张祖锦2023年数学专业真题分类70天之第69天
1565、 (4)、 设 $\displaystyle \sigma$ 是 $\displaystyle n$ 维欧氏空间 $\displaystyle V$ 上的对称变换, 则 $\displaystyle \dim(\mathrm{im}\sigma\cap \ker\sigma)=\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (上海大学2023年高等代数考研试题) [欧氏空间 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由
$$\begin{aligned} &\alpha\in \mathrm{im}\sigma\cap \ker \sigma\Rightarrow \exists\ \beta\in V,\mathrm{ s.t.} \alpha=\sigma(\beta); \sigma(\alpha)=0\\\\ \Rightarrow&(\alpha,\alpha)=\left(\sigma(\beta),\alpha\right)=\left(\beta,\sigma(\alpha)\right)=\left(\beta,0\right)=0\Rightarrow \alpha=0 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle \mathrm{im}\sigma\cap \ker\sigma=\left\{0\right\}\Rightarrow \dim\left(\mathrm{im}\sigma\cap \ker\sigma\right)=0$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1566、 6、 (20 分) 设 $\displaystyle U,W$ 是欧氏空间 $\displaystyle V$ 的两个子空间, 考虑下列两个等式:
$$\begin{aligned} \mbox{甲}: (U+W)^\perp=U^\perp+W^\perp, \mbox{乙}: (U+W)^\perp=U^\perp\cap W^\perp. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
证明其中成立的等式, 并举例证伪其中不成立的等式. (上海交通大学2023年高等代数考研试题) [欧氏空间 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 乙对. 设 $\displaystyle \alpha\in (U+W)^\perp$, 则
$$\begin{aligned} &\alpha\perp \beta, \forall\ \beta\in U+W\\\\ \stackrel{U,W\subset U+W}{\Rightarrow}& \left\{\begin{array}{llllllllllll}\alpha\perp \beta, \forall\ \beta\in U\Rightarrow \alpha\in U^\perp\\\\ \alpha\perp \beta, \forall\ \beta\in W\Rightarrow \alpha\in W^\perp\end{array}\right.\\\\ \Rightarrow&\alpha\in U^\perp\cap W^\perp. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这就证明了 $\displaystyle (U+W)^\perp\subset U^\perp \cap W^\perp$. 再设 $\displaystyle \alpha\in U^\perp \cap W^\perp$, 则
$$\begin{aligned} &\alpha\perp \beta_1, \forall\ \beta_1\in U; \alpha\perp \beta_2, \forall\ \beta_2\in W\\\\ \Rightarrow& \alpha\perp(\beta_1+\beta_2), \forall\ \beta_1+\beta_2\in U+W \Rightarrow \alpha\in (U+W)^\perp. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这就证明了 $\displaystyle U^\perp \cap W^\perp\subset (U+W)^\perp$. 综上即知结论成立. (2)、 甲错. 比如对 $\displaystyle V=\mathbb{R}^3$, $\displaystyle U=L(e_1), W=L(e_2,e_3)$, 则
$$\begin{aligned} (U+W)^\perp=V^\perp=\left\{0\right\}, U^\perp+W^\perp=L(e_2,e_3)+L(e_1)=V. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1567、 5、 令
$$\begin{aligned} \alpha_1=&(1,0,-1,2,1), \\\\ \alpha_2=&(-1,1,0,0,1), \\\\ \alpha_3=&(-1,2,-1,2,3) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
为欧氏空间 $\displaystyle \mathbb{R}^5$ 中的三个向量, $\displaystyle V=L(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$. 求 $\displaystyle V$ 的正交补 $\displaystyle W$, 并求 $\displaystyle W$ 的一组标准正交基. (首都师范大学2023年高等代数考研试题) [欧氏空间 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /
$$\begin{aligned} &\beta\in W^\perp\Leftrightarrow\alpha_i\beta^\mathrm{T}=0, 1\leq i\leq 3\\\\ \Leftrightarrow& A\beta^\mathrm{T}=0, A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\alpha_1\\\\\alpha_2\\\\\alpha_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&-1&2&1\\\\ -1&1&0&0&1\\\\ -1&2&-1&2&3\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由
$$\begin{aligned} A\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&-1&2&1\\\\ 0&1&-1&2&2\\\\ 0&0&0&0&0\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle Ax=0$ 的基础解系为
$$\begin{aligned} \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1\\\\1\\\\1\\\\0\\\\0\end{array}\right), \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-2\\\\-2\\\\0\\\\1\\\\0\end{array}\right), \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-1\\\\-2\\\\0\\\\0\\\\1\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
将它们标准正交化, 并转置即得 $\displaystyle W^\perp$ 的一组标准正交基
$$\begin{aligned} &\left(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},0,0\right), \left(-\frac{2}{\sqrt{3}},-\frac{2}{\sqrt{3}},\frac{4}{\sqrt{3}},\frac{3}{\sqrt{3}}\right),\\\\ &\left(\frac{4}{\sqrt{231}},-\frac{7}{\sqrt{231}},\frac{3}{\sqrt{231}},-\frac{6}{\sqrt{231}},\frac{11}{\sqrt{231}}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1568、 6、 设 $\displaystyle \mathbb{R}^n$ 是所有 $\displaystyle n$ 维实列向量组成的线性空间, $\displaystyle M$ 是 $\displaystyle n$ 阶实方阵, 定义函数 $\displaystyle (-,-): \mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$ 为
$$\begin{aligned} (X,Y)=X^\mathrm{T} AY\in\mathbb{R}, \forall\ X, Y\in \mathbb{R}^n. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(1)、 证明: $\displaystyle (-,-)$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}^n$ 上的一个内积当且仅当存在可逆实矩阵 $\displaystyle B$, 使得 $\displaystyle A=B^\mathrm{T} B$; (2)、 对任意的 $\displaystyle \alpha\in\mathbb{R}^n$, 定义函数 $\displaystyle \rho_\alpha: \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ 为 $\displaystyle \rho_\alpha(X)=(\alpha,X)$, 定义映射 $\displaystyle \tau: \mathbb{R}^n\to (\mathbb{R}^n)^\star$ 为 $\displaystyle \alpha\mapsto \rho_\alpha$, 其中 $\displaystyle (\mathbb{R}^n)^\star$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}^n$ 的对偶空间. 证明: $\displaystyle \tau$ 是同构映射当且仅当 $\displaystyle A$ 可逆. (3)、 设 $\displaystyle A$ 是反对称的, 对 $\displaystyle \mathbb{R}^n$ 的任意子空间 $\displaystyle W$, 设
$$\begin{aligned} W^\perp=\left\{\alpha\in\mathbb{R}^n; (\alpha,\beta)=0, \forall\ \beta\in W\right\}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
