张祖锦2023年数学专业真题分类70天之第68天
1542、 7、 (1)、 给定 $\displaystyle \alpha_1,\alpha_2$, 求 $\displaystyle \alpha_3$, 使得 $\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 是线性空间 $\displaystyle V$ 的一组基. (2)、 给定一个矩阵 $\displaystyle A$, 定义 $\displaystyle (\xi,\eta)=\xi^\mathrm{T} A\eta$, 求 $\displaystyle V^\perp$ 的一组基. [题目不全, 跟锦数学微信公众号没法做哦.] (东南大学2023年高等代数考研试题) [欧氏空间 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / [题目不全, 跟锦数学微信公众号没法做哦.]跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1543、 10、 设 $\displaystyle \mathscr{A}$ 是 $\displaystyle n$ 维欧氏空间 $\displaystyle V$ 上的对称变换, 即
$$\begin{aligned} \left(\mathscr{A}\alpha,\beta\right)=\left(\alpha,\mathscr{A}\beta\right),\quad \forall\ \alpha,\beta\in V. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
证明: $\displaystyle \mathscr{A}$ 的特征值全为实数, 且
$$\begin{aligned} \min_{0\neq\alpha\in V}\frac{\left(\alpha,\mathscr{A}\alpha\right)}{(\alpha,\alpha)}=\lambda_1, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
其中 $\displaystyle \lambda_1$ 为 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的最小特征值. (东南大学2023年高等代数考研试题) [欧氏空间 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle \varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n$ 是 $\displaystyle V$ 的一组标准正交基, $\displaystyle \mathscr{A}$ 在该基下的矩阵的矩阵为 $\displaystyle A$, 则由
$$\begin{aligned} &(\mathscr{A}\varepsilon_i,\varepsilon_j)=\left(\sum_k a_{ki}\varepsilon_k,\varepsilon_j\right)=a_{ji},\\\\ &(\varepsilon_i,\mathscr{A}\varepsilon_j)=\left(\varepsilon_i,\sum_k a_{kj}\varepsilon_k\right)=a_{ij} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle a_{ij}=a_{ji}$, $\displaystyle A$ 是实对称矩阵. 从而存在正交矩阵 $\displaystyle P=(\eta_1,\cdots,\eta_n)$, 使得
$$\begin{aligned} P^\mathrm{T} AP=\mathrm{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_n), \lambda_i\in\mathbb{R}, \lambda_1\leq \cdots\leq \lambda_n. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
设 $\displaystyle (\alpha_1,\cdots,\alpha_n)=(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n)P$, 则由 $\displaystyle P$ 正交知 $\displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_n$ 是 $\displaystyle V$ 的一组标准正交基, 且
$$\begin{aligned} &\mathscr{A}(\alpha_1,\cdots,\alpha_n) =\mathscr{A}(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n)P\\\\ =&(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n)AP =(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)\mathrm{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_n). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的特征值为 $\displaystyle \lambda_i\in\mathbb{R}$, 对应的单位特征向量为 $\displaystyle \alpha_i$. 进一步, 对 $\displaystyle \forall\ 0\neq \alpha=\sum_i x_i\varepsilon_i\in V$,
$$\begin{aligned} (\alpha,\mathscr{A}\alpha)=&\left(\sum_i x_i\varepsilon_i, \sum_j x_j\mathscr{A}\varepsilon_j\right) =\left(\sum_i x_i\varepsilon_i, \sum_j x_j\lambda_j\varepsilon_j\right)\\\\ =&\sum_i \lambda_i x_i^2 \geq \sum_i \lambda_1 x_i^2 \geq \lambda_1 \sum_i x_i^2=\lambda_1(\alpha,\alpha). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
又由
$$\begin{aligned} (\alpha_1,\mathscr{A}\alpha_1)=(\alpha_1,\lambda_1\alpha_1)=\lambda_1(\alpha_1,\alpha_1) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle \min_{0\neq\alpha\in V}\frac{\left(\alpha,\mathscr{A}\alpha\right)}{(\alpha,\alpha)}=\lambda_1$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1544、 (3)、 若 $\displaystyle 3$ 维欧氏空间中, 内积在基 $\displaystyle \varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3$ 下的度量矩阵为 $\displaystyle \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&-1&0\\\\ -1&2&0\\\\ 0&0&3\end{array}\right)$, 则向量 $\displaystyle \alpha=2\varepsilon_1+\varepsilon_2-\varepsilon_3$ 的模 $\displaystyle |\alpha|=\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (哈尔滨工程大学2023年高等代数考研试题) [欧氏空间 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&-1&0\\\\ -1&2&0\\\\ 0&0&3\end{array}\right), x=(2,1,-1)^\mathrm{T}$,
$$\begin{aligned} |\alpha|=&\sqrt{(\alpha,\alpha)} =\sqrt{\left(\sum_i x_i\varepsilon_i,\sum_j x_j\varepsilon_j\right)}\\\\ =&\sqrt{\sum_{ij}(\varepsilon_i,\varepsilon_j)x_ix_j} =\sqrt{x^\mathrm{T} Ax}=\sqrt{5}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1545、 (5)、 设 $\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 为欧氏空间 $\displaystyle V$ 的一组基,
$$\begin{aligned} \beta_1=\alpha_1, \beta_2=\alpha_1+\alpha_2, \beta_3=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
若内积在基 $\displaystyle \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 下的度量矩阵为 $\displaystyle \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}4&1&2\\\\ 1&5&3\\\\ 2&3&6\end{array}\right)$, 则内积在基 $\displaystyle \beta_1,\beta_2,\beta_3$ 下的度量矩阵为 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (哈尔滨工程大学2023年高等代数考研试题) [欧氏空间 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}4&1&2\\\\ 1&5&3\\\\ 2&3&6\end{array}\right)$, 则
$$\begin{aligned} (\beta_1,\beta_2,\beta_3)=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)T, T=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1&1\\\\ 0&1&1\\\\ 0&0&1\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故
