\displaystyle A$ 为实数域上的奇数阶正交矩阵, 且 $\displaystyle \det A=1$, 则 $\displaystyle \det(E-A)=\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$ ($\det A$ 表示矩阵 $\displaystyle A$ 的行列式). (西南交通大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由
$$\begin{aligned} &|E-A|=|A^\mathrm{T}|\cdot|E-A|=|A^\mathrm{T}-E|=|(A-E)^\mathrm{T}|\\\\ =&|A-E|=(-1)^n|E-A|=-|E-A| \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle |E-A|=0$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1249、 (5)、 设 $\displaystyle A$ 为 $\displaystyle n$ 阶实对称矩阵, 且 $\displaystyle A^2-3A+aE=0$. 若 $\displaystyle A$ 是正定矩阵, 则 $\displaystyle a$ 的取值范围是 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. [张祖锦注: 最好将题目改为 $\displaystyle A$ 的最小多项式为 $\displaystyle x^2-3x+a$.] (西南交通大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle \lambda$ 是 $\displaystyle A$ 的特征值, 则由题设知
$$\begin{aligned} \lambda^2-3\lambda+a=0\Rightarrow \lambda=\frac{3\pm \sqrt{9-4a}}{2} > 0\Leftrightarrow 0 < \lambda\leq\frac{9}{4}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1250、 (2)、 (15 分) 设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&1&0\\\\ -4&4&0\\\\ -2&1&2\end{array}\right)$, 求 $\displaystyle A^{10}$. (西南交通大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 易知 $\displaystyle A$ 的特征值为 $\displaystyle 2,2,2$. 由
$$\begin{aligned} 2E-A\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&-\frac{1}{2}&0\\\\ 0&0&0\\\\ 0&0&0 \end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle A$ 的属于特征值 $\displaystyle 2$ 的特征向量分别为 $\displaystyle \xi_1=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1\\\\2\\\\0\end{array}\right), \xi_2=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0\\\\0\\\\1\end{array}\right)$. 设 $\displaystyle A$ 的 Jordan 标准形为 $\displaystyle J$, 则 [分析严格上三角部分 $\displaystyle 1$ 的个数即可知道秩]
$$\begin{aligned} \mathrm{rank}(J-2E)=\mathrm{rank}(A-2E)=1\Rightarrow J=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&1&\\\\ &2&\\\\ &&2\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是 $\displaystyle (J-2E)^2=0\Rightarrow (A-2E)^2=0$. 设
$$\begin{aligned} x^{10}=q(x)(x-2)^2+ax+b, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则令 $\displaystyle x=2$, 求导后令 $\displaystyle x=2$ 知
$$\begin{aligned} &2^{10}=2a+b, 10\cdot 2^9=a\Rightarrow a=5\cdot 2^{10}, b=-9\cdot 2^{10}\\\\ \Rightarrow& A^{10}=aA+bE=5\cdot 2^{10}\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&1&0\\\\ -4&4&0\\\\ -2&1&2\end{array}\right)-9\cdot 2^{10}E\\\\ &=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-9\cdot 2^{10}&5\cdot 2^{10}&0\\\\ -20\cdot 2^{10}&11\cdot 2^{10}&0\\\\ -10\cdot 2^{10}&5\cdot 2^{10}&2^{10}\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1251、 (5)、 (15 分) 设矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&1&0&0\\\\ 1&0&0&0\\\\ 0&0&a&1\\\\ 0&0&1&2\end{array}\right)$. (1)、 已知 $\displaystyle A$ 的一个特征值为 $\displaystyle 3$, 求 $\displaystyle a$ 的值; (2)、 求矩阵 $\displaystyle B$, 使得 $\displaystyle (AB)^\mathrm{T}(AB)$ 为对角矩阵. (西南交通大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 $\displaystyle 0=|A-3E|=8(2-a)\Rightarrow a=2$. (2)、 设 $\displaystyle C=A^\mathrm{T} A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&0&0\\\\ 0&1&0&0\\\\ 0&0&5&4\\\\ 0&0&4&5\end{array}\right)$, 则可取 $\displaystyle B=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&&&\\\\ &1&&\\\\ &&1&-\frac{4}{5}\\\\ &&&1\end{array}\right)$ 后,