证明:
$$\begin{aligned} \dim W+\dim W^\perp=n+\dim\left[W\cap (\mathbb{R}^n)^\perp\right]. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(四川大学2023年高等代数考研试题) [欧氏空间 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 $\displaystyle (\cdot,\cdot)$ 是双线性函数. 从而 $\displaystyle (\cdot,\cdot)$ 是内积当且仅当
$$\begin{aligned} \left\{\begin{array}{llllllllllll} &(X,Y)=(Y,X), \forall\ X,Y\Leftrightarrow e_i^\mathrm{T} Ae_j=e_jAe_i\forall\ i,j\Leftrightarrow a_{ij}=a_{ji},\\\\ \mbox{且}&\boxed{(X,X)\geq 0, (X,X)=0\Leftrightarrow X=0}\Leftrightarrow A\mbox{正定},\end{array}\right. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
进而当且仅当 $\displaystyle A$ 合同对于单位矩阵, 即存在可逆实矩阵 $\displaystyle B$, 使得 $\displaystyle A=B^\mathrm{T} B$. (2)、 由
$$\begin{aligned} &\tau(k\alpha+l\beta)(X)=\rho_{k\alpha+l\beta}(X) =(k\alpha+l\beta,X)=k(\alpha,X)+l(\beta,X)\\\\ =&k\rho_\alpha(X)+l\rho_\beta(X) =(k\tau_\alpha+l\tau_\beta)(X) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle \tau$ 是线性映射. 再者, $\displaystyle \tau$ 是同构 $\displaystyle \Leftrightarrow \tau$ 是单射 $\displaystyle \Leftrightarrow \ker\tau=\left\{0\right\}$
$$\begin{aligned} \Leftrightarrow&\mbox{若}\rho_\alpha(X)=0, \forall\ X, \mbox{则}\alpha=0 \Leftrightarrow \mbox{若}\alpha^\mathrm{T} AX=0, \forall\ X, \mbox{则}\alpha=0\\\\ \Leftrightarrow&\mbox{若}\alpha^\mathrm{T} A=0, \mbox{则}\alpha=0 \Leftrightarrow\mbox{若}A^\mathrm{T} \alpha=0, \mbox{则}\alpha=0 \Leftrightarrow A^\mathrm{T} \mbox{可逆}\Leftrightarrow A\mbox{可逆}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(3)、 由
$$\begin{aligned} W^\perp=&\left\{\alpha\in\mathbb{R}^n; \alpha^\mathrm{T} A\beta=0 \forall\ \beta\in W\right\} =\left[\mathrm{im}(A|_W)\right]^{\perp_1} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
[这里 $\displaystyle \perp_1$ 表示在标准内积下的正交补] 知
$$\begin{aligned} &\dim W+\dim W^\perp=\dim W+\dim \left[\mathrm{im}(A|_W)\right]^{\perp_1}\\\\ =&\dim W+n-\dim \mathrm{im}(A|_W) =n+\dim \ker(A|_W)\\\\ =&n+\dim\left\{\alpha\in W; A\alpha=0\right\}\\\\ =&n+\dim\left\{\alpha\in W; (e_i,\alpha)=e_i^\mathrm{T} A\alpha=0, \forall\ i\right\}\\\\ =&n+\dim\left\{\alpha\in W; \alpha\in (\mathbb{R}^n)^\perp\right\} =n+\dim\left[W\cap (\mathbb{R}^n)^\perp\right]. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1569、 7、 内积空间, $\displaystyle p_n(x)$ 为实系数多项式. 已知
$$\begin{aligned} (p_i,p_j)=0\left(i\neq j\right), \deg p_n=n. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(1)、 计算 $\displaystyle p_0,p_1,p_2$. (2)、 对任意正整数 $\displaystyle m$, 存在 $\displaystyle \alpha_m,\beta_m,\gamma_m$, 使得
$$\begin{aligned} xp_m=\alpha_mp_{m+1}+\beta_mp_{m+1}+\gamma_mp_{m+1}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
[题目不全, 跟锦数学微信公众号没法做哦.] (天津大学2023年高等代数考研试题) [欧氏空间 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / [题目不全, 跟锦数学微信公众号没法做哦.]跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1570、 8、 设 $\displaystyle V$ 是欧氏空间, $\displaystyle \alpha\in V$ 为非零单位向量, 定义镜面反射变换
$$\begin{aligned} \phi_\alpha(v)=v-2(\alpha,v)\alpha,\quad \forall\ v\in V. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
求证: (1)、 $\displaystyle \varphi_\alpha(v)$ 为正交变换. (2)、 若 $\displaystyle \beta,\gamma$ 互异且长度相同, 则存在镜面反射 $\displaystyle \phi_\alpha$ 使得 $\displaystyle \phi_\alpha(\beta)=\gamma$. (3)、 $\displaystyle V$ 中任一正交变换可以表示为不超过 $\displaystyle n$ 个镜面发射的乘积. (天津大学2023年高等代数考研试题) [欧氏空间 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 将 $\displaystyle \alpha$ 扩充为 $\displaystyle V$ 的一组标准正交 $\displaystyle \alpha,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$, 则 $\displaystyle \varphi_\alpha$ 在该标准正交基下的矩阵为
$$\begin{aligned} \mathrm{diag}(-1,1,\cdots,1). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这是一个正交矩阵, 而 $\displaystyle \varphi_\alpha$ 是正交变换. (2)、
$$\begin{aligned} &\varphi_{\frac{\gamma-\beta}{|\gamma-\beta|}}(\beta) =\beta-2\left(\frac{\gamma-\beta}{|\gamma-\beta|},\beta\right)\frac{\gamma-\beta}{|\gamma-\beta|}\\\\ =&\beta-2\left(\gamma-\beta,\beta\right)\frac{\gamma-\beta}{|\gamma-\beta|^2} =\beta-2\left[(\gamma,\beta)-(\beta,\beta)\right]\frac{\gamma-\beta}{\left(\gamma-\beta,\gamma-\beta\right)}\\\\ =&\beta-2\left[(\gamma,\beta)-1\right]\frac{\gamma-\beta}{2-2(\gamma,\beta)} =\beta+(\gamma-\beta) =\gamma. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(3)、 设 $\displaystyle \mathscr{A}$ 是 $\displaystyle V$ 的一个正交变换. 取定 $\displaystyle V$ 的一组标准正交基 $\displaystyle \xi_1,\cdots,\xi_n$, 则 $\displaystyle \eta_1=\mathscr{A}\xi_1,\cdots,\eta_n=\mathscr{A} \xi_n$ 也是 $\displaystyle V$ 的一组标准正交基. (3-1)、 若 $\displaystyle \forall\ i, \eta_i=\xi_i$, 则 $\displaystyle \mathscr{A}$ 是恒等变换. 作镜面反射 $\displaystyle \varphi_{\xi_1}(\alpha)=\alpha-2(\alpha,\xi_1)\xi_1$, 则 $\displaystyle \mathscr{A}=\varphi_{\xi_1}\circ \varphi_{\xi_1}$. (3-2)、 若 $\displaystyle \exists\ i_0,\mathrm{ s.t.} \eta_{i_0}\neq \xi_{i_0}$, 则不妨设 $\displaystyle i_0=1$. 因为 $\displaystyle \xi_1\neq \eta_1$, 我们可由第 2 步知存在镜面反射 $\displaystyle \varphi_1$, 将 $\displaystyle \xi_1$ 变为 $\displaystyle \eta_1$, 而保持其余 $\displaystyle \xi_i\ (2\leq i\leq n)$ 不动. 如果 $\displaystyle \xi_i=\eta_i, 2\leq i\leq n$, 则 $\displaystyle \mathscr{A}=\varphi_1$. 否则, 再作镜面反射 $\displaystyle \varphi_2$, 将 $\displaystyle \xi_2$ 变为 $\displaystyle \eta_2$, 保持其余向量不动. 如此继续下去, 即知 $\displaystyle \mathscr{A}$ 是至多 $\displaystyle n$ 个镜面反射的乘积.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1571、 5、 (20 分) $\displaystyle V$ 是实 $\displaystyle n$ 阶实对称矩阵构成的线性空间,
