张祖锦2023年数学专业真题分类70天之第44天
990、 3、 (10 分) 给定数域 $\displaystyle \mathbb{P}$ 内 $\displaystyle n$ 个数 $\displaystyle a_1,\cdots,a_n$, 令 $\displaystyle s_k=a_1^k+\cdots+a_n^k\ (k=0,1,2,\cdots)$, 其中约定 $\displaystyle a_i^0=1$, 计算下面行列式
$$\begin{aligned} D=\left|\begin{array}{cccccccccc}s_0&s_1&\cdots&s_{n-1}\\\\ s_1&s_2&\cdots&s_n\\\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\\\ s_{n-1}&s_n&\cdots&s_{2n-2}\end{array}\right|. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(长安大学2023年高等代数考研试题) [行列式 ]
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$$\begin{aligned} \mbox{原式}=&\left| \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 1&1&\cdots&1\\\\ x_1&x_2&\cdots&x_n\\\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\\ x_1^{n-1}&x_2^{n-1}&\cdots&x_n^{n-1} \end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 1&x_1&\cdots&x_1^{n-1}\\\\ 1&x_2&\cdots&x_2^{n-1}\\\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\\ 1&x_n&\cdots&x_n^{n-1} \end{array}\right)\right| =\prod_{1\leq i < j\leq n}(x_j-x_i)^2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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991、 3、 计算 $\displaystyle n$ 阶行列式 $\displaystyle \left|\begin{array}{cccccccccc}a&4&4&4&\cdots&4\\\\ 1&a&2&2&\cdots&2\\\\ 1&2&a&2&\cdots&2\\\\ 1&2&2&a&\cdots&2\\\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\\\ 1&2&2&2&\cdots&a\end{array}\right|$. (中国矿业大学(北京)2023年高等代数考研试题) [行列式 ]
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$$\begin{aligned} \mbox{原式}=&2\left|\begin{array}{cccccccccc}\frac{a}{2}&2&2&2&\cdots&2\\\\ 1&a&2&2&\cdots&2\\\\ 1&2&a&2&\cdots&2\\\\ 1&2&2&a&\cdots&2\\\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\\\ 1&2&2&2&\cdots&a\end{array}\right| =2\left|\begin{array}{cccccccccc}\frac{a}{2}&2&2&2&\cdots&2\\\\ 1-\frac{a}{2}&a-2&&&&\\\\ 1-\frac{a}{2}&&a-2&&&\\\\ 1-\frac{a}{2}&&&a-2&&\\\\ \vdots&&&&&\\\\ 1-\frac{a}{2}&&&&&a-2\end{array}\right|. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
第 $\displaystyle i$ 列 $\displaystyle \cdot \frac{1}{2}$ 加到第 $\displaystyle 1$ 列, $\displaystyle 2\leq i\leq n$, 得
$$\begin{aligned} \mbox{原式}=&2\left|\begin{array}{cccccccccc}\frac{a}{2}+n-1&2&2&2&\cdots&2\\\\ 0&a-2&&&&\\\\ 0&&a-2&&&\\\\ 0&&&a-2&&\\\\ \vdots&&&&&\\\\ 0&&&&&a-2\end{array}\right|\\\\ =&2\left(\frac{a}{2}+n-1\right)(a-2)^{n-1}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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992、 2、 (16 分) 计算 $\displaystyle n+1$ 阶行列式
$$\begin{aligned} D_{n+1}=\left|\begin{array}{cccccccccc}a&-1&0&0&\cdots&0\\\\ ax&a&-1&0&\cdots&0\\\\ ax^2&ax&a&-1&\cdots&0\\\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\\\ ax^{n-1}&ax^{n-2}&ax^{n-3}&ax^{n-4}&\cdots&-1\\\\ ax^n&ax^{n-1}&ax^{n-2}&ax^{n-3}&\cdots&a\end{array}\right|. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(中南大学2023年高等代数考研试题) [行列式 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 第 $\displaystyle i$ 列 $\displaystyle \cdot(-x)$ 加到第 $\displaystyle i-1$ 列, $\displaystyle i=2,3,\cdots,n$ 得
$$\begin{aligned} D_{n+1}=\left|\begin{array}{cccccccccc}a+x&-1&&&\\\\ 0&a+x&\ddots&&\\\\ 0&0&\ddots&-1&\\\\ \vdots&\vdots&&a+x&-1\\\\ 0&0&&0&a\end{array}\right|=a(a+x)^n. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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993、 1、 (15 分) 已知行列式 $\displaystyle \left|\begin{array}{cccccccccc}1&9&2&4\\\\ 1&9&2&6\\\\ 2&0&0&1\\\\ 2&0&2&3\end{array}\right|$, $\displaystyle M_{ij}$ 表示 $\displaystyle (ij)$ 元素的余子式. 求 $\displaystyle M_{21}-2M_{22}-3M_{23}+4M_{24}$. (中山大学2023年高等代数考研试题) [行列式 ]
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$$\begin{aligned} \mbox{原式}=&(-1)\cdot(-M_{21})+(-2)\cdot M_{22}+3\cdot(-M_{23})+4\cdot M_{24}\\\\ =&\left|\begin{array}{cccccccccc}1&9&2&4\\\\ -1&-2&3&4\\\\ 2&0&0&1\\\\ 2&0&2&3\end{array}\right|=-66. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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994、 2、 (12 分) 已知行列式 $\displaystyle \left|\begin{array}{cccccccccc}1&-3&-4\\\\ 3&7&8\\\\ x&y&z\end{array}\right|=1$, 试求下列行列式: (1)、 $\displaystyle \left|\begin{array}{cccccccccc}1&1&1\\\\ 3&7&8\\\\ 1+x&1+y&1+z\end{array}\right|$; (2)、 $\displaystyle \left|\begin{array}{cccccccccc}x&2&1\\\\ y&2&-3\\\\ z&2&-4\end{array}\right|$; (3)、 $\displaystyle \left|\begin{array}{cccccccccc}1&-3&-4\\\\ 3-x&7-y&8-z\\\\ 2x&2y&2z\end{array}\right|$. (重庆大学2023年高等代数考研试题) [行列式 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 原式 $\displaystyle =\left|\begin{array}{cccccccccc}1&1&1\\\\ 3&7&8\\\\ x&y&z\end{array}\right|$. 由