$$\begin{aligned} (AB)^\mathrm{T}(AB)=B^\mathrm{T} (A^\mathrm{T} A)B=B^\mathrm{T} CB=\mathrm{diag}\left(1,1,5,\frac{9}{5}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1252、 5、 (10 分) 设 $\displaystyle A$ 为数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上的 $\displaystyle m\times n$ 矩阵, 且 $\displaystyle \mathrm{rank} A=r$, 则对任意一个自然数 $\displaystyle k\ (k\leq r)$, 都存在数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上的 $\displaystyle m\times n$ 矩阵 $\displaystyle B$ 和 $\displaystyle m\times n$ 矩阵 $\displaystyle C$, 满足 $\displaystyle A=B+C$, 其中 $\displaystyle \mathrm{rank} B=k, \mathrm{rank} C=r-k$. (西南交通大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由 $\displaystyle \mathrm{rank} A=r$ 知存在可逆矩阵 $\displaystyle P,Q$ 使得 $\displaystyle A=P\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E_r&0\\\\ 0&0\end{array}\right)Q$. 令
$$\begin{aligned} B=P\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E_k&\\\\ &0\end{array}\right)Q, C=P\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0_{k\times k}&&\\\\ &E_{r-k}&\\\\ &&0\end{array}\right)Q, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则 $\displaystyle A=B+C, \mathrm{rank} B=k, \mathrm{rank} C=r-k$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1253、 6、 (10 分) 设 $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle n$ 阶实方阵, 且 $\displaystyle A^\mathrm{T} A$ 的特征值大于 $\displaystyle 1$. 证明: $\displaystyle E-A$ 可逆. (西南交通大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由 $\displaystyle A^\mathrm{T} A$ 实对称知存在正交阵 $\displaystyle Q$ 使得
$$\begin{aligned} Q^\mathrm{T} (A^\mathrm{T} A) Q=\mathrm{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_n), \lambda_i > 1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
用反证法. 若$E-A$ 不可逆, 则 $\displaystyle |E-A|=0$, $\displaystyle (E-A)x=0$ 有非零解 $\displaystyle 0\neq \alpha\in\mathbb{R}^n$. 于是 $\displaystyle A\alpha=\alpha$. 设 $\displaystyle \alpha=Q\beta$, 则 $\displaystyle 0\neq\beta=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}b_1\\\\\vdots\\\\b_n\end{array}\right)\in\mathbb{R}^n$,
$$\begin{aligned} &\beta^\mathrm{T}\mathrm{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_n)\beta =\beta^\mathrm{T} Q^\mathrm{T} A^\mathrm{T} AQ\beta =\alpha^\mathrm{T} A^\mathrm{T} A\alpha\\\\ =&(A\alpha)^\mathrm{T} A\alpha =\alpha^\mathrm{T} \alpha =\beta^\mathrm{T} Q^\mathrm{T} Q\beta=\beta^\mathrm{T} \beta. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是
$$\begin{aligned} &\sum_{k=1}^n (\lambda_k-1)b_k^2=0\stackrel{\lambda_k > 1}{\Rightarrow} (\lambda_k-1)b_k^2=0, \forall\ k\Rightarrow b_k=0, \forall\ k\Rightarrow \beta=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这是一个矛盾. 故有结论.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1254、 4、 设 $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle n$ 阶矩阵, 满足
$$\begin{aligned} A^2=2022A+2023I. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
求实数 $\displaystyle c_0, c_1\ (c_0 < c_1)$, 使得
$$\begin{aligned} \mathrm{rank}(A+c_0I)+\mathrm{rank}(A+c_1I)=n, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
并证明之. 这里 $\displaystyle \mathrm{rank} A$ 表示矩阵 $\displaystyle A$ 的秩. (湘潭大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 先证明一个结论. 设 $\displaystyle A,B$ 分别为 $\displaystyle n$ 阶矩阵且 $\displaystyle AB=0$, 则
$$\begin{aligned} \mathrm{rank} A+\mathrm{rank} B\leq n. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
事实上, 设 $\displaystyle B=(\beta_1,\cdots,\beta_l)$, 它的极大无关组为 $\displaystyle \beta_{i_1},\cdots,\beta_{i_r}$, 其中 $\displaystyle r=\mathrm{rank} B$. 由 $\displaystyle AB=0$ 知 $\displaystyle \beta_{i_j}\left(1\leq j\leq r\right)$ 是 $\displaystyle Ax=0$ 的解. 于是
$$\begin{aligned} \left\{\beta_{i_1},\cdots,\beta_{i_r}\right\}\subset \left\{x; Ax=0\right\}\equiv V. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
又由 $\displaystyle \dim V=n-\mathrm{rank} A$, 我们知 $\displaystyle r\leq n-\mathrm{rank} A\Rightarrow \mathrm{rank} A+\mathrm{rank} B\leq n$. (2)、 回到题目.