$$\begin{aligned} (A,B)=\mathrm{tr}(AB),\forall\ A,B\in V, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
其中 $\displaystyle \mathrm{tr}(AB)$ 为 $\displaystyle AB$ 的迹. (1)、 证明 $\displaystyle V$ 构成一欧氏空间; (2)、 求 $\displaystyle S=\left\{A\in V; \mathrm{tr} A=0\right\}$ 与 $\displaystyle S^\perp$ 的维数. (武汉大学2023年高等代数考研试题) [欧氏空间 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 由 (1-1)、 $\displaystyle (A,B)=\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA)=(B,A)$, (1-2)、 $\displaystyle (kA,B)=\mathrm{tr}(kAB)=k\mathrm{tr}(AB)=k(A,B)$, (1-3)、 $\displaystyle (A+B,C)=\mathrm{tr}\left((A+B)C\right) =\mathrm{tr}(AC)+\mathrm{tr}(BC)=(A,C)+(B,C)$, (1-4)、 $\displaystyle (A,A)=\mathrm{tr}(AA)=\mathrm{tr}(A^\mathrm{T} A)=\sum_{i,j=1}^n a_{ij}^2\geq 0$, 且
$$\begin{aligned} (A,A)=0\Leftrightarrow a_{ij}=0, \forall\ i,j\Leftrightarrow A=0 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle V$ 关于 $\displaystyle (A,B)$ 构成欧氏空间. (2)、 解关于 $\displaystyle a_{ij}, 1\leq i\leq j\leq n$ 的方程 $\displaystyle a_{11}+\cdots+a_{nn}=0$, 取 $\displaystyle a_{ij}, i < j; a_{ii}, 2\leq i\leq n$ 为自由变量知
$$\begin{aligned} S=L(E_{ij}+E_{ji}, 1\leq i < j\leq n; -E_{11}+E_{ii}, 2\leq i\leq n). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
从而
$$\begin{aligned} \dim S=&\sum_{i=1}^n \sum_{j=i+1}^n 1+(n-1)=\frac{(n+2)(n-1)}{2},\\\\ \dim S^\perp=&\frac{n(n+1)}{2}-\dim S=1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1572、 6、 在实值函数线性空间中, 定义内积
$$\begin{aligned} \left(f(x),g(x)\right)=\int_{-1}^1 f(x)g(x)\mathrm{ d} x,\quad \forall\ f(x),g(x)\in C[-1,1]. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
令
$$\begin{aligned} V_1=\mathrm{span}\left\{2,x+1,\sin^2x\right\}, V_2=\mathrm{span}\left\{1,x\right\}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(1)、 求 $\displaystyle V_1$ 和 $\displaystyle V_2$ 的基和维数. (2)、 设 $\displaystyle W=V_1\cap V_2$, 求 $\displaystyle W$ 的一组标准正交基和维数. (3)、 设 $\displaystyle f(x)=\sin x$, 并且 $\displaystyle f(x)=\alpha_1+\alpha_2$, 其中 $\displaystyle \alpha_1\in W, \alpha_2\perp W$. 求 $\displaystyle \alpha_1,\alpha_2$. (武汉理工大学2023年高等代数考研试题) [欧氏空间 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 (1-1)、 设 $\displaystyle k_1\cdot 2+k_2\cdot (x+1)+k_3\cdot \sin^2x=0$, 则取 $\displaystyle x=0,-1,1$ 后知
$$\begin{aligned} \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&1&0\\\\ 2&0&\sin^21\\\\ 2&2&\sin^21\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}k_1\\\\k_2\\\\k_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0\\\\0\\\\0\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由系数矩阵行列式 $\displaystyle =-4\sin^21\neq 0$ 知 $\displaystyle k_i=0$, 而 $\displaystyle 2,x+1,\sin^2x$ 线性无关, 是 $\displaystyle V_1$ 的一组基, $\displaystyle \dim V_1=3$. (1-2)、 设 $\displaystyle k_1\cdot 1+k_2\cdot x=0$, 则令 $\displaystyle x=0$ 知 $\displaystyle k_1=0\Rightarrow k_2x=0\Rightarrow k_2=0$, 而 $\displaystyle 1,x$ 线性无关, 是 $\displaystyle V_2$ 的一组基, $\displaystyle \dim V_2=2$. (2)、 由 $\displaystyle 1=\frac{1}{2}\cdot 2, x=(x+1)-\frac{1}{2}\cdot 2$ 知 $\displaystyle V_2\subset V_1$, $\displaystyle W=V_2=L(1,x)$. 注意到 $\displaystyle \int_{-1}^1 1\cdot x\mathrm{ d} x=0$, 我们知
$$\begin{aligned} \eta_1=\frac{1}{|1|}=\frac{1}{\sqrt{\displaystyle\int_{-1}^1 1^2\mathrm{ d} x}}=\frac{1}{\sqrt{2}}, \eta_2=\frac{x}{|x|}=\frac{x}{\sqrt{\displaystyle\int_{-1}^1 x^2\mathrm{ d} x}}=\sqrt{\frac{3}{2}}x \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
是 $\displaystyle W$ 的一组标准正交基, 且 $\displaystyle \dim W=2$. (3)、 设 $\displaystyle \alpha_1=k\cdot 1+l\cdot x$, 则
$$\begin{aligned} 0=&(\sin x-\alpha_1,1)=\int_{-1}^1 (\sin x-k-lx)\mathrm{ d} x=-2k,\\\\ 0=&(\sin x-\alpha_1,x)=\int_{-1}^1 (\sin x-k-lx)x\mathrm{ d} x=-\frac{2}{3}(l+3\cos 1-3\sin 1). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle k=0, l=3(\sin 1-\cos 1)$,
$$\begin{aligned} \alpha_1=3(\sin 1-\cos 1)x, \alpha_2=\sin x-\alpha_1=\sin x-3(\sin 1-\cos 1)x. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1573、 10、 (15 分) 设 $\displaystyle V$ 为 $\displaystyle n$ 维欧氏空间, $\displaystyle \sigma,\tau$ 为 $\displaystyle V$ 上的两个变换, 若 $\displaystyle \sigma$ 为正交变换, 且对任意的 $\displaystyle \alpha,\beta\in V$, 有
$$\begin{aligned} \left(\sigma(\alpha),\beta\right)=\left(\alpha,\tau(\beta)\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
证明: $\displaystyle \tau$ 也是 $\displaystyle V$ 上的正交变换. (西安电子科技大学2023年高等代数考研试题) [欧氏空间 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 取定 $\displaystyle V$ 的一组标准正交基 $\displaystyle \varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n$, 并设 $\displaystyle \sigma$ 在该基下的矩阵为 $\displaystyle A$, $\displaystyle \tau$ 在该基下的矩阵为 $\displaystyle B$, 则
$$\begin{aligned} \sigma(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n)&=(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n)A,\\\\ \tau(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n)&=(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n)B. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由 $\displaystyle \sigma$ 是正交变换知 $\displaystyle A$ 是正交矩阵. 又由
