张祖锦2023年数学专业真题分类70天之第67天
1519、 6、 设 $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle m\times n$ 矩阵, $\displaystyle B$ 是 $\displaystyle n\times s$ 矩阵. 证明:
$$\begin{aligned} \dim N(AB)=\dim N(A)+\dim N(B) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
的充分必要条件是 $\displaystyle N(A)\subset R(B)$, 其中
$$\begin{aligned} N(A)=&\left\{X\in\mathbb{R}^n; AX=0\right\},\\\\ R(B)=&\left\{BX\in\mathbb{R}^n; X\in \mathbb{R}^s\right\}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(中国人民大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 写出
$$\begin{aligned} \mathbb{R}^s\xrightarrow{B}\mathbb{R}^n\xrightarrow{A}\mathbb{R}^m. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
易知 $\displaystyle N(B)\subset N(AB)$. 设 $\displaystyle \varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_r$ 是 $\displaystyle N(B)$ 的一组基, 将其扩充为 $\displaystyle N(AB)$ 的一组基 $\displaystyle \varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_r, \eta_1,\cdots,\eta_s$. 由
$$\begin{aligned} &\sum_i x_i B\eta_i=0\Rightarrow B\left(\sum_i x_i\eta_i\right)=0 \Rightarrow \sum_i x_i\eta_i\in N(B)\\\\ \Rightarrow&\sum_i x_i\eta_i=-\sum_j y_j\varepsilon_j \Rightarrow x_i=0, y_j=0 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle B\eta_1,\cdots, B\eta_s$ 线性无关, 且
$$\begin{aligned} \eta_i\in N(AB)\Rightarrow AB\eta_i=0\Rightarrow B\eta_i\in N(A). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故
$$\begin{aligned} \dim N(A)\geq s=(r+s)-r=\dim N(AB)-\dim N(B), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
且等号成立
$$\begin{aligned} \Leftrightarrow \dim N(A)=s\Leftrightarrow N(A)=L(B\eta_1,\cdots,B\eta_s) \Rightarrow N(A)\subset R(B). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
反之, 若 $\displaystyle N(A)\subset R(B)$, 则取定 $\displaystyle N(A)\subset R(B)$ 的一组基 $\displaystyle B\eta_1,\cdots, B\eta_s$. 再取 $\displaystyle N(B)$ 的一组基 $\displaystyle \varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_r$, 则由
$$\begin{aligned} &\sum_i x_i\varepsilon_i+\sum_j y_j\eta_j=0 \stackrel{B\cdot}{\Rightarrow} \sum_j y_jB\eta_j=0\Rightarrow y_j=0\Rightarrow x_i=0 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle \varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_r, \eta_1,\cdots,\eta_s$ 线性无关, 都是 $\displaystyle N(AB)$ 中的向量. 又由
$$\begin{aligned} &\alpha\in N(AB)\Rightarrow AB\alpha=0\Rightarrow B\alpha\in N(A)=L(B\eta_1,\cdots, B\eta_s)\\\\ \Rightarrow& B\alpha=\sum_i x_iB\eta_i \Rightarrow B\left(\alpha-\sum_i x_i\eta_i\right)=0\\\\ \Rightarrow& \alpha-\sum_i x_i\eta_i\in N(B)=L(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_r) \Rightarrow \alpha-\sum_i x_i\eta_i=\sum_j y_j\varepsilon_j \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知
$$\begin{aligned} &N(AB)=L(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_r,\eta_1,\cdots,\eta_s)\\\\ \Rightarrow&\dim N(AB)=r+s=\dim N(B)+\dim N(A). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1520、 7、 (16 分) 设 $\displaystyle \sigma$ 是 $\displaystyle n$ 维线性空间 $\displaystyle V$ 上的可逆线性变换, $\displaystyle V$ 的子空间 $\displaystyle W$ 是 $\displaystyle \sigma$ 的不变子空间. 证明: $\displaystyle W$ 是 $\displaystyle \sigma^{-1}$ 的不变子空间. (中南大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle \varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_r$ 是 $\displaystyle W$ 的一组基, 将其扩充为 $\displaystyle V$ 的一组基 $\displaystyle \varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n$, 则由 $\displaystyle W$ 是 $\displaystyle \sigma$ 不变的知
$$\begin{aligned} \sigma(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n)=(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A&\star\\\\ &B\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由 $\displaystyle \sigma$ 可逆知
$$\begin{aligned} 0\neq \left|\begin{array}{cccccccccc}A&\star\\\\ &B\end{array}\right|=|A|\cdot |B|, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
而 $\displaystyle A,B$ 可逆, 且
$$\begin{aligned} &\sigma^{-1}(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n)=(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A^{-1}&\star\\\\ &B^{-1}\end{array}\right)\\\\ \Rightarrow&\sigma^{-1}(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_r)=(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_r)A^{-1}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这即表明 $\displaystyle W$ 是 $\displaystyle \sigma^{-1}$ 的不变子空间.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1521、 5、 (15 分) 设 $\displaystyle V$ 是 $\displaystyle n$ 维复线性空间, $\displaystyle \mathscr{A},\mathscr{B}$ 是 $\displaystyle V$ 上的线性变换, 且
$$\begin{aligned} \mathscr{A}\mathscr{B}-\mathscr{B}\mathscr{A}=2023\mathscr{B}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
证明: 存在 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的特征向量 $\displaystyle u$, 使得 $\displaystyle \mathscr{B} u=0$. (中山大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 先证明如下结论. 设 $\displaystyle \lambda_1,\cdots,\lambda_n$ 是 $\displaystyle n$ 个数, 且满足
$$\begin{aligned} \lambda_1+\cdots+\lambda_n=\lambda_1^2+\cdots+\lambda_n^2=\cdots =\lambda_1^n+\cdots+\lambda_n^n=0.\qquad(I) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则 $\displaystyle \lambda_1=\lambda_2=\cdots=\lambda_n=0$. 用反证法. 若存在某个 $\displaystyle \lambda_i\neq 0$, 则设 $\displaystyle \lambda_1,\cdots,\lambda_n$ 中非零且互异的为 $\displaystyle \mu_1,\cdots,\mu_s$, $\displaystyle \mu_i$ 出现了 $\displaystyle n_i\geq 1$ 次, 则 $\displaystyle \sum_{i=1}^n n_i=n$, 且
$$\begin{aligned} \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\mu_1&\cdots&\mu_s\\\\ \vdots&&\vdots\\\\ \mu_1^s&\cdots&\mu_s^s\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}n_1\\\\\vdots\\\\nabla _s\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0\\\\\vdots\\\\0\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由 $\displaystyle n_i\geq 1$ 知上述关于 $\displaystyle n_1,\cdots,n_s$ 的方程组有非零解, 而系数矩阵行列式
