张祖锦2023年数学专业真题分类70天之第29天
645、 (5)、 设二元函数 $\displaystyle f(x,y)$ 在点 $\displaystyle (x_0,y_0)$ 的二阶混合偏导数 $\displaystyle f_{xy}(x_0,y_0), f_{yx}(x_0,y_0)$ 均存在, 则它们必相等. (上海交通大学2023年数学分析考研试题) [多元函数微分学 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle \times$. 比如对 $\displaystyle f(x,y)=\left\{\begin{array}{llllllllllll} xy\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}, &(x,y)\neq (0,0),\\\\ 0,&(x,y)=(0,0),\end{array}\right.$ 由
$$\begin{aligned} &f_x(0,0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{0-0}{x}=0,\\\\ &y\neq 0\Rightarrow f_x(0,y)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x,y)-f(0,y)}{x} =\lim_{x\to 0}y\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}=-y \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知
$$\begin{aligned} f_{xy}(0,0)=\lim_{y\to 0}\frac{f_x(0,y)-f_x(0,0)}{y}=-1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
同理或利用反对称性知 $\displaystyle f_{yx}(0,0)=1$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
646、 7、 (25 分) 设 $\displaystyle v=v(x_1,\cdots,x_n)$ 是二阶连续可导的 $\displaystyle n$ 元函数, 记
$$\begin{aligned} \nabla =\left(\frac{\partial}{\partial x_1},\cdots,\frac{\partial}{\partial x_n}\right), \Delta=\frac{\partial^2}{\partial x_1^2}+\cdots+\frac{\partial^2}{\partial x_n^2}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
同时, $\displaystyle D^2v=\left(\frac{\partial^2v}{\partial x_i\partial x_j}\right)_{n\times n}$ 为矩阵, $\displaystyle |D^2v|=\left(\sum_{i,j=1}^n v_{x_ix_j}^2\right)^\frac{1}{2}$. 证明:
$$\begin{aligned} \nabla v\cdot\nabla \Delta v=\frac{1}{2}\Delta |\nabla v|^2-|D^2v|^2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(上海交通大学2023年数学分析考研试题) [多元函数微分学 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由
$$\begin{aligned} \Delta(fg)=&\sum_k(fg)_{x_kx_k} =\sum_k (f_{x_k}g+fg_{x_k})_{x_k}\\\\ =&\sum_k (f_{x_kx_k}g+2f_{x_k}g_{x_k}+fg_{x_kx_k})\\\\ =&g\Delta f+2\nabla f\cdot\nabla g+g\Delta f \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知
$$\begin{aligned} \frac{1}{2}\Delta(f^2)=f\Delta f+|\nabla f|^2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
从而
$$\begin{aligned} \frac{1}{2}\Delta |\nabla v|^2=\nabla v\cdot\Delta \nabla v+|\nabla \nabla v|^2 =\nabla v\cdot\Delta \nabla v+|D^2v|^2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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647、 6、 $\displaystyle f(x,y)$ 在 $\displaystyle (x_0,y_0)$ 连续, $\displaystyle g(x,y)$ 在 $\displaystyle (x_0,y_0)$ 可微且 $\displaystyle g(x_0,y_0)=g_x(x_0,y_0)=g_y(x_0,y_0)=0$. 证明: $\displaystyle f(x,y)g(x,y)$ 在 $\displaystyle (x_0,y_0)$ 处可微. (首都师范大学2023年数学分析考研试题) [多元函数微分学 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle F(x,y)=f(x,y)g(x,y)$, 则 $\displaystyle F(x_0,y_0)=0$,
$$\begin{aligned} F_x(x_0,y_0)=&\lim_{x\to 0}\frac{F(x,y_0)-F(x_0,y_0)}{x} =\lim_{x\to x_0}\frac{g(x,0)}{x}\cdot f(x,0)\\\\ =&g_x(x_0,y_0)f(x_0,y_0)=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
同理, $\displaystyle F_y(x_0,y_0)=0$. 由