$$\begin{aligned} (\beta_i,\beta_j)=\left(\sum_k t_{ki}\varepsilon_k, \sum_l t_{lj}\varepsilon_l\right) =\sum_{kl}t_{ki}(\varepsilon_k,\varepsilon_l)t_{lj}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这表明内积在基 $\displaystyle \beta_1,\beta_2,\beta_3$ 下的度量矩阵为
$$\begin{aligned} T^\mathrm{T} AT=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}4&5&7\\\\ 5&11&16\\\\ 7&16&27\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1546、 9、 若 $\displaystyle A$ 为实数域上的方阵, $\displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_n$ 为 $\displaystyle A$ 的列向量组. 证明以下命题等价: (1)、 $\displaystyle A$ 为正交矩阵; (2)、 $\displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_n$ 为一组规范正交基; (3)、 对 $\displaystyle \forall\ X,Y\in\mathbb{R}^n$, 有 $\displaystyle (AX,AY)=(X,Y)$. (哈尔滨工业大学2023年高等代数考研试题) [欧氏空间 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 $\displaystyle (1)\Leftrightarrow (2)$: 由
$$\begin{aligned} A^\mathrm{T} A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\alpha_1^\mathrm{T}\\\\\vdots\\\\\alpha_n^\mathrm{T}\end{array}\right)(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)=(\alpha_i^\mathrm{T} \alpha_j)\qquad(I) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知
$$\begin{aligned} &A\mbox{正交}\Leftrightarrow A^\mathrm{T} A=E_n\Leftrightarrow (\alpha_i,\alpha_j)=\alpha_i^\mathrm{T} \alpha_j=\delta_{ij}=\left\{\begin{array}{llllllllllll}1,&i=j\\\\ 0,&i\neq j\end{array}\right.\\\\ \Leftrightarrow& \mbox{$\alpha_1,\cdots,\alpha_n$ 为一组规范正交基}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2)、 $\displaystyle (1)\Rightarrow (3)$:
$$\begin{aligned} (AX,AY)=(AX)^\mathrm{T} (AY)=X^\mathrm{T} A^\mathrm{T} AY=X^\mathrm{T} Y=(X,Y). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(3)、 $\displaystyle (3)\Rightarrow (1)$: 取 $\displaystyle X=e_i, Y=e_j$, 则
$$\begin{aligned} \delta_{ij}=(e_i,e_j)=(Ae_i,Ae_j)=(\alpha_i,\alpha_j)=\alpha_i^\mathrm{T} \alpha_j. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由 $\displaystyle (I)$ 知 $\displaystyle E_n=A^\mathrm{T} A\Rightarrow A$ 正交.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1547、 10、 设 $\displaystyle \sigma$ 为 $\displaystyle n$ 维欧氏空间 $\displaystyle V$ 上的一个线性变换, $\displaystyle V$ 上的线性变换 $\displaystyle \sigma^\star$ 称为 $\displaystyle \sigma$ 的伴随变换, 若
$$\begin{aligned} \left(\sigma(\alpha),\beta\right)=\left(\alpha,\sigma^\star(\beta)\right),\quad \forall\ \alpha,\beta\in V. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(1)、 设 $\displaystyle \sigma$ 在 $\displaystyle V$ 的一组基标准正交基下的矩阵为 $\displaystyle A$. 证明: $\displaystyle \sigma^\star$ 在此基下的矩阵为 $\displaystyle A^\mathrm{T}$. (2)、 证明: $\displaystyle \sigma^\star(V)=\left[\sigma^{-1}(0)\right]^\perp$, 其中 $\displaystyle \sigma^\star(V)$ 为 $\displaystyle \sigma^\star$ 的值域, $\displaystyle \sigma^{-1}(0)$ 为 $\displaystyle \sigma$ 的核. (合肥工业大学2023年高等代数考研试题) [欧氏空间 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 取定 $\displaystyle V$ 的一组标准正交基 $\displaystyle \varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n$, 设 $\displaystyle \sigma,\sigma^\star$ 在该基下的矩阵分别为 $\displaystyle A,B$, 则
$$\begin{aligned} &\sigma(\varepsilon_i)=\sum_k a_{ki}\varepsilon_k, \sigma^\star(\varepsilon_j)=\sum_l b_{lj}\varepsilon_l,\\\\ &\left(\sigma(\varepsilon_i),\varepsilon_j\right)=a_{ji}, \left(\varepsilon_i,\sigma^\star(\varepsilon_j)\right)=b_{ij}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由题设即知
$$\begin{aligned} &a_{ji}=b_{ij}\Rightarrow B=A^\mathrm{T}\\\\ \Rightarrow& \dim \mathrm{im} \sigma^\star =\mathrm{rank} B=\mathrm{rank} A^\mathrm{T} =n-\left[n-\mathrm{rank} A\right]=\dim (\ker \sigma)^\perp. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
又由
$$\begin{aligned} \alpha\in \mathrm{im} \sigma^\star&\Rightarrow \exists\ \beta\in V,\mathrm{ s.t.} \alpha=\sigma^\star(\beta)\\\\ &\Rightarrow \forall\ \gamma\in \ker \sigma, (\gamma,\alpha)=\left(\gamma,\sigma^\star(\beta)\right) =\left(\sigma(\gamma),\beta\right) =\left(0,\beta\right)=0\\\\ &\Rightarrow \alpha\in (\ker\sigma)^\perp \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle \mathrm{im} \sigma^\star\subset (\ker \sigma)^\perp$. 联合
$$\begin{aligned} \dim \mathrm{im}\sigma^\star=\dim (\ker\sigma)^\perp \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
即知 $\displaystyle \mathrm{im} \sigma^\star=(\ker \sigma)^\perp$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1548、 9、 设 $\displaystyle A,B$ 为 $\displaystyle n$ 阶实对称矩阵, 且 $\displaystyle AB=BA$. 求证: $\displaystyle A,B$ 有公共特征向量组成欧氏空间 $\displaystyle \mathbb{R}^n$ 的标准正交基. (河北工业大学2023年高等代数考研试题) [欧氏空间 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由 $\displaystyle A$ 实对称知存在正交阵 $\displaystyle P$ 使得
$$\begin{aligned} P^\mathrm{T} AP=\mathrm{diag}\left(\lambda_1E_{n_1},\cdots,\lambda_sE_{n_s}\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
其中 $\displaystyle \lambda_i$ 互异. 而
