张祖锦2023年数学专业真题分类70天之第53天
1197、 (4)、 欧氏空间上正交变换在任意一组基下的矩阵为正交矩阵. $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$ (上海大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle \times$. 要在标注正交基下才是哦.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1198、 (5)、 设 $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle 5$ 阶矩阵, $\displaystyle \lambda I-A$ 的不变因子为
$$\begin{aligned} 1,1,1,\lambda-3,(\lambda-3)^2(\lambda-2)^2, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则 $\displaystyle A$ 的 Jordan 标准形为 $\displaystyle \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}3&1&&&\\\\ &3&&&\\\\ &&2&1&\\\\ &&&2&\\\\ &&&&3\end{array}\right)$. $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$ (上海大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle \surd$. 由题设知 $\displaystyle A$ 的初等因子为 $\displaystyle \lambda-3,(\lambda-3)^2, (\lambda-2)^2$, 而结论成立.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1199、 (3)、 (15 分) 设 $\displaystyle B$ 和 $\displaystyle C$ 分别为 $\displaystyle 3\times 2$ 和 $\displaystyle 2\times 3$ 矩阵, 且
$$\begin{aligned} BC=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&0&0\\\\ 1&1&-1\\\\ 1&-1&1\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
记 $\displaystyle A=CB$, 求 $\displaystyle A^n$. (上海大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle F=BC$, 则 $\displaystyle \mathrm{rank} B=2\Rightarrow \mathrm{rank} B=\mathrm{rank} C=2\Rightarrow Bx=0, C^\mathrm{T} y=0$ 只有零解, 且
$$\begin{aligned} &F^2=2F\Rightarrow (BC)(BC)=2BC\Rightarrow B(CB-2E)C=0\\\\ \Rightarrow& (CB-2E)C=0 \Rightarrow C^\mathrm{T}(CB-2E)^\mathrm{T}=0\Rightarrow (CB-2E)^\mathrm{T}=0\\\\ \Rightarrow& CB=2E\Rightarrow A=2E_2\Rightarrow A^n=2^nE_2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1200、 (4)、 (15 分) 设 $\displaystyle \lambda_1,\lambda_2$ 为非零实数, $\displaystyle n$ 阶实矩阵
$$\begin{aligned} A=(\lambda_1\alpha, \lambda_2\beta)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\lambda_1\alpha^\mathrm{T}\\\\ \lambda_2\beta^\mathrm{T}\end{array}\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
其中 $\displaystyle \alpha,\beta$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^n$ 中已知的单位列向量, 且正交. 求 $\displaystyle A+I$ 的特征值 (其中 $\displaystyle I$ 为单位矩阵), 并求出 $\displaystyle A$ 的非零特征值 (若存在) 对应的特征向量. (上海大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /
$$\begin{aligned} A\alpha=(\lambda_1\alpha, \lambda_2\beta)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\lambda_1\\\\0\end{array}\right)=\lambda_1^2\alpha, A\beta=(\lambda_1\alpha, \lambda_2\beta)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0\\\\\lambda_2\end{array}\right)=\lambda_2^2\beta \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由 $\displaystyle A$ 的形式知 $\displaystyle \mathrm{rank} A=2$, 而 $\displaystyle Ax=0$ 有 $\displaystyle n-2$ 个线性无关的特征向量 $\displaystyle \eta_1,\cdots,\eta_{n-2}$, 则
$$\begin{aligned} P=(\alpha,\beta,\eta_1,\cdots,\eta_{n-2})\Rightarrow AP=P\mathrm{diag}(\lambda_1^2,\lambda_2^2,0,\cdots,0). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle A$ 的特征值为 $\displaystyle 0$ ($n-2$ 重), $\displaystyle \lambda_1^2,\lambda_2^2$. 从而 $\displaystyle A+I$ 的特征值为 $\displaystyle 1$ ($n-2$ 重), $\displaystyle 1+\lambda_1^2, 1+\lambda_2^2$, 且 $\displaystyle A$ 的非零特征值 (若存在) 对应的特征向量为 $\displaystyle \alpha,\beta$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1201、 2、 (20 分) 设 $\displaystyle S=\left\{\alpha\in\mathbb{R}^2; \alpha^\mathrm{T} \alpha\leq 1\right\}$, $\displaystyle A$ 为 $\displaystyle 2$ 阶实矩阵, 记集合 $\displaystyle \left\{A\alpha; \alpha\in S\right\}$ 为 $\displaystyle AS$. (1)、 设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1\\\\ 1&1\end{array}\right)$, 请精确描述 $\displaystyle AS$ 的几何形状; (2)、 设 $\displaystyle a,b$ 为任意实数, $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}a&b\\\\ -b&a\end{array}\right)$, 请精确描述 $\displaystyle AS$ 的几何形状; (3)、 设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}a&b\\\\c&d\end{array}\right)$ 是任意实矩阵, 请描述集合 $\displaystyle AS$ 的大致形状并求其面积. (上海交通大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 $\displaystyle \alpha=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}x\\\\y\end{array}\right)\Rightarrow A\alpha=(x+y)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1\\\\1\end{array}\right)$. 由
$$\begin{aligned} x^2+y^2=1\Rightarrow& (x+y)^2=(1\cdot x+1\cdot y)^2 \stackrel{\tiny\mbox{Cauchy}}{\leq} (1^2+1^2)(x^2+y^2)=2\\\\ \Rightarrow& |x+y|\leq \sqrt{2} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle AS$ 是连接 $\displaystyle [-\sqrt{2},-\sqrt{2}]$ 到 $\displaystyle [\sqrt{2},\sqrt{2}]$ 的直线段. (2)、 $\displaystyle \alpha=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}x\\\\y\end{array}\right)\Rightarrow A\alpha=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}ax+by\\\\ -bx+ay\end{array}\right)\equiv \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}u\\\\v\end{array}\right)$. 由
$$\begin{aligned} u^2+v^2=(a^2+b^2)(x^2+y^2)=a^2+b^2 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle AS$ 是以原点为圆心, $\displaystyle \sqrt{a^2+b^2}$ 为半径的圆 (当 $\displaystyle a=b=0$ 时, $\displaystyle AS$ 退化为原点). (3)、 (3-1)、 若 $\displaystyle \mathrm{rank} A=0$, 则 $\displaystyle A=0$, $\displaystyle AS$ 就是原点. (3-2)、 若 $\displaystyle \mathrm{rank} A=1$, 则不妨设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}a&b\\\\ ka&kb\end{array}\right)$, 而
$$\begin{aligned} \alpha=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}x\\\\y\end{array}\right)\Rightarrow A\alpha=(ax+by)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1\\\\k\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle AS$ 是一条线段. (3-3)、 若 $\displaystyle \mathrm{rank} A=2$, 则 $\displaystyle A$ 可逆. 对 $\displaystyle \alpha\in S$, $\displaystyle \alpha^\mathrm{T} \alpha\leq 1$. 设 $\displaystyle \beta=A\alpha$, 则
$$\begin{aligned} \alpha=A^{-1}\beta\stackrel{B=A^{-\mathrm{T}}A^{-1}}{\Rightarrow} 1\geq\alpha^\mathrm{T} \alpha=\beta^\mathrm{T} A^{-\mathrm{T}}A^{-1}\beta=\beta^\mathrm{T} B\beta. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由 $\displaystyle B$ 正定知存在正交阵 $\displaystyle P$ 使得 $\displaystyle P^\mathrm{T} BP=\mathrm{diag}(\lambda_1,\lambda_2), \lambda_i > 0$. 再设 $\displaystyle \beta=P\gamma, \gamma=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}z_1\\\\z_2\end{array}\right)$, 则
$$\begin{aligned} 1\geq \lambda_1z_1^2+\lambda_2z_2^2\Rightarrow AS\mbox{是一个椭圆}, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
面积 $\displaystyle =\frac{\pi}{\sqrt{\lambda_1\lambda_2}}=\frac{\pi}{\sqrt{|B|}}=\pi |\det A|=\pi|ad-bc|$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1202、 3、 (20 分) 设 $\displaystyle A\in\mathbb{R}^{n\times n}$, $\displaystyle v_1,\cdots,v_n\in\mathbb{R}^n$, 证明: $\displaystyle Av_1,\cdots,Av_n$ 线性无关的充要条件是 $\displaystyle A$ 可逆且 $\displaystyle v_1,\cdots,v_n$ 线性无关. (上海交通大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /
$$\begin{aligned} &\mbox{$Av_1,\cdots,Av_n$ 线性无关} \Leftrightarrow\mathrm{rank}(Av_1,\cdots,Av_n)=n\\\\ \Leftrightarrow&0\neq \det(Av_1,\cdots, Av_n) =\det\left[A(v_1,\cdots,v_n)\right] =\det A\cdot \det (v_1,\cdots,v_n)\\\\ \Leftrightarrow&0\neq \det A, 0\neq \det (v_1,\cdots,v_n)\\\\ \Leftrightarrow&0\neq \det A, n=\mathrm{rank}(v_1,\cdots,v_n) \Leftrightarrow\mbox{$A$ 可逆且 $\displaystyle v_1,\cdots,v_n$ 线性无关}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1203、 4、 (20 分) 设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}a&x_1&x_2\\\\ 0&b&x_3\\\\ 0&0&a\end{array}\right)\in\mathbb{R}^{3\times 3}$, 试确定 $\displaystyle A$ 的 Jordan (约当) 标准形. (上海交通大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle A$ 的 Jordan 标准形为 $\displaystyle J$. (1)、 若 $\displaystyle b=a$, 则 $\displaystyle A$ 的特征值为 $\displaystyle a,a,a$. 于是 [通过秩可确定 Jordan 标准形严格上三角部分的 $\displaystyle 1$ 的个数!]