$$\begin{aligned} \left(\sigma(\varepsilon_i),\varepsilon_j\right)&=(a_{1i}\varepsilon_1+\cdots+a_{ni}\varepsilon_n,\varepsilon_j)=a_{ji},\\\\ \left(\varepsilon_i,\tau(\varepsilon_j)\right)&=(\varepsilon_i,b_{1j}\varepsilon_1+\cdots+b_{nj}\varepsilon_n)=b_{ij} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
及 $\displaystyle \left(\sigma(\alpha),\beta\right)=\left(\alpha,\tau(\beta)\right), \forall\ \alpha,\beta\in V$ 知
$$\begin{aligned} a_{ji}=b_{ij}\left(\forall\ 1\leq i,j\leq n\right) \Rightarrow B=A^\mathrm{T}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由 $\displaystyle A$ 是正交矩阵知 $\displaystyle B$ 也是正交矩阵. 这就证明了 $\displaystyle \tau$ 是 $\displaystyle V$ 上的正交变换.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1574、 11、 (10 分) 设 $\displaystyle \sigma,\tau$ 为欧氏空间 $\displaystyle V$ 上的两个线性变换, 对任意的 $\displaystyle \alpha,\beta\in V$, 有
$$\begin{aligned} \left(\sigma(\alpha),\sigma(\beta)\right)=\left(\tau(\alpha),\tau(\beta)\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
证明: $\displaystyle V_1=\sigma V$ 与 $\displaystyle V_2=\tau V$ 同构. (西安电子科技大学2023年高等代数考研试题) [欧氏空间 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由
$$\begin{aligned} \alpha\in\ker \sigma\Leftrightarrow& \sigma(\alpha)=0\Leftrightarrow 0=\left(\sigma(\alpha),\sigma(\alpha)\right)=\left(\tau(\alpha),\tau(\alpha)\right)\\\\ \Leftrightarrow& \tau(\alpha)=0\Leftrightarrow \ker \tau \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知
$$\begin{aligned} &\ker\sigma=\ker\tau\Rightarrow \dim \ker \sigma=\dim \ker \tau \Rightarrow \dim \mathrm{im}\sigma=\dim\mathrm{im} \tau. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
从而 $\displaystyle V_1=\sigma V$ 与 $\displaystyle V_2=\tau V$ 同构.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1575、 6、 (20 分) 已知 $\displaystyle \sigma$ 为欧氏空间 $\displaystyle V$ 上的对称变换, 若对任意的非零向量 $\displaystyle \alpha\in V$, 有 $\displaystyle \left(\sigma(\alpha),\alpha\right) > 0$, 则称 $\displaystyle \sigma$ 为正定的对称变换. 证明: 对称变换 $\displaystyle \sigma$ 是正定的当且仅当 $\displaystyle \sigma$ 的特征值全大于零. (西南财经大学2023年高等代数考研试题) [欧氏空间 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 取定 $\displaystyle V$ 的一组标准正交基 $\displaystyle \varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n$, 设 $\displaystyle \sigma$ 在该基下的矩阵为 $\displaystyle A$, 则由 $\displaystyle \sigma$ 是对称变换知 $\displaystyle A$ 实对称. 再者, $\displaystyle \forall\ \alpha=\sum_i x_i\varepsilon_i\in V,$
$$\begin{aligned} &\left(\sigma(\alpha),\alpha\right)=\left(\sum_i x_i\sigma(\varepsilon_i),\sum_j x_j\varepsilon_j\right) =\sum_{i,j}x_ix_j \left(\sigma(\varepsilon_i),\varepsilon_j\right)\\\\ =&\sum_{i,j}x_ix_j\left(\sum_k a_{ki}\varepsilon_k,\varepsilon_j\right) =\sum_{i,j}x_ix_ja_{ji}=x^\mathrm{T} Ax. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle \sigma$ 正定 $\displaystyle \Leftrightarrow A$ 正定 $\displaystyle \Leftrightarrow A$ 的特征值全大于 $\displaystyle 0\Leftrightarrow \sigma$ 的特征值全大于 $\displaystyle 0$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1576、 3、 (10 分) 设 $\displaystyle V$ 为有限维欧氏空间, 对任意 $\displaystyle \alpha,\beta\in V$, 内积记为 $\displaystyle (\alpha,\beta)$, $\displaystyle \mathscr{A}$ 是 $\displaystyle V$ 上的正交变换. 令
$$\begin{aligned} V_1=\left\{\alpha\in V; \mathscr{A}\alpha=\alpha\right\}, V_2=\left\{\beta-\mathscr{A}\beta; \beta\in V\right\}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
证明: $\displaystyle V_1,V_2$ 为 $\displaystyle V$ 的子空间, 且 $\displaystyle V=V_1\oplus V_2$. (西南交通大学2023年高等代数考研试题) [欧氏空间 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 对 $\displaystyle \forall\ k,l\in\mathbb{R}, \alpha,\beta\in V_1$,
$$\begin{aligned} \mathscr{A}(k\alpha+l\beta)=k\mathscr{A}\alpha+l\mathscr{A}\beta=k\alpha+l\beta\Rightarrow k\alpha+l\beta\in V_1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle V_1$ 是 $\displaystyle V$ 的子空间. 再者, 对 $\displaystyle \forall\ \alpha,\beta\in V$,
$$\begin{aligned} &(k\alpha+l\beta)-\mathscr{A}(k\alpha+l\beta) =k(\alpha-\mathscr{A}\alpha)+l(\beta-\mathscr{A}\beta)\in V_2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle V_2$ 也是 $\displaystyle V$ 的子空间. 由
$$\begin{aligned} &\alpha\in V_1\cap V_2\Rightarrow \mathscr{A}\alpha=\alpha; \exists\ \beta\in V,\mathrm{ s.t.} \alpha=\beta-\mathscr{A}\beta\\\\ \Rightarrow&\mathscr{A}\alpha=\alpha, \mathscr{A}\beta=\beta-\alpha \Rightarrow (\alpha,\beta)=\left(\mathscr{A}\alpha,\mathscr{A}\beta\right)=(\alpha,\beta-\alpha)\\\\ \Rightarrow& (\alpha,\alpha)=0\Rightarrow \alpha=0 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle V_1\cap V_2=\left\{0\right\}$. 从而 [$\mathscr{E}$ 是恒等变换]
$$\begin{aligned} \dim(V_1+V_2)=&\dim V_1+\dim V_2-\dim(V_1\cap V_2)\\\\ =&\dim \ker(\mathscr{E}-\mathscr{A})+\dim \mathrm{im} (\mathscr{E}-\mathscr{A})-0=n \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
蕴含 $\displaystyle V_1+V_2=V$. 联合 $\displaystyle V_1\cap V_2=\left\{0\right\}$ 即知 $\displaystyle V=V_1\oplus V_2$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1577、 11、 (15 分) 设 $\displaystyle \varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_5$ 是 $\displaystyle 5$ 维欧氏空间 $\displaystyle V$ 的一个标准正交基, $\displaystyle V_1=L(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$, 其中
