山东大学2022年高等代数考研试题参考解答

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山东大学2022年高等代数考研试题参考解答

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1、 已知向量组 $\displaystyle \displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m\left(m\geq 2\right), \alpha_m\neq 0$ . 对任意的 $\displaystyle \displaystyle k_1,\cdots,k_{m-1}$ , 向量组 $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} \beta_1=\alpha_1+k_1\alpha_m, \beta_2=\alpha_2+k_2\alpha_m,\cdots, \beta_{m-1}=\alpha_{m-1}+k_m\alpha_m. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

线性无关的充要条件是 $\displaystyle \displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_m$ 线性无关. fl:线性空间与线性变换

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /

(1)、 $\displaystyle \displaystyle \Leftarrow$ : $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} (\beta_1,\cdots,\beta_{m-1},\alpha_m)=(\alpha_1,\cdots,\alpha_m)A, A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 1&0&\cdots&0&0\\ 0&1&\cdots&0&0\\ \vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\ k_1&k_2&\cdots&k_m&1\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

由 $\displaystyle \displaystyle \det A=1\neq 0$ 知 $\displaystyle \displaystyle \beta_1,\cdots,\beta_{m-1},\alpha_m$ 与 $\displaystyle \displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_m$ 等价, 它们的秩相等. 设 $\displaystyle \displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_m$ 线性无关, 则 $\displaystyle \displaystyle \beta_1,\cdots,\beta_{m-1},\alpha_m$ 线性无关, 进而 $\displaystyle \displaystyle \beta_1,\cdots,\beta_{m-1}$ 线性无关.

(2)、 $\displaystyle \displaystyle \Rightarrow$ : 设对 $\displaystyle \displaystyle \forall\ k_i, 1\leq i\leq m-1$ , $\displaystyle \displaystyle \beta_1,\cdots,\beta_{m-1}$ 线性无关, 往用反证法证明 $\displaystyle \displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_m$ 线性无关. 若不然, 由 $\displaystyle \displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_{m-1}$ 线性无关知 $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} \exists\ 1\leq i\leq m-1,\mathrm{ s.t.} \alpha_m=\sum_{i=1}^{m-1}x_i\alpha_i. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

由 $\displaystyle \displaystyle \alpha_m\neq 0$ 知 $\displaystyle \displaystyle x_i, 1\leq i\leq m-1$ 不全为 $\displaystyle \displaystyle 0$ . 不妨设 $\displaystyle \displaystyle x_1\neq 0$ , 则 $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} 0=x_1\left(\alpha_1-\frac{1}{x_1}\alpha_m\right)+x_2\alpha_2+\cdots+x_{m-1}\alpha_{m-1}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

取 $\displaystyle \displaystyle k_1=-\frac{1}{x_1}, k_2=0, \cdots,k_{m-1}=0$ , 由 $\displaystyle \displaystyle \beta_1,\cdots,\beta_{m-1}$ 的线性无关性知 $\displaystyle \displaystyle x_1=x_2=\cdots=x_{m-1}=0$ . 进而 $\displaystyle \displaystyle \alpha_m=\sum_{i=1}^{m-1}x_i\alpha_i=0$ . 这与题设矛盾. 故有结论.

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2、 已知 $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} \left\{\begin{array}{llllllllllll} \alpha_1=(1,2,1,0),\\ \alpha_2=(-1,1,1,1);\end{array}\right.\quad \left\{\begin{array}{llllllllllll} \beta_1=(2,-1,0,1),\\ \beta_2=(1,-1,3,7).\end{array}\right. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

求 $\displaystyle \displaystyle \alpha_1,\alpha_2$ 生成的子空间和 $\displaystyle \displaystyle \beta_1,\beta_2$ 生成的子空间的交空间的维数和基. fl:线性空间与线性变换

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle \displaystyle W_1=L(\alpha_1,\alpha_2), W_2=L(\beta_1,\beta_2)$ , 则 $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} \gamma\in W_1\cap W_2&\Leftrightarrow \exists\ k_i,\mathrm{ s.t.} \gamma=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2=-k_3\beta_1-k_4\beta_2\\ &\Leftrightarrow \gamma=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2, (\alpha_1^\mathrm{T},\alpha_2^\mathrm{T}, \beta_1^\mathrm{T},\beta_2^\mathrm{T})\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}k_1\\\vdots\\k_4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0\\\vdots\\0\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