$$\begin{aligned} \mathrm{rank}\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}x_1&x_2\\\\ 0&x_3\end{array}\right)=0\Leftrightarrow x_1=x_2=x_3=0\Rightarrow& J=aE_3,\\\\ \mathrm{rank}\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}x_1&x_2\\\\ 0&x_3\end{array}\right)=1\Leftrightarrow \boxed{\begin{array}{c}x_3=0, x_1,x_2\mbox{不全为}0\\\\\mbox{或} x_3\neq 0, x_1=0\end{array}} \Rightarrow& J=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}a&1&\\\\ &a&\\\\ &&a\end{array}\right),\\\\ \mathrm{rank}\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}x_1&x_2\\\\ 0&x_3\end{array}\right)=2\Leftrightarrow x_1x_3\neq 0\Rightarrow& J=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}a&1&\\\\ &a&1\\\\ &&a\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2)、 若 $\displaystyle b\neq a$, 则
$$\begin{aligned} \mathrm{rank}\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&x_1&x_2\\\\ 0&b-a&x_3\\\\ 0&0&0\end{array}\right)=\mathrm{rank}\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&0&x_2\\\\ 0&1&0\\\\ 0&0&0\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是
$$\begin{aligned} x_2=0\Rightarrow& \mathrm{rank}(A-aE)=1\Rightarrow J=\mathrm{diag}(b,a,a),\\\\ x_2\neq 0\Rightarrow& \mathrm{rank}(A-aE)=2\Rightarrow J=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}b&&\\\\ &a&1\\\\ &&a\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1204、 5、 (20 分) 设 $\displaystyle A,B\in\mathbb{R}^{n\times n}$ 均为正定矩阵. (1)、 $\displaystyle n=2$ 时, 求 $\displaystyle A,B$ 使得 $\displaystyle AB$ 不是正定矩阵; (2)、 求一个充分必要条件, 使得 $\displaystyle AB$ 是正定矩阵, 并证明. (上海交通大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 取 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&2\\\\2&5\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&-1\\\\-1&2\end{array}\right)$, 则 $\displaystyle AB=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-1&3\\\\ -3&8\end{array}\right)$ 不对称, 而不是正定矩阵. (2)、 一言以蔽之, 正定矩阵的乘积正定的充要条件是这两个矩阵可交换. (1)、 $\displaystyle \Rightarrow$:
$$\begin{aligned} AB=(AB)^\mathrm{T}=B^\mathrm{T} A^\mathrm{T}=BA . \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2)、 $\displaystyle \Leftarrow$: 由 $\displaystyle A$ 正定知存在正交阵 $\displaystyle Q$ 使得
$$\begin{aligned} Q^\mathrm{T} AQ=\mathrm{diag}(\varLambda_1,\cdots,\varLambda_s), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
其中 $\displaystyle \varLambda_i$ 是以 $\displaystyle \lambda_i > 0$ 为对角元的对角阵, 且各 $\displaystyle \lambda_i$ 互异. 于是
$$\begin{aligned} &\quad \ AB=BA\Leftrightarrow Q^\mathrm{T} AQ\cdot Q^\mathrm{T} BQ=Q^\mathrm{T} BQ\cdot Q^\mathrm{T} AQ\\\\ &\Leftrightarrow \mathrm{diag}(\varLambda_1,\cdots,\varLambda_s)\tilde{B}=\tilde{B}\mathrm{diag}(\varLambda_1,\cdots,\varLambda_s)\left(\tilde{B}=Q^\mathrm{T} BQ\right)\\\\ &\Leftrightarrow \varLambda_i\tilde{B}_{ij} =\tilde{B}_{ij}\varLambda_j\left(\tilde{B}=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\tilde{B}_{11}&\cdots&\tilde{B}_{1s}\\\\ \vdots&\ddots&\vdots\\\\ \tilde{B}_{s1}&\cdots&\tilde{B}_{ss}\end{array}\right)\right)\\\\ &\Leftrightarrow \tilde{B}_{ij}=0\left(i\neq j\right)\\\\ &\Leftrightarrow \tilde{B}=\mathrm{diag}(\tilde{B}_{11},\cdots,\tilde{B}_{ss}). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
又由 $\displaystyle B$ 正定知 $\displaystyle \tilde{B}=Q^\mathrm{T} BQ$ 正定, $\displaystyle \tilde{B}_{11},\cdots,\tilde{B}_{ss}$ 也正定. 于是存在正交阵 $\displaystyle R_i$, 使得
$$\begin{aligned} R_i^\mathrm{T} \tilde{B}_{ii}R_i=D_i, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
其中 $\displaystyle D_i$ 为对角阵. 取
$$\begin{aligned} P=Q\mathrm{diag}(R_1,\cdots,R_s), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则 $\displaystyle P$ 正交, 且
$$\begin{aligned} P^\mathrm{T} AP&=\mathrm{diag}(R_1^\mathrm{T},\cdots,R_s^\mathrm{T})\mathrm{diag}(\varLambda_1,\cdots,\varLambda_s) \mathrm{diag}(R_1,\cdots,R_s)\\\\ &=\mathrm{diag}(\varLambda_1,\cdots,\varLambda_s),\\\\ P^\mathrm{T} BP&=\mathrm{diag}(R_1^\mathrm{T},\cdots,R_s^\mathrm{T})\mathrm{diag}(\tilde{B}_{11},\cdots,\tilde{B}_{ss}) \mathrm{diag}(R_1,\cdots,R_s)\\\\ &=\mathrm{diag}(D_1,\cdots,D_s). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是
$$\begin{aligned} P^\mathrm{T} ABP=\mathrm{diag}(\lambda_1\mu_1,\cdots,\lambda_n\mu_n), \lambda_i\mu_i > 0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle AB$ 正定.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1205、 7、 (20 分) 设 $\displaystyle A\in \mathbb{R}^{m\times n}, \mathrm{rank} A=r > 0$. (1)、 证明存在唯一的矩阵 $\displaystyle P\in\mathbb{R}^{m\times m}$, 使得
$$\begin{aligned} P^\mathrm{T} =P^2=P, \mathrm{rank} P=\mathrm{rank} A, PA=A. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2)、 求 $\displaystyle P$ 的特征多项式与特征子空间. (3)、 设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&2\\\\ -1&-2\\\\ 0&0\end{array}\right)$, 求 $\displaystyle P$ 与矩阵 $\displaystyle B=(P,P)$ 的奇异值分解. (上海交通大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 设 $\displaystyle A$ 的奇异值分解为 $\displaystyle A=U\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\varLambda&\\\\ &0\end{array}\right)V$, 其中 $\displaystyle U,V$ 为正交阵, $\displaystyle \varLambda$ 为对角元全大于 $\displaystyle 0$ 的 $\displaystyle r$ 阶方阵, 则取 $\displaystyle P=U\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E_r&\\\\ &0\end{array}\right)U^\mathrm{T}$, 则它满足题中所有条件. 设 $\displaystyle Q$ 也满足题中条件, 则由 $\displaystyle Q^\mathrm{T}=Q$ 知 $\displaystyle Q$ 实对称. 又由 $\displaystyle Q^2=Q, \mathrm{rank} Q=r$ 知 $\displaystyle Q$ 有 $\displaystyle r$ 个特征值为 $\displaystyle 1$, $\displaystyle n-r$ 个特征值为 $\displaystyle 0$. 于是存在正交阵 $\displaystyle R$ 使得 $\displaystyle Q=R\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E_r&\\\\ &0\end{array}\right)R^\mathrm{T}$. 设 $\displaystyle S=R^\mathrm{T} U=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}S_1&S_2\\\\ S_3&S_4\end{array}\right)$, 则
