张祖锦2023年数学专业真题分类70天之第33天

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张祖锦2023年数学专业真题分类70天之第33天

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737、 9、 (10 分) 设 $\displaystyle F(x), G(x)$ 连续可微, 且 $\displaystyle F(1)=F(4), G(1)=G(4)$, 区域 $\displaystyle D$ 由 $\displaystyle y=x, y=4x, xy=1, xy=4$ 围成, 其边界 $\displaystyle \partial D$ 取逆时针方向. 计算

$$\begin{aligned} I=\int_{\partial D}\frac{F(xy)}{x}\mathrm{ d} x+\frac{G(xy)}{y}\mathrm{ d} y. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

(北京科技大学2023年数学分析考研试题) [曲线曲面积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle F'(x)=f(x), G'(x)=g(x)$, 则

$$\begin{aligned} I&\xlongequal{\tiny\mbox{Green}} \iint_D \left\{\frac{\partial}{\partial x}\left[\frac{G(xy)}{y}\right] -\frac{\partial}{\partial y}\left[\frac{F(xy)}{x}\right]\right\}\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\\\\ &=\iint_D[g(xy)-f(xy)]\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

设 $\displaystyle xy=u, \frac{y}{x}=v$, 则 $\displaystyle \frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}=2v$, 而

$$\begin{aligned} I&=\iint_{1\leq u,v\leq 4}[g(u)-f(u)]\frac{1}{2v}\mathrm{ d} u\mathrm{ d} v\\\\ &=\int_1^4 [g(u)-f(u)]\mathrm{ d} u\cdot\frac{1}{2}\int_1^4 \frac{\mathrm{ d} v}{v}\\\\ &=\left\{[G(4)-G(1)]-[F(4)-F(1)]\right\}\ln 2=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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738、 8、 (15 分) 计算第二型曲面积分

$$\begin{aligned} \iint_S \frac{xz}{a^2}\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z+\frac{yz}{b^2}\mathrm{ d} z\mathrm{ d} x+\frac{z^2}{c^2}\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

其中 $\displaystyle S=\left\{(x,y,z; \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1, z\geq 0\right\}$ (上半椭球面). (北京师范大学2023年数学分析考研试题) [曲线曲面积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle \varSigma: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\leq 1, z=0$, 取上侧, 则 $\displaystyle \iint_\varSigma\cdots=0$, 而

$$\begin{aligned} \mbox{原式}=&\mbox{原式}-\iint_\varSigma\cdots\\\\ \xlongequal{\tiny\mbox{Gauss}}&\iiint_{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\leq 1\atop z\geq 0} \left(\frac{z}{a^2}+\frac{z}{b^2}+\frac{2z}{c^2}\right)\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z\\\\ =&\int_0^c\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} z\mathrm{ d} z\iint_{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\leq 1-\frac{z^2}{c^2}}\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\\\\ =&\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\int_0^c z\cdot \pi \left(1-\frac{z^2}{c^2}\right) ab\mathrm{ d} z =\frac{\pi abc^2}{4}\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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739、 6、 求曲线积分

$$\begin{aligned} \oint_L y\cos x\mathrm{ d} x+(xy^2+\sin x)\mathrm{ d} y, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

其中 $\displaystyle L$ 为 $\displaystyle (x-1)^2+(y-1)^2=1$, 取顺时针方向. (北京邮电大学2023年数学分析考研试题) [曲线曲面积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /

$$\begin{aligned} &\mbox{原式}\xlongequal{\tiny\mbox{Green}} -\iint_{(x-1)^2+(y-1)^2\leq 1}[y^2+\cos x-\cos x]\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\\\\ &\stackrel{x-1=u, y-1=v}{=}-\iint_{u^2+v^2\leq 1}(v+1)^2\mathrm{ d} u\mathrm{ d} v\\\\ &\xlongequal{\tiny\mbox{对称性}} -\iint_{u^2+v^2\leq 1}\left(\frac{u^2+v^2}{2}+1\right)\mathrm{ d} u\mathrm{ d} v =-\int_0^1 \left(\frac{r^2}{2}+1\right)\cdot 2\pi r\mathrm{ d} r=-\frac{5\pi}{4}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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740、 7、 计算曲面积分

$$\begin{aligned} I=\iint_\varSigma (x^3+Rx)\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z +y^3\mathrm{ d} z\mathrm{ d} x+(1-3z)(x^2+y^2)\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