$$\begin{aligned} &\left|\frac{F(x,y)-F(x_0,y_0)-F_x(x_0,y_0)x-F_y(x_0,y_0)y}{\sqrt{x^2+y^2}}\right|\\\\ =&\frac{|g(x,y)|}{\sqrt{x^2+y^2}}\cdot |f(x,y)| \xrightarrow{\mbox{有界量乘以无穷小量}}0 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle F$ 在原点可微.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
648、 7、 在 $\displaystyle 2x^2+2y^2+z^2=1$ 上找一个点, 使得 $\displaystyle f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$ 在 $\displaystyle \vec{l}=(1,-1,0)$ 上的方向导数最大. (首都师范大学2023年数学分析考研试题) [多元函数微分学 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial \vec{l}}(x,y,z)=\mathrm{ grad} f\cdot\vec{l} =2\left\{x,y,z\right\}\cdot \left\{1,-1,0\right\}=2(x-y)$. 设
$$\begin{aligned} L=x-y+\lambda(2x^2+2y^2+z^2-1), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则由
$$\begin{aligned} &L_x=1-4\lambda x=0, L_y=-1+4\lambda y=0, L_z=2\lambda z=0, \\\\ &L_\lambda=2x^2+2y^2+z^2-1=0 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知
$$\begin{aligned} &L_x=0\Rightarrow \lambda\neq 0\stackrel{L_z=0}{\Rightarrow}z=0\Rightarrow x^2+y^2=\frac{1}{2}\\\\ \stackrel{L_x=L_y=0\Rightarrow x=y}{\Rightarrow}&x,y=\pm\frac{1}{2} \Rightarrow \max_{2x^2+2y^2+z^2=1}\frac{\partial f}{\partial\vec{l}}=2\left[\frac{1}{2}-\left(-\frac{1}{2}\right)\right]=2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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649、 3、 (本题 12 分) 设 $\displaystyle f(x,y)$ 为开区域 $\displaystyle D\subset \mathbb{R}^2$ 上的连续可导函数, $\displaystyle u,v$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^2$ 上的夹角为 $\displaystyle \alpha$ 的单位向量. 证明:
$$\begin{aligned} \left[\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^2\right]\sin^2\alpha \leq 2\left[\left(\frac{\partial f}{\partial u}\right)^2+\left(\frac{\partial f}{\partial v}\right)^2\right]. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(四川大学2023年数学分析考研试题) [多元函数微分学 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 若 $\displaystyle \alpha=0\mbox{或} \pi$, 则结论自明. 以下设 $\displaystyle \alpha\in (0,\pi)$. 为简单记, 令 $\displaystyle f_x=\frac{\partial f}{\partial x}, f_u=\frac{\partial f}{\partial u}$, 并不妨设 $\displaystyle u$ 到 $\displaystyle v$ 的有向角为 $\displaystyle \alpha$. 设 $\displaystyle u$ 的方向角为 $\displaystyle \theta$, 则 $\displaystyle v$ 的方向角为 $\displaystyle \theta+\alpha$, 从而
$$\begin{aligned} f_u=f_x\cos\theta+f_y\sin\theta, f_v=f_x\cos(\theta+\alpha)+f_y\sin(\theta+\alpha). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是
$$\begin{aligned} f_x=\frac{f_u\sin(\theta+\alpha)-f_v\sin\theta}{\sin\alpha}, f_y=\frac{-f_u\cos(\theta+\alpha)+f_v\cos\theta}{\sin\alpha}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
进而
$$\begin{aligned} &f_x^2+f_y^2=\frac{f_u^2+f_v^2-2f_uf_v }{\sin^2\alpha} =\frac{f_u^2+f_v^2-2f_uf_v\cos\alpha }{\sin^2\alpha}\\\\ \leq& \frac{f_u^2+f_v^2+2|f_uf_v| }{\sin^2\alpha} \stackrel{\tiny\mbox{均值}}{\leq} \frac{2(f_u^2+f_v^2) }{\sin^2\alpha}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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650、 3、 (10 分) 试求 $\displaystyle (x^2+y^2)^2-x^2+y^2=0$ 所确定的隐函数 $\displaystyle y=f(x)$ 的极值. (苏州大学2023年数学分析考研试题) [多元函数微分学 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle F=(x^2+y^2)^2-x^2+y^2$, 则
