大连理工大学2009年数学分析考研试题参考解答

zhangzujin

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大连理工大学2009年数学分析考研试题

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1、 解答下列各题.

(1)、 判断下列数列是否收敛: $\displaystyle 1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}$. fl: 数列极限

(2)、 设 $\displaystyle \left\{a_n\right\}$ 是正数列, 若 $\displaystyle \varlimsup_{n\to\infty}a_n=1$, 证明:

$$\begin{aligned} \varlimsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_1+\cdots+a_n}=1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

fl: 数列极限

(3)、 判断下列函数列是否一致收敛: $\displaystyle f_n(x)=x^n \cos\frac{\pi}{2x}, x\in (0,1]$. fl: 函数项级数

(4)、 设 $\displaystyle u=f\left(xy,\frac{y}{x}\right)$, 求 $\displaystyle \frac{\partial^2u}{\partial x^2},\frac{\partial ^2u}{\partial x\partial y}$. fl: 多元函数微分学

(5)、 已知 $\displaystyle f'(a)$ 存在, 求 $\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{xf(a)-af(x)}{x-a}$. fl: 微分

(6)、 设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,b]$ 上可导, 且 $\displaystyle f(a)=f(b)$, $\displaystyle a > 0$. 证明: 存在 $\displaystyle \xi\in (a,b)$, 使得

$$\begin{aligned} f(a)-f(\xi)=\frac{\xi f'(\xi)}{2}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

fl: 微分

(7)、 求极限 $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x^n}{\ln^2x}$, 其中 $\displaystyle n$ 是正整数. fl: 函数极限

(8)、 求下列函数的 Fourier 级数展开:

$$\begin{aligned} f(x)=\left\{\begin{array}{llllllllllll}\pi-x,&-\pi\leq x < 0,\\\\ \pi+x,&0\leq x\leq \pi.\end{array}\right. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

fl: Fourier级数

(9)、 求 $\displaystyle f(x)=\sqrt[3]{x^2}(x-1)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上的极值. fl: 微分

(10)、 设 $\displaystyle V$ 是由平面 $\displaystyle x=0, y=0, z=0$ 和 $\displaystyle x+y+z=1$ 所围成的区域, 求 $\displaystyle \iiint_V z^2\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z$. fl: 重积分

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2、 设定义在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上的 $\displaystyle f(x)$ 满足: 对任意的 $\displaystyle x_0\in (-\infty,+\infty)$, 都存在 $\displaystyle \delta > 0$, 使得 $\displaystyle f(x_0)\geq f(x), x\in (x_0-\delta,x_0+\delta)$. 证明存在一个区间 $\displaystyle I$ 上 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle I$ 上是常数. fl: 微分

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3、 设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,b]$ 上具有连续的导数, $\displaystyle 0 < a < b$,

$$\begin{aligned} f(a)=f(b)=0, \quad \int_a^b f^2(x)\mathrm{ d} x=1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

证明: $\displaystyle \int_a^b x^2[f'(x)]^2\mathrm{ d} x > \frac{1}{4}$. fl: 积分法与不等式

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4、 给定函数列 $\displaystyle f_n(x)=\frac{x|\ln x|^\alpha}{n^x}, n=2,3,\cdots$, 其中 $\displaystyle \alpha > 0$. 试问当 $\displaystyle \alpha$ 取何值时, $\displaystyle \left\{f_n(x)\right\}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上一致收敛. fl: 函数项级数

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5、 设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上连续, 若有

$$\begin{aligned} \int_{-1}^1 x^{2n+1}f(x)\mathrm{ d} x=0\left(n=0,1,2,\cdots\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

求证: $\displaystyle f(x)$ 是偶函数. fl: 定积分

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6、 设 $\displaystyle a > b > 1$, 证明: $\displaystyle a^{b^a} > b^{a^b}$. fl: 微分法与不等式

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7、 计算曲面积分

$$\begin{aligned} I=\iint_\varSigma (x-y+z)\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z+(y-z+x)\mathrm{ d} z\mathrm{ d} y+(z-x+y)\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

其中 $\displaystyle \varSigma: x^2+y^2=z^2$ 介于 $\displaystyle z=0$ 和 $\displaystyle z=1$ 之间的部分. fl: 曲线曲面积分

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8、 证明积分 $\displaystyle \int_0^1 \frac{\sin\frac{1}{x}}{x^p}\mathrm{ d} x$ 在 $\displaystyle 0 < p < 2$ 时非一致收敛, 在 $\displaystyle 0 < p < 2-\delta$ 时一致收敛, 其中 $\displaystyle \delta > 0$ 是正常数. fl: 含参量积分