张祖锦2023年数学专业真题分类70天之第27天
599、 12、 设 $\displaystyle n$ 为正整数, 函数
$$\begin{aligned} f(x,y)=\left\{\begin{array}{llllllllllll}\frac{x^ny}{\sqrt{x^2+y^2}},&(x,y)\neq (0,0),\\\\ 0,&(x,y)=(0,0)\end{array}\right.. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
讨论 $\displaystyle f(x,y)$ 在原点处的可微性. (北京邮电大学2023年数学分析考研试题) [多元函数微分学 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 易知 $\displaystyle f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$. 由
$$\begin{aligned} &\left|\frac{f(x,y)-f(0,0)-f_x(0,0)x-f_y(0,0)y}{\sqrt{x^2+y^2}}\right|\\\\ =&\left|\frac{x^ny}{x^2+y^2}\right|\left\{\begin{array}{llllllllllll}\leq \frac{|xy|}{x^2+y^2}|x|^{n-1}\to 0,&n\geq 2,\\\\ \stackrel{y=kx}{=}\frac{|k|}{1+k^2}\not \to 0,&n=1\end{array}\right. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知当 $\displaystyle n\geq 2$ 时, $\displaystyle f$ 在原点可微; 当 $\displaystyle n=1$ 时, $\displaystyle f$ 在原点不可微.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
600、 (2)、 利用变换 $\displaystyle u=x+\mathrm{e}^y, v=x-\mathrm{e}^y$ 求解微分方程
$$\begin{aligned} \mathrm{e}^{2y}\frac{\partial^2z}{\partial x^2}-\frac{\partial^2z}{\partial y^2}+\frac{\partial z}{\partial y}=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(大连理工大学2023年数学分析考研试题) [多元函数微分学 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由 $\displaystyle z_x=z_u+z_v, z_y=\mathrm{e}^y(z_u-z_v)$ 知
$$\begin{aligned} z_{xx}=&z_{uu}+2z_{uv}+z_{vv},\\\\ z_{yy}=&\mathrm{e}^y(z_u-z_v)+\mathrm{e}^{2y}(z_{uu}-2z_{uv}+z_{vv}). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故
$$\begin{aligned} &0=\mathrm{e}^{2y}z_{xx}-z_{yy}+z_y=4\mathrm{e}^{2y}z_{uv} \Rightarrow z_{uv}=0\\\\ \Rightarrow& z_u=\varphi(u) \Rightarrow z=F(u)+G(v)=F(x+\mathrm{e}^y)+G(x-\mathrm{e}^y), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
其中 $\displaystyle F,G$ 是任意二阶连续可微函数.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
601、 (3)、 计算
$$\begin{aligned} f(x,y)=5x^2+5y^2-8xy \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
在条件 $\displaystyle x^2+y^2-xy=75$ 下的最小值. (大连理工大学2023年数学分析考研试题) [多元函数微分学 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设
$$\begin{aligned} L=5x^2+5y^2-8xy+\lambda(x^2+y^2-xy-75), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则由
$$\begin{aligned} L_x=&10x-8y+\lambda(2x-y)=0,\\\\ L_y=&-8x+10y+\lambda(-x+2y)=0,\\\\ L_\lambda=&x^2+y^2-xy-75=0 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 (从前两个等式中求出 $\displaystyle x,y$ 代入最后一个式子)
$$\begin{aligned} (x,y)\in \left\{(-5,5), (5,-5), (-5\sqrt{3},-5\sqrt{3}), (5\sqrt{3}, 5\sqrt{3})\right\}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
依次求出 $\displaystyle f$ 在上述四个点的值为 $\displaystyle 450, 450, 150, 150$. 而 $\displaystyle \min f=150$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
602、 4、 求证: 方程 $\displaystyle x=\int_0^y \frac{\mathrm{ d} t}{\sqrt{1-t^4}}$ 在 $\displaystyle x=0$ 的邻域内决定了连续可微函数 $\displaystyle y=y(x)$, 满足
