张祖锦2023年数学专业真题分类70天之第49天
1105、 (5)、 已知 $\displaystyle 2022$ 阶实方阵 $\displaystyle A$, $\displaystyle A$ 第 $\displaystyle (i,j)$ 元素为 $\displaystyle \frac{(i+j)^{2022}}{j^{2022}}$, 则 $\displaystyle \det(\mathrm{e}^A)=\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (复旦大学2023年代数(第4,6,7,8题没做)考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle \mathrm{e}$ 为自然常数. 对于 $\displaystyle n$ 阶复方阵 $\displaystyle A$, 我们定义
$$\begin{aligned} \mathrm{e}^A=I_n+A+\frac{A^2}{2!}+\frac{A^3}{3!}+\cdots. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则 (5-1)、 方阵 $\displaystyle \mathrm{e}^A$ 定义合理; (5-2)、 $\displaystyle \det \mathrm{e}^A=\mathrm{e}^{\mathrm{tr} A}$. 事实上, (5-1)、 由 Jordan 标准形理论知存在可逆矩阵 $\displaystyle P$ 使得
$$\begin{aligned} P^{-1}AP=J=\mathrm{diag}\left(J_{n_1}(\lambda_1),\cdots,J_{n_s}(\lambda_s)\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
其中 $\displaystyle J_{n_i}(\lambda_i)$ 是以 $\displaystyle \lambda_i$ 为对角元的 $\displaystyle n_i$ 阶 Jordan 块. 令 $\displaystyle N_{n_i}=J_{n_i}(\lambda_i)-\lambda_iE_{n_i}$, 则 $\displaystyle N_{n_i}^{n_i}=0$, 而
$$\begin{aligned} J_{n_i}(\lambda_i)^k&=(\lambda_iE_{n_i}+N_{n_i})^k =\sum_{0\leq j\leq k\atop j\leq n_i}C_k^j \lambda_i^{k-j}N_{n_i}^j\\\\ &=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\lambda_i^k&k\lambda_i^{k-1}&\cdots&\star \\\\ &\ddots&\ddots&\vdots\\\\ &&\ddots&k\lambda_i^k\\\\ &&&\lambda_i^k\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
设 $\displaystyle f_k(\lambda)=\lambda^k$, 则 $\displaystyle J_{n_i}(\lambda_i)$ 中非零元素具有形式
$$\begin{aligned} \frac{f_k^{(p)}(\lambda_i)}{p!}\left(p=0,1,2,\cdots,n_i-1\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由
$$\begin{aligned} \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}\left[\frac{f_k^{(p)}(\lambda_i)}{p!}\right] =\left.\frac{1}{p!}\left[\sum_{k=0}^\infty \frac{f_k(\lambda)}{k!}\right]^{(p)}\right|_{\lambda=\lambda_i} =\frac{1}{p!}\mathrm{e}^{\lambda_i} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知
$$\begin{aligned} \mathrm{e}^{J_{n_i}(\lambda_i)}=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\mathrm{e}^\lambda&\mathrm{e}^{\lambda}&\frac{\mathrm{e}^\lambda}{2}&\cdots&\frac{\mathrm{e}^{\lambda}}{(n_i-1)!}\\\\ &\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\\\ &&\ddots&\ddots&\frac{\mathrm{e}^\lambda}{2}\\\\ &&&\ddots&\mathrm{e}^\lambda\\\\ &&&&\mathrm{e}^\lambda\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
而 $\displaystyle \mathrm{e}^A=P^{-1}\mathrm{e}^J P$ 定义合理. (5-2)、 由 Jordan 标准形理论知存在可逆矩阵 $\displaystyle P$ 使得
$$\begin{aligned} &P^{-1}AP=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\lambda_1&&\star \\\\ &\ddots&\vdots\\\\ &&\lambda_n\end{array}\right)\Rightarrow P^{-1}A^kP=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\lambda_1^k&\cdots&\star \\\\ &\ddots&\vdots\\\\ &&\lambda_n^k\end{array}\right)\\\\ \Rightarrow&P^{-1}\mathrm{e}^A P=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\mathrm{e}^{\lambda_1}&\cdots&\star \\\\ &\ddots&\vdots\\\\ &&\mathrm{e}^{\lambda_n}\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故
$$\begin{aligned} |\mathrm{e}^A|=\mathrm{e}^{\lambda_1}\cdots \mathrm{e}^{\lambda_n}=\mathrm{e}^{\lambda_1+\cdots+\lambda_n} =\mathrm{e}^{\mathrm{tr} A}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
回到题目.
