张祖锦2023年数学专业真题分类70天之第65天
1473、 6、 已知 $\displaystyle M_3(\mathbb{C})$ 是三阶复方阵全体构成的线性空间, $\displaystyle A\in M_3(\mathbb{C})$. (1)、 证明所有与 $\displaystyle A$ 可交换的矩阵构成一个线性子空间, 记为 $\displaystyle C(A)$. (2)、 已知 $\displaystyle A^3=I$, 求 $\displaystyle C(A)$ 的维数. (天津大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 对 $\displaystyle \forall\ B,C\in C(A), \forall\ k,l\in\mathbb{C}$,
$$\begin{aligned} &A(kB+lC)=kAB+lAC=kBA+lCA=(kB+lC)A\\\\ \Rightarrow& kB+lC\in C(A). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle C(A)$ 确为 $\displaystyle M_3(\mathbb{C})$ 的子空间. (2)、 由 $\displaystyle A^3=I$ 知 $\displaystyle A$ 的最小多项式 $\displaystyle \lambda^3-1$ 没有重根, 而对角化. 相同的按一个计算, (2-1)、 如果 $\displaystyle A$ 只有一个特征值, 则 $\displaystyle A$ 就是数量矩阵, $\displaystyle C(A)=M_3(\mathbb{C})\Rightarrow \dim C(A)=9$. (2-2)、 如果 $\displaystyle A$ 有两个特征值, 则注意到与准对角矩阵可交换的还是与之同类型的准对角矩阵知 $\displaystyle \dim C(A)=1+2^2=5$. (2-3)、 如果 $\displaystyle A$ 有三个特征值, 则 $\displaystyle C(A)$ 就是对角矩阵, $\displaystyle \dim C(A)=3$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1474、 1、 (15 分) 设 $\displaystyle M_{2\times 2}(\mathbb{C})$ 是全体 $\displaystyle 2$ 阶复矩阵组成的线性空间, 线性变换
$$\begin{aligned} \mathscr{A} X=MXN, M=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0\\\\ 1&1\end{array}\right), N=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&-1\\\\ -1&1\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
求一组基使得 $\displaystyle \mathscr{A}$ 在该基下的矩阵为 Jordan 阵. (武汉大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 算出
$$\begin{aligned} &\mathscr{A}(E_{11})=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&-1\\\\ 1&-1\end{array}\right), \mathscr{A}(E_{12})=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-1&1\\\\-1&1\end{array}\right),\\\\ &\mathscr{A}(E_{21})=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&0\\\\ 1&-1\end{array}\right), \mathscr{A}(E_{22})=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&0\\\\ -1&1\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
我们知
$$\begin{aligned} \mathscr{A}(E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}) =(E_{11},E_{12},E_{21},E_{22})A, A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&-1&0&0\\\\ -1&1&0&0\\\\ 1&-1&1&-1\\\\ -1&1&-1&1\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
易知 $\displaystyle A$ 的特征值为 $\displaystyle 2,2,0,0$. 由
$$\begin{aligned} 2E-A\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 1&0&0&0\\\\ 0&1&0&0&\\\\ 0&0&1&1\\\\ 0&0&0&0 \end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle A$ 的属于特征值 $\displaystyle 2$ 的特征向量为
$$\begin{aligned} \xi_1=(0,0,-1,1)^\mathrm{T}, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
且 $\displaystyle \mathrm{rank}(2E-A)=3$. 由
$$\begin{aligned} 0 E-A\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 1&-1&0&0\\\\ 0&0&1&-1\\\\ 0&0&0&0\\\\ 0&0&0&0 \end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle A$ 的属于特征值 $\displaystyle 0$ 的特征向量为
$$\begin{aligned} \xi_3=(1,1,0,0)^\mathrm{T}, \xi_4=(0,0,1,1)^\mathrm{T}, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
且 $\displaystyle \mathrm{rank}(0E-A)=2$. 故 $\displaystyle A$ 的 Jordan 标准形为 $\displaystyle J=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&1&&\\\\ &2&&\\\\ &&0&\\\\ &&&0\end{array}\right)$. 设可逆矩阵 $\displaystyle P=(\xi_1,\xi_2,\xi_3,\xi_4)$ 使得 $\displaystyle P^{-1}AP=J$, 则由
$$\begin{aligned} (A-2E)\xi_2=\xi_1, (A-2E,\xi_1)\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&0&0&-\frac{1}{2}\\\\ 0&1&0&0&\frac{1}{2}\\\\ 0&0&1&1&0\\\\ 0&0&0&0&0\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知可取 $\displaystyle \xi_2=\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2},0,0\right)^\mathrm{T}$. 故 $\displaystyle \sigma$ 在 $\displaystyle M_{2\times 2}(\mathbb{C})$ 的基
$$\begin{aligned} \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&0\\\\ -1&1\end{array}\right), \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\\ 0&0\end{array}\right), \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1\\\\ 0&0\end{array}\right), \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&0\\\\ 1&1\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
下的矩阵为 Jordan 标准形 $\displaystyle J$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1475、 3、 设 $\displaystyle M_{n\times n}(\mathbb{C})$ 是 $\displaystyle n\times n$ 复矩阵全体在通常的运算下所构成的复数域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上的线性空间,
$$\begin{aligned} F=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 0&&&&-a_n\\\\ 1&0&&&-a_{n-1}\\\\ &\ddots&\ddots&&\vdots\\\\ &&1&0&-a_2\\\\ &&&1&-a_1 \end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(1)、 设
$$\begin{aligned} A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{array}\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
若 $\displaystyle AF=FA$, 证明:
$$\begin{aligned} A=a_{n1}F^{n-1}+a_{n-1,1}F^{n-2}+\cdots+a_{21}F+a_{11}E. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2)、 求 $\displaystyle M_{n\times n}(\mathbb{C})$ 的子空间
$$\begin{aligned} C(F)=\left\{X\in M_{n\times n}(\mathbb{C}); FX=XF\right\} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
的维数. (武汉大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 设
$$\begin{aligned} \beta&=(-a_n,-a_{n-1},\cdots,-a_1)^\mathrm{T},\\\\ e_i&=(\underbrace{0,\cdots,0,1}_i,0,\cdots,0)^\mathrm{T},\\\\ M&=a_{n1}F^{n-1}+a_{n-1,1}F^{n-2}+\cdots+a_{21}F+a_{11}E, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则
$$\begin{aligned} F=(e_2,\cdots,e_n,\beta), MF^i=F^iM\left(\forall\ i\in\mathbb{N}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
为证
$$\begin{aligned} A=M\Leftrightarrow Ae_i=Me_i\left(1\leq i\leq n\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
我们一个一个去验算 (从第一个就可看出 $\displaystyle M$ 的形状):
$$\begin{aligned} Ae_1&=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}a_{11}\\\\a_{21}\\\\\vdots\\\\a_{n1}\end{array}\right)=a_{11}e_1+a_{21}e_2+\cdots+a_{n1}e_n\\\\ &=a_{11}Ee_1+a_{21}Fe_1+\cdots+a_{n1}F^{n-1}e_1\\\\ &=Me_1,\\\\ Ae_2&=AFe_1=FAe_1=FMe_1=MFe_1=Me_2,\\\\ \cdot&=\cdots,\\\\ A_n&=AF^{n-1}e_1=F^{n-1}Ae_1=F^{n-1}Me_1=MF^{n-1}e_1=Me_n. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2)、 由第 1 步即知
$$\begin{aligned} C(F)=L(E,F,F^2,\cdots,F^{n-1}). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
往证 $\displaystyle E,F,F^2,\cdots,F^{n-1}$ 线性无关, 而 $\displaystyle \dim C(F)=n$. 事实上,
$$\begin{aligned} &k_0E+k_1F+k_2F^2+\cdots+k_{n-1}F^{n-1}=0\\\\ \Rightarrow&k_0Ee_1+k_1Fe_1+k_2F^2e_1+\cdots+k_{n-1}F^{n-1}e_1=0\\\\ \Rightarrow&k_0e_1+k_1e_2+k_2e_3+\cdots+k_{n-1}e_n=0\\\\ \Rightarrow&k_0=k_1=\cdots=k_{n-1}=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1476、 6、 (20 分) 设 $\displaystyle \lambda$ 是复数域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上 $\displaystyle n$ 阶方阵 $\displaystyle A$ 的 $\displaystyle r$ 重特征值, 证明子空间
$$\begin{aligned} \left\{X\in\mathbb{C}^n; (\lambda E-A)^rX=0\right\} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
的维数为 $\displaystyle r$. (武汉大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由 Jordan 标准形理论, 存在可逆矩阵 $\displaystyle P$ 使得
$$\begin{aligned} P^{-1}AP=\mathrm{diag}\left(R_1,\cdots,R_s\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
其中 $\displaystyle \lambda_1,\cdots,\lambda_s$ 是 $\displaystyle A$ 的互异特征值, $\displaystyle R_i$ 是以 $\displaystyle \lambda_i$ 为对角元的 $\displaystyle n_i\times n_i$ 阶上三角矩阵, 且至多只有 $\displaystyle (i,i+1)$ 元为 $\displaystyle 1$, 其余元为 $\displaystyle 0$. 不妨设 $\displaystyle \lambda=\lambda_1$, 则 $\displaystyle r=n_1$. 于是
$$\begin{aligned} &P^{-1}(\lambda_1E-A)^rP=\mathrm{diag}\left(0,(\lambda E_{n_2}-R_2)^r,\cdots,(\lambda E_{n_s}-R_s)^r\right)\\\\ \Rightarrow& \mathrm{rank}(\lambda E-A)^r=\mathrm{rank}(\lambda_1E-A)^r=n-n_1=n-r. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
从而 $\displaystyle \dim\left\{X\in\mathbb{C}^n; (\lambda E-A)^rX=0\right\}=n-(n-r)=r$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1477、 7、 设线性变换 $\displaystyle \mathscr{T}$ 在线性空间 $\displaystyle V$ 的基 $\displaystyle \varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3$ 下的矩阵为 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}3&2&-1\\\\ -2&-2&2\\\\ 3&6&-1\end{array}\right)$, 并且 $\displaystyle \mathscr{T}$ 的特征多项式为 $\displaystyle f(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{s_1}(\lambda-\lambda_2)^{s_2}$, 其中 $\displaystyle s_1 > s_2$. 再设
$$\begin{aligned} W=\ker(\mathscr{T}-\lambda_1\mathscr{I})^{s_1}, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
其中 $\displaystyle \mathscr{I}$ 为恒等变换. (1)、 求出具体的 $\displaystyle f(\lambda)$. (2)、 求 $\displaystyle W$ 的基和维数. (武汉理工大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 由 $\displaystyle f(\lambda)=|\lambda E-A|=(\lambda-2)^2(\lambda+4)$. (2)、 由
$$\begin{aligned} (A-2E)^2=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-6&-12&6\\\\ 12&24&-12\\\\ -18&-36&18\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&2&-1\\\\ 0&0&0\\\\ 0&0&0\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle (A-2E)^2X=0$ 的基础解系为 $\displaystyle \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-2\\\\1\\\\0\end{array}\right), \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1\\\\0\\\\1\end{array}\right)$. 故 $\displaystyle W$ 的基为
$$\begin{aligned} -2\varepsilon_1+\varepsilon_2, \varepsilon_1+\varepsilon_3, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
$\displaystyle \dim W=2$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1478、 8、 设 $\displaystyle A$ 为复方阵, $\displaystyle A$ 的特征多项式为 $\displaystyle (\lambda-1)^2(\lambda+1)^2$,
$$\begin{aligned} V_1=N\left((A-E)^2\right), \quad V_2=N\left((A+E)^2\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