$$\begin{aligned} \alpha_1=\varepsilon_1+\varepsilon_5, \alpha_2=\varepsilon_1-\varepsilon_2+\varepsilon_4, \alpha_3=2\varepsilon_1+\varepsilon_2+\varepsilon_3. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
求 $\displaystyle V_1$ 的一组标准正交基. (新疆大学2023年高等代数考研试题) [欧氏空间 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /
$$\begin{aligned} (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_5)A, A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1&2\\\\ 0&-1&1\\\\ 0&0&1\\\\ 0&1&0\\\\ 1&0&0\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
对 $\displaystyle A$ 的列向量施行 Gram-Schmidt 标准正交化过程得
$$\begin{aligned} \beta_1=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\frac{1}{\sqrt{2}}\\\\0\\\\0\\\\0\\\\\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right), \beta_2=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\frac{1}{\sqrt{10}}\\\\ -\frac{2}{\sqrt{10}}\\\\0\\\\\frac{2}{\sqrt{10}}\\\\-\frac{1}{\sqrt{10}}\end{array}\right), \beta_3=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\frac{1}{2}\\\\\frac{1}{2}\\\\\frac{1}{2}\\\\0\\\\-\frac{1}{2}\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle V_1$ 有一组标准正交基
$$\begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{2}}\varepsilon_1+\frac{1}{\sqrt{2}}\varepsilon_5, \frac{1}{\sqrt{10}}\varepsilon_1 -\frac{2}{\sqrt{10}}\varepsilon_2+\frac{2}{\sqrt{10}}\varepsilon_4-\frac{1}{\sqrt{10}}\varepsilon_5, \frac{1}{2}\varepsilon_1+\frac{1}{2}\varepsilon_2+\frac{1}{2}\varepsilon_3-\frac{1}{2}\varepsilon_5. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1578、 1、 填空题 (每题 6 分, 共 30 分). (1)、 在标准欧氏空间 $\displaystyle \mathbb{R}^3$ 中, $\displaystyle (1,0,-1)$ 与 $\displaystyle (1,1,0)$ 的夹角为 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (云南大学2023年高等代数考研试题) [欧氏空间 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle \alpha=(1,0,-1), \beta=(1,1,0)$, 则 $\displaystyle \alpha,\beta$ 的夹角 $\displaystyle \theta$ 满足
$$\begin{aligned} \cos\theta=\frac{\left(\alpha,\beta\right)}{\sqrt{(\alpha,\alpha)}\sqrt{(\beta,\beta)}}=\frac{1}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}} =\frac{1}{2}\Rightarrow \theta=\frac{\pi}{3}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1579、 5、 (15 分) 若欧氏空间 $\displaystyle \mathbb{R}[x]_3=\left\{\sum_{i=0}^2 a_ix^i; a_i\in\mathbb{R}\right\}$ 上的内积 $\displaystyle (\cdot,\cdot)$ 为
$$\begin{aligned} \left(f(x),g(x)\right)=\int_{-1}^1 \frac{f(x)g(x)}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{ d} x. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
求 $\displaystyle \mathbb{R}[x]_3$ 的一组标准正交基. (云南大学2023年高等代数考研试题) [欧氏空间 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 先算出 $\displaystyle \mathbb{R}[x]_3$ 的基 $\displaystyle 1,x,x^2$ 的度量矩阵
$$\begin{aligned} G=\left((x^{i-1},x^{j-1})\right)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\pi&0&\frac{\pi}{2}\\\\ 0&\frac{\pi}{2}&0\\\\ \frac{\pi}{2}&0&\frac{3\pi}{8}\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
而 $\displaystyle f(x)=a_0+a_1+a_2x^2$, $\displaystyle g(x)=b_0+b_1x+b_2x^2$ 的内积为
$$\begin{aligned} \left(f,g\right)=&(a_0,a_1,a_2)G\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}b_0\\\\b_1\\\\b_2\end{array}\right)\\\\ =&\frac{(8a_0b_0+4a_2b_0+4a_1b_1+4a_0b_2+3a_2b_2)\pi}{8}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
如此就会稍微更简单的对 $\displaystyle 1,x,x^2$ 施行 Gram-Schmidt 标准正交化过程得到 $\displaystyle \mathbb{R}[x]_3$ 的一组标准正交基 [当然也要利用对称法求定积分]
$$\begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{\pi}},\quad \sqrt{\frac{2}{\pi}}x,\quad 2\sqrt{\frac{2}{\pi}} \left(x^2-\frac{1}{2}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1580、 9、 (15 分) 设 $\displaystyle \sigma$ 是 $\displaystyle n$ 维欧氏空间 $\displaystyle V$ 上的线性变换. 证明: 存在 $\displaystyle V$ 上的正交变换 $\displaystyle \tau_1,\tau_2$ 使得线性变换 $\displaystyle \phi=\tau_1\sigma\tau_2$ 满足 $\displaystyle \phi(V)^\perp=\phi^{-1}(0)$. (云南大学2023年高等代数考研试题) [欧氏空间 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 我们先给出实矩阵的奇异值分解. 设 $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle m\times n$ 阶实矩阵. 则存在 $\displaystyle m\times n$ 阶非负实对角矩阵 (即所有行标和列标相同的元素均非负, 其余元素均为 $\displaystyle 0$) 与两个正交矩阵 $\displaystyle U,V$, 使得 $\displaystyle A=UDV$ (即矩阵 $\displaystyle A$ 的奇异值分解). 事实上, 对 $\displaystyle m+n$ 作数学归纳法. 当 $\displaystyle m+n=2$ 时,
$$\begin{aligned} \exists\ a\in\mathbb{R},\mathrm{ s.t.} A=a \Rightarrow \left\{\begin{array}{llllllllllll} a\geq 0\Rightarrow U=V=1, D=a,\\\\ \mbox{或}a < 0\Rightarrow U=-1, V=1, D=-a. \end{array}\right. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
设结论对阶数之和 $\displaystyle < m+n$ 的矩阵都成立. 设 $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle m+n$ 阶矩阵. 当 $\displaystyle A=0$ 时, 结论自明. 当 $\displaystyle A\neq 0$ 时, 在有界闭集 $\displaystyle \left\{x\in\mathbb{R}^n; x^\mathrm{T} x=\left|x\right|^2=1\right\}$ 上的连续函数 $\displaystyle \sqrt{x^\mathrm{T} A^\mathrm{T} Ax}=\left|Ax\right|$ 有最大值 $\displaystyle M > 0$, 设在 $\displaystyle x_1$ 处取得. 令 $\displaystyle y_1=\frac{Ax_1}{M}$, 则
$$\begin{aligned} \left|x_1\right|=\left|y_1\right|=1, Ax_1=My_1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
将 $\displaystyle x_1$ 扩充为 $\displaystyle \mathbb{R}^n$ 的一组标准正交基 $\displaystyle x_1, x_2,\cdots, x_n$, 将 $\displaystyle y_1$ 扩充为 $\displaystyle y_1,\cdots,y_n$, 并令
