张祖锦2023年数学专业真题分类70天之第30天
668、 (4)、 曲线 $\displaystyle \left\{\begin{array}{llllllllllll}x=a\sin^2t,\\\\ y=b\sin t\cos t,\\\\ z=c\cos^2t\end{array}\right.$ 在 $\displaystyle t=\frac{\pi}{4}$ 处的切线方程为 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (长安大学2023年数学分析考研试题) [多元函数微分学 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 曲线在该点的切向量为
$$\begin{aligned} \left(x'(t),y'(t),z'(t)\right)|_{t=\frac{\pi}{4}} =\left(a\sin 2t, b\cos 2t, -c \sin 2t\right)|_{t=\frac{\pi}{4}}=(a,0,-c), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
而切线方程为 $\displaystyle \frac{x-\frac{a}{2}}{a}=\frac{y-\frac{b}{2}}{0}=\frac{z-\frac{c}{2}}{-c}$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
669、 (4)、 (10 分) 设 $\displaystyle P(x,y)$ 为曲线 $\displaystyle C: x^3-xy+y^3=1\ (x\geq 0, y\geq 0)$ 上的一点, 试求 $\displaystyle P(x,y)$ 到原点 $\displaystyle O(0,0)$ 的最大和最小距离. (长安大学2023年数学分析考研试题) [多元函数微分学 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle L=x^2+y^2+\lambda(x^3-xy+y^3-1)$, 则由
$$\begin{aligned} &L_x=2x+3\lambda x^2-\lambda y=0, 0=L_y=2y+3\lambda y^2-\lambda x=0, \\\\ &L_\lambda=x^3-xy+y^3-1=0 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle \lambda\neq 0$ [若不然, $\displaystyle 0=L_x\Rightarrow x=0, 0=L_y\Rightarrow y=0$, 与 $\displaystyle L_\lambda=0$ 矛盾]. 我们也有
$$\begin{aligned} &0=L_x-L_y=2(x-y)+3\lambda(x+y)(x-y)+\lambda(x-y)=0\\\\ \Rightarrow& (x-y)[2+3\lambda(x+y)+\lambda]=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
若 $\displaystyle x=y$, 则
$$\begin{aligned} 0=L_\lambda=2x^3-x^2-1=0\stackrel{\mbox{有理根判定}}{\Rightarrow}x=1\Rightarrow y=1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
若 $\displaystyle x\neq y$, 则 $\displaystyle x+y=-\frac{2+\lambda}{3\lambda}$. 此时,
$$\begin{aligned} 0=&L_x+L_y=2(x+y)+3\lambda(x^2+y^2)-\lambda(x+y)\\\\ =&(2-\lambda)(x+y)+3\lambda[(x+y)^2-2xy] \Rightarrow xy=\frac{\lambda+2}{9\lambda}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
进而
$$\begin{aligned} &0=L_\lambda=(x+y)(x^2-xy+y^2)-xy-1\\\\ &=(x+y)[(x+y)^2-3xy]-xy-1=\cdots\Rightarrow \lambda=-\left(\frac{2}{7}\right)^\frac{1}{3}\\\\ \Rightarrow& x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=\frac{4}{9\lambda^2}-\frac{1}{9}=\frac{2^\frac{4}{3}7^\frac{2}{3}-1}{9}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故最小值为 $\displaystyle \frac{2^\frac{4}{3}7^\frac{2}{3}-1}{9}$, 最大值为 $\displaystyle \sqrt{2}$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
670、 4、 (10 分) 设 $\displaystyle f(x)$ 可导, $\displaystyle z(x,y)=\int_0^y \mathrm{e}^y f(x-t)\mathrm{ d} t$, 求 $\displaystyle \frac{\partial^2z}{\partial x\partial y}$. (郑州大学2023年数学分析考研试题) [多元函数微分学 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /
$$\begin{aligned} z_x=&\int_0^y \mathrm{e}^y f'(x-t)\mathrm{ d} t=\mathrm{e}^y\int_0^y f'(x-t)\mathrm{ d} t,\\\\ z_{xy}=&\mathrm{e}^y \int_0^y f'(x-t)\mathrm{ d} t+\mathrm{e}^y f'(x-y). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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671、 (2)、 求函数
$$\begin{aligned} f(x,y)=xy+\frac{50}{x}+\frac{20}{y}, x > 0, y > 0 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