$$\begin{aligned} \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&3&1\\\\ 1&7&-3\\\\ 1&8&-4\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&4\\\\ 0&1&-1\\\\ 0&0&0\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知
$$\begin{aligned} (1,-3,-4)=4(1,1,1)-(3,7,8). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
而
$$\begin{aligned} \mbox{原式}=&\frac{1}{4}\left|\begin{array}{cccccccccc}4&4&4\\\\ 3&7&8\\\\ x&y&z\end{array}\right|\\\\ =&\frac{1}{4}\left[\left|\begin{array}{cccccccccc}1&-3&-4\\\\ 3&7&8\\\\ x&y&z\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cccccccccc}3&7&8\\\\ 3&7&8\\\\ x&y&z\end{array}\right|\right]=\frac{1}{4}(1+0)=\frac{1}{4}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2)、
$$\begin{aligned} \mbox{原式}=&\left|\begin{array}{cccccccccc}x&y&z\\\\ 2&2&2\\\\ 1&-3&-4\end{array}\right|=-2\left|\begin{array}{cccccccccc}1&-3&-4\\\\ 1&1&1\\\\ x&y&z\end{array}\right|\\\\ =&-2\left[4 \left|\begin{array}{cccccccccc}1&1&1\\\\ 1&1&1\\\\ x&y&z\end{array}\right|-\left|\begin{array}{cccccccccc}3&7&8\\\\ 1&1&1\\\\ x&y&z\end{array}\right|\right]=-2\left[4\cdot 0+\frac{1}{4}\right]=-\frac{1}{2}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(3)、
$$\begin{aligned} \mbox{原式}=&2\left|\begin{array}{cccccccccc}1&-3&-4\\\\ 3-x&7-y&8-z\\\\ x&y&z\end{array}\right|=2\left|\begin{array}{cccccccccc}1&-3&-4\\\\ 3&7&8\\\\ x&y&z\end{array}\right|=2\cdot 1=2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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995、 2、 (12 分) 设 $\displaystyle f(x)$ 是一个四阶 $\displaystyle \lambda$-矩阵的行列式, 问 $\displaystyle f(x)$ 的根如何? [题目不全, 跟锦数学微信公众号没法做哦.] (重庆师范大学2023年高等代数考研试题) [行列式 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / [题目不全, 跟锦数学微信公众号没法做哦.]跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
996、 3、 (12 分) 已知 $\displaystyle n$ 阶矩阵 $\displaystyle A,B$ 仅有第 $\displaystyle j$ 列不同, 证明:
$$\begin{aligned} |A|+|B|=\frac{1}{2^{n-1}}|A+B|. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(重庆师范大学2023年高等代数考研试题) [行列式 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设
$$\begin{aligned} A=&(\gamma_1,\cdots,\gamma_{j-1},\alpha_j, \gamma_{j+1},\cdots,\gamma_n),\\\\ B=&(\gamma_1,\cdots,\gamma_{j-1},\beta_j, \gamma_{j+1},\cdots,\gamma_n), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则
$$\begin{aligned} &|A+B|=\left|2\gamma_1,\cdots,2\gamma_{j-1},\alpha_j+\beta_j, 2\gamma_{j+1},\cdots,2\gamma_n\right|\\\\ =&2^{n-1}\left|\gamma_1,\cdots,\gamma_{j-1},\alpha_j+\beta_j, \gamma_{j+1},\cdots,\gamma_n\right|\\\\ =&2^{n-1}\left[\left|\gamma_1,\cdots,\gamma_{j-1},\alpha_j, \gamma_{j+1},\cdots,\gamma_n\right| +\left|\gamma_1,\cdots,\gamma_{j-1},\beta_j, \gamma_{j+1},\cdots,\gamma_n\right|\right]\\\\ =&2^{n-1}(|A|+|B|). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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997、 2、 (20 分) 设 $\displaystyle A=(a_{ij})$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{F}$ 上的 $\displaystyle n$ 阶方阵, $\displaystyle A_k$ 是 $\displaystyle A$ 去掉第 $\displaystyle k$ 行剩下的 $\displaystyle n-1$ 行所组成的矩阵, $\displaystyle A_{ij}$ 表示 $\displaystyle A$ 中元素 $\displaystyle a_{ij}$ 的代数余子式. (1)、 若 $\displaystyle |A|\neq 0$, 证明: $\displaystyle (A_{k1},\cdots,A_{kn})^\mathrm{T}$ 是齐次线性方程组 $\displaystyle A_kX=0$ 的一个基础解系. (2)、 若 $\displaystyle |A|=0$, 且元素 $\displaystyle a_{kl}$ 的代数余子式 $\displaystyle A_{kl}\neq 0$. 证明: $\displaystyle (A_{k1},\cdots,A_{kn})^\mathrm{T}$ 是齐次线性方程组 $\displaystyle AX=0$ 的一个基础解系. (北京工业大学2023年高等代数考研试题) [线性方程组 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 由 $\displaystyle |A|\neq 0$ 知 $\displaystyle \mathrm{rank} A=n$, $\displaystyle A$ 的行向量组线性无关, $\displaystyle \mathrm{rank} A_k=n-1$. 又由
$$\begin{aligned} &a_{i1}A_{k1}+\cdots+a_{in}A_{kn}=0, i\neq k\\\\ \Rightarrow&A_k\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A_{k1}\\\\\vdots\\\\A_{kn}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0\\\\\vdots\\\\0\end{array}\right)\qquad(I) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle (A_{k1},\cdots,A_{kn})^\mathrm{T}$ 是 $\displaystyle A_kX=0$ 的解. 注意到