$$\begin{aligned} \det(\mathrm{e}^A)=&\mathrm{exp}(\mathrm{tr} A) =\mathrm{exp}\left[\sum_{i=1}^{2022} \frac{(2i)^{2022}}{i^{2022}}\right] =\mathrm{e}^{2022\cdot 2^{2022}}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1106、 5、 已知 $\displaystyle A$ 是正定实对称矩阵. (1)、 证明: 存在唯一的正定实对称阵 $\displaystyle H$, 使得 $\displaystyle A=H-H^{-1}$. (2)、 给定任意正数 $\displaystyle r$, 求所有 $\displaystyle r$ 可能的值, 使存在对称可逆方阵 $\displaystyle R$, 有 $\displaystyle A=R-R^{-1}$ 且 $\displaystyle R$ 的符号差为 $\displaystyle r$. (复旦大学2023年代数(第4,6,7,8题没做)考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 由 $\displaystyle A$ 正定知存在正交阵 $\displaystyle P$ 使得
$$\begin{aligned} A=P\mathrm{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_n)P^\mathrm{T}, \lambda_i > 0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
设 $\displaystyle a_i=\frac{\lambda_i+\sqrt{\lambda_i^2+4}}{2}$, 则 $\displaystyle a_i-\frac{1}{a_i}=\lambda_i$. 设
$$\begin{aligned} H=P\mathrm{diag}(a_1,\cdots,a_n)P^\mathrm{T}, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则 $\displaystyle H$ 正定, 且 $\displaystyle A=H-H^{-1}$. 往证唯一性. 设 $\displaystyle H$ 满足题设, 则 $\displaystyle AH=HA$,
$$\begin{aligned} &A=H-H^{-1}\Rightarrow AH=H^2-E_n\\\\ \Rightarrow& H^2-AH=E_n\Rightarrow \left(H-\frac{A}{2}\right)^2=E_n+\frac{A^2}{4}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由 $\displaystyle H$ 正定知 $\displaystyle H-\frac{A}{2}$ 的特征值 $\displaystyle > -\frac{A}{2}$ 的相应特征值, 而 $\displaystyle -\sqrt{E_n+\frac{A^2}{4}}$ 的特征值 $\displaystyle < -\frac{A}{2}$ 的相应特征值. 故
$$\begin{aligned} H-\frac{A}{2}=\sqrt{E_n+\frac{A^2}{4}} \Rightarrow H=\frac{A}{2}+\sqrt{E_n+\frac{A^2}{4}}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
唯一性得证. (2)、 取
$$\begin{aligned} R=P\mathrm{diag}(a_1,\cdots,a_n)P^\mathrm{T}, a_i\in\left\{\frac{\lambda_i+\sqrt{\lambda_i^2+4}}{2}, \frac{\lambda_i-\sqrt{\lambda_i^2+4}}{2}\right\}, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则 $\displaystyle R-R^{-1}=A$, 而正惯性指数 $\displaystyle 0\leq p\leq n$, 负惯性指数 $\displaystyle q=n-p$, 符号差
$$\begin{aligned} r=p-q=2p-n, 0\leq p\leq n. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是 $\displaystyle r$ 的可能取值为 $\displaystyle -n,2-n,4-n,\cdots,n$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1107、 (4)、 矩阵 $\displaystyle \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}3&1&&&\\\\ &3&&\\\\ &&5&\\\\ &&&5\end{array}\right)$ 的初等因子组为 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (广西大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle (\lambda-3)^2, \lambda-5, \lambda-5$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1108、 (8)、 三阶复方阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&0&1\\\\ 0&1&0\\\\ 1&0&0\end{array}\right)$ 的最小多项式为 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (广西大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle A$ 的特征值为 $\displaystyle 1,1,-1$. 由 $\displaystyle E-A\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&-1\\\\ 0&0&0\\\\ 0&0&0\end{array}\right)$ 知 [由秩可判定出严格上三角部分 $\displaystyle 1$ 的个数] $\displaystyle A$ 的 Jordan 标准形为 $\displaystyle \mathrm{diag}(1,1,-1)$, 最小多项式为 $\displaystyle (\lambda-1)(\lambda+1)$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1109、 4、 设 $\displaystyle A=(a_{ij})$ 为实数域上的 $\displaystyle n$ 阶矩阵, 证明: (1)、 若 $\displaystyle |a_{ii}| > \sum_{j\neq i}|a_{ij}|, i=1,\cdots,n$, 则 $\displaystyle |A|\neq 0$; (2)、 若 $\displaystyle a_{ii} > \sum_{j\neq i}|a_{ij}|, i=1,\cdots,n$, 则 $\displaystyle |A| > 0$. (广西大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 用反证法.