的极值点, 并判断它为极大值点还是极小值点. (中国海洋大学2023年数学分析考研试题) [多元函数微分学 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由 $\displaystyle f_x=y-\frac{50}{x^2}=0, f_y=x-\frac{20}{y^2}=0$ 知
$$\begin{aligned} &x^2y=50, xy^2=20\Rightarrow (xy)^3=10^3\\\\ \Rightarrow& xy=10\Rightarrow x=\frac{x^2y}{xy}=\frac{50}{10}=5, y=2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
又由 $\displaystyle \mathrm{Hess} f|_{(5,2)}=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\frac{4}{5}&1\\\\ 1&5\end{array}\right)$ 正定知 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle (5,2)$ 处取得极小值 $\displaystyle f(5,2)=30$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
672、 4、 (15 分) 设函数 $\displaystyle \phi: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 满足 $\displaystyle \phi' > 0$. 又设方程
$$\begin{aligned} \phi\left(x+\frac{z}{y}+\frac{z}{x}\right)=0 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
在 $\displaystyle (x_0,y_0,z_0)$ 附近确定了隐函数 $\displaystyle z=f(x,y)$. 求
$$\begin{aligned} x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
在 $\displaystyle (x_0,y_0)$ 处的值. (中国科学技术大学2023年数学分析考研试题) [多元函数微分学 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由
$$\begin{aligned} \phi'\left(x+\frac{z}{y}+\frac{z}{x}\right)\left(1+\frac{z_x}{y}+\frac{z_x}{x}-\frac{z}{x^2}\right)&=0,\\\\ \phi'\left(x+\frac{z}{y}+\frac{z}{x}\right)\left(\frac{z_y}{y}-\frac{z}{y^2}+\frac{z_y}{x}\right)&=0 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
及 $\displaystyle \phi' > 0$ 知
$$\begin{aligned} \left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)z_x=-1+\frac{z}{x^2}, \left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)z_y=\frac{z}{y^2}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故
$$\begin{aligned} xz_x+yz_y=\frac{-x+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}} =z-\frac{x^2y}{x+y}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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673、 6、 证明: 曲面 $\displaystyle f\left(\frac{x-a}{z-c},\frac{y-b}{z-c}\right)=0$ 上任一点处的切平面过某定点, 其中 $\displaystyle f$ 是连续可微函数. (中国科学院大学2023年数学分析考研试题) [多元函数微分学 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 曲面在 $\displaystyle (x,y,z)$ 处的法向量为 [$(\cdot)$ 表示 $\displaystyle \left(\frac{x-a}{z-c},\frac{y-b}{z-c}\right)$]
$$\begin{aligned} \vec{n}=\left\{\frac{1}{z-c}F_1(\cdot), \frac{1}{z-c}F_2(\cdot), -\frac{x-a}{(z-c)^2}F_1(\cdot)-\frac{y-b}{(z-c)^2}F_2(\cdot)\right\}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
而切平面方程为
$$\begin{aligned} &\frac{1}{z-c}F_1(\cdot)(X-x)+\frac{1}{z-c}F_2(\cdot)(Y-y)\\\\ &-\left[\frac{x-a}{(z-c)^2}F_1(\cdot)+\frac{y-b}{(z-c)^2}F_2(\cdot)\right] (Z-z)=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
将 $\displaystyle X=a,Y=b, Z=c$ 代入, 我们发现刚好满足方程, 而 $\displaystyle (a,b,c)$ 在切平面上.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
674、 7、 求点 $\displaystyle P$ 使得 $\displaystyle \left\{\begin{array}{llllllllllll}z=x^2+2y^2,\\\\ x+y=c\end{array}\right.$ 中的 $\displaystyle z$ 取得最小值. (中国科学院大学2023年数学分析考研试题) [多元函数微分学 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 将 $\displaystyle y=c-x$ 代入 $\displaystyle z=x^2+y^2$ 得