其中 $\displaystyle N(A)$ 为 $\displaystyle AX=0$ 的解空间. (1)、 证明 $\displaystyle \dim V_1=\dim V_2=2$; (2)、 证明: $\displaystyle \mathbb{C}^4=V_1\oplus V_2$. (武汉理工大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由 $\displaystyle A$ 的特征多项式的形式知存在可逆复方阵 $\displaystyle P=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)$, 使得
$$\begin{aligned} P^{-1}AP=J=&J_1\equiv \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&&&\\\\ &1&&\\\\ &&-1&\\\\ &&&-1\end{array}\right)\mbox{或} J_2\equiv \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1&&\\\\ &1&&\\\\ &&-1&\\\\ &&&-1\end{array}\right)\\\\ &\mbox{或} J_3\equiv \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&&&\\\\ &1&&\\\\ &&-1&1\\\\ &&&-1\end{array}\right)\mbox{或} J_4\equiv \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1&&\\\\ &1&&\\\\ &&-1&1\\\\ &&&-1\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
算出 $\displaystyle (J_i\pm E)^2$ 即知
$$\begin{aligned} \dim V_1=4-\mathrm{rank}\left[(A-E)^2\right] =4-\mathrm{rank}\left[(J-E)^2\right]=4-2=2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
同理, $\displaystyle \dim V_2=2$. 由 $\displaystyle (J_i\pm E)^2$ 的形式知 $\displaystyle (J_i-E)^2Y=0$ 的基础解系为 $\displaystyle e_1,e_2$, 而
$$\begin{aligned} &X\in V_1\Leftrightarrow (A-E)^2X=0\stackrel{X=PY}{\Leftrightarrow}(J_i-E)^2Y=0\\\\ \Leftrightarrow& Y\in L(e_1,e_2) \Leftrightarrow X\in L(Pe_1,Pe_2)=L(\alpha_1,\alpha_2). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
同理, $\displaystyle V_2=L(\alpha_3,\alpha_4)$. 故
$$\begin{aligned} \mathbb{C}^4=L(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)=L(\alpha_1,\alpha_2)\oplus L(\alpha_3,\alpha_4)=V_1\oplus V_2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1479、 6、 (20 分) 已知实矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&2&-2\\\\ 2&5&-4\\\\ -2&-4&5\end{array}\right)$. (1)、 求一个正交矩阵 $\displaystyle P$, 使得 $\displaystyle P^{-1}AP$ 为对角矩阵; (2)、 令 $\displaystyle V$ 是所有与 $\displaystyle A$ 可交换的实矩阵全体, 证明: $\displaystyle V$ 是实数域上的一个线性空间, 并确定 $\displaystyle V$ 的维数. (西安电子科技大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 易知 $\displaystyle A$ 的特征值为 $\displaystyle 10,1,1$. 由
$$\begin{aligned} 10E-A\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&0&1\\\\ 0&1&1\\\\ 0&0&0\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle A$ 的属于特征值 $\displaystyle 10$ 的特征向量为
$$\begin{aligned} \xi_1=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-1\\\\-2\\\\2\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由
$$\begin{aligned} 1E-A\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&2&-2\\\\ 0&0&0\\\\ 0&0&0\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle A$ 的属于特征值 $\displaystyle 1$ 的特征向量为
$$\begin{aligned} \xi_2=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-2\\\\1\\\\0\end{array}\right), \xi_3=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2\\\\0\\\\1\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
将 $\displaystyle \xi_1,\xi_2,\xi_3$ 标准正交化为 $\displaystyle \eta_1,\eta_2,\eta_3$, 并设
$$\begin{aligned} P=(\eta_1,\eta_2,\eta_3)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-\frac{1}{3}&-\frac{2}{\sqrt{5}}&\frac{2}{3\sqrt{5}}\\\\ -\frac{2}{3}&\frac{1}{\sqrt{5}}&\frac{4}{3\sqrt{5}}\\\\ \frac{2}{3}&0&\frac{\sqrt{5}}{3}\end{array}\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则 $\displaystyle P$ 正交, 且
$$\begin{aligned} P^\mathrm{T} AP=\mathrm{diag}(10,1,1). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2)、 由
$$\begin{aligned} &B,C\in V\Rightarrow AB=BA, AC=CA\\\\ \Rightarrow& A(kB+lC)=kAB+lAC=kBA+lCA=(kB+lC)A\\\\ \Rightarrow& kB+lC\in V \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle V$ 是线性空间 $\displaystyle \mathbb{R}^{n\times n}$ 的线性子空间, 而是一个线性空间. 进一步, 设 $\displaystyle \varLambda=\mathrm{diag}(10,1,1)$, 则
$$\begin{aligned} B\in V&\Leftrightarrow AB=BA\Leftrightarrow P^\mathrm{T} AP\cdot P^\mathrm{T} BP=P^\mathrm{T} BP\cdot P^\mathrm{T} AP\\\\ \stackrel{C=P^\mathrm{T} BP}{\Leftrightarrow}&\varLambda C=C\varLambda \Leftrightarrow C=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}c_1&&\\\\ &c_2&c_3&\\\\ &c_4&c_5\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle \dim V=5$, 且 $\displaystyle V$ 有一组基
$$\begin{aligned} PE_{11}P^\mathrm{T}, PE_{22}P^\mathrm{T}, PE_{23}P^\mathrm{T}, PE_{32}P^\mathrm{T}, PE_{33}P^\mathrm{T}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1480、 7、 (15 分) 设 $\displaystyle V$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{P}$ 上的有限维线性空间, $\displaystyle \lambda_1,\cdots,\lambda_m$ 是 $\displaystyle \sigma$ 的不同特征值, 而 $\displaystyle \alpha_i$ 是属于 $\displaystyle \lambda_i\ (i=1,\cdots,m)$ 的特征值, $\displaystyle W$ 是 $\displaystyle \sigma$ 的一个不变子空间. 试证: 如果 $\displaystyle \alpha_1+\cdots+\alpha_m=\alpha\in W$, 则有 $\displaystyle \alpha_i\in W, i=1,\cdots,m$. (西安电子科技大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle \alpha_1+\cdots+\alpha_m=\alpha\in W$, 则