由 $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} A\equiv (\alpha_1^\mathrm{T},\alpha_2^\mathrm{T}, \beta_1^\mathrm{T},\beta_2^\mathrm{T}) =\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&2&-1&1\\ 2&-1&1&-1\\ 1&0&1&3\\ 0&1&1&7\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&0&-1\\ 0&1&0&3\\ 0&0&1&4\\ 0&0&0&0\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

知 $\displaystyle \displaystyle Ax=0$ 的通解为 $\displaystyle \displaystyle k\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1\\-3\\-4\\1\end{array}\right),\ \forall\ k$ . 故 $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} \gamma=k(\alpha_1,\alpha_2)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1\\-3\end{array}\right)=k(-5,5,1,-3), W=L\left((-5,5,1,-3)\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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3、 设 $\displaystyle \displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 是数域 $\displaystyle \displaystyle \mathbb{K}$ 上的线性空间 $\displaystyle \displaystyle V$ 的一组基, $\displaystyle \displaystyle \sigma$ 是 $\displaystyle \displaystyle V$ 上的线性变换, 满足 $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} \sigma \alpha_1=\alpha_1,\quad \sigma \alpha_2=\alpha_1+\alpha_2,\quad \sigma \alpha_3=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

证明:

(1)、 $\displaystyle \displaystyle \sigma$ 是可逆的线性变换;

(2)、 求 $\displaystyle \displaystyle 2\sigma-\sigma^{-1}$ 在基底 $\displaystyle \displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 下的矩阵.

fl:线性空间与线性变换

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由 $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} \sigma(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)A, A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1&1\\ 0&1&1\\ 0&0&1\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

及 $\displaystyle \displaystyle \det A=1\neq 0$ 知 $\displaystyle \displaystyle \sigma$ 可逆. 进一步, $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} (2\sigma-\sigma^{-1})(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)(2A-A^{-1}) =(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&3&2\\ 0&1&3\\ 0&0&1\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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4、 设 $\displaystyle \displaystyle A\in M_n(\mathbb{K})$ , $\displaystyle \displaystyle \lambda_1,\cdots,\lambda_n$ 是 $\displaystyle \displaystyle A$ 的特征多项式 $\displaystyle \displaystyle f(\lambda)$ 在 $\displaystyle \displaystyle \mathbb{C}$ 上的根. 证明: $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} \mathrm{tr} A=\lambda_1+\cdots+\lambda_n, \quad \det A=\lambda_1\cdots \lambda_n. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

fl: 矩阵

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由题设, $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} f(\lambda)=|\lambda E-A|=(\lambda-\lambda_1)\cdots(\lambda-\lambda_n). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

比较 $\displaystyle \displaystyle \lambda^{n-1}$ 的次数即知 $\displaystyle \displaystyle \mathrm{tr} A=\sum_{i=1}^n \lambda_i$ , 比较常数项 (令 $\displaystyle \displaystyle \lambda=0$ ) 即知 $\displaystyle \displaystyle \det A=\prod_{k=1}^{n}\lambda_k$ . 跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

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5、 已知两组向量组的秩相同, 其中一个可由另一个线性表出. 证明: 两向量组等价. fl: 线性空间与线性变换

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle \displaystyle \mathbb{F}^n$ 中的向量组 $\displaystyle \displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_s$ 与向量组 $\displaystyle \displaystyle \beta_1,\cdots,\beta_t$ 的秩都为 $\displaystyle \displaystyle r$ , 且 $\displaystyle \displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_s$ 可由 $\displaystyle \displaystyle \beta_1,\cdots,\beta_t$ 线性表出. 则可取出 $\displaystyle \displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_s$ 的一个极大无关组, 不妨设为 $\displaystyle \displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_r$ , 再取出 $\displaystyle \displaystyle \beta_1,\cdots,\beta_t$ 的一个极大无关组, 不妨设为 $\displaystyle \displaystyle \beta_1,\cdots,\beta_r$ . 由向量组与它的极大无关组等价知 $\displaystyle \displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_r$ 可由 $\displaystyle \displaystyle \beta_1,\cdots,\beta_r$ 线性表出. 令 $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} A=(\alpha_1,\cdots,\alpha_r), B=(\beta_1,\cdots,\beta_r), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

则 $\displaystyle \displaystyle \mathrm{rank} A=r=\mathrm{rank} B$ , 且存在 $\displaystyle \displaystyle C\in\mathbb{F}^{r\times r}$ , 使得 $\displaystyle \displaystyle A=BC$ . 于是 $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} r=\mathrm{rank} A=\mathrm{rank} (BC)\leq \mathrm{rank} C\leq r\Rightarrow \mathrm{rank} C=r. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

