张祖锦2023年数学专业真题分类70天之第34天

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张祖锦2023年数学专业真题分类70天之第34天

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760、 7、 设 $\displaystyle L: x^2+y^2=1$, 求 $\displaystyle \oint_L(|x|+|y|)\mathrm{ d} s$. (黑龙江大学2023年数学分析考研试题) [曲线曲面积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /

$$\begin{aligned} \mbox{原式}\xlongequal{\tiny\mbox{对称性}}&2\oint_L |x|\mathrm{ d} s =2\int_0^{2\pi}|\cos \theta|\mathrm{ d} \theta =2\cdot 4\int_0^\frac{\pi}{2}\cos\theta\mathrm{ d}\theta=8. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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761、 9、 计算积分

$$\begin{aligned} \iint_S (y-z)\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z+(z-x)\mathrm{ d} z\mathrm{ d} x+(x-y)\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

其中 $\displaystyle S$ 为圆锥面 $\displaystyle z=\sqrt{x^2+y^2}, z\leq h\ (h > 0)$, 并取曲面外侧. (湖南大学2023年数学分析考研试题) [曲线曲面积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle \varSigma: x^2+y^2\leq h^2, z=h$, 取上侧, 则在 $\displaystyle \varSigma$ 上, $\displaystyle z=h, \mathrm{ d} z=0$, 而

$$\begin{aligned} \iint_\varSigma\cdots=\iint_{x^2+y^2\leq h^2}(x-y)\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\xlongequal{\tiny\mbox{对称性}} 0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

故

$$\begin{aligned} \mbox{原式}=&\mbox{原式}+\iint_\varSigma\cdots\xlongequal{\tiny\mbox{Gauss}} \iiint_{x^2+y^2\leq z\atop 0\leq z\leq h}0\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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762、 8、 设 $\displaystyle \varGamma$ 是平面上过原点的简单光滑闭曲线, $\displaystyle L_\varepsilon$ 是以原点为圆心, 半径为 $\displaystyle \varepsilon$ 的圆周, $\displaystyle \varGamma_\varepsilon$ 表示 $\displaystyle \varGamma$ 上截取含在 $\displaystyle L_\varepsilon$ 中的曲线段得到的曲线, 取正向. 求极限 $\displaystyle \lim_{\varepsilon\to 0^+}\int_{\varGamma_\varepsilon} \frac{x\mathrm{ d} y-y\mathrm{ d} x}{x^2+y^2}$. (华东理工大学2023年数学分析考研试题) [曲线曲面积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle \varGamma_{\varepsilon\delta}$ 表示 $\displaystyle \varGamma_\varepsilon$ 在 $\displaystyle x^2+y^2=\delta^2$ 外的部分, 其中 $\displaystyle 0 < \delta < \varepsilon$. 再设 $\displaystyle L_{\varepsilon\varepsilon}$ 表示 $\displaystyle L_\varepsilon$ 含在 $\displaystyle \varGamma$ 中的部分: $\displaystyle x=\varepsilon\cos\theta, y=\varepsilon\sin\theta, \theta: \alpha_\varepsilon\to \beta_\varepsilon$, 则

$$\begin{aligned} &\int_{\varGamma_\varepsilon} \frac{x\mathrm{ d} y-y\mathrm{ d} x}{x^2+y^2} =\lim_{\delta\to 0^+}\int_{\varGamma_{\varepsilon\delta}}\frac{x\mathrm{ d} y-y\mathrm{ d} x}{x^2+y^2} \xlongequal{\tiny\mbox{Green}}\lim_{\delta\to 0^+}\int_{L_{\varepsilon\varepsilon}}\frac{x\mathrm{ d} y-y\mathrm{ d} x}{x^2+y^2}\\\\ =&\int_{L_{\varepsilon\varepsilon}}\frac{x\mathrm{ d} y-y\mathrm{ d} x}{x^2+y^2} =\frac{1}{\varepsilon^2}\int_{\alpha_\varepsilon}^{\beta_\varepsilon}\varepsilon^2\mathrm{ d} \theta =(\beta_\varepsilon-\alpha_\varepsilon)\xrightarrow{\varepsilon\to 0^+}\pi. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

最后一个极限是因为 $\displaystyle \varGamma$ 是光滑曲线, 而在原点附近的曲线段趋于 $\displaystyle \varGamma$ 在原点的切线, 所夹的角 $\displaystyle =\pi$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