其中 $\displaystyle \varSigma: z=\sqrt{R^2-x^2-y^2}$, 方向取下侧, $\displaystyle R > 0$. (北京邮电大学2023年数学分析考研试题) [曲线曲面积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle S: x^2+y^2\leq R^2, z=0$, 取上侧, 则

$$\begin{aligned} \iint_S\cdots=\iint_{x^2+y^2\leq R^2}(x^2+y^2)\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y=\int_0^R r^2\cdot 2\pi r\mathrm{ d} r=\frac{\pi R^4}{2}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

于是

$$\begin{aligned} I=&\left(-I-\iint_S\cdots\right)-\iint_S\cdots\\\\ \xlongequal{\tiny\mbox{Gauss}}&-\iiint_{x^2+y^2+z^2\leq R^2\atop z\geq 0}R\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z-\frac{\pi R^4}{2}\\\\ =&-R\cdot\frac{2\pi R^3}{3}-\frac{\pi R^4}{2}=-\frac{7\pi R^4}{6}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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741、 (4)、 设 $\displaystyle \varGamma$ 是以 $\displaystyle (1,0)$ 为心, $\displaystyle r$ 为半径的圆周 ($r\neq 1$), 逆时针方向为正向, 求第二型曲线积分

$$\begin{aligned} I=\oint_\varGamma \frac{-y\mathrm{ d} x+x\mathrm{ d} y}{4x^2+y^2}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

(电子科技大学2023年数学分析考研试题) [曲线曲面积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle (P,Q)=\frac{(-y,x)}{4x^2+y^2}$, 则 $\displaystyle Q_x=P_y$. (4-1)、 若 $\displaystyle 0 < r < 1$, 则 $\displaystyle I\xlongequal{\tiny\mbox{Green}} 0$. (4-2)、 若 $\displaystyle r > 1$, 则

$$\begin{aligned} I&\xlongequal{\tiny\mbox{Green}} \oint_{4x^2+y^2=\varepsilon^2}P\mathrm{ d} x+Q\mathrm{ d} y =\frac{1}{\varepsilon^2}\oint_{4x^2+y^2=\varepsilon^2}-y\mathrm{ d} x+x\mathrm{ d} y\\\\ \xlongequal{\tiny\mbox{Green}}&\frac{1}{\varepsilon^2}\iint_{4x^2+y^2\leq\varepsilon^2} 2\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y \stackrel{2x=u, y=v}{=} \frac{2}{\varepsilon^2}\iint_{u^2+v^2\leq \varepsilon^2} \frac{\mathrm{ d} u\mathrm{ d} v}{2} =\pi. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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742、 (4)、 计算 $\displaystyle \int_L (x^2+y^2+z^2)\mathrm{ d} s$, 其中

$$\begin{aligned} L: x=a\cos t, y=a\sin t, z=bt, t\in [0,2\pi]. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

(东北师范大学2023年数学分析考研试题) [曲线曲面积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /

$$\begin{aligned} \mbox{原式}=\int_0^{2\pi}(a^2+b^2t^2) \sqrt{a^2+b^2}\mathrm{ d} t =\frac{2\pi(3a^2+4\pi^2b^2)}{3}\sqrt{a^2+b^2}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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743、 3、 计算

$$\begin{aligned} \int_\varGamma \mathrm{e}^x(1-\cos y)\mathrm{ d} x-\mathrm{e}^x(y-\sin y)\mathrm{ d} y, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