$$\begin{aligned} \mu_1\cdots\mu_s\prod_{1\leq i < j\leq s}(\mu_j-\mu_i)=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这与 $\displaystyle \mu_i$ 非零且互异矛盾. 故有结论. (2)、 回到题目. 由
$$\begin{aligned} &\mathrm{tr}(2023\mathscr{B}^k)=\mathrm{tr}\left(\mathscr{B}^{k-1}(\mathscr{A}\mathscr{B}-\mathscr{B}\mathscr{A})\right)\\\\ =&\mathrm{tr}\left(\mathscr{B}^{k-1}\mathscr{A}\cdot \mathscr{B}-\mathscr{B}\cdot \mathscr{B}^{k-1}\mathscr{A}\right)=0, \forall\ k\geq 1 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle \mathscr{B}$ 的特征值 $\displaystyle \lambda_1,\cdots,\lambda_n$ 满足 $\displaystyle (I)$. 由第 1 步知 $\displaystyle \lambda_1=\cdots=\lambda_n=0$. 令
$$\begin{aligned} V_0=\left\{\alpha\in V; \mathscr{B} \alpha=0\right\}, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则由
$$\begin{aligned} \mathscr{B}\mathscr{A}\alpha=(\mathscr{A}\mathscr{B}-2023\mathscr{B})\alpha=0\Rightarrow \mathscr{A}\alpha\in V_0 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle V_0$ 是 $\displaystyle \mathscr{A}$ 不变的. 设 $\displaystyle u\in V_0$ 是 $\displaystyle \mathscr{A}|_{V_0}$ 的特征向量, 则 $\displaystyle \mathscr{B} u=0$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1522、 9、 (15 分) 设 $\displaystyle \left < \cdot,\cdot\right >$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^2$ 上的标准内积, 记
$$\begin{aligned} S: =\left\{\left(\cos\frac{k\pi}{3},\sin\frac{k\pi}{3}\right); k\in\mathbb{Z}\right\}, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
$\displaystyle f$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ 的线性变换, 且满足 (1)、 $\displaystyle \forall\ u\in S, f(u)\in S$; (2)、 存在 $\displaystyle S$ 中的向量 $\displaystyle a$ 与 $\displaystyle \mathbb{R}^2$ 中非零向量 $\displaystyle b$, 使得 $\displaystyle f(a)=-a, f(b)=b$. 证明: 对任意的 $\displaystyle v\in\mathbb{R}^2$, 有 $\displaystyle f(v)=v-2(v,a)a$. (中山大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle \alpha_k=\left(\cos\frac{k\pi}{3},\sin\frac{k\pi}{3}\right)$, 则
$$\begin{aligned} &\alpha_0+\alpha_2=\alpha_2\Rightarrow f(\alpha_0)+f(\alpha_2)=f(\alpha_1)\\\\ \Rightarrow& \left(f(\alpha_0)+f(\alpha_2), f(\alpha_0)+f(\alpha_2)\right)=\left(f(\alpha_1),f(\alpha_1)\right)\\\\ \stackrel{f(\alpha_i)\in S}{\Rightarrow}&2+2\left(f(\alpha_0),f(\alpha_2)\right)=1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
对 $\displaystyle \forall\ \alpha\in \mathbb{R}^2, \alpha=s\alpha_0+t\alpha_2$, 我们有
$$\begin{aligned} &|f(\alpha)|^2=\left(f(\alpha),f(\alpha)\right) =\left(sf(\alpha_0)+tf(\alpha_2),sf(\alpha_0)+tf(\alpha_2)\right)\\\\ =&s^2+2st \left(f(\alpha_0),f(\alpha_2)\right)+t^2 =s^2-2st+t^2\\\\ =&s^2|\alpha_0|^2+2st(\alpha_0,\alpha_2)+t^2|\alpha_2^2|=|s\alpha_0+t\alpha_2|^2=|\alpha|^2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是 $\displaystyle f$ 是正交变换. 进而
$$\begin{aligned} (a,b)=\left(f(a),f(b)\right)=\left(-a,b\right)\Rightarrow (a,b)=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
用 $\displaystyle \frac{b}{|b|}$ 代替 $\displaystyle b$ 后不妨设 $\displaystyle b$ 是单位向量, 而 $\displaystyle a,b$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}^2$ 的标准正交基. 对 $\displaystyle \forall\ v=ka+lb$, 我们有 $\displaystyle k=(v,a), l=(v,b)$, 而
$$\begin{aligned} f(v)=&kf(a)+lf(b)=-ka+lb=(ka+lb)-2ka=v-2(v,a)a. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1523、 8、 (15 分) 用 $\displaystyle \mathbb{R}[x]_n$ 表示次数不超过 $\displaystyle n$的实系数多项式全体. (1)、 证明: $\displaystyle \mathbb{R}[x]_n$ 按照多项式的加法, 实数与多项式的数量乘法构成一个 $\displaystyle n+1$ 维向量空间. (2)、 证明: 差分算子
$$\begin{aligned} \mathscr{D}_n: f(x)\mapsto f(x+1)-f(x) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
是定义在 $\displaystyle \mathbb{R}[x]_n$ 上的一个线性变换. (重庆大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 易知 $\displaystyle 1,x,\cdots,x^n$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}[x]_n$ 的一组基, 而 $\displaystyle \mathbb{R}[x]_n$ 确为 $\displaystyle n+1$ 维向量空间. (2)、 首先 $\displaystyle f(x)\in \mathbb{R}[x]_n\Rightarrow \mathscr{D}_n\left[f(x)\right]\in \mathbb{R}[x]_n$. 对 $\displaystyle \forall\ k,l\in\mathbb{R}, f(x),g(x)\in \mathbb{R}[x]_n$,
$$\begin{aligned} &\mathscr{D}_n\left[kf(x)+lg(x)\right]=kf(x+1)+lg(x+1)-[kf(x)+lg(x)]\\\\ =&k[f(x+1)-f(x)]+l[g(x+1)-g(x)]=k\mathscr{D}_n \left[f(x)\right]+l \mathscr{D}_n \left[g(x)\right]. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle \mathscr{D}_n$ 确为 $\displaystyle \mathbb{R}[x]_n$ 上的一个线性变换.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1524、 9、 (15 分) 设 $\displaystyle \mathscr{A}$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上 $\displaystyle n$ 维线性空间 $\displaystyle V$ 上的一个线性变换, $\displaystyle \lambda$ 是 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的一个特征值, $\displaystyle \mathscr{A}$ 的属于特征值 $\displaystyle \lambda$ 的特征子空间 $\displaystyle V_\lambda$ 称为特征值 $\displaystyle \lambda$ 的几何重数; $\displaystyle \lambda$ 作为 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的特征多项式的根的重数称为特征值 $\displaystyle \lambda$ 的代数重数. (1)、 证明: $\displaystyle \lambda$ 的几何重数不超过它的代数重数; (2)、 举例说明几何重数的确可以小于代数重数. (重庆大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 设 $\displaystyle \dim V_\lambda=r$, 则可设 $\displaystyle V_\lambda$ 的一组基为 $\displaystyle \varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_r$. 将其扩充为 $\displaystyle V$ 的一组基 $\displaystyle \varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n$, 则
