张祖锦2023年数学专业真题分类70天之第48天
1082、 (4)、 设 $\displaystyle \left\{A\in\mathbb{R}^{4\times 4}; A^2=2A+3I\right\}$ 按其实数域上是否相似来分类, 共分为 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$ 类. (电子科技大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle A$ 的零化多项式为 $\displaystyle x^2-2x-3=(x+1)(x-3)$ 没有重根, 而可对角化. 从而 $\displaystyle A\sim \mathrm{diag} (\lambda_1,\cdots,\lambda_4)$, $\displaystyle \lambda_i\in \left\{-1,3\right\}$. 注意实矩阵在 $\displaystyle \mathbb{C}$ 中相似则定在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 中相似, 我们知共有 $\displaystyle 5$ 类, 它们的 Jordan 标准形为
$$\begin{aligned} &\mathrm{diag}(-1,-1,-1,-1), \mathrm{diag}(-1,-1,-1,3), \mathrm{diag}(-1,-1,3,3),\\\\ &\mathrm{diag}(-1,3,3,3), \mathrm{diag}(3,3,3,3). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1083、 (2)、 设 $\displaystyle A,C$ 都是 $\displaystyle n$ 阶实对称矩阵, $\displaystyle B$ 是 $\displaystyle n$ 阶实矩阵, $\displaystyle \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A&B\\\\ B^\mathrm{T}&C\end{array}\right)$ 是正定阵. (2-1)、 证明: $\displaystyle C-B^\mathrm{T} A^{-1}B$ 正定; (2-2)、 证明: $\displaystyle \left|\begin{array}{cccccccccc}A&B\\\\ B^\mathrm{T}&C\end{array}\right|\leq |A|\cdot |C|$. (电子科技大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由 $\displaystyle \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A&B\\\\ B^\mathrm{T}&C\end{array}\right)$ 正定知 $\displaystyle A,C$ 正定, 而可逆. 再由
$$\begin{aligned} \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E&0\\\\ -B^\mathrm{T} A^{-1}&E\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A&B\\\\ B^\mathrm{T}&C\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E&-A^{-1}B\\\\ 0&E\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A&0\\\\ 0&C-B^\mathrm{T} A^{-1}B\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle C-B^\mathrm{T} A^{-1}B$ 正定. 由 $\displaystyle C$ 正定知存在可逆矩阵 $\displaystyle P$, 使得 $\displaystyle P^\mathrm{T} CP=E$. 于是
$$\begin{aligned} P^\mathrm{T} (C-B^\mathrm{T} A^{-1}B)P=E-P^\mathrm{T} B^\mathrm{T} A^{-1}BP \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
正定. 又由 $\displaystyle A^{-1}$ 正定 $\displaystyle \Rightarrow P^\mathrm{T} B^\mathrm{T} A^{-1}BP$ 半正定 ($B$ 未必是方阵; 即使是方阵, 也未必可逆) $\displaystyle \Rightarrow P^\mathrm{T} B^\mathrm{T} A^{-1}BP$ 的特征值 $\displaystyle \lambda_1,\cdots,\lambda_n$ 都 $\displaystyle \geq 0$. 进而 $\displaystyle E-P^\mathrm{T} B^\mathrm{T} A^{-1}BP$ 的特征值 $\displaystyle 1-\lambda_1,\cdots,1-\lambda_n$ 都 $\displaystyle \leq 1$. 综上, 我们知 $\displaystyle E-P^\mathrm{T} B^\mathrm{T} A^{-1}BP$ 的特征值 $\displaystyle 1-\lambda_i\in (0,1]$. 于是
$$\begin{aligned} &\det (E-P^\mathrm{T} B^\mathrm{T} A^{-1}BP)=\prod_{i=1}^n (1-\lambda_i)\leq 1\\\\ \Rightarrow& \det (C-B^\mathrm{T} A^{-1}B)\leq \frac{1}{\det P^\mathrm{T} \det P}=\det C\\\\ \Rightarrow&\det\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A&B\\\\ B^\mathrm{T}&C\end{array}\right)=\det A\cdot \det (C-B^\mathrm{T} A^{-1}B) \leq \det A\cdot \det C . \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1084、 (3)、 设数域 $\displaystyle \mathbb{F}$ 上的 $\displaystyle n$ 阶方阵 $\displaystyle A,B$ 使得 $\displaystyle AB=BA=0$, 且秩 $\displaystyle \mathrm{rank} A=n-1$. 设非零向量 $\displaystyle \alpha,\beta$ 分别是 $\displaystyle AX=0$ 与 $\displaystyle A^\mathrm{T} X=0$ 的非零解. (3-1)、 证明存在数 $\displaystyle k\in\mathbb{F}$ 使得 $\displaystyle B=k\alpha\beta^\mathrm{T}$; (3-2)、 证明存在多项式 $\displaystyle g(x)\in\mathbb{F}[x]$, 使得 $\displaystyle B=g(A)$. (电子科技大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (3-1)、 由 $\displaystyle \mathrm{rank} A=\mathrm{rank}(A^\mathrm{T})=n-1$ 知 $\displaystyle \alpha,\beta$ 分别是 $\displaystyle AX=0, A^\mathrm{T} X=0$ 的基础解系. 由 $\displaystyle AB=0$ 知 $\displaystyle B$ 的列向量都是 $\displaystyle \alpha$ 的线性组合:
$$\begin{aligned} B=(k_1\alpha,\cdots, k_n\alpha)=\alpha(k_1,\cdots,k_n). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由 $\displaystyle \alpha\neq 0$ 知 $\displaystyle B$ 的行向量组都是 $\displaystyle (k_1,\cdots,k_n)$ 的倍数. 又由 $\displaystyle BA=0\Rightarrow A^\mathrm{T} B^\mathrm{T}=0$ 知 $\displaystyle B^\mathrm{T}$ 的列向量组 (就是 $\displaystyle B$ 的行向量组的转置) 都是 $\displaystyle A^\mathrm{T} X=0$ 的解. 从而
$$\begin{aligned} \exists\ k,\mathrm{ s.t.} \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}k_1\\\\\vdots\\\\k_n\end{array}\right)=k\beta\Rightarrow B=\alpha(k_1,\cdots,k_n)=\alpha \cdot k\beta^\mathrm{T} =k\alpha\beta^\mathrm{T}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(3-2)、 由 $\displaystyle |A|=0$ 知 $\displaystyle A$ 以 $\displaystyle 0$ 为特征值, 可设 $\displaystyle A$ 的最小多项式为 $\displaystyle m(\lambda)=\lambda f(\lambda)$, 其中 $\displaystyle \partial(f)\leq n-1$. 由最小多项式的定义知
$$\begin{aligned} &f(A)\neq 0\Rightarrow \mathrm{rank} f(A)\geq 1,\\\\ &0=m(A)=Af(A)=f(A)A\Rightarrow \mathrm{rank} A+\mathrm{rank} f(A)\leq n\\\\ &\Rightarrow \mathrm{rank} f(A)\leq 1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle \mathrm{rank} f(A)=1$. 再由 $\displaystyle Af(A)=f(A)A=0$ 及第 i 步知 $\displaystyle f(A)=l\alpha\beta^\mathrm{T}, l\neq 0$. 于是
$$\begin{aligned} B=k\alpha\beta^\mathrm{T}=\frac{k}{l}f(A), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
确为 $\displaystyle A$ 的多项式.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1085、 3、 设矩阵
$$\begin{aligned} A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&-2&3&-1\\\\ 0&1&-1&1\\\\ 1&2&0&-2\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(1)、 求 $\displaystyle A^\mathrm{T} A$ 的秩; (2)、 求矩阵 $\displaystyle B$, 使得 $\displaystyle AB=E$. (东北大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由
$$\begin{aligned} A\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&0&6\\\\ 0&1&0&-4\\\\ 0&0&1&-5\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle \mathrm{rank}(A^\mathrm{T} A)=\mathrm{rank} A=3$. 又由
$$\begin{aligned} (A,E)\to \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&0&6&2&6&-1\\\\ 0&1&0&-4&-1&-3&1\\\\ 0&0&1&-5&-1&-4&1\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle Ax=e_i, i=1,2,3$ 有特解
$$\begin{aligned} \xi_1=(2,-1,-1,0)^\mathrm{T}, \xi_2=(6,-3,-4,0)^\mathrm{T}, \xi_3=(-1,1,1,0)^\mathrm{T}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
令 $\displaystyle B=(\xi_1,\xi_2,\xi_3)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&6&-1\\\\ -1&-3&1\\\\ -1&-4&1\\\\ 0&0&0\end{array}\right)$, 则 $\displaystyle AB=E_3$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1086、 8、 设 $\displaystyle A$ 为 $\displaystyle m\times n$ 矩阵, $\displaystyle B$ 为 $\displaystyle n\times s$ 矩阵, 证明: 若 $\displaystyle AB=0$, 则
$$\begin{aligned} \mathrm{rank} A+\mathrm{rank} B\leq n. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(用三种方法.) (东北大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 设 $\displaystyle B=(\beta_1,\cdots,\beta_l)$, 它的极大无关组为 $\displaystyle \beta_{i_1},\cdots,\beta_{i_r}$, 其中 $\displaystyle r=\mathrm{rank} B$. 由 $\displaystyle AB=0$ 知 $\displaystyle \beta_{i_j}\left(1\leq j\leq r\right)$ 是 $\displaystyle Ax=0$ 的解. 于是
$$\begin{aligned} \left\{\beta_{i_1},\cdots,\beta_{i_r}\right\}\subset \left\{x; Ax=0\right\}\equiv V. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
又由 $\displaystyle \dim V=n-\mathrm{rank} A$, 我们知 $\displaystyle r\leq n-\mathrm{rank} A\Rightarrow \mathrm{rank} A+\mathrm{rank} B\leq n$. (2)、 设
$$\begin{aligned} \mathrm{im} B=\left\{Bx; x\in\mathbb{F}^s\right\}, \ker A=\left\{x\in \mathbb{F}^n; Ax=0\right\}, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则 $\displaystyle AB=0\Rightarrow \mathrm{im} B\subset \ker A$, 而