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763、 4、 求曲面积分 $\displaystyle \iint_\varSigma (x+y+z)\mathrm{ d} S$, 其中 $\displaystyle \varSigma$ 为上半球面 $\displaystyle x^2+y^2+z^2=1\ (z\geq 0)$. (华南理工大学2023年数学分析考研试题) [曲线曲面积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由

$$\begin{aligned} z=\sqrt{1-x^2-y^2}\Rightarrow \sqrt{1+z_x^2+z_y^2}=\frac{1}{z} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

知

$$\begin{aligned} \mbox{原式}\xlongequal{\tiny\mbox{对称性}} \iint_S z\mathrm{ d} S =\iint_{x^2+y^2\leq 1} 1\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y =\pi. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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764、 8、 (10 分) 求曲面积分 $\displaystyle \iint_S x\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z$, 其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle z=\sqrt{1-x^2-y^2}$, 方向取下侧. (华南师范大学2023年数学分析考研试题) [曲线曲面积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle \varSigma: x^2+y^2\leq 1, z=0$, 取上侧, 则 $\displaystyle \iint_\varSigma\cdots=0$. 而

$$\begin{aligned} \mbox{原式}=&-\left(-\mbox{原式}-\iint_\varSigma\cdots\right)\\\\ \xlongequal{\tiny\mbox{Gauss}}&-\iiint_{x^2+y^2+z^2\leq 1\atop z\geq 0}\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z=-\frac{2\pi}{3}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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765、 4、 (15 分) 求极限 $\displaystyle \lim_{x_0\to 0\atop x_1\to+\infty} \iint_S \frac{\mathrm{e}^{-x^9}}{\sqrt{y^2+z^2}}\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z$, 其中 $\displaystyle S$ 由 $\displaystyle x=y^2+z^2$ 和 $\displaystyle x=x_0, x=x_1$ ($a > 0, x_0 < x_1$) 所围成, 方向取取外侧. (华中科技大学2023年数学分析考研试题) [曲线曲面积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle \varSigma_i: x=x_i, y^2+z^2\leq x_i$, 朝 $\displaystyle x$ 轴正向, 则

$$\begin{aligned} \iint_{\varSigma_i}\cdots=&\iint_{y^2+z^2\leq x_i} \frac{\mathrm{e}^{-x_i^9}}{\sqrt{y^2+z^2}}\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z\\\\ =&\mathrm{e}^{-x_i^9}\int_0^{\sqrt{x_i}} \frac{1}{r}\cdot 2\pi r\mathrm{ d} r =2\pi \sqrt{x_i}\mathrm{e}^{-x_i^9}\to 0, x_i\to 0\mbox{或} +\infty. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

故

$$\begin{aligned} \mbox{原式}=&\lim_{x_0\to 0\atop x_1\to+\infty}\left[\iint_S\cdots +\iint_{\varSigma_1}\cdots -\iint_{\varSigma_0}\cdots\right]\\\\ \xlongequal{\tiny\mbox{Gauss}}&\iiint_{y^2+z^2\leq x} \frac{-9x^8\mathrm{e}^{-x^9}}{\sqrt{y^2+z^2}}\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z\\\\ =&\int_0^\infty -9x^8\mathrm{e}^{-x^9}\mathrm{ d} x\iint_{y^2+z^2\leq x} \frac{\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z}{\sqrt{y^2+z^2}}\\\\ =&\int_0^\infty -9x^8\mathrm{e}^{-x^9}\mathrm{ d} x\int_0^{\sqrt{x}} \frac{1}{r}\cdot 2\pi r\mathrm{ d} r\\\\ =&-18\pi \int_0^\infty x^\frac{17}{2} \mathrm{e}^{-x^9}\mathrm{ d} x\\\\ \stackrel{x^9=s}{=}&-2\pi \int_0^\infty s^\frac{1}{18} \mathrm{e}^{-s}\mathrm{ d} s =-2\pi \varGamma\left(\frac{19}{18}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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766、 (4)、 计算积分 $\displaystyle \int_\varGamma (x^\frac{4}{3}+y^\frac{4}{3})\mathrm{ d} s$, 其中 $\displaystyle \varGamma$ 为方程 $\displaystyle x^\frac{2}{3}+y^\frac{2}{3}=a^\frac{2}{3}\ (a > 0)$ 所确定的曲线. (华中师范大学2023年数学分析考研试题) [曲线曲面积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle x=a\cos^3\theta, y=a\sin^3\theta$, 则

$$\begin{aligned} 0\leq \theta\leq \frac{\pi}{2}\Rightarrow \sqrt{x'^2+y'^2}=3a\sin\theta\cos\theta. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