$$\begin{aligned} y'(x)=\sqrt{1-y^4(x)}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(大连理工大学2023年数学分析考研试题) [多元函数微分学 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle F=\int_0^y \frac{\mathrm{ d} t}{\sqrt{1-t^4}}-x$, 则由
$$\begin{aligned} F_y(0,0)=\left.\frac{1}{\sqrt{1-y^4}}\right|_{(x,y)=(0,0)}=1\neq 0 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
及隐函数存在定理知题中隐函数方程在 $\displaystyle x=0$ 的邻域内决定了连续可微函数 $\displaystyle y=y(x)$, 且
$$\begin{aligned} y'=-\frac{F_x}{F_y} =-\frac{-1}{\sqrt{1-y^4}}=\sqrt{1-y^4}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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603、 (4)、 曲面 $\displaystyle z-\mathrm{e}^z-xy+3=0$ 在点 $\displaystyle (2,1,0)$ 处的法线方程为 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (电子科技大学2023年数学分析考研试题) [多元函数微分学 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle F=z-\mathrm{e}^z-xy+3$, 则法向量为
$$\begin{aligned} \vec{n}=(F_x,F_y,F_z)|_{P(2,1,0)}=(-1,-2,0), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
而法线方程为 $\displaystyle \frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{0}$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
604、 (5)、 设 $\displaystyle u=\mathrm{e}^x+\sin y+t, x=st, y=s+t$, 则 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}=\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (电子科技大学2023年数学分析考研试题) [多元函数微分学 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}=\mathrm{e}^x s+\cos y+1$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
605、 (2)、 设 $\displaystyle z=z(x,y)$ 是由方程
$$\begin{aligned} 2x^2+y^2+z^2+2xy-2x-2y-4z+4=0 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
确定的二元函数. 求 $\displaystyle z=z(x,y)$ 的极值点与极值. (电子科技大学2023年数学分析考研试题) [多元函数微分学 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设
$$\begin{aligned} L=z+\lambda\left(2x^2+y^2+z^2+2xy-2x-2y-4z+4\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则由
$$\begin{aligned} &L_x=\lambda(4x+2y-2)=0, L_y=\lambda(2y+2x-2)=0, \\\\ &L_z=1+\lambda(2z-4)=0, L_\lambda=\boxed{\begin{array}{c}2x^2+y^2+z^2+2xy\\\\-2x-2y-4z+4\end{array}}=0 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知
$$\begin{aligned} \lambda\neq 0\Rightarrow x=0, y=1\Rightarrow z^2-4z+3=0\Rightarrow z=1\mbox{或} 3. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
易知条件所表示的曲面是椭球, 而 $\displaystyle z$ 的最大值为 $\displaystyle 3$, 最小值为 $\displaystyle 1$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
606、 4、 设自变量变换 $\displaystyle \left\{\begin{array}{llllllllllll}u=x-2y,\\\\ v=x+ay\end{array}\right.$ 将
$$\begin{aligned} 6\frac{\partial^2z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2z}{\partial x\partial y}-\frac{\partial^2z}{\partial y^2}=0 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
化简为 $\displaystyle \frac{\partial^2z}{\partial u\partial v}=0$. 求 $\displaystyle a$. (东北大学2023年数学分析考研试题) [多元函数微分学 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由 $\displaystyle z_x=z_u+z_v, z_y=-2z_u+az_v$,