$$\begin{aligned} n=\dim \ker A+\dim \mathrm{im} A\geq \dim \mathrm{im} B+\dim \mathrm{im} A=\mathrm{rank} B+\mathrm{rank} A . \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(3)、 由
$$\begin{aligned} \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A&0\\\\ E_n&B\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&-AB\\\\ E_n&B\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&0\\\\ E_n&B\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&0\\\\ E_n&0\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知
$$\begin{aligned} n=\mathrm{rank} E_n=\mathrm{rank}\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A&0\\\\ E_n&B\end{array}\right)\geq \mathrm{rank} A+\mathrm{rank} B . \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1087、 10、 设 $\displaystyle A$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{P}$ 上的 $\displaystyle n\times n$ 矩阵, 满足 $\displaystyle A^2=A$. (1)、 证明: $\displaystyle A$ 相似于一个对角矩阵 (用两种方法). (2)、 证明: $\displaystyle \mathrm{tr} A=\mathrm{rank} A$. (东北大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 (1-1)、 由 $\displaystyle A$ 的零化多项式 $\displaystyle \lambda^2-\lambda$ 没有重根知 $\displaystyle A$ 的极小多项式也没有重根, 而在 $\displaystyle \mathbb{C}$ 中可对角化. 由 $\displaystyle A$ 的特征值为 $\displaystyle 0$ 或 $\displaystyle 1$ 知 $\displaystyle A$ 在 $\displaystyle \mathbb{C}$ 中相似于 $\displaystyle \mathrm{diag}(E_r,0)$. 从而在 $\displaystyle \mathbb{P}$ 中相似与 $\displaystyle \mathrm{diag}(E_r,0)$. (1-2)、 设
$$\begin{aligned} V_1=\left\{\alpha\in\mathbb{P}^n; A\alpha=\alpha\right\}, V_0=\left\{\alpha\in\mathbb{P}^n; A\alpha=0\right\}, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则 $\displaystyle \dim V_0=n-\mathrm{rank} A\equiv r$. 由
$$\begin{aligned} \mathbb{P}^n\ni \alpha=&A\alpha+(\alpha-A\alpha)\in V_1+V_0,\\\\ \alpha\in V_1\cap V_0\Rightarrow&\alpha=A\alpha=0 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle \mathbb{P}^n=V_1\oplus V_0$. 由
$$\begin{aligned} \dim V_0=n-\mathrm{rank} A=n-r \Rightarrow \dim V_1=n-\dim V_0=r \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知可取 $\displaystyle V_1$ 的一组基 $\displaystyle \varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_r$, $\displaystyle V_0$ 的一组基 $\displaystyle \varepsilon_{r+1},\cdots,\varepsilon_n$, 则 $\displaystyle T=(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n)$ 可逆, 且
$$\begin{aligned} &T^{-1}AT=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E_r&\\\\ &0\end{array}\right)\Rightarrow A\sim \mathrm{diag}(E_r,0). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2)、 由第 1 步的第 2 个证明即知 $\displaystyle \mathrm{tr} A=r=\mathrm{rank} A$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1088、 4、 (15 分) 证明: 秩等于 $\displaystyle r$ 的矩阵可以表示为 $\displaystyle r$ 个秩等于 $\displaystyle 1$ 的矩阵之和, 但不能表示为少于 $\displaystyle r$ 个秩等于 $\displaystyle 1$ 的矩阵之和. (东北师范大学2023年高等代数与解析几何考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle \mathrm{rank} A=r$, 则存在可逆矩阵 $\displaystyle P,Q$ 使得
$$\begin{aligned} A=P\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E_r&\\\\ &0\end{array}\right)Q=\sum_{i=1}^r PE_{ii}Q, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
是 $\displaystyle r$ 个秩等于 $\displaystyle 1$ 的矩阵之和. 往用反证法证明 $\displaystyle A$ 不能表示为少于 $\displaystyle r$ 个秩等于 $\displaystyle 1$ 的矩阵之和. 若不然,
$$\begin{aligned} A=\sum_{i=1}^s A_i, s < r, \mathrm{rank} A_i=1\Rightarrow \mathrm{rank} A\leq \sum_{i=1}^s \mathrm{rank} A_i=s < r. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这是一个矛盾. 故有结论.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1089、 5、 (15 分) 设 $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle n$ 阶实满秩矩阵, 证明: 存在正交矩阵 $\displaystyle P_1,P_2$, 使得