$$\begin{aligned} &QA=A\Leftrightarrow R\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E_r&\\\\ &0\end{array}\right)R^\mathrm{T} U\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\varLambda&\\\\ &0\end{array}\right)V= U\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\varLambda&\\\\ &0\end{array}\right)V\\\\ \Leftrightarrow&S^\mathrm{T}\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E_r&\\\\ &0\end{array}\right)S \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\varLambda&\\\\ &0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\varLambda&\\\\ &0\end{array}\right)\\\\ \Leftrightarrow& \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}S_1^\mathrm{T} S_1\varLambda&0\\\\ S_2^\mathrm{T} S_1\varLambda&0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\varLambda&0\\\\ 0&0\end{array}\right) \Leftrightarrow S_1^\mathrm{T} S_1=E_r, S_2^\mathrm{T} S_1=0.\qquad(I) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由
$$\begin{aligned} &Q=P\Leftrightarrow R\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E_r&\\\\ &0\end{array}\right)R^\mathrm{T}=U\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E_r&\\\\ &0\end{array}\right)U^\mathrm{T}\\\\ \Leftrightarrow& U^\mathrm{T} R\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E_r&\\\\ &0\end{array}\right)R^\mathrm{T} U=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E_r&\\\\ &0\end{array}\right)\\\\ \Leftrightarrow& S^\mathrm{T} \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E_r&\\\\ &0\end{array}\right)S=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E_r&\\\\ &0\end{array}\right)\Leftarrow (I) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知唯一性得证. (2)、 $\displaystyle P$ 的特征多项式为 $\displaystyle (\lambda-1)^r\lambda^{m-r}$. 设 $\displaystyle U=(\eta_1,\cdots,\eta_m)$, 则 $\displaystyle P$ 的属于特征值 $\displaystyle 1,0$ 的特征子空间分别为
$$\begin{aligned} L(\eta_1,\cdots,\eta_r),\quad L(\eta_{r+1},\cdots,\eta_m). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(3)、 $\displaystyle B=AA^\mathrm{T}=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}5&-5&0\\\\ -5&5&0\\\\ 0&0&0\end{array}\right)$ 的特征值为 $\displaystyle 10,0,0$. 由
$$\begin{aligned} 10E_3-B\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1&0\\\\ 0&0&0\\\\ 0&0&0\end{array}\right), 0E_3-B\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&-1&0\\\\ 0&0&0\\\\ 0&0&0\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle B$ 的属于特征值 $\displaystyle 10,0$ 的单位特征向量分别为
$$\begin{aligned} \xi_1=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-\frac{1}{\sqrt{2}}\\\\\frac{1}{\sqrt{2}}\\\\0\end{array}\right);\quad \xi_2=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\frac{1}{\sqrt{2}}\\\\\frac{1}{\sqrt{2}}\\\\0\end{array}\right), \xi_3=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0\\\\0\\\\1\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是
$$\begin{aligned} A=U\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\varLambda&\\\\ &0\end{array}\right)V\Rightarrow AA^\mathrm{T} =U\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\varLambda^2&\\\\ &0\end{array}\right)U^\mathrm{T} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
蕴含 $\displaystyle U=(\eta_1,\eta_2,\eta_3)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}&0\\\\ \frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}&0\\\\ 0&0&1\end{array}\right)$. 从而
$$\begin{aligned} P=U\mathrm{diag}(1,0,0)U^\mathrm{T}=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&0\\\\ -\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&0\\\\ 0&0&0\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
写出 $\displaystyle B$ 后, 设 $\displaystyle B=R\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\varLambda&\\\\ &0\end{array}\right)S$, 其中 $\displaystyle R,S$ 为正交阵, $\displaystyle \varLambda$ 为 $\displaystyle \mathrm{rank} B=1$ 阶方阵, 则
$$\begin{aligned} BB^\mathrm{T}=R\mathrm{diag}(\varLambda^2,0)R^\mathrm{T}, B^\mathrm{T} B=S^\mathrm{T} \mathrm{diag}(\varLambda^2,0)S. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由实对称矩阵的正交标准形容易算出 $\displaystyle \varLambda=\sqrt{2}$,
$$\begin{aligned} R=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{2}}&0\\\\ \frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}&0\\\\ 0&0&1\end{array}\right), S=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&0&-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&0\\\\ \frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}&0&0&0&0\\\\ 0&0&1&0&0&0\\\\ -\frac{1}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{6}}&0&\frac{2}{\sqrt{6}}&0&0\\\\ \frac{1}{2\sqrt{3}}&-\frac{1}{2\sqrt{3}}&0&\frac{1}{2\sqrt{3}}&\frac{\sqrt{3}}{2}&0\\\\ 0&0&0&0&0&1\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
设 $\displaystyle D=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\sqrt{2}&0&0&0&0&0\\\\ 0&0&0&0&0&0\\\\ 0&0&0&0&0&0\end{array}\right)$, 则 $\displaystyle B=RDS$ 就是 $\displaystyle B$ 的奇异值分解.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1206、 6、 设正实数 $\displaystyle p,q$ 满足 $\displaystyle p+q=1$, 考虑 $\displaystyle n$ 阶方阵 ($n\geq 2$)
$$\begin{aligned} A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&p&0&\cdots&0&0\\\\ q&0&p&\cdots&0&0\\\\ 0&q&0&\cdots&0&0\\\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\\\ 0&0&0&\cdots&0&p\\\\ 0&0&0&\cdots&q&0\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
证明: (1)、 若 $\displaystyle \alpha=(a_1,\cdots,a_n)^\mathrm{T}$ 为 $\displaystyle A$ 的特征向量, 则 $\displaystyle |a_1|, \cdots, |a_n|$ 不全相等. (2)、 若 $\displaystyle t$ 是 $\displaystyle A$ 的特征值, 则 $\displaystyle |t| < 1$. (首都师范大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 设 $\displaystyle \alpha$ 对应的特征值为 $\displaystyle t$, 则
$$\begin{aligned} &A\alpha=t \alpha\Leftrightarrow \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&p&0&\cdots&0&0\\\\ q&0&p&\cdots&0&0\\\\ 0&q&0&\cdots&0&0\\\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\\\ 0&0&0&\cdots&0&p\\\\ 0&0&0&\cdots&q&0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}a_1\\\\a_2\\\\a_3\\\\\vdots\\\\a_n\end{array}\right)=t\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}a_1\\\\a_2\\\\a_3\\\\\vdots\\\\a_n\end{array}\right)\\\\ \Leftrightarrow&pa_2=t a_1, qa_1+pa_3=t a_2, \cdots,\\\\ &qa_{n-2}+pa_n=t a_{n-1},qa_{n-1}=t a_n.\qquad(I) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