故

$$\begin{aligned} \mbox{原式}\xlongequal{\tiny\mbox{对称性}}&4\int_{\varGamma\cap \left\{x\geq 0, y\geq 0\right\}} (x^\frac{4}{3}+y^\frac{4}{3})\mathrm{ d} s\\\\ =&4\int_0^\frac{\pi}{2} a^\frac{4}{3}(\cos^4\theta+\sin^4\theta)\cdot 3a\sin\theta\cos\theta\mathrm{ d} \theta\\\\ =&4\int_0^\frac{\pi}{2} a^\frac{4}{3}\left(1-2\sin^2\theta\cos^2\theta\right)\cdot 3a\sin\theta\cos\theta\mathrm{ d} \theta =4a^\frac{7}{3}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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767、 (5)、 计算积分 $\displaystyle \iint_S x^3\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z$, 其中 $\displaystyle S$ 为方程 $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ $\displaystyle (a > 0, b > 0, c > 0)$ 所确定的曲面的上半部分 (即 $\displaystyle z\geq 0$ 部分) 的上侧. (华中师范大学2023年数学分析考研试题) [曲线曲面积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 令 $\displaystyle S_1: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\leq 1, z=0$, 取上侧, 则 $\displaystyle \iint_{S_1} x^3\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z\stackrel{\mathrm{ d} z=0}{=}0$. 故

$$\begin{aligned} \mbox{原式}=&\mbox{原式}-\iint_{S_1} x^3\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z \xlongequal{\tiny\mbox{Gauss}} \iint_{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\leq 1\atop z\geq 0} 3x^2\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z\\\\ \stackrel{x=au, y=bv, zcw}{=}&3a^3bc\iiint_{u^2+v^2+w^2\leq 1\atop w\geq 0} u^2\mathrm{ d} u\mathrm{ d} v\mathrm{ d} w\\\\ \xlongequal{\tiny\mbox{对称性}}&a^3bc\iiint_{u^2+v^2+w^2\leq 1\atop w\geq 0} (u^2+v^2+w^2)\mathrm{ d} u\mathrm{ d} v\mathrm{ d} w\\\\ =&a^3bc\int_0^1 r^2\cdot \frac{4\pi r^2}{2}\mathrm{ d} r =\frac{2\pi a^3bc}{5}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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768、 (6)、 计算第二型曲线积分 $\displaystyle \int_L xy\mathrm{ d} x$, 其中 $\displaystyle L$ 是圆周

$$\begin{aligned} (x-a)^2+y^2=a^2\left(a > 0\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

及 $\displaystyle x$ 轴围成的在第一象限内的区域的边界, 取逆时针方向. (吉林大学2023年数学分析考研试题) [曲线曲面积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /

$$\begin{aligned} \mbox{原式}&\xlongequal{\tiny\mbox{Green}} \iint_{(x-a)^2+y^2\leq a^2\atop y\geq 0}(-x)\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\\\\ &\stackrel{x=a+r\cos\theta, y=r\sin \theta}{=}\int_0^\pi \mathrm{ d} \theta \int_0^a -(a+r\cos\theta)\cdot r\mathrm{ d} r=-\frac{\pi a^3}{2}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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769、 (0-18)、 计算

$$\begin{aligned} \oint_L (x^2-2y+3)\mathrm{ d} x+(y^2+x+1)\mathrm{ d} y, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

其中 $\displaystyle L$ 为正向圆周 $\displaystyle x^2+y^2=4$. (吉林师范大学2023年(学科数学)数学分析考研试题) [曲线曲面积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /

$$\begin{aligned} \mbox{原式}\xlongequal{\tiny\mbox{Green}} \iint_{x^2+y^2\leq 4}[1-(-2)]\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y =3\cdot \pi 4=12\pi. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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770、 (0-25)、 设 $\displaystyle L$ 为曲线 $\displaystyle |2x|+|2y|=1$, 取逆时针方向, 计算

$$\begin{aligned} \oint_L \frac{(x-y)\mathrm{ d} x+(x+4y)\mathrm{ d} y}{x^2+4y^2}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