$$\begin{aligned} z=3x^2-4cx+2c^2 \Rightarrow \frac{\mathrm{ d} z}{\mathrm{ d} x}=6x-4c\Rightarrow \min z=z\left(\frac{2c}{3}\right)=\frac{2c^2}{3}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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675、 4、 (10 分) 求函数 $\displaystyle f(x,y)=x^3+8y^3-xy$ 的极值. (中国矿业大学(北京)2023年数学分析考研试题) [多元函数微分学 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由 $\displaystyle f_x=3x^2-y=0, f_y=-x+24y^2=0$ 知 $\displaystyle (x,y)=(0,0)$ 或 $\displaystyle \left(\frac{1}{6},\frac{1}{12}\right)$. 再者, $\displaystyle \mathrm{Hess} f=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}6x&-1\\\\ -1&48y\end{array}\right)$ 知在 $\displaystyle (0,0)$ 处, $\displaystyle \mathrm{Hess} f$ 的特征值为 $\displaystyle -1,1$, 而不定; 在 $\displaystyle \left(\frac{1}{6},\frac{1}{12}\right)$ 处, $\displaystyle \mathrm{Hess} f$ 正定. 故 $\displaystyle f$ 只有一个极值点 $\displaystyle \left(\frac{1}{6},\frac{1}{12}\right)$, 且为极小值点, 极小值为 $\displaystyle -\frac{1}{216}$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
676、 5、 (10 分) 已知矩形的周长为 $\displaystyle 2p$, 将矩形绕着一边旋转得到一个圆柱, 利用拉格朗日函数求圆柱的最大体积. (中国矿业大学(北京)2023年数学分析考研试题) [多元函数微分学 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设矩形的边长为 $\displaystyle x,y$, 则 $\displaystyle 2x+2y=2p\Rightarrow x+y=p$. 矩形绕着边长为 $\displaystyle y$ 的边旋转一周得到的圆柱的体积 $\displaystyle V(x,y)=\pi x^2y$. 作
$$\begin{aligned} L=x^2y+\lambda(x+y-p), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则由
$$\begin{aligned} L_x=2xy+\lambda=0, L_y=x^2+\lambda=0, L_\lambda=x+y-p=0 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle 2xy=x^2\Rightarrow 2y=x\Rightarrow x=\frac{2p}{3}, y=\frac{p}{3}\Rightarrow \max V= \frac{4\pi p^3}{27}$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
677、 9、 (15 分) 函数 $\displaystyle f(x,y)=\left\{\begin{array}{llllllllllll}y\arctan \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}},&(x,y)\neq (0,0),\\\\ 0,&(x,y)=(0,0).\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle f(x,y)$ 在原点的连续性与可微性. (中国矿业大学(北京)2023年数学分析考研试题) [多元函数微分学 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由无穷小量乘以有界量还是无穷小量知 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle x=0$ 处连续. 进一步, $\displaystyle f_x(0,0)=0$ ,
$$\begin{aligned} f_y(0,0)=\lim_{y\to 0}\frac{f(0,y)-f(0,0)}{y} =\lim_{y\to 0}\arctan \frac{1}{|y|}=\frac{\pi}{2}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
再由
$$\begin{aligned} &\left|\frac{f(x,y)-f(0,0)-f_x(0,0)x-f_y(0,0)y}{\sqrt{x^2+y^2}}\right|\\\\ =&\left|\frac{y\arctan \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}-\frac{\pi}{2}y}{\sqrt{x^2+y^2}}\right|\\\\ \leq&\left|\arctan \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}-\frac{\pi}{2}\right|\to 0, (x,y)\to (0,0) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle f$ 在原点处可微.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
678、 8、 已知函数 $\displaystyle f(x,y)=\left\{\begin{array}{llllllllllll}\frac{1-\mathrm{e}^{x(x^2+y^2)}}{x^2+y^2},&x^2+y^2\neq 0,\\\\ 0,&x^2+y^2=0.\end{array}\right.$ 讨论 $\displaystyle f(x,y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处的连续性与可微性. (中国矿业大学(徐州)2023年数学分析考研试题) [多元函数微分学 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由