$$\begin{aligned} 0=A^2-2022A-2023I=(A-2023I)(A+I).\qquad(I) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
取 $\displaystyle c_0=-2023, c_1=1$, 则
$$\begin{aligned} \mathrm{rank}(A-2023I)+\mathrm{rank}(A+I)\geq&\mathrm{rank}\left[(A-2023I)+(A+I)\right]\\\\ =&\mathrm{rank}(-2024I)=n. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
再由 $\displaystyle (I)$ 及第 1 步知 $\displaystyle \mathrm{rank}(A-2023I)+\mathrm{rank}(A+I)\leq n$. 故
$$\begin{aligned} \mathrm{rank}(A-2023I)+\mathrm{rank}(A+I)=n. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1255、 5、 设 $\displaystyle A,B$ 是 $\displaystyle n$ 阶正定矩阵. (1)、 证明: $\displaystyle A^\star$ 是正定矩阵; (2)、 $\displaystyle AB=BA$ 是 $\displaystyle AB$ 为正定矩阵的什么条件, 并证明你的结论. (湘潭大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 由 $\displaystyle A$ 正定知存在正交阵 $\displaystyle P$ 使得
$$\begin{aligned} &P^\mathrm{T} AP=P^{-1}AP=\mathrm{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_n), \lambda_i > 0\left(\Rightarrow |A|=\prod_{i=1}^n \lambda_i > 0\right)\\\\ \Rightarrow& P^{-1}A^{-1}P=\mathrm{diag}\left(\frac{1}{\lambda_1},\cdots,\frac{1}{\lambda_n}\right)\\\\ \Rightarrow& P^{-1}A^\star P=P^{-1}|A|A^{-1}P=\mathrm{diag}\left(\frac{|A|}{\lambda_1},\cdots,\frac{|A|}{\lambda_n}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle A^{-1}$ 正定. (2)、 充要条件. (2-1)、 $\displaystyle \Rightarrow$: 由 $\displaystyle (AB)^\mathrm{T}=B^\mathrm{T} A^\mathrm{T} =BA$ 知 $\displaystyle AB$ 是实对称矩阵. 设 $\displaystyle \lambda\in\mathbb{R}$ 是 $\displaystyle AB$ 的任一特征值, $\displaystyle 0\neq\alpha\in\mathbb{R}^n$ 为对应的特征向量, 则
$$\begin{aligned} &AB\alpha=\lambda \alpha\Rightarrow B\alpha=\lambda A^{-1}\alpha\\\\ \Rightarrow& 0 < \alpha^\mathrm{T} B\alpha=\lambda\alpha^\mathrm{T} A^{-1}\alpha\Rightarrow \lambda=\frac{\alpha^\mathrm{T} B\alpha}{\alpha^\mathrm{T} A^{-1}\alpha}\stackrel{\mbox{题设及第 1 步}}{ > }0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
既然实对称矩阵 $\displaystyle AB$ 的特征值都大于 $\displaystyle 0$, 那么 $\displaystyle AB$ 就是正定的. (2-2)、 $\displaystyle \Leftarrow$: 若 $\displaystyle AB$ 正定, 则 $\displaystyle AB$ 实对称, 而 $\displaystyle AB=(AB)^\mathrm{T}=B^\mathrm{T} A^\mathrm{T}=BA$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1256、 7、 设 $\displaystyle n$ 阶方阵 $\displaystyle A,B$ 满足 $\displaystyle AB=A-B$, 证明: (1)、 $\displaystyle \lambda=1$ 不是 $\displaystyle B$ 的特征值; (2)、 若 $\displaystyle B$ 相似于对角矩阵, 则有可逆矩阵 $\displaystyle T$, 使得 $\displaystyle T^{-1}AT, T^{-1}BT$ 均为对角矩阵. (湘潭大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、
$$\begin{aligned} &AB-A+B=0\Rightarrow (A+I)(B-I)=-I\\\\ \Rightarrow& |B-I|\neq 0\Rightarrow \mbox{$1$ 不是 $\displaystyle B$ 的特征值}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2)、 $\displaystyle AB=A-B\Rightarrow A(I-B)=B\Rightarrow A=(I-B)^{-1}B$. 由题设, 存在可逆矩阵 $\displaystyle T$ 使得