$$\begin{aligned} \mathscr{A}(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n)=(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\lambda E_r&A\\\\ &B\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这表明 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的特征多项式为 $\displaystyle f(x)=(x-\lambda)^r |x E_{n-r}-B|$, $\displaystyle \lambda$ 的代数重数, 就是作为 $\displaystyle f(x)$ 的根的重数 $\displaystyle \geq r$. (2)、 设 $\displaystyle \mathscr{A}$ 在 $\displaystyle V=\mathbb{K}^2$ 的基 $\displaystyle e_1,e_2$ 下的矩阵为 $\displaystyle J=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&1\\\\ 0&0\end{array}\right)$, 则 $\displaystyle 0$ 的代数重数为 $\displaystyle 2$, 而几何重数为 $\displaystyle 1$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1525、 10、 (16 分) 设 $\displaystyle V$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上的线性空间, $\displaystyle f$ 是 $\displaystyle V$ 上的双线性函数. (1)、 证明: $\displaystyle V$ 不可能是它的两个真子空间的并; (2)、 给定向量 $\displaystyle \alpha\in V$. 证明:
$$\begin{aligned} V_\alpha=\left\{\beta\in V; f(\alpha,\beta)=f(\beta,\alpha)\right\} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
为 $\displaystyle V$ 的一个子空间; (3)、 若已知对任意向量 $\displaystyle \alpha,\beta\in V$, 有
$$\begin{aligned} f(\alpha,\beta)=f(\beta,\alpha)\mbox{或} f(\alpha,\beta)=-f(\beta,\alpha) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
成立. 证明: $\displaystyle f$ 是对称的或反对称的. (重庆大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 用反证法. 若 $\displaystyle V=V_1\cup V_2$, 其中 $\displaystyle V_i$ 是 $\displaystyle V$ 的真子空间. 于是 $\displaystyle V_1\not\subset V_2, V_2\not\subset V_1$. 而
$$\begin{aligned} \exists\ \alpha_1\in V_1, \mathrm{ s.t.} \alpha_1\not\in V_2; \exists\ \alpha_2\in V_2,\mathrm{ s.t.} \alpha_2\not\in V_1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
考查 $\displaystyle \alpha=\alpha_1+\alpha_2\in V=V_1\cup V_2$. (1-1)、 若 $\displaystyle \alpha\in V_1$, 则 $\displaystyle \alpha_2=\alpha-\alpha_1\in V_1$. 矛盾. (1-2)、 若 $\displaystyle \alpha\in V_2$, 则 $\displaystyle \alpha_1=\alpha-\alpha_2\in V_2$. 矛盾. 故有结论. (2)、 对 $\displaystyle \forall\ k,l\in\mathbb{K}, \beta,\gamma\in V_\alpha$,
$$\begin{aligned} &f(\alpha, k\beta+l\gamma) =kf(\alpha,\beta)+lf(\alpha,\gamma)\\\\ =&kf(\beta,\alpha)+lf(\gamma,\alpha) =f(k\beta+l\gamma,\alpha). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这表明 $\displaystyle k\beta+l\gamma\in V_\alpha$. 而 $\displaystyle V_\alpha$ 是 $\displaystyle V$ 的子空间. (3)、 对 $\displaystyle \forall\ \alpha\in V$, 设
$$\begin{aligned} V_\alpha=&\left\{\beta\in V; f(\alpha,\beta)=f(\beta,\alpha)\right\},\\\\ W_\alpha=&\left\{\beta\in V; f(\alpha,\beta)=-f(\beta,\alpha)\right\}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则由题设, $\displaystyle V=V_\alpha\cup W_\alpha$. 由第 2 步知 $\displaystyle V$ 是它的两个子空间的并. 再由第 1 步知
$$\begin{aligned} V_\alpha=V\mbox{或} W_\alpha=V.\qquad(I) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
再设
$$\begin{aligned} U_1=\left\{\alpha\in V; V_\alpha=V\right\}, U_2=\left\{\alpha\in V; W_\alpha=V\right\}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则对 $\displaystyle \forall\ k,l\in \mathbb{K}, \alpha,\beta\in U_1$,
$$\begin{aligned} &V_\alpha=V, V_\beta=V\\\\ \Rightarrow&\forall\ \gamma\in V, f(\alpha,\gamma)=f(\gamma,\alpha), f(\beta,\gamma)=f(\gamma,\beta)\\\\ \Rightarrow&\forall\ \gamma\in V, f(k\alpha+l\beta,\gamma)=f(\gamma,k\alpha+l\beta)\\\\ \Rightarrow&k\alpha+l\beta\in U_1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle U_1$ 是 $\displaystyle V$ 的线性子空间. 同理, $\displaystyle U_2$ 也是 $\displaystyle V$ 的线性子空间. 由 $\displaystyle (I)$ 知 $\displaystyle V=U_1\cup U_2$. 再由第 1 步知 (3-1)、 $\displaystyle U_1=V$, 此时 $\displaystyle f$ 是对称变换. (3-2)、 或 $\displaystyle U_2=V$. 此时 $\displaystyle f$ 是反对称变换.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1526、 4、 (12 分) 设 $\displaystyle t_1,\cdots,t_n$ 互不相同, $\displaystyle \alpha_i= (1,t_i,t_i^2,\cdots,t_i^{n-1})$, $\displaystyle i=1,2,\cdots,n$. 试证: $\displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_n$ 线性无关. (重庆师范大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由
$$\begin{aligned} &k_1\alpha_1+\cdots +k_n\alpha_n=0\\\\ \Leftrightarrow&\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1&\cdots&1\\\\ t_1&t_2&\cdots&t_n\\\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\\\ t_1^{n-1}&t_2^{n-1}&\cdots&t_n^{n-1}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}k_1\\\\k_2\\\\\vdots\\\\k_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0\\\\0\\\\\vdots\\\\0\end{array}\right)\\\\ \Leftrightarrow&k_1=\cdots=k_n=0\left(\mbox{系数矩阵的行列式 $\displaystyle =\prod_{1\leq i < j\leq n}(t_j-t_i)\neq 0$}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_n$ 线性无关.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1527、 8、 设 $\displaystyle V$ 为 $\displaystyle [0,1]$ 上全体实函数构成的集合, 对 $\displaystyle f_1,f_2\in V, k\in\mathbb{R}$, 定义
$$\begin{aligned} (f_1+f_2)(x)=f_1(x)+f_2(x), \quad (kf)(x)=k\cdot f(x). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(1)、 试证: $\displaystyle V$ 在上述运算下构成一个线性空间, 并指出零元以及 $\displaystyle f$ 的负元. (2)、 证明: $\displaystyle V$ 不是有限维线性空间. (重庆师范大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 由
$$\begin{aligned} &f(x)+g(x)=g(x)+f(x),\\\\ &[f(x)+g(x)]+h(x)=f(x)+[g(x)+h(x)],\\\\ &0+f(x)=f(x), \left[-f(x)\right]+f(x)=0,\\\\ &1\cdot f(x)=f(x), (kl)f(x)=k\left[lf(x)\right],\\\\ &(k+l)f(x)=kf(x)+lf(x), k\left[f(x)+g(x)\right]=kf(x)+kg(x) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle V$ 是一个线性空间, 且零函数 $\displaystyle 0$ 是零元, $\displaystyle -f(x)$ 是 $\displaystyle f(x)$ 的负元. (2)、 用反证法. 若 $\displaystyle V$ 是有限维的, 则 $\displaystyle \dim V=m$. 但 $\displaystyle 1,x,\cdots,x^m$ 线性无关, 而