用反证法. 若 $\displaystyle |a_1|, \cdots, |a_n|$ 全都相等, 设为 $\displaystyle a$, 则 $\displaystyle \alpha\neq 0\Rightarrow |a_i|=a > 0$. 由 $\displaystyle (I)$ 的第 1 式和最后一个式子知
$$\begin{aligned} &p=|t|=q\stackrel{p+q=1}{\Rightarrow}p=q=\frac{1}{2}\\\\ \Rightarrow& \frac{a_i+a_{i+2}}{2}=t a_i, 1\leq i\leq n-2, |t|=\frac{1}{2}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(1-1)、 若存在某个 $\displaystyle i$, 使得 $\displaystyle a_i,a_{i+2}$ 异号, 则
$$\begin{aligned} &|a_i|=|a_{i+2}|=a\Rightarrow a_i=-a_{i+2}\\\\ \Rightarrow& 0=\frac{a_i+a_{i+2}}{2}=t a_i\stackrel{|t|=\frac{1}{2}}{\Rightarrow}a_i=0,\mbox{矛盾}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(1-2)、 若 $\displaystyle \forall\ i, a_i,a_{i+2}$ 同号, 则
$$\begin{aligned} a_1=a_3=a_5=\cdots\equiv b, a_2=a_4=a_6=\cdots\equiv c. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
进而
$$\begin{aligned} &b=\frac{a_1+a_3}{2}=t a_2=t c\\\\ \Rightarrow& a=|a_1|=|b|=|t| \cdot |c|=\frac{1}{2}|a_2|=\frac{1}{2}a \Rightarrow a=0,\mbox{矛盾}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
不论何种情形都得到矛盾. 故有结论. (2)、 设 $\displaystyle \alpha=(a_1,\cdots,a_n)^\mathrm{T}$ 为对应的特征向量, 则由第 1 步知
$$\begin{aligned} \exists\ 1\leq k\leq n-1,\mathrm{ s.t.} |a_k|\neq |a_{k+1}|. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
不妨设 $\displaystyle |a_k| < |a_{k+1}|$ ($>$ 时类似讨论, 不过是从 $\displaystyle k$ 往小走, 至多到 $\displaystyle 1$). (2-1)、 若 $\displaystyle |a_{k+1}|\geq |a_{k+2}|$, 则
$$\begin{aligned} ta_{k+1}=qa_k+pa_{k+2} \Rightarrow |t|\leq q\left|\frac{a_k}{a_{k+1}}\right|+p\left|\frac{a_{k+2}}{a_{k+1}}\right| \leq q+p=1.\qquad(I) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2-2)、 若 $\displaystyle |a_{k+1}| < |a_{k+2}|$, 则看 $\displaystyle |a_{k+2}|, |a_{k+3}|$ 的大小. 若 $\displaystyle |a_{k+2}|\geq |a_{k+3}|$, 则类似 $\displaystyle (I)$ 知 $\displaystyle |t|\leq 1$. 若 $\displaystyle |a_{k+2}| < |a_{k+3}|$, 则又看 $\displaystyle |a_{k+3}|, |a_{k+4}|$ 的大小. 如此这般, 要么有限次后类似 $\displaystyle (I)$ 得到 $\displaystyle |t|\leq 1$, 要么
$$\begin{aligned} &|a_k| < |a_{k+1}| < \cdots < |a_{n-1}| < |a_n|\\\\ \Rightarrow& q|a_{n-1}|=|t|\cdot|a_n| > |t|\cdot |a_{n-1}|\Rightarrow 1 > q > |t|. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1207、 8、 设 $\displaystyle A,B$ 为实数域上的 $\displaystyle n$ 阶方阵, 满足 $\displaystyle AB=-A-B$. 证明: $\displaystyle AB=BA$. (首都师范大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /
$$\begin{aligned} &E=E+A+B+AB=(E+A)(E+B)\\\\ \Rightarrow&E=(E+B)(E+A)\Rightarrow BA=-A-B\xlongequal{\tiny\mbox{题设}} AB. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1208、 9、 求下面矩阵的若尔当标准形:
$$\begin{aligned} A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&1&0&0&0\\\\ 0&0&1&0&0\\\\ 0&0&0&1&0\\\\ 0&0&0&0&1\\\\ 1&-5&10&-10&5\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(首都师范大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 按第一列展开知
$$\begin{aligned} |\lambda E-A|=\lambda^5-5\lambda^4+10\lambda^3-10\lambda^2+5\lambda-1=(\lambda-1)^5. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
又由 $\displaystyle \lambda E-A$ 的右上角有一个 $\displaystyle 4$ 阶子式
$$\begin{aligned} \left|\begin{array}{cccccccccc}-1&&&\\\\ \lambda&-1&&\\\\ &\lambda&-1&\\\\ &&\lambda&-1\end{array}\right|=1 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle A$ 的行列式因子为 $\displaystyle 1,1,1,1,(\lambda-1)^5$, 不变因子也是 $\displaystyle 1,1,1,1,(\lambda-1)^5$, 初等因子为 $\displaystyle (\lambda-1)^5$, Jordan 标准形为
$$\begin{aligned} \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1&&&\\\\ &1&1&&\\\\ &&1&1&\\\\ &&&1&1\\\\ &&&&1\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1209、 3、 $\displaystyle \mathrm{rank} M$ 表示矩阵 $\displaystyle M$ 的秩. (1)、 设 $\displaystyle M$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{F}$ 上的 $\displaystyle n$ 阶方阵, $\displaystyle n > 1$, 求 $\displaystyle \mathrm{rank}\left[(M^\star)^\star\right]$, 其中 $\displaystyle M^\star$ 表示 $\displaystyle M$ 的伴随矩阵. (2)、 证明:
$$\begin{aligned} \mathrm{rank}(I_n-A^\mathrm{T} A)-\mathrm{rank}(I_m-AA^\mathrm{T})=n-m, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
其中 $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle m\times n$ 型矩阵, $\displaystyle A^\mathrm{T}$ 是 $\displaystyle A$ 的转置, $\displaystyle I_n,I_m$ 是单位阵. (3)、 设 $\displaystyle h(x)=h_1(x)h_2(x)$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{F}$ 上的多项式, $\displaystyle h_1(x)$ 与 $\displaystyle h_2(x)$ 互素, 证明: 对 $\displaystyle n$ 阶方阵 $\displaystyle B$, 有
$$\begin{aligned} \mathrm{rank} h_1(B)+\mathrm{rank} h_2(B)=n+\mathrm{rank} h(B). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(四川大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、
$$\begin{aligned} \mathrm{rank} M\leq n-2\Rightarrow& \mathrm{rank}(M^\star)=0\Rightarrow (M^\star)^\star=0\Rightarrow \mathrm{rank}\left[(M^\star)^\star\right]=0,\\\\ \mathrm{rank} M=n-1\Rightarrow&\mathrm{rank}(M^\star)=1\Rightarrow \left\{\begin{array}{llllllllllll}\mathrm{rank}\left[(M^\star)^\star\right]=1,&n=2,\\\\ \mathrm{rank}\left[(M^\star)^\star\right]=0,&n\geq 3,\end{array}\right.\\\\ \mathrm{rank} M=n\Rightarrow&\mathrm{rank}(M^\star)=n\Rightarrow \mathrm{rank}\left[(M^\star)^\star\right]=n. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2)、 由
$$\begin{aligned} \left(\begin{array}{cc} E_m&-A\\\\ 0&E_n \end{array}\right) \left(\begin{array}{cc} E_m&A\\\\ A^\mathrm{T} &E_n \end{array}\right) \left(\begin{array}{cc} E_m&0\\\\ -A^\mathrm{T} &E_n \end{array}\right)=&\left(\begin{array}{cc} E_m-AA^\mathrm{T} &0\\\\ 0&E_n \end{array}\right),\\\\ \left(\begin{array}{cc} E_m&0\\\\ -A^\mathrm{T} &E_n \end{array}\right) \left(\begin{array}{cc} E_m&A\\\\ A^\mathrm{T} &E_n \end{array}\right) \left(\begin{array}{cc} E_m&-A\\\\ 0&E_n \end{array}\right)=&\left(\begin{array}{cc} E_m&0\\\\ 0&E_n-A^\mathrm{T} A \end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知