$$\begin{aligned} |A|=0\Rightarrow& \mbox{ $\displaystyle Ax=0$ 有非零解 $\displaystyle x=(x_1,\cdots,x_n)^\mathrm{T}$}\\\\ \Rightarrow& \sum_{j=1}^n a_{kj}x_j=0\left(|x_k|=\max_{1\leq i\leq n} |x_i| > 0\right)\\\\ \Rightarrow& |x_k|=\left|-\sum_{j\neq k} \frac{a_{kj}}{a_{kk}}x_j\right|\leq \sum_{j\neq k}\frac{|a_{kj}|}{|a_{kk}|}|x_j| \leq |x_{k}| \frac{\sum_{j\neq k}|a_{kj}|}{|a_{kk}|} < |x_{k}|\\\\ \Rightarrow&\mbox{矛盾! 故有结论}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2)、 设 $\displaystyle \lambda$ 是 $\displaystyle A$ 的实特征值, 则
$$\begin{aligned} &\exists\ x\neq 0,\mathrm{ s.t.} Ax=\lambda x\\\\ \Rightarrow&\sum_{j=1}^n a_{kj}x_j=\lambda x_k\left(|x_k|=\max_{1\leq i\leq n}|x_i| > 0\right)\\\\ \Rightarrow& (\lambda-a_{kk})x_k=\sum_{j\neq k} a_{kj}x_j\\\\ \Rightarrow& |\lambda-a_{kk}|\leq \sum_{j\neq k} |a_{kj}|\frac{|x_j|}{|x_k|} \leq \sum_{j\neq k} |a_{kj}|\\\\ \Rightarrow&\lambda \geq a_{kk}-\sum_{j\neq k} |a_{kj}| > 0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
又 $\displaystyle A$ 是实矩阵, 其虚特征值成对出现, 而可设它的全部特征值为
$$\begin{aligned} \lambda_1,\cdots,\lambda_s, a_1+b_1\mathrm{ i}, a_1-b_1\mathrm{ i}, \cdots, a_{n-s}+b_{n-s}\mathrm{ i}, a_{n-s}-b_{n-s}\mathrm{ i}, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
其中 $\displaystyle \lambda_i\in\mathbb{R}, a_j,b_j\in\mathbb{R}, b_j\neq 0$. 如此,
$$\begin{aligned} |A|=\prod_{i=1}^s \lambda_i\cdot \prod_{j=1}^{n-s} (a_i^2+b_i^2) > 0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1110、 6、 设 $\displaystyle A,B$ 均为 $\displaystyle n$ 阶正定矩阵, 证明: $\displaystyle AB$ 为正定矩阵的充分必要条件是 $\displaystyle AB=BA$. (广西大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 $\displaystyle \Leftarrow$: 由 $\displaystyle (AB)^\mathrm{T}=B^\mathrm{T} A^\mathrm{T} =BA$ 知 $\displaystyle AB$ 是实对称矩阵. 设 $\displaystyle \lambda\in\mathbb{R}$ 是 $\displaystyle AB$ 的任一特征值, $\displaystyle 0\neq\alpha\in\mathbb{R}^n$ 为对应的特征向量, 则
$$\begin{aligned} &AB\alpha=\lambda \alpha\Rightarrow B\alpha=\lambda A^{-1}\alpha\\\\ \Rightarrow& 0 < \alpha^\mathrm{T} B\alpha=\lambda\alpha^\mathrm{T} A^{-1}\alpha\Rightarrow \lambda=\frac{\alpha^\mathrm{T} B\alpha}{\alpha^\mathrm{T} A^{-1}\alpha} > 0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
既然实对称矩阵 $\displaystyle AB$ 的特征值都大于 $\displaystyle 0$, 那么 $\displaystyle AB$ 就是正定的. (2)、 $\displaystyle \Rightarrow$: 若 $\displaystyle AB$ 正定, 则 $\displaystyle AB$ 实对称, 而 $\displaystyle AB=(AB)^\mathrm{T}=B^\mathrm{T} A^\mathrm{T}=BA$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1111、 2、 设 $\displaystyle n$ 阶实矩阵 $\displaystyle A$ 满足 $\displaystyle A^2+A+E=0$, $\displaystyle E$ 为单位阵. (1)、 求证: $\displaystyle A$ 没有实特征值; (2)、 求证: 对任意实数 $\displaystyle a$, $\displaystyle A-aE$ 均可逆. (哈尔滨工程大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 用反证法. 若 $\displaystyle A$ 有实特征值 $\displaystyle \lambda$, 则由题设知 $\displaystyle 0=\lambda^2+\lambda+1$. 这与方程 $\displaystyle x^2+x+1=0$ 的根为 $\displaystyle \frac{-1\pm \sqrt{3}\mathrm{ i}}{2}$ 为虚根矛盾. 故有结论. (2)、 设 $\displaystyle f(x)=x^2+x+1, g(x)=x-a$, 则由 $\displaystyle f(a)=a^2+a+1 > 0$ 知 $\displaystyle (f,g)=1$, 而
$$\begin{aligned} &\exists\ u,v,\mathrm{ s.t.} uf+vg=1 \Rightarrow E=u(A)f(A)+v(A)g(A)=v(A)g(A)\\\\ \Rightarrow& g(A)=A-aE\mbox{可逆}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1112、 3、 设 $\displaystyle \alpha$ 是非零的 $\displaystyle n$ 维实列向量, $\displaystyle E$ 为单位阵, $\displaystyle A=E-2\frac{\alpha\alpha^\mathrm{T}}{\alpha^\mathrm{T} \alpha}$. (1)、 求证: $\displaystyle A$ 为正交矩阵; (2)、 求证: $\displaystyle A$ 可相似对角化, 并求与 $\displaystyle A$ 相似的对角矩阵 $\displaystyle \varLambda$. (哈尔滨工程大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle \eta_1=\frac{\alpha}{|\alpha|}$, 则 $\displaystyle A=E-2\eta_1\eta_1^\mathrm{T}$. 将 $\displaystyle \eta_1$ 扩充为 $\displaystyle \mathbb{R}^n$ 的一组标准正交基 $\displaystyle \eta_1,\cdots,\eta_n$, 则