$$\begin{aligned} m=\dim V\geq \dim L(1,x,\cdots,x^m)=m+1 > m. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这是一个矛盾. 故有结论.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1528、 9、 (12 分) 设 $\displaystyle \sigma_1,\cdots,\sigma_s$ 是线性空间 $\displaystyle V$ 上的 $\displaystyle n$ 个两两不同的线性变换. 试证: 存在 $\displaystyle \alpha\in V$, 使得 $\displaystyle \sigma_1(\alpha),\cdots,\sigma_s(\alpha)$ 两两不同. (重庆师范大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 先证明一个结论: 非完全覆盖原理 (线性空间不能被其任意有限个真子空间覆盖). 设 $\displaystyle V$ 是 $\displaystyle n$ 维线性空间, $\displaystyle V_1,\cdots,V_m$ 是 $\displaystyle V$ 的 $\displaystyle m$ 个真子空间, 则
$$\begin{aligned} \exists\ \mbox{无限多个}\alpha\in\left\{\beta_j\right\}_{j=1}^\infty\subset V,\mathrm{ s.t.} \alpha\not\in V_1\cup \cdots \cup V_m. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
事实上, 取定 $\displaystyle V$ 的一组基 $\displaystyle \varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n$, 令
$$\begin{aligned} \alpha_i=\varepsilon_1+i \varepsilon_2+\cdots+i^{n-1}\varepsilon_n, i=1,2,\cdots, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则 $\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\cdots$ 中的任意 $\displaystyle n$ 个
$$\begin{aligned} (\alpha_{i_1},\cdots,\alpha_{i_n})=(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 1&1&\cdots&1\\\\ i_1&i_2&\cdots&i_n\\\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\\\ i_1^{n-1}&i_2^{n-1}&\cdots&i_n^{n-1}\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由范德蒙行列式知 $\displaystyle \alpha_{i_1},\cdots,\alpha_{i_n}$ 是 $\displaystyle V$ 的一组基. 由于 $\displaystyle V_i$ 是 $\displaystyle V$ 的真子空间, 而每个 $\displaystyle V_i$ 至多包含 $\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\cdots$ 中 的 $\displaystyle n-1$ 个, $\displaystyle \bigcup_{i=1}^m V_i$ 至多包含 $\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\cdots$ 中的 $\displaystyle m(n-1)$ 个. 于是
$$\begin{aligned} \exists\ \mbox{无限多个} k,\mathrm{ s.t.} \alpha_k\not\in \bigcup_{i=1}^mV_i. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2)、 由 $\displaystyle \sigma_1,\sigma_2,\cdots,\sigma_s$ 是线性空间 $\displaystyle V$ 中两两不同的线性变换知 $\displaystyle \sigma_1-\sigma_2,\sigma_1-\sigma_3,\cdots,\sigma_{s-1}-\sigma_s$ 都不是零变换, 而
$$\begin{aligned} \ker(\sigma_i-\sigma_j)\subsetneq V, \quad \forall\ 1\leq i < j\leq s. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由第 1 步知
$$\begin{aligned} \exists\ \alpha\in V,\mathrm{ s.t.} \alpha\not\in\bigcup_{1\leq i < j\leq s}\ker(\sigma_i-\sigma_j). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
换句话说,
$$\begin{aligned} \forall\ 1\leq i < j\leq s, \sigma_i(\alpha)\neq \sigma_j(\alpha). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1529、 10、 (12 分) 设 $\displaystyle V$ 是线性空间, $\displaystyle W_1,W_2$ 均为 $\displaystyle V$ 的子空间, 且 $\displaystyle W_1\cup W_2$ 也是 $\displaystyle V$ 的子空间. 试证: $\displaystyle W_1\subset W_2$ 或 $\displaystyle W_2\subset W_1$, 且 $\displaystyle W_1+W_2=W_1\cup W_2$. (重庆师范大学2023年高等代数考研试题) [线性空间与线性变换 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 用反证法证明证明 $\displaystyle W_1\subset W_2$ 或 $\displaystyle W_2\subset W_1$. 若 $\displaystyle W_1\not\subset W_2$ 且 $\displaystyle W_2\not\subset W_1$, 则
$$\begin{aligned} \exists\ \alpha_1\in W_1,\mathrm{ s.t.} \alpha_1\not \in W_2; \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
$$\begin{aligned} \exists\ \alpha_2\in W_2,\mathrm{ s.t.} \alpha_2\not\in W_1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
令 $\displaystyle \alpha=\alpha_1+\alpha_2$, 则 $\displaystyle \alpha\not\in W_1\cup W_2$. 事实上,
$$\begin{aligned} &\quad \alpha\in W_i\quad (i=1,2)\\\\ &\Rightarrow \alpha_j=\alpha-\alpha_i\in W_i\quad (j\neq i). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这是一个矛盾. 故有结论. (2)、 若 $\displaystyle W_1\subset W_2$, 则 $\displaystyle W_1+W_2=W_2=W_1\cup W_2$; 若 $\displaystyle W_2\subset W_1$, 则 $\displaystyle W_1+W_2=W_1=W_1\cup W_2$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1530、 (3)、 设 $\displaystyle V$ 为欧氏空间, $\displaystyle X$ 为 $\displaystyle V$ 的子集,
$$\begin{aligned} X^\perp=\left\{\alpha\in V; \forall\ \beta\in X, (\alpha,\beta)=0\right\}, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则 $\displaystyle X^\perp$ 为 $\displaystyle V$ 的子空间的充要条件为 $\displaystyle X$ 为 $\displaystyle V$ 的子空间. (安徽大学2023年高等代数考研试题) [欧氏空间 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle \times$. 由
$$\begin{aligned} \alpha_1,\alpha_2\in X^\perp&\Rightarrow \forall\ \beta\in X, (k_1\alpha_1+k_2\alpha_2,\beta)=\sum_{i=1}^2 k_i(\alpha_i,\beta)=0\\\\ &\Rightarrow k_1\alpha_1+k_2\alpha_2\in X^\perp \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知不管 $\displaystyle X$ 是否为 $\displaystyle V$ 的子空间, $\displaystyle X^\perp$ 始终为 $\displaystyle V$ 的子空间. 比如 $\displaystyle V=\mathbb{R}^3$, $\displaystyle X=\left\{e_1\right\}$ 不是子空间, 但$X^\perp=L(e_2,e_3)$ 是子空间.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1531、 (5)、 在带有标准内积的欧氏空间 $\displaystyle \mathbb{R}^3$ 中,
$$\begin{aligned} \alpha_1=(1,1,0)^\mathrm{T}, \alpha_2=(1,0,1)^\mathrm{T}, \alpha_3=(-1,1,1)^\mathrm{T}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(5-1)、 求 $\displaystyle \mathbb{R}^3$ 的一组标准正交基 $\displaystyle \xi_1,\xi_2,\xi_3$, 满足
$$\begin{aligned} L(\xi_1)=L(\alpha_1), L(\xi_1,\xi_2)=L(\alpha_1,\alpha_2), L(\xi_1,\xi_2,\xi_3)=L(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(5-2)、 设矩阵 $\displaystyle A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$, 求正交矩阵 $\displaystyle Q$ 和上三角阵 $\displaystyle R$, 使得 $\displaystyle A=QR$. (安徽大学2023年高等代数考研试题) [欧氏空间 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (5-1)、 对 $\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 施行 Gram-Schmidt 标准正交化过程得
$$\begin{aligned} \xi_1=&\frac{\alpha_1}{|\alpha_1|} =\frac{\alpha_1}{\sqrt{2}}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},0\right)^\mathrm{T},\\\\ \xi_2=&\frac{\alpha_2-(\alpha_2,\beta_1)\beta_1}{|\alpha_2-(\alpha_2,\beta_1)\beta_1|} =\frac{\alpha_2-\frac{1}{\sqrt{2}}\alpha_1}{\frac{3}{\sqrt{6}}}=\left(\frac{1}{\sqrt{6}},-\frac{1}{\sqrt{6}},\frac{2}{\sqrt{6}}\right)^\mathrm{T}, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