$$\begin{aligned} 0\neq |A|=a_{k1}A_{k1}+\cdots+a_{kn}A_{kn} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
蕴含 $\displaystyle (A_{k1},\cdots,A_{kn})^\mathrm{T}\neq 0$, 而是 $\displaystyle A_kX=0$ 的一个基础解系. (2)、 由 $\displaystyle |A|=0$ 知 $\displaystyle \mathrm{rank} A\leq n-1$. 又由 $\displaystyle A_{kl}\neq 0$ 知 $\displaystyle \mathrm{rank} (A^\star)\geq 1\Rightarrow \mathrm{rank} A\geq n-1$. 故 $\displaystyle \mathrm{rank} A=n-1$, $\displaystyle A_kX=0$ 的基础解系只有一个线性无关的向量. 由 $\displaystyle (I)$ 知 $\displaystyle (A_{k1},\cdots,A_{kn})^\mathrm{T}$ 是 $\displaystyle A_kX=0$ 的解. 又由 $\displaystyle A_{kl}\neq 0$ 知 $\displaystyle (A_{k1},\cdots,A_{kn})^\mathrm{T}\neq 0$, 而是 $\displaystyle A_kX=0$ 的一个基础解系.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
998、 2、 (15 分) 已知
$$\begin{aligned} A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&3&a\\\\ 0&1&-1\\\\ 1&1&1\\\\ 3&5&1\end{array}\right),\quad \beta=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}4\\\\2\\\\1\\\\b\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
问: $\displaystyle a,b$ 为何值时, $\displaystyle AX=\beta$ 有无穷多解, 有唯一解, 无解, 并求无穷多解时的通解. (北京科技大学2023年高等代数考研试题) [线性方程组 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由
$$\begin{aligned} &(A,\beta)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&3&a&4\\\\ 0&1&-1&2\\\\ 1&1&1&1\\\\ 3&5&1&b\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&1&a-2&2\\\\ 0&1&-1&2\\\\ 1&1&1&1\\\\ 0&2&-2&b-3\end{array}\right)\\\\ \to&\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&0&a-1&0\\\\ 0&1&-1&2\\\\ 1&0&2&-1\\\\ 0&0&0&b-7\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&2&-1\\\\ 0&1&-1&2\\\\ 0&0&a-1&0\\\\ 0&0&0&b-7\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 (1)、 当 $\displaystyle b\neq 7$ 时, $\displaystyle AX=\beta$ 无解. (2)、 当 $\displaystyle b=7$ 时, (2-1)、 若 $\displaystyle a\neq 1$, 则 $\displaystyle |A|\neq 0$, 而 $\displaystyle AX=\beta$ 有唯一解. (2-2)、 若 $\displaystyle a=1$, 则
$$\begin{aligned} (A,\beta)\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&2&-1\\\\ 0&1&-1&2\\\\ 0&0&0&0\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
而 $\displaystyle AX=\beta$ 有无穷多解, 且取 $\displaystyle x_3$ 为自由变量后通解为
$$\begin{aligned} k(-2,1,1)^\mathrm{T}+(-1,2,0)^\mathrm{T},\quad \forall\ k. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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999、 (5)、 若
$$\begin{aligned} \alpha_1=(1,2), \alpha_2=(3,4), \beta_1=(-1,3), \beta_2=(5,7), \alpha_iA^\mathrm{T} =\beta_i\left(i=1,2\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则 $\displaystyle A=\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (北京理工大学2023年高等代数考研试题) [线性方程组 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /
$$\begin{aligned} &\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\alpha_1\\\\\alpha_2\end{array}\right)A^\mathrm{T} =\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\beta_1\\\\\beta_2\end{array}\right) \Leftrightarrow A^\mathrm{T} =\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\alpha_1\\\\\alpha_2\end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\beta_1\\\\\beta_2\end{array}\right) =\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}7&1\\\\ -4&1\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}7&-4\\\\ 1&1\end{array}\right)$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1000、 5、 已知非齐次线性方程组 $\displaystyle (I), (II)$:
$$\begin{aligned} (I): & \left\{\begin{array}{rrrrrrrrrrrrrrrr}x_1&+&x_2&&&-&2x_4&=&-6,\\\\ 4x_1&-&x_2&-&x_3&-&x_4&=&1,\\\\ 3x_1&-&x_2&-&x_3&&&=&3;\end{array}\right.\\\\ (II): & \left\{\begin{array}{rrrrrrrrrrrrrrrr} x_1&+&mx_2&-&x_3&-&x_4&=&-5,\\\\ &&nx_2&-&x_3&-&2x_4&=&-11,\\\\ &&&&x_3&-&2x_4&=&-t+11.\end{array}\right. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(1)、 求方程组 $\displaystyle (I)$ 的通解; (2)、 当方程组 $\displaystyle (II)$ 中的参数 $\displaystyle m,n,t$ 为何值时, 方程组 $\displaystyle (I)$ 与 $\displaystyle (II)$ 同解? (北京邮电大学2023年高等代数考研试题) [线性方程组 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle (I)$ 的增广矩阵