$$\begin{aligned} P_1^{-1}AP_2=\mathrm{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_n), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
其中 $\displaystyle \lambda_i > 0, i=1,\cdots,n$. (东北师范大学2023年高等代数与解析几何考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由 $\displaystyle \mathrm{rank} A=n$ 知 $\displaystyle Ax=0$ 只有零解, 而
$$\begin{aligned} 0\neq x\in\mathbb{R}^n\Rightarrow y=Ax\neq 0\Rightarrow x^\mathrm{T} (A^\mathrm{T} A)x=y^\mathrm{T} y > 0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle A^\mathrm{T} A$ 正定, 存在正交阵 $\displaystyle P_2$ 使得
$$\begin{aligned} P_2^\mathrm{T} (A^\mathrm{T} A)P_2=\mathrm{diag}(\mu_1,\cdots,\lambda_n), \mu_i > 0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
记
$$\begin{aligned} \lambda_i=\sqrt{\mu_i}, P_1=AP_2\mathrm{diag}(\lambda_1^{-1},\cdots,\lambda_n^{-1}), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则
$$\begin{aligned} P_1^{-1}AP_2=\mathrm{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_n)P_2^{-1}A^{-1}\cdot AP_2=\mathrm{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_n). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
且
$$\begin{aligned} P_1^\mathrm{T} P_1=\mathrm{diag}(\lambda_1^{-1},\cdots,\lambda_n^{-1})P_2^\mathrm{T} A^\mathrm{T} \cdot AP_2\mathrm{diag}(\lambda_1^{-1},\cdots,\lambda_n^{-1})=E_n \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
蕴含 $\displaystyle P_1$ 是正交矩阵.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1090、 2、 设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1&1\\\\ 1&-2&0\\\\ 1&2&-1\end{array}\right)$. 证明: 存在正交阵 $\displaystyle Q$, 使得 $\displaystyle QA$ 为上三角阵且对角元全为正数. (数字是什么不重要, 只要 $\displaystyle A$ 可逆就行) (东南大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 这就是可逆矩阵的 $\displaystyle QR$ 分解. 设 $\displaystyle A=(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)$, 则对 $\displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_n$ 施行 Gram-Schmidt 标准正交化过程得
$$\begin{aligned} &\beta_1=\frac{\alpha_1}{k_1}, \beta_2=\frac{\alpha_2-(\alpha_2,\beta_1)\beta_1}{k_2},\cdots,\\\\ &\beta_n=\frac{\alpha_n-(\alpha_n,\beta_1)\beta_1-\cdots-(\alpha_n,\beta_{n-1})\beta_{n-1}}{k_n},\\\\ &k_1=|\alpha_1| > 0, k_2=|\alpha_2-(\alpha_2,\beta_1)\beta_1| > 0, \cdots,\\\\ &k_n=\left|\alpha_n-(\alpha_n,\beta_1)\beta_1-\cdots-(\alpha_n,\beta_{n-1})\beta_{n-1}\right| > 0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
注意: $\displaystyle A$ 可逆蕴含 $\displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_n$ 线性无关, 而各 $\displaystyle k_i > 0$. 于是
$$\begin{aligned} &\alpha_1=k_1\beta_1, \alpha_2=(\alpha_2,\beta_1)\beta_1+k_2\beta_2,\cdots,\\\\ &\alpha_n=(\alpha_n,\beta_1)\beta_1+\cdots+(\alpha_n,\beta_{n-1})\beta_{n-1}+k_n\beta_n. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
写成矩阵形式就是
$$\begin{aligned} A=(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)=(\beta_1,\cdots,\beta_n)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}k_1&(\alpha_2,\beta_1)&\cdots&(\alpha_n,\beta_1)\\\\ &k_2&\cdots&(\alpha_n,\beta_2)\\\\ &&\ddots&\vdots\\\\ &&&k_n\end{array}\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
恰为一个正交矩阵与上三角矩阵的乘积. 令 $\displaystyle Q=(\beta_1,\cdots,\beta_n)^\mathrm{T}$, 则 $\displaystyle Q$ 正交, 且 $\displaystyle QA$ 为上三角阵且对角元全为正数.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1091、 3、 设 $\displaystyle A,B$ 都是二阶实对称矩阵, 行列式都为负数. 证明: 存在可逆矩阵 $\displaystyle C$, 使得 $\displaystyle C^\mathrm{T} AC=B$. (东南大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由 $\displaystyle A,B$ 都是二阶实对称矩阵知它们的特征值都是实数. 又由它们的行列式都为负数知它们的特征值一正一负. 从而它们的正负惯性指数都为 $\displaystyle 1$, 而 $\displaystyle A,B$ 都合同于 $\displaystyle \mathrm{diag}(1,-1)$. 