故 $\displaystyle \displaystyle C$ 可逆, $\displaystyle \displaystyle B=AC^{-1}$ , $\displaystyle \displaystyle \beta_1,\cdots,\beta_r$ 可由 $\displaystyle \displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_r$ 线性表出. 由向量组与它的极大无关组等价知 $\displaystyle \displaystyle \beta_1,\cdots,\beta_t$ 可由 $\displaystyle \displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_s$ 线性表出. 联合题设即知向量组 $\displaystyle \displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_s$ 与向量组 $\displaystyle \displaystyle \beta_1,\cdots,\beta_t$ 等价. 跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

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6、 设 $\displaystyle \displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&1\\ 0&2&0\\ -1&0&1\end{array}\right)$ , 且 $\displaystyle \displaystyle AB+I=A^2+B$ . 求 $\displaystyle \displaystyle B$ . fl:矩阵

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由 $\displaystyle \displaystyle A-I=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&0&1\\ 0&1&0\\ -1&0&0\end{array}\right)$ 可逆知 $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} (A-I)B=A^2-I=(A-I)(A+I)\Rightarrow B=A+I=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 2&0&1\\ 0&3&0\\ -1&0&2 \end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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7、 设 $\displaystyle \displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1&1\\ 1&2&3\\ 1&3&5\end{array}\right)$ . 用初等变换的方法作合同变换, 求可逆矩阵 $\displaystyle \displaystyle C$ 和对角矩阵 $\displaystyle \displaystyle D$ , 使得 $\displaystyle \displaystyle C^\mathrm{T} AC=D$ . fl:矩阵

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由 $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} P_1=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 1&-1&-1\\ 0&1&0\\ 0&0&1\end{array}\right)\Rightarrow P_1^\mathrm{T} AP_1=A_1=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 1&0&0\\ 0&1&2\\ 0&2&4\end{array}\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

$\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} P_2=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&0\\ 0&1&-2\\ 0&0&1\end{array}\right)\Rightarrow P_2^\mathrm{T} AP_2=D=\mathrm{diag}(1,1,0) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

知 $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} C=P_1P_2=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 1&-1&1\\ 0&1&-2\\ 0&0&1\end{array}\right)\Rightarrow C^\mathrm{T} AC=\mathrm{diag}(1,1,0). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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8、 设 $\displaystyle \displaystyle A$ 是 $\displaystyle \displaystyle m\times n$ 矩阵, $\displaystyle \displaystyle \mathrm{rank} A=n$ . 证明:

(1)、 若 $\displaystyle \displaystyle AB=0$ , 则 $\displaystyle \displaystyle B=0$ .

(2)、 若 $\displaystyle \displaystyle AB=A$ , 则 $\displaystyle \displaystyle B=I$ .

fl:矩阵

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由 $\displaystyle \displaystyle \mathrm{rank} A=n$ 知 $\displaystyle \displaystyle Ax=0$ 只有零解.

(1)、 设 $\displaystyle \displaystyle B=(\beta_1,\cdots,\beta_n)$ , 则 $\displaystyle \displaystyle AB=0\Rightarrow A\beta_i=0\Rightarrow \beta_i=0\Rightarrow B=0$ .

(2)、 $\displaystyle \displaystyle AB=A\Rightarrow A(B-I)=0\overset{\tiny\mbox{第1步}}{\Longrightarrow} B-I=0\Rightarrow B=I$ .

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9、 设 $\displaystyle \displaystyle A(\lambda)$ 是 $\displaystyle \displaystyle n$ 阶 $\displaystyle \displaystyle \lambda$ -矩阵, 证明 $\displaystyle \displaystyle A(\lambda)$ 与 $\displaystyle \displaystyle A(\lambda)^\mathrm{T}$ 等价. fl:矩阵

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由 $\displaystyle \displaystyle A(\lambda)$ 的一个子式 $\displaystyle \displaystyle A(\lambda)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}i_1&\cdots&i_k\\ j_1&\cdots&j_k\end{array}\right)$ 与 $\displaystyle \displaystyle A(\lambda)^\mathrm{T}$ 的子式 $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} A(\lambda)^\mathrm{T}\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}j_1&\cdots&j_k\\i_1&\cdots&i_k\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

一一对应, 且值相等, 而 $\displaystyle \displaystyle k$ 阶行列式因子作为 $\displaystyle \displaystyle k$ 阶子式的最大公因式, 也相等. 进而不变因子相等, 初等因子相等, $\displaystyle \displaystyle A(\lambda)$ 与 $\displaystyle \displaystyle A(\lambda)^\mathrm{T}$ 等价. 跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

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