$$\begin{aligned} &\lambda_1\alpha_1+\cdots+\lambda_m\alpha_m=\mathscr{A}\alpha\in W, \cdots,\\\\ &\lambda_1^{m-1}\alpha_1+\cdots+\lambda_m^{m-1}\alpha_m=\mathscr{A}^{m-1}\alpha\in W. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是
$$\begin{aligned} &(\alpha_1,\cdots,\alpha_m)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&\lambda_1&\cdots&\lambda_1^{m-1}\\\\ 1&\lambda_2&\cdots&\lambda_2^{m-1}\\\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\\\ 1&\lambda_m&\cdots&\lambda_m^{m-1}\end{array}\right)=(\alpha,\mathscr{A}\alpha,\cdots,\mathscr{A}^{m-1}\alpha)\\\\ \Rightarrow&(\alpha_1,\cdots,\alpha_m)=(\alpha,\mathscr{A}\alpha,\cdots,\mathscr{A}^{m-1}\alpha) \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&\lambda_1&\cdots&\lambda_1^{m-1}\\\\ 1&\lambda_2&\cdots&\lambda_2^{m-1}\\\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\\\ 1&\lambda_m&\cdots&\lambda_m^{m-1}\end{array}\right)^{-1}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这表明 $\displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_m$ 是 $\displaystyle \alpha,\mathscr{A}\alpha,\cdots,\mathscr{A}^{m-1}\alpha\in W$ 的线性组合, 而 $\displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_m\in W$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1481、 3、 设 $\displaystyle V$ 是一个 $\displaystyle n$ 维线性空间, $\displaystyle L(V)$ 是 $\displaystyle V$ 上所有线性变换构成的线性空间, $\displaystyle v\in V$,
$$\begin{aligned} V=\left\{\mathscr{T}\in L(V); \mathscr{T} v=0\right\}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(1)、 证明: $\displaystyle E$ 是 $\displaystyle L(V)$ 的子空间; (2)、 若 $\displaystyle v\neq 0$, 求 $\displaystyle \dim E$. (西安交通大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 对 $\displaystyle \forall\ k,l\in\mathbb{F}, \mathscr{S},\mathscr{T}\in E$,
$$\begin{aligned} (k\mathscr{S}+l\mathscr{T})(v)=k\mathscr{S}(v)+l\mathscr{T}(v)=k0+l0=0\Rightarrow k\mathscr{S}+l\mathscr{T}\in E. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle E$ 是 $\displaystyle L(V)$ 的子空间. (2)、 设 $\displaystyle \varepsilon_1=v$, 将其扩充为 $\displaystyle V$ 的一组基 $\displaystyle \varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n$, 则对 $\displaystyle \forall\ \mathscr{T}\in E$,
$$\begin{aligned} \mathscr{T}(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n)=(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\\\ 0&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
设
$$\begin{aligned} \mathscr{E}_{ij}(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n)=(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n)E_{ij}, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
其中 $\displaystyle E_{ij}$ 表示第 $\displaystyle i$ 行第 $\displaystyle j$ 列元素为 $\displaystyle 1$, 其余元素均为零的 $\displaystyle n$ 阶方阵. 则由 $\displaystyle E_{ij}, 1\leq i,j\leq n$ 线性无关知 $\displaystyle \mathscr{E}_{ij}, 1\leq i,j\leq n$ 线性无关, 且
$$\begin{aligned} \mathscr{T}=\sum_{i=1}^n \sum_{j=2}^n a_{ij}\mathscr{E}_{ij}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle \mathscr{E}_{ij}, 1\leq i\leq n, 2\leq j\leq n$ 是 $\displaystyle E$ 的一组基, $\displaystyle \dim E=n(n-1)$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1482、 9、 设 $\displaystyle V$ 是全体 $\displaystyle n$ 阶矩阵按照矩阵的加法和数量乘法构成的线性空间, $\displaystyle A\in V$, 且 $\displaystyle A$ 有 $\displaystyle n$ 个互异的特征值, 定义 $\displaystyle V$ 上的线性变换 $\displaystyle \mathscr{T} X=AX-XA$, 证明: 存在 $\displaystyle V$ 的一组基, 使得 $\displaystyle \mathscr{T}$ 在此基下的矩阵为对角矩阵. (西安交通大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由题设, $\displaystyle A$ 可对角化, 即存在可逆矩阵 $\displaystyle P$ 使得
$$\begin{aligned} P^{-1}AP=\varLambda=\mathrm{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_n). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
令 $\displaystyle B_{ij}=PE_{ij}P^{-1}, 1\leq i, \leq n$, 则它是 $\displaystyle M_n(\mathbb{C})$ 的一组基, 且
$$\begin{aligned} P^{-1}\mathscr{T}(B)P&=P^{-1}(AB_{ij}-B_{ij}A)P =P^{-1}AP E_{ij}-E_{ij}P^{-1}AP\\\\ &=\varLambda E_{ij}-E_{ij}\varLambda =(\lambda_i-\lambda_j)E_{ij}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是
$$\begin{aligned} \mathscr{T}(B_{ij})=(\lambda_i-\lambda_j)PE_{ij}P^{-1}=(\lambda_i-\lambda_j)B_{ij}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这就证明了 $\displaystyle \mathscr{T}$ 在 $\displaystyle M_n(\mathbb{C})$ 的基 $\displaystyle B_{ij}=PE_{ij}P^{-1}, 1\leq i, \leq n$ 下的矩阵为对角矩阵.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1483、 4、 设向量组 $\displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_n$ 线性无关, $\displaystyle k$ 为常数. 试问: $\displaystyle k$ 取何值时, 向量组
$$\begin{aligned} &k\alpha_1-\alpha_2-\alpha_3-\cdots-\alpha_n, -\alpha_1+k\alpha_2-\alpha_3-\cdots-\alpha_n,\\\\ &\cdots, -\alpha_1-\alpha_2-\cdots-\alpha_{n-1}+k\alpha_n \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