$$\begin{aligned} \xi_3=&\frac{\alpha_3-(\alpha_3,\beta_1)\beta_1-(\alpha_3,\beta_2)\beta_2}{|\alpha_3-(\alpha_3,\beta_1)\beta_1-(\alpha_3,\beta_2)\beta_2|} =\frac{\alpha_3}{\sqrt{3}}=\left(-\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^\mathrm{T}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这样得到的 $\displaystyle \xi_1,\xi_2,\xi_3$ 就满题意. (5-2)、 设 $\displaystyle Q=(\xi_1,\xi_2,\xi_3)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{6}}&-\frac{1}{\sqrt{3}}\\\\ \frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{3}}\\\\ 0&\frac{2}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{3}}\end{array}\right)$, 则由第 1 步的结果
$$\begin{aligned} \alpha_1=\sqrt{2}\xi_1, \alpha_2=\frac{1}{\sqrt{2}}\xi_1+\frac{3}{\sqrt{6}}\xi_2, \alpha_3=\sqrt{3}\xi_3 \Rightarrow R=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\sqrt{2}&\frac{1}{\sqrt{2}}&0\\\\ 0&\frac{3}{\sqrt{6}}&0\\\\ 0&0&\sqrt{3}\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1532、 5、 (20 分) 设 $\displaystyle V$ 是 $\displaystyle n$ 维欧氏空间, $\displaystyle \varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n$ 是 $\displaystyle V$ 的一组标准正交基, $\displaystyle \mathrm{End}(V)$ 表示 $\displaystyle V$ 的全体线性变换构成的线性空间. 定义
$$\begin{aligned} \left < \sigma,\tau\right > =\sum_{i=1}^n \left(\sigma(\varepsilon_i),\tau(\varepsilon_i)\right), \forall\ \sigma,\tau\in \mathrm{End}(V), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
其中 $\displaystyle (-,-)$ 为 $\displaystyle V$ 上的内积. (1)、 证明 $\displaystyle \left < -,-\right >$ 为 $\displaystyle \mathrm{End}(V)$ 上的内积; (2)、 求 $\displaystyle \mathrm{End}(V)$ 的一组标准正交基. (北京工业大学2023年高等代数考研试题) [欧氏空间 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 (1-1)、 由 $\displaystyle \left < \sigma,\sigma\right > =\sum_{i=1}^n \left(\sigma(\varepsilon_i),\sigma(\varepsilon_i)\right)\geq 0$,
$$\begin{aligned} &\left < \sigma,\sigma\right > =0\Leftrightarrow \forall\ 1\leq i\leq n, \left(\sigma(\varepsilon_i),\sigma(\varepsilon_i)\right)=0\\\\ \Leftrightarrow&\forall\ 1\leq i\leq n, \sigma(\varepsilon_i)=0\Leftrightarrow \sigma=0; \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(1-2)、
$$\begin{aligned} &\left < k\sigma+l\rho,\tau\right > =\sum_{i=1}^n \left((k\sigma+l\rho)(\varepsilon_i),\tau(\varepsilon_i)\right)\\\\ =&k\sum_{i=1}^n \left(\sigma(\varepsilon_i),\tau(\varepsilon_i)\right) +l\sum_{i=1}^n \left(\rho(\varepsilon_i),\tau(\varepsilon_i)\right)\\\\ =&k\left < \sigma,\tau\right > +l\left < \rho,\tau\right > ; \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(1-3)、
$$\begin{aligned} &\left < \sigma,\tau\right > =\sum_{i=1}^n \left(\sigma(\varepsilon_i),\tau(\varepsilon_i)\right) =\sum_{i=1}^n \left(\tau(\varepsilon_i),\sigma(\varepsilon_i)\right)=\left < \tau,\sigma\right > \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle \left < -,-\right >$ 为 $\displaystyle \mathrm{End}(V)$ 上的内积; (2)、 取 $\displaystyle \sigma_i\in \mathrm{End}(V)$ 使得
$$\begin{aligned} \sigma_i(\varepsilon_k)=\delta_{ik}\varepsilon_i=\left\{\begin{array}{llllllllllll}\varepsilon_i,&k=i,\\\\ 0,&k\neq i,\end{array}\right. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则
$$\begin{aligned} &\left < \sigma_i,\sigma_j\right > =\sum_{k=1}^n \left(\sigma_i(\varepsilon_k),\sigma_j(\varepsilon_k)\right) =\sum_{k=1}^n \left(\delta_{ik}\varepsilon_i,\delta_{jk}\varepsilon_j\right)\\\\ =&\sum_{k=1}^n \delta_{ik}\delta_{jk}\delta_{ij} =\delta_{ij}=\left\{\begin{array}{llllllllllll}1,&i=j,\\\\ 0,&i\neq j.\end{array}\right. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle \sigma_1,\cdots,\sigma_n$ 是 $\displaystyle \mathrm{End}(V)$ 的一组标准正交基.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1533、 6、 (20 分) $\displaystyle \sigma$ 是 $\displaystyle n$ 维欧氏空间 $\displaystyle V$ 上的一个线性反对称变换, 即
$$\begin{aligned} \left(\sigma(\alpha),\beta\right)+\left(\alpha,\sigma(\beta)\right)=0,\quad \forall\ \alpha,\beta\in V, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
其中 $\displaystyle \left(\cdot,\cdot\right)$ 表示欧氏空间的内积. 证明: 存在 $\displaystyle V$ 的一组基标准正交基, 使得 $\displaystyle \sigma^2$ 在此组基下的矩阵为对角阵. (北京科技大学2023年高等代数考研试题) [欧氏空间 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle \tau=\sigma^2$, 则对 $\displaystyle \forall\ \alpha,\beta\in V$,
$$\begin{aligned} &\left(\tau(\alpha),\beta\right)=\left(\sigma^2(\alpha),\beta\right) =-\left(\sigma(\alpha),\sigma(\beta)\right) =-\left[-\left(\alpha,\sigma^2(\beta)\right)\right] =\left(\alpha,\tau(\beta)\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
取定 $\displaystyle V$ 的一组标准正交基 $\displaystyle \varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n$, 设
$$\begin{aligned} \tau(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n)=(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n)A, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则由
$$\begin{aligned} \left(\tau(\varepsilon_i),\varepsilon_j\right)=&\left(\sum_k a_{ki}\varepsilon_k,\varepsilon_j\right)=a_{ji},\\\\ \left(\varepsilon_i,\tau(\varepsilon_j)\right)=&\left(v\mathrm{e}_i,\sum_k a_{kj}\varepsilon_k\right)=a_{ij} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle a_{ij}=a_{ji}$, 而 $\displaystyle A$ 实对称, 存在正交阵 $\displaystyle P$ 使得
$$\begin{aligned} P^\mathrm{T} AP=P^{-1}AP=\mathrm{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_n), \lambda_i\in\mathbb{R}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
设 $\displaystyle (\eta_1,\cdots,\eta_n)=(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n)P$, 则 $\displaystyle \eta_1,\cdots,\eta_n$ 是 $\displaystyle V$ 的一组标准正交基, 且