$$\begin{aligned} F_x=2(x^2+y^2)\cdot 2x-2x, F_y=2(x^2+y^2)\cdot 2y+2y. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故
$$\begin{aligned} 0=y'=-\frac{F_x}{F_y}\Leftrightarrow F_x=0\Leftrightarrow x=0\mbox{或} x^2+y^2=\frac{1}{2}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
但 $\displaystyle x=0\Rightarrow y=0\Rightarrow F_y=0$. 容易知道 $\displaystyle (0,0)$ 附近 $\displaystyle y$ 不是 $\displaystyle x$ 的函数 ($F$ 中含有 $\displaystyle y^2$). 于是 $\displaystyle x^2+y^2=\frac{1}{2}$. 代入 $\displaystyle f(x,y)=0$ 算出
$$\begin{aligned} (x,y)\in \left\{\begin{array}{c}\left(-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{2}},-\frac{1}{2\sqrt{2}}\right), \left(-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{2}},\frac{1}{2\sqrt{2}}\right),\\\\ \left(\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{2}},-\frac{1}{2\sqrt{2}}\right), \left(\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{2}},\frac{1}{2\sqrt{2}}\right)\end{array}\right\}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
再由
$$\begin{aligned} F_x+F_yy'=0\Rightarrow 0=F_{xx}+F_{xy}y'+(F_{xy}+F_{yy}y')y'+F_yy''=0 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知在驻点处, $\displaystyle y'=0, y''=-\frac{F_{xx}}{F_y}=\frac{1-6x^2-2y^2}{y+2x^2y+2y^3}$ 在 $\displaystyle (I)$ 中四个点处的值分别为 $\displaystyle \frac{3}{\sqrt{2}},-\frac{3}{\sqrt{2}},\frac{3}{\sqrt{2}},-\frac{3}{\sqrt{2}}$. 故 $\displaystyle y$ 的极大值为 $\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{2}}$, 极小值为 $\displaystyle -\frac{1}{2\sqrt{2}}$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
651、 7、 设 $\displaystyle A=(a_{ij})$ 是 $\displaystyle n$ 阶实对称矩阵, 试求二次型 $\displaystyle x^\mathrm{T} Ax$ 在
$$\begin{aligned} \left\{x\in\mathbb{R}^n; x^\mathrm{T} x\leq 1\right\} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
上的最大最小值. (天津大学2023年数学分析考研试题) [多元函数微分学 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由 $\displaystyle A$ 实对称知存在正交阵 $\displaystyle P$, 使得
$$\begin{aligned} P^\mathrm{T} AP=\mathrm{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_n), \lambda_1\leq \cdots \leq\lambda_n. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
令 $\displaystyle x=Py$, 则 $\displaystyle 1\geq x^\mathrm{T} x=y^\mathrm{T} y$, 而
$$\begin{aligned} x^\mathrm{T} Ax=y^\mathrm{T} \mathrm{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_n)y=\sum_i \lambda_iy_i^2 \left\{\begin{array}{llllllllllll}\leq \lambda_n\sum_i y_i^2=\lambda_n,\\\\ \geq \lambda_1\sum_i y_i^2=\lambda_1.\end{array}\right. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
且当 $\displaystyle y=e_1, x=Pe_1$ 时, $\displaystyle x^\mathrm{T} Ax=\lambda_1$; 当 $\displaystyle y=e_n, x=Pe_n$ 时, $\displaystyle x^\mathrm{T} Ax=\lambda_n$. 故 $\displaystyle x^\mathrm{T} Ax$ 在题中集合上的最大 (小) 值是 $\displaystyle A$ 的最大 (小) 特征值.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
