张祖锦2023年数学专业真题分类70天之第06天
116、 1、 (40 分) 求极限. (1)、 $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{(\tan x)^2(1-\cos x)^2}{x(\arcsin x)^3[\ln(1+x)]^2}$. (华南师范大学2023年数学分析考研试题) [函数极限 ]
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$$\begin{aligned} \mbox{原式}\xlongequal[\tiny\mbox{代换}]{\tiny\mbox{等价}} \lim_{x\to 0}\frac{x^2\left(\frac{x^2}{2}\right)^2}{x\cdot x^3\cdot x^2}=\frac{1}{4}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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117、 3、 (15 分) 设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathring{U}(x_0)$ 内有定义且 $\displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x)=A$ 存在. 证明: (1)、 存在 $\displaystyle \delta_0 > 0$, 使得 $\displaystyle \forall\ x\in\mathring{U}(x_0;\delta_0)$, $\displaystyle |f(x)| > \frac{|A|}{2} > 0$ (函数极限的局部保号性); (2)、 利用函数极限定义及局部保号性, 证明:
$$\begin{aligned} \lim_{x\to x_0} \tan x=\tan x_0\left(x_0\neq k\pi+\frac{\pi}{2}, k\in\mathbb{Z}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(华南师范大学2023年数学分析考研试题) [函数极限 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 由函数极限的定义知 $\displaystyle \lim_{x\to x_0} |f(x)|=|A|$, 而
$$\begin{aligned} &\exists\ \delta_0 > 0,\mathrm{ s.t.} \forall\ x\in \mathring{U}(x_0;\delta_0),\\\\ &\left||f(x)|-|A|\right| < \frac{|A|}{2} \Rightarrow |f(x)| > \frac{|A|}{2}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2)、 由 $\displaystyle \tan x$ 的周期性及是奇函数知不妨设 $\displaystyle 0 < x_0 < \frac{\pi}{2}$. 此时,
$$\begin{aligned} &\forall\ \varepsilon > 0,\exists\ \delta=\min\left\{x_0,\frac{\frac{\pi}{2}-x_0}{2},\varepsilon \cos^2\left(\frac{\pi}{4}+\frac{x_0}{2}\right)\right\} > 0,\\\\ &\mathrm{ s.t.} \forall\ x: x\in \mathring{U}(x_0;\delta),\\\\ &|\tan x-\tan x_0|\xlongequal[\tiny\mbox{中值}]{\tiny\mbox{Lagrange}} |\sec^2\xi|\cdot |x-x_0| =\frac{1}{\cos^2\xi}|x-x_0|\\\\ &\leq \frac{1}{\cos^2\left(\frac{\pi}{4}+\frac{x_0}{2}\right)}|x-x_0| < \varepsilon. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故确有 $\displaystyle \lim_{x\to x_0} \tan x=\tan x_0$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
118、 6、 (10 分) 设函数 $\displaystyle f(x)$ 是定义在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上的单调递减函数. 证明: $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)$ 存在且有限的充要条件是 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上有下界. (华南师范大学2023年数学分析考研试题) [函数极限 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 $\displaystyle \Rightarrow$: 设 $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\ell$ 存在, 则
$$\begin{aligned} \exists\ X > a,\mathrm{ s.t.} \forall\ x\geq X, |f(x)-\ell| < 1\Rightarrow f(x) > \ell-1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
又由 $\displaystyle f$ 递减知
$$\begin{aligned} \forall\ x\geq a, f(x)\geq f(\max\left\{x,X\right\})\geq \ell-1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle f$ 有下界. (2)、 $\displaystyle \Leftarrow$: 若 $\displaystyle f$ 有下界, 则 $\displaystyle f$ 有下确界 $\displaystyle \ell=\inf_{[a,+\infty)}f$. 按定义,
$$\begin{aligned} \forall\ \varepsilon > 0,\exists\ X\geq a,\mathrm{ s.t.} f(X) < \ell+\varepsilon. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是当 $\displaystyle x\geq X$ 时,
