张祖锦2023年数学专业真题分类70天之第38天
852、 8、 (15 分) 已知 $\displaystyle \int_0^\infty \mathrm{e}^{-y^2}\mathrm{ d} y=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$. 设
$$\begin{aligned} f(x)=\int_0^\infty \mathrm{e}^{-y^2}\cos xy\mathrm{ d} y, x\in (-\infty,+\infty). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(1)、 证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上连续; (2)、 证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 有连续导函数; (3)、 求 $\displaystyle f(x)$. (中南大学2023年数学分析考研试题) [含参量积分 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由 $\displaystyle \int_0^\infty \mathrm{e}^{-y^2}\cos xy\mathrm{ d} y$ 收敛, $\displaystyle \int_0^\infty -y\mathrm{e}^{-y^2}\sin xy\mathrm{ d} y$ 在 $\displaystyle x\in\mathbb{R}$ 上一致收敛 [由 $\displaystyle |-y\mathrm{e}^{-y^2}\sin xy|\leq |y|\mathrm{e}^{-y^2}$ 及 Weierstrass 判别法] 知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 有连续导函数, 而自然有 $\displaystyle f$ 连续, 且
$$\begin{aligned} f'(x)&=-\int_0^\infty y\mathrm{e}^{-y^2} \sin xy\mathrm{ d} y =\frac{1}{2}\int_0^\infty \sin xy\mathrm{ d} \mathrm{e}^{-y^2}\\\\ &=-\frac{1}{2}\int_0^\infty x\cos xy\cdot \mathrm{e}^{-y^2}\mathrm{ d} y =-\frac{1}{2}xf(x). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
又由 $\displaystyle f(0)=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ 知
$$\begin{aligned} \frac{\mathrm{ d} f}{f}=-\frac{1}{2}x\mathrm{ d} x \Rightarrow \ln f(x)-\ln\frac{\sqrt{\pi}}{2}=-\frac{x^2}{4} \Rightarrow f(x)=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\mathrm{e}^{-\frac{x^2}{4}}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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853、 7、 (20 分) 设有含参变量的反常积分 $\displaystyle F(\alpha)=\int_0^\infty x\mathrm{e}^{-\alpha x}\mathrm{ d} x$. (1)、 证明: $\displaystyle F(\alpha)=\int_0^\infty x\mathrm{e}^{-\alpha x}\mathrm{ d} x$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上非一致收敛; (2)、 证明: 对任意的正常数 $\displaystyle \alpha_0$, $\displaystyle F(\alpha)=\int_0^\infty x\mathrm{e}^{-\alpha x}\mathrm{ d} x$ 在 $\displaystyle [\alpha_0,+\infty)$ 上一致收敛; (3)、 证明: $\displaystyle F(\alpha)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上连续. (重庆大学2023年数学分析考研试题) [含参量积分 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由
$$\begin{aligned} \sup_{\alpha\geq \alpha_0}\int_A^\infty x\mathrm{e}^{-\alpha x }\mathrm{ d} x \xlongequal[\tiny\mbox{积分}]{\tiny\mbox{分部}}\sup_{\alpha\geq \alpha_0}\frac{(1+A\alpha)\mathrm{e}^{-A\alpha}}{\alpha^2} \stackrel{\searrow}{=}\frac{(1+A\alpha_0)\mathrm{e}^{-A\alpha_0}}{\alpha_0^2}\xrightarrow{A\to+\infty }0 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle \int_0^\infty x\mathrm{e}^{-\alpha x}\mathrm{ d} x$ 在 $\displaystyle [\alpha_0,+\infty )$ 上一致收敛, 从而 $\displaystyle F(\alpha)$ 在 $\displaystyle [\alpha_0,+\infty)$ 上连续. 由 $\displaystyle \alpha_0 > 0$ 的任意性知 $\displaystyle F(\alpha)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上连续. 又由