652、 9、 设 $\displaystyle A (1,3), B (4,2)$, 求曲线 $\displaystyle \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ ($x\geq 0, y\geq 0$) 上一点 $\displaystyle C$, 使得 $\displaystyle \triangle ABC$ 的面积最小. (同济大学2023年数学分析考研试题) [多元函数微分学 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle \triangle ABC$ 的面积 ($A (1,3,0), B (4,2,0), C (x,y,0)$, 而可作叉积)
$$\begin{aligned} S(x,y)=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AB}|=\frac{1}{2}|10-x-3y|. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
设 $\displaystyle L=10-x-3y+\lambda \left(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}-1\right)$, 则由
$$\begin{aligned} L_x-1+\frac{2\lambda x}{9}=0, L_y=-3+\frac{\lambda y}{2}=0, L_\lambda=\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}-1=0 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle \lambda\neq 0$ (否则与 $\displaystyle 0=L_x$ 矛盾). 由 $\displaystyle L_x=0=L_y$ 求出 $\displaystyle x,y$ 后代入 $\displaystyle L_\lambda=0$ 可算出 $\displaystyle x=\frac{3}{\sqrt{5}},y=\frac{4}{\sqrt{5}}$. 故
$$\begin{aligned} \min S=\frac{1}{2}\left|10-\frac{3}{\sqrt{5}}-3\cdot\frac{4}{\sqrt{5}}\right| =5-\frac{3\sqrt{5}}{2}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这里 $\displaystyle L$ 的极值点为最小值是因为 $\displaystyle \mathrm{Hess} L$ 在该点正定.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
653、 (3)、 设 $\displaystyle z=z(x,y)$ 是由 $\displaystyle z=x+y\varphi(z)$ 确定的隐函数, $\displaystyle u=f(z)$, 证明:
$$\begin{aligned} \frac{\partial^2u}{\partial y^2}=\frac{\partial}{\partial x}\left[\varphi^2(z)\frac{\partial u}{\partial x}\right]. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(武汉大学2023年数学分析考研试题) [多元函数微分学 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle z=x+y\varphi(z)$ 关于 $\displaystyle x$ 求偏导有
$$\begin{aligned} z_x=1+y\varphi'(z)z_x\Rightarrow z_x=\frac{1}{1-y\varphi'(z)}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
而关于 $\displaystyle y$ 求偏导有
$$\begin{aligned} z_y=\varphi(z)+y\varphi'(z)z_y\Rightarrow z_y=\frac{\varphi(z)}{1-y\varphi'(z)}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是 $\displaystyle z_y=\varphi(z)z_x, u_x=f'(z)z_x$,
$$\begin{aligned} u_y=f'(z)z_y=f'(z)\varphi(z)z_x=\varphi(z)u_x. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
关于 $\displaystyle x,y$ 分别求导有
$$\begin{aligned} u_{xy}&=\varphi'(z)z_xu_x+\varphi(z)u_{xx},\\\\ u_{yy}&=\varphi'(z)z_yu_x+\varphi(z)u_{xy}\\\\ &=\varphi'(z)\cdot \varphi(z)z_x\cdot u_x+\varphi(z) \left[\varphi'(z)z_xu_x+\varphi(z)u_{xx}\right]\\\\ &=2\varphi(z)\varphi'(z)z_xu_x+\varphi^2(z)u_{xx} =\frac{\partial}{\partial x}\left[\varphi^2(z)u_x\right]. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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654、 (4)、 已知 $\displaystyle u(x,y)$ 在 $\displaystyle D: x^2+y^2\leq 1$ 上连续, 且在 $\displaystyle x^2+y^2 < 1$ 满足 $\displaystyle \frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=u$. (4-1)、 证明: 若在 $\displaystyle x^2+y^2=1$ 上有 $\displaystyle u(x,y)\geq 0$, 则在 $\displaystyle x^2+y^2\leq 1$ 上也有 $\displaystyle u(x,y)\geq 0$; (4-2)、 证明: 若在 $\displaystyle x^2+y^2=1$ 上有 $\displaystyle u(x,y) > 0$, 则在 $\displaystyle x^2+y^2\leq 1$ 上也有 $\displaystyle u(x,y) > 0$. (武汉大学2023年数学分析考研试题) [多元函数微分学 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 用反证法. 若在 $\displaystyle x^2+y^2 < 1$ 内某点处 $\displaystyle u < 0$, 则 $\displaystyle u$ 在 $\displaystyle D$ 上的最小值在 $\displaystyle D$ 内某点 $\displaystyle (x_0,y_0)$ 处取得. 由极值条件知在 $\displaystyle (x_0,y_0)$ 处,