$$\begin{aligned} AB=BA\Rightarrow& P^\mathrm{T} AP\cdot P^\mathrm{T} BP=P^\mathrm{T} BP\cdot P^\mathrm{T} AP\\\\ \Rightarrow& \mathrm{diag}\left(\lambda_1E_{n_1},\cdots,\lambda_sE_{n_s}\right) \tilde{B}=\tilde{B}\mathrm{diag}\left(\lambda_1E_{n_1},\cdots,\lambda_sE_{n_s}\right)\\\\ &\left(\tilde{B}=P^\mathrm{T} BP=(\tilde{B}_{ij}),\mbox{分块与 $\displaystyle \mathrm{diag}\left(\lambda_1E_{n_1},\cdots,\lambda_sE_{n_s}\right)$ 相同}\right)\\\\ \Rightarrow&\lambda_i\tilde{B}_{ij}=\tilde{B}_{ij}\lambda_j \Rightarrow\tilde{B}_{ij}=0\left(\forall\ i\neq j\right)\\\\ \Rightarrow&\tilde{B}=\mathrm{diag}(\tilde{B}_{11},\cdots,\tilde{B}_{ss}). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
进一步,
$$\begin{aligned} B\mbox{实对称}&\Rightarrow \tilde{B}=P^\mathrm{T} BP\mbox{实对称} \Rightarrow \tilde{B}_{ii}\mbox{实对称}\\\\ &\Rightarrow \mbox{存在正交阵 $\displaystyle Q_i$, 使得 $\displaystyle Q_i^\mathrm{T} \tilde{B}_{ii}Q_i=D_i,D_i$ 为对角阵}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
取
$$\begin{aligned} U=P\mathrm{diag}(Q_1,\cdots,Q_s)=(\eta_1,\cdots,\eta_n), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则 $\displaystyle U$ 正交, 且
$$\begin{aligned} U^{-1}AU&=\mathrm{diag}\left(\lambda_1E_{n_1},\cdots,\lambda_sE_{n_s}\right),\\\\ U^{-1}BU&=\mathrm{diag}(D_1,\cdots,D_s). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这表明 $\displaystyle \eta_1,\cdots,\eta_n$ 是 $\displaystyle A,B$ 的公共特征向量, 且是 $\displaystyle \mathbb{R}^n$ 的标准正交基.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1549、 4、 设 $\displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_s$ 是 $\displaystyle n$ 维欧氏空间的向量组, 向量 $\displaystyle \alpha_i$ 与 $\displaystyle \alpha_j$ 的内积记为 $\displaystyle (\alpha_i,\alpha_j)$. 证明: $\displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_s$ 线性无关的充要条件是矩阵 $\displaystyle A=(a_{ij})_{s\times s}$ 可逆. (湖南大学2023年高等代数考研试题) [欧氏空间 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 $\displaystyle \Leftarrow$: 设
$$\begin{aligned} k_1\alpha_1+\cdots+k_s\alpha_s=0, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则
$$\begin{aligned} 0&=\alpha_1^\mathrm{T} (k_1\alpha_1+\cdots+k_s\alpha_s),\\\\ 0&=\cdots,\\\\ 0&=\alpha_s^\mathrm{T} (k_1\alpha_1+\cdots+k_s\alpha_s). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
也即
$$\begin{aligned} A\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}k_1\\\\\vdots\\\\k_s\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0\\\\\vdots\\\\0\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由 $\displaystyle A$ 可逆知 $\displaystyle k_1=\cdots=k_s=0$. (2)、 $\displaystyle \Rightarrow$: 设 $\displaystyle A x=0$, 则
$$\begin{aligned} 0&=x^\mathrm{T} A x=x^\mathrm{T} \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\alpha_1^\mathrm{T}\\\\ \vdots \\\\ \alpha_s^\mathrm{T}\end{array}\right)\left(\alpha_1,\cdots, \alpha_s\right)x\\\\ &=y^\mathrm{T} y\left(y=(\alpha_1,\cdots,\alpha_s)x\right)\\\\ &=|y|^2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故
$$\begin{aligned} &0=y=(\alpha_1,\cdots,\alpha_s)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}x_1\\\\\vdots\\\\x_s\end{array}\right)=x_1\alpha_1+\cdots+x_s\alpha_s\\\\ \Rightarrow&x_1=\cdots=x_s=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这表明 $\displaystyle A x=0$ 只有零解, 而 $\displaystyle \mathrm{rank} A=s$, $\displaystyle A$ 可逆.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1550、 8、 设 $\displaystyle V=C[0,1]$ 表示闭区间 $\displaystyle [0,1]$ 上的连续实值函数全体构成的线性空间. 定义 $\displaystyle V$ 上二元函数如下:
$$\begin{aligned} \left(f(x),g(x)\right)=\int_0^1 f(x)g(x)x^2\mathrm{ d} x, \forall\ f(x),g(x)\in V. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(1)、 证明: 上述二元函数是线性空间 $\displaystyle V$ 的一个内积; (2)、 证明: $\displaystyle V$ 是无限维线性空间; (3)、 对任意 $\displaystyle 1\leq i\leq j\leq n$, 令 $\displaystyle a_{ij}=\frac{1}{i+j+1}$, 证明: $\displaystyle A=(a_{ij})_{n\times n}$ 为正定矩阵. (湖南大学2023年高等代数考研试题) [欧氏空间 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 由
$$\begin{aligned} &\left(f,f\right)=\int_0^1 f^2(x)x^2\mathrm{ d} x\geq 0,\\\\ &\left(f,f\right)=0\Leftrightarrow f^2(x)x^2\equiv 0\Leftrightarrow f^2(x)\equiv 0\Leftrightarrow f(x)\equiv 0; \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
$\displaystyle \left(f,g\right)=\left(g,f\right)$;
$$\begin{aligned} &\left(kf+k_1f_1,g\right)=\int_0^1 [kf(x)+k_1f_1(x)]g(x)x^2\mathrm{ d} x\\\\ =&k\int_0^1 f(x)g(x)x^2\mathrm{ d} x+k_1 \int_0^1 f_1(x)g(x)x^2\mathrm{ d} x\\\\ =&k\left(f,g\right)+k_1\left(f_1,g\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
即知题中二元函数是线性空间 $\displaystyle V$ 的一个内积. (2)、 先证第 3 问. 对 $\displaystyle \forall\ 0\neq x=(x_1,\cdots,x_n)^\mathrm{T}\in\mathbb{R}^n$, 多项式 $\displaystyle \sum_i x_i t^i\neq 0$, 而
$$\begin{aligned} x^\mathrm{T} Ax=&\sum_{i,j}\frac{1}{i+j+1}x_ix_j =\sum_{i,j}x_ix_j\int_0^1 t^{i+j}\mathrm{ d} t\\\\ &=\int_0^1 \sum_i x_it^i\cdot \sum_j x_jt^j\mathrm{ d} t =\int_0^1 \left|\sum_i x_it^i\right|^2\mathrm{ d} t > 0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle A$ 正定. (3)、 为证第 2 问. 我们先给出一个结论. 设 $\displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_s$ 是 $\displaystyle V$ 中向量, 且矩阵 $\displaystyle A=\left((\alpha_i,\alpha_j)\right)_{s\times s}$ 可逆, 则 $\displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_s$ 线性无关. 事实上, 设