$$\begin{aligned} \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1&0&-2&-6\\\\ 4&-1&-1&-1&1\\\\ 3&-1&-1&0&3\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&0&-1&-2\\\\ 0&1&0&-1&-4\\\\ 0&0&1&-2&-5\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
而 $\displaystyle (I)$ 的通解为
$$\begin{aligned} k(1,1,2,1)^\mathrm{T}+(-2,-4,-5,0)^\mathrm{T}, \quad \forall\ k. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
$\displaystyle (II)$ 的增广矩阵
$$\begin{aligned} \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&m&-1&-1&-5\\\\ 0&n&-1&-2&-11\\\\ 0&0&1&-2&-t+11\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&m&0&-3&6-t\\\\ 0&n&0&-4&-t\\\\ 0&0&1&-2&-t+11\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由 $\displaystyle (I), (II)$ 同解知
$$\begin{aligned} \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&m&0&-3\\\\ 0&n&0&-4\\\\ 0&0&1&-2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1\\\\1\\\\2\\\\1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0\\\\0\\\\0\end{array}\right)\Rightarrow m=2, n=4, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
$$\begin{aligned} \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&m&0&-3\\\\ 0&n&0&-4\\\\ 0&0&1&-2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-2\\\\-4\\\\-5\\\\0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}6-t\\\\-t\\\\-t+11\end{array}\right)\Rightarrow t=16. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1001、 (3)、 当 $\displaystyle a,b$ 为何值时, 以下方程有唯一解, 无穷多解, 无解?
$$\begin{aligned} \left\{\begin{array}{rrrrrrrrrrrrrrrr} x_1&+&ax_2&+&x_3&=&3,\\\\ x_1&+&x_2&+&bx_3&=&3,\\\\ x_1&+&x_2&+&2bx_3&=&3. \end{array}\right. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(大连理工大学2023年高等代数考研试题) [线性方程组 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 增广矩阵
$$\begin{aligned} (A,\beta)=&\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&a&1&3\\\\ 1&1&b&3\\\\ 1&1&2b&3\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&a&1&3\\\\ 0&1-a&b-1&0\\\\ 0&1-a&2b-1&0\end{array}\right)\\\\ \to&\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&a&1&3\\\\ 0&1-a&b-1&0\\\\ 0&0&b&0\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(3-1)、 若 $\displaystyle a\neq 1, b\neq 0$, 则 $\displaystyle |A|\neq 0$, 而 $\displaystyle Ax=\beta$ 有唯一解. (3-2)、 若 $\displaystyle a=1$, 则 $\displaystyle b-1,b$ 至少一个不为 $\displaystyle 0$, $\displaystyle \mathrm{rank} (A,\beta)=\mathrm{rank} A=2$, 而 $\displaystyle AX=\beta$ 有无穷多解. (3-3)、 若 $\displaystyle b=0$, 则 $\displaystyle b-1=-1\neq 0$, $\displaystyle \mathrm{rank} (A,\beta)=\mathrm{rank} A=2$, 而 $\displaystyle AX=\beta$ 有无穷多解.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1002、 2、 证明题. (1)、 已知 $\displaystyle n$ 维向量组 $\displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_r$ 为线性方程组 $\displaystyle AX=0$ 的一个基础解系, $\displaystyle n$ 维向量 $\displaystyle \beta_0$ 不是 $\displaystyle AX=0$ 的解. 证明: 向量组
$$\begin{aligned} \beta,\beta+\alpha_1,\cdots,\beta+\alpha_r \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
线性无关. (大连理工大学2023年高等代数考研试题) [线性方程组 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由题设, $\displaystyle A\beta_0\neq 0$. 于是
$$\begin{aligned} &x\beta+\sum_i x_i(\beta+\alpha_i)=0\\\\ \stackrel{A\cdot}{\Rightarrow}&0=xA\beta+\sum_i x_iA\beta =\left(x+\sum_i x_i\right)A\beta \Rightarrow x+\sum_i x_i=0\\\\ \Rightarrow&s0=x\beta+\sum_i x_i(\beta+\alpha_i)=\sum_i x_i\alpha_i \Rightarrow x_i=0\Rightarrow x=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle \beta,\beta+\alpha_1,\cdots,\beta+\alpha_r$ 线性无关.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1003、 2、 计算题 (共 60 分, 每题 12 分). (1)、 当 $\displaystyle \lambda$ 为何值时, 齐次线性方程组
$$\begin{aligned} \left\{\begin{array}{rrrrrrrrrrrrrrrr} (\lambda-2)x_1&-&3x_2&-&2x_3&=&0,\\\\ -x_1&+&(\lambda-8)x_2&-&2x_3&=&0,\\\\ 2x_1&+&14x_2&+&(\lambda+3)x_3&=&0 \end{array}\right. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
有非零解? 并求出它的通解? (电子科技大学2023年高等代数考研试题) [线性方程组 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 系数矩阵
$$\begin{aligned} A=&\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\lambda-2&-3&-2\\\\ -1&\lambda-8&-2\\\\ 2&14&\lambda+3\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&13-10\lambda+\lambda^2&2-2\lambda\\\\ 1&8-\lambda&2\\\\ 0&2\lambda-2&\lambda-1\end{array}\right)\\\\ \to&\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&(\lambda-3)^2&0\\\\ 1&8-\lambda&2\\\\ 0&2(\lambda-1)&\lambda-1\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&8-\lambda&2\\\\ 0&(\lambda-3)^2&0\\\\ 0&2(\lambda-1)&\lambda-1\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(1)、 当 $\displaystyle \lambda=3$ 时,