$$\begin{aligned} &\forall\ B > A, \sup_{\alpha > 0}\int_A^\infty x\mathrm{e}^{-\alpha x }\mathrm{ d} x \geq \sup_{\alpha > 0}\int_A^B x\mathrm{e}^{-\alpha x }\mathrm{ d} x\\\\ &\geq \lim_{\alpha\to 0^+}\int_A^B x\mathrm{e}^{-\alpha x}\mathrm{ d} x =\frac{B^2-A^2}{2}\\\\ \Rightarrow&\sup_{\alpha > 0}\int_A^\infty x\mathrm{e}^{-\alpha x }\mathrm{ d} x=+\infty \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle \int_0^\infty x\mathrm{e}^{-\alpha x }\mathrm{ d} x$ 在 $\displaystyle (0,+\infty )$ 上不一致收敛.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
854、 (3)、 已知多项式 $\displaystyle f(x)=x^3-3x+a$ 有重根, 则 $\displaystyle a=\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (安徽大学2023年高等代数考研试题) [多项式 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由
$$\begin{aligned} f(x)=&\frac{x}{3}f'(x)+r_1(x), r_1(x)=-2x+a,\\\\ f'(x)=&\left(-\frac{3x}{2}-\frac{3a}{4}\right)r_1(x)+r_2(x), r_2(x)=\frac{3a^2}{4}-3 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知当且仅当 $\displaystyle \frac{3a^2}{4}-3=0\Leftrightarrow a=\pm 2$ 时, $\displaystyle (f,f')\neq 1\Leftrightarrow f$ 有重根.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
855、 2、 判断题, 判断对错并简要说明理由 (每题 5 分, 共 20 分). (1)、 设 $\displaystyle f$ 为数域 $\displaystyle \mathbb{P}$ 上的一元多项式, $\displaystyle f'(x)$ 为 $\displaystyle f(x)$ 的微商, $\displaystyle \alpha\in\mathbb{P}$, 则 $\displaystyle \alpha$ 为 $\displaystyle f(x)$ 的 $\displaystyle k$ 重根的充分必要条件是 $\displaystyle \alpha$ 为 $\displaystyle f'(x)$ 的 $\displaystyle k-1$ 重根, 其中 $\displaystyle k\geq 2$. $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$ (安徽大学2023年高等代数考研试题) [多项式 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle \times$. 比如对 $\displaystyle f(x)=x^2-1$ 而言, $\displaystyle 0$ 是 $\displaystyle f'(x)=2x$ 的 $\displaystyle 1$ 重根, 但不是 $\displaystyle f(x)$ 的 $\displaystyle 2$ 重根.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
856、 (2)、 设
$$\begin{aligned} f(x)=&2x^5+5x^4+2x^3-3x^2-2x,\\\\ g(x)=&x^4+3x^3+2x^2-x-1, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
求 $\displaystyle f(x)$ 与 $\displaystyle g(x)$ 的首一最大公因式 $\displaystyle \left(f(x),g(x)\right)$, 并求 $\displaystyle u(x),v(x)$, 使得
$$\begin{aligned} u(x)f(x)+v(x)g(x)=\left(f(x),g(x)\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(安徽大学2023年高等代数考研试题) [多项式 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由
$$\begin{aligned} f(x)=&(2x-1)g(x)+r_1(x), r_1(x)=x^3+x^2-x-1,\\\\ g(x)=&(x+2)r_1(x)+r_2(x), r_2(x)=x^2+2x+1,\\\\ r_1(x)=&(x-1)r_2(x) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知
$$\begin{aligned} (x+1)^2=&\left(f(x),g(x)\right)=r_2(x)=g(x)-(x+2)r_2(x)\\\\ =&g(x)-(x+2)[f(x)-(2x-1)g(x)]\\\\ =&-(x+2)f(x)+(2x^2+3x-1)g(x). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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857、 7、 (15 分) 证明: $\displaystyle f(x)=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}$ 无重根. (北京科技大学2023年高等代数考研试题) [多项式 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由
$$\begin{aligned} f'(x)=1+x+\cdots+\frac{x^{n-1}}{(n-1)!} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知
$$\begin{aligned} (f(x),f'(x))&=(f(x)-f'(x),f'(x))\\\\ &=\left(\frac{x^n}{n!}, 1+x+\cdots+\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}\right) =1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle f(x)$ 无重根.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