$$\begin{aligned} &T^{-1}BT=\mathrm{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_n)\\\\ \Rightarrow& T^{-1}(I-B)T=\mathrm{diag}(1-\lambda_1,\cdots,1-\lambda_n)\\\\ \Rightarrow&T^{-1}(I-B)^{-1}T=\mathrm{diag}\left(\frac{1}{1-\lambda_1},\cdots,\frac{1}{1-\lambda_n}\right)\\\\ \Rightarrow& T^{-1}(I-B)^{-1}BT=T^{-1}(I-B)^{-1}T\cdot T^{-1}BT\\\\ &=\mathrm{diag}\left(\frac{\lambda_1}{1-\lambda_1},\cdots,\frac{\lambda_n}{1-\lambda_n}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这就证明了 $\displaystyle T^{-1}AT, T^{-1}BT$ 均为对角矩阵.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1257、 8、 已知方阵 $\displaystyle A$ 的最小多项式为 $\displaystyle m(\lambda)=\lambda^3+\lambda^2-\lambda-1$. (1)、 证明: $\displaystyle A$ 可逆, $\displaystyle A+E, A-E$ 均不可逆; (2)、 如果 $\displaystyle A$ 的特征多项式为 $\displaystyle f(\lambda)=(\lambda-1)^2(\lambda+1)^3$, 求 $\displaystyle A$ 的 Jordan 标准形. (湘潭大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 $\displaystyle m(x)=(x+1)^2(x-1)$. 设 $\displaystyle \lambda$ 是 $\displaystyle A$ 的特征值, 则 $\displaystyle 0=m(\lambda)\Rightarrow \lambda=-1\mbox{或} 1$. 既然 $\displaystyle A$ 的特征值都非零, 而 $\displaystyle |A|$ 作为 $\displaystyle A$ 的所有特征值的乘积, 也非零. 故 $\displaystyle A$ 可逆. 由最小多项式的定义知
$$\begin{aligned} 0=m(A)=(A+E)^2(A-E). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
往用反证法证明 $\displaystyle A+E$ 不可逆. 若 $\displaystyle A+E$ 可逆, 则上式蕴含 $\displaystyle A-E=0$, $\displaystyle A$ 有零化多项式 $\displaystyle x-1$, 次数比 $\displaystyle m(x)$ 的小. 这与最小多项式的定义矛盾. 故有结论. 类似的可证 $\displaystyle A-E$ 不可逆. (2)、 由 $\displaystyle m(x)$ 的形式知 $\displaystyle A$ 的 Jordan 标准形有 Jordan 块 $\displaystyle J_2(-1) J_1(1)$, 且以 $\displaystyle -1$ 为对角元的 Jordan 块的阶数 $\displaystyle \leq 2$, 以 $\displaystyle 1$ 为对角元的 Jordan 块都是一阶的. 再由 $\displaystyle f(x)$ 的形式知 $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle 5$ 阶方阵. 故 $\displaystyle J=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&&&&\\\\ &1&&&\\\\ &&-1&&\\\\ &&&-1&1\\\\ &&&&-1\end{array}\right)$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1258、 10、 设 $\displaystyle A$ 为 $\displaystyle n$ 阶实对称矩阵, 且 $\displaystyle |A|\neq 0$, 证明: $\displaystyle A$ 为正定矩阵的充要条件是对所有正定矩阵 $\displaystyle B$, 恒有 $\displaystyle \mathrm{tr}(AB) > 0$. 这里 $\displaystyle \mathrm{tr} A$ 表示矩阵 $\displaystyle A$ 的迹, 即 $\displaystyle A$ 的主对角元素之和. [张祖锦注: 给出的参考解答不要条件’且 $\displaystyle |A|\neq 0$‘!] (湘潭大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由 $\displaystyle A$ 实对称知存在正交阵 $\displaystyle P$ 使得 $\displaystyle P^\mathrm{T} AP=\mathrm{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_n)$, 其中 $\displaystyle \lambda_i\in\mathbb{R}$. (1)、 $\displaystyle \Rightarrow$: 若 $\displaystyle A$ 正定, 则 $\displaystyle \lambda_i > 0$. 进而
$$\begin{aligned} \mathrm{tr}(AB)=&\mathrm{tr}(P^{-1}APP^{-1}BP)\\\\ =&\mathrm{tr}(\mathrm{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_n)\tilde{B})\left(\tilde{B}=P^{-1}BP\mbox{正定}\right)\\\\ =&\sum_{i=1}^n \lambda_i\tilde{b}_{ii} > 0\left(\mbox{$\tilde{B}$ 正定 $\displaystyle \Rightarrow e_i^\mathrm{T} \tilde{B}e_i=\tilde{b}_{ii} > 0$}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2)、 $\displaystyle \Leftarrow$: 若对任意的正定矩阵 $\displaystyle B$, 有 $\displaystyle \mathrm{tr}(AB) > 0$, 则