$$\begin{aligned} z_{xx}=&z_{uu}+2z_{uv}+z_{vv},\\\\ z_{xy}=&-2z_{uv}+(a-2)z_{uv}+az_{vv},\\\\ z_{yy}=&4z_{uu}-4az_{uv}+a^2z_{vv} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知
$$\begin{aligned} 0=&6z_{xx}+z_{xy}-z_{yy} =5(a+2)z_{uv}+(3-a)(a+2)z_{uv}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle a=3$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
607、 9、 已知 $\displaystyle a,b,c$ 均为正数, 证明不等式
$$\begin{aligned} abc^3\leq 27\left(\frac{a+b+c}{5}\right)^5. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(东北大学2023年数学分析考研试题) [多元函数微分学 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设
$$\begin{aligned} L(x,y,z;\lambda)=\ln x+\ln y+3\ln z+\lambda(x^2+y^2+z^2-5r^2), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则由
$$\begin{aligned} L_x&=\frac{1}{x}+2\lambda x=0\Leftrightarrow x=-\frac{1}{2\lambda},\\\\ L_y&=\frac{1}{y}+2\lambda y=0\Leftrightarrow y=-\frac{1}{2\lambda},\\\\ L_z&=\frac{3}{z}+2\lambda z=0\Leftrightarrow z=-\frac{3}{2\lambda},\\\\ L_\lambda&=x^2+y^2+z^2-5r^2 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知
$$\begin{aligned} 5r^2=-\frac{5}{2\lambda}&\Leftrightarrow -\frac{1}{2\lambda}=r^2\\\\ &\Rightarrow x=r, y=r, z=\sqrt{3}r\left(x,y,z > 0\right)\\\\ &\Rightarrow f(r, r, \sqrt{3}r)=2\ln r+3\ln \left(\sqrt{3}r\right) =5\ln r+\frac{3}{2}\ln 3. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
又 $\displaystyle (r,r, \sqrt{3}r)$ 是 $\displaystyle f$ 的唯一极值点, 且
$$\begin{aligned} \lim_{x\to 0}f=\lim_{y\to 0}f=\lim_{z\to 0}f=-\infty. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle 5\ln r+\frac{3}{2}\ln 3$ 是 $\displaystyle f$ 的最大值. 进一步,
$$\begin{aligned} &\ln (abc^3)=2\ln \sqrt{abc^3} =2\left[\ln \sqrt{a}+\ln \sqrt{b}+3\ln \sqrt{c}\right]\\\\ =&f\left(\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{c}\right) \leq 2\left[5\ln \sqrt{\frac{a+b+c}{5}}+\frac{3}{2}\ln 3\right]\\\\ =&5\ln \frac{a+b+c}{5}+3\ln 3=\ln \left[27\left(\frac{a+b+c}{5}\right)^5\right]. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故有结论.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
608、 2、 设 $\displaystyle u=u(x,y,z), v=v(x,y,z), w=w(x,y,z)$ 由
$$\begin{aligned} x=u+v+w, y=uv+uw+vw, z=uvw \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
确定, 求 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z}$. (东北师范大学2023年数学分析考研试题) [多元函数微分学 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 关于 $\displaystyle x$ 求偏导有
$$\begin{aligned} 1=&u_x+v_x+w_x,\\\\ 0=&u_xv+uv_x+u_xw+uw_x+v_xw+vw_x,\\\\ 0=&u_xvw+uv_xw+uvw_x. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
写成关于 $\displaystyle u_x,v_x,w_x$ 的线性方程组 ($u,v,w$ 看成已知量), 通过 Crame 法则容易求得 $\displaystyle u_x=\frac{u^2}{(u-v)(u-w)}$. 同理,
$$\begin{aligned} 1=&u_y+v_y+w_y,\\\\ 0=&u_yv+uv_y+u_yw+uw_y+v_yw+vw_y,\\\\ 0=&u_yvw+uv_yw+uvw_y \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
蕴含 $\displaystyle u_y=-\frac{u}{(u-v)(u-w)}$;
$$\begin{aligned} 1=&u_z+v_z+w_z,\\\\ 0=&u_zv+uv_z+u_zw+uw_z+v_zw+vw_z,\\\\ 0=&u_zvw+uv_zw+uvw_z \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