858、 2、 求 $\displaystyle x^5-1$ 在实数域和复数域上的标准因式分解. (北京理工大学2023年高等代数考研试题) [多项式 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 我们给出一般的结果. 设 $\displaystyle n$ 为正整数, 则 $\displaystyle x^{2n+1}-1$ 在实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的标准分解式为 $\displaystyle (x-1)\prod_{k=1}^n \left(x^2-2x\cos\frac{2k\pi}{2n+1}+1\right)$. 事实上, 由 $\displaystyle x^{2n+1}-1$ 的全体复根为 $\displaystyle \mathrm{e}^{\mathrm{ i} \frac{2k\pi}{2n+1}}, -n\leq k\leq n$ 知
$$\begin{aligned} x^{2n+1}-1=&(x-1)\prod_{k=1}^n \left[\left(x-\mathrm{e}^{\mathrm{ i} \frac{2k\pi}{2n+1}}\right) \left(x-\mathrm{e}^{-\mathrm{ i}\frac{2k\pi}{2n+1}}\right)\right]\\\\ =&(x-1)\prod_{k=1}^n \left(x^2-2x\cos\frac{2k\pi}{2n+1}+1\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2)、 取 $\displaystyle n=2$ 即知
$$\begin{aligned} x^5-1=&(x-1)\left(x-\mathrm{e}^{\mathrm{ i}\frac{2\pi}{5}}\right) \left(x-\mathrm{e}^{-\mathrm{ i}\frac{2\pi}{5}}\right)\left(x-\mathrm{e}^{\mathrm{ i}\frac{4\pi}{5}}\right) \left(x-\mathrm{e}^{-\mathrm{ i}\frac{4\pi}{5}}\right)\left(\mathbb{C}\mbox{中}\right)\\\\ =&(x-1)\left(x^2-2x\cos\frac{2\pi}{5}+1\right)\left(x^2-2x\cos\frac{4\pi}{5}+1\right)\left(\mathbb{R}\mbox{中}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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859、 3、 设 $\displaystyle c\in\mathbb{C}$ 是有理多项式 $\displaystyle f(x)$ 的复根, 命
$$\begin{aligned} J=\left\{f(x)\in \mathbb{Q}[x]; f(c)=0\right\}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
证明: 存在 $\displaystyle p(x)\in J$, 使得
$$\begin{aligned} \forall\ f(x)\in J, \exists\ g(x)\in\mathbb{Q}[x],\mathrm{ s.t.} f(x)=g(x)p(x). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(北京师范大学2023年高等代数与解析几何考研试题) [多项式 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle p(x)$ 是 $\displaystyle J$ 中次数最低的首一(非零)多项式, 则由带余除法,
$$\begin{aligned} \forall\ f(x)\in J,\ \exists\ g(x),r(x)\in\mathbb{Q}[x],\mathrm{ s.t.} f(x)=q(x)p(x)+r(x), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
其中 $\displaystyle r(x)=0$ 或 $\displaystyle \deg r < \deg g$. 往用反证法证明 $\displaystyle \deg r < \deg g$ 不成立, 而 $\displaystyle r(x)=0\Rightarrow f(x)=q(x)p(x)$, 结论得证. 事实上, 若 $\displaystyle \deg r < \deg g$, 则
$$\begin{aligned} r(c)=f(c)-q(c)p(c)=0 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
蕴含 $\displaystyle r(x)$ 是 $\displaystyle J$ 中次数比 $\displaystyle p(x)$ 更低的多项式. 设 $\displaystyle r(x)$ 的首项系数为 $\displaystyle A$, 则 $\displaystyle \frac{r(x)}{A}$ 是 $\displaystyle J$ 中次数比 $\displaystyle p(x)$ 更低的首一 (非零) 多项式, 与 $\displaystyle p(x)$ 的定义矛盾. 故有结论.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
860、 1、 证明: 在 $\displaystyle \mathbb{Q}[x]$ 中, 如果 $\displaystyle (x^2+1)\mid [f_1(x^4)+xf_2(x^4)]$, 那么 $\displaystyle 1$ 是 $\displaystyle f_1(x), f_2(x)$ 的根. (北京邮电大学2023年高等代数考研试题) [多项式 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 令 $\displaystyle x=\pm \mathrm{ i}$, 则 $\displaystyle f_1(1)\pm \mathrm{ i} f_2(1)=0$. 解得 $\displaystyle f_1(1)=f_2(1)=0$. 故有结论.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
861、 (2)、 设 $\displaystyle p$ 是素数, $\displaystyle a$ 是整数, $\displaystyle p^2\mid(a+1)$. 证明: 多项式 $\displaystyle f(x)=ax^p+px+1$ 没有有理根. (大连理工大学2023年高等代数考研试题) [多项式 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /
$$\begin{aligned} f(x+1)=&a(x+1)^p+p(x+1)+1\\\\ =&ax^p+aC_p^1 x^{p-1}+\cdots+aC_p^{p-2}x^2 +(a+1)px+a+1+p. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由
$$\begin{aligned} p\mid a&\Rightarrow a=ps, s\in\mathbb{Z} \Rightarrow p^2\mid (a+1)=ps+1\\\\ &\Rightarrow ps+1=p^2t\Rightarrow 1=p(pt-s)\Rightarrow p\mid 1,\mbox{与 $\displaystyle p$ 是素数矛盾} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle p\nmid a$. 又由
$$\begin{aligned} p\mid aC_p^k\left(1\leq k\leq p-2\right), p\mid(a+1)p, p\mid (a+1+p), p^2\nmid (a+1+p) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
及 Eisenstein 判别法知 $\displaystyle f(x+1)$ 在 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 中不可约, 而 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 中不可约, $\displaystyle f(x)$ 没有有理根.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
862、 (6)、 设
$$\begin{aligned} A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1\\\\ 3&-5\end{array}\right),\quad B=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}4&0&1\\\\ 0&2&0\\\\ 4&0&4\end{array}\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
$\displaystyle f(x)$ 是使得 $\displaystyle f(A)=0$ 且 $\displaystyle f(B)=0$ 的次数最小的首项系数为 $\displaystyle 1$ 的多项式, 则 $\displaystyle f'(0)=\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (电子科技大学2023年高等代数考研试题) [多项式 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle A$ 的特征多项式为 $\displaystyle f(x)=x^2+4x-8$, 没有重根, 而最小多项式就是 $\displaystyle f(x)$ 本身. 易知 $\displaystyle B$ 的特征值为 $\displaystyle 6,2,2$. 由
$$\begin{aligned} B-2E\to \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&\frac{1}{2}\\\\ 0&0&0\\\\ 0&0&0\end{array}\right)\Rightarrow \mathrm{rank}(B-2E)=1 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle B\sim \mathrm{diag}(6,2,2)$, 而 $\displaystyle B$ 的最小多项式就是 $\displaystyle g(x)=(x-6)(x-2)$. 已知 $\displaystyle (f,g)=1$, 而应填
$$\begin{aligned} \left[f,g\right]=\frac{fg}{(f,g)}=(x^2+4x-8)(x-6)(x-2). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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863、 1、 多项式
$$\begin{aligned} f(x)=x^5-x^3-4x^2-3x-2 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上是否有重根? 若没有重根, 请说明理由; 若有重根, 请求出重根. (东北大学2023年高等代数考研试题) [多项式 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由
$$\begin{aligned} f(x)=&\frac{x}{5}f'(x)+r_1(x), r_1(x)=-\frac{2}{5}x^3-\frac{12}{5}x^2-\frac{12}{5}x-2,\\\\ f'(x)=&\left(-\frac{25}{2}x+75\right)r_1(x)+r_2(x), r_2(x)=147(x^2+x+1),\\\\ r_1(x)=&\left(-\frac{2x}{735}-\frac{2}{147}\right)r_2(x) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle \left(f(x),f'(x)\right)=x^2+x+1$, 而 $\displaystyle f$ 有重根 $\displaystyle \frac{-1\pm \sqrt{3}\mathrm{ i}}{2}$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
864、 3、 (10 分) 设 $\displaystyle f(x)$ 是有理数域 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 上的一个 $\displaystyle m$ 次多项式, $\displaystyle n$ 是大于 $\displaystyle m$ 的正整数. 证明 $\displaystyle \sqrt[n]{2}$ 不是 $\displaystyle f(x)$ 的根. (东北师范大学2023年高等代数与解析几何考研试题) [多项式 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由 Eisenstein 判别法知 $\displaystyle g(x)=x^n-2$ 在 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 上不可约. 从而 $\displaystyle g(x)$ 的因式只有 $\displaystyle c, cg(x)$, 其中 $\displaystyle c\neq 0$. 从而 $\displaystyle \left(f(x),g(x)\right)=1$ 或 $\displaystyle g(x)\mid f(x)$. 于是题设’$\deg f=m < n=\deg g$‘蕴含