$$\begin{aligned} A\eta_1=\eta_1-2\eta_1=-\eta_1, A\eta_i=\eta_i\left(2\leq i\leq n\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故设 $\displaystyle P=(\eta_1,\cdots,\eta_n)$ 后, $\displaystyle P$ 为正交矩阵, 且
$$\begin{aligned} AP=P\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-1&\\\\ &E_{n-1}\end{array}\right)\Rightarrow P^\mathrm{T} AP=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-1&\\\\ &E_{n-1}\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle A$ 可对角化. 进一步, $\displaystyle A=P\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-1&\\\\ &E_{n-1}\end{array}\right)P^\mathrm{T}$ 蕴含
$$\begin{aligned} A^\mathrm{T} A=P\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-1&\\\\ &E_{n-1}\end{array}\right)P^\mathrm{T} \cdot P\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-1&\\\\ &E_{n-1}\end{array}\right)P^\mathrm{T} =E_n. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle A$ 是正交矩阵.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1113、 10、 设 $\displaystyle 3$ 阶方阵 $\displaystyle A$ 满足 $\displaystyle A^\star=A^\mathrm{T}$, 其中 $\displaystyle A^\star$ 为 $\displaystyle A$ 的伴随矩阵, $\displaystyle A^\mathrm{T}$ 为 $\displaystyle A$ 的转置矩阵. 求 $\displaystyle |A^2-A|$. (哈尔滨工程大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由
$$\begin{aligned} \mathrm{rank} A=\mathrm{rank} (A^\mathrm{T})=\mathrm{rank} (A^\star)=\left\{\begin{array}{llllllllllll}3,&\mathrm{rank} A=3,\\\\ 1,&\mathrm{rank} A=2,\\\\ 0,&\mathrm{rank} A\leq 1\end{array}\right. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle \mathrm{rank} A=3\Rightarrow A$ 可逆, 且
$$\begin{aligned} &|A|E=AA^\star=AA^\mathrm{T}\Rightarrow |A|^3=|A|\cdot |A^\mathrm{T}|=|A|^2\\\\ \Rightarrow& |A|=1 \Rightarrow AA^\mathrm{T}=E, |A^\star|=|A^\mathrm{T}|=|A|=1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle A$ 是正交阵,
$$\begin{aligned} &|A-E|=|A^\mathrm{T}|\cdot |A-E|=|E-A^\mathrm{T}|=|E-A|=(-1)^3 |A-E|\\\\ \Rightarrow& |A-E|=0, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
$$\begin{aligned} |A^2-A|=|A^\star|\cdot |A^2-A| =||A|A-A^\mathrm{T} A| =|A-E|=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1114、 6、 若 $\displaystyle A$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{P}$ 上的 $\displaystyle m\times n$ 级矩阵, 其中 $\displaystyle m\geq n$. 证明以下命题等价: (1)、 $\displaystyle \mathrm{rank} A=n$; (2)、 存在可逆矩阵 $\displaystyle P_{m\times m}$, 使得 $\displaystyle PA=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E_n\\\\0\end{array}\right)_{m\times n}$; (3)、 存在矩阵 $\displaystyle Q_{n\times m}$, 使得 $\displaystyle QA=E_n$; (4)、 对任意的矩阵 $\displaystyle B_{n\times p}$, $\displaystyle \mathrm{rank}(AB)=\mathrm{rank} B$; (5)、 对任意的矩阵 $\displaystyle B_{n\times p}, C_{n\times p}$, 若 $\displaystyle AB=AC$, 则 $\displaystyle B=C$. (哈尔滨工业大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 $\displaystyle (1)\Rightarrow (2)$: 由 $\displaystyle \mathrm{rank} A=n$ 知 $\displaystyle A$ 的行向量组的秩为 $\displaystyle n$, 通过行调换 (即左乘初等矩阵) 的方法可让 $\displaystyle A$ 的前 $\displaystyle n$ 行线性无关, 其余 $\displaystyle n-m$ 行都是这 $\displaystyle n$ 行的线性组合; 即存在可逆矩阵 $\displaystyle Q$ 使得
$$\begin{aligned} QA=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}B_{n\times n}\\\\ C_{(m-n)\times n}B_{n\times n}\end{array}\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
其中 $\displaystyle B$ 可逆.令 $\displaystyle P=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E_n&0\\\\ -CB&E_{m-n}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}B^{-1}&\\\\ &E_{m-n}\end{array}\right)Q$, 则