其中 $\displaystyle \varGamma: y=\sin x, x\in [0,\pi]$, 方向从 $\displaystyle (\pi,0)$ 到 $\displaystyle (0,0)$. (东北师范大学2023年数学分析考研试题) [曲线曲面积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle P=\mathrm{e}^x(1-\cos y), Q=-\mathrm{e}^x(y-\sin y)$, 则 $\displaystyle Q_x-P_y=-y\mathrm{e}^x$. 再设 $\displaystyle L: (0,0)\xrightarrow{y=0}(\pi,0)$, 则 $\displaystyle \int_L \cdots =0$, 而

$$\begin{aligned} \mbox{原式}=&\mbox{原式}+\int_L\cdots\xlongequal{\tiny\mbox{Green}} \iint_{0\leq y\leq \sin x\atop 0\leq x\leq \pi}(-y\mathrm{e}^x)\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\\\\ =&-\int_0^\pi \mathrm{e}^x \mathrm{ d} x\int_0^{\sin x}y\mathrm{ d} y=\frac{1-\mathrm{e}^\pi}{5}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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744、 16、 设 $\displaystyle P(x,y)$ 和 $\displaystyle Q(x,y)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}^2$ 上具有连续的偏导数, 且对任意 $\displaystyle (x_0,y_0)\in\mathbb{R}^2$, 以及任意 $\displaystyle r > 0$, 总有

$$\begin{aligned} \int_L P\mathrm{ d} x+Q\mathrm{ d} y=0, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

其中 $\displaystyle L$ 是以 $\displaystyle (x_0,y_0)$ 为心, $\displaystyle r > 0$ 为半径的上半圆周, 方向是逆时针. 证明: 在 $\displaystyle \mathbb{R}^2$ 上, $\displaystyle P(x,y)\equiv 0, \frac{\partial Q}{\partial x}\equiv 0$. (东南大学2023年数学分析考研试题) [曲线曲面积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设

$$\begin{aligned} C: x_0-r\leq x\leq x_0+r, y=y_0, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

取逆时针, 则

$$\begin{aligned} \int_L P\mathrm{ d} x+Q\mathrm{ d} y-\int_C P\mathrm{ d} x+Q\mathrm{ d} y =\iint_{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2\leq r^2\atop y\geq y_0} (Q_x-P_y)\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

此即

$$\begin{aligned} \int_{x_0-r}^{x_0+r} P(x,y_0)\mathrm{ d} x=\iint_{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2\leq r^2\atop y\geq y_0} (Q_x-P_y)\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y.\qquad(\star) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

两边除以 $\displaystyle 2r$ 并令 $\displaystyle r\to 0^+$ 得

$$\begin{aligned} P(x_0,y_0)&=\lim_{r\to 0} \frac{1}{2r}\int_{x_0-r}^{x_0+r} P(x,y_0)\mathrm{ d} x\\\\ &=\lim_{r\to 0}\frac{\pi r}{4}\cdot \frac{1}{\frac{\pi r^2}{2}}\iint_{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2\leq r^2\atop y\geq y_0} (Q_x-P_y)\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\\\\ &=0\cdot \left[Q_x(x_0,y_0)-P_y(x_0,y_0)\right]=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

由 $\displaystyle (x_0,y_0)$ 的任意性知 $\displaystyle P\equiv 0$. 代入 $\displaystyle (\star)$ 得

$$\begin{aligned} 0=\iint_{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2\leq r^2\atop y\geq y_0} Q_y\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

两边除以 $\displaystyle \frac{\pi r^2}{2}$ 后令 $\displaystyle r\to 0^+$ 得 $\displaystyle Q_x(x_0,y_0)=0$. 由 $\displaystyle (x_0,y_0)$ 的任意性知 $\displaystyle Q_x\equiv 0$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

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745、 6、 (20 分) 求平面 $\displaystyle \alpha x+\beta y+\gamma z=0$ $\displaystyle (\gamma\neq 0)$ 与圆柱面 $\displaystyle \frac{x^2}{A^2}+\frac{y^2}{B^2}=1$ 截出的椭圆面积. (福州大学2023年数学分析考研试题) [曲线曲面积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 面积

$$\begin{aligned} =&\iint_{\frac{x^2}{A^2}+\frac{y^2}{B^2}\leq 1\atop \alpha x+\beta y+\gamma z=0}\mathrm{ d} S =\iint_{\frac{x^2}{A^2}+\frac{y^2}{B^2}\leq 1} \frac{\sqrt{\alpha^2+\beta^2+\gamma^2}}{|\gamma|}\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y =\pi AB\frac{\sqrt{\alpha^2+\beta^2+\gamma^2}}{|\gamma|}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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746、 7、 (15 分) 求曲面积分

$$\begin{aligned} \iint_S (x^2\cos^2\alpha+y^2\cos^2\beta+z^2\cos^2\gamma)\mathrm{ d} S, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