进而 $\displaystyle A,B$ 合同, 即存在可逆矩阵 $\displaystyle C$, 使得 $\displaystyle C^\mathrm{T} AC=B$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1092、 4、 $\displaystyle A$ 为元素全为有理数的 $\displaystyle n$ 阶方阵, 且 $\displaystyle \sqrt{3}$ 为 $\displaystyle A$ 的一个特征值. (1)、 证明: $\displaystyle -\sqrt{3}$ 也是 $\displaystyle A$ 的一个特征值. (2)、 证明: $\displaystyle n=3$ 时, 存在实可逆矩阵 $\displaystyle P$, 使得 $\displaystyle P^{-1} AP$ 为对角阵. (东南大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 由题设, $\displaystyle f(\lambda)=|\lambda E_n-A|$ 是 $\displaystyle n$ 次有理系数多项式. 易知 $\displaystyle g(\lambda)=\lambda^2-3$ 在 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 中不可约, 而
$$\begin{aligned} \left(f(\lambda),g(\lambda)\right)=1\mbox{或} g(\lambda)\mid f(\lambda). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由
$$\begin{aligned} (f,g)=1\Rightarrow&\exists\ u,v\in\mathbb{Q}[\lambda],\mathrm{ s.t.} u(\lambda)f(\lambda)+v(\lambda)g(\lambda)=1\\\\ \stackrel{\lambda=\sqrt{3}}{\Rightarrow}&0=1,\mbox{矛盾} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle g(\lambda)\mid f(\lambda)$, $\displaystyle f(-\sqrt{3})=0$, $\displaystyle -\sqrt{3}$ 也是 $\displaystyle A$ 的一个特征值. (2)、 由第 1 步知 $\displaystyle (\lambda^2-3)\mid f(\lambda)$, 而
$$\begin{aligned} \exists\ m\in\mathbb{Z},\mathrm{ s.t.} f(\lambda)=(\lambda^2-3)(\lambda-m). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是 $\displaystyle A$ 的特征值为 $\displaystyle \sqrt{3},-\sqrt{3}, m$. 它们是互异的. 设 $\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 为对应的特征向量, 则它们线性无关. 设 $\displaystyle P=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$, 则 $\displaystyle P$ 可逆, 且
$$\begin{aligned} AP=P\mathrm{diag}(\sqrt{3},-\sqrt{3}, m)\Rightarrow P^{-1}AP=\mathrm{diag}(\sqrt{3},-\sqrt{3}, m). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1093、 6、 设 $\displaystyle A$ 是一个 $\displaystyle m\times n$ 实矩阵. 证明: (1)、 $\displaystyle \mathrm{rank}(A^\mathrm{T} A)=\mathrm{rank} A$; (2)、 $\displaystyle A^\mathrm{T} A$ 是半正定矩阵, 并且 $\displaystyle A^\mathrm{T} A$ 是正定矩阵当且仅当 $\displaystyle \mathrm{rank} A=n$. (东南大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 设
$$\begin{aligned} V=\left\{\alpha\in\mathbb{R}^n; A\alpha=0\right\}, W=\left\{\alpha\in\mathbb{R}^n; A^\mathrm{T} A\alpha=0\right\}, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则显然有 $\displaystyle V\subset W$. 又由
$$\begin{aligned} \alpha\in W&\Rightarrow A^\mathrm{T} A\alpha=0\Rightarrow \alpha^\mathrm{T} A^\mathrm{T} A\alpha=0 \stackrel{\beta=A\alpha}{\Rightarrow}\beta^\mathrm{T} \beta=0\\\\ &\Rightarrow \beta=0 \Rightarrow A\alpha=0\Rightarrow \alpha\in V \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle W\subset V$. 于是
$$\begin{aligned} V=W&\Rightarrow n-\mathrm{rank} A=\dim V=\dim W=n-\mathrm{rank}(A^\mathrm{T} A)\\\\ &\Rightarrow \mathrm{rank} A=\mathrm{rank}(A^\mathrm{T} A). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2)、 对 $\displaystyle \forall\ \alpha\in\mathbb{R}^n$, 设 $\displaystyle \beta=A\alpha\in\mathbb{R}^n$, 则
$$\begin{aligned} \alpha^\mathrm{T} (A^\mathrm{T} A)\alpha=\beta^\mathrm{T} \beta\geq 0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle A^\mathrm{T} A$ 半正定. 往证 $\displaystyle n$ 阶矩阵 $\displaystyle A^\mathrm{T} A$ 是正定矩阵当且仅当 $\displaystyle \mathrm{rank} A=n$. (2-1)、 $\displaystyle \Rightarrow$: 由 $\displaystyle A^\mathrm{T} A$ 正定知
$$\begin{aligned} n=\mathrm{rank}(A^\mathrm{T} A)\overset{\tiny\mbox{第1步}}{=} \mathrm{rank} A . \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2-2)、 $\displaystyle \Leftarrow$: 由 $\displaystyle A^\mathrm{T} A$ 半正定知存在正交阵 $\displaystyle P$ 使得
$$\begin{aligned} P^\mathrm{T} (A^\mathrm{T} A) P=\mathrm{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_r,0,\cdots,0), \lambda_i > 0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