$$\begin{aligned} f_x(0,0)&=\lim_{x\to 0}\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{1-\mathrm{e}^{x^3}}{x^3}=-1,\\\\ f_y(0,0)&=\lim_{y\to0\to 0}\frac{f(0,y)-f(0,0)}{y}=0 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知
$$\begin{aligned} &\left|\frac{f(x,y)-f(0,0)-f_x(0,0)x-f_y(0,0)y}{\sqrt{x^2+y^2}}\right|\\\\ =&\left|\frac{\frac{1-\mathrm{e}^{x(x^2+y^2)}}{x^2+y^2}+x}{\sqrt{x^2+y^2}}\right| =\left|\frac{\mathrm{e}^{x(x^2+y^2)}-1-x(x^2+y^2)}{(x^2+y^2)^\frac{3}{2}}\right|\\\\ \stackrel{\mbox{Taylor}}{=}&\frac{\frac{\mathrm{e}^{\xi_{xy}}}{2}|x(x^2+y^2)|^2}{(x^2+y^2)^\frac{3}{2}} \leq \mathrm{e}^{|x|(x^2+y^2)} x^2 \sqrt{x^2+y^2}\to 0, (x,y)\to (0,0). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处可微, 也连续.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
679、 9、 求曲面 $\displaystyle x^2+y^2+z^2=x$ 的切平面, 使其垂直于平面 $\displaystyle x-y-\frac{z}{2}=2$ 与 $\displaystyle x-y-z=2$. (中国矿业大学(徐州)2023年数学分析考研试题) [多元函数微分学 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设所求切平面的切点为 $\displaystyle (x_0,y_0,z_0)$, 则法向量
$$\begin{aligned} \vec{n}={2x_0-1,2y_0,2z_0}\parallel \left\{1,-1,-\frac{1}{2}\right\}\times \left\{1,-1,-1\right\}=\left\{\frac{1}{2},\frac{1}{2},0\right\}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是而可设 $\displaystyle 2x_0-1=t, 2y_0=t, 2z_0=0$. 代入曲面方程得 $\displaystyle t=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}$,
$$\begin{aligned} x=\frac{2\mp\sqrt{2}}{4}, y=\mp\frac{1}{2\sqrt{2}}, z=0, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
而切平面方程为 $\displaystyle x+y\pm\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{2}=0$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
680、 6、 (15 分) 求曲面 $\displaystyle \mathrm{e}^z-z+xy=3$ 在点 $\displaystyle (2,1,0)$ 处的切平面与法线方程. (中国人民大学2023年数学分析考研试题) [多元函数微分学 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle F=\mathrm{e}^z-z+xy-3$, 则由
$$\begin{aligned} \mathrm{ grad} F|_{P(2,1,0)}=\left\{y,x,\mathrm{e}^z-1\right\}|_P=\left\{1,2,0\right\} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知所求切平面方程为
$$\begin{aligned} 0=\left\{1,2,0\right\}\cdot \left\{x-2,y-1,z-0\right\}=x+2y-4, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
法线方程为 $\displaystyle \frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{0}$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
681、 (4)、 设 $\displaystyle z=xf\left(\frac{x}{y}\right)+yg\left(\frac{y}{x}\right)$, 其中 $\displaystyle f,g$ 具有二阶连续导数, 求
$$\begin{aligned} x^4y^2\frac{\partial^2z}{\partial x^2}+x^3y^3\frac{\partial^2z}{\partial x\partial y}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(中南大学2023年数学分析考研试题) [多元函数微分学 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle F(t)=tf(t), G(t)=\frac{1}{t}g\left(\frac{1}{t}\right), H(t)=F(t)+G(t), I(t)=(t+1)H(t)$, 则
$$\begin{aligned} z=yF\left(\frac{x}{y}\right)+xG\left(\frac{x}{y}\right) =(x+y)H\left(\frac{x}{y}\right) =yI\left(\frac{x}{y}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故