$$\begin{aligned} u_x=u_y=0, u_{xx}\geq 0, u_{yy}\geq 0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
从而 $\displaystyle 0\leq u_{xx}+u_{yy}\xlongequal{\tiny\mbox{题设}} u < 0$. 这是一个矛盾. 故有结论. (2)、 由题设, $\displaystyle m=\min_{\partial D}u > 0$, 则对 $\displaystyle \forall\ 0 < \varepsilon < \frac{m}{e}$, 设 $\displaystyle v=u-\varepsilon \mathrm{e}^x$, 则
$$\begin{aligned} v_{xx}+v_{yy}=v, (x,y)\in \partial D\Rightarrow v=u-\varepsilon \mathrm{e}^x\geq m-\varepsilon \mathrm{e} > 0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由第 1 步知 $\displaystyle v\geq 0\a u\geq\varepsilon \mathrm{e}^x > 0$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
655、 2、 解答题. (1)、 考虑
$$\begin{aligned} f(x,y)=\left\{\begin{array}{llllllllllll}(x^2+y^2)\sin\frac{1}{x^2+y^2},&(x,y)\neq (0,0),\\\\ 0,&(x,y)=(0,0)\end{array}\right. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
在点 $\displaystyle (0,0)$ 的连续性, 偏导存在性以及可微性. (武汉理工大学2023年数学分析考研试题) [多元函数微分学 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1-1)、 由
$$\begin{aligned} \left|(x^2+y^2)\sin\frac{1}{x^2+y^2}\right|\leq x^2+y^2\xrightarrow{x^2+y^2\to 0}0 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle f$ 在原点连续. (1-2)、
$$\begin{aligned} f_x(0,0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x} =\lim_{x\to 0}x\sin\frac{1}{x^2}=0, f_y(0,0)=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(1-3)、 由
$$\begin{aligned} &\left|\frac{f(x,y)-f(0,0)-f_x(0,0)x-f_y(0,0)y}{\sqrt{x^2+y^2}}\right|\\\\ =&\left|\sqrt{x^2+y^2}\sin\frac{1}{x^2+y^2}\right|\leq\sqrt{x^2+y^2}\to 0, (x,y)\to (0,0) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle f$ 在原点可微.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
656、 (4)、 设 $\displaystyle E\subset \mathbb{R}^2$ 是一非空开集, $\displaystyle f: E\to\mathbb{R}$ 满足 $\displaystyle f\in C^2(E)$. 证明 Schwarz 定理: 对任意的 $\displaystyle (a,b)\in E$, 有
$$\begin{aligned} \frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}(a,b)=\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}(a,b). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(西安交通大学2023年数学分析考研试题) [多元函数微分学 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /
$$\begin{aligned} &\quad f(a+h,b+h)-f(a+h,b)-f(a,b+h)+f(a,b)\\\\ &=\left[f(a+h,b+h)-f(a+h,b)\right]-\left[f(a,b+h)-f(a,b)\right]\\\\ &\stackrel{g(t)=f(a+th,b+h)-f(a+th,b)}{=}g(1)-g(0) =g'(\theta)\\\\ &=f_x(a+\theta h,b+h)h-f_x(a+\theta h,b)h =f_{xy}(a+\theta h,b+\tau h)h^2, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