是线性无关的? $\displaystyle k$ 取何值时, 该向量组线性相关? (西北大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设题中向量组为 $\displaystyle \beta_1,\cdots,\beta_n$, 则
$$\begin{aligned} (\beta_1,\cdots,\beta_n)=(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)T, T=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}k&-1&\cdots&-1\\\\ -1&k&\cdots&-1\\\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\\\ -1&-1&\cdots&k\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由
$$\begin{aligned} |T|=&\left|\begin{array}{cccccccccc}k-(n-1)&-1&\cdots&-1\\\\ k-(n-1)&k&\cdots&-1\\\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\\\ k-(n-1)&-1&\cdots&k\end{array}\right|=[k-(n-1)]\left|\begin{array}{cccccccccc}1&-1&\cdots&-1\\\\ 1&k&\cdots&-1\\\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\\\ 1&-1&\cdots&k\end{array}\right|\\\\ =&[k-(n-1)]\left|\begin{array}{cccccccccc}1&-1&\cdots&-1\\\\ &k+1&&\\\\ &&\ddots&\\\\ &&&k+1\end{array}\right|=[k-(n-1)] (k+1)^{n-1} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知当且仅当 $\displaystyle k\neq n-1\mbox{且} k\neq -1$ 时, $\displaystyle \beta_1,\cdots,\beta_n$ 线性无关.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1484、 8、 设 $\displaystyle A$ 是元素全为 $\displaystyle 1$ 的 $\displaystyle n$ 阶方阵, $\displaystyle E$ 是 $\displaystyle n$ 阶单位阵. (1)、 求 $\displaystyle |aE+bA|$, 其中 $\displaystyle a,b$ 是实常数; (2)、 已知 $\displaystyle 1 < \mathrm{rank}(aE+bA) < n$, 试确定 $\displaystyle a,b$ 满足的条件, 并求子空间
$$\begin{aligned} W=\left\{X\in\mathbb{R}^n; (aE+bA)X=0\right\} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
的维数. (西北大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 由 $\displaystyle \mathrm{rank} A=1$ 知 $\displaystyle Ax=0$ 的基础解系有 $\displaystyle n-1$ 个向量 $\displaystyle \eta_1,\cdots,\eta_{n-1}$. 设 $\displaystyle \eta_n=(1,\cdots,1)^\mathrm{T}$, 则 $\displaystyle A\eta_n=n\eta_n$. 于是
$$\begin{aligned} &P\equiv(\eta_1,\cdots,\eta_n)\Rightarrow AP=P\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0_{n-1}&\\\\ &n\end{array}\right)\\\\ \Rightarrow& P^{-1}(aE+bA)P=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}aE_{n-1}&\\\\ a+nb\end{array}\right)\Rightarrow |aE+bA|=a^{n-1}(a+nb). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2)、 由第 1 步知 $\displaystyle a=0\mbox{或} a=-nb$. 但 $\displaystyle a=0\Rightarrow \mathrm{rank} A\leq 1$, 与题设矛盾. 故$a=-nb\neq 0$. 此时, 第 $\displaystyle i$ 行加到第 $\displaystyle n$ 行, $\displaystyle 1\leq i\leq n-1$; 第 $\displaystyle 1$ 行 $\displaystyle \cdot (-1)$ 加到第 $\displaystyle i$ 行, $\displaystyle 2\leq i\leq n-1$, 得
$$\begin{aligned} &aE+bA=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}(1-n)b&b&\cdots&b\\\\ b&(1-n)b&\cdots&b\\\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\\\ b&b&\cdots&(1-n)b\end{array}\right)\\\\ \to& \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1-n&1&\cdots&1&1\\\\ 1&1-n&\cdots&1&1\\\\ \vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\\\ 1&1&\cdots&1-n&1\\\\ 0&0&\cdots&0&0\end{array}\right) \to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1-n&1&\cdots&1&1\\\\ n&-n&&&\\\\ \vdots&&\ddots&&\\\\ n&&&-n&\\\\ 0&0&\cdots&0&0\end{array}\right)\\\\ \to&\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-1&&&&1\\\\ 1&-1&&&\\\\ \vdots&&\ddots&&\\\\ 1&&&-1&\\\\ 0&0&\cdots&0&0\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle \mathrm{rank}(aE+bA)=n-1\Rightarrow \dim W=n-(n-1)=1$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1485、 9、 设 $\displaystyle f(x)$ 和 $\displaystyle g(x)$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{P}$ 上互素的一元多项式, $\displaystyle A$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{P}$ 上的 $\displaystyle n$ 阶方阵. 证明: $\displaystyle n$ 元齐次线性方程组 $\displaystyle f(A)g(A)X=0$ 的解空间 $\displaystyle V$ 是 $\displaystyle f(A)X=0$ 的解空间 $\displaystyle V_1$ 与 $\displaystyle g(A)X=0$ 的解空间 $\displaystyle V_2$ 的直和, 其中 $\displaystyle X=(x_1,\cdots,x_n)^\mathrm{T}$. (西北大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 显然 $\displaystyle V_1,V_2\subset V$. 由 $\displaystyle (f(x),g(x))=1$ 知存在多项式 $\displaystyle u(x),v(x)$ 使得
$$\begin{aligned} u(x)f(x)+v(x)g(x)=1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是对 $\displaystyle \forall\ X\in \mathbb{F}^n$,
$$\begin{aligned} X=v(A)g(A)X+u(A)f(A)X. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由
$$\begin{aligned} f(A)[v(A)g(A)X]=0,\quad g(A)[u(A)f(A)X]=0 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知
$$\begin{aligned} v(A)g(A)X\in V_1,\quad u(A)f(A)X\in V_2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是 $\displaystyle V=V_1+V_2$. 又由
$$\begin{aligned} X\in V_1\cap V_2\Rightarrow& f(A)X=g(A)X=0\\\\ \Rightarrow& X=u(A)f(A)X+v(A)g(A)X=0 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle V=V_1\oplus V_2$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1486、 10、 设 $\displaystyle V$ 是 $\displaystyle n$ 维线性空间, $\displaystyle \varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n$ 是 $\displaystyle V$ 的一组基, $\displaystyle V$ 上的线性变换 $\displaystyle \mathscr{T}$ 定义为