$$\begin{aligned} &z_x=yI'\left(\frac{x}{y}\right)\cdot\frac{1}{y}=I'\left(\frac{x}{y}\right), z_{xx}=I''\left(\frac{x}{y}\right)\frac{1}{y}, z_{xy}=I''\left(\frac{x}{y}\right)\frac{-x}{y^2},\\\\ &\mbox{原式}=x^3y^2(xz_{xx}+yz_{xy})=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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682、 6、 (15 分) 给定方程 $\displaystyle x^2-y+\cos y=1$. (1)、 试证方程在原点附近能够唯一地确定隐函数 $\displaystyle y=f(x)$. (2)、 讨论 隐函数 $\displaystyle y=f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处的极值. (3)、 对上述隐函数 $\displaystyle y=f(x)$, 计算极限 $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{x^2-x+\sin x-y}{x^3}$. (中南大学2023年数学分析考研试题) [多元函数微分学 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 设 $\displaystyle F=x^2-y+\cos y-1$, 则 $\displaystyle F_y=-1-\sin y\Rightarrow F_y(0,0)=-1\neq 0$. 由隐函数存在定理, 方程在原点附近确定了唯一的隐函数 $\displaystyle y=f(x)$. (2)、 在
$$\begin{aligned} F_x+F_yy'=0\Rightarrow F_{xx}+F_{xy}y'+(F_{yx}+F_{yy}y')y'+F_yy''=0 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
中令 $\displaystyle x=0$ 知 $\displaystyle y'(0)=0, y''(0)=\left.-\frac{F_{xx}}{F_y}\right|_{(x,y)=(0,0)}=-\frac{2}{-1}=2$. 故 $\displaystyle y$ 在 $\displaystyle x=0$ 处取得极小值 $\displaystyle 0$. (3)、 由第 2 步知
$$\begin{aligned} &F_{xx}+2F_{xy}y'+F_{yy}y'^2+F_yy''=0\Rightarrow 2-\cos y y'^2-(1+\sin y)y''=0\\\\ \Rightarrow&\sin y\cdot y'^2-\cos y\cdot 2y'y'' -\cos y y''-(1+\sin y)y'''=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
令 $\displaystyle x=0$ 得
$$\begin{aligned} -y''(0)-y'''(0)=0\Rightarrow y'''(0)=-2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
进而
$$\begin{aligned} \mbox{原式}\xlongequal{\tiny\mbox{L'Hospital}}&\lim_{x\to 0}\frac{2x-y'+\cos x-1}{3x^2} \xlongequal{\tiny\mbox{L'Hospital}} \lim_{x\to 0}\frac{2-y''-\sin x}{6x}\\\\ =&-\lim_{x\to 0}\frac{y''-y''(0)}{6x}-\frac{1}{6} =-\frac{1}{6}y'''(0)-\frac{1}{6} =\frac{1}{6}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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683、 7、 (15 分) 求 $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ ($a,b,c > 0$) 上一点处的切平面, 使得该平面与坐标平面围成立体的体积最小. (中山大学2023年数学分析考研试题) [多元函数微分学 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 椭球面在 $\displaystyle (x,y,z)\ (x,y,z > 0)$ 处的法向量为 $\displaystyle \left\{\frac{x}{a^2},\frac{y}{b^2},\frac{z}{c^2}\right\},$ 而切平面为
$$\begin{aligned} \frac{x}{a^2}(X-x) +\frac{y}{b^2}(Y-y) +\frac{z}{c^2}(Z-z)=0\Leftrightarrow \frac{x}{a^2}X +\frac{y}{b^2}Y +\frac{z}{c^2}Z=1, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
其与三个坐标平面的交点分别为 $\displaystyle \left(\frac{a^2}{x},0,0\right),\ \left(0,\frac{b^2}{y},0\right),\ \left(0,0,\frac{c^2}{z}\right).$ 因此所求四面体的体积为
$$\begin{aligned} V=\frac{1}{6}\cdot \frac{a^2b^2c^2}{xyz} =\frac{1}{6}\cdot \frac{abc}{uvw}\quad \left(u=\frac{x}{a},\ v=\frac{y}{b},\ w=\frac{z}{c}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
往用 Lagrange 乘子法求 $\displaystyle uvw$ 在条件 $\displaystyle u^2+v^2+w^2=1$ 下的最大值. 为此, 记 $\displaystyle L(u,v,w;\lambda)=uvw+\lambda(u^2+v^2+w^2-1).$ 则由
$$\begin{aligned} L_u=vw+2\lambda u=0,\quad L_v=uw+2\lambda v=0,\\\\ L_w=uv+2\lambda w=0,\quad L_\lambda=u^2+v^2+w^2-1=0 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle u=v=w=\frac{1}{\sqrt{3}}.$ 故所求体积的最小值为 $\displaystyle \frac{\sqrt{3}abc}{2}$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