$$\begin{aligned} &\quad f(a+h,b+h)-f(a+h,b)-f(a,b+h)+f(a,b)\\\\ &=[f(a+h,b+h)-f(a,b+h)]-[f(a+h,b)-f(a,b)]\\\\ &\stackrel{h(t)=f(a+h,b+th)-f(a,b+th)}{=}h(1)-h(0) =h'(p)\\\\ &=f_y(a+h,b+ph)h-f_y(a,b+ph)h =f_{yx}(a+qh,b+qh)h^2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由 $\displaystyle f_{xy}(x,y), f_{yx}(x,y)$ 在 $\displaystyle (a,b)$ 的连续性即知
$$\begin{aligned} &\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h,b+h)-f(a+h,b)-f(a,b+h)+f(a,b)}{h^2}\\\\ =&\left\{\begin{array}{llllllllllll} f_{xy}(a,b),\\\\ f_{yx}(a,b). \end{array}\right. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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657、 4、 (15 分) 设 $\displaystyle z=z(x,y)$ 是方程 $\displaystyle z^3=1+3xyz$ 所确定的隐函数, 求 $\displaystyle \frac{\partial^2z}{\partial x\partial y}$. (西北大学2023年数学分析考研试题) [多元函数微分学 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由 $\displaystyle z^3=1+3xyz$ 知
$$\begin{aligned} 3z^2z_x=3yz+3xyz_x\Rightarrow z^2z_x-xyz_x=yz\left(\Rightarrow z_x=\frac{yz}{z^2-xy}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
同理, $\displaystyle z_y=\frac{xz}{z^2-xy}$. 进一步,
$$\begin{aligned} &2zz_y\cdot z_x+z^2z_{xy}-xz_x-xyz_{xy}=z+yz_y\\\\ \Rightarrow&z_{xy}=\frac{z+yz_y+xz_y-2zz_xz_y}{z^2-xy}=\frac{(x^2y^2+2xyz^2-z^4)z}{(xy-z^2)^3}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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658、 7、 (20 分) 求 $\displaystyle u=ax^2+by^2+cz^2\ (a > 0, b > 0, c > 0)$ 在 $\displaystyle x+y+z=1$ 条件下取到的最小值. (西南财经大学2023年数学分析考研试题) [多元函数微分学 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle L=ax^2+by^2+cz^2+\lambda(x+y+z-1)$, 则由
$$\begin{aligned} &L_x=2ax+\lambda=0, L_y=2by+\lambda=0, L_z=2cz+\lambda=0,\\\\ &L_\lambda=x+y+z-1=0 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知
$$\begin{aligned} x=\frac{bc}{ab+bc+ca}, y=\frac{ac}{ab+bc+ca}, z=\frac{ab}{ab+bc+ca}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由 $\displaystyle u$ 的形式知 $\displaystyle u$ 能取到最小值, 而 $\displaystyle \min u=\frac{abc}{ab+bc+ca}$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
659、 (3)、 (10 分) 设 $\displaystyle f(x,y)$ 为可微函数, $\displaystyle f(1,1)=1, f_x(1,1)=a, f_y(1,1)=b$. 记
$$\begin{aligned} \varphi(x)=f\left(x,f\left(x,f(x,x)\right)\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
求 $\displaystyle \varphi'(1)$. (西南大学2023年数学分析考研试题) [多元函数微分学 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由
$$\begin{aligned} &\varphi'(x)=f_1\left(\left(x,f\left(x,f(x,x)\right)\right)\right)\\\\ & +f_2\left(\left(x,f\left(x,f(x,x)\right)\right)\right)\left[\begin{array}{c}f_1\left(x,f(x,x)\right)\\\\ +f_2\left(x,f(x,x)\right)\left(f_1(x,x)+f_2(x,x)\right)\end{array}\right] \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle \varphi'(1)=a+b[a+b(a+b)]=a+ab+ab^2+b^3$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
660、 5、 (10 分) 设 $\displaystyle f(x,y)=\left\{\begin{array}{llllllllllll}xy\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2},&x^2+y^2\neq 0,\\\\ 0,&x^2+y^2=0.\end{array}\right.$ 证明: $\displaystyle f_{xy}''(0,0)\neq f_{yx}''(0,0)$. (西南交通大学2023年数学分析考研试题) [多元函数微分学 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由 $\displaystyle f_x(0,0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{0-0}{x}=0$,