$$\begin{aligned} \mathscr{T}\varepsilon_i=\left\{\begin{array}{llllllllllll}\varepsilon_{i+1},&1\leq i\leq n-1,\\\\ 0,&i=n.\end{array}\right. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(1)、 求 $\displaystyle \mathscr{T}$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n$ 下的矩阵 $\displaystyle A$; (2)、 求 $\displaystyle \mathscr{T}$ 的值域与核的维数; (3)、 证明: $\displaystyle \mathscr{T}^n=\mathscr{O}, \mathscr{T}^{n-1}\neq\mathscr{O}$, 这里 $\displaystyle \mathscr{O}$ 表示零变换. (西北大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /
$$\begin{aligned} \mathscr{T}(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n)=(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n)A, A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&&&\\\\ 1&\ddots&&\\\\ &\ddots&0&\\\\ &&1&0\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这表明 $\displaystyle \mathrm{im} \mathscr{T}=L(\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n), \ker \mathscr{T}=L(\varepsilon_n)$. 再者,
$$\begin{aligned} A^{n-1}=E_{n1}, A^n=0\Rightarrow \mathscr{T}^n=\mathscr{O}, \mathscr{T}^{n-1}\neq\mathscr{O}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1487、 3、 (20 分) 设向量组
$$\begin{aligned} \alpha_1=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\star\\\\ \star\\\\ \star\end{array}\right), \alpha_2=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\star\\\\ \star\\\\ \star\end{array}\right), \alpha_2=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\star\\\\ \star\\\\ \star\end{array}\right)\left(\mbox{具体数据未知}\right), \beta=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0\\\\2k\\\\0\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
讨论 $\displaystyle k$ 的取值, 使得 $\displaystyle \beta$ 不可由 $\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性表出; $\displaystyle \beta$ 可由 $\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 唯一线性表出; $\displaystyle \beta$ 可由 $\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性表出, 且表示方法不唯一, 并求出一般表达式. [题目不全, 张祖锦没法做哦.] (西南财经大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / [题目不全, 张祖锦没法做哦.]跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1488、 7、 (20 分) 设 $\displaystyle \sigma,\tau$ 是线性空间 $\displaystyle V$ 上的线性变换, 且 $\displaystyle \sigma\tau=\tau\sigma$, 记
$$\begin{aligned} V^{\lambda_0}=\left\{\alpha\in V; \exists\ m\in \mathbb{Z}_+,\mathrm{ s.t.} (\sigma-\lambda_0\mathscr{E})^m\alpha=0\right\}, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
其中 $\displaystyle \mathscr{E}$ 为恒等变换. 证明: $\displaystyle V^{\lambda_0}$ 为 $\displaystyle V$ 的子空间, 且 $\displaystyle V^{\lambda_0}$ 是 $\displaystyle \sigma$ 与 $\displaystyle \tau$ 的不变子空间. (西南财经大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 对 $\displaystyle \forall\ \alpha,\beta\in V^{\lambda_0}, k,l\in \mathbb{F}$,
$$\begin{aligned} &(\sigma-\lambda_0\mathscr{E})^m(k\alpha+l\beta)=k(\sigma-\lambda_0\mathscr{E})^m\alpha+l(\sigma-\lambda_0\mathscr{E})^m\beta=k0+l0=0\\\\ \Rightarrow&k\alpha+l\beta\in V^{\lambda_0}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle V^{\lambda_0}$ 是 $\displaystyle V$ 的子空间. 再者,
$$\begin{aligned} \alpha\in V^{\lambda_0}\Rightarrow (\sigma-\lambda_0\mathscr{E})^m \left[\sigma(\alpha)\right] =\sigma(\sigma-\lambda_0\mathscr{E})^m\alpha=\sigma 0=0\Rightarrow \sigma(\alpha)\in V^{\lambda_0}, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
$$\begin{aligned} \alpha\in V^{\lambda_0}\Rightarrow (\sigma-\lambda_0\mathscr{E})^m\left[\tau(\alpha)\right] =\tau (\sigma-\lambda_0\mathscr{E})^m\alpha=\tau(0)=0\Rightarrow \tau(\alpha)\in V^{\lambda_0}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle V^{\lambda_0}$ 是 $\displaystyle \sigma$ 与 $\displaystyle \tau$ 的不变子空间.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1489、 8、 (15 分) 设 $\displaystyle A$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{P}$ 上的 $\displaystyle n$ 阶方阵, $\displaystyle f_1(x), f_2(x)\in\mathbb{P}[x]$, $\displaystyle f_1(x), f_2(x)$ 互素, $\displaystyle V$ 为齐次线性方程组 $\displaystyle f_1(A)f_2(A)X=0$ 的解空间, $\displaystyle V_1$ 为 $\displaystyle f_1(A)X=0$ 的解空间, $\displaystyle V_2$ 为 $\displaystyle f_2(A)X=0$ 的解空间. 求证: $\displaystyle V=V_1\oplus V_2$. (西南财经大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由题设,
$$\begin{aligned} V=&\left\{X;f_1(A)f_2(A)X=0\right\},\\\\ V_1=&\left\{X;f_1(A)X=0\right\},\quad V_2=\left\{X;f_2(A)X=0\right\}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则 $\displaystyle V_1,V_2$ 是 $\displaystyle V$ 的子空间. 又由 $\displaystyle f_1,f_2$ 互素知存在多项式 $\displaystyle u,v$ 使得