$$\begin{aligned} \ell\leq f(x)\leq f(X) < \ell+\varepsilon. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这就证明了 $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\ell$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
119、 1、 (15 分) 求极限 $\displaystyle \lim_{x\to 0}\left(-\frac{\cot x}{\mathrm{e}^{-2x}}+\frac{1}{\mathrm{e}^{-x}\sin^2x}-\frac{1}{x^2}\right)$. (华中科技大学2023年数学分析考研试题) [函数极限 ]
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$$\begin{aligned} \mbox{原式}=&\lim_{x\to 0}\left(-\frac{\mathrm{e}^x \cos x}{\sin x} +\frac{\mathrm{e}^{2x}}{\sin^2x} -\frac{1}{x^2}\right)\\\\ =&\lim_{x\to 0}\frac{-x^2\mathrm{e}^{2x}\sin x\cos x+x^2\mathrm{e}^x-\sin^2x}{x^2\sin^2x}\\\\ \xlongequal[\tiny\mbox{代换}]{\tiny\mbox{等价}}& \lim_{x\to 0}\frac{-\frac{x^2}{2}\mathrm{e}^{2x}\sin 2x+x^2\mathrm{e}^x-\frac{1-\cos 2x}{2}}{x^4}\\\\ \xlongequal[\tiny\mbox{展开}]{\tiny\mbox{Taylor}}&\lim_{x\to 0}\frac{\boxed{\begin{array}{c}-\frac{x^2}{2}\left[1+2x+o(x^2)\right]\left[2x-\frac{(2x)^3}{3!}+o(x^3)\right]\\\\ +x^2\left[1+x+\frac{x^2}{2}+o(x^2)\right] -\frac{1}{2}\left[\frac{(2x)^2}{2}-\frac{(2x)^4}{4!}+o(x^4)\right]\end{array}}}{x^4}\\\\ =&-2+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=-\frac{7}{6}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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120、 1、 计算题 (每题 10 分, 共 50 分). (1)、 计算极限 $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\sqrt{x^3}\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}-2\sqrt{x}\right)$. (华中师范大学2023年数学分析考研试题) [函数极限 ]
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$$\begin{aligned} \mbox{原式}&\stackrel{\frac{1}{x}=t}{=}\lim_{t\to 0}\frac{1}{t^\frac{3}{2}}\left(\sqrt{\frac{1}{t}+1}+\sqrt{\frac{1}{t}-1}-2\sqrt{\frac{1}{t}}\right)\\\\ &=\lim_{t\to 0} \frac{\sqrt{1+t}+\sqrt{1-t}-2}{t^2}\\\\ &\xlongequal[\tiny\mbox{展开}]{\tiny\mbox{Taylor}} \lim_{t\to 0}\frac{\left[1+\frac{t}{2}-\frac{t^2}{8}+o(t^2)\right]-\left[1+\frac{-t}{2}-\frac{(-t)^2}{8}+o(t^2)\right]-2}{t^2}\\\\ &=-\frac{1}{4}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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121、 (3)、 求极限 $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\int_{x^2}^x \tan^3t\mathrm{ d} t}{\ln (1+x^2)\cdot (\mathrm{e}^{2x^2}-1)}$. (吉林大学2023年数学分析考研试题) [函数极限 ]
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$$\begin{aligned} \mbox{原式}\xlongequal[\tiny\mbox{代换}]{\tiny\mbox{等价}}&\lim_{x\to 0}\frac{\int_{x^2}^x \tan^3t\mathrm{ d} t}{x^2\cdot 2x^2} =\frac{1}{2}\lim_{x\to 0}\frac{\int_{x^2}^x \tan^3t\mathrm{ d} t}{x^4}\\\\ \xlongequal{\tiny\mbox{L'Hospital}}&\frac{1}{2}\lim_{x\to 0}\frac{\tan^3x-\tan^3(x^2)\cdot 2x}{4x^3} \xlongequal[\tiny\mbox{代换}]{\tiny\mbox{等价}} \frac{1}{2}\left(\frac{1}{4}-0\right)=\frac{1}{8}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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122、 1、 计算题. (0-9)、 求 $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin x-\tan x}{\left(\sqrt[3]{1+x^2}-1\right)\left(\sqrt{1+\sin x}-1\right)}$. (吉林师范大学2023年(学科数学)数学分析考研试题) [函数极限 ]
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$$\begin{aligned} \lim_{t\to 0}\frac{\sqrt[\alpha]{1+t}-1}{t} \xlongequal{\tiny\mbox{L'Hospital}} \lim_{t\to 0}\alpha(1+t)^{\frac{1}{\alpha}-1}=\alpha \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知