$$\begin{aligned} \tau^2(\eta_1,\cdots,\eta_n)=(\eta_1,\cdots,\eta_n)P^{-1}AP =(\eta_1,\cdots,\eta_n)\mathrm{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_n). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1534、 5、 若对于任意向量 $\displaystyle \alpha=(x_1,x_2)^\mathrm{T}, \beta=(y_1,y_2)^\mathrm{T}$, 定义
$$\begin{aligned} f(\alpha,\beta)=x_1y_1-x_2y_2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(1)、 证明: $\displaystyle f$ 为双线性函数, 求其在 $\displaystyle \varepsilon_1=(1,0)^\mathrm{T}, \varepsilon_2=(0,1)^\mathrm{T}$ 下的度量矩阵; (2)、 $\displaystyle f$ 是否非退化; (3)、 求一组基, 使得 $\displaystyle f$ 在这组基下的度量矩阵为 $\displaystyle \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&1\\\\ 1&0\end{array}\right)$. (4)、 求所有使得 $\displaystyle f(\alpha,\alpha)=0$ 的非零向量 $\displaystyle \alpha$. (北京理工大学2023年高等代数考研试题) [欧氏空间 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 对 $\displaystyle \forall\ k,k',\alpha,\alpha'$,
$$\begin{aligned} &f(k\alpha+k'\alpha',\beta)=(kx_1+k'x_1')y_1-(kx_2+k'x_2')y_2\\\\ =&k(x_1y_1-x_2y_2)+k'(x_1'y_1-x_2'y_2) =kf(\alpha,\beta)+k'f(\alpha',\beta), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
且 $\displaystyle f(\alpha,\beta)=f(\beta,\alpha)$. 故 $\displaystyle f$ 是双线性函数. 进一步, $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle \varepsilon_1,\varepsilon_2$ 下的度量矩阵为
$$\begin{aligned} A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}f(\varepsilon_1,\varepsilon_1)&f(\varepsilon_1,\varepsilon_2)\\\\ f(\varepsilon_2,\varepsilon_1)&f(\varepsilon_1,\varepsilon_2)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0\\\\ 0&-1\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2)、 若 $\displaystyle \forall\ \beta$,
$$\begin{aligned} 0=&f(\alpha,\beta)=f(x_1\varepsilon_1+x_2\varepsilon_2,y_1\varepsilon_1+y_2\varepsilon_2)\\\\ =&\sum_{i,j}x_iy_jf(\varepsilon_i,\varepsilon_j) =(x_1,x_2)A\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}y_1\\\\y_2\end{array}\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则取 $\displaystyle \beta=\varepsilon_1,\varepsilon_2$ 后知
$$\begin{aligned} &0=(x_1,x_2)A\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1\\\\0\end{array}\right), 0=(x_1,x_2)A\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0\\\\1\end{array}\right)\\\\ \Rightarrow&(0,0)=(x_1,x_2)A\stackrel{|A|=-1}{\Rightarrow}(0,0)=(x_1,x_2)\Rightarrow \alpha=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle f$ 非退化. 当然你可以直接由 $\displaystyle |A|\neq 0$ 知 $\displaystyle f$ 非退化. (3)、 设在基 $\displaystyle (\eta_1,\eta_2)=(\varepsilon_1,\varepsilon_2)T$ 下 $\displaystyle f$ 的度量矩阵为 $\displaystyle B=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&1\\\\ 1&0\end{array}\right)$, 则
$$\begin{aligned} b_{ij}=&f(\eta_i,\eta_j)=f\left(\sum_k t_{ki}\varepsilon_k, \sum_l t_{lj}\varepsilon_l\right) =\sum_{k,l}t_{ki}a_{kl}t_{lj}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是 $\displaystyle B=T^\mathrm{T} AT$. 由二次型化为规范形的结果知可取 $\displaystyle T=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1\\\\ -1&1\end{array}\right)$,
$$\begin{aligned} \eta_1=\frac{(1,-1)^\mathrm{T}}{\sqrt{2}}, \eta_2=\frac{(1,1)^\mathrm{T}}{\sqrt{2}}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(4)、 $\displaystyle 0=f(\alpha,\alpha)=x_1^2-x_2^2\Leftrightarrow x_2=\pm x_1\Leftrightarrow \alpha=k\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1\\\\-1\end{array}\right), \forall\ k\in\mathbb{R}$. 故所有使得 $\displaystyle f(\alpha,\alpha)=0$ 的非零向量 $\displaystyle \alpha=k\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1\\\\\pm 1\end{array}\right), \forall\ 0\neq k\in\mathbb{R}$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1535、 6、 设 $\displaystyle U$ 是内积空间 $\displaystyle V$ 的一个有限维子空间, $\displaystyle U^\perp$ 是 $\displaystyle U$ 的正交补. (1)、 证明: $\displaystyle U^\perp$ 是 $\displaystyle V$ 的子空间; (2)、 $\displaystyle V=U\oplus U^\perp$. (北京理工大学2023年高等代数考研试题) [欧氏空间 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 对 $\displaystyle \forall\ k,l\in\mathbb{R}, \alpha,\beta\in U^\perp$,
$$\begin{aligned} \forall\ \gamma\in U, (k\alpha+l\beta,\gamma)=k(\alpha,\gamma)+l(\beta,\gamma)=k0+l0=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle k\alpha+l\beta\in U^\perp$. 而 $\displaystyle U^\perp$ 是 $\displaystyle V$ 的子空间. (2)、 取定 $\displaystyle U$ 的一组标准正交基 $\displaystyle \varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n$, 则对 $\displaystyle \forall\ \alpha\in V$,
$$\begin{aligned} \beta=\sum_{i=1}^n (\alpha,\varepsilon_i)\varepsilon_i\in U, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
且
$$\begin{aligned} (\alpha-\beta,\varepsilon_j)=&(\alpha,\varepsilon_j)-\left(\sum_{i=1}^n (\alpha,\varepsilon_i)\varepsilon_i,\varepsilon_j\right)\\\\ =&(\alpha,\varepsilon_j)-(\alpha,\varepsilon_j)=0, \forall\ 1\leq j\leq n \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
蕴含 $\displaystyle \alpha-\beta\in U^\perp$. 从而 $\displaystyle \alpha=\beta+(\alpha-\beta)\in U+U^\perp$. 又由
$$\begin{aligned} \alpha\in U\cap U^\perp\Rightarrow (\alpha,\alpha)\stackrel{\alpha\in U, \alpha\in U^\perp}{=}0 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle U\cap U^\perp=\left\{0\right\}$. 这就证明了 $\displaystyle V=U\oplus U^\perp$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1536、 9、 设 $\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 是 $\displaystyle 3$ 维欧氏空间的一个基, $\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 的度量矩阵为
$$\begin{aligned} \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&-2&1\\\\ -2&3&-1\\\\ 1&-1&2\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