684、 10、 (15 分) 已知 $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}$ 在 $\displaystyle (x_0,y_0)$ 的一个邻域内存在, 且 $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}$ 在 $\displaystyle (x_0,y_0)$ 处可微. 证明:
$$\begin{aligned} \frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}(x_0,y_0)=\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}(x_0,y_0). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(中山大学2023年数学分析考研试题) [多元函数微分学 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /
$$\begin{aligned} &\quad f(x_0+h,y_0+h)-f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0+h)+f(x_0,y_0)\\\\ &=\left[f(x_0+h,y_0+h)-f(x_0+h,y_0)\right]-\left[f(x_0,y_0+h)-f(x_0,y_0)\right]\\\\ &\stackrel{g(t)=f(x_0+th,y_0+h)-f(x_0+th,y_0)}{=}g(1)-g(0) =g'(\theta)\\\\ &=f_x(x_0+\theta h,y_0+h)h-f_x(x_0+\theta h,y_0)h\\\\ &=[f_{xx}(x_0,y_0)\theta h+f_{xy}(x_0,y_0)h]h -[f_{xx}(x_0,y_0)\theta h]h+o(h^2)\\\\ &=f_{xy}(x_0,y_0)h^2+o(h^2), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
$$\begin{aligned} &\quad f(x_0+h,y_0+h)-f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0+h)+f(x_0,y_0)\\\\ &=[f(x_0+h,y_0+h)-f(x_0,y_0+h)]-[f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)]\\\\ &\stackrel{h(t)=f(x_0+h,y_0+th)-f(x_0,y_0+th)}{=}h(1)-h(0) =h'(p)\\\\ &=f_y(x_0+h,y_0+ph)h-f_y(x_0,y_0+ph)h\\\\ &=\left[f_{yx}(x_0,y_0)h+f_{yy}(x_0,y_0)ph\right]h -\left[f_{yy}(x_0,y_0)ph\right]h+o(h^2)\\\\ &=f_{yx}(x_0,y_0)h^2+o(h^2). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
两边除以 $\displaystyle h^2$ 后令 $\displaystyle h\to 0$ 即知 $\displaystyle f_{xy}(x_0,y_0)=f_{yx}(x_0,y_0)$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
685、 6、 (10 分) 设 $\displaystyle D$ 为平面上的有界闭区域, $\displaystyle u(x,y)$ 在 $\displaystyle D$ 上连续, 存在偏导数, 且满足
$$\begin{aligned} \frac{\partial u(x,y)}{\partial x}+\frac{\partial u(x,y)}{\partial y}=u(x,y)\mbox{和} u(x,y)|_{\partial D}=0, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
其中 $\displaystyle \partial D$ 为 $\displaystyle D$ 的边界. 证明: $\displaystyle u(x,y)$ 在 $\displaystyle D$ 上恒为 $\displaystyle 0$. (重庆大学2023年数学分析考研试题) [多元函数微分学 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 用反证法. 若 $\displaystyle u(x,y)$ 在 $\displaystyle D$ 上不恒为 $\displaystyle 0$, 则
$$\begin{aligned} \exists\ (x_0,y_0)\in D,\mathrm{ s.t.} u(x_0,y_0)\neq 0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
若 $\displaystyle u(x_0,y_0) > 0$, 则 $\displaystyle u$ 在 $\displaystyle D$ 上的最大值 $\displaystyle M > 0$ 在 $\displaystyle D$ 内某 $\displaystyle (x_\star,y_\star)$ 处取得. 由极值条件知 $\displaystyle u_x(x_\star,y_\star)=0=u_y(x_\star,y_\star)$, 而
$$\begin{aligned} 0=u_x(x_\star,y_\star)+u_y(x_\star,y_\star)\xlongequal{\tiny\mbox{题设}} u(x_\star,y_\star)=M > 0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这是一个矛盾. 若 $\displaystyle u(x_0,y_0) < 0$, 则同理可得矛盾. 故有结论.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
686、 (5)、 求 $\displaystyle f(x,y)=\sin x+\sin y-\sin(x+y)$ 在 $\displaystyle x+y=2\pi$ 与两坐标轴围成的区域上的最大值. (重庆师范大学2023年数学分析考研试题) [多元函数微分学 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设所论区域为 $\displaystyle D$, 则在 $\displaystyle D$ 的边界上, 容易知道 $\displaystyle f=0$. 又 $\displaystyle f\left(\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)=2$ 蕴含 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle D$ 上的最大值定在 $\displaystyle D$ 的内部某点出达到. 由