$$\begin{aligned} A\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&5&2\\\\ 0&2&1\\\\ 0&0&0\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1&0\\\\ 0&2&1\\\\ 0&0&0\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
而 $\displaystyle Ax=0$ 的通解为 $\displaystyle k\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-1\\\\1\\\\-2\end{array}\right),\forall\ k$. (2)、 若 $\displaystyle \lambda=1$, 则
$$\begin{aligned} A\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&7&2\\\\ 0&1&0\\\\ 0&0&0\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&2\\\\ 0&1&0\\\\ 0&0&0\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
而 $\displaystyle Ax=0$ 的通解为 $\displaystyle k\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-2\\\\0\\\\1\end{array}\right),\forall\ k$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1004、 9、 证明非齐次线性方程组 $\displaystyle A_{s\times n}X=\beta_1, B_{l\times n}X=\beta_2$ 同解的充要条件是
$$\begin{aligned} \mathrm{rank}(A,\beta_1)+\mathrm{rank}(B,\beta_2)=\mathrm{rank} A+\mathrm{rank} B+2, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
或
$$\begin{aligned} &\mathrm{rank}\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A&\beta_1\\\\ B&\beta_2\end{array}\right)=\mathrm{rank}\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A\\\\B\end{array}\right)=\mathrm{rank} A=\mathrm{rank} B\\\\ =&\mathrm{rank}(A,\beta_1)=\mathrm{rank}(B,\beta_2). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(东北大学2023年高等代数考研试题) [线性方程组 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 $\displaystyle \Rightarrow$: (1-1)、 若一个方程组都无解, 则由它们同解知
$$\begin{aligned} &\mathrm{rank}(A,\beta_1)=\mathrm{rank} A+1, \mathrm{rank}(B,\beta_2)=\mathrm{rank} B+1\\\\ \Rightarrow&\mathrm{rank}(A,\beta_1)+\mathrm{rank}(B,\beta_2)=\mathrm{rank} A+\mathrm{rank} B+2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(1-2)、 若一个方程组有解, 则由它们同解知
$$\begin{aligned} AX=\beta_1\Leftrightarrow BX=\beta_2\Leftrightarrow \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A\\\\B\end{array}\right)X=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\beta_1\\\\\beta_2\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由线性方程组有解的充要条件知 $\displaystyle \mathrm{rank}\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A&\beta_1\\\\ B&\beta_2\end{array}\right)=\mathrm{rank}\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A\\\\B\end{array}\right)$,
$$\begin{aligned} \mathrm{rank} A=\mathrm{rank}(A,\beta_1), \mathrm{rank} B=\mathrm{rank}(B,\beta_2). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
又由
$$\begin{aligned} &\left\{X\in\mathbb{P}^n; AX=\beta_1\right\}=\left\{X\in\mathbb{P}^n; BX=\beta_2\right\}\\\\ \Rightarrow&\left\{X\in\mathbb{P}^n; AX=0\right\}=\left\{X\in\mathbb{P}^n; BX=0\right\}\\\\ \Rightarrow&\left\{X\in\mathbb{P}^n; AX=0\right\}=\left\{X\in\mathbb{P}^n; \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A\\\\B\end{array}\right)X=0\right\}\\\\ &=\left\{X\in\mathbb{P}^n; BX=0\right\}\\\\ \Rightarrow&\dim\left\{X\in\mathbb{P}^n; AX=0\right\}=\dim\left\{X\in\mathbb{P}^n; \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A\\\\B\end{array}\right)X=0\right\}\\\\ &=\dim\left\{X\in\mathbb{P}^n; BX=0\right\}\\\\ \Rightarrow&\mathrm{rank} A=\mathrm{rank}\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A\\\\B\end{array}\right)=\mathrm{rank} B \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
即知结论成立. (2)、 $\displaystyle \Leftarrow$: (2-1)、 若第一种情形成立, 则由
$$\begin{aligned} \mathrm{rank} A\leq \mathrm{rank}(A,\beta_1)\leq \mathrm{rank} A+1,\\\\ \mathrm{rank} B\leq \mathrm{rank}(B,\beta_2)\leq \mathrm{rank} B+1 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle \mathrm{rank} (A,\beta_1)=\mathrm{rank} A+1, \mathrm{rank} (B,\beta_2)=\mathrm{rank} B+1$. 而 $\displaystyle AX=\beta_1, BX=\beta_2$ 都无解, 而同解. (2-2)、 若第二种情形成立, 则
$$\begin{aligned} \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A\\\\ B\end{array}\right)X=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\beta_1\\\\\beta_2\end{array}\right), AX=\beta_1, BX=\beta_2 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