其中 $\displaystyle S: x^2+y^2=z^2, 0\leq z\leq 1, \cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma$ 为外法线方向余弦. (福州大学2023年数学分析考研试题) [曲线曲面积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle F=x^2+y^2-z^2$, 则

$$\begin{aligned} \frac{1}{2}\mathrm{ grad} F=\left\{x,y,-z\right\}\Rightarrow (\cos^2\alpha,\cos^2\beta,\cos^2\gamma)=\frac{(x^2,y^2,z^2)}{x^2+y^2+z^2}, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

而

$$\begin{aligned} \mbox{原式}=&\iint_S \frac{x^4+y^4+z^4}{x^2+y^2+z^2}\mathrm{ d} S =\iint_{x^2+y^2\leq 1} \frac{x^4+y^4+(x^2+y^2)^2}{2(x^2+y^2)}\cdot \sqrt{2}\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\\\\ =&\frac{1}{\sqrt{2}}\int_0^{2\pi}\mathrm{ d} \theta\int_0^1 \frac{r^4\cos^4\theta+r^4\sin^4\theta+r^4}{r^2}\cdot r\mathrm{ d} r =\frac{7\pi}{8\sqrt{2}}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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747、 (3)、 设 $\displaystyle S$ 是单位球面 $\displaystyle x^2+y^2+z^2=1$ 被锥 $\displaystyle z > \sqrt{x^2+y^2}$ 所截部分曲面, 定向取外侧为正向, 则对于

$$\begin{aligned} \vec{F}=(xy+\cos z)\vec{i} +(-xy+x^2)\vec{j} +(x+2z^2)\vec{k}, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

曲面积分 $\displaystyle \iint_S \vec{F}\cdot \mathrm{ d} \vec{S}=\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (复旦大学2023年分析(第6,7,8,9,10题没做)考研试题) [曲线曲面积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 取 $\displaystyle \varSigma: x^2+y^2\leq \frac{1}{2}, z=\frac{1}{\sqrt{2}}$, 取上侧, 则

$$\begin{aligned} \iint_\varSigma\cdots=\iint_{x^2+y^2\leq\frac{1}{2}} (x+1)\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y \xlongequal{\tiny\mbox{对称性}} \iint_{x^2+y^2\leq \frac{1}{2}} \mathrm{ d} x\mathrm{ d} y=\frac{\pi}{2}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

故

$$\begin{aligned} \mbox{原式}=&\left[\mbox{原式}-\iint_\varSigma\cdots\right]+\iint_\varSigma\cdots\\\\ \xlongequal{\tiny\mbox{Gauss}}&\iiint_{x^2+y^2+z^2\leq 1\atop \frac{1}{2}\leq z\leq 1} [y+(-x)+4z]\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z+\frac{\pi}{2}\\\\ \xlongequal{\tiny\mbox{对称性}}&4\iiint_{x^2+y^2+z^2\leq 1\atop \frac{1}{2}\leq z\leq 1} z\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z+\frac{\pi}{2}\\\\ =&4\int_\frac{1}{2}^1 z\cdot \pi(1-z^2)\mathrm{ d} z+\frac{\pi}{2}=\frac{17\pi}{16}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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748、 5、 设 $\displaystyle P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}^3$ 上的二阶连续可微函数, 满足

$$\begin{aligned} \frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}=a, \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}=b, \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=c, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