(吉林师范大学2023年(学科数学)数学分析考研试题) [曲线曲面积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle (P,Q)=\frac{(x-y,x+4y)}{x^2+4y^2}$, 则 $\displaystyle Q_x=P_y$, 而

$$\begin{aligned} \mbox{原式}&\xlongequal{\tiny\mbox{Green}} \oint_{x^2+4y^2=\varepsilon^2 \ll 1}P\mathrm{ d} x+Q\mathrm{ d} y\\\\ &=\frac{1}{\varepsilon^2}\oint_{x^2+4y^2=\varepsilon^2}(x-y)\mathrm{ d} x+(x+4y)\mathrm{ d} y\\\\ &\xlongequal{\tiny\mbox{Green}}\frac{1}{\varepsilon^2}\iint_{x^2+4y^2\leq \varepsilon^2}2\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y \stackrel{2y=v}{=}\frac{1}{\varepsilon^2}\iint_{x^2+v^2\leq \varepsilon^2}\mathrm{ d} x\mathrm{ d} v =\pi. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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771、 (3)、 求曲线积分 $\displaystyle \int_L xy\mathrm{ d} s$, 其中 $\displaystyle L$ 为 $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\ (a,b > 0)$ 在第一象限的部分. (暨南大学2023年数学分析考研试题) [曲线曲面积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /

$$\begin{aligned} \mbox{原式}=&\int_0^\frac{\pi}{2}a\cos\theta \cdot b\sin\theta\sqrt{b^2\cos^2\theta+a^2\sin^2\theta}\mathrm{ d} \theta\\\\ =&\frac{ab}{2}\int_0^\frac{\pi}{2} \sin2\theta \sqrt{b^2+(a^2-b^2)\sin^2\theta}\mathrm{ d} \theta\\\\ \stackrel{\sin^2\theta=t}{=}&\frac{ab}{2}\int_0^1 \sqrt{b^2+(a^2-b^2)t}\mathrm{ d} t\\\\ =&\left.\frac{ab}{3(a^2+b^2)}[b^2+(a^2-b^2)t]^\frac{3}{2}\right|_{t=0}^{t=1} =\frac{ab(a^2+ab+b^2)}{3(a+b)}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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772、 (2)、 求曲面积分

$$\begin{aligned} \iint_S x^2\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z+y^2\mathrm{ d} z\mathrm{ d} x+z^2\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

其中 $\displaystyle S$ 为曲面 $\displaystyle (x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2\ (R > 0)$ 的外侧. (暨南大学2023年数学分析考研试题) [曲线曲面积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /

$$\begin{aligned} \mbox{原式}&\xlongequal{\tiny\mbox{Gauss}} \iiint_{(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2\leq R^2} (2x+2y+2z)\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z\\\\ &\stackrel{x-a=u, y-b=v, z-c=w}{=}\iiint_{u^2+v^2+w^2\leq R^2} (a+b+c+u+v+w)\mathrm{ d} u\mathrm{ d} v\mathrm{ d} w\\\\ &\xlongequal{\tiny\mbox{对称性}} 2(a+b+c)\cdot \frac{4\pi R^3}{3} =\frac{8\pi R^3(a+b+c)}{3}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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773、 3、 求

$$\begin{aligned} I=\iint_\varSigma (x^3+z^2)\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z+(y^3+ax^2)\mathrm{ d} z\mathrm{ d} x+(z^3+ay^2)\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

其中 $\displaystyle \varSigma$ 为上半球面 $\displaystyle z=\sqrt{a^2-x^2-y^2}$ ($a > 0$), 取上侧. (南昌大学2023年数学分析考研试题) [曲线曲面积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle S: z=0, x^2+y^2\leq a^2$, 取上侧, 则

$$\begin{aligned} \iint_S \cdots&=\iint_{x^2+y^2\leq a^2} ay^2\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y =\frac{a}{2}\iint_{x^2+y^2\leq a^2} (x^2+y^2)\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\\\\ &=\frac{a}{2}\int_0^a r^2\cdot 2\pi r\mathrm{ d} r=\frac{\pi a^5}{4}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