$$\begin{aligned} f_x=\cos x-\cos(x+y)=0, f_y=\cos y-\cos(x+y)=0 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle \cos x=\cos y=\cos(x+y)$. 由 $\displaystyle \cos x=\cos y$ 知 $\displaystyle x=y$ 或 $\displaystyle x+y=2\pi$. 但 $\displaystyle x+y=2\pi$ 蕴含 $\displaystyle (x,y)\in \partial D$, 矛盾. 故
$$\begin{aligned} x=y\Rightarrow& \left\{\begin{array}{llllllllllll}0 < 2x=x+y < 2\pi\Rightarrow 0 < x < \pi\\\\ \cos x=\cos 2x=2\cos^2x-1\end{array}\right.\\\\ \Rightarrow& \cos x=-\frac{1}{2}\mbox{或} 1 \Rightarrow x=\frac{2\pi}{3}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle D$ 内有唯一的驻点 $\displaystyle \left(\frac{2\pi}{3},\frac{2\pi}{3}\right)$, 一定就是 $\displaystyle f$ 的最大值点. 最终, 我们得到
$$\begin{aligned} \max_D f=f\left(\frac{2\pi}{3},\frac{2\pi}{3}\right)=\frac{3\sqrt{3}}{2}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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687、 (7)、 设 $\displaystyle u=F(xy,z+y,xz)$, 其中 $\displaystyle F$ 二阶连续可微, 求 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z}, \frac{\partial^2u}{\partial x\partial y}$. (重庆师范大学2023年数学分析考研试题) [多元函数微分学 ]
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$$\begin{aligned} u_x=&yF_1+zF_3, u_y=xF_1+F_2, u_z=F_2+xF_3,\\\\ u_{xy}=&F_1+y(xF_{11}+F_{12})+z(xF_{13}+F_{23})\\\\ =&F_1+yF_{12}+zF_{23}+xyF_{11}+xzF_{13}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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688、 (4)、 设
$$\begin{aligned} f(x,y)=\left\{\begin{array}{llllllllllll}(x^2+y^2)\sin \frac{1}{x^2+y^2},&(x,y)\neq (0,0),\\\\ 0,&(x,y)=(0,0).\end{array}\right. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
试证: $\displaystyle f_x(0,0), f_y(0,0)$ 存在, 且 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处可微. (重庆师范大学2023年数学分析考研试题) [多元函数微分学 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle f_x(0,0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x}=\lim_{x\to 0}x\sin\frac{1}{x^2} \xlongequal[\tiny\mbox{无穷小}]{\tiny\mbox{有界$\cdot$}} 0$. 同理, $\displaystyle f_y(0,0)=0$. 由
$$\begin{aligned} &\left|\frac{f(x,y)-f(0,0)-f_x(0,0)x-f_y(0,0)y}{\sqrt{x^2+y^2}}\right|\\\\ =&\left|\sqrt{x^2+y^2} \sin\frac{1}{x^2+y^2}\right| \leq \sqrt{x^2+y^2}\xrightarrow{(x,y)\to (0,0)}0 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle f$ 在原点可微.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
689、 5、 叙述定积分与三重积分的定义及其几何意义或物理意义, 它们的定义有什么共同点? 并利用定义证明三重积分的线性性质. (北京工业大学2023年数学分析考研试题) [重积分 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 定积分的定义. 设 $\displaystyle f$ 是 $\displaystyle [a,b]$ 上的函数, $\displaystyle I\in\mathbb{R}$. 若 $\displaystyle \forall\ \varepsilon > 0,\exists\ \delta > 0$, 对 $\displaystyle [a,b]$ 的任一分割
$$\begin{aligned} T: a=x_0 < x_1 < \cdots < x_n=b \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