$$\begin{aligned} PA=&\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E_n&0\\\\ -CB&E_{m-n}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}B^{-1}&\\\\ &E_{m-n}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}B\\\\CB\end{array}\right)\\\\ =&\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E_n&0\\\\ -CB&E_{m-n}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E_n\\\\CB\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E_n\\\\0\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2)、 $\displaystyle (2)\Rightarrow (3)$: 设 $\displaystyle P=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}Q_{n\times m}\\\\S_{(m-n)\times n}\end{array}\right)$, 则
$$\begin{aligned} \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E_n\\\\0\end{array}\right)=PA=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}Q\\\\S\end{array}\right)A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}QA\\\\SA\end{array}\right)\Rightarrow QA=E_n. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(3)、 $\displaystyle (3)\Rightarrow (4)$: 对 $\displaystyle \forall\ B_{n\times p}$, $\displaystyle \mathrm{rank}(AB)\leq \mathrm{rank} B$,
$$\begin{aligned} \mathrm{rank} B=\mathrm{rank}(E_nB)=\mathrm{rank}(QAB)\leq \mathrm{rank}(AB). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle \mathrm{rank}(AB)=\mathrm{rank} B$. (4)、 $\displaystyle (4)\to (1)$: 取 $\displaystyle B=E_n$, 则
$$\begin{aligned} \mathrm{rank} A=\mathrm{rank}(A E_n)\stackrel{(4)}{=}\mathrm{rank} E_n=n. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(5)、 $\displaystyle (1)\Leftrightarrow (5)$:
$$\begin{aligned} &\mathrm{rank} A=n\Leftrightarrow Ax_{n\times 1}=0\mbox{只有零解} \Leftrightarrow AX_{n\times p}=0\mbox{只有零解}\\\\ \Leftrightarrow&\mbox{若 $\displaystyle A(B-C)=0$, 则 $\displaystyle B-C=0$}\Leftrightarrow \mbox{若 $\displaystyle AB=AC$, 则 $\displaystyle B=C$}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1115、 2、 设 $\displaystyle A^\star$ 是 $\displaystyle n$ 阶 ($n\geq 2$) 复方阵 $\displaystyle A$ 的伴随矩阵, 用 $\displaystyle \mathrm{rank} A$ 表示 $\displaystyle A$ 的秩. 证明: (1)、 $\displaystyle \mathrm{rank}(A^\star)=\left\{\begin{array}{llllllllllll}n,&\mathrm{rank} A=n,\\\\ 1,&\mathrm{rank} A=n-1,\\\\ 0,&\mathrm{rank} A < n-1.\end{array}\right.$ (2)、 证明: 若 $\displaystyle \mathrm{rank} A=n$, 那么存在复方阵 $\displaystyle B$ 是 $\displaystyle B^\star=A$. (合肥工业大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 (1-1)、 若 $\displaystyle \mathrm{rank} A=n$, 则 $\displaystyle |A|\neq 0$, 而由 $\displaystyle AA^\star=|A|E$ 知 $\displaystyle A^\star$ 可逆, $\displaystyle \mathrm{rank} A^\star=n$. (1-2)、 若 $\displaystyle \mathrm{rank} A=n-1$, 则 $\displaystyle A$ 有一个 $\displaystyle n-1$ 阶子式不等于 $\displaystyle 0$, 而 $\displaystyle A^\star$ (它的元素为 $\displaystyle A$ 的 $\displaystyle n-1$ 阶子式) 非零, $\displaystyle \mathrm{rank} A^\star\geq 1$. 再由 $\displaystyle AA^\star=|A|E=0$ 知 $\displaystyle A^\star$ 的列向量组是 $\displaystyle Ax=0$ 的解向量. 故 $\displaystyle \mathrm{rank} A^\star\leq n-\mathrm{rank} A=1$. 故 $\displaystyle \mathrm{rank} A^\star=1$. (1-3)、 若 $\displaystyle \mathrm{rank} A < n-1$, 则 $\displaystyle A$ 的所有 $\displaystyle n-1$ 阶子式都为 $\displaystyle 0$, 而 $\displaystyle A^\star=0\Rightarrow \mathrm{rank} A^\star=0$. (2)、 若 $\displaystyle \mathrm{rank} A=n$, 则 $\displaystyle A$ 可逆,
$$\begin{aligned} AA=|A|E\Rightarrow |A|\cdot |A^\star|=|A|^n\Rightarrow |A^\star|=|A|^{n-1}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
上述用 $\displaystyle kA^\star$ 代替 $\displaystyle A$ 得
$$\begin{aligned} &(kA^\star)(kA^\star)^\star=|kA^\star|E=k^n|A^\star|E=k^n |A|^{n-1}E\\\\ \Rightarrow&A^\star(kA^\star)^\star=(k^{n-1}|A|^{n-2})\cdot |A|E. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
取 $\displaystyle k=\frac{1}{|A|^\frac{n-2}{n-1}}$, 则
$$\begin{aligned} A^\star(kA^\star)^\star=|A|E=A^\star A \Rightarrow (kA^\star)^\star=A. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