$$\begin{aligned} k_1\alpha_1+\cdots+k_s\alpha_s=0, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则
$$\begin{aligned} 0&=\alpha_1^\mathrm{T} (k_1\alpha_1+\cdots+k_s\alpha_s),\\\\ 0&=\cdots,\\\\ 0&=\alpha_s^\mathrm{T} (k_1\alpha_1+\cdots+k_s\alpha_s). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
也即
$$\begin{aligned} A\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}k_1\\\\\vdots\\\\k_s\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0\\\\\vdots\\\\0\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由 $\displaystyle A$ 可逆知 $\displaystyle k_1=\cdots=k_s=0$. (4)、 往证第 2 问. 对任意的 $\displaystyle n$, 考虑 $\displaystyle V$ 中的向量组 $\displaystyle 1,x,\cdots,x^{n-1}$, 由
$$\begin{aligned} (x^{i-1},x^{j-1})=\int_0^1 x^{i-1}x^{j-1}x^2\mathrm{ d} x=\frac{1}{i+j+1}=a_{ij} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
及第 2 步知 $\displaystyle \left((x^{i-1},x^{j-1})\right)_{1\leq i,j\leq n}$ 正定, 而可逆. 据第 3 步知 $\displaystyle 1,x,\cdots,x^{n-1}$ 在 $\displaystyle V$ 中线性无关, $\displaystyle \dim V\geq n$. 由 $\displaystyle n$ 的任意性知 $\displaystyle \dim V=+\infty$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1551、 1、 填空题. (1)、 设 $\displaystyle \alpha=(-1,2,0,2), \beta=(1,1,1,1)$ 是欧氏空间 $\displaystyle \mathbb{R}^4$ 中的向量, 则 $\displaystyle \alpha,\beta$ 的夹角为 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (华东师范大学2023年高等代数考研试题) [欧氏空间 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 所求夹角 $\displaystyle \theta$ 满足
$$\begin{aligned} \cos\theta=\frac{(\alpha,\beta)}{|\alpha|\cdot |\beta|} =\frac{3}{3\cdot 2}=\frac{1}{2}\Rightarrow \theta=\frac{\pi}{3}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1552、 (2)、 设 $\displaystyle \alpha=(-1,2,0,2), \beta=(1,1,1,1)$, $\displaystyle W$ 是由它们生成的子空间, 则向量 $\displaystyle \gamma=(0,1,0,1)$ 在 $\displaystyle W$ 中的正交投影为 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (华东师范大学2023年高等代数考研试题) [欧氏空间 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设所求为 $\displaystyle \delta$, 则
$$\begin{aligned} &\exists\ k,l,\mathrm{ s.t.} \delta=k\alpha+l\beta; (\gamma-\delta,\alpha)=0, (\gamma-\delta,\beta)=0\\\\ \Rightarrow&\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}(\alpha,\alpha)&(\alpha,\beta)\\\\ (\alpha,\beta)&(\beta,\beta)\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}k\\\\l\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}(\alpha,\gamma)\\\\ (\beta,\gamma)\end{array}\right)\\\\ \Leftrightarrow&\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}9&3\\\\ 3&4\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}k\\\\l\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}4\\\\2\end{array}\right)\\\\ \Rightarrow&k=\frac{10}{27}, l=\frac{2}{9} \Rightarrow \delta=k\alpha+l\beta=\frac{1}{27}(-4,26,6,26). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1553、 (2)、 已知 $\displaystyle \mathscr{A}: U\to U$ 是酉空间 $\displaystyle U$ 上的线性变换且满足
$$\begin{aligned} \left(v,\mathscr{A} v\right)\in \mathbb{R}, \quad \forall\ v\in U. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
证明: $\displaystyle \mathscr{A}$ 是 Hermite 变换, 即
$$\begin{aligned} \left(\mathscr{A} v, w\right)=\left(v,\mathscr{A} w\right),\quad \forall\ v,w\in U. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(华东师范大学2023年高等代数考研试题) [欧氏空间 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 对 $\displaystyle \forall\ v,w\in U$,
$$\begin{aligned} &\left(v+w,\mathscr{A} (v+w)\right) =(v,\mathscr{A} v)+(v,\mathscr{A} w)+(w,\mathscr{A} v)+(w,\mathscr{A} w)\\\\ =&(v,\mathscr{A} v)+(v,\mathscr{A} w)+\overline{(\mathscr{A} v,w)}+(w,\mathscr{A} w), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
$$\begin{aligned} &\left(v+w,\mathscr{A} (v+w)\right) =\overline{(v+w,\mathscr{A} (v+w)} =\left(\mathscr{A} (v+w),v+w\right)\\\\ =&(\mathscr{A} v,v)+(\mathscr{A} v,w)+(\mathscr{A} w,v)+(\mathscr{A} w,w)\\\\ =&\overline{\left(\mathscr{A} v,v\right)} +(\mathscr{A} v,w) +\overline{(v,\mathscr{A} w)}+\overline{(\mathscr{A} w,w)}\\\\ =&(v,\mathscr{A} v)+(\mathscr{A} v,w)+\overline{(v,\mathscr{A} w)}+(w,\mathscr{A} w). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故
$$\begin{aligned} &(v,\mathscr{A} w)+\overline{(\mathscr{A} v,w)}=(\mathscr{A} v,w)+\overline{(v,\mathscr{A} w)}\\\\ \Rightarrow& \mathrm{ Im} (v,\mathscr{A} w)=\mathrm{ Im} (\mathscr{A} v,w). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
上式用 $\displaystyle \mathrm{ i} v$ 代替 $\displaystyle v$ 得
$$\begin{aligned} &\mathrm{ Im}(\mathrm{ i} v,\mathscr{A} w)=\mathrm{ Im}\left[\mathrm{ i} (v,\mathscr{A} w)\right]=\mathrm{ Re} (v,\mathscr{A} w)\\\\ =&\mathrm{ Im} \left(\mathscr{A} (iv),w\right) =\mathrm{ Im} \left[\mathrm{ i} (\mathscr{A} v,w)\right]=\mathrm{ Re}(\mathscr{A} v,w). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
至此, 我们证明了 $\displaystyle (v,\mathscr{A} w), (\mathscr{A} v,w)$ 的实部和虚部各自相等, 而 $\displaystyle (v,\mathscr{A} w)=(\mathscr{A} v,w)$.