其中 $\displaystyle a,b,c$ 为常数. 证明: 存在 $\displaystyle \mathbb{R}^3$ 上的线性函数 $\displaystyle f,g,h$ 使得

$$\begin{aligned} (P-f)\mathrm{ d} x+(Q-g)\mathrm{ d} y+(R-h)\mathrm{ d} z \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

是全微分. (复旦大学2023年分析(第6,7,8,9,10题没做)考研试题) [曲线曲面积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 只要取 $\displaystyle f=bz, g=cx, h=ay$, 就有

$$\begin{aligned} \frac{\partial (R-h)}{\partial y}-\frac{\partial (Q-g)}{\partial z}&=0,\\\\ \frac{\partial (P-f)}{\partial z}-\frac{\partial (R-h)}{\partial x}&=0,\\\\ \frac{\partial (Q-g)}{\partial x}-\frac{\partial (P-f)}{\partial y}&=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

而

$$\begin{aligned} (P-f)\mathrm{ d} x+(Q-g)\mathrm{ d} y+(R-h)\mathrm{ d} z \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

是全微分.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

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749、 (6)、 求第一型曲线积分 $\displaystyle \int_\varGamma \sqrt{1-x^2-y^2}\mathrm{ d} s$, 其中 $\displaystyle \varGamma$ 是曲线 $\displaystyle x^2+y^2=x$. (广西大学2023年数学分析考研试题) [曲线曲面积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle x=\frac{1+\cos\theta}{2}, y=\frac{\sin\theta}{2}$, 则

$$\begin{aligned} \mbox{原式}=\int_\varGamma \sqrt{1-x}\mathrm{ d} s=\int_0^{2\pi} \sqrt{\frac{1-\cos \theta}{2}} \cdot\frac{1}{2}\mathrm{ d} \theta =\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}\sin\frac{\theta}{2}\mathrm{ d}\theta=2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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750、 (9)、 求曲面积分 $\displaystyle I=\iint_{x^2+y^2+z^2=R^2}\frac{\mathrm{ d} S}{\sqrt{x^2+y^2+(z-h)^2}}$, 其中 $\displaystyle h\neq R$. (广西大学2023年数学分析考研试题) [曲线曲面积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /

$$\begin{aligned} &\mbox{原式}=\iint_{x^2+y^2+z^2=R^2}\frac{\mathrm{ d} S}{\sqrt{R^2+h^2-2hz}}\\\\ =&\iint_{x^2+y^2\leq R^2} \frac{1}{\sqrt{R^2+h^2-2h\sqrt{R^2-x^2-y^2}}} \cdot\frac{R}{\sqrt{R^2-x^2-y^2}}\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\\\\ =&2\pi R\int_0^R \frac{r}{\sqrt{R^2+h^2-2h\sqrt{R^2-r^2}}}\frac{\mathrm{ d} r}{\sqrt{R^2-r^2}}\\\\ \stackrel{\sqrt{R^2-r^2}=s}{=}&-2\pi R\int_R^0 \frac{\mathrm{ d} s}{\sqrt{R^2+h^2-2hs}} =\frac{2\pi R\left(\sqrt{h^2+R^2}-|h-R|\right)}{h}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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751、 (6)、 证明 Green 定理: 设闭区域 $\displaystyle D$ 由分段光滑的简单曲线 $\displaystyle L$ 围成, 函数 $\displaystyle P(x,y)$ 及 $\displaystyle Q(x,y)$ 在 $\displaystyle D$ 上有连续的一阶偏导数, 则有

$$\begin{aligned} \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y=\oint_L P\mathrm{ d} x+Q\mathrm{ d} y, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

其中 $\displaystyle L$ 是 $\displaystyle D$ 的取正向的边界曲线. (广西大学2023年数学分析考研试题) [曲线曲面积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (6-1)、 若 $\displaystyle D$ 既是 $\displaystyle x$ 型区域, 也是 $\displaystyle y$ 型区域, 则可设

$$\begin{aligned} D=&\left\{(x,y); a\leq x\leq b, \varphi_1(x)\leq \varphi_2(x)\right\}\\\\ =&\left\{(x,y); \psi_1(y)\leq x\leq \psi_2(y), \alpha\leq y\leq \beta\right\}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