令 $\displaystyle W=L(\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2+\alpha_3)$. (1)、 求 $\displaystyle W$ 的一个规范正交基; (2)、 求 $\displaystyle W$ 的正交补 $\displaystyle W^\perp$, 并求 $\displaystyle W^\perp$ 的维数及一个规范正交基. (北京邮电大学2023年高等代数考研试题) [欧氏空间 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 设题中矩阵为 $\displaystyle A$, $\displaystyle \xi_1=(1,1,0)^\mathrm{T}, \xi_2=(0,1,1)^\mathrm{T}$,
$$\begin{aligned} \beta_1=\alpha_1+\alpha_2=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)\xi_1, \beta_2=\alpha_2+\alpha_3=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\xi_2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是 $\displaystyle |\beta_1|=\sqrt{\xi_1^\mathrm{T} A\xi_1}=1, (\beta_1,\beta_2)=\xi_1^\mathrm{T} A\xi_2=1$. 将 $\displaystyle \beta_1,\beta_2$ 标准正交化为 $\displaystyle \gamma_1=\frac{\beta_1}{|\beta_1|}=\beta_1$,
$$\begin{aligned} \gamma_2=&\frac{\beta_2-(\beta_2,\gamma_1)\gamma_1}{|\beta_2-(\beta_2,\gamma_1)\gamma_1|} =\frac{\beta_2-\beta_1}{|\beta_2-\beta_1|}=\frac{-\alpha_1+\alpha_3}{\sqrt{2}}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle W$ 的一个规范正交基为 $\displaystyle \alpha_1+\alpha_2,\frac{-\alpha_1+\alpha_3}{\sqrt{2}}$. (2)、 由
$$\begin{aligned} &\gamma=\sum_i x_i\alpha_i\in W^\perp\Leftrightarrow 0=(\gamma,\beta_i)=\xi_i^\mathrm{T} Ax, i=1,2\\\\ \Leftrightarrow&\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0\\\\0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\xi_1^\mathrm{T}\\\\ \xi_2^\mathrm{T}\end{array}\right)Ax \Leftrightarrow \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&1&0\\\\ -1&2&1\end{array}\right)x. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由 $\displaystyle \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&1&0\\\\ -1&2&1\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&-1\\\\ 0&1&0\end{array}\right)$ 知 $\displaystyle x=k(1,0,1)^\mathrm{T}, \forall\ k$. 于是 $\displaystyle W=L(\alpha_1+\alpha_3)$, $\displaystyle \dim W=1$, 且 $\displaystyle W$ 有一组标准正交基 $\displaystyle \frac{\alpha_1+\alpha_3}{\sqrt{6}}$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1537、 (7)、 设 $\displaystyle \mathscr{A}$ 是 $\displaystyle n$ 维欧氏空间 $\displaystyle V$ 上的线性变换, 若 $\displaystyle \mathscr{A}$ 不改变向量的距离, 即
$$\begin{aligned} |\mathscr{A}\alpha-\mathscr{A}\beta|=|\alpha-\beta|,\quad \forall\ \alpha,\beta\in V, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
证明: $\displaystyle \mathscr{A}$ 是正交变换. (大连理工大学2023年高等代数考研试题) [欧氏空间 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由 $\displaystyle \mathscr{A}$ 是线性变换知 $\displaystyle \mathscr{A} 0=\mathscr{A}(\alpha-\alpha)=\mathscr{A}\alpha-\mathscr{A}\alpha=0$, 从而
$$\begin{aligned} |\mathscr{A}\alpha|=|\mathscr{A}\alpha-\mathscr{A} 0|=|\alpha-0|=|\alpha|,\quad \forall\ \alpha\in V. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
对 $\displaystyle \forall\ \alpha,\beta\in V$, 写出
$$\begin{aligned} &\left(\mathscr{A}(\alpha),\mathscr{A}(\alpha)\right)=(\alpha,\alpha), \left(\mathscr{A}(\beta),\mathscr{A}(\beta)\right)=(\beta,\beta),\\\\ &\left(\mathscr{A}(\alpha+\beta),\mathscr{A}(\alpha+\beta)\right)=(\alpha+\beta,\alpha+\beta). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
最后一个等式展开后利用前两个等式知
$$\begin{aligned} \left(\mathscr{A}(\alpha),\mathscr{A}(\beta)\right)=(\alpha,\beta). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这就是说, $\displaystyle \mathscr{A}$ 是正交变换.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1538、 (4)、 设 $\displaystyle V$ 是 $\displaystyle n\ ( > 1)$ 维欧氏空间, $\displaystyle \alpha$ 是 $\displaystyle V$ 中的单位向量. (4-1)、 $\displaystyle V$ 上的正交变换 $\displaystyle \mathscr{B}$ 称为关于 $\displaystyle \alpha$ 的镜面反射, 如果 $\displaystyle \mathscr{B}$ 满足:
$$\begin{aligned} \mbox{若 $\displaystyle (\alpha,\beta)=0$, 则 $\displaystyle \mathscr{B}\beta=\beta; \mathscr{B}\alpha=-\alpha$.} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
证明: 如果正交变换 $\displaystyle \mathscr{B}$ 是关于 $\displaystyle \alpha$ 的镜面反射, 则
$$\begin{aligned} \mathscr{B}\gamma=\gamma-2(\alpha,\gamma)\alpha, \forall\ \gamma\in V; \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(4-2)、 设 $\displaystyle \beta$ 也是 $\displaystyle V$ 中的单位向量, 证明: 存在正交变换 $\displaystyle \mathscr{A}$ 使得
$$\begin{aligned} \dim\ker(\mathscr{A}-1_V)=n-1\mbox{且} \mathscr{A}\alpha=\beta, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
其中 $\displaystyle 1_V$ 表示 $\displaystyle V$ 上的恒等变换. (电子科技大学2023年高等代数考研试题) [欧氏空间 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (4-1)、 将 $\displaystyle \alpha$ 扩充为 $\displaystyle V$ 的一组标准正交基 $\displaystyle \alpha,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$, 则由题设,
$$\begin{aligned} \mathscr{B}\alpha=-\alpha;\quad \mathscr{B}\varepsilon_i=\varepsilon_i, 2\leq i\leq n. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
对 $\displaystyle \forall\ \gamma=x\alpha+\sum_{i=2}^n x_i\varepsilon_i\in V$,
$$\begin{aligned} \mathscr{B}\gamma=&-x\alpha+\sum_{i=2}^n x_i\varepsilon_i =-2x\alpha+\left(x\alpha+\sum_{i=2}^n x_i\varepsilon_i\right)\\\\ =&-2(\alpha,\gamma)\alpha+\gamma. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(4-2)、 取一 $\displaystyle \beta-\alpha$ 为法向量的镜面反射
$$\begin{aligned} \mathscr{A}(\gamma)=\gamma-2(\gamma,\eta)\eta,\quad \forall\ \gamma\in V, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
其中 $\displaystyle \eta=\frac{\beta-\alpha}{|\beta-\alpha|}$, 则 $\displaystyle \mathscr{A}\alpha=\beta$. 由第 i 问知将 $\displaystyle \eta$ 扩充为 $\displaystyle V$ 的标准正交基 $\displaystyle \eta,\eta_2,\cdots,\eta_n$ 后, $\displaystyle \mathscr{A}$ 在该基下的矩阵就是 $\displaystyle \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-1&\\\\ &E_{n-1}\end{array}\right)$. 故
$$\begin{aligned} \dim \ker(\mathscr{A}-1_V)=\dim L(\eta_2,\cdots,\eta_n)=n-1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1539、 5、 设 $\displaystyle \varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3$ 是 $\displaystyle 3$ 维欧氏空间 $\displaystyle V$ 的一组标准正交基. 已知