令 $\displaystyle B=\frac{1}{|A|^\frac{n-2}{n-1}}A^\star$, 则 $\displaystyle B^\star=A$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1116、 5、 $\displaystyle A$ 为 $\displaystyle n$ 阶方阵. 证明: 存在可逆矩阵 $\displaystyle B$ 与幂等矩阵 $\displaystyle C$, 使得 $\displaystyle A=BC$. ($C$ 知满足 $\displaystyle C^2=C$ 的 $\displaystyle n$ 阶方阵.) (合肥工业大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 一言以蔽之, 任意矩阵可分解为可逆矩阵与幂等矩阵的乘积. 设 $\displaystyle \mathrm{rank} A=r$, 则存在可逆矩阵 $\displaystyle P,Q$ 使得
$$\begin{aligned} A&=P\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E_r&\\\\ &0\end{array}\right)Q=PQ\cdot Q^{-1}\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E_r&\\\\ &0\end{array}\right)Q. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
令
$$\begin{aligned} B=PQ, C=Q^{-1}\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E_r&\\\\ &0\end{array}\right)Q, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则 $\displaystyle B$ 可逆, $\displaystyle C$ 幂等 ($C^2=C$), 且 $\displaystyle A=BC$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1117、 8、 求
$$\begin{aligned} A(\lambda)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\lambda&&&&a_0\\\\ -1&\lambda&&&a_1\\\\ &\ddots&\ddots&&\vdots\\\\ &&\ddots&\lambda&a_{n-2}\\\\ &&&-1&\lambda+a_{n-1}\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
的行列式因子与不变因子. (合肥工业大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 按第一行展开知
$$\begin{aligned} |A(\lambda)|=&\lambda \left|\begin{array}{cccccccccc}\lambda&&&&a_1\\\\ -1&\lambda&&&a_2\\\\ &\ddots&\ddots&&\vdots\\\\ &&\ddots&\lambda&a_{n-2}\\\\ &&&-1&\lambda+a_{n-1}\end{array}\right|+(-1)^{1+n}a_0\cdot(-1)^{n-1}\\\\ =&\cdots=\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+\cdots+a_1\lambda+a_0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
又由 $\displaystyle A(\lambda)$ 的左下角有一个 $\displaystyle n-1$ 阶子式 $\displaystyle \left|\begin{array}{cccccccccc}-1&\lambda&&&\\\\ &\ddots&\ddots&\\\\ &&\ddots&\lambda\\\\ &&&-1\end{array}\right|=(-1)^{n-1}$ 知 $\displaystyle A(\lambda)$ 的行列式因子为
$$\begin{aligned} 1,\cdots,1,\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+\cdots+a_1\lambda+a_0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
从而不变因子也是
$$\begin{aligned} 1,\cdots,1,\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+\cdots+a_1\lambda+a_0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1118、 4、 设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}a&1&0\\\\ 1&a&-1\\\\ 0&1&a\end{array}\right)$, 且 $\displaystyle A^3=0$. 求 $\displaystyle a$. 若矩阵 $\displaystyle X$ 满足
$$\begin{aligned} X-AX-XA^2+AXA^2=E. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
求 $\displaystyle X$. (河北工业大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 易知 $\displaystyle A$ 的特征值为 $\displaystyle a,a,a$. 由 $\displaystyle A^3=0$ 即知
$$\begin{aligned} a^3=0\Rightarrow a=0\Rightarrow A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&1&0\\\\ 1&0&-1\\\\ 0&1&0\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
进而
$$\begin{aligned} &\quad \ E=(E-A)X-(E-A)XA^2 \stackrel{\mbox{左乘}(E-A)^{-1}}{\Rightarrow}(E-A)^{-1}=X-XA^2\\\\ &\stackrel{\mbox{右乘}(E-A)}{\Rightarrow}E=X(E-A)-XA^2(E-A) \xlongequal{\tiny\mbox{题设}} X(E-A-A^2)\\\\ &\Rightarrow X=(E-A-A^2)^{-1}=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}3&1&-2\\\\ 1&1&-1\\\\ 2&1&-1\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1119、 5、 设 $\displaystyle A,B$ 分别为 $\displaystyle m\times n, n\times m$ 阶矩阵, 且 $\displaystyle E_m-AB$ 可逆. 求证: $\displaystyle E_n-BA$ 可逆, 并求 $\displaystyle (E_n-BA)^{-1}$. (河北工业大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由
$$\begin{aligned} \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E&0\\\\ B&E\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E&A\\\\ -B&E\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E&-A\\\\ 0&E\end{array}\right)=&\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E&0\\\\ 0&E+BA\end{array}\right),\\\\ \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E&-A\\\\ 0&E\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E&A\\\\ -B&E\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E&0\\\\ B&E\end{array}\right)=&\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E+AB&0\\\\ 0&E\end{array}\right)\qquad(I) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