$$\begin{aligned} y\neq 0\Rightarrow f_x(0,y)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x,y)-f(0,y)}{x} =\lim_{x\to 0}y\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}=-y \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知
$$\begin{aligned} f_{xy}(0,0)=\lim_{y\to 0}\frac{f_x(0,y)-f_x(0,0)}{y}=-1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
同理或利用反对称性知 $\displaystyle f_{yx}(0,0)=1$. 故有结论.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
661、 9、 (20 分) 设 $\displaystyle z=f(x,y)$ 是二次连续可微函数, 又有关系式 $\displaystyle u=x+ay, v=x-ay$, 其中 $\displaystyle a$ 是不为 $\displaystyle 0$ 的常数. 证明:
$$\begin{aligned} a^2\frac{\partial^2z}{\partial x^2}-\frac{\partial^2z}{\partial y^2}=4a^2\frac{\partial^2z}{\partial u\partial v}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(西南交通大学2023年数学分析考研试题) [多元函数微分学 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由 $\displaystyle z_x=z_u+z_v, z_y=a(z_u-z_v)$ 知
$$\begin{aligned} z_{xx}=&(z_{uu}+z_{uv})+(z_{uv}+z_{vv}) =z_{uu}+2z_{uv}+z_{vv},\\\\ z_{yy}=&a\left[a(z_{uu}-z_{uv})-a(z_{uv}-z_{vv})\right] =a^2(z_{uu}-2z_{uv}+z_{vv}). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle a^2z_{xx}-z_{yy}=4a^2z_{uv}$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
662、 7、 (15 分) 设 $\displaystyle z=\mathrm{e}^x(\cos y+x\sin y)$, 求 $\displaystyle z$ 的一阶偏导数和二阶偏导数. (新疆大学2023年数学分析考研试题) [多元函数微分学 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /
$$\begin{aligned} z_x=&\mathrm{e}^x(\cos y+\sin y+x\sin y), z_y=\mathrm{e}^x(x\cos y-\sin y),\\\\ z_{xx}=&\mathrm{e}^x(\cos y+2\sin y+x\sin y), z_{xy}=\mathrm{e}^x(\cos y+x\cos y-\sin y),\\\\ z_{yy}=&-\mathrm{e}^x(\cos y+x\sin y). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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663、 8、 (15 分) 求曲面 $\displaystyle x^2+2y^2+3z^2=21$ 的切平面, 使之平行于平面 $\displaystyle x+4y+6z=0$. (新疆大学2023年数学分析考研试题) [多元函数微分学 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 曲面在切点 $\displaystyle (x,y,z)$ 处的法向量
$$\begin{aligned} &\left\{x,2y,3z\right\}\parallel\left\{1,4,6\right\}\Rightarrow x=t, y=2t, z=2t\\\\ \stackrel{x^2+2y^2+3z^2=1}{\Rightarrow}&t=\pm 1 \Rightarrow(x,y,z)=(\pm 1, \pm 2, \pi 2). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故切平面方程为
$$\begin{aligned} 0=\pm 1[x-(\pm 1)]\pm 4[y-(\pm 2)]\pm 6[z-(\pm 2)] \Leftrightarrow x+4y+6z=\pm 21. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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664、 9、 (15 分) 求 $\displaystyle f(x,y,z)=x+2y^2+3z$ 在约束条件 $\displaystyle x^2+y^2+z^2=1$ 下的最值. (新疆大学2023年数学分析考研试题) [多元函数微分学 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle L=x+2y^2+3z+\lambda(x^2+y^2+z^2-1)$, 则由
$$\begin{aligned} &L_x=1+2\lambda x=0, L_y=4y+2\lambda y=0, \\\\ &L_z=3+2\lambda z=0, L_\lambda=x^2+y^2+z^2-1=0 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle \lambda \neq 0$ (若不然, 与 $\displaystyle L_x=0$ 矛盾). 对 $\displaystyle y=0, y\neq 0$ 分情况讨论后知