于是

$$\begin{aligned} &\iint_D \frac{\partial Q}{\partial x}\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y =\int_\alpha^\beta \mathrm{ d} y\int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)}\frac{\partial Q}{\partial x}\mathrm{ d} x\\\\ =&\int_\alpha^\beta Q\left(\psi_2(y),y\right)\mathrm{ d} y -\int_\alpha^\beta Q\left(\psi_1(y),y\right)\mathrm{ d} y =\oint_L Q(x,y)\mathrm{ d} y. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

同理, $\displaystyle -\iint_D \frac{\partial P}{\partial y}\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y=\oint_L P(x,y)\mathrm{ d} x$. 上面两个式子相加即得结论. (6-2)、 对一般的 $\displaystyle D$, 将 $\displaystyle D$ 分成有限个既是 $\displaystyle x$ 型又是 $\displaystyle y$ 型的子区域, 然后逐块利用第 1 步的结果后, 相加即得结论.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

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752、 4、 设 $\displaystyle S$ 是光滑封闭曲面, 点 $\displaystyle (x,y,z)$ 是一不在 $\displaystyle S$ 上的定点, 点 $\displaystyle (x,y,z)$ 到 $\displaystyle S$ 上任意点 $\displaystyle (\xi,\eta,\zeta)$ 的向径为 $\displaystyle \vec{r}$, 且

$$\begin{aligned} r=\sqrt{(x-\xi)^2+(y-\eta)^2+(z-\zeta)^2}, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

求 $\displaystyle \iint_S\frac{\cos\angle(\vec{n},\vec{r})}{r^2}\mathrm{ d} S$, 其中 $\displaystyle \cos\angle(\vec{n},\vec{r})$ 是曲面 $\displaystyle S$ 上点的法向量与向径 $\displaystyle \vec{r}$ 的夹角的余弦, $\displaystyle S$ 取正侧. (哈尔滨工程大学2023年数学分析考研试题) [曲线曲面积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /

$$\begin{aligned} \mbox{原式}=\iint_S \frac{\vec{r}\cdot \vec{n}}{r^3}\mathrm{ d} S =\iint_S \frac{(\xi-x)\mathrm{ d} \eta\mathrm{ d}\zeta +(\eta-y)\mathrm{ d} \zeta\mathrm{ d} \xi+(\zeta-z)\mathrm{ d} \xi\mathrm{ d} \eta}{\left[ (\xi-x)^2+(\eta-y)^2+(\zeta-z)^2\right]^\frac{3}{2}}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

令

$$\begin{aligned} (P,Q,R)=\frac{(\xi-x,\eta-y,\zeta-z)}{\left[ (\xi-x)^2+(\eta-y)^2+(\zeta-z)^2\right]^\frac{3}{2}}, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

则 $\displaystyle P_\xi+Q_\eta+R_\zeta=0$. 令 $\displaystyle V$ 是 $\displaystyle S$ 所围例题, 则 (1)、 当曲面 $\displaystyle S$ 不包围点 $\displaystyle (x,y,z)$ 时,

$$\begin{aligned} \mbox{原式}\xlongequal{\tiny\mbox{Gauss}} \iiint_V \left[P_\xi+Q_\eta+R_\zeta\right]\mathrm{ d} \xi\mathrm{ d} \eta\mathrm{ d} \zeta=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

(2)、 当曲面 $\displaystyle S$ 包围点 $\displaystyle (x,y,z)$ 时,

$$\begin{aligned} &\mbox{原式}-\iint_{(\xi-x)^2+(\eta-y)^2+(\zeta-z)^2=\varepsilon^2\ll 1} P\mathrm{ d} \eta\mathrm{ d} \zeta +Q\mathrm{ d} \zeta\mathrm{ d} \xi+R\mathrm{ d} \xi\mathrm{ d} \eta\\\\ \xlongequal{\tiny\mbox{Gauss}}& \iiint_V \left[P_\xi+Q_\eta+R_\zeta\right]\mathrm{ d} \xi\mathrm{ d} \eta\mathrm{ d} \zeta=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