$$\begin{aligned} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1554、 7、 在 $\displaystyle n$ 维欧氏空间 $\displaystyle V$ 中, $\displaystyle \gamma$ 是非零向量, 定义 $\displaystyle V$ 上的线性变换
$$\begin{aligned} \mathscr{A} \alpha=\alpha-\frac{2(\alpha,\gamma)}{(\gamma,\gamma)}\gamma, \forall\ \alpha\in V. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
再设 $\displaystyle W_0=\left\{\alpha\in V; (\alpha,\gamma)=0\right\}$. (1)、 证明: $\displaystyle W_0$ 是 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的不变子空间, 并求 $\displaystyle W_0$ 的维数; (2)、 若 $\displaystyle W$ 是 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的不变子空间, 证明: $\displaystyle \gamma\in W$ 或 $\displaystyle W\subset W_0$. (华南理工大学2023年高等代数考研试题) [欧氏空间 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 设 $\displaystyle \eta_1=\frac{\gamma}{|\gamma|}$, 则将其扩充为 $\displaystyle V$ 的一组标准正交基 $\displaystyle \eta_1,\cdots,\eta_n$. 由 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的定义容易知道 $\displaystyle \mathscr{A}\eta_i=\left\{\begin{array}{llllllllllll}-\eta_1,&i=1,\\\\ \eta_i,&2\leq i\leq n.\end{array}\right.$ 于是
$$\begin{aligned} \alpha=\sum_{i=1}^n x_i\eta_i\in W_0&\Leftrightarrow 0=(\alpha,\gamma) \Leftrightarrow 0=(\alpha,\eta_1)=x_1\Leftrightarrow \alpha=\sum_{i=2}^n x_i\eta_i. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这表明 $\displaystyle W_0=L(\eta_2,\cdots,\eta_n)$. 由 $\displaystyle 2\leq i\leq n\Rightarrow \mathscr{A}\eta_i=\eta_i$ 知 $\displaystyle W_0$ 是 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的不变子空间, 且 $\displaystyle \dim W_0=n-1$. (2)、 若 $\displaystyle W\subset W_0$, 则已证. 若 $\displaystyle W\not\subset W_0$, 则
$$\begin{aligned} \exists\ \alpha=\sum_i x_i\eta_i\in W,\mathrm{ s.t.} \alpha\not\in W_0=L(\eta_2,\cdots,\eta_n). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle x_1\neq 0$,
$$\begin{aligned} &x_1\eta_1+\cdots+x_n\eta_n\in W,\\\\ &-x_1\eta_1+x_2\eta_2+\cdots+x_n\eta_n=\mathscr{A}(x_1\eta_1+\cdots+x_n\eta_n)\in W. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
相减即得 $\displaystyle 2x_1\eta_1\in W\stackrel{x_1\neq 0}{\Rightarrow}\eta_1\in W\Rightarrow \gamma\in W$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1555、 (6)、 欧氏空间 $\displaystyle \mathbb{R}^4$ 中, 已知 $\displaystyle \alpha=(1,2,2,3), \beta=(3,1,5,1)$, 则 $\displaystyle \alpha$ 和 $\displaystyle \beta$ 之间的夹角为 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (华南师范大学2023年高等代数考研试题) [欧氏空间 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 夹角 $\displaystyle \theta$ 满足
$$\begin{aligned} \cos\theta=\frac{\alpha\cdot \beta}{|\alpha|\cdot |\beta|}=\frac{18}{3\sqrt{2}\cdot 6}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \theta=\frac{\pi}{4}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1556、 4、 设 $\displaystyle W=L(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$ 是欧氏空间 $\displaystyle \mathbb{R}^5$ 的一个子空间, 其中
$$\begin{aligned} \alpha_1=(0,3,-6,6,4)^\mathrm{T}, \alpha_2=(3,-7,8,-5,8)^\mathrm{T}, \alpha_3=(1,-3,4,-3,2)^\mathrm{T}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
求 $\displaystyle W$ 的正交补空间 $\displaystyle W^\perp$. (华南师范大学2023年高等代数考研试题) [欧氏空间 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /
$$\begin{aligned} x\in W^\perp\Leftrightarrow \alpha_i^\perp x=0, i=1,2,3 \Leftrightarrow Ax=0, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
其中
$$\begin{aligned} A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\alpha_1^\mathrm{T}\\\\\alpha_2^\mathrm{T}\\\\\alpha_3^\mathrm{T}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&3&-6&6&4\\\\ 3&-7&8&-5&8\\\\ 1&-3&4&-3&2\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&-2&3&0\\\\ 0&1&-2&2&0\\\\ 0&0&0&0&1\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
取 $\displaystyle x_3,x_4$ 为自由变量知 $\displaystyle Ax=0$ 的基础解系为
$$\begin{aligned} \eta_1=(2,2,1,0,0)^\mathrm{T}, \eta_2=(-3,-2,0,1,0)^\mathrm{T}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
最终, $\displaystyle W^\perp=L(\eta_1,\eta_2)$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1557、 (5)、 设 $\displaystyle \mathbb{R}$ 为实数域, $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&2&-2\\\\ 2&5&-4\\\\ -2&-4&5\end{array}\right)$, 在三维列向量空间 $\displaystyle \mathbb{R}^3$ 上定义双线性型
$$\begin{aligned} f_A(X,Y)=X^\mathrm{T} AY, \forall\ X,Y\in \mathbb{R}^3. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这里, $\displaystyle X^\mathrm{T}$ 表示 $\displaystyle X$ 的转置. (5-1)、 证明: $\displaystyle \left(\mathbb{R}^3, f_A(\cdot,\cdot)\right)$ 是一个欧氏空间; (5-2)、 求上述欧氏空间的一组标准正交基. (华中师范大学2023年高等代数考研试题) [欧氏空间 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (5-1)、 易知 $\displaystyle A$ 的特征值为 $\displaystyle 10,1,1$, 而 $\displaystyle A$ 正定. 我们现给出欧氏空间的定义. 若线性空间 $\displaystyle V$ 上有一个满足如下四条性质的二元函数 $\displaystyle (\cdot,\cdot)$, 则称 $\displaystyle V$ 是一个欧氏空间, $\displaystyle (\cdot,\cdot)$ 成为 $\displaystyle V$ 上的内积.