$$\begin{aligned} \mathrm{rank}(E_m-AA^\mathrm{T})+n=\mathrm{rank}\left(\begin{array}{cc} E_m&A\\\\ A^\mathrm{T} &E_n \end{array}\right)=m+\mathrm{rank}(E_n-A^\mathrm{T} A). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(3)、 由 $\displaystyle (h_1,h_2)=1\Rightarrow \exists\ u_i,\mathrm{ s.t.} u_1h_1+u_2h_2=1$ 知
$$\begin{aligned} &\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}h(B)&\\\\ &E_n\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}h(B)&h_1(B)\\\\ 0&E_n\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&h_1(B)\\\\ -h_2(B)&E_n\end{array}\right)\\\\ \to& \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&h_1(B)\\\\ -h_2(B)&E_n-u_1(B)h_1(B)\end{array}\right)\\\\ \to&\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&h_1(B)\\\\ -h_2(B)&E_n-u_1(B)h_1(B)-u_2(B)h_2(B)\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&h_1(B)\\\\ h_2(B)\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle \mathrm{rank} h_1(B)+\mathrm{rank} h_2(B)=n+\mathrm{rank} h(B)$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1210、 1、 (20 分) 设 $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle n\times n$ 矩阵, 且 $\displaystyle A^2=2023A$. 证明:
$$\begin{aligned} \mathrm{rank} A+\mathrm{rank}(A-2023E_n)=n. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(苏州大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由
$$\begin{aligned} &\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E_n&0\\\\ 0&0\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E_n&\\\\ &A^2-2023A\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E_n&A\\\\ 0&A^2-2023A\end{array}\right)\\\\ \to&\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E_n&A\\\\ 2023E_n-A&0\end{array}\right) \to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\frac{1}{2023}A&A\\\\ 2023E_n-A&0\end{array}\right)\\\\ \to&\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&A\\\\ 2023E_n-A&0\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&A\\\\ A-2023E_n-A&0\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle \mathrm{rank} A+\mathrm{rank}(A-2023E_n)=n$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1211、 3、 (25 分) 设 $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle n$ 阶实矩阵, $\displaystyle n\geq 2$, $\displaystyle A^\star$ 是其伴随矩阵. (1)、 证明: $\displaystyle \mathrm{rank}(A^\star)=\left\{\begin{array}{llllllllllll}n,&\mathrm{rank} A=n,\\\\ 1,&\mathrm{rank} A=n-1,\\\\ 0,&\mathrm{rank} A < n-1.\end{array}\right.$ (2)、 若 $\displaystyle A$ 是非零实对称矩阵, 且 $\displaystyle n\geq 3$. 证明: $\displaystyle A$ 与 $\displaystyle A^\star$ 合同的充分必要条件是 $\displaystyle A$ 可逆且负惯性指数为偶数. [题目有问题, 反例及正确表述见参考解答] (苏州大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 (1-1)、 若 $\displaystyle \mathrm{rank} A=n$, 则 $\displaystyle |A|\neq 0$, 而由 $\displaystyle AA^\star=|A|E$ 知 $\displaystyle A^\star$ 可逆, $\displaystyle \mathrm{rank} A^\star=n$. (1-2)、 若 $\displaystyle \mathrm{rank} A=n-1$, 则 $\displaystyle A$ 有一个 $\displaystyle n-1$ 阶子式不等于 $\displaystyle 0$, 而 $\displaystyle A^\star$ (它的元素为 $\displaystyle A$ 的 $\displaystyle n-1$ 阶子式) 非零, $\displaystyle \mathrm{rank} A^\star\geq 1$. 再由 $\displaystyle AA^\star=|A|E=0$ 知 $\displaystyle A^\star$ 的列向量组是 $\displaystyle Ax=0$ 的解向量. 故 $\displaystyle \mathrm{rank} A^\star\leq n-\mathrm{rank} A=1$. 故 $\displaystyle \mathrm{rank} A^\star=1$. (1-3)、 若 $\displaystyle \mathrm{rank} A < n-1$, 则 $\displaystyle A$ 的所有 $\displaystyle n-1$ 阶子式都为 $\displaystyle 0$, 而 $\displaystyle A^\star=0\Rightarrow \mathrm{rank} A^\star=0$. (2)、 取 $\displaystyle A=\mathrm{diag}(1,-1)\Rightarrow A^\star=\mathrm{diag}(-1,1)$ 即知 $\displaystyle A$ 与 $\displaystyle A^\star$ 合同, 但 $\displaystyle A$ 的负惯性指数为奇数! 故题目不正确. 正确表述如下. $\displaystyle A$ 与 $\displaystyle A^\star$ 合同的充分必要条件是 $\displaystyle A$ 可逆, 负惯性指数为偶数或负惯性指数为奇数且符号差为零. (2-1)、 $\displaystyle \Rightarrow$: 由 $\displaystyle A, A^\star$ 合同知 $\displaystyle \mathrm{rank} A=\mathrm{rank}(A^\star)$. 又由第 1 步知 $\displaystyle \mathrm{rank} A=n$, $\displaystyle A$ 可逆. 再由 $\displaystyle A$ 实对称知存在正交阵 $\displaystyle P$ 使得
$$\begin{aligned} P^\mathrm{T} AP=\mathrm{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_p,\mu_1,\cdots,\mu_q),\qquad(I) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
其中 $\displaystyle \lambda_i,\mu_j\in \mathbb{R}, \lambda_i > 0, \mu_j < 0$. 于是
$$\begin{aligned} P^\star A^\star (P^\star)^\mathrm{T}=\mathrm{diag}\left(\frac{|A|}{\lambda_1},\cdots,\frac{|A|}{\lambda_p}, \frac{|A|}{\mu_1},\cdots,\frac{|A|}{\mu_q}\right).\qquad(II) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
当 $\displaystyle |A| > 0$ 时, $\displaystyle A$ 的负惯性指数为偶数. 当 $\displaystyle |A| < 0$ 时, $\displaystyle A^\star$ 的正负惯性指数分别为 $\displaystyle q,p$. 由 $\displaystyle A$ 的正负惯性指数分别为 $\displaystyle p,q$ 及 $\displaystyle A,A^\star$ 合同知 $\displaystyle p=q$. (2-2)、 $\displaystyle \Leftarrow$: 由 $\displaystyle A$ 可逆知 $\displaystyle (I), (II)$ 成立. 若 $\displaystyle A$ 的负惯性指数为偶数, 则 $\displaystyle |A| > 0$, 而 $\displaystyle A,A^\star$ 的正负惯性指数都为 $\displaystyle p,q$, 而合同. 若 $\displaystyle A$ 的负惯性指数为奇数, 则 $\displaystyle |A| < 0$, $\displaystyle A^\star$ 的正负惯性指数分别为 $\displaystyle q,p$. 由充分性假设知 $\displaystyle q=p$. 从而 $\displaystyle A, A^\star$ 的正负惯性指数分别为 $\displaystyle p,p$, 是合同的.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1212、 4、 (25 分) 设 $\displaystyle k\in \mathbb{R}, \alpha\in\mathbb{R}$ 为实单位向量, $\displaystyle A=E_n-k\alpha\alpha^\mathrm{T}$. (1)、 证明: $\displaystyle A$ 是正交阵当且仅当 $\displaystyle k=0$ 或 $\displaystyle 2$. (2)、 证明: $\displaystyle A$ 为正定阵当且仅当 $\displaystyle k < 1$. (苏州大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 由
$$\begin{aligned} &A^\mathrm{T} A=(E_n-k\alpha\alpha^\mathrm{T})(E_n-k\alpha\alpha^\mathrm{T})\\\\ =&E_n-2k\alpha\alpha^\mathrm{T}+k^2\alpha(\alpha^\mathrm{T} \alpha)\alpha^\mathrm{T} =E_n+(k^2-2k)\alpha\alpha^\mathrm{T} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle A$ 正交
$$\begin{aligned} \Leftrightarrow A^\mathrm{T} A=E_n\Leftrightarrow k^2-2k=0\Leftrightarrow k=0\mbox{或} 2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2)、 (2-1)、 我们有如下常用公式: 由