于是

$$\begin{aligned} \mbox{原式}&=\frac{1}{\varepsilon^3} \iint_{(\xi-x)^2+(\eta-y)^2+(\zeta-z)^2=\varepsilon^2} \left[\begin{array}{c}(\xi-x)\mathrm{ d} \eta\mathrm{ d} \zeta +(\eta-y)\mathrm{ d} \zeta\mathrm{ d} \xi\\\\ +(\zeta-z)\mathrm{ d} \xi\mathrm{ d} \eta\end{array}\right]\\\\ &\xlongequal{\tiny\mbox{Gauss}} \frac{1}{\varepsilon^3}\iiint_{(\xi-x)^2+(\eta-y)^2+(\zeta-z)^2 < \varepsilon^2} 3\mathrm{ d} \xi\mathrm{ d} \eta\mathrm{ d} \zeta =\frac{3}{\varepsilon^3}\cdot \frac{4\pi \varepsilon^3}{3}=4\pi. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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753、 10、 计算曲面积分

$$\begin{aligned} \iint_S (xy^2+z^3)\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z+(yz^2+x^3)\mathrm{ d} z\mathrm{ d} x+(zx^2+a^3)\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

其中 $\displaystyle S$ 为上半球面 $\displaystyle z=\sqrt{a^2-x^2-y^2}\ (a > 0)$, 方向向上. (哈尔滨工业大学2023年数学分析考研试题) [曲线曲面积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle \varSigma: x^2+y^2\leq a^2, z=0$, 取上侧, 则

$$\begin{aligned} \iint_\varSigma \cdots=\iint_{x^2+y^2\leq a^2}a^3\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y=\pi a^5. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

故

$$\begin{aligned} \mbox{原式}=&\left(\mbox{原式}-\iint_\varSigma\cdots\right)+\iint_\varSigma \cdots\\\\ \xlongequal{\tiny\mbox{Gauss}}&\iiint_{x^2+y^2+z^2\leq a^2\atop z\geq 0} (y^2+z^2+x^2)\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z+\pi a^5\\\\ =&\int_0^a r^2\frac{4\pi r^2}{2}\mathrm{ d} r+\pi a^5 =\frac{7\pi a^5}{5}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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754、 10、 (15 分) 计算

$$\begin{aligned} I=\iint_\varSigma \frac{x^3}{3}\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z+\frac{y^3}{3}\mathrm{ d} z\mathrm{ d} x+(z+1)\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

其中 $\displaystyle \varSigma: z=1-x^2-y^2\ (z\geq 0)$, 取上侧. (合肥工业大学2023年数学分析考研试题) [曲线曲面积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle \varSigma: x^2+y^2\leq 1, z=0$, 取上侧, 则

$$\begin{aligned} \iint_\varSigma\cdots=\iint_{x^2+y^2\leq 1}\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y=\pi, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

而

$$\begin{aligned} I=&\left(I-\iint_\varSigma\cdots\right)+\iint_\varSigma\cdots\\\\ \xlongequal{\tiny\mbox{Gauss}}&\iiint_{x^2+y^2\leq 1-z\atop 0\leq z\leq 1}(x^2+y^2+1)\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z+\pi\\\\ =&\int_0^1 \mathrm{ d} z\int_0^{\sqrt{1-z}} (r^2+1)\cdot 2\pi r\mathrm{ d} r+\pi=\frac{5\pi}{3}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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755、 11、 (15 分) 计算 $\displaystyle I=\iint_{x^2+y^2+z^2=4}f(x,y,z)\mathrm{ d} S$, 其中

$$\begin{aligned} f(x,y,z)=\left\{\begin{array}{llllllllllll}x^2+y^2,&z\geq \sqrt{x^2+y^2},\\\\ 0,&z < \sqrt{x^2+y^2}.\end{array}\right. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

(合肥工业大学2023年数学分析考研试题) [曲线曲面积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由

$$\begin{aligned} z=\sqrt{x^2+y^2}\geq 0, x^2+y^2+z^2=4\Rightarrow 2z^2=4, z\geq 0\Rightarrow z=\sqrt{2} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