$$\begin{aligned} U_1=(x_1,\cdots, x_n), \quad V_1=(y_1,\cdots,y_n), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则 $\displaystyle U_1,V_1$ 都是正交矩阵, 且
$$\begin{aligned} \exists\ \alpha\in \mathbb{R}^{(n-1)\times 1}, B\in \mathbb{R}^{(n-1)\times (n-1)},\mathrm{ s.t.} AU_1=V_1\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}M&\alpha^\mathrm{T}\\\\ 0&B\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
注意到正交矩阵保持向量长度不变, 对 $\displaystyle \beta=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1\\\\ \alpha\end{array}\right)$, 我们有 $\displaystyle \left|U_1 \frac{\beta}{\left|\beta\right|}\right|=1$, 而
$$\begin{aligned} M&\geq \left|AU_1 \frac{\beta}{\left|\beta\right|}\right| =\left|V_1\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}M&\alpha^\mathrm{T}\\\\ 0&B\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1\\\\ \alpha\end{array}\right)\right| =\left|\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}M&\alpha^\mathrm{T}\\\\ 0&B\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1\\\\ \alpha\end{array}\right)\right|\\\\ &=\left|\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}M+\alpha^\mathrm{T} \alpha\\\\ B\alpha\end{array}\right)\right| \geq M+\alpha^\mathrm{T}\alpha. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle \alpha^\mathrm{T}\alpha=0\Rightarrow \alpha=0\Rightarrow U_1AV_1=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}M&0\\\\ 0&B\end{array}\right)$. 据归纳假设, 存在正交阵 $\displaystyle U_2,V_2$, 使得 $\displaystyle B=U_2DV_2$. 令 $\displaystyle U=U_1^\mathrm{T} \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&\\\\ &U_2\end{array}\right), V=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&\\\\ 0&V_2\end{array}\right)V_1^\mathrm{T},$ 则 $\displaystyle U,V$ 都是正交阵, 且
$$\begin{aligned} A=U_1^\mathrm{T} \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}M&\\\\ &B\end{array}\right)V_1^\mathrm{T}=U\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}M&\\\\ &D\end{array}\right)V. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2)、 回到题目. 设 $\displaystyle \varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n$ 是 $\displaystyle V$ 的一组标准正交基. 设
$$\begin{aligned} \sigma(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n)=(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n)A . \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由第 1 步知存在正交阵 $\displaystyle Q_1,Q_2$ 使得
$$\begin{aligned} Q_1AQ_2=\varLambda=\mathrm{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_r,0,\cdots,0), r=\mathrm{rank} A . \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
取
$$\begin{aligned} \tau_1(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n)=&(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n)Q_1,\\\\ \tau_2(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n)=&(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n)Q_2,\\\\ \phi(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n)=&(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n)\varLambda, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则 $\displaystyle \phi=\tau_1\sigma\tau_2$, 且
$$\begin{aligned} &\phi(\varepsilon_i)=\lambda_i\varepsilon_i, 1\leq i\leq r; \phi(\varepsilon_i)=0, r+1\leq i\leq n\\\\ \Rightarrow&\mathrm{im} \phi=L(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_r), \ker \phi=L(\varepsilon_{r+1},\cdots,\varepsilon_n)\\\\ \Rightarrow&\left(\mathrm{im}\phi\right)^\perp=\left[L(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_r)\right]^\perp=L(\varepsilon_{r+1},\cdots,\varepsilon_n)=\ker\phi. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1581、 6、 (10 分) 设 $\displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_s$ 为欧氏空间 $\displaystyle V$ 的正交向量组, 证明: (0-15)、 $\displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_s$ 线性无关; (0-16)、 若 $\displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_s,\beta$ 线性相关, 且 $\displaystyle (\beta,\alpha_i)=0, i=1,\cdots,s$, 则 $\displaystyle \beta=0$. (长安大学2023年高等代数考研试题) [欧氏空间 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle \beta=\sum_{i=1}^s x_i\alpha_i$, 则
$$\begin{aligned} (\beta,\beta)=\left(\beta,\sum_{i=1}^s x_i\alpha_i\right) =\sum_{i=1}^s x_i(\beta,\alpha_i)=\sum_{i=1}^s x_i0=0\Rightarrow \beta=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1582、 10、 (20 分) 设 $\displaystyle V$ 是实数域上所有 $\displaystyle n$ 阶对称矩阵按矩阵加法与数乘运算构成的线性空间, 对任意的 $\displaystyle A,B\in V$, 定义 $\displaystyle (A,B)=\mathrm{tr}(AB)$, 其中 $\displaystyle (A,B)$ 表示 $\displaystyle A$ 与 $\displaystyle B$ 的内积, $\displaystyle \mathrm{tr}(AB)$ 表示 $\displaystyle AB$ 的迹. 证明: (0-17)、 $\displaystyle V$ 按上述定义的内积构成欧氏空间; (0-18)、 对于任意 $\displaystyle A,B\in V$, 有 $\displaystyle \mathrm{tr}\left[(AB)^2\right]\leq \mathrm{tr}(A^2)\mathrm{tr}(B^2)$; (0-19)、 若 $\displaystyle W=\left\{A\in V; \mathrm{tr} A=0\right\}$, 则 $\displaystyle \dim(W^\perp)=1$. (长安大学2023年高等代数考研试题) [欧氏空间 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (0-20)、 由 (0-1)、 $\displaystyle (A,B)=\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA)=(B,A)$, (0-2)、 $\displaystyle (kA,B)=\mathrm{tr}(kAB)=k\mathrm{tr}(AB)=k(A,B)$, (0-3)、 $\displaystyle (A+B,C)=\mathrm{tr}\left((A+B)C\right) =\mathrm{tr}(AC)+\mathrm{tr}(BC)=(A,C)+(B,C)$, (0-4)、 $\displaystyle (A,A)=\mathrm{tr}(AA)=\mathrm{tr}(A^\mathrm{T} A)=\sum_{i,j=1}^n a_{ij}^2\geq 0$, 且