$$\begin{aligned} (x,y,z)\in \left\{\left(\frac{1}{4},\pm\frac{\sqrt{6}}{4},\frac{3}{4}\right), \left(\pm \frac{1}{\sqrt{10}},0,\pm\frac{3}{\sqrt{10}}\right)\right\}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故
$$\begin{aligned} \max_{x^2+y^2+z^2=1}f=&f\left(\frac{1}{4},\pm\frac{\sqrt{6}}{4},\frac{3}{4}\right)=\frac{13}{4},\\\\ \min_{x^+y^2+z^2=1}f=&f\left(- \frac{1}{\sqrt{10}},0,-\frac{3}{\sqrt{10}}\right)=-\sqrt{10}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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665、 (3)、 曲面 $\displaystyle z=x^2+y^2-1$ 在 $\displaystyle (2,1,4)$ 处的切平面方程为 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (云南大学2023年数学分析考研试题) [多元函数微分学 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle F=x^2+y^2-z-1$, 则 $\displaystyle S$ 在点 $\displaystyle P(2,1,4)$ 处的法向量为
$$\begin{aligned} \mathrm{ grad} F|_P=\left\{2x,2y,-1\right\}|_P=\left\{4,2,-1\right\}, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
而切平面方程为
$$\begin{aligned} 0=4\cdot(x-2)-2\cdot (y-1)-1\cdot(z-4)=4x+2y-z-6. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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666、 3、 (15 分) 设 $\displaystyle Q(x)=x^2+ax+b$, $\displaystyle a,b$ 取何值时, $\displaystyle \int_{-1}^1 Q^2(x)\mathrm{ d} x$ 取最小值. (云南大学2023年数学分析考研试题) [多元函数微分学 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle F(a,b)=Q^2(x)\mathrm{ d} x$, 则由
$$\begin{aligned} 0=&F_a=\int_{-1}^1 2QQ_a\mathrm{ d} x=\int_{-1}^1 2(x^2+ax+b)\cdot x\mathrm{ d} x\xlongequal{\tiny\mbox{对称性}} \frac{4a}{3},\\\\ 0=&F_b=\int_{-1}^1 2QQ_b\mathrm{ d} x=\int_{-1}^1 2(x^2+ax+b)\mathrm{ d} x\xlongequal{\tiny\mbox{对称性}} \frac{4}{3}+4b \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle a=0, b=-\frac{1}{3}$. 又由
$$\begin{aligned} F_{aa}=\int_{-1}^1 2x^2\mathrm{ d} x > 0, F_{ab}=0, F_{bb}\int_{-1}^1 2\mathrm{ d} x > 0 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle F$ 在 $\displaystyle \left(0,-\frac{1}{3}\right)$ 处取得最小值 $\displaystyle F\left(0,-\frac{1}{3}\right)=\frac{8}{45}$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
667、 (4)、 设函数 $\displaystyle f(x,y)=\left\{\begin{array}{llllllllllll}\frac{x^2y}{x^2+y^2},&x^2+y^2\neq 0,\\\\ 0,&x^2+y^2=0,\end{array}\right.$ 则下列说法不正确的是 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$.
A. $\displaystyle f(x,y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 点连续
B. $\displaystyle f_x'(0,0)$ 与 $\displaystyle f_y'(0,0)$ 都存在
C. $\displaystyle f_y'(x,y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处连续
D. $\displaystyle f_x'(x,y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 点不连续 (长安大学2023年数学分析考研试题) [多元函数微分学 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle C$. 当 $\displaystyle (x,y)\neq (0,0)$ 时,
$$\begin{aligned} f_y'=-\frac{2x^2y^2}{(x^2+y^2)^2}+\frac{x^2}{x^2+y^2} \stackrel{y=kx}{=}\frac{1-k^2}{(1+k^2)^2}\not\to 0=f_y'(0,0). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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发表于 2023-3-5 09:11:20