又由 $\displaystyle \mathrm{rank} A=n$ 及第 1 步知 $\displaystyle r=\mathrm{rank}(A^\mathrm{T} A)=n$. 这就证明了 $\displaystyle A^\mathrm{T} A$ 的特征值都是正数, $\displaystyle A^\mathrm{T} A$ 正定.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1094、 8、 设实矩阵 $\displaystyle A$ 的特征多项式和最小多项式都是 $\displaystyle (\lambda^2+p\lambda+q)^2$, $\displaystyle a+b\mathrm{ i}$ ($b\neq 0$) 为 $\displaystyle A$ 的一个特征值. 证明: 存在实可逆矩阵 $\displaystyle C$, 使得
$$\begin{aligned} C^{-1}AC=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}a&-b&0&0\\\\ b&a&0&0\\\\ 1&0&a&-b\\\\ 0&1&b&a\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(东南大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由题设, $\displaystyle f(\lambda)=|\lambda E-A|=(\lambda^2+p\lambda+q)^2$, 而 $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle 4$ 阶实矩阵. 又由 $\displaystyle a+b\mathrm{ i}$ 是 $\displaystyle f(\lambda)=0$ 的根, 实多项式 $\displaystyle f(\lambda)$ 的虚根成对出现知 $\displaystyle a-b\mathrm{ i}$ 也是 $\displaystyle f(\lambda)=0$ 的根. 故
$$\begin{aligned} f(\lambda)=\left[\lambda-(a+b\mathrm{ i})\right]^2\left[\lambda-(a-b\mathrm{ i})\right]^2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
又由 $\displaystyle A$ 的极小多项式也是 $\displaystyle f(\lambda)$ 知 $\displaystyle A$ 的 Jordan 标准形为
$$\begin{aligned} J=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}a+b\mathrm{ i}&1&&\\\\ &a+b\mathrm{ i}&&\\\\ &&a-b\mathrm{ i}&1\\\\ &&&a-b\mathrm{ i}\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是存在复可逆矩阵 $\displaystyle P=(\xi_1,\xi_2,\bar{\xi}_1,\bar{\xi_2})$, 使得
$$\begin{aligned} &AP=PJ=P\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}a+b\mathrm{ i}&1&&\\\\ &a+b\mathrm{ i}&&\\\\ &&a-b\mathrm{ i}&1\\\\ &&&a-b\mathrm{ i}\end{array}\right)\\\\ \Rightarrow& A\xi_1=(a+b\mathrm{ i})\xi_1, A\xi_2=\xi_1+(a+b\mathrm{ i})\xi_2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
设 $\displaystyle \xi_1=\alpha+\beta\mathrm{ i}, \xi_2=\gamma+\delta\mathrm{ i}, \alpha,\beta,\gamma,\delta\in\mathbb{R}^n$, 则
$$\begin{aligned} &A(\alpha+\beta\mathrm{ i})=(a+b\mathrm{ i})(\alpha+\beta\mathrm{ i})\\\\ \Rightarrow&A\alpha=a\alpha-b\beta, A\beta=b\alpha+a\beta,\\\\ &A(\gamma+\delta\mathrm{ i})=\alpha+\beta \mathrm{ i}+(a+b\mathrm{ i})(\gamma+\delta\mathrm{ i})\\\\ \Rightarrow&A\gamma=\alpha+a\gamma-b\delta, A\delta=\beta+b\gamma+a\delta.\qquad(I) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
又由
$$\begin{aligned} 0\neq&|P|=|\xi_1,\xi_2,\bar{\xi}_1,\bar{\xi}_2|\\\\ =&|\alpha+\beta\mathrm{ i}, \gamma+\delta\mathrm{ i}, \alpha-\beta\mathrm{ i}, \gamma-\delta\mathrm{ i}| =|2\alpha,2\gamma,\alpha-\beta\mathrm{ i}, \gamma-\delta\mathrm{ i}|\\\\ =&2^2|\alpha,\gamma, -\beta\mathrm{ i},-\delta\mathrm{ i}| =2^2(-\mathrm{ i})^2|\alpha,\gamma,\beta,\delta| \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle C=(\delta,\gamma,\beta,\alpha)$ 是实可逆矩阵, 且
$$\begin{aligned} (I)\Rightarrow AC=C\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}a&-b&0&0\\\\ b&a&0&0\\\\ 1&0&a&-b\\\\ 0&1&b&a\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
结论得证.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1095、 1、 填空题 (每小题 5 分, 共 25 分). (1)、 设 $\displaystyle n$ 阶方阵 $\displaystyle A$ 满足 $\displaystyle A^2+2A-3E=0$, $\displaystyle E$ 为单位阵, 则 $\displaystyle (A+4E)^{-1}=\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (福州大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由带余除法知 $\displaystyle x^2+2x-3=(x-2)(x+4)+5$, 而