都有解. 由
$$\begin{aligned} \mathrm{rank}\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A&\beta_1\\\\ B&\beta_2\end{array}\right)=\mathrm{rank}(A,\beta_1)=\mathrm{rank}(B,\beta_2) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle (B,\beta_2)$ 的行向量组可由 $\displaystyle (A,\beta_1)$ 的行向量组的一个极大无关组线性表出, 而可由 $\displaystyle (A,\beta_1)$ 的行向量组线性表出, 从而 $\displaystyle AX=\beta_1$ 的解都是 $\displaystyle BX=\beta_2$ 的解; 同理, $\displaystyle (A,\beta_1)$ 的行向量组可由 $\displaystyle (B,\beta_2)$ 的行向量组的一个极大无关组线性表出, 而可由 $\displaystyle (B,\beta_2)$ 的行向量组线性表出, 从而 $\displaystyle (B,\beta_2)$ 的解都是 $\displaystyle AX=\beta_1$ 的解. 故而两方程组同解.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1005、 2、 设矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1&a\\\\ 1&a&1\\\\ a&1&1\end{array}\right), \beta=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1\\\\1\\\\-2\end{array}\right)$, 若线性方程组 $\displaystyle AX=\beta$ 有解但不唯一. (1)、 (5 分) 求 $\displaystyle a$ 的值; (2)、 (10 分) 求一个正交矩阵 $\displaystyle Q$, 使得 $\displaystyle Q^\mathrm{T} AQ$ 为对角矩阵. (东北师范大学2023年高等代数与解析几何考研试题) [线性方程组 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、
$$\begin{aligned} (A,\beta)=&\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1&a&1\\\\ 1&a&1&1\\\\ a&1&1&-2\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1&a&1\\\\ 0&a-1&1-a&0\\\\ 0&1-a&1-a^2&-2-a\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
若 $\displaystyle a=1$, 则 $\displaystyle \mathrm{rank} A=1 < 2=\mathrm{rank}(A,\beta)$, 而 $\displaystyle Ax=\beta$ 无解, 与题设矛盾. 故 $\displaystyle a\neq 1$,
$$\begin{aligned} (A,\beta)\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&a+1&1\\\\ 0&1&-1&0\\\\ 0&0&-(a-1)(a+2)&-(a+2)\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
若 $\displaystyle a\neq -2$, 则 $\displaystyle |A|\neq 0$, $\displaystyle Ax=\beta$ 有唯一解, 与题设矛盾. 故 $\displaystyle a=-2$. (2)、 易知 $\displaystyle A$ 的特征值为 $\displaystyle 3,-3,0$. 由
$$\begin{aligned} &3E-A\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&1\\\\ 0&1&0\\\\ 0&0&0 \end{array}\right), -3E-A\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&-1\\\\ 0&1&2\\\\ 0&0&0 \end{array}\right),\\\\ &0 E-A\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&-1\\\\ 0&1&-1\\\\ 0&0&0 \end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle A$ 的属于特征值 $\displaystyle 3,-3,0$ 的特征向量分别为
$$\begin{aligned} \xi_1=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-1\\\\0\\\\1 \end{array}\right), \xi_2=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1\\\\-2\\\\1 \end{array}\right), \xi_3=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1\\\\1\\\\1 \end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
将 $\displaystyle \xi_1,\xi_2,\xi_3$ 标准正交化为 $\displaystyle \eta_1,\eta_2,\eta_3$. 令
$$\begin{aligned} Q=(\eta_1,\eta_2,\eta_3)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc} -\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{3}}\\\\ 0&-\frac{2}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{3}}\\\\ \frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{3}} \end{array}\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则 $\displaystyle Q$ 正交, 且
$$\begin{aligned} Q^\mathrm{T} AQ=Q^{-1}AQ=\mathrm{diag}\left(3,-3,0\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1006、 1、 设 $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle m\times n$ 矩阵, $\displaystyle \mathrm{rank} A=r$, 非齐次线性方程组 $\displaystyle AX=B$ 的解集合为 $\displaystyle S$. 证明: $\displaystyle S$ 中存在 $\displaystyle n-r+1$ 个线性无关的向量, 但任意 $\displaystyle n-r+2$ 个向量线性相关. (东南大学2023年高等代数考研试题) [线性方程组 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由 $\displaystyle \mathrm{rank} A=r$ 知可设 $\displaystyle Ax=0$ 的基础解系为
$$\begin{aligned} \alpha_1,\cdots,\alpha_{n-r}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
又设 $\displaystyle \gamma\neq 0$ 是 $\displaystyle Ax=B$ 的一个特解, 往证
$$\begin{aligned} \gamma, \alpha_1+\gamma,\cdots, \alpha_{n-r}+\gamma \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
是 $\displaystyle Ax=B$ 的 $\displaystyle n-r+1$ 个线性无关的解, 且 $\displaystyle Ax=B$ 的任一解 $\displaystyle \delta$ 都可由 $\displaystyle \gamma, \alpha_1+\gamma,\cdots,\alpha_{n-r}+\gamma$ 线性表出. 事实上, 由