知

$$\begin{aligned} I\stackrel{z=\sqrt{4-x^2-y^2}}{=}&\iint_{x^2+y^2\leq 2}(x^2+y^2)\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\\\\ =&\iint_{x^2+y^2\leq 2}(x^2+y^2)\frac{2}{\sqrt{4-x^2-y^2}}\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\\\\ =&\int_0^{\sqrt{2}} \frac{2r^2}{\sqrt{4-r^2}}\cdot 2\pi r\mathrm{ d} r \stackrel{\sqrt{4-r^2}=\rho}{=}\cdots =\frac{8\left(8-5\sqrt{2}\right)\pi}{3}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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756、 (4)、 叙述 Green 公式的条件及结论. (河海大学2023年数学分析考研试题) [曲线曲面积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (Green 公式) 设 (4-1)、 $\displaystyle D$ 是闭区域, 它的边界 $\displaystyle \partial D$ 由一条或几条光滑曲线所组成, (4-2)、 $\displaystyle P(x,y), Q(x,y)$ 在 $\displaystyle D$ 上连续, 且有连续的一阶偏导数, 则

$$\begin{aligned} \iint_D \left(Q_x-P_y\right)\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y=\oint_{\partial D}P\mathrm{ d} x+Q\mathrm{ d} y. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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757、 (5)、 计算曲面积分

$$\begin{aligned} \iint_\varSigma \frac{x\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z+y\mathrm{ d} z\mathrm{ d} x+z\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y}{(x^2+y^2+z^2)^\frac{3}{2}}, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

其中 $\displaystyle \varSigma$ 为椭球面 $\displaystyle x^2+4y^2+9z^2=1$, 取外侧. (河海大学2023年数学分析考研试题) [曲线曲面积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle (P,Q,R)=\frac{(x,y,z)}{(x^2+y^2+z^2)^\frac{3}{2}}$, 则 $\displaystyle P_x+Q_y+R_z=0$. 故

$$\begin{aligned} I&\xlongequal{\tiny\mbox{Gauss}} \iint_{x^2+y^2+z^2=\varepsilon^2}P\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z +Q\mathrm{ d} z\mathrm{ d} x+R\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\\\\ &=\frac{1}{\varepsilon^3}\iint_{x^2+y^2+z^2=\varepsilon^2}x\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z +y\mathrm{ d} z\mathrm{ d} x+z\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\\\\ &\xlongequal{\tiny\mbox{Gauss}} \frac{1}{\varepsilon^3}\iiint_{x^2+y^2+z^2\leq \varepsilon^2}3\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z =\frac{3}{\varepsilon^3}\cdot \frac{4\pi\varepsilon^3}{3}=4\pi. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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758、 (5)、 求 $\displaystyle \iint_\varSigma |xyz|\mathrm{ d} S$, 其中 $\displaystyle \varSigma: |x|+|y|+|z|=1$. (河南大学2023年数学分析考研试题) [曲线曲面积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /

$$\begin{aligned} \mbox{原式}\xlongequal{\tiny\mbox{对称性}}&8\iint_{x+y+z=1\atop x,y,z\geq 0} xyz\mathrm{ d} S =8\iint_{x+y\leq 1\atop x,y\geq 0} xy(1-x-y)\cdot \sqrt{3}\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\\\\ =&8\sqrt{3}\int_0^1 \mathrm{ d} x\int_0^{1-x}xy(1-x-y)\mathrm{ d} y =\frac{1}{5\sqrt{3}}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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759、 5、 (15 分) 求 $\displaystyle \int_L x\mathrm{ d} y+y\mathrm{ d} z+z\mathrm{ d} x$, 其中 $\displaystyle L$ 是 $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ 与 $\displaystyle \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ 的交线上从 $\displaystyle (a,0,0)$ 到 $\displaystyle (0,0,c)$ 的劣弧. [题目有问题, 跟锦数学微信公众号没法做哦.] (河南大学2023年数学分析考研试题) [曲线曲面积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / [题目有问题, 跟锦数学微信公众号没法做哦.]跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/