由 Gauss 公式,

$$\begin{aligned} I&=\left[\iint_{\varSigma}-\iint_S\cdots\right]+\iint_S \cdots\\\\ &=\iiint_{x^2+y^2+z^2\leq a^2\atop z\geq 0} (3x^2+3y^2+3z^2)\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z+\frac{\pi a^5}{4}\\\\ &=3\int_0^a r^2\cdot 2\pi r^2\mathrm{ d} r+\frac{\pi a^5}{4} =\frac{6\pi a^5}{5}+\frac{\pi a^5}{4} =\frac{29\pi}{20}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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774、 2、 (20 分) (1)、 (10 分) 设 $\displaystyle C$ 为三维空间中环绕 $\displaystyle z$ 轴一周的光滑简单闭曲线 (与 $\displaystyle z$ 轴无交点), 其定向与 $\displaystyle z$ 轴成右手系, 记

$$\begin{aligned} (P,Q,R)=\left(\frac{-y}{x^2+y^2},\frac{x}{x^2+y^2},0\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

求 $\displaystyle \int_C P\mathrm{ d} x+Q\mathrm{ d} y+R\mathrm{ d} z$. (南京大学2023年数学分析考研试题) [曲线曲面积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle \left|\begin{array}{cccccccccc}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\\\ \frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\\\ P&Q&R\end{array}\right|=\vec{0}$. 令 $\displaystyle C_\varepsilon: x^2+y^2=\varepsilon^2\ll 1, z=0$, 逆时针为正向; 并取以 $\displaystyle C_\varepsilon,C$ 为边界的曲面 $\displaystyle S$, 则

$$\begin{aligned} \mbox{原式}=&\oint_{C_\varepsilon}\cdots+\left[-\oint_{C_\varepsilon}\cdots+\oint_C \cdots\right]\\\\ \xlongequal{\tiny\mbox{Stokes}}&\frac{1}{\varepsilon^2} (-y\mathrm{ d} x+x\mathrm{ d} y)+\iint_S (Q_x-P_y)\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\\\\ \xlongequal{\tiny\mbox{Green}}&\frac{1}{\varepsilon^2}\iint_{x^2+y^2\leq\varepsilon^2}2\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y+0=2\pi. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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775、 (2)、 (10 分) 设 $\displaystyle S$ 为三维空间中半径为 $\displaystyle R$ 的球面, $\displaystyle \mathbb{R}^3\backslash\left\{0\right\}$ 中光滑向量场

$$\begin{aligned} \vec{F}(x,y,z)=f\left(\left\Vert \vec{r}\right\Vert \right)\vec{r}, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

其中 $\displaystyle \vec{r}=(x,y,z)$, $\displaystyle f$ 只依赖于 $\displaystyle \left\Vert \vec{r}\right\Vert$, $\displaystyle \vec{n}$ 为 $\displaystyle S$ 上单位外法向量. 若 $\displaystyle \int_S \vec{F}\cdot\vec{n}\mathrm{ d} \sigma$ 不依赖于 $\displaystyle R$, 求证: 存在常数 $\displaystyle C$ 使得

$$\begin{aligned} f\left(\left\Vert \vec{r}\right\Vert \right)=C\left\Vert \vec{r}\right\Vert ^{-3}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

(南京大学2023年数学分析考研试题) [曲线曲面积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle r=\left\Vert \vec{r}\right\Vert$, 则

$$\begin{aligned} &\vec{F}=f(r)\vec{r}=\left\{f(r)x,f(r)y,f(r)z\right\}\\\\ \Rightarrow&\mathrm{ div} \vec{F}=\frac{\partial}{\partial x}[f(r)x] +\frac{\partial}{\partial y}[f(r)y] +\frac{\partial}{\partial z}[f(r)z]=3f(r)+rf'(r). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

由题设,

$$\begin{aligned} 0&=\frac{\mathrm{ d}}{\mathrm{ d} R}\int_{\partial B_R}\vec{F}\cdot \vec{n}\mathrm{ d} S \xlongequal{\tiny\mbox{Gauss}} \frac{\mathrm{ d}}{\mathrm{ d} R}\int_{B_R} \mathrm{ div}\vec{F}\mathrm{ d} V\\\\ &=\frac{\mathrm{ d}}{\mathrm{ d} R}\int_0^R [3f(r)+rf'(r)]\cdot 4\pi r^2\mathrm{ d} r\\\\ &=[3f(R)+Rf'(R)]\cdot 4\pi R^2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