$$\begin{aligned} u(x)f_1(x)+v(x)f_2(x)=1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是 (1)、 $\displaystyle X\in V_1\cap V_2\Rightarrow X=u(A)f_1(A)X+v(A)f_2(A)X=0$. (2)、 由 $\displaystyle f_2(A)u(A)f_1(A)X=u(A)f_1(A)f_2(A)X=0\Rightarrow u(A)f_1(A)X\in V_2$ 知
$$\begin{aligned} X\in V\Rightarrow X=u(A)f_1(A)X+v(A)f_2(A)X\in V_2+ V_1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是 $\displaystyle V=V_1\oplus V_2$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1490、 (3)、 (15 分) 设 $\displaystyle V$ 为数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上四维线性空爱你, $\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$ 为 $\displaystyle V$ 的一组基, $\displaystyle \mathscr{A}$ 为 $\displaystyle V$ 上的线性变换, 且
$$\begin{aligned} \mathscr{A}\alpha_1=\alpha_2, \mathscr{A}\alpha_2=\alpha_2, \mathscr{A}\alpha_3=\alpha_2, \mathscr{A}\alpha_4=\alpha_1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
令
$$\begin{aligned} \mathrm{im} \mathscr{A}=&\left\{\beta\in V; \beta=\mathscr{A} \alpha, \forall\ \alpha\in V\right\},\\\\ \ker \mathscr{A}=&\left\{\alpha\in V; \mathscr{A}\alpha=0\right\} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
分别为 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的像空间与核. 求 $\displaystyle \mathrm{im}\mathscr{A}, \ker\mathscr{A}, \ker \mathscr{A}+\mathrm{im} \mathscr{A}, \mathrm{im}\mathscr{A}\cap \ker \mathscr{A}$ 的一组基和维数. (西南交通大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /
$$\begin{aligned} \mathscr{A}(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)A, A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&0&0&1\\\\ 1&1&1&0\\\\ 0&0&0&0\\\\ 0&0&0&0\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(3-1)、 取 $\displaystyle x_2,x_3$ 为自由变量知 $\displaystyle Ax=0$ 的基础解系为 $\displaystyle (-1,1,0,0)^\mathrm{T}, (-1,0,1,0)^\mathrm{T}$. 故
$$\begin{aligned} \ker\mathscr{A}=L(-\alpha_1+\alpha_2,-\alpha_1+\alpha_3)\Rightarrow \dim \ker \mathscr{A}=2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(3-2)、
$$\begin{aligned} \mathrm{im}\mathscr{A}=&L(\mathscr{A}\alpha_1,\mathscr{A}\alpha_2,\mathscr{A}\alpha_3,\mathscr{A}\alpha_4) =L(\alpha_2,\alpha_2,\alpha_2,\alpha_1)=L(\alpha_1,\alpha_2), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
而 $\displaystyle \dim \mathrm{im}\mathscr{A}=2$. (3-3)、 由
$$\begin{aligned} &(-\alpha_1+\alpha_2,-\alpha_1+\alpha_3,\alpha_1,\alpha_2)=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)B,\\\\ &B=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-1&-1&1&0\\\\ 1&0&0&1\\\\ 0&1&0&0\\\\ 0&0&0&0\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&0&1\\\\ 0&1&0&0\\\\ 0&0&1&1\\\\ 0&0&0&0\end{array}\right)\qquad(I) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle -\alpha_1+\alpha_2,-\alpha_1+\alpha_3,\alpha_1$ 线性无关, 是 $\displaystyle \ker\mathscr{A}+\mathrm{im}\mathscr{A}$ 的一组基. 当然也有更为简单的一组基 $\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$. 从而 $\displaystyle \dim(\ker\mathscr{A}+\mathrm{im}\mathscr{A})=3$. (3-4)、 由
$$\begin{aligned} &\alpha\in \ker \mathscr{A}\cap \mathrm{im}\mathscr{A}\\\\ \Leftrightarrow& \alpha=x_1(-\alpha_1+\alpha_2)+x_2(-\alpha_1+\alpha_3)=-x_3\alpha_1-x_4\alpha_2\\\\ \Leftrightarrow&\alpha=-x_3\alpha_1-x_4\alpha_2, Bx=0\\\\ \stackrel{(I)}{\Leftrightarrow}&\alpha=-x_3\alpha_1-x_4\alpha_2, x=k\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-1\\\\0\\\\-1\\\\1\end{array}\right) \Leftrightarrow\alpha=k(\alpha_1-\alpha_2) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle \ker \mathscr{A}\cap \mathrm{im}\mathscr{A}=L(\alpha_1-\alpha_2), \dim (\ker \mathscr{A}\cap \mathrm{im}\mathscr{A})=1$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1491、 4、 (10 分) 设 $\displaystyle V$ 为实数域上的全体 $\displaystyle n$ 元二次型组成的集合. 证明: $\displaystyle V$ 对于多项式的加法和数域与多项式的乘法构成线性空间, 并给出 $\displaystyle V$ 的维数和一组基. (西南交通大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle f(x)=x^\mathrm{T} Ax, g(x)=x^\mathrm{T} Bx\in V$, 其中 $\displaystyle A,B\in\mathbb{R}^{n\times n}$ 是对称矩阵, 则
$$\begin{aligned} kf(x)+lg(x)=x^\mathrm{T} (kA+lB)x\in V. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle V$ 是 $\displaystyle \mathbb{P}[x_1,\cdots,x_n]$ 的子空间, 而是线性空间. 再者, 由 $\displaystyle f\mapsto A$ 是线性同构知
$$\begin{aligned} x^\mathrm{T} E_{ii}x=x_i^2, x^\mathrm{T}\frac{E_{ij}+E_{ji}}{2}x=x_ix_j, 1\leq i\leq n, 1\leq j\neq i\leq n \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
是 $\displaystyle V$ 的一组基, 而 $\displaystyle \dim V=\frac{n(n+1)}{2}$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1492、 6、 设 $\displaystyle A=(a_{ij})){m\times n}$ 是实矩阵, $\displaystyle V_1$ 为 $\displaystyle Ax=0$ 的解空间. 令
$$\begin{aligned} \alpha_i=(a_{i1},a_{i2},\cdots,a_{in})^\mathrm{T}, i=1,2,\cdots,m, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