$$\begin{aligned} (A,A)=0\Leftrightarrow a_{ij}=0, \forall\ i,j\Leftrightarrow A=0 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle V$ 关于 $\displaystyle (A,B)$ 构成欧氏空间. (1)、 令 $\displaystyle C=AB-BA$, 则由 $\displaystyle A,B$ 实对称知
$$\begin{aligned} 0\leq&\mathrm{tr}(C^\mathrm{T} C) =\mathrm{tr}\left[(AB-BA)^\mathrm{T} (AB-BA)\right]\\\\ =&\mathrm{tr}\left[(BA-AB)(AB-BA)\right]\\\\ =&\mathrm{tr}\left(B\cdot A^2B-B\cdot ABA -ABAB+AB^2\cdot A\right)\\\\ =&\mathrm{tr}(A^2B^2)-\mathrm{tr}(ABAB)-\mathrm{tr}(ABAB)+\mathrm{tr}(A^2B^2)\\\\ =&2\left[\mathrm{tr}(A^2B^2)-\mathrm{tr}(ABAB)\right]. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2)、 $\displaystyle \dim V=n+(n-1)+\cdots+1=\frac{n(n+1)}{2}$, 而通过解 $\displaystyle a_{11}+\cdots+a_{nn}=0$ 知 $\displaystyle W$ 有一组基
$$\begin{aligned} -E_{11}+E_{ii}\left(2\leq i\leq n\right), E_{ij}+E_{ji}\left(1\leq i < j\leq n\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
而 $\displaystyle \dim W=(n-1)+\sum_{i=1}^{n-1}(n-i)=\frac{(n+2)(n-1)}{2}$. 故
$$\begin{aligned} \dim W^\perp=\dim V-\dim W=\frac{n(n+1)}{2}-\frac{(n+2)(n-1)}{2}=1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1583、 (5)、 设
$$\begin{aligned} \alpha_1=(1,2,1), \alpha_2=(2,5,3), \alpha_3=(1,4,3) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
为欧氏空间 $\displaystyle \mathbb{R}^3$ 中的向量, $\displaystyle W=\left < \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\right >$ 为向量组 $\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 生成的线性子空间, 则 $\displaystyle W$ 的维数为 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$, $\displaystyle W$ 有一组标准正交基为 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (中国科学技术大学2023年高等代数考研试题) [欧氏空间 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由
$$\begin{aligned} (\alpha_1^\mathrm{T}, \alpha_2^\mathrm{T}, \alpha_3^\mathrm{T})=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&2&1\\\\ 2&5&4\\\\ 1&3&3\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&-3\\\\ 0&1&2\\\\ 0&0&0\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle \dim W=2$, 且 $\displaystyle \alpha_1,\alpha_2$ 为 $\displaystyle W$ 的一组基, 将其标准正交化为
$$\begin{aligned} \left(\frac{1}{\sqrt{6}},\frac{2}{\sqrt{6}},\frac{1}{\sqrt{6}}\right), \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-\frac{1}{\sqrt{2}},0,\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
就是 $\displaystyle W$ 的一组标准正交基.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1584、 (4)、 (40 分) 考虑标准欧氏空间 $\displaystyle \mathbb{R}^4$ 中的向量 $\displaystyle \beta=(4,-3,4,-1)$ 以及向量组
$$\begin{aligned} T=\left\{ \begin{array}{cc}\alpha_1=(0,1,2,1), &\alpha_2=(1,-1,0,2), \\\\ \alpha_3=(2,-1,-1,2), &\alpha_4=(1,1,1,1), \alpha_5=(2,0,1,3)\end{array} \right\}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
记向量组 $\displaystyle T$ 生成的线性子空间为 $\displaystyle V$. (4-1)、 试求 $\displaystyle T$ 的所有极大线性无关组. (4-2)、 试求 $\displaystyle V$ 中向量 $\displaystyle \alpha$ 使得向量 $\displaystyle \alpha-\beta$ 最短. (4-3)、 试证明: 存在 $\displaystyle \mathbb{R}^4$ 上非恒等的正交变换 $\displaystyle \mathscr{A}$, 使得对于 $\displaystyle V$ 中任一向量 $\displaystyle \gamma$, $\displaystyle \mathscr{A}(\gamma)=\gamma$ 总成立. (4-4)、 判断并讨论: 满足上述条件的 $\displaystyle \mathscr{A}$ 是否唯一? (中国科学技术大学2023年高等代数考研试题) [欧氏空间 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (4-1)、
$$\begin{aligned} (\alpha_1^\mathrm{T},\cdots,\alpha_5^\mathrm{T})=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&1&2&1&2\\\\ 1&-1&-1&1&0\\\\ 2&0&-1&1&1\\\\ 1&2&2&1&3\end{array}\right) \to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&0&1&1\\\\ 0&1&0&-1&0\\\\ 0&0&1&1&1\\\\ 0&0&0&0&0\end{array}\right)\qquad(I) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
$\displaystyle (I)$ 的前三行任取三列 ($C_5^3=10$ 钟), 只要它的行列式 $\displaystyle \neq 0$, 则它对应的列就是一个极大无关组. 于是 $\displaystyle T$ 的所有极大线性无关组有 $\displaystyle 8$ 组:
$$\begin{aligned} &\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3; \alpha_1,\alpha_2,\alpha_4; \alpha_1,\alpha_2,\alpha_5;\\\\ &\alpha_1,\alpha_3,\alpha_4; \alpha_1,\alpha_4,\alpha_5; \alpha_2,\alpha_3,\alpha_4;\\\\ &\alpha_2,\alpha_3,\alpha_5; \alpha_3,\alpha_4,\alpha_5. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(4-2)、 设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\alpha_1\\\\\alpha_2\\\\\alpha_3\end{array}\right)$, $\displaystyle \alpha=\sum_{i=1}^3 x_i\alpha_i=xA$ 为所求, 其中 $\displaystyle x=(x_1,x_2,x_3)$, 则
$$\begin{aligned} &(\beta-\alpha,\alpha_i)=0, 1\leq i\leq 3 \Leftrightarrow (\beta-\alpha)\alpha_i^\mathrm{T}=0, 1\leq i\leq 3\\\\ \Leftrightarrow&(\beta-xA)A^\mathrm{T}=0\Leftrightarrow xAA^\mathrm{T}=\beta A^\mathrm{T}\\\\ \Leftrightarrow&AA^\mathrm{T} x^\mathrm{T} =A\beta^\mathrm{T}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由
$$\begin{aligned} (AA^\mathrm{T}, A\beta^\mathrm{T})\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&0&\frac{2}{3}\\\\ 0&1&0&\frac{1}{3}\\\\ 0&0&1&\frac{1}{3}\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知
$$\begin{aligned} x=\left(\frac{2}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right), \alpha=xA=(1,0,1,2). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(4-3)、 取一 $\displaystyle \beta-\alpha=(3,-3,3,-3)$ 为法向量的镜面反射