$$\begin{aligned} 0=(A-2E)(A+4E)+5E\Rightarrow (A+4E)^{-1}=-\frac{1}{5}(A-2E). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1096、 (5)、 设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}6&-10\\\\ 2&-3\end{array}\right)$, 则 $\displaystyle \mathrm{tr}(A^{2023})=\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$, 其中 $\displaystyle \mathrm{tr} A$ 表示矩阵 $\displaystyle A$ 的迹. (福州大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 易知 $\displaystyle A$ 的特征值为 $\displaystyle 1,2$, 而
$$\begin{aligned} A\sim\mathrm{diag}(1,2)\Rightarrow A^{2023}\sim\mathrm{diag}(1,2^{2023})\Rightarrow \mathrm{tr}(A^{2023})=1+2^{2023}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1097、 2、 简答题 (每题 5 分, 共 25 分). (1)、 设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&1\\\\ 1&4\end{array}\right)$, 矩阵 $\displaystyle B$ 满足 $\displaystyle BA=B+2E$, 求 $\displaystyle \det B$. (福州大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /
$$\begin{aligned} B(A-E)=2E\Rightarrow \det B\cdot \det (A-2E)=2^2\Rightarrow \det B=\frac{4}{2}=2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1098、 (5)、 求矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}3&2&-5\\\\ 2&6&-10\\\\ 1&2&-3\end{array}\right)$ 的不变因子组, 初等因子组和 Jordan 标准形. (福州大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 易知 $\displaystyle A$ 的特征值为 $\displaystyle 2,2,2$. 由 $\displaystyle A-2E\to \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&2&-5\\\\ 0&0&0\\\\ 0&0&0\end{array}\right)$ 知 $\displaystyle A$ 的 Jordan 标准形 $\displaystyle J$ 满足 [严格上三角部分若有两个 $\displaystyle 1$, 则 $\displaystyle \mathrm{rank}(J-2E)=2$; 若没有 $\displaystyle 1$, 则 $\displaystyle \mathrm{rank}(J-2E)=0$. 都得到矛盾]
$$\begin{aligned} \mathrm{rank}(J-2E)=\mathrm{rank}(A-2E)=1\Rightarrow J=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&1&\\\\ &2&\\\\ &&2\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
$\displaystyle A$ 的初等因子为 $\displaystyle \lambda-2,(\lambda-2)^2$, 不变因子为 $\displaystyle 1,\lambda-2,(\lambda-2)^2$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1099、 (2)、 (12 分) 设 $\displaystyle A$ 为实矩阵, 证明: $\displaystyle \mathrm{rank} A=\mathrm{rank}(A^\mathrm{T} A)$. (福州大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 这只要证明
$$\begin{aligned} &\left\{\alpha\in\mathbb{R}^n; A\alpha=0\right\}=\left\{\alpha\in\mathbb{R}^n; A^\mathrm{T} A\alpha=0\right\}\\\\ \Rightarrow&n-\mathrm{rank} A=\dim \mbox{左端}=\dim \mbox{右端}=n-\mathrm{rank}(A^\mathrm{T} A). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
事实上, $\displaystyle A\alpha=0\Rightarrow A^\mathrm{T} A\alpha=0$,
$$\begin{aligned} A^\mathrm{T} A\alpha=0\Rightarrow 0=\alpha^\mathrm{T} A^\mathrm{T} A\alpha\stackrel{\beta=A\alpha}{=}\beta^\mathrm{T} \beta \Rightarrow \beta=0\Rightarrow A\alpha=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1100、 (5)、 (12 分) 设 $\displaystyle A$ 为 $\displaystyle 3$ 阶实对称矩阵, 且 $\displaystyle A$ 的秩为 $\displaystyle 2$, $\displaystyle \lambda_1=\lambda_2=2$ 是 $\displaystyle A$ 的特征值, 且对应的特征向量为
$$\begin{aligned} \alpha_1=(1,1,0)^\mathrm{T}, \alpha_2=(2,1,1)^\mathrm{T}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
求另一个特征值及对应的特征向量, 并求出矩阵 $\displaystyle A$. (福州大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由 $\displaystyle \mathrm{rank} A=2\Rightarrow 0=|A|=|A-0E|$ 知 $\displaystyle 0$ 是 $\displaystyle A$ 的另一个特征值. 又由实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交知 $\displaystyle A$ 的属于特征值 $\displaystyle 0$ 的特征向量 $\displaystyle \alpha_3$ 满足
$$\begin{aligned} \alpha_i^\mathrm{T} \alpha_3=0, i=1,2\Leftrightarrow B\alpha_3=0, B=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1&0\\\\ 2&1&1\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&1\\\\ 0&1&-1\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故可取 $\displaystyle \alpha_3=(-1,1,1)^\mathrm{T}$. 令 $\displaystyle P=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&2&-1\\\\ 1&1&1\\\\ 0&1&1\end{array}\right)$, 则