蕴含 $\displaystyle u_z=\frac{1}{(u-v)(u-w)}$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
609、 6、 一个极值题, 边界和内部讨论. [题目不全, 跟锦数学微信公众号没法做哦.] (东南大学2023年数学分析考研试题) [多元函数微分学 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / [题目不全, 跟锦数学微信公众号没法做哦.]跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
610、 9、 $\displaystyle f(x,y)=\left\{\begin{array}{llllllllllll}\sqrt{|xy|} \sin \frac{1}{x^4+y^4},&x^2+y^2\neq 0,\\\\ 0,&x^2+y^2=0.\end{array}\right.$ (1)、 $\displaystyle f(x,y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处是否可偏导? (2)、 $\displaystyle f(x,y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处是否可微? (东南大学2023年数学分析考研试题) [多元函数微分学 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle f_x(0,0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x}=0$. 同理, $\displaystyle f_y(0,0)=0$. 由
$$\begin{aligned} &\left|\frac{f(x,y)-f(0,0)-f_x(0,0)x-f_y(0,0)y}{\sqrt{x^2+y^2}}\right|\\\\ =&\left|\frac{\sqrt{|xy|}}{\sqrt{x^2+y^2}} \sin \frac{1}{x^4+y^4}\right| \stackrel{x=\left[\frac{1}{\left(2k\pi+\frac{\pi}{2}\right)(1+k^4)}\right]^\frac{1}{4}, y=kx}{=}\sqrt{\frac{k}{1+k^2}}\not\to 0 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle f$ 在原点不可微.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
611、 5、 (20 分) 设 $\displaystyle f(x,y)=|x-y|\varphi(x,y)$, 其中 $\displaystyle \varphi(x,y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 的某邻域内连续. (1)、 $\displaystyle \varphi(x,y)$ 在什么条件下, 偏导数 $\displaystyle f_x(0,0), f_y(0,0)$ 存在? (2)、 $\displaystyle \varphi(x,y)$ 在什么条件下, $\displaystyle f(x,y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处可微? (福州大学2023年数学分析考研试题) [多元函数微分学 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 由 $\displaystyle \frac{f(x,0)-f(0,0)}{x}=\frac{|x|}{x}\varphi(x,0)\to \left\{\begin{array}{llllllllllll}\varphi(0,0),&x\to 0^+,\\\\ -\varphi(0,0),&x\to 0^-\end{array}\right.$ 知当且仅当 $\displaystyle \varphi(0,0)=0$ 时,$f_x(0,0)$ 存在且为 $\displaystyle 0$, 同理, $\displaystyle f_y(0,0)$ 存在且为 $\displaystyle 0$. (2)、 当 $\displaystyle \varphi(0,0)=0$ 时, 由有界量 $\displaystyle \frac{|x|}{x}$ 乘以无穷小量 $\displaystyle \varphi(x,0)$ 或 $\displaystyle \varphi(0,y)$ 还是无穷小量知 $\displaystyle f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$. 再由
$$\begin{aligned} &\left|\frac{f(x,y)-f(0,0)-f_x(0,0)x-f_y(0,0)y}{\sqrt{x^2+y^2}}\right|\\\\ =&\frac{|x-y|\cdot |\varphi(x,y)|}{\sqrt{x^2+y^2}} \leq 2|\varphi(x,y)|\xrightarrow{x\to 0, y\to 0}0 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle f$ 在原点可微.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
612、 (5)、 求椭圆 $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\ (a,b > 0)$ 在第一象限的一条切线, 使其被坐标轴所截得的线段最短. (广西大学2023年数学分析考研试题) [多元函数微分学 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 椭圆在 $\displaystyle (x,y)$ 处的切线为 $\displaystyle \frac{xX}{a^2}+\frac{yY}{b^2}=1$, 它在 $\displaystyle x,y$ 轴上的截距分别为 $\displaystyle \frac{a^2}{x}, \frac{b^2}{y}$. 故所截线段长度