故

$$\begin{aligned} &3f(R)+Rf'(R)=0\\\\ \Rightarrow& 0=3R^2f(R)+R^3f(R)=\frac{\mathrm{ d}}{\mathrm{ d} R}[R^3f(R)]\\\\ \Rightarrow&R^3f(R)=C\Rightarrow f(r)=\frac{C}{r^3}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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776、 10、 计算曲面积分

$$\begin{aligned} \iint_S \left(\frac{x^3}{a^2}+yz\right)\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z +\left(\frac{y^3}{b^2}+z^2x^2\right)\mathrm{ d} z\mathrm{ d} x +\left(\frac{z^3}{c^2}+x^3y^3\right)\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\ (x\geq 0)$, 取后侧, $\displaystyle a,b,c > 0$. (南京航空航天大学2023年数学分析考研试题) [曲线曲面积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 取 $\displaystyle \varSigma: \frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\leq 1, x=0$, 取后侧, 则

$$\begin{aligned} \iint_\varSigma \cdots=-\iint_{\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\leq 1} yz\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z\xlongequal{\tiny\mbox{对称性}} 0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

故

$$\begin{aligned} \mbox{原式}=&-\left[-\mbox{原式}+\iint_\varSigma\cdots\right] \xlongequal{\tiny\mbox{Gauss}}-3\iiint_{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\leq 1\atop x\geq 0} \left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\right)\mathrm{ d} x \mathrm{ d} y\mathrm{ d} z\\\\ =&-3abc\iiint_{u^2+v^2+w^2\leq 1\atop u\geq 0} (u^2+v^2+w^2)\mathrm{ d} u\mathrm{ d} v\mathrm{ d} w\\\\ =&-3abc\int_0^1 r^2\mathrm{ d} r\int_0^\pi \mathrm{ d} \phi \int_{-\frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2} r^2\sin\phi \mathrm{ d} \theta =-\frac{6\pi abc}{5}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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777、 12、 求均匀曲线 $\displaystyle x^2+y^2+z^2=a^2, xyz=0, x\geq 0, y\geq 0, z\geq 0$ 的重心. (南京航空航天大学2023年数学分析考研试题) [曲线曲面积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由对称性知题中曲线 $\displaystyle L$ 的重心为 $\displaystyle (b,b,b)$, 其中 $\displaystyle b=\frac{\displaystyle\int_L x\mathrm{ d} s}{\displaystyle\int_L \mathrm{ d} x}$. 由

$$\begin{aligned} \int_L \mathrm{ d} s=3\cdot \frac{2\pi}{4}=\frac{3\pi}{2}, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \int_L x\mathrm{ d} s=&\int_{x^2+z^2=a^2\atop x,z\geq 0}x\mathrm{ d} s+\int_{x^2+y^2=a^2\atop x,y\geq 0}x\mathrm{ d} s =2\int_0^\frac{\pi}{2}a\cos\theta\cdot a\mathrm{ d}\theta=2a^2 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

知 $\displaystyle b=\frac{4a^2}{3\pi}$. 故重心为 $\displaystyle \left(\frac{4a^2}{3\pi},\frac{4a^2}{3\pi},\frac{4a^2}{3\pi}\right)$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

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778、 3、 (25 分)计算曲面积分

$$\begin{aligned} \iint_S x^3\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z+y^3\mathrm{ d} z\mathrm{ d} x+z^3\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle z=4, z=4-(x^2+y^2)$ 与 $\displaystyle x^2+y^2=4$ 所围外侧曲面. (南开大学2023年数学分析考研试题) [曲线曲面积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /

$$\begin{aligned} \mbox{原式}=&3\iiint_{0\leq 4-z\leq x^2+y^2\leq 4}(x^2+y^2+z^2)\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z\\\\ =&3\int_0^4 \mathrm{ d} z\iint_{4-z\leq x^2+y^2\leq 4}(x^2+y^2+z^2)\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\\\\ =&3\int_0^4 \mathrm{ d} z\int_{\sqrt{4-z}}^2 (r^2+z^2)\cdot 2\pi r\mathrm{ d} r=256\pi. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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779、 8、 计算

$$\begin{aligned} \iint_\varSigma (x+y^2+z^2)\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z-z\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

其中 $\displaystyle \varSigma$ 为旋转抛物面 $\displaystyle z=x^2+y^2$ 被 $\displaystyle z=2$ 所截的部分的下侧. (厦门大学2023年数学分析考研试题) [曲线曲面积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle S: x^2+y^2\leq 2, z=2$, 取上侧, 则

$$\begin{aligned} \iint_S \cdots=-2\iint_{x^2+y^2\leq 2}\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y=-2\cdot \pi 2=-4\pi. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