$$\begin{aligned} &k_0\gamma+\sum_{i=1}^{n-r}k_i(\alpha_i+\gamma)=0\\\\ \Rightarrow&k_0B+\sum_{i=1}^{n-r}k_iB=0\left(\mbox{用 $\displaystyle A$ 作用}\right)\\\\ \Rightarrow&k_0+\sum_{i=1}^{n-r}k_i=0\left(B\neq 0\right)\\\\ \Rightarrow&\sum_{i=1}^{n-r}k_i\alpha_i=0\left(\mbox{代入本式第一行}\right)\\\\ \Rightarrow&k_1=\cdots=k_{n-r}=0\left(\mbox{$\alpha_1,\cdots,\alpha_{n-r}$ 是 $\displaystyle Ax=0$ 的基础解系}\right)\\\\ \Rightarrow&k_0=0\left(\mbox{代入本式第一行}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle \gamma, \alpha_1+\gamma,\cdots, \alpha_{n-r}+\gamma$ 线性无关. 由
$$\begin{aligned} &\delta\mbox{ 是 $\displaystyle Ax=B$ 的解}\\\\ \Rightarrow&A\delta=B\Rightarrow A(\delta-\gamma)=0\\\\ \Rightarrow&\exists\ x_i,\mathrm{ s.t.} \delta-\gamma=\sum_{i=1}^{n-r}x_i \alpha_i\\\\ \Rightarrow&\delta=\left(1-\sum_{i=1}^{n-r}x_i\right)\gamma +\sum_{i=1}^{n-r}x_i(\alpha_i+\gamma) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle Ax=\beta$ 的任一解 $\displaystyle \delta$ 都可由 $\displaystyle \gamma, \alpha_1+\gamma,\cdots,\alpha_{n-r}+\gamma$ 线性表出. 这就证明了方程组有 $\displaystyle n-r+1$ 个线性无关的解向量
$$\begin{aligned} \gamma, \alpha_1+\gamma,\cdots, \alpha_{n-r}+\gamma, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
但任意 $\displaystyle n-r+2$ 个解向量线性相关.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1007、 (2)、 设齐次线性方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{rrrrrrrrrrrrrrrr}ax_1&+&x_2&+&x_3&=&0,\\\\ x_1&+&ax_2&+&x_3&=&0,\\\\ x_1&+&x_2&+&ax_3&=&0\end{array}\right.$ 有非零解, 求 $\displaystyle a$. (福州大学2023年高等代数考研试题) [线性方程组 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由题设, 方程组系数矩阵 $\displaystyle A$ 满足
$$\begin{aligned} 0=\left|\begin{array}{cccccccccc}a&1&1\\\\ 1&a&1\\\\ 1&1&a\end{array}\right|=(a-1)^2(a+2)\Rightarrow a=1\mbox{或} -2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1008、 3、 解答题. (1)、 (12 分) 齐次线性方程组
$$\begin{aligned} \left\{\begin{array}{rrrrrrrrrrrrrrrr}x_1&+&x_2&+&x_3&=&0,\\\\ ax_1&+&bx_2&+&x_3&=&0,\\\\ a^2x_1&+&b^2x_2&+&x_3&=&0.\end{array}\right. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(1-1)、 当 $\displaystyle a,b$ 存在何种关系时, 齐次线性方程组没有非零解? (1-2)、 当 $\displaystyle a,b$ 存在何种关系时, 齐次线性方程组有非零解? 且求出全部解. (福州大学2023年高等代数考研试题) [线性方程组 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 方程组系数矩阵 $\displaystyle A$ 的行列式 $\displaystyle \det A=-(a-1)(a-b)(b-1)$. (1-1)、 当 $\displaystyle a\neq 1, a\neq b, b\neq 1$ 时, $\displaystyle \det A\neq 0$, 而 $\displaystyle Ax=0$ 只有零解, 没有非零解. (1-2)、 当 $\displaystyle a=b=1$ 时, $\displaystyle A\to \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1&1\\\\ 0&0&0\\\\ 0&0&0\end{array}\right)$, 而 $\displaystyle Ax=0$ 有非零解, 且通解为
$$\begin{aligned} k(-1,1,0)^\mathrm{T}+l(-1,0,1)^\mathrm{T}, \quad \forall\ k,l. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
当 $\displaystyle a=b\neq 1$ 时,
$$\begin{aligned} A=&\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1&1\\\\ a&a&1\\\\ a^2&a^2&1\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1&1\\\\ a-1&a-1&0\\\\ a^2-1&a^2-1&0\end{array}\right) \to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&0&1\\\\ 1&1&0\\\\ 0&0&0\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
而 $\displaystyle Ax=0$ 有非零解, 且通解为
$$\begin{aligned} k(-1,1,0)^\mathrm{T}, \forall\ k. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
当 $\displaystyle 1=a\neq b$ 时,
$$\begin{aligned} A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1&1\\\\ 1&b&1\\\\ 1&b^2&1\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1&1\\\\ 0&b-1&0\\\\ 0&b^2-1&0\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&1\\\\ 0&1&0\\\\ 0&0&0\end{array}\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
而 $\displaystyle Ax=0$ 有非零解, 且通解为
$$\begin{aligned} k(-1,0,1)^\mathrm{T}, \quad \forall\ k. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
当 $\displaystyle a\neq b=1$ 时,
$$\begin{aligned} A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1&1\\\\ a&1&1\\\\ a^2&1&1\end{array}\right) \to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1&1\\\\ a-1&0&0\\\\ a^2-1&0&0\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&1&1\\\\ 1&0&0\\\\ 0&0&0\end{array}\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
而 $\displaystyle Ax=0$ 有非零解, 且通解为