$$\begin{aligned} &L(x,y)=\sqrt{\frac{a^4}{x^2}+\frac{b^4}{y^2}} =\sqrt{\left(\frac{a^4}{x^2}+\frac{b^4}{y^2}\right)\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\right)}\\\\ \stackrel{\tiny\mbox{Cauchy}}{\geq}& \sqrt{\left[\frac{a^2}{x}\cdot \frac{x}{a}+\frac{b^2}{y}\cdot\frac{y}{b}\right]^2}=a+b, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
且等号成立 $\displaystyle \Leftrightarrow \frac{x^2}{a^3}=\frac{y^2}{b^3}\Leftrightarrow x=a\sqrt{\frac{a}{a+b}}, y=b\sqrt{\frac{b}{a+b}}$. 故而切线方程为 $\displaystyle \frac{X}{\sqrt{a(a+b)}}+\frac{Y}{b(a+b)}=1$, 其中 $\displaystyle X,Y$ 为动点.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
613、 8、 设 $\displaystyle f(x,y)=\varphi(|xy|)$, 其中 $\displaystyle \varphi$ 满足 $\displaystyle \varphi(0)=0$, 且存在 $\displaystyle \delta > 0$, 使得 $\displaystyle |u| < \delta$ 时, 有 $\displaystyle |\varphi(u)|\leq u^2$. 证明 $\displaystyle f(x,y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处可微. (哈尔滨工业大学2023年数学分析考研试题) [多元函数微分学 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由题设知 $\displaystyle \varphi(0)=0$, 而 $\displaystyle f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$. 由
$$\begin{aligned} &\frac{\left|f(x,y)-f(0,0)-0\cdot x-0\cdot y\right|}{\sqrt{x^2+y^2}} \leq \frac{\left|xy\right|^2}{\sqrt{x^2+y^2}}\\\\ \leq& \frac{\left(\frac{x^2+y^2}{2}\right)^2}{\sqrt{x^2+y^2}} =\frac{(x^2+y^2)^\frac{3}{2}}{4}\to 0\quad \left(x^2+y^2\to 0\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
即知 $\displaystyle f$ 在原点可微.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
614、 2、 (10 分) 设 $\displaystyle u=f(\xi,\eta)$, 其中 $\displaystyle \xi=r, \eta=r\cos \theta$, 求 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial r}, \frac{\partial u}{\partial\theta}$. (合肥工业大学2023年数学分析考研试题) [多元函数微分学 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 直接计算有
$$\begin{aligned} u_r=f_\xi'+f_\eta'\cos \theta, u_\theta=-f_\eta'r\sin\theta. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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615、 (3)、 证明函数
$$\begin{aligned} f(x,y)=\left\{\begin{array}{llllllllllll}\frac{xy^2}{x^2+y^2},&x^2+y^2\neq 0,\\\\ 0,&x^2+y^2=0\end{array}\right. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
在 $\displaystyle (0,0)$ 处各个方向的方向导数存在, 但它在 $\displaystyle (0,0)$ 处不可微. (河海大学2023年数学分析考研试题) [多元函数微分学 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 对任一单位向量 $\displaystyle \vec{l}=(\cos\alpha,\cos\beta)$,
$$\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial \vec{l}}(0,0)=\lim_{t\to 0^+}\frac{f(t\cos\alpha,t\cos\beta)-f(0,0)}{t} =\cos\alpha\cos^2\beta. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
但由
$$\begin{aligned} &\left|\frac{f(x,y)-f(0,0)-f_x(0,0)x-f_y(0,0)y}{\sqrt{x^2+y^2}}\right|\\\\ =&\left|\frac{xy^2}{(x^2+y^2)^\frac{3}{2}}\right| \stackrel{y=kx}{=}\frac{k^2}{(1+k^2)^\frac{3}{2}} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle f$ 在原点处不可微.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