$$\begin{aligned} \mbox{原式}=&\lim_{x\to 0}\frac{\tan x(\cos x-1)}{\frac{1}{3}x^2\cdot \frac{1}{2}\sin x} \xlongequal[\tiny\mbox{代换}]{\tiny\mbox{等价}} \lim_{x\to 0}\frac{x\left(-\frac{x^2}{2}\right)}{\frac{1}{6}x^3}=-3. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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123、 (0-10)、 求 $\displaystyle \lim_{x\to 1}x^\frac{1}{1-x}$. (吉林师范大学2023年(学科数学)数学分析考研试题) [函数极限 ]
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$$\begin{aligned} \mbox{原式}=\mathrm{exp}\left[\lim_{x\to 1}\frac{1}{1-x}\ln x\right] \stackrel{x-1=t}{=}\mathrm{exp}\left[-\lim_{t\to 0}\frac{1}{t}\ln (1+t)\right] \xlongequal[\tiny\mbox{代换}]{\tiny\mbox{等价}} \mathrm{e}^{-1}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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124、 (2)、 (可能有误) 求极限 $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(\cos \sqrt[3]{x+1}-\cos \sqrt[3]{x}\right)x^\frac{1}{3}$. [不管怎样, 张祖锦还是做出来了] (暨南大学2023年数学分析考研试题) [函数极限 ]
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$$\begin{aligned} \mbox{原式}&\xlongequal[\tiny\mbox{中值}]{\tiny\mbox{Lagrange}} \lim_{x\to\infty}[-\sin \xi_x] \left(\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[3]{x}\right)x^\frac{1}{3}\\\\ &=\lim_{x\to\infty} [-\sin \xi_x] \frac{x^\frac{1}{3}}{(x+1)^\frac{2}{3}+x^\frac{1}{3}(x+1)^\frac{1}{3}+x^\frac{2}{3}} \xlongequal[\tiny\mbox{无穷小}]{\tiny\mbox{有界 $\displaystyle \cdot$}} 0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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125、 (2)、 求 $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\cos x-\mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2}}}{x^2\tan^2x}$. (南昌大学2023年数学分析考研试题) [函数极限 ]
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$$\begin{aligned} \mbox{原式}\xlongequal[\tiny\mbox{代换}]{\tiny\mbox{等价}}&\lim_{x\to 0}\frac{\cos x-\mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2}}}{x^4}\\\\ \xlongequal[\tiny\mbox{展开}]{\tiny\mbox{Taylor}}& \lim_{x\to 0}\frac{\left[1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+o(x^4)\right] -\left[1+\left(-\frac{x^2}{2}\right)+\frac{1}{2!}\left(-\frac{x^2}{2}\right)^2+o(x^4)\right]}{x^4}\\\\ =&\frac{1}{4!}-\frac{1}{4\cdot 2}=-\frac{1}{12}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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126、 1、 计算题. (1)、 求极限 $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+2x}-\mathrm{e}^x+x^2}{\arcsin x-\sin x}$. (南京航空航天大学2023年数学分析考研试题) [函数极限 ]
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$$\begin{aligned} \mbox{原式}&\xlongequal[\tiny\mbox{展开}]{\tiny\mbox{Taylor}}\lim_{x\to 0}\frac{\boxed{\begin{array}{c}\left[1+\frac{2x}{2}-\frac{(2x)^2}{8}+\frac{(2x)^3}{16}+o(x^3)\right]\\\\ -\left[1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+o(x^3)\right]+x^2\end{array}}}{\left[x+\frac{x^3}{6}+o(x^3)\right]-\left[x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)\right]} =\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{6}}{\frac{1}{3}}=1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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127、 1、 计算题. (1)、 求极限 $\displaystyle \lim_{x\to 0}(\mathrm{e}^x-\sin x)^\frac{1}{x^2}$. (南京师范大学2023年数学分析考研试题) [函数极限 ]