$$\begin{aligned} (f,g)=1\Rightarrow \exists\ u,v,\mathrm{ s.t.} uf+vg=1\stackrel{x=\sqrt[n]{2}}{\Rightarrow} u(\sqrt[n]{2})f(\sqrt[n]{2})=1\Rightarrow f(\sqrt[n]{2})\neq 0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这表明 $\displaystyle \sqrt[n]{2}$ 不是 $\displaystyle f(x)$ 的根.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
865、 (2)、 设实系数多项式 $\displaystyle f(x)=x^3+px+q$ 有一个根 $\displaystyle 3+\sqrt{-1}$, 则 $\displaystyle p=\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (福州大学2023年高等代数考研试题) [多项式 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由题设, $\displaystyle 3\pm \mathrm{ i}$ 都是 $\displaystyle f(x)$ 的根, 而
$$\begin{aligned} \left[x-(3+\mathrm{ i})\right]\left[x-(3-\mathrm{ i})\right]=x^2-6x+10\mid f(x). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由带余除法知
$$\begin{aligned} f(x)=(x+6)(x^2-6x+10)+(p+26)x+q-60. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle p=-26, q=60$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
866、 (3)、 (12 分) 已知 $\displaystyle a,b,c,d$ 属于数域 $\displaystyle \mathbb{F}$, 且满足 $\displaystyle \left|\begin{array}{cccccccccc}a&b\\\\ c&d\end{array}\right|\neq 0$, $\displaystyle f(x),g(x)$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{F}$ 上的多项式, 证明:
$$\begin{aligned} \left(af(x)+bg(x),cf(x)+dg(x)\right)=\left(f(x),g(x)\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(福州大学2023年高等代数考研试题) [多项式 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设
$$\begin{aligned} u(x)=af(x)+bg(x),\quad v(x)=cf(x)+dg(x), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则
$$\begin{aligned} f(x)=\frac{\mathrm{ d} u(x)-bv(x)}{ad-bc},\quad g(x)=\frac{av(x)-cu(x)}{ad-bc}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这样,
$$\begin{aligned} d(x)\mid f(x),\ d(x)\mid g(x)\Leftrightarrow d(x)\mid u(x),\ d(x)\mid v(x). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是 $\displaystyle f,g$ 的公因式与 $\displaystyle u,v$ 的公因式相同, 而有结论.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
867、 (4)、 记 $\displaystyle S$ 是形如 $\displaystyle x^2+ax+b$ 的多项式组成的集合, 且 $\displaystyle a,b$ 都是不大于 $\displaystyle 22$ 的非负整数, 则 $\displaystyle S$ 在 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 上的不可约多项式有 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$ 个. [张祖锦擅自在题目上加上’非负‘, 否则是无限个] (复旦大学2023年代数(第4,6,7,8题没做)考研试题) [多项式 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle x^2+ax+b$ 的根为 $\displaystyle \frac{-a\pm \sqrt{a^2-4b}}{2}$, 它们 $\displaystyle \in \mathbb{Q}\Leftrightarrow a^2-4b$ 是完全平方数 $\displaystyle c^2, c\in\mathbb{Z}$. 此即
$$\begin{aligned} &0\leq a\leq 22, 0\leq b\leq 22, a^2-c^2=4b\\\\ \Leftrightarrow&0\leq a^2-c^2\leq 88, a,c\mbox{具有相同的奇偶性}\\\\ \Leftrightarrow&\left\{\begin{array}{llllllllllll}0\leq c\leq a, &a^2 < 88,\\\\ \sqrt{a^2-88}\leq c\leq a, &a^2 > 88.\end{array}\right. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(4-1)、 当 $\displaystyle a^2 < 88$ 时, 共有 $\displaystyle \sum_{a=0}^9 \left[\frac{a+2}{2}\right]=30$ 个. (4-2)、 当 $\displaystyle a^2 > 88$ 时,