即知
$$\begin{aligned} |E_n-BA|=|E_m-AB|. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle E_m-AB$ 可逆蕴含 $\displaystyle E_n-BA$ 也可逆. 进一步, 由
$$\begin{aligned} &(E_n-BA)\left[E_n+B(E_m-AB)^{-1}A\right]\\\\ =&E_n-BA+B(E_m-AB)^{-1}A-BAB(E_m-AB)^{-1}A\\\\ =&E_n-BA+B\left(E_m-AB\right)(E_m-AB)^{-1}A\\\\ =&E_n-BA+BA=E_n \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知
$$\begin{aligned} (E_n-BA)^{-1}=E_n+B(E_m-AB)^{-1}A. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1120、 1、 填空题. (1)、 $\displaystyle n$ 阶矩阵 $\displaystyle A$ 的每行元素之和为 $\displaystyle 1$, 则 $\displaystyle A^{-1}$ 的每行元素之和为 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (黑龙江大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle e=(1,\cdots,1)^\mathrm{T}$, 则
$$\begin{aligned} Ae=e\Rightarrow e=A^{-1}e\Rightarrow A^{-1} \mbox{的每行元素之和为}1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1121、 (3)、 设三阶矩阵 $\displaystyle A\sim \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&0&0\\\\ 0&2&1\\\\ 0&0&2\end{array}\right)$, 则 $\displaystyle A$ 的最小多项式为 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (黑龙江大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle (\lambda-2)^2$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1122、 (4)、 设 $\displaystyle A$ 是三阶矩阵, $\displaystyle B$ 是 $\displaystyle 2$ 阶矩阵, $\displaystyle |A|=2, |B|=1$, 则 $\displaystyle \left|\begin{array}{cccccccccc}0&2A\\\\ B&0\end{array}\right|=\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (黑龙江大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 将 $\displaystyle A$ 的第 $\displaystyle i$ 列向左移动 $\displaystyle 2$ 列, $\displaystyle i=1,2,3$, 得
$$\begin{aligned} \mbox{原式}=(-1)^{2\times 3}\left|\begin{array}{cccccccccc}2A&\\\\ &B\end{array}\right|=2^3\left|\begin{array}{cccccccccc}A&\\\\ &B\end{array}\right|=2^3\cdot 2\cdot 1=16. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1123、 2、 计算题. (1)、 设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&1&3\\\\ 0&2&1\\\\ 0&0&2\end{array}\right)$, 计算 $\displaystyle A^{100}$. (黑龙江大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 易知 $\displaystyle A$ 的特征值为 $\displaystyle 2$. 由 $\displaystyle \mathrm{rank}(A-2E)=2$ 在 $\displaystyle A$ 的 Jordan 标准形 $\displaystyle J$ 满足 $\displaystyle \mathrm{rank}(J-2E)=2$. 这表明 $\displaystyle J=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&1&\\\\ &2&1\\\\ &&2\end{array}\right)$, 且存在可逆矩阵 $\displaystyle P=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$, 使得 $\displaystyle P^{-1}AP=J$, 即
$$\begin{aligned} (A-2E)\alpha_1=0, (A-2E)\alpha_2=\alpha-1, (A-2E)\alpha_3=\alpha_2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由 $\displaystyle A-2E\to \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&1&0\\\\ 0&0&1\\\\ 0&0&0\end{array}\right)$ 知可取 $\displaystyle \alpha_1=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1\\\\0\\\\0\end{array}\right)$. 又由
$$\begin{aligned} (A-2E,\alpha_1)\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&1&0&1\\\\ 0&0&1&0\\\\ 0&0&0&0\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知可取 $\displaystyle \alpha_2=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0\\\\1\\\\0\end{array}\right)$. 再由
$$\begin{aligned} (A-2E,\alpha_2)\to \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&1&0&-3\\\\ 0&0&1&1\\\\ 0&0&0&0\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知可取 $\displaystyle \alpha_3=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0\\\\-3\\\\1\end{array}\right)$. 故