$$\begin{aligned} \alpha=3\varepsilon_1+4\varepsilon_2, \quad \beta=4\varepsilon_1-3\varepsilon_2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
求一正交变换 $\displaystyle \mathscr{A}$ 使得 $\displaystyle \mathscr{A}\alpha=\beta$. (东北大学2023年高等代数考研试题) [欧氏空间 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle \eta=\frac{\beta-\alpha}{|\beta-\alpha|}=\frac{\varepsilon_1-7\varepsilon_2}{5\sqrt{2}}$, 则
$$\begin{aligned} \mathscr{A}\gamma=2(\gamma,\eta)\eta, \forall\ \gamma\in V \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
就是满足 $\displaystyle \mathscr{A}\alpha=\beta$ 的正交变换. 事实上, 设 $\displaystyle \gamma=x_1\varepsilon_1+x_2\varepsilon_2+x_3\varepsilon_3$, 则由
$$\begin{aligned} (\gamma,\eta)\eta =\frac{x_1-7x_2}{5\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{5\sqrt{2}}(\varepsilon_1-7\varepsilon_2) =\frac{x_1-7x_2}{50}(\varepsilon_1-7\varepsilon_2) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知
$$\begin{aligned} \mathscr{A}(x_1\varepsilon_1+x_2\varepsilon_2+x_3\varepsilon_3)=\frac{24x_1+7x_2}{25}\varepsilon_1 +\frac{7x_1-24x_2}{25}\varepsilon_2+x_3\varepsilon_3. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1540、 6、 设 $\displaystyle \varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3$ 是欧氏空间 $\displaystyle V$ 的一组基.已知 $\displaystyle \varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3$ 的度量矩阵为
$$\begin{aligned} \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}3&2&-2\\\\ 2&2&-1\\\\ -2&-1&2\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
令 $\displaystyle W=L(\varepsilon_1+\varepsilon_3,\varepsilon_2+\varepsilon_3)$. (1)、 求 $\displaystyle W$ 的维数及一组标准正交基; (2)、 求 $\displaystyle W^\perp$ 的维数和一组基. (东北大学2023年高等代数考研试题) [欧氏空间 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设
$$\begin{aligned} \xi_1=\varepsilon_1+\varepsilon_3, \xi_2=\varepsilon_2+\varepsilon_3, \xi_3=\varepsilon_3, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则
$$\begin{aligned} (\xi_1,\xi_2,\xi_3)=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)A, A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&0\\\\ 0&&1&0\\\\ 1&1&1\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由
$$\begin{aligned} (\xi_i,\xi_j)=&\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\sum_k a_{ki}\varepsilon_k, \sum_l a_{lj}\varepsilon_l\end{array}\right) =\sum_{kl}a_{ki}g_{kl}a_{lj}, (g_{ij})=G=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}3&2&-2\\\\ 2&2&-1\\\\ -2&-1&2\end{array}\right)\qquad(I) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle \xi_1,\xi_2,\xi_3$ 的度量矩阵为
$$\begin{aligned} B=A^\mathrm{T} GA=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1&0\\\\ 1&2&0\\\\ 0&1&2\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由
$$\begin{aligned} P_1=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&-1&0\\\\ 0&1&0\\\\ 0&0&1\end{array}\right)\Rightarrow B_1=P_1^\mathrm{T} BP_1=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&0\\\\ 0&1&1\\\\ 0&1&2\end{array}\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
$$\begin{aligned} P_2=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&0\\\\ 0&1&-1\\\\ 0&0&1\end{array}\right)\Rightarrow P_2^\mathrm{T} B_1P_2=E_3 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知
$$\begin{aligned} P=P_1P_2=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&-1&1\\\\ 0&1&-1\\\\ 0&0&1\end{array}\right)\Rightarrow P^\mathrm{T} BP=E_3. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
设
$$\begin{aligned} &(\eta_1,\eta_2,\eta_3)=(\xi_1,\xi_2,\xi_3)P\\\\ =&(\xi_1,-\xi_1+\xi_2,\xi_1-\xi_2+\xi_3) =(\varepsilon_1+\varepsilon_3,-\varepsilon_1+\varepsilon_2,\varepsilon_1-\varepsilon_2), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则类似 $\displaystyle (I)$ 的推理知 $\displaystyle \eta_1,\eta_2$ 是 $\displaystyle W$ 的一组标准正交基, $\displaystyle \dim W=2$; 而 $\displaystyle \eta_3$ 是 $\displaystyle W^\perp$ 的一组基, $\displaystyle \dim W^\perp=1$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1541、 6、 (15 分) 设 $\displaystyle V$ 是欧氏空间, $\displaystyle W$ 是 $\displaystyle V$ 的子空间, $\displaystyle V$ 中的向量 $\displaystyle \alpha$ 不在 $\displaystyle W$ 中, 问是否存在 $\displaystyle \alpha_0\in W$, 使得 $\displaystyle \alpha-\alpha_0$ 与 $\displaystyle W$ 的任意向量都正交? 如果不存在, 举出例子; 如果存在, 说明理由并讨论其唯一性. (东北师范大学2023年高等代数与解析几何考研试题) [欧氏空间 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 存在且唯一. 设 $\displaystyle \eta_1,\cdots,\eta_m$ 是 $\displaystyle W$ 的一组标准正交基, 将其扩充为 $\displaystyle V$ 的一组标准正交基 $\displaystyle \eta_1,\cdots,\eta_n$. 而可设 $\displaystyle \alpha=\sum_{i=1}^n x_i\eta_i$, 其中 $\displaystyle x_i=(\alpha,\eta_i)$. 令 $\displaystyle \alpha_0=\sum_{i=1}^m x_i\eta_i\in W$, 则
$$\begin{aligned} \forall\ \beta=\sum_{i=1}^m y_i\eta_i\in W, (\alpha-\alpha_0,\beta) =\left(\sum_{i=m+1}^n x_i\eta_i,\sum_{j=1}^m y_j\eta_j\right)=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle \alpha-\alpha_0\in W^\perp$. 若 $\displaystyle \alpha_1\in W$ 也满足 $\displaystyle \alpha-\alpha_1\in W^\perp$, 则
$$\begin{aligned} &\alpha_0\in W, \alpha_1\in W\Rightarrow \alpha_0-\alpha_1\in W, &\alpha_0-\alpha_1=(\alpha-\alpha_1)-(\alpha-\alpha_0)\in W^\perp. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle \alpha_0-\alpha_1\in W\cap W^\perp$,
$$\begin{aligned} (\alpha_0-\alpha_1,\alpha_0-\alpha_1)\stackrel{\mbox{第一个向量在 $\displaystyle W$ 中, 第二个向量在 $\displaystyle W^\perp$ 中}}{=}0\Rightarrow \alpha_0=\alpha_1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
唯一性得证.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
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发表于 2023-3-5 13:25:12