$$\begin{aligned} a=10&\Rightarrow 4\leq c\leq 10;\\\\ a=11&\Rightarrow 6\leq c\leq 11;\\\\ a=12&\Rightarrow 8\leq c\leq 12;\\\\ a=13&\Rightarrow 9\leq c\leq 13;\\\\ a=14&\Rightarrow 11\leq c\leq 14;\\\\ a=15&\Rightarrow 12\leq c\leq 15;\\\\ a=16&\Rightarrow 13\leq c\leq 16;\\\\ a=17&\Rightarrow 15\leq c\leq 17;\\\\ a=18&\Rightarrow 16\leq c\leq 18;\\\\ a=19&\Rightarrow 17\leq c\leq 19;\\\\ a=20&\Rightarrow 18\leq c\leq 20;\\\\ a=21&\Rightarrow 19\leq c\leq 21;\\\\ a=22&\Rightarrow 20\leq c\leq 22. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
注意 $\displaystyle a,c$ 有相同的奇偶性知共有
$$\begin{aligned} 4+3+3+3+9\cdot 2=31 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
个. 故不可约的有 $\displaystyle 2^{23}-61$ 个.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
868、 1、 填空题. (1)、 若 $\displaystyle f(x)=x^3-3x^2+tx-1$ 有重根, $\displaystyle t$ 为整数, 则 $\displaystyle t=\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (广西大学2023年高等代数考研试题) [多项式 ]
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$$\begin{aligned} f(x)=\frac{x-1}{3}f'(x)+r_1(x), r_1(x)=\frac{t-3}{3}(2x+1). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(1-1)、 若 $\displaystyle t=3$, 则 $\displaystyle (f,f')=f'\neq 1$, 而 $\displaystyle f$ 有重根. (1-2)、 若 $\displaystyle t\neq 3$, 则 $\displaystyle f$ 有重根
$$\begin{aligned} \Leftrightarrow& 1\neq (f,f')=\left(f(x)-\frac{x-1}{3}f'(x),f'(x)\right) =\left(2x+1,f'(x)\right)\\\\ \Leftrightarrow& 0=f'\left(-\frac{1}{2}\right)=t+\frac{15}{4}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由 $\displaystyle t\in\mathbb{Z}$ 知 $\displaystyle t=3$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
869、 7、 设 $\displaystyle f(x)$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{F}$ 上的一个次数大于 $\displaystyle 0$ 的一元多项式. 证明: $\displaystyle f(x)$ 是一个不可约多项式的方幂的充分必要条件是对数域 $\displaystyle \mathbb{F}$ 上的任意多项式 $\displaystyle g(x)$, 有 $\displaystyle \left(f(x),g(x)\right)=1$ 或者存在正整数 $\displaystyle m$, 使得 $\displaystyle f(x)\mid g^m(x)$. (广西大学2023年高等代数考研试题) [多项式 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 设 $\displaystyle p$ 是不可约多项式, 则
$$\begin{aligned} \forall\ f, (p,f)=1\mbox{或}p\mid f. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2)、 $\displaystyle \Rightarrow$: 设 $\displaystyle f=p^m, m\in\mathbb{Z}_+$, 则 $\displaystyle \forall\ g$,
$$\begin{aligned} (p,g)=1\Rightarrow (p^m,g)=1\Rightarrow (f,g)=1 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
或
$$\begin{aligned} p\mid g\Rightarrow p^m\mid g^m\Rightarrow f\mid g^m. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(3)、 充分性用反证法. 若 $\displaystyle f$ 不是一个不可约多项式的方幂, 则由因式分解及唯一性定理,
$$\begin{aligned} f=cp_1^{s_1}\cdots p_k^{s_k},\quad s_i > 0, \quad k > 1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
取 $\displaystyle g=p_2$, 则
$$\begin{aligned} &p_2\mid f, p_2\mid g\Rightarrow p\mid (f,g)\Rightarrow(f,g)=1\mbox{不成立},\\\\ &f\nmid g^m\left(\begin{array}{c}\mbox{否则, }f\mid g^m\Rightarrow F p_1^{s_1}\cdots p_k^{s_k}=p_2^m\\\\ \Rightarrow p_1\mid p_2^{s_2}, \mbox{矛盾}\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
与充分性假设矛盾. 故有结论.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