$\displaystyle V_2=L(\alpha_1,\cdots,\alpha_m)$. 证明: $\displaystyle \mathbb{R}^n=V_1\oplus V_2$. (湘潭大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle \mathrm{rank} A=r$, 则 $\displaystyle \dim V_1=n-r, \dim V_2=r$. 由题设, $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\alpha_1^\mathrm{T}\\\\\vdots\\\\\alpha_m^\mathrm{T}\end{array}\right)$. 故
$$\begin{aligned} &\beta\in V_1\cap V_2\Rightarrow A\beta=0, \beta=\sum_i x_i\alpha_i\\\\ \Rightarrow&\alpha_i^\mathrm{T} \beta=0, \forall\ 1\leq i\leq m, \beta=\sum_i x_i\alpha_i\\\\ \Rightarrow&\beta^\mathrm{T} \beta=\sum_ix_i\alpha_i^\mathrm{T} \beta=0\Rightarrow \beta=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
进而
$$\begin{aligned} \dim(V_1+V_2)=&\dim V_1+\dim V_2-\dim(V_1\cap V_2)=(n-r)+r-0=n. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这表明 $\displaystyle V_1+V_2=\mathbb{R}^n$. 联合 $\displaystyle V_1\cap V_2=\left\{0\right\}$ 知 $\displaystyle \mathbb{R}^n=V_1\oplus V_2$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1493、 9、 设 $\displaystyle \mathscr{T}$ 是线性空间 $\displaystyle V$ 上的线性变换, $\displaystyle x_1,\cdots,x_k$ 是 $\displaystyle \mathscr{T}$ 的 $\displaystyle k$ 个不用的特征值, 且 $\displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_k$ 分别为其对应的特征向量. 证明: 若 $\displaystyle \alpha_1+\cdots+\alpha_k\in W$, 且 $\displaystyle W$ 是 $\displaystyle \mathscr{T}$ 的不变子空间, 则 $\displaystyle \dim W\geq k$. (湘潭大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle \alpha_1+\cdots+\alpha_k=\alpha\in W$, 则
$$\begin{aligned} x_1\alpha_1+\cdots+x_k\alpha_k=\mathscr{A}\alpha\in W, \cdots, x_1^{k-1}\alpha_1+\cdots+x_k^{k-1}\alpha_k=\mathscr{A}^{k-1}\alpha\in W. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是
$$\begin{aligned} &(\alpha_1,\cdots,\alpha_k)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&x_1&\cdots&x_1^{k-1}\\\\ 1&x_2&\cdots&x_2^{k-1}\\\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\\\ 1&x_k&\cdots&x_k^{k-1}\end{array}\right)=(\alpha,\mathscr{A}\alpha,\cdots,\mathscr{A}^{k-1}\alpha)\\\\ \Rightarrow&(\alpha_1,\cdots,\alpha_k)=(\alpha,\mathscr{A}\alpha,\cdots,\mathscr{A}^{k-1}\alpha) \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&x_1&\cdots&x_1^{k-1}\\\\ 1&x_2&\cdots&x_2^{k-1}\\\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\\\ 1&x_k&\cdots&x_k^{k-1}\end{array}\right)^{-1}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这表明 $\displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_k$ 是 $\displaystyle \alpha,\mathscr{A}\alpha,\cdots,\mathscr{A}^{k-1}\alpha\in W$ 的线性组合, 而 $\displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_k\in W$. 又由 $\displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_k$ 是 $\displaystyle \mathscr{A}$ 属于不同特征值的特征向量知它们线性无关. 于是
$$\begin{aligned} \dim W\geq \dim L\left(\alpha_1,\cdots,\alpha_k\right)=k. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1494、 4、 (10 分) 设 $\displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_s$ 的秩为 $\displaystyle r$, $\displaystyle \alpha_{i_1},\cdots,\alpha_{i_r}$ 是 $\displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_s$ 的 $\displaystyle r$ 个向量, 使得 $\displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_s$ 中的每个向量都可以经它们线性表示. 证明: $\displaystyle \alpha_{i_1},\cdots,\alpha_{i_r}$ 是 $\displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_s$ 的一个极大线性无关组. (新疆大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle A=(\alpha_1,\cdots,\alpha_s), B=(\alpha_{i_1},\cdots,\alpha_{i_r})$, 则由题设,
$$\begin{aligned} \mathrm{rank} A=r; \exists\ C,\mathrm{ s.t.} A=BC\Rightarrow \mathrm{rank} B\geq \mathrm{rank} A=r. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle \mathrm{rank} B=r$, 而 $\displaystyle \alpha_{i_1},\cdots,\alpha_{i_r}$ 线性无关, 是 $\displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_s$ 中 $\displaystyle r$ 个线性无关的向量组, 而是 $\displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_s$ 的一个极大无关组.
$$\begin{aligned} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1495、 8、 (15 分) 证明: 在 $\displaystyle \mathbb{P}[x]_n$ 中, 多项式
$$\begin{aligned} f_1(x)=&(x-a_2)(x-a_3)\cdots(x-a_n),\\\\ f_i(x)=&(x-a_1)\cdots(x-a_{i-1})(x-a_{i+1})\cdots (x-a_n)\left(i=2,\cdots,n-1\right),\\\\ f_n(x)=&(x-a_1)(x-a_2)\cdots(x-a_{n-1}) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
是一组基, 其中 $\displaystyle a_1,\cdots,a_n$ 是互不相同的数. (新疆大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由题设, $\displaystyle f_i(a_j)=0, j\neq i$;
$$\begin{aligned} f_i(a_i)=(a_i-a_1)\cdots(a_i-a_{i-1})(a_i-a_{i+1})\cdots (a_i-a_n)\neq 0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是
$$\begin{aligned} \sum_{i=1}^n k_if_i(x)=0\Rightarrow 0=\sum_{i=1}^n k_if_i(a_j)=k_jf_j(a_j)\Rightarrow k_j=0, \forall\ j. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这就证明了 $\displaystyle f_1,\cdots,f_n$ 线性无关, 而是 $\displaystyle n$ 维线性空间 $\displaystyle \mathbb{P}[x]_n$ 的一组基.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
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发表于 2023-3-5 13:24:19