$$\begin{aligned} 0 < &\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(P^{-1}APP^{-1}BP)=\sum_{i=1}^n \lambda_i\tilde{b}_{ii}, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
其中 $\displaystyle \tilde{b}_{ii}$ 为正定矩阵 $\displaystyle \tilde{B}=P^{-1}BP$ 的第 $\displaystyle i$ 个对角元. 由 $\displaystyle B$ 的任意性知 $\displaystyle \tilde{B}$ 的任意性. 往用反证法证明各 $\displaystyle \lambda_i > 0$. 若某些 $\displaystyle \lambda_i\leq 0$, 则取
$$\begin{aligned} \tilde{b}_{ii}=\left\{\begin{array}{llllllllllll}1,&\lambda_i=0,\\\\ 1,&\lambda_i > 0,\\\\ \frac{1}{-\lambda_i}\sum_{j: \lambda_j > 0}\lambda_j,&\lambda_i < 0\end{array}\right. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
后
$$\begin{aligned} 0 < \sum_{i=1}^n \lambda_i\tilde{b}_{ii} =\sum_{j: \lambda_j > 0}\lambda_j\cdot 1 +\sum_{i: \lambda_i < 0}\lambda_i\cdot \frac{1}{-\lambda_i}\sum_{j: \lambda_j > 0}\lambda_j\leq 0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(若只有一个 $\displaystyle \lambda_i < 0$, 则 $\displaystyle =0$, 否则 $\displaystyle < 0$) 这是一个矛盾. 故有结论: 各 $\displaystyle \lambda_i > 0$, 而 $\displaystyle A$ 正定.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1259、 6、 (15 分) 设 $\displaystyle A$ 为 $\displaystyle n\times n$ 实矩阵, 证明: $\displaystyle \mathrm{rank}(A^\mathrm{T} A)=\mathrm{rank} A$. (新疆大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设
$$\begin{aligned} V_1&=\left\{\alpha\in\mathbb{R}^n; A^\mathrm{T} A\alpha=0\right\},\\\\ V_2&=\left\{\alpha\in\mathbb{R}^n; A\alpha=0\right\}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则显然有 $\displaystyle V_2\subset V_1$. 又由
$$\begin{aligned} A^\mathrm{T} A\alpha =0&\Rightarrow (A\alpha)^\mathrm{T} A\alpha=0\Rightarrow A\alpha=0 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle V_1\subset V_2$. 故
$$\begin{aligned} V_1=V_2\Rightarrow&\dim V_1=\dim V_2\\\\ \Rightarrow&\mathrm{rank}(A^\mathrm{T} A)=\mathrm{rank} A . \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是 $\displaystyle \mathrm{rank}(A^\mathrm{T} A)=\mathrm{rank} A$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1260、 9、 (20 分) 设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&-2&0\\\\ -2&1&-2\\\\ 0&-2&0\end{array}\right)$, 求正交矩阵 $\displaystyle T$, 使得 $\displaystyle T^{-1}AT$ 成对角形. (新疆大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 易知 $\displaystyle A$ 的特征值为 $\displaystyle 4,1,-2$. 由
$$\begin{aligned} 4E-A\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 1&0&-1\\\\ 0&1&-1\\\\ 0&0&0 \end{array}\right), E-A\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&1\\\\ 0&1&\frac{1}{2}\\\\ 0&0&0 \end{array}\right), -2E-A\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 1&0&-\frac{1}{2}\\\\ 0&1&-1\\\\ 0&0&0 \end{array}\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle A$ 的属于特征值 $\displaystyle 4,1,-2$ 的特征向量分别为