870、 1、 填空题. (1)、 设实系数多项式 $\displaystyle f(x)=x^3+ax^2+bx+10$ 有一个虚根 $\displaystyle 3+4\mathrm{ i}$, 则 $\displaystyle f(x)$ 的实根为 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (哈尔滨工程大学2023年高等代数考研试题) [多项式 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由题设知 $\displaystyle 3-4\mathrm{ i}$ 也是 $\displaystyle f$ 的根. 于是
$$\begin{aligned} \left[x-(3+4\mathrm{ i})\right]\left[x-(3-4\mathrm{ i})\right]=x^2-6x+25\mid f(x). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由
$$\begin{aligned} f(x)=(x+a+6)(x^2-6x+25)+(11+6a+b)x-(25a+140) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知
$$\begin{aligned} 11+6a+b=0, 25a+140=0\Rightarrow a=-\frac{28}{5}, b=\frac{113}{5}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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871、 5、 设 $\displaystyle n$ 是正整数, $\displaystyle f_1(x), f_2(x), \cdots, f_n(x)$ 是复数域上的多项式, 且
$$\begin{aligned} \left(x^n+x^{n-1}+\cdots+x+1\right) \mid\left[f_1(x^{n+1})+xf_2(x^{n+1})+\cdots+x^{n-1}f_n(x^{n+1})\right]. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
求证: $\displaystyle (x-1)^n\mid f_1(x)f_2(x)\cdots f_n(x)$. (哈尔滨工程大学2023年高等代数考研试题) [多项式 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由
$$\begin{aligned} \sum_{i=0}^n x^i=\frac{x^{n+1}-1}{x-1} =\prod_{j=1}^n (x-\omega_j), \omega_j=\mathrm{e}^{\mathrm{ i} \frac{2j\pi}{n+1}} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
及充分性假设知
$$\begin{aligned} 0=\sum_{k=1}^n \omega_j^{k-1}f_k(\omega_j^{n+1}), j=1,\cdots,n. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
此即
$$\begin{aligned} \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 1&\omega_1&\cdots&\omega_1^{n-1}\\\\ 1&\omega_2&\cdots&\omega_2^{n-1}\\\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\\\ 1&\omega_n&\cdots&\omega_n^{n-1} \end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}f_1(1)\\\\ f_2(1)\\\\ \vdots\\\\ f_n(1)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0\\\\0\\\\\vdots\\\\0\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
它的系数矩阵行列式非零即知它只有零解: $\displaystyle f_k(1)=0\Rightarrow (x-1)\mid f_k(x)\Rightarrow (x-1)^n\mid f_1(x)f_2(x)\cdots f_n(x)$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
872、 2、 设 $\displaystyle a_1,\cdots,a_n$ 是 $\displaystyle n$ 个不同的数, 且
$$\begin{aligned} F(x)=(x-a_1)\cdots (x-a_n). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
对于任意 $\displaystyle n$ 个数 $\displaystyle b_1,\cdots,b_n$, 有多项式
$$\begin{aligned} L(x)=\sum_{i=1}^n \frac{b_iF(x)}{(x-a_i)F'(a_i)}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(1)、 证明: $\displaystyle L(a_i)=b_i, i=1,\cdots,n$; (2)、 证明: $\displaystyle L(x)$ 是满足 $\displaystyle L(a_i)=b_i, i=1,\cdots,n$ 的次数最低的多项式. (哈尔滨工业大学2023年高等代数考研试题) [多项式 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 由 $\displaystyle \frac{F(x)}{x-a_i}=\prod_{j\neq i}(x-a_j)$ 知
$$\begin{aligned} &\left.\frac{F(x)}{x-a_i}\right|_{x=a_k} =\left\{\begin{array}{llllllllllll}0,&k\neq i,\\\\ \prod_{j\neq i}(a_i-a_j)=F'(a_i),&k=i.\end{array}\right.\\\\ \Rightarrow&\left.\frac{F(x)}{(x-a_i)F'(a_i)}\right|_{x=a_k}=\delta_{ki}=\left\{\begin{array}{llllllllllll}0,&k\neq i\\\\ 1,&k=i\end{array}\right.\Rightarrow L(a_k)=b_k. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2)、 由第 1 步知