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$$\begin{aligned} \mbox{原式}=&\mathrm{exp}\left[\lim_{x\to 0}\frac{\ln(\mathrm{e}^x-\sin x)}{x^2}\right] \xlongequal[\tiny\mbox{代换}]{\tiny\mbox{等价}} \mathrm{exp}\left[\lim_{x\to 0}\frac{\mathrm{e}^x-\sin x-1}{x^2}\right]\\\\ \xlongequal{\tiny\mbox{L'Hospital}}& \mathrm{exp}\left[\lim_{x\to 0}\frac{\mathrm{e}^x-\cos x}{2x}\right] \xlongequal{\tiny\mbox{L'Hospital}} \mathrm{exp}\left[\lim_{x\to 0}\frac{\mathrm{e}^x+\sin x}{2}\right]=\sqrt{\mathrm{e}}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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128、 2、 (20 分) 求极限
$$\begin{aligned} \lim_{x\to 0}\frac{\cos \sin x-\mathrm{e}^{\cos x-1}}{\tan^2x-\sin^2x}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(南开大学2023年数学分析考研试题) [函数极限 ]
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$$\begin{aligned} \tan^2x-\sin^2x=&\tan^2x(1-\cos^2x) =\tan^2x(1+\cos x)(1-\cos x)\\\\ &\sim x^2\cdot 2\cdot \frac{x^2}{2}=x^4, x\to 0 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知
$$\begin{aligned} \mbox{原式}=&\lim_{x\to 0}\frac{\cos \sin x-\mathrm{e}^{-2\sin^2\frac{x}{2}}}{x^4}\\\\ \xlongequal[\tiny\mbox{展开}]{\tiny\mbox{Taylor}}&\lim_{x\to 0}\frac{\left[1-\frac{\sin^2x}{2}+\frac{\sin^4x}{4!}+o(x^5)\right]s -\left[1-2\sin^2\frac{x}{2} +\frac{4\sin^4\frac{x}{2}}{2}+o(x^5)\right]}{x^4}\\\\ =&\lim_{x\to 0}\frac{-\frac{\sin^2x}{2}+2\sin^2\frac{x}{2}}{x^4} +\frac{1}{4!}-2\left(\frac{1}{2}\right)^4\\\\ =&\lim_{x\to 0}\frac{-2\sin^2\frac{x}{2}\cos^2\frac{x}{2}+2\sin^2\frac{x}{2}}{x^4} +\frac{1}{4!}-2\left(\frac{1}{2}\right)^4\\\\ =&\lim_{x\to 0}\frac{2\sin^4\frac{x}{2}}{x^4} +\frac{1}{4!}-2\left(\frac{1}{2}\right)^4 =\frac{1}{4!}=\frac{1}{24}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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129、 1、 (60 分) 计算题. (1)、 (20 分) 求极限 $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{x\sqrt{1+x^2}-x\mathrm{e}^{x^2}}{\arcsin x-\sin x}$. (山东大学2023年数学分析考研试题) [函数极限 ]
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$$\begin{aligned} \mbox{原式}\xlongequal[\tiny\mbox{展开}]{\tiny\mbox{Taylor}}&\lim_{x\to 0}\frac{x\left[1+\frac{x^2}{2}+o(x^2)\right]-x\left[1+x^2+o(x^2)\right]}{\left[x+\frac{x^3}{6}+o(x^3)\right]-\left[x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)\right]}\\\\ =&\frac{\frac{1}{2}-1}{\frac{1}{6}-\left(-\frac{1}{6}\right)}=-\frac{3}{2}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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130、 1、 计算题 (每题 5 分, 共 20 分). (1)、 求极限 $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\mathrm{e}^x-(1+2x)^\frac{1}{2}}{\ln(1+x^2)}$. (陕西师范大学2023年数学分析考研试题) [函数极限 ]
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$$\begin{aligned} \mbox{原式}&\xlongequal[\tiny\mbox{代换}]{\tiny\mbox{等价}} \lim_{x\to 0}\frac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{\frac{1}{2}\ln (1+2x)}}{x^2} \xlongequal[\tiny\mbox{中值}]{\tiny\mbox{Lagrange}} \lim_{x\to 0}\frac{\mathrm{e}^{\xi_x}\left[x-\frac{\ln(1+2x)}{2}\right]}{x^2}\\\\ &=\frac{1}{2}\lim_{x\to 0}\frac{2x-\ln (1+x)}{x^2} \xlongequal[\tiny\mbox{展开}]{\tiny\mbox{Taylor}} \frac{1}{2}\lim_{x\to 0}\frac{\frac{(2x)^2}{2}+o(x^2)}{x^2} =1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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131、 (2)、 用’$\varepsilon-\delta$ 定义证明: $\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x^4-6x^2+8}=\frac{1}{2}$. (上海大学2023年数学分析考研试题) [函数极限 ]