$$\begin{aligned} \mathscr{A}(\gamma)=\gamma-2(\gamma,\eta)\eta,\quad \forall\ \gamma\in\mathbb{R}^4, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
其中 $\displaystyle \eta=\frac{\beta-\alpha}{|\beta-\alpha|}$, 则 $\displaystyle \mathscr{A}$ 保持 $\displaystyle V$ 中元素不动. (4-4)、 满足上述条件的 $\displaystyle \mathscr{A}$ 唯一. 因为 $\displaystyle \dim V=3$, $\displaystyle \dim V^\perp=1$, $\displaystyle \mathscr{A}$ 保持 $\displaystyle V$ 中元素不动, 不是恒同映射, 而将 $\displaystyle V^\perp$ 中的向量反向, 只能是第 iii 问中的那个镜面反射.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1585、 10、 设 $\displaystyle V$ 是内积空间, $\displaystyle f$ 是 $\displaystyle V$ 上一线性变换且保持向量的夹角不变. 证明: 存在 $\displaystyle \lambda > 0$, 使得 $\displaystyle \lambda f$ 是正交变换. (中国科学院大学2023年高等代数考研试题) [欧氏空间 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle \varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n$ 是 $\displaystyle V$ 的一组标准正交基, 则当 $\displaystyle i\neq j$ 时,
$$\begin{aligned} \angle \left(f \varepsilon_i,f \varepsilon_j\right)=\angle \left(\varepsilon_i,\varepsilon_j\right)=0\Rightarrow \left < f \varepsilon_i,f \varepsilon_j\right > =0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
进而
$$\begin{aligned} \left\Vert f \varepsilon_i\right\Vert ^2 =&\left < f \varepsilon_i,f \varepsilon_i\right > \\\\ =&\left|f \varepsilon_i,f (\varepsilon_i+\varepsilon_j)\right|\\\\ =&\left\Vert f \varepsilon_i\right\Vert \cdot \left\Vert f (\varepsilon_i+\varepsilon_j)\right\Vert \cdot \cos\angle \left(f \varepsilon_i,f (\varepsilon_i+\varepsilon_j)\right)\\\\ =&\left\Vert f \varepsilon_i\right\Vert \cdot \left\Vert f \varepsilon_i+f \varepsilon_j\right\Vert \cdot \cos\angle \left(\varepsilon_i,\varepsilon_i+\varepsilon_j\right)\\\\ =&\left\Vert f \varepsilon_i\right\Vert \cdot \sqrt{\left\Vert f \varepsilon_i\right\Vert ^2+\left\Vert f \varepsilon_j\right\Vert ^2} \cdot\frac{\left < \varepsilon_i,\varepsilon_i+\varepsilon_j\right > }{\left\Vert \varepsilon_i\right\Vert \cdot \left\Vert \varepsilon_i+\varepsilon_j\right\Vert }\\\\ =&\left\Vert f \varepsilon_i\right\Vert \cdot \sqrt{\left\Vert f \varepsilon_i\right\Vert ^2+\left\Vert f \varepsilon_j\right\Vert ^2}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
整理后发现
$$\begin{aligned} \left\Vert f \varepsilon_i\right\Vert =\left\Vert f \varepsilon_j\right\Vert . \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是
$$\begin{aligned} \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}(f\varepsilon_i,f\varepsilon_j)\end{array}\right)=\frac{1}{\lambda^2}E,\quad \lambda=\frac{1}{\left\Vert f \varepsilon_i\right\Vert }. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这说明 $\displaystyle (\lambda f \varepsilon_1,\cdots,\lambda f \varepsilon_n)$ 是正交阵, 而 $\displaystyle \lambda f$ 为正交变换.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1586、 10、 设 $\displaystyle C[-\pi,\pi]$ 表示闭区间 $\displaystyle [-\pi,\pi]$ 上的所有连续函数组成的实线性空间, 其上定义内积如下:
$$\begin{aligned} \left(f(x),g(x)\right)=\int_{-\pi}^\pi f(x)g(x)\mathrm{ d} x, \forall\ f(x), g(x)\in C[-\pi,\pi]. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
如此, $\displaystyle C[-\pi,\pi]$ 是一个实内积空间. 给定向量组
$$\begin{aligned} 1,\cos x, \sin x, \cos 2x, \sin 2x, \cdots,\cos nx, \sin nx. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
证明: (1)、 上述向量组是正交向量组; (2)、 求由上述向量组生成的子空间的一组标准正交基. (中国矿业大学(北京)2023年高等代数考研试题) [欧氏空间 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 对 $\displaystyle \forall\ k,l\in\mathbb{N}, k\neq l$, 有 $\displaystyle k+l > 0$, 而
$$\begin{aligned} \int_{-\pi}^\pi \cos kx\cos lx\mathrm{ d} x =\frac{1}{2}\int_{-\pi}^\pi [\cos(k+l)x+\cos(k-l)x]\mathrm{ d} x=0,\\\\ \int_{-\pi}^\pi \cos kx\sin lx\mathrm{ d} x =\frac{1}{2}\int_{-\pi}^\pi [\sin(k+l)x-\sin(k-l)x]\mathrm{ d} x=0,\\\\ \int_{-\pi}^\pi \sin kx\sin lx\mathrm{ d} x =-\frac{1}{2}\int_{-\pi}^\pi [\cos(k+l)x-\cos(k-l)x]\mathrm{ d} x=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故题中向量组是正交向量组. (2)、 由 $\displaystyle \int_{-\pi}^\pi 1^2\mathrm{ d} x=2\pi$,
$$\begin{aligned} \int_{-\pi}^\pi \cos^2kx\mathrm{ d} x=&\int_{-\pi}^\pi \frac{1+\cos 2kx}{2}\mathrm{ d} x=\pi,\\\\ \int_{-\pi}^\pi \sin^2kx\mathrm{ d} x=&\int_{-\pi}^\pi \frac{1-\cos2kx}{2}\mathrm{ d} x=\pi \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知
$$\begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \frac{\cos x}{\sqrt{\pi}}, \frac{\sin x}{\sqrt{\pi}}, \frac{\cos 2x}{\sqrt{\pi}}, \frac{\sin 2x}{\sqrt{\pi}}, \cdots, \frac{\cos nx}{\sqrt{\pi}}, \frac{\sin nx}{\sqrt{\pi}} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
是题中向量组生成的子空间的一组标准正交基.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1587、 (9)、 设 $\displaystyle V$ 是一个 $\displaystyle 8$ 维欧氏空间, $\displaystyle \alpha$ 是 $\displaystyle V$ 中的一个固定非零向量, 则 $\displaystyle V$ 中与 $\displaystyle \alpha$ 正交的所有向量组成的子空间的维数是 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (中国矿业大学(徐州)2023年高等代数考研试题) [欧氏空间 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 将 $\displaystyle \eta_1=\frac{\alpha}{|\alpha|}$ 扩充为 $\displaystyle V$ 的一组标准正交基 $\displaystyle \eta_1,\cdots,\eta_8$, 则
$$\begin{aligned} \left\{\alpha\right\}^\perp=L(\eta_2,\cdots,\eta_8)\Rightarrow \dim \left\{\alpha\right\}^\perp=7. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
/4 
|Archiver|小黑屋|小张的小站
( 赣ICP备2024047342号-1 )
发表于 2023-3-5 13:26:06