$$\begin{aligned} (\alpha,\beta)=&(\beta,\alpha);\\\\ (k\alpha,\beta)=&k(\alpha,\beta);\\\\ (\alpha+\beta,\gamma)=&(\alpha,\gamma)+(\beta,\gamma);\\\\ (\alpha,\alpha)\geq& 0, \alpha=0\Leftrightarrow(\alpha,\alpha)=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这里, $\displaystyle \alpha,\beta,\gamma$ 是 $\displaystyle V$ 的任意向量, $\displaystyle k$ 是任意实数. 为此, 我们只要验证最后一条. 由 $\displaystyle A$ 正定知存在可逆矩阵 $\displaystyle B$ 使得 $\displaystyle A=B^\mathrm{T} B$, 而
$$\begin{aligned} 0\neq X\in\mathbb{R}^3\Rightarrow f_A(X,X)=X^\mathrm{T} AX=X^\mathrm{T} B^\mathrm{T} BX\stackrel{Y=BX\neq 0}{=}Y^\mathrm{T} Y > 0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(5-2)、 由
$$\begin{aligned} P_1=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&-1&1\\\\ 0&1&0\\\\ 0&0&1\end{array}\right)\Rightarrow P_1^\mathrm{T} AP_1=A_1=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&0&0\\\\ 0&3&-2\\\\ 0&-2&3\end{array}\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
$$\begin{aligned} P_2=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&0\\\\ 0&1&\frac{2}{3}\\\\ 0&0&1\end{array}\right)\Rightarrow P_2^\mathrm{T} A_1P_2=A_2=\mathrm{diag}\left(2,3,\frac{5}{3}\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
$$\begin{aligned} P_3=\mathrm{diag}\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{3}{\sqrt{15}}\right)\Rightarrow P_3^\mathrm{T} A_2P_3=E_3. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
设 $\displaystyle P=P_1P_2P_3=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{3}}&\frac{1}{\sqrt{15}}\\\\ 0&\frac{1}{\sqrt{3}}&\frac{2}{\sqrt{15}}\\\\ 0&0&\frac{3}{\sqrt{15}}\end{array}\right)\equiv (\xi_1,\xi_2,\xi_3)$, 则 $\displaystyle \xi_1,\xi_2,\xi_3$ 就是 $\displaystyle V$ 的一组标准正交基. 事实上,
$$\begin{aligned} E=P^\mathrm{T} AP\Rightarrow \delta_{ij}=\xi_i^\mathrm{T} A\xi_j=f_A(\xi_i,\xi_j). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1558、 4、 (20 分) 设 $\displaystyle V$ 是 $\displaystyle n$ 维欧氏空间, $\displaystyle n\geq 2$, $\displaystyle \sigma$ 是 $\displaystyle V$ 上的线性变换, 若 $\displaystyle \tau=\sigma'\sigma$ 是正交变换, 证明 $\displaystyle \sigma$ 是正交变换, 其中 $\displaystyle \sigma'$ 是 $\displaystyle \sigma$ 的伴随变换. (吉林大学2023年高等代数与解析几何考研试题) [欧氏空间 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 取定 $\displaystyle V$ 的一组标准正交基后, 设 $\displaystyle \sigma,\tau$ 在该基下的矩阵分别为 $\displaystyle A,B$, 则只要证明
$$\begin{aligned} B=A^\mathrm{T} A, B^\mathrm{T} B=E_n\Rightarrow A^\mathrm{T} A=E_n. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
事实上, 由
$$\begin{aligned} x^\mathrm{T} Bx=x^\mathrm{T} A^\mathrm{T} Ax=(Ax)^\mathrm{T} (Ax)\geq 0 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle B$ 半正定, 而存在正交阵 $\displaystyle P$ 使得
$$\begin{aligned} &P^\mathrm{T} BP=\mathrm{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_n), \lambda_i\geq 0\\\\ \Rightarrow&E_n=P^\mathrm{T} E_nP =P^\mathrm{T} B^\mathrm{T} P\cdot P^\mathrm{T} BP=(P^\mathrm{T} BP)^2=\mathrm{diag}(\lambda_1^2,\cdots,\lambda_n^2). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle \lambda_i=1\Rightarrow P^\mathrm{T} BP=E_n\Rightarrow E_n=B=A^\mathrm{T} A$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1559、 9、 欧氏空间 $\displaystyle V$ 上的线性变换 $\displaystyle \mathscr{A}$ 与其共轭变换可交换, $\displaystyle W$ 是 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的不变子空间. 问 $\displaystyle W$ 的正交补空间 $\displaystyle N$ 是否也是 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的不变子空间? (暨南大学2023年高等代数考研试题) [欧氏空间 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 一言以蔽之, 正规变换的不变子空间的正交补也是不变的. (1)、 为此只要证明 $\displaystyle W$ 是 $\displaystyle \mathscr{A}^\star$ 不变的即可. 事实上, 一旦证得, 我们知对 $\displaystyle \beta\in N=W^\perp$,
$$\begin{aligned} \forall\ \alpha\in W, (\mathscr{A}\beta,\alpha)=(\beta,\mathscr{A}^\star\alpha)\stackrel{\beta\in W^\perp, \mathscr{A}^\star\alpha\in W}{=}0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle \mathscr{A}\beta\in W^\perp=N$. 这就证明了 $\displaystyle N$ 是 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的不变子空间. (2)、 往对 $\displaystyle \dim W=k$ 作数学归纳法证明 $\displaystyle W$ 是 $\displaystyle \mathscr{A}^\star$ 不变的. 当 $\displaystyle k=1$ 时, 由 $\displaystyle W=L(\alpha)$ 是 $\displaystyle \mathscr{A}$ 不变的知 $\displaystyle \exists\ \lambda\in \mathbb{R},\mathrm{ s.t.} \mathscr{A}\alpha=\lambda \alpha$. 从而