$$\begin{aligned} \xi_1=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1\\\\1\\\\1 \end{array}\right), \xi_2=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-2\\\\-1\\\\2 \end{array}\right), \xi_3=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1\\\\2\\\\2 \end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
将 $\displaystyle \xi_1,\xi_2,\xi_3$ 标准正交化为 $\displaystyle \eta_1,\eta_2,\eta_3$. 令
$$\begin{aligned} T=(\eta_1,\eta_2,\eta_3)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \frac{2}{3}&-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\\ -\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\\ \frac{1}{3}&\frac{2}{3}&\frac{2}{3} \end{array}\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则 $\displaystyle T$ 正交, 且
$$\begin{aligned} T^\mathrm{T} AT=T^{-1}AT=\mathrm{diag}\left(4,1,-2\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1261、 10、 (15 分) 设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&2&0\\\\ 0&2&0\\\\ -2&-2&1\end{array}\right)$. (1)、 (5 分) 求 $\displaystyle A$ 的不变因子; (2)、 (3 分) 求 $\displaystyle A$ 的初等因子; (3)、 (5 分) 求 $\displaystyle A$ 的极小多项式; (4)、 (2 分) 求 $\displaystyle A$ 的若尔当标准形. (新疆大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 易知 $\displaystyle A$ 的特征值为 $\displaystyle 2,1,1$. 由 $\displaystyle A-E\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&0\\\\ 0&1&0\\\\ 0&0&0\end{array}\right)$ 知 $\displaystyle A$ 的 Jordan 标准形 $\displaystyle J$ 满足 [如果严格上三角部分没有 $\displaystyle 1$, 则 $\displaystyle \mathrm{rank}(J-E)=1$, 矛盾]
$$\begin{aligned} \mathrm{rank}(J-E)=\mathrm{rank}(A-E)=2\Rightarrow J=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&&\\\\ &1&1\\\\ &&1\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
从而 $\displaystyle A$ 的极小多项式为 $\displaystyle (\lambda-2)(\lambda-1)^2$, 初等因子为 $\displaystyle \lambda-2,(\lambda-1)^2$, 不变因子为 $\displaystyle 1,1,(\lambda-2)(\lambda-1)^2$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1262、 6、 (15 分) 设 $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle n$ 阶实方阵, $\displaystyle B=AA^\mathrm{T}$. 证明: 对一切正整数 $\displaystyle m$, 有
$$\begin{aligned} \mathrm{rank} A=\mathrm{rank}(B^m)=\mathrm{rank}(B^mA). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(云南大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 先证明一个结论. 设 $\displaystyle B\in M_n(\mathbb{R})$ 是半正定对称矩阵, $\displaystyle x\in\mathbb{R}^n$. 则 $\displaystyle x^\mathrm{T} Bx=0$ 等价于 $\displaystyle Bx=0$. $\displaystyle \Leftarrow$: 显然成立. $\displaystyle \Rightarrow$: 由 $\displaystyle B$ 半正定知存在实矩阵 $\displaystyle C$ 使得 $\displaystyle B=C^\mathrm{T} C$, 而
$$\begin{aligned} &x^\mathrm{T} Bx=0\Rightarrow 0=x^\mathrm{T} C^\mathrm{T} Cx\stackrel{y=Cx}{=}y^\mathrm{T} y\\\\ \Rightarrow& 0=y=Cx\Rightarrow Bx=C^\mathrm{T} Cx=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2)、 回到题目. 显然 $\displaystyle A^\mathrm{T} x=0\Rightarrow Bx=0\Rightarrow B^mx=0$. 反之,