$$\begin{aligned} AP=P\mathrm{diag}(2,2,0)\Rightarrow A=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}4&2&2\\\\ 2&4&-2\\\\ 2&-2&4\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1101、 (8)、 (14 分) 已知 $\displaystyle A$ 为实对称矩阵, $\displaystyle B$ 为正定矩阵, $\displaystyle A-B$ 为半正定矩阵. 证明: (8-1)、 若 $\displaystyle |A-\lambda B|=0$, 则 $\displaystyle \lambda\geq 1$; (8-2)、 $\displaystyle |A|\geq |B|$. (福州大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (8-1)、 由 $\displaystyle B$ 正定知存在可逆矩阵 $\displaystyle P$ 使得 $\displaystyle P^\mathrm{T} BP=E$. 于是
$$\begin{aligned} A-B\mbox{半正定}\Rightarrow P^\mathrm{T} AP-E\mbox{半正定} \Leftrightarrow P^\mathrm{T} AP\mbox{的特征值 }\geq 1.\qquad(\star) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
设 $\displaystyle \lambda$ 是 $\displaystyle |A-\lambda B|=0$ 的根, 则
$$\begin{aligned} 0=|P^\mathrm{T}|\cdot|A-\lambda B|\cdot |P| =|P^\mathrm{T} AP-\lambda E| =(-1)^n |\lambda E-P^\mathrm{T} AP|. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由 $\displaystyle (\star)$ 即知 $\displaystyle \lambda\geq 1$. (8-2)、 由 $\displaystyle (\star)$ 知 $\displaystyle P^\mathrm{T} AP$ 的所有特征值 $\displaystyle \lambda_1,\cdots,\lambda_n$ 都 $\displaystyle \geq 1$, 而
$$\begin{aligned} |P^\mathrm{T} AP|=\lambda_1\cdots \lambda_n\geq 1 \Rightarrow |A|\geq \frac{1}{|P|^2}=|B|. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1102、 注: 内容包括高等代数, 近世代数, 不含微分几何 (第一大题填空题每题 5 分, 高等代数部分试题每题 20 分, 近世代数部分试题每题 15 分). 1、 填空题. (1)、 给定实对称矩阵
$$\begin{aligned} H=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2-t&1-t&1-t\\\\ 1-t&2-t&1-t\\\\ 1-t&1-t&2-t\end{array}\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
其中 $\displaystyle t$ 是参数, 则令 $\displaystyle H$ 是正定矩阵的 $\displaystyle t$ 的范围是 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (复旦大学2023年代数(第4,6,7,8题没做)考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle H$ 正定等价于 $\displaystyle H$ 的顺序主子式
$$\begin{aligned} 2-t > 0, (2-t)^2-(1-t)^2 > 0, \det H=4-3t > 0 \Leftrightarrow t < \frac{4}{3}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1103、 (2)、 已知 $\displaystyle T$ 是一个 $\displaystyle 2022$ 阶复方阵组成的集合, 满足对任意矩阵 $\displaystyle C\in T$, 有
$$\begin{aligned} C^2=2022C, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
且 $\displaystyle T$ 中的矩阵互不相似, 则 $\displaystyle T$ 中至多有 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$ 个元素. (复旦大学2023年代数(第4,6,7,8题没做)考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由 $\displaystyle C$ 的零化多项式 $\displaystyle \lambda^2-2022\lambda=\lambda(\lambda-2022)$ 没有重根知 $\displaystyle C$ 可对角化, 且特征值为 $\displaystyle 0$ 或 $\displaystyle 2022$. 故 $\displaystyle C$ 的 Jordan 标准形为
$$\begin{aligned} J=\mathrm{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_{2022}), \lambda_i\in\left\{0,2022\right\}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
共有 $\displaystyle 2^{2022}$ 个.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1104、 (3)、 已知 $\displaystyle 10$ 阶实方阵 $\displaystyle B$ 满足
$$\begin{aligned} B^5=0, \quad B^4\neq 0, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则 $\displaystyle B$ 可能的秩是 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (复旦大学2023年代数(第4,6,7,8题没做)考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由题设, $\displaystyle B$ 的最小多项式为 $\displaystyle \lambda^5$, 而 $\displaystyle B$ 的 Jordan 标准形 $\displaystyle J$ 有一个 $\displaystyle 5$ 阶 Jordan 块 $\displaystyle J_5(0)$, 其上有 $\displaystyle 4$ 个 $\displaystyle 1$. 剩下的那些 Jordan 块可能含有 $\displaystyle 1$ 的个数可能为 $\displaystyle 0,1,2,3,4$, 而
$$\begin{aligned} \mathrm{rank} B\in\left\{4,5,6,7,8\right\}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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