故

$$\begin{aligned} \mbox{原式}=&\left[\iint_\varSigma\cdots+\iint_S\cdots\right]-\iint_S\cdots\\\\ \xlongequal{\tiny\mbox{Gauss}}&\iiint_{x^2+y^2\leq 2}(1-1)\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z-(-4\pi)=4\pi. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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780、 6、 (15 分) 计算 $\displaystyle \oint_L \frac{x\mathrm{ d} y-y\mathrm{ d} x}{4x^2+y^2}$, 其中 $\displaystyle L$ 是以 $\displaystyle (1,0)$ 为圆心, 以 $\displaystyle R$ 为半径的圆周 $\displaystyle (R\neq 1)$. (陕西师范大学2023年数学分析考研试题) [曲线曲面积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle (P,Q)=\frac{(-y,x)}{4x^2+y^2}$, 则 $\displaystyle Q_x=P_y$. (1)、 若 $\displaystyle R < 1$, 则 $\displaystyle P,Q$ 在 $\displaystyle L$ 的内部连续可微, 而由 Green 公式知原式 $\displaystyle =0$. (2)、 若 $\displaystyle R > 1$, 则 $\displaystyle L$ 的内部有 $\displaystyle P,Q$ 的奇点 $\displaystyle (0,0)$, 而

$$\begin{aligned} \mbox{原式}&\xlongequal{\tiny\mbox{Green}} \oint_{4x^2+y^2=\varepsilon^2}P\mathrm{ d} x+Q\mathrm{ d} y =\frac{1}{\varepsilon^2}\oint_{4x^2+y^2=\varepsilon^2} x\mathrm{ d} y-y\mathrm{ d} x\\\\ &\xlongequal{\tiny\mbox{Green}} \frac{1}{\varepsilon^2}\iint_{4x^2+y^2 < \varepsilon^2} 2\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y \stackrel{2x=u, y=v}{=}\frac{1}{\varepsilon^2}\iint_{u^2+v^2 < \varepsilon^2}\mathrm{ d} u\mathrm{ d} v=\pi. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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781、 10、 (15 分) 求曲面积分 $\displaystyle \iint_\varSigma \frac{\mathrm{ d} S}{z}$, 其中 $\displaystyle \varSigma$ 为 $\displaystyle x^2+y^2+z^2=a^2$ 被平面 $\displaystyle z=h\ (0 < h < a)$ 所截的顶部. (陕西师范大学2023年数学分析考研试题) [曲线曲面积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /

$$\begin{aligned} I&=\iint_{x^2+y^2\leq a^2-h^2} \frac{1}{z}\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y =\iint_{x^2+y^2\leq a^2-h^2} \frac{a}{a^2-(x^2+y^2)}\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\\\\ &=\int_0^{\sqrt{a^2-h^2}} \frac{a}{a^2-r^2}\cdot 2\pi r\mathrm{ d} r =2\pi a\ln \frac{a}{h}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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782、 2、 求曲线曲面积分. (1)、 求

$$\begin{aligned} \int_L(y+z)\mathrm{ d} x-(z+x)\mathrm{ d} y+(x-y)\mathrm{ d} z, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

其中 $\displaystyle L$ 是 $\displaystyle x^2+y^2=1$ 被 $\displaystyle x-y+z=1$ 所截曲线, 从 $\displaystyle z$ 轴正向看为顺时针. (上海财经大学2023年数学分析考研试题) [曲线曲面积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /

$$\begin{aligned} \mbox{原式}&\xlongequal{\tiny\mbox{Stokes}} -\iint_{x^2+y^2\leq 1\atop x-y+z=1} \left|\begin{array}{cccccccccc}\frac{1}{\sqrt{3}}&-\frac{1}{\sqrt{3}}&\frac{1}{\sqrt{3}}\\\\ \frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial }{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\\\ y+z&-z-x&x-y \end{array}\right|\mathrm{ d} S\\\\ &=-\frac{1}{\sqrt{3}}\iint_{x^2+y^2\leq 1\atop x-y+z=1} (-2)\mathrm{ d} S =2\iint_{x^2+y^2\leq 1} \mathrm{ d} x\mathrm{ d} y=2\pi. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

当然也可用参数方程来做: $\displaystyle x=\cos\theta, y=\sin\theta, z=1-\cos\theta+\sin\theta, \theta: 2\pi\to 0$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/