$$\begin{aligned} \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E&0\\\\ B&E\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E&A\\\\ -B&E\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E&-A\\\\ 0&E\end{array}\right)=&\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E&0\\\\ 0&E+BA\end{array}\right),\\\\ \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E&-A\\\\ 0&E\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E&A\\\\ -B&E\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E&0\\\\ B&E\end{array}\right)=&\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E+AB&0\\\\ 0&E\end{array}\right)\qquad(I) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
即知
$$\begin{aligned} |E+BA|=|E+AB|. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2-2)、 设 $\displaystyle \alpha=(a_1,\cdots,a_n)^\mathrm{T}$, $\displaystyle \alpha_i=(a_1,\cdots,a_i)^\mathrm{T}$, 则 $\displaystyle A$ 的第 $\displaystyle i$ 个顺序主子式为
$$\begin{aligned} |A_i|=|E_i-k\alpha_i\alpha_i^\mathrm{T}| \stackrel{\mbox{第 i 步}}{=}1-k\alpha_i^\mathrm{T} \alpha_i. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle A$ 正定 $\displaystyle \Leftrightarrow A$ 的所有顺序主子式
$$\begin{aligned} &1-k\alpha_1^\mathrm{T} \alpha_1 > 0,\cdots, 1-k\alpha_{n-1}^\mathrm{T} \alpha_{n-1} > 0, 1-k\alpha^\mathrm{T} \alpha > 0\\\\ \Leftrightarrow& 1-k\alpha^\mathrm{T} \alpha=1-k > 0\Leftrightarrow k < 1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1213、 5、 (20 分) 设 $\displaystyle A=(a_{ij})_{n\times m}, B=(b_{ij})_{p\times q}$ 分别为数域 $\displaystyle \mathbb{F}$ 上的 $\displaystyle n\times m$ 和 $\displaystyle p\times q$ 矩阵, $\displaystyle np\times nq$ 矩阵
$$\begin{aligned} \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}a_{11}B&a_{12}B&\cdots&a_{1m}B\\\\ a_{21}B&a_{22}B&\cdots&a_{2m}B\\\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\\\ a_{n1}B&a_{n2}B&\cdots&a_{nm}B\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
称为 $\displaystyle A$ 和 $\displaystyle B$ 的 Kronecker 乘积, 记作 $\displaystyle A\otimes B$. (1)、 设 $\displaystyle A,B,C,D$ 分别为 $\displaystyle n\times m, p\times q, m\times l, q\times s$ 矩阵, 证明:
$$\begin{aligned} (A\otimes B)(C\otimes D)=(AC)\otimes(BD). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2)、 证明: $\displaystyle \mathrm{rank}(A\otimes B)=\mathrm{rank} A\cdot \mathrm{rank} B$. (苏州大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 设 $\displaystyle A=(a_{ih}), C=(c_{hj})$, 则
$$\begin{aligned} A\otimes B=(a_{ih}B), C\otimes D=(c_{hj}D). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由分块矩阵的乘法规则知 $\displaystyle (A\otimes B)(C\otimes D)$ 的 $\displaystyle (i,j)$ 块为
$$\begin{aligned} \sum_h a_{ih}B\cdot c_{hj}D=\sum_h a_{ih}c_{hj}BD, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
恰好为 $\displaystyle AC$ 的 $\displaystyle (i,j)$ 元乘以 $\displaystyle BD$, 就是 $\displaystyle (AC)\otimes(BD)$ 的 $\displaystyle (i,j)$ 块. 故
$$\begin{aligned} (A\otimes B)(C\otimes D)=(AC)\otimes (BD). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2)、 (2-1)、 先证一个结论. 若 $\displaystyle A,B$ 均可逆, 则
$$\begin{aligned} (A^{-1}\otimes B^{-1})(A\otimes B)=(A^{-1}A)\otimes(B^{-1}B)=I\otimes I=I. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
即若 $\displaystyle A,B$ 可逆, 则 $\displaystyle A\otimes B$ 也可逆, 且 $\displaystyle (A\otimes B)^{-1}=(A^{-1}\otimes B^{-1})$. (2-2)、 回到题目. 设 $\displaystyle \mathrm{rank} A=r, \mathrm{rank} B=s$, 则存在可逆矩阵 $\displaystyle P,Q,R,S$ 使得
$$\begin{aligned} PAQ=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E_r&\\\\ &0\end{array}\right), RBS=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E_s&\\\\ &0\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是
$$\begin{aligned} &(P\otimes Q)\cdot (A\otimes B)\cdot (R\otimes S) \overset{\tiny\mbox{第1步}}{=} (PAQ)\otimes(QBS)\\\\ =&\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E_r&\\\\ &0\end{array}\right)\otimes \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E_s&\\\\ &0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E_{rs}&\\\\ &0\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由 $\displaystyle P,Q$ 可逆知 $\displaystyle P\otimes Q$ 可逆. 同理 $\displaystyle R\times S$ 可逆. 故
$$\begin{aligned} \mathrm{rank} (A\otimes B)=rs=\mathrm{rank} A\cdot \mathrm{rank} B . \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1214、 6、 (20 分) $\displaystyle n$ 阶复矩阵 $\displaystyle A$ 称为对合矩阵, 若 $\displaystyle A^2=E_n$. (1)、 证明: 任意一个对合矩阵都可以相似对角化; (2)、 证明: 两两可交换的互不相同的 $\displaystyle n$ 阶对合矩阵最多有 $\displaystyle 2^n$ 个. (苏州大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 设
$$\begin{aligned} V_1=\left\{\alpha\in\mathbb{C}^n; A\alpha=\alpha\right\},\quad V_2=\left\{\alpha\in\mathbb{C}^n; A\alpha=-\alpha\right\}, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则由
$$\begin{aligned} \alpha\in\mathbb{C}^n&\Rightarrow \alpha=\frac{\alpha+A\alpha}{2}+\frac{\alpha-A\alpha}{2}\in V_1+V_2,\\\\ \alpha\in V_1\cap V_2&\Rightarrow A\alpha =\alpha, A\alpha=-\alpha\\\\ &\Rightarrow \alpha=-\alpha\Rightarrow \alpha=0 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle \mathbb{C}^n=V_1\oplus V_2$, 而
$$\begin{aligned} &n=\dim V_1+\dim V_2=\left[n-\mathrm{rank}(E_n-A)\right]+\left[n-\mathrm{rank}(E_n+A)\right]\\\\ \Rightarrow&\mathrm{rank}(E_n+A)+\mathrm{rank}(E_n-A)=n. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
取 $\displaystyle V_1$ 的一组基 $\displaystyle \varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_r$, $\displaystyle V_2$ 的一组基 $\displaystyle \varepsilon_{r+1},\cdots,\varepsilon_n$, 则 $\displaystyle \varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n$ 是 $\displaystyle \mathbb{P}^n$ 的一组基. 令 $\displaystyle T=(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n)$, 则 $\displaystyle T$ 是可逆阵, 且
$$\begin{aligned} T^{-1}AT=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E_r&\\\\ &-E_{n-r}\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2)、 设 $\displaystyle AB=BA$, 则设 $\displaystyle \tilde{B}=T^{-1}BT=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\tilde{B}_{11}&\tilde{B}_{12}\\\\ \tilde{B}_{21}&\tilde{B}_{22}\end{array}\right)$ 后,