$$\begin{aligned} P=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&0\\\\ 0&1&-3\\\\ 0&0&1\end{array}\right)\Rightarrow A=PJP^{-1} \Rightarrow A^n=PJ^n P^{-1}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
设 $\displaystyle N=J-2E$, 则
$$\begin{aligned} J^n&=(2E+N)^n=2^nE+n 2^{n-1}N+C_n^2 2^{n-2}N^2\\\\ &=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2^n&n2^{n-1}&n(n-1)2^{n-3}\\\\ 0&2^n&n2^{n-1}\\\\ 0&0&2^n\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是
$$\begin{aligned} &A^n=PJ^nP^{-1}=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2^n&n2^{n-1}&n(n+11)2^{n-3}\\\\ 0&2^n&n2^{n-1}\\\\ 0&0&2^n\end{array}\right)\\\\ \Rightarrow& A^{100}=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2^{100}&100\cdot 2^{99}&11100\cdot 2^{97}\\\\ 0&2^{100}&100\cdot 2^{99}\\\\ 0&0&2^{100}\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1124、 3、 设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&2&0\\\\ 2&0&2\\\\ 0&2&1\end{array}\right)$. 求正交矩阵 $\displaystyle Q$, 使得 $\displaystyle Q^\mathrm{T} AQ$ 为对角矩阵. [$A$ 的特征值带根号. 回忆版有点问题. 考研试题一般不会出现这种情况. 如果你有原版, 请告知我, 我修改就是.] (黑龙江大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle A$ 的特征值为 $\displaystyle \frac{1\pm \sqrt{33}}{2},1$. 感觉回忆版有点问题. 考研试题一般不会出现这种情况. 如果你有原版, 请告知我, 我修改就是.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1125、 5、 证明题. (1)、 证明: $\displaystyle n$ 阶矩阵 $\displaystyle A$ 既可以表示成幂等矩阵与可逆矩阵之积, 也可表示成对称矩阵与可逆矩阵之积. (黑龙江大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle \mathrm{rank} A=r$, 则存在可逆矩阵 $\displaystyle P,Q$ 使得
$$\begin{aligned} A=P\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E_r&0\\\\ 0&0\end{array}\right)Q. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
令
$$\begin{aligned} B=P\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E_r&0\\\\ 0&0\end{array}\right)P^{-1}, C=PQ, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则 $\displaystyle B$ 幂等, $\displaystyle C$ 可逆, 且 $\displaystyle A=BC$. 再令
$$\begin{aligned} B=P\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E_r&0\\\\ 0&0\end{array}\right)P^\mathrm{T}, C=(P^\mathrm{T})^{-1}Q, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则 $\displaystyle B$ 实对称, $\displaystyle C$ 可逆, 且 $\displaystyle A=BC$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1126、 (3)、 证明: 实对称矩阵的特征值为实数. (黑龙江大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle \lambda\in\mathbb{C}$ 是实对称矩阵 $\displaystyle A$ 的特征值, $\displaystyle 0\neq\alpha\in\mathbb{C}^n$ 是对应的特征向量, 则 $\displaystyle A\alpha=\lambda \alpha$, 而
$$\begin{aligned} \bar{\alpha}^\mathrm{T} A\alpha=\left\{\begin{array}{llllllllllll}\bar{\alpha}^\mathrm{T} (\lambda \alpha)=\lambda |\alpha|^2,\\\\ =(\bar{\alpha}^\mathrm{T} A\alpha)^\mathrm{T} =\alpha^\mathrm{T} A^\mathrm{T} \bar{\alpha} =\alpha^\mathrm{T} A\bar{\alpha} =\alpha^\mathrm{T} \overline{A\alpha} =\bar{\lambda}|\alpha|^2.\end{array}\right. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle (\lambda-\bar{\lambda})|\alpha|^2=0\Rightarrow \lambda-\bar{\lambda}=0\Rightarrow\lambda\in\mathbb{R}$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1127、 9、 $\displaystyle A,B$ 是实对称矩阵, $\displaystyle A$ 的特征值全大于 $\displaystyle 1$, $\displaystyle B$ 的特征值全大于 $\displaystyle 2$. 证明: $\displaystyle A+B$ 的特征值全大于 $\displaystyle 3$. (黑龙江大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由 $\displaystyle A$ 实对称知存在正交阵 $\displaystyle P$ 使得
$$\begin{aligned} &P^\mathrm{T} AP=\mathrm{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_n), \quad \lambda_i > 1\\\\ \Rightarrow&P^\mathrm{T} (A-E)P=\mathrm{diag}(\lambda_1-1,\cdots,\lambda_n-1). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle A-E$ 正定. 同理, $\displaystyle B-2E$ 正定. 于是 $\displaystyle (A+B)-3E=(A-E)+(B-2E)$ 正定, 它的特征值全大于 $\displaystyle 0$. 这表明 $\displaystyle A+B$ 的特征值全大于 $\displaystyle 3$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
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发表于 2023-3-5 13:09:54