$$\begin{aligned} &(\mathscr{A}^\star\alpha-\lambda\alpha,\mathscr{A}^\star\alpha-\lambda \alpha) =(\mathscr{A}^\star\alpha,\mathscr{A}^\star\alpha)-2\lambda(\mathscr{A}^\star\alpha,\alpha)+\lambda^2(\alpha,\alpha)\\\\ =&(\alpha,\mathscr{A}\mathscr{A}^\star\alpha)-2\lambda(\alpha,\mathscr{A}\alpha)+\lambda^2(\alpha,\alpha) \xlongequal{\tiny\mbox{题设}}(\alpha,\mathscr{A}^\star\mathscr{A}\alpha)-\lambda^2(\alpha,\alpha)\\\\ =&(\mathscr{A}\alpha,\mathscr{A}\alpha)-\lambda^2(\alpha,\alpha)=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle \mathscr{A}^\star\alpha=\lambda\alpha\in W$. 这就证明了 $\displaystyle W$ 是 $\displaystyle \mathscr{A}^\star$ 不变的. 假设结论对维数小于 $\displaystyle i$ 的 $\displaystyle \mathscr{A}$ 不变子空间成立, 即: 只要 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的不变子空间的维数 $\displaystyle < i$, 那么它就是 $\displaystyle \mathscr{A}^\star$ 不变的, 则对维数 $\displaystyle =i$ 的 $\displaystyle \mathscr{A}$ 不变子空间 $\displaystyle W$. 考虑 $\displaystyle \mathscr{A}|_W$, 由 $\displaystyle (\mathscr{A}|_W)^\star\mathscr{A}|_W=\mathscr{A}|_W(\mathscr{A}|_W)^\star$ 知 $\displaystyle \mathscr{A}|_W$ 在 $\displaystyle W$ 的某组基下的矩阵是正规矩阵, 特征值为实数. 设 $\displaystyle \lambda$ 是 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的一个特征值, $\displaystyle 0\neq \alpha\in V$ 为对应的特征向量, 则 $\displaystyle U=L(\alpha)$ 是 $\displaystyle \mathscr{A}$ 不变的, 从而 $\displaystyle U^\perp$ 是 $\displaystyle \mathscr{A}^\star$ 不变的. 再由已证的 $\displaystyle k=1$ 时的结果知 $\displaystyle U$ 是 $\displaystyle \mathscr{A}^\star$ 不变的, 从而 $\displaystyle U^\perp$ 是 $\displaystyle (\mathscr{A}^\star)^\star=\mathscr{A}$ 不变的. 这就证明了 $\displaystyle U^\perp$ 是 $\displaystyle \mathscr{A}$, 也是 $\displaystyle \mathscr{A}^\star$ 不变的. 考虑 $\displaystyle W_1=W\cap U^\perp$, 由 $\displaystyle \alpha\in W, \alpha\not\in U^\perp\Rightarrow \alpha\not\in W_1$ 知 $\displaystyle W_1$ 是 $\displaystyle W$ 的真子空间, $\displaystyle \dim W_1 < i$. 由归纳假设知 $\displaystyle W_1$ 是 $\displaystyle \mathscr{A}^\star$ 不变的. 最后由 $\displaystyle W=W_1\oplus U$ 知 $\displaystyle W$ 是 $\displaystyle \mathscr{A}^\star$ 不变的. 结论得证.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1560、 9、 $\displaystyle \left(V,(\cdot,\cdot)\right)$ 是 $\displaystyle n$ 维实内积空间, 向量组
$$\begin{aligned} S=\left\{\alpha_1,\cdots,\alpha_k\right\}\subset V, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
且 $\displaystyle (\alpha_i,\alpha_j) < 0, 1\leq i\neq j\leq n$. 求证: $\displaystyle k\leq n+1$. (南方科技大学2023年高等代数考研试题) [欧氏空间 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 用反证法. 若 $\displaystyle k\geq n+2$, 则
$$\begin{aligned} (\alpha_i,\alpha_j) < 0, \forall\ 1\leq i\neq j\leq k. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
我们可以证明其中任意 $\displaystyle n+1$ 个向量线性无关. 比如我们证明 $\displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_{n+1}$ 线性无关. 用反证法. 若存在不全为 $\displaystyle 0$ 的 $\displaystyle k_i\in\mathbb{R}$, 使得
$$\begin{aligned} \sum_{i=1}^{n+1}k_i\alpha_i=0\Rightarrow \sum_{i=1}^{n+1}k_i(\alpha_i,\alpha_{n+2})=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
注意到 $\displaystyle (\alpha_i,\alpha_{n+2}) < 0$, 我们知 $\displaystyle k_1,\cdots,k_{n+1}$ 有正有负,
$$\begin{aligned} &\sum_{k_i < 0}k_i\alpha_i+\sum_{k_i > 0}k_i\alpha_i=0\\\\ \Rightarrow&\alpha=\sum_{k_i > 0}k_i\alpha_i=-\sum_{k_i < 0}k_i\alpha_i\\\\ \Rightarrow&(\alpha,\alpha)=\left(\sum_{k_i > 0}k_i\alpha_i, -\sum_{k_j < 0}k_j\alpha_j\right) =-\sum_{k_i > 0}\sum_{k_j < 0}k_ik_j(\alpha_i,\alpha_j) < 0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这是一个矛盾. 故 $\displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_{n+1}$ 线性无关, $\displaystyle \dim V\geq n+1$, 这与题设 $\displaystyle \dim V=n$ 矛盾. 故有结论.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1561、 9、 (20 分) 设 $\displaystyle e_1,\cdots,e_n$ 为欧氏空间 $\displaystyle V=\mathbb{R}^n$ 的一组标准正交基, $\displaystyle v_1,\cdots,v_n\in V$ 满足对任意的 $\displaystyle 1\leq i\leq n$ 都有 $\displaystyle \left\Vert e_i-v_i\right\Vert < \frac{1}{\sqrt{n}}$. 求证: $\displaystyle v_1,\cdots,v_n$ 是 $\displaystyle V$ 的一组基. (南京大学2023年高等代数考研试题) [欧氏空间 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle W=L(v_1,\cdots,v_n)$, 则只要证明