$$\begin{aligned} &B^mx=0\Rightarrow AA^\mathrm{T} B^{m-2}AA^\mathrm{T} x=0 \Rightarrow x^\mathrm{T} AA^\mathrm{T} B^{m-2}AA^\mathrm{T} x=0\\\\ \overset{\tiny\mbox{第1步}}{\Longrightarrow}& B^{m-2}AA^\mathrm{T} x=0\Rightarrow B^{m-1}X=0\Rightarrow \cdots \Rightarrow Bx=0\\\\ \Rightarrow&AA^\mathrm{T} x=0\Rightarrow x^\mathrm{T} AA^\mathrm{T} x=0\stackrel{y=A^\mathrm{T} x}{\Rightarrow}y^\mathrm{T} y=0\Rightarrow 0=y=A^\mathrm{T} x. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故
$$\begin{aligned} &\left\{x; A^\mathrm{T} x=0\right\}=\left\{x; B^m x=0\right\}\qquad(I)\\\\ \Rightarrow&\dim\left\{x; A^\mathrm{T} x=0\right\}=\dim\left\{x; B^m=0\right\}\\\\ \Rightarrow&n-\mathrm{rank}(A^\mathrm{T})=n-\mathrm{rank}(B^m)\Rightarrow \mathrm{rank} A=\mathrm{rank}(B^m). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(3)、 易知 $\displaystyle Ax=0\Rightarrow B^mAx=0$. 反之,
$$\begin{aligned} B^m\underline{Ax}=0\stackrel{(I)}{\Rightarrow}A^\mathrm{T}\underline{Ax}=0\Rightarrow 0=x^\mathrm{T} A^\mathrm{T} Ax\stackrel{y=Ax}{=}y^\mathrm{T} y \Rightarrow 0=y=Ax. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故
$$\begin{aligned} &\left\{x; A x=0\right\}=\left\{x; B^mA x=0\right\}\qquad(I)\\\\ \Rightarrow&\dim\left\{x; A x=0\right\}=\dim\left\{x; B^m A=0\right\}\\\\ \Rightarrow&n-\mathrm{rank}(A)=n-\mathrm{rank}(B^m A)\Rightarrow \mathrm{rank} A=\mathrm{rank}(B^m A). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1263、 8、 (15 分) 设 $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle n$ 阶复方阵. 证明: 如果存在正整数 $\displaystyle m$, 使得 $\displaystyle A^m=E$, 则 $\displaystyle A$ 一定相似于一个主对角线上元素都是 $\displaystyle m$ 次单位根的对角阵, 这里 $\displaystyle E$ 是 $\displaystyle n$ 阶单位阵. (云南大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由题设, $\displaystyle x^m-1$ 是 $\displaystyle A$ 的零化多项式, 从而 $\displaystyle A$ 的最小多项式 $\displaystyle m(x)\mid (x^m-1)$. 这表明 $\displaystyle m(x)$ 没有重根, 而 $\displaystyle A$ 可对角化, 即存在复可逆矩阵 $\displaystyle P$ 使得
$$\begin{aligned} P^{-1}AP=\mathrm{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_n),\quad \lambda_i^m=1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1264、 (0-5)、 设 $\displaystyle 3$ 阶方阵 $\displaystyle A$ 的特征值为 $\displaystyle 1,2,3$, 则 $\displaystyle |A^\star|=\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (长安大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle |A|=1\cdot 2\cdot 3=6\Rightarrow |A^\star|=|A|^{n-1}=6^2=36$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1265、 (0-6)、 已知 $\displaystyle A^2=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-3&1&0\\\\ -7&2&0\\\\ 0&0&4\end{array}\right)$, $\displaystyle A^3=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-1&&\\\\ &-1&\\\\ &&8\end{array}\right)$, 则 $\displaystyle A=\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (长安大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /
$$\begin{aligned} A=(A^2)^{-1}A^3=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-2&1&0\\\\ -7&3&0\\\\ 0&0&2\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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发表于 2023-3-5 13:13:29