对任意 $\displaystyle \xi_i\in [x_{i-1},x_i]$, 只要 $\displaystyle \left\Vert T\right\Vert < \delta$, 就有 $\displaystyle \left|\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i-I\right| < \varepsilon$, 则称 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle [a,b]$ 上可积, 并记 $\displaystyle I=\int_a^b f(x)\mathrm{ d} x$. 当 $\displaystyle f\geq 0$ 时, $\displaystyle I$ 就是 $\displaystyle f$ 的下方图像的面积; 当 $\displaystyle f\geq 0$ 表示 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle x$ 处的密度时, $\displaystyle I$ 就是绳子 $\displaystyle [a,b]$ 的质量. (2)、 三重积分的定义. 设 $\displaystyle f(x,y,z)$ 是三维空间中可求体积的有界闭区域 $\displaystyle V$ 上的函数, $\displaystyle I\in\mathbb{R}$. 若 $\displaystyle \forall\ \varepsilon > 0,\exists\ \delta > 0$, 对 $\displaystyle V$ 的任一分割 $\displaystyle T=\left\{V_1,\cdots,V_n\right\}$, 对任意 $\displaystyle (\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\in V_i$, 只要 $\displaystyle \left\Vert T\right\Vert < \delta$, 就有 $\displaystyle \left|\sum_{i=1}^n f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta V_i-I\right| < \varepsilon$ ($\Delta V_i$ 表示 $\displaystyle V_i$ 的体积), 则称 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle V$ 上可积, 并记 $\displaystyle I=\iiint_V f(x,y,z)\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z$. 当 $\displaystyle f\geq 0$ 表示 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle (x,y,z)$ 处的密度时, $\displaystyle I$ 就是 $\displaystyle V$的质量. (3)、 由 $\displaystyle f,g$ 在三维空间中可求体积的有界闭区域 $\displaystyle V$ 上可积, 则对 $\displaystyle \forall\ k,l\in\mathbb{R}$,
$$\begin{aligned} &\iiint_V (kf+lg)\mathrm{ d} V=\lim_{\left\Vert T\right\Vert \to 0}\sum_i [kf(\xi_i,\eta_i,\zeta_i) +lg(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)]\Delta V_i\\\\ =&k\lim_{\left\Vert T\right\Vert \to 0}\sum_i f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta V_i +l\lim_{\left\Vert T\right\Vert \to 0}\sum_i g(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)]\Delta V_i\\\\ =&k\iiint_V f\mathrm{ d} V+l\iiint_V g\mathrm{ d} V. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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690、 7、 (15 分 计算 $\displaystyle \iiint_{r < 10}[r]\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z$, 其中 $\displaystyle r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$, $\displaystyle [r]$ 表示不超过 $\displaystyle r$ 的最大整数. (北京科技大学2023年数学分析考研试题) [重积分 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /
$$\begin{aligned} \mbox{原式}=&\sum_{k=1}^{10}\iiint_{k-1\leq r < k}(k-1)\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z\\\\ =&\sum_{k=1}^{10}(k-1)\left[\frac{4\pi}{3}k^3-\frac{4\pi}{3}(k-1)^3\right]\\\\ =&\frac{4\pi}{3}\sum_{k=2}^{10}(k-1)[k^3-(k-1)^3] =\frac{4\pi}{3}\sum_{i=1}^9 i[(i+1)^3-i^3]\\\\ =&\frac{4\pi}{3}\sum_{i=1}^9 i(3i^2+3i+1) =\frac{4\pi}{3} \left[3\sum_{i=1}^9 i^3+3\sum_{i=1}^9 i^2+\sum_{i=1}^9 i\right]. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由
$$\begin{aligned} \sum_{i=1}^n i=\frac{n(n+1)}{2}, \sum_{i=1}^n i^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}, \sum_{i=1}^n i^3=\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
即知原式 $\displaystyle =9300\pi$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
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发表于 2023-3-5 09:11:36