$$\begin{aligned} L(x)=\sum_{i=1}^n b_i \prod_{j\neq i}\frac{x-a_j}{a_i-a_j} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
是 $\displaystyle n-1$ 次多项式. 往用反证法证明 $\displaystyle L$ 是满足 $\displaystyle L(a_i), i=1,\cdots,n$ 的次数最低的多项式. 若不然, 存在 $\displaystyle f(x)$ 也是满足 $\displaystyle f(a_i)=b_i, i=1,\cdots,n$ 且 $\displaystyle \deg f < n-1$. 设 $\displaystyle g(x)=f(x)-L(x)$ 后,
$$\begin{aligned} \deg g\leq n-1, g(a_i)=0, i=1,\cdots,n \Rightarrow g(x)=A(x-a_1)\cdots (x-a_n). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
若 $\displaystyle A\neq 0$, 则 $\displaystyle n-1\geq \deg g=\deg \left[\prod_{i=1}^n (x-a_i)\right]=n$. 这是一个矛盾. 故 $\displaystyle A=0\Rightarrow g=0\Rightarrow f(x)=L(x)$. 这与 $\displaystyle \deg f < n-1$ 矛盾. 故有结论.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
873、 3、 若 $\displaystyle f(x),g(x)$ 为复数域上非常数多项式, 证明以下命题等价: (1)、 $\displaystyle f(x)$ 与 $\displaystyle g(x)$ 有公共根; (2)、 存在复数域上的多项式 $\displaystyle u(x), r(x)$, 使得
$$\begin{aligned} f(x)u(x)=g(x)r(x), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
其中 $\displaystyle \deg r < \deg f, \deg u < \deg g$. (哈尔滨工业大学2023年高等代数考研试题) [多项式 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 $\displaystyle (1)\Rightarrow (2)$: 设 $\displaystyle \alpha$ 是 $\displaystyle f,g$ 的公共根, 则 $\displaystyle \exists\ \deg r < \deg f, \deg u < \deg g,\mathrm{ s.t.}$
$$\begin{aligned} f(x)=(x-\alpha)r(x), g(x)=(x-\alpha)u(x). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是
$$\begin{aligned} f(x)u(x)=(x-\alpha)r(x)u(x)=g(x)r(x). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2)、 $\displaystyle (2)\Rightarrow (1)$: 用反证法. 若 $\displaystyle f,g$ 没有公共根, 则
$$\begin{aligned} &(f,g)=1\Rightarrow \exists\ p,q,\mathrm{ s.t.} pf+qg=1\\\\ \Rightarrow&r=pfr+qgr=pfr+qfu=(pr+qu)f\Rightarrow f\mid r.\qquad(I) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由 $\displaystyle \deg r < \deg f$ 知 $\displaystyle r\neq 0$. 这与 $\displaystyle (I)$ 矛盾. 故有结论.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
874、 4、 证明: $\displaystyle p(x)$ 为不可约多项式当且仅当对任意的多项式 $\displaystyle f(x),g(x)$, 若 $\displaystyle p(x)\mid f(x)g(x)$, 则 $\displaystyle p(x)\mid f(x)$ 或 $\displaystyle p(x)\mid g(x)$. (合肥工业大学2023年高等代数考研试题) [多项式 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 $\displaystyle \Rightarrow$: 由 $\displaystyle p(x)$ 不可约知其因式只能为 $\displaystyle c$ 或 $\displaystyle cp(x)$, 其中 $\displaystyle c\neq 0$. 进而
$$\begin{aligned} \left(p(x),f(x)\right)=\left\{\begin{array}{llllllllllll}1\Rightarrow p(x)\mid g(x),\\\\ \mbox{或} p(x)\Rightarrow p(x)\mid f(x).\end{array}\right. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2)、 $\displaystyle \Leftarrow$: 用反证法. 若 $\displaystyle p(x)$ 可约, 则
$$\begin{aligned} \exists\ f,g: 1\leq \partial(f),\partial(g) < \partial(p),\mathrm{ s.t.} p=fg. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
但由 $\displaystyle 1\leq \partial(f),\partial(g) < \partial(p)$ 知 $\displaystyle p\nmid f, p\nmid g$. 而与充分性假设矛盾. 故有结论.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
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