$$\begin{aligned} &AB=BA\Leftrightarrow T^{-1}AT\cdot T^{-1}BT=T^{-1}BT\cdot T^{-1}AT\\\\ \Leftrightarrow&\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E_r&\\\\ &-E_{n-r}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\tilde{B}_{11}&\tilde{B}_{12}\\\\ \tilde{B}_{21}&\tilde{B}_{22}\end{array}\right) =\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\tilde{B}_{11}&\tilde{B}_{12}\\\\ \tilde{B}_{21}&\tilde{B}_{22}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E_r&\\\\ &-E_{n-r}\end{array}\right)\\\\ \Leftrightarrow&\tilde{B}_{12}=0, \tilde{B}_{21}=0 \Leftrightarrow \tilde{B}=\mathrm{diag}(\tilde{B}_{11},\tilde{B}_{22}). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由 $\displaystyle B$ 对合知 $\displaystyle \tilde{B}_{ii}$ 对合, 而存在可逆矩阵 $\displaystyle P_i$ 使得 $\displaystyle P_i^{-1}\tilde{B}_{ii}P_i$ 为对角阵, 且对角元为 $\displaystyle \pm 1$. 令 $\displaystyle P=\mathrm{diag}(P_1,P_2)$, 则 $\displaystyle P$ 可逆, 且 $\displaystyle P^{-1}\tilde{B}P$ 为对角阵, 且对角元 $\displaystyle =\pm 1$. 再令 $\displaystyle Q=TP$, 则
$$\begin{aligned} &Q^{-1}AQ=P^{-1}\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E_r&\\\\ &-E_{n-r}\end{array}\right)P\\\\ =&\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}P_1^{-1}&\\\\ &P_2^{-1}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E_r&\\\\ &-E_{n-r}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}P_1&\\\\ &P_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E_r&\\\\ &-E_{n-r}\end{array}\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
$$\begin{aligned} Q^{-1}BQ=&P^{-1}\tilde{B}P=\mathrm{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_n), \lambda_i\in \left\{1,-1\right\}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由 $\displaystyle \lambda_i\in \left\{-1,1\right\}$ 知 $\displaystyle \left\{B; AB=BA\right\}$ 有 $\displaystyle 2^n$ 个. 故有结论.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1215、 7、 (20 分) $\displaystyle n$ 阶复方阵 $\displaystyle A$ 称为幂零阵, 若存在正整数 $\displaystyle m$, 使得 $\displaystyle A^m=0$. (1)、 证明: $\displaystyle A$ 是幂零阵当且仅当 $\displaystyle A$ 的特征值全是零; (2)、 证明: 互不相似的 $\displaystyle 5$ 阶幂零阵最多有 $\displaystyle 7$ 个. (苏州大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 (1-1)、 $\displaystyle \Rightarrow$: 由 $\displaystyle A$ 幂零知存在 $\displaystyle m$, 使得 $\displaystyle A^m=0$. 若 $\displaystyle \lambda$ 是 $\displaystyle A$ 的特征值, 对应的特征向量为 $\displaystyle \alpha\neq 0$, 则
$$\begin{aligned} A\alpha=\lambda \alpha\Rightarrow \cdots \Rightarrow 0=A^m\alpha=\lambda^m\alpha\Rightarrow \lambda^m=0\Rightarrow \lambda=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle A$ 的特征值全为 $\displaystyle 0$. (1-2)、 $\displaystyle \Leftarrow$: 若 $\displaystyle A$ 的特征值全为 $\displaystyle 0$, 则 $\displaystyle A$ 的 Jordan 标准标形的对角元都是 $\displaystyle 0$, 则由 Jordan 块的性质知 $\displaystyle J^{\max n_i}=0\Rightarrow A^{\max_i n_i}=0$, 而 $\displaystyle A$ 幂零. 这里 $\displaystyle n_i$ 是 $\displaystyle J$ 中 Jordan 块的最高阶数. (2)、 $\displaystyle 5$ 阶幂零阵的 Jordan 标准形只有以下 $\displaystyle 7$ 种:
$$\begin{aligned} 0_7; \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&1&\\\\ &0&\\\\ &&0_3\end{array}\right); \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&1&&\\\\ &0&1&\\\\ &&0&\\\\ &&&0_2\end{array}\right), \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&1&&&\\\\ &0&&&\\\\ &&0&1&\\\\ &&&0&\\\\ &&&&0\end{array}\right);\\\\ \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&1&&&\\\\ &0&1&&\\\\ &&0&1&\\\\ &&&0&\\\\ &&&&0\end{array}\right), \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&1&&&\\\\ &0&1&&\\\\ &&0&&\\\\ &&&0&1\\\\ &&&&0\end{array}\right); \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&1&&&\\\\ &0&1&&\\\\ &&0&1&\\\\ &&&0&1\\\\ &&&&0\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
而互不相似的 $\displaystyle 5$ 阶幂零阵最多有 $\displaystyle 7$ 个.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1216、 6、 证明: (1)、 若 $\displaystyle A=(a_{ij})$ 的元素 $\displaystyle a_{ij}$ 为整数, $\displaystyle A$ 的各行元素之和为 $\displaystyle a\neq 0$, 则 $\displaystyle A^\star$ 的各行元素之和为 $\displaystyle \frac{|A|}{a}$, 且 $\displaystyle \frac{|A|}{a}$ 为整数; (2)、 对 $\displaystyle n$ 阶矩阵 $\displaystyle A$, 有 $\displaystyle (A^\star)^\star=|A|^{n-2}A$. (太原理工大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 设 $\displaystyle e=(1,\cdots,1)^\mathrm{T}$, 则
$$\begin{aligned} Ae=ae\Rightarrow& |A|e=|A|Ee=A^\star Ae=A^\star(ae)=aA^\star e\\\\ \Rightarrow& A^\star e=\frac{|A|}{a}e.\qquad(I) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这表明 $\displaystyle A^\star$ 的各行元素之和为 $\displaystyle \frac{|A|}{a}$. 注意到 $\displaystyle A^\star$ 的元素作为 $\displaystyle A$ 的代数余子式是整数. 比较 $\displaystyle (I)$ 的第一个分量即知 $\displaystyle \frac{|A|}{a}\in\mathbb{Z}$. (2)、 (2-1)、 由 $\displaystyle |A|=0$ 知 $\displaystyle \mathrm{rank}(A)\leq n-1$. 若 $\displaystyle \mathrm{rank}(A)\leq n-2$, 则 $\displaystyle A$ 的所有 $\displaystyle n-1$ 阶子式都 $\displaystyle =0$, $\displaystyle A^\star =0\Rightarrow \mathrm{rank}(A^\star )=0$. 若 $\displaystyle \mathrm{rank}(A)=n-1$, 则 $\displaystyle A$ 由一个 $\displaystyle n-1$ 阶子式 $\displaystyle \neq 0$, $\displaystyle A^\star \neq 0\Rightarrow \mathrm{rank}(A^\star )\geq 1$. 又由
$$\begin{aligned} AA^\star =|A|E=0&\Rightarrow \mbox{ $\displaystyle A^\star $ 的列向量组都是 $\displaystyle AX=0$ 的解}\\\\ &\Rightarrow \mathrm{rank}(A^\star )\leq n-\mathrm{rank}(A)=n-(n-1)=1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle \mathrm{rank}(A^\star )=1$. (2-2)、 若 $\displaystyle A$ 可逆, 则
$$\begin{aligned} AA^\star =|A|E\Rightarrow |A|\cdot |A^\star |=|A|^n \Rightarrow |A^\star |=|A|^{n-1}, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
且由公式 $\displaystyle B^\star =|B| B^{-1}$ 知
$$\begin{aligned} (A^\star )^\star =&|A^\star |(A^\star )^{-1}=|A|^{n-1}(|A|A^{-1})^{-1}\\\\ =&|A|^{n-1}|A|^{-1}(A^{-1})^{-1} =|A|^{n-2}A. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
若 $\displaystyle A$ 不可逆, 则