$$\begin{aligned} k(0,-1,1)^\mathrm{T}, \quad \forall\ k. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1009、 2、 设 $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle n$ 阶实方阵, 证明以下两个命题等价: (1)、 齐次线性方程组 $\displaystyle Ax=0$ 与 $\displaystyle A^2x=0$ 在实 $\displaystyle n$ 维列向量空间中的解集相同. (2)、 齐次线性方程组 $\displaystyle Ax=0$ 与 $\displaystyle A^{2022}x=0$ 在实 $\displaystyle n$ 维列向量空间中的解集相同. [张祖锦注: 回忆的题目有问题, 反例见参考解解答. 没法做哦.] (复旦大学2023年代数(第4,6,7,8题没做)考研试题) [线性方程组 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 张祖锦注: 回忆的题目有问题, 比如 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&1\\\\ 0&0\end{array}\right)\Rightarrow A^2=0$. 明显 $\displaystyle Ax=0$ 与 $\displaystyle A^2x=0$ 在实 $\displaystyle n$ 维列向量空间中的解集不同啊.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1010、 (7)、 若方程组
$$\begin{aligned} \left\{\begin{array}{rrrrrrrrrrrrrrrr} x_1&+&x_2&+&2x_3&+&3x_4&=&1,\\\\ x_1&+&3x_2&+&6x_3&+&x_4&=&3,\\\\ 3x_1&-&x_2&-&kx_3&+&15x_4&=&3,\\\\ x_1&-&5x_2&-&10x_3&+&12x_4&=&1 \end{array}\right. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
有唯一解, 则 $\displaystyle k\neq\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (广西大学2023年高等代数考研试题) [线性方程组 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 系数矩阵为 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1&2&3\\\\ 1&3&6&1\\\\ 3&-1&-k&15\\\\ 1&-5&-10&12\end{array}\right)$, 而由题设, $\displaystyle 0\neq |A|=10(k-2)\Leftrightarrow k\neq 2$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1011、 5、 已知两组方程组如下:
$$\begin{aligned} (A): &\left\{\begin{array}{rrrrrrrrrrrrrrrr} x_1&+&x_2&-&&-&2x_4&=&-6,\\\\ 4x_1&-&x_2&-&x_3&-&x_4&=&1,\\\\ 3x_1&-&x_2&-&x_3&&&=&3; \end{array}\right.\\\\ (B): &\left\{\begin{array}{rrrrrrrrrrrrrrrr} x_1&+&mx_2&-&x_3&-&x_4&=&-5,\\\\ &&nx_2&-&x_3&+&2x_4&=&-11,\\\\ &&&&x_3&-&2x_4&=&-t+1. \end{array}\right. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(1)、 求方程组 $\displaystyle (A)$ 的解, 用其导出组线性表示; (2)、 求 $\displaystyle m,n,t$ 的值, 使得 $\displaystyle (A)$ 与 $\displaystyle (B)$ 同解. [张祖锦算是算出来了, 但是题目有问题, 具体见参考解答.] (广西大学2023年高等代数考研试题) [线性方程组 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 $\displaystyle (A)$ 的增广矩阵
$$\begin{aligned} (A,\beta)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1&0&-2&-6\\\\ 4&-1&-1&-1&1\\\\ 3&-1&-1&0&3\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&0&-1&-2\\\\ 0&1&0&-1&-4\\\\ 0&0&1&-2&-5\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故通解为 $\displaystyle k(1,1,2,1)^\mathrm{T}+(-2,-4,-5,0)^\mathrm{T}, \forall\ k$. (2)、 由两个方程组增广矩阵的秩相等知 $\displaystyle n\neq 0$, 而 $\displaystyle (B)$ 的增广矩阵
$$\begin{aligned} (B,\gamma)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&m&-1&-1&-5\\\\ 0&n&-1&2&-11\\\\ 0&0&1&-2&-t+1\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由题设,
$$\begin{aligned} \gamma=B\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-2\\\\-4\\\\-5\\\\0\end{array}\right)\Rightarrow \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-5\\\\-11\\\\-t+1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}3-4m\\\\5-4n\\\\-5\end{array}\right)\Rightarrow m=2, n=4, t=6. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
照这样子, 好像算出来了. 但是你会发现 $\displaystyle B$ 的通解根本不是第 1 步所求出来的. 所以题目有问题.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1012、 (4)、 若齐次线性方程组
$$\begin{aligned} \left\{\begin{array}{rrrrrrrrrrrrrrrr} a x_1&+&x_2&+&x_3&=&0,\\\\ x_1&+&a x_2&+&x_3&=&0,\\\\ x_1&+&x_2&+&a x_3&=&0 \end{array}\right. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
的解空间维数为 $\displaystyle 1$, 则 $\displaystyle a=\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (哈尔滨工程大学2023年高等代数考研试题) [线性方程组 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由题设知系数矩阵 $\displaystyle A$ 的秩 $\displaystyle \mathrm{rank} A=3-1=2$. 由
$$\begin{aligned} A=&\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}a&1&1\\\\ 1&a&1\\\\ 1&1&a\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&1-a&1-a^2\\\\ 0&a-1&1-a\\\\ 1&1&a\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle a\neq 1$, 进而
$$\begin{aligned} A\to \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&1&a+1\\\\ 0&1&-1\\\\ 1&1&a\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&0&a+2\\\\ 0&1&-1\\\\ 1&1&a\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle a=-2$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
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