$$\begin{aligned} \dim W^\perp=0&\Rightarrow \dim W=n \Rightarrow W=V\\\\ & \Rightarrow \mbox{ $\displaystyle v_1,\cdots,v_n$ 线性无关, 而是 $\displaystyle V$ 的一组基}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
用反证法. 若
$$\begin{aligned} \dim W^\perp > 0\Rightarrow \exists\ 0\neq \alpha\in V,\mathrm{ s.t.} \alpha\in W^\perp \Rightarrow \alpha\neq 0, \left < \alpha,v_i\right > =0, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则
$$\begin{aligned} \left\Vert \alpha\right\Vert ^2&=\sum_{i=1}^n |\left < \alpha,e_i\right > |^2\left(\mbox{勾股定理: $\displaystyle \alpha=\sum_{i=1}^n \left < \alpha,e_i\right > e_i$}\right)\\\\ &=\sum_{i=1}^n |\left < \alpha,v_i-e_i\right > |^2 \leq \sum_{i=1}^n \left\Vert \alpha\right\Vert ^2 \cdot \left\Vert v_i-e_i\right\Vert ^2\\\\ & < \left\Vert \alpha\right\Vert ^2\sum_{i=1}^n \left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)^2 =\left\Vert \alpha\right\Vert ^2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这是一个矛盾. 故有结论.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1562、 (9)、 $\displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_{n-1}$ 是 $\displaystyle n$ 维欧氏空间的非零正交向量组,
$$\begin{aligned} (\beta_j,\alpha_i)=0, i=1,2, j=1,\cdots,n-1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则 $\displaystyle \beta_1,\beta_2$ 必定 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (选填: 线性无关, 线性相关) (厦门大学2023年高等代数考研试题) [欧氏空间 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 线性相关. 事实上,
$$\begin{aligned} \beta_j\in L(\alpha_1,\cdots,\alpha_{n-1})^\perp, j=1,2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由 $\displaystyle \dim L(\alpha_1,\cdots,\alpha_{n-1})=n-1$ 知 $\displaystyle \dim L(\alpha_1,\cdots,\alpha_{n-1})^\perp=1$, 而 $\displaystyle \beta_1,\beta_2$ 线性相关.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1563、 6、 设欧几里得空间 $\displaystyle V=\mathbb{R}^4$ 中的三个向量为
$$\begin{aligned} \alpha_1=(1,-1,-1,1), \alpha_2=(1,0,-1,1), \alpha_3=(0,1,-1,1), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
子空间 $\displaystyle W=L(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$, 求向量 $\displaystyle \beta=(2,1,4,2)$ 在 $\displaystyle W$ 上的正交投影. (山东大学2023年高等代数与常微分方程考研试题) [欧氏空间 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 先把题中向量看成列向量. 设 $\displaystyle \beta$ 在 $\displaystyle W$ 上的正交投影为 $\displaystyle \gamma=x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+x_3\alpha_3$, 则 ($X=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}x_1\\\\x_2\\\\x_3\end{array}\right)$)
$$\begin{aligned} &(\beta-\gamma)\perp\alpha_i=0, i=1,2,3\Leftrightarrow \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\alpha_1^\mathrm{T}\\\\\alpha_2^\mathrm{T}\\\\\alpha_3^\mathrm{T}\end{array}\right)\left[\beta-(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)X\right]=0\\\\ \Leftrightarrow&A^\mathrm{T} AX=A^\mathrm{T} \beta, A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由
$$\begin{aligned} (A^\mathrm{T} A,A^\mathrm{T} \beta)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}4&3&1&-1\\\\ 3&3&2&0\\\\ 1&2&3&-1\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&0&-4\\\\ 0&1&0&6\\\\ 0&0&1&-3\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle \beta$ 在 $\displaystyle W$ 上的正交投影为
$$\begin{aligned} \gamma=x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+x_3\alpha_3=-4\alpha_1+6\alpha_2-3\alpha_3=(2,1,1,-1). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1564、 9、 (10 分) 设 $\displaystyle V_1,V_2$ 是 $\displaystyle n$ 维欧氏空间 $\displaystyle V$ 的子空间, 且 $\displaystyle V_1$ 的维数小于 $\displaystyle V_2$ 的维数, 证明: $\displaystyle V_2$ 中必有非零向量正交于 $\displaystyle V_1$ 中的一切向量. (陕西师范大学2023年高等代数考研试题) [欧氏空间 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由
$$\begin{aligned} \dim (V_2\cap V_1^\perp)&=\dim V_2+\dim V_1^\perp-\dim (V_2\cap V_1^\perp)\\\\ &=\dim V_2+(n-\dim V_1)-\dim (V_2\cap V_1^\perp)\\\\ &=(\dim V_2-\dim V_1)+\left[n-\dim (V_2\cap V_1^\perp)\right]\\\\ &\geq \dim V_2-\dim V_1 > 0 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle \exists\ 0\neq \alpha\in V_2\cap V_1^\perp$. 此 $\displaystyle \alpha$ 即满足题意.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
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发表于 2023-3-5 13:25:49