$$\begin{aligned} |A|=0&\Rightarrow \mathrm{rank}(A^\star )\leq 1\left(\leq n-2\right)\left(\mbox{第 i 步}\right)\\\\ &\Rightarrow \left\{\begin{array}{llllllllllll} |A^\star |=0\\\\ (A^\star )^\star =0 \end{array}\right.\left(\mbox{第 i 步的证明}\right)\\\\ &\Rightarrow \mbox{ $\displaystyle |A^\star |=0=|A|^{n-1}$, 且 $\displaystyle (A^\star )^\star =0=|A|^{n-2}A$.} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1217、 7、 设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&0&0\\\\ a&1&0&0\\\\ 1&1&2&0\\\\ -1&-1&b&2\end{array}\right)$. (1)、 讨论 $\displaystyle a,b$ 为何值时, $\displaystyle A$ 可对角化, 并求可逆矩阵 $\displaystyle P$, 使得 $\displaystyle P^{-1}AP$ 为对角阵; (2)、 当 $\displaystyle a=1, b=0$ 时, 求 $\displaystyle A$ 的若尔当标准形. (太原理工大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 $\displaystyle A$ 的特征值为 $\displaystyle 1,1,2,2$. 若 $\displaystyle A$ 可对角化, 则 $\displaystyle A\sim\mathrm{diag}(1,1,2,2)$. 故 $\displaystyle \mathrm{rank}(A-E)=\mathrm{rank}(A-2E)=2$. 由
$$\begin{aligned} A-E=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&0&0&0\\\\ a&0&0&0\\\\ 1&1&1&0\\\\ -1&-1&b&1\end{array}\right), A-2E=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-1&0&0&0\\\\ a&-1&0&0\\\\ 1&1&0&0\\\\ -1&-1&b&0\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle a=0, b=0$. 此时, 由
$$\begin{aligned} E-A\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1&0&-1\\\\ 0&0&1&1\\\\ 0&0&0&0\\\\ 0&0&0&0 \end{array}\right), 2E-A\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 1&0&0&0\\\\ 0&1&0&0\\\\ 0&0&0&0\\\\ 0&0&0&0 \end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle A$ 的属于特征值 $\displaystyle 1,2$ 的特征向量分别为
$$\begin{aligned} \xi_1=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-1\\\\1\\\\0\\\\0 \end{array}\right), \xi_2=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1\\\\0\\\\-1\\\\1 \end{array}\right);\quad \xi_3=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0\\\\0\\\\1\\\\0 \end{array}\right), \xi_4=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0\\\\0\\\\0\\\\1\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是
$$\begin{aligned} P=(\xi_1,\xi_2,\xi_3,\xi_4)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc} -1&1&0&0\\\\ 1&0&0&0\\\\ 0&-1&1&0\\\\ 0&1&0&1\end{array}\right)\Rightarrow P^{-1}AP=\mathrm{diag}\left(1,1,2,2\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2)、 当 $\displaystyle a=1, b=0$ 时,
$$\begin{aligned} A-E\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&0&0\\\\ 0&1&0&-1\\\\ 0&0&1&1\\\\ 0&0&0&0\end{array}\right), A-2E\to \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&0&0\\\\ 0&1&0&0\\\\ 0&0&0&0\\\\ 0&0&0&0\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle A$ 的 Jordan 标准形 $\displaystyle J$ 也满足 $\displaystyle \mathrm{rank}(J-E)=3, \mathrm{rank}(J-2E)=2$. 分析对角线上方 $\displaystyle 1$ 的个数即知 $\displaystyle J=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1&&\\\\ &1&&\\\\ &&2&\\\\ &&&2\end{array}\right)$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1218、 2、 (1)、 计算行列式
$$\begin{aligned} \left|\begin{array}{cccccccccc}1+x_1y_1&x_1y_2&\cdots&x_1y_n\\\\ x_2y_1&1+x_2y_2&\cdots&x_2y_n\\\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\\ x_ny_1&x_ny_2&\cdots&1+x_ny_n\end{array}\right|. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2)、 若 $\displaystyle \alpha\beta^\mathrm{T}\neq -1$, 证明: $\displaystyle I+\beta\alpha^\mathrm{T}$ 可逆. (3)、 若 $\displaystyle \alpha\beta^\mathrm{T}=-1$, 证明: $\displaystyle \mathrm{rank}(I+\beta\alpha^\mathrm{T})=n-1$. (天津大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、
$$\begin{aligned} \mbox{原式}&=\left|\begin{array}{cccc} 1&y_1&\cdots&y_n\\\\ 0&1+x_1y_1&\cdots&x_1y_n\\\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\\ 0&x_ny_1&\cdots&1+x_ny_n \end{array}\right|\\\\ &=\left|\begin{array}{cccc} 1&y_1&\cdots&y_n\\\\ -x_1&1&\cdots&0\\\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\\ -x_n&0&\cdots&1 \end{array}\right| =\left|\begin{array}{cccc} {1+\sum_{i=1}^nx_iy_i}&y_1&\cdots&y_n\\\\ 0&1&\cdots&0\\\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\\ 0&0&\cdots&1 \end{array}\right|\\\\ &=1+\sum_{i=1}^nx_iy_i. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2)、 设
$$\begin{aligned} \alpha=(x_1,\cdots,x_n), \beta=(y_1,\cdots,y_n)^\mathrm{T}, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则由第 1 步知
$$\begin{aligned} |I+\beta\alpha^\mathrm{T}|=1+\alpha\beta^\mathrm{T}\neq 0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle I+\beta\alpha^\mathrm{T}$ 可逆. (3)、 若 $\displaystyle \alpha\beta^\mathrm{T}=-1$, 则由第 2 步知 $\displaystyle I+\beta\alpha^\mathrm{T}$ 奇异, $\displaystyle \mathrm{rank}(I+\beta\alpha^\mathrm{T})\leq n-1$. 又由 $\displaystyle \alpha\beta^\mathrm{T}=-1$ 知 $\displaystyle x_iy_i$ 不能同时为 $\displaystyle 0$. 不妨设 $\displaystyle x_ny_n\neq 0$. 则 $\displaystyle I+\beta\alpha^\mathrm{T}$ 的第 $\displaystyle n-1$ 个顺序主子式按照第 1 问的求解方法知其
$$\begin{aligned} =1+\sum_{i=1}^{n-1}x_iy_i=-x_ny_n\neq 0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle \mathrm{rank}(I+\beta\alpha^\mathrm{T})\geq n-1$. 联合已有结果即知 $\displaystyle \mathrm{rank}(I+\beta\alpha^\mathrm{T})=n-1$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1219、 3、 已知 $\displaystyle f(x)=x^2+ax+4, a\in\mathbb{R}$, 且 $\displaystyle f(A)=0$. (1)、 若对 $\displaystyle \forall\ \lambda\in\mathbb{R}$, 有 $\displaystyle A+\lambda I$ 可逆, 求 $\displaystyle a$ 的取值范围. (2)、 若 $\displaystyle A+\lambda I$ 不可逆, 且 $\displaystyle B=A^3+2023I$. 证明: $\displaystyle B$ 可逆, 且求 $\displaystyle g(x)\in \mathbb{R}[x]$ 使得 $\displaystyle B^{-1}=g(A)$. [本小问有问题, 跟锦数学微信公众号没法做哦.] (天津大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、
$$\begin{aligned} &\exists\ \lambda_0\in\mathbb{R},\mathrm{ s.t.} |A+\lambda_0I|=0\Leftrightarrow A+\lambda_0I\mbox{有特征值}0\\\\ \Leftrightarrow&A\mbox{有特征值}-\lambda_0 \Rightarrow 0=f(-\lambda_0)=\lambda_0^2-a\lambda_0+4=0\\\\ \Rightarrow&\lambda^2-a\lambda+4=0\mbox{有实根} \Leftrightarrow \Delta=a^2-16\geq 0\Leftrightarrow |a|\geq 4. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
反之亦成立. 故 $\displaystyle a$ 的取值范围是 $\displaystyle |a| < 4$. (2)、 本小问有问题, 跟锦数学微信公众号没法做哦.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
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