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$$\begin{aligned} &\forall\ \varepsilon > 0,\exists\ \delta=\min\left\{\frac{1}{2},\frac{\varepsilon}{5}\right\} > 0,\mathrm{ s.t.} \forall\ 0 < |x-2| < \delta,\\\\ &\left|\frac{x^2-4}{x^4-6x^2+8}-\frac{1}{2}\right| =\left|\frac{(x-2)(x+2)}{2(x^2-2)}\right| < \frac{\delta\cdot\frac{5}{2}}{2\left[\left(\frac{3}{2}\right)^2-2\right]}=5\delta < \varepsilon. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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132、 (2)、 $\displaystyle \lim_{x\to 0}\left(\frac{2+3\mathrm{e}^{-\frac{1}{x}}}{1+\mathrm{e}^{-\frac{4}{x}}}-\frac{|x|}{x}\right)$. (上海大学2023年数学分析考研试题) [函数极限 ]
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$$\begin{aligned} &\lim_{x\to 0^+}\left(\frac{2+3\mathrm{e}^{-\frac{1}{x}}}{1+\mathrm{e}^{-\frac{4}{x}}}-\frac{|x|}{x}\right) =\frac{2+3\cdot 0}{1+0}-1=1,\\\\ &\lim_{x\to 0^-}\left(\frac{2+3\mathrm{e}^{-\frac{1}{x}}}{1+\mathrm{e}^{-\frac{4}{x}}}-\frac{|x|}{x}\right) =\lim_{x\to 0^-}\left(\frac{2\mathrm{e}^\frac{4}{x}+3\mathrm{e}^\frac{3}{x}}{\mathrm{e}^\frac{4}{x}+1}-\frac{-x}{x}\right) =\frac{2\cdot 0+3\cdot 0}{0+1}=1 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知原式 $\displaystyle =1$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
133、 (2)、 已知 $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+f(x)\sin x}-1}{\mathrm{e}^{2x}-1}=3$. 求 $\displaystyle \lim_{x\to 0}f(x)$. (首都师范大学2023年数学分析考研试题) [函数极限 ]
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$$\begin{aligned} 3\xlongequal[\tiny\mbox{代换}]{\tiny\mbox{等价}}\lim_{x\to 0}\frac{1}{2x}\cdot \frac{f(x)\sin x}{\sqrt{1+f(x)\sin x}+1} =\frac{1}{4}\lim_{x\to 0}f(x). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle \lim_{x\to 0}f(x)=12$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
134、 3、 设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内有一阶导数. (1)、 证明: 对任意 $\displaystyle A > 0$,
$$\begin{aligned} f(x)=\mathrm{e}^{A-x}f(A)+\mathrm{e}^{-x}\int_A^x [f(t)+f'(t)]\mathrm{e}^t\mathrm{ d} t. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2)、 设 $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}[f(x)+f'(x)]=0$, 证明: $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=0$. (首都师范大学2023年数学分析考研试题) [函数极限 ]
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$$\begin{aligned} &\mathrm{e}^{-x}\int_A^x [f(t)+f'(t)]\mathrm{e}^t\mathrm{ d} t\xlongequal[\tiny\mbox{积分}]{\tiny\mbox{分部}} \mathrm{e}^{-x}[f(t)\mathrm{e}^t]'|_{t=A}^{t=x}\\\\ =&\mathrm{e}^{-x}[f(x)\mathrm{e}^x-f(A)\mathrm{e}^A]=f(x)-\mathrm{e}^{A-x}f(A). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
从而
$$\begin{aligned} \lim_{x\to+\infty}f(x)\overset{\tiny\mbox{第1步}}{=}&\lim_{x\to+\infty}\left\{\frac{\mathrm{e}^A f(A)}{\mathrm{e}^x} +\frac{\displaystyle\int_A^x [f(t)+f'(t)]\mathrm{e}^t\mathrm{ d} t}{\mathrm{e}^x}\right\}\\\\ \xlongequal{\tiny\mbox{L'Hospital}}&0+\lim_{x\to+\infty}\frac{[f(x)+f'(x)]\mathrm{e}^x}{\mathrm{e}^x}\xlongequal{\tiny\mbox{题设}} 0+0=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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135、 11、 设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处连续, $\displaystyle f'(0)=0$, $\displaystyle f‘(0)$ 存在. 证明:
$$\begin{aligned} \lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f\left(\ln (1+x)\right)}{x^3}=\frac{1}{2}f''(0). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由 Taylor 公式,
$$\begin{aligned} f(x)&=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2}x^2+o(x^2) =f(0)+\frac{f''(0)}{2}x^2+o(x^2), x\to 0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故
$$\begin{aligned} \mbox{原式}&=\lim_{x\to 0}\frac{\left[f(0)+\frac{f''(0)}{2}x^2\right]-\left[f(0)+\frac{f''(0)}{2}\ln^2(1+x)+o(x^2)\right]}{x^3}\\\\ &=\frac{f''(0)}{2}\lim_{x\to 0}\frac{x^2-\ln^2(1+x)}{x^3} =\frac{f''(0)}{2}\lim_{x\to 0}\frac{x+\ln (1+x)}{x}\cdot\frac{x-\ln(1+x)}{x^2}\\\\ &=f''(0)\lim_{x\to 0}\frac{x-\ln(1+x)}{x^2} =f''(0)\lim_{x\to 0}\frac{x-\left[x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)\right]}{x^2}=\frac{f''(0)}{2}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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136、 (3)、 $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\cos \sin x-\cos x}{x^3\arctan x}$. (四川大学2023年数学分析考研试题) [函数极限 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /
$$\begin{aligned} \mbox{原式}=&\lim_{x\to 0}\frac{-2\sin\frac{\sin x+x}{2}\sin\frac{\sin x+x}{2}}{x^4} \xlongequal[\tiny\mbox{代换}]{\tiny\mbox{等价}} -2\lim_{x\to 0}\frac{\frac{\sin x+x}{2}\cdot \frac{\sin x-x}{2}}{x^4}\\\\ =&-\frac{1}{2}\lim_{x\to 0}\left(\frac{\sin x}{x}+1\right)\frac{\sin x-x}{x^3} \xlongequal[\tiny\mbox{展开}]{\tiny\mbox{Taylor}} -\frac{1}{2}(1+1)\left(-\frac{1}{6}\right)=\frac{1}{6}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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137、 (4)、 $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{(x+2)^x-2^x}{x\sin x}$. (四川大学2023年数学分析考研试题) [函数极限 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /
$$\begin{aligned} \mbox{原式}\xlongequal[\tiny\mbox{代换}]{\tiny\mbox{等价}}&\lim_{x\to 0}\frac{1}{2^x}\cdot \frac{\left(\frac{x}{2}+1\right)^x-1}{x^2} =\lim_{x\to 0}\frac{\mathrm{e}^{x\ln \left(1+\frac{x}{2}\right)}-1}{x^2}\\\\ \xlongequal[\tiny\mbox{代换}]{\tiny\mbox{等价}}&\lim_{x\to 0}\frac{x\ln\left(1+\frac{x}{2}\right)}{x^2}\xlongequal[\tiny\mbox{代换}]{\tiny\mbox{等价}} \frac{1}{2}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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138、 (2)、 $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{(5+\sin x)^x-5^x}{\tan^2x}$. (苏州大学2023年数学分析考研试题) [函数极限 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /
$$\begin{aligned} \mbox{原式}\xlongequal[\tiny\mbox{代换}]{\tiny\mbox{等价}}&\lim_{x\to 0}\frac{\mathrm{e}^{x\ln(5+\sin x)}-\mathrm{e}^{x\ln 5}}{x^2} \xlongequal[\tiny\mbox{中值}]{\tiny\mbox{Lagrange}} \lim_{x\to 0}\frac{\mathrm{e}^{\xi_x}x\ln\left(1+\frac{\sin x}{5}\right)}{x^2}\\\\ \xlongequal[\tiny\mbox{代换}]{\tiny\mbox{等价}}&\lim_{x\to 0}\frac{\frac{\sin x}{5}}{x}=\frac{1}{5}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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发表于 2023-3-5 08:41:40