616、 (3)、 设 $\displaystyle u=f(x,y,z), g(x,y,z)=0, y=\sin x$, 其中 $\displaystyle f$ 与 $\displaystyle g$ 都有一阶连续偏导数, 且 $\displaystyle \frac{\partial g}{\partial z}\neq 0$. 求 $\displaystyle \frac{\mathrm{ d} u}{\mathrm{ d} x}$. (河南大学2023年数学分析考研试题) [多元函数微分学 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /
$$\begin{aligned} &g_x+g_y\cos x+g_z\frac{\mathrm{ d} z}{\mathrm{ d} x}=0\Rightarrow \frac{\mathrm{ d} z}{\mathrm{ d} x}=-\frac{g_x+g_y\cos x}{g_z}\\\\ \Rightarrow&\frac{\mathrm{ d} u}{\mathrm{ d} x}=f_x+f_y\cos x+f_z\frac{\mathrm{ d} z}{\mathrm{ d} x} =f_x+f_y\cos x-\frac{f_z}{g_z}(g_x+g_y\cos x). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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617、 4、 求曲线 $\displaystyle \left\{\begin{array}{llllllllllll}x^2+y^2+z^2=6,\\\\ x+y+z=0\end{array}\right.$ 在 $\displaystyle (1,-2,1)$ 处的切线与法平面方程. (黑龙江大学2023年数学分析考研试题) [多元函数微分学 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle F=x^2+y^2+z^2, G=x+y+z$, 则曲线在 $\displaystyle P(1,-2,1)$ 处的法向量为
$$\begin{aligned} \vec{n}=&\left.\frac{1}{2}\mathrm{ grad} F\times \mathrm{ grad} G\right|_P =\left\{x,y,z\right\}\times \left\{1,1,1\right\}|_P\\\\ =&\left\{y-z,z-x,x-y\right\}|_P=\left\{-3,0,3\right\}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故切线方程为 $\displaystyle \frac{x-1}{-1}=\frac{y+2}{0}=\frac{z-1}{1}$, 法平面方程为
$$\begin{aligned} 0=\left\{-1,0,1\right\}\cdot \left\{x-1,y+2,z-1\right\}=z-x. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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618、 7、 设 $\displaystyle f(x,y)$ 有二阶连续偏导数, $\displaystyle g(x,y)=f(\mathrm{e}^{xy},x^2+y^2)$, 且
$$\begin{aligned} f(x,y)=1-x-y+o\left(\sqrt{(x-1)^2+y^2}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
证明: $\displaystyle g(x,y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处取得极值, 并判断此极值是极大值还是极小值, 并求该极值. (湖南大学2023年数学分析考研试题) [多元函数微分学 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由题设, $\displaystyle g(0,0)=f(1,0)=0$. 进一步,
$$\begin{aligned} &g(x,y)=f\left(\mathrm{e}^{xy},x^2+y^2\right)\\\\ =&1-\mathrm{e}^{xy}-(x^2+y^2)+o\left(\sqrt{(\mathrm{e}^{xy}-1)^2+(x^2+y^2)^2}\right)\\\\ =&-xy-(x^2+y^2)+o(x^2+y^2) =-(x,y)A \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}x\\\\y\end{array}\right)+o(x^2+y^2), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
其中 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&\frac{1}{2}\\\\ \frac{1}{2}&1\end{array}\right)$. 由 $\displaystyle A$ 的特征值为 $\displaystyle \frac{3}{2},\frac{1}{2}$ 知存在正交阵 $\displaystyle P$ 使得
$$\begin{aligned} P^\mathrm{T} AP=\mathrm{diag}\left(\frac{3}{2},\frac{1}{2}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
设 $\displaystyle \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}x\\\\y\end{array}\right)=P\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}u\\\\v\end{array}\right)$, 则
$$\begin{aligned} &(x,y)A \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}x\\\\y\end{array}\right) =(u,v)P^\mathrm{T} AP\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}u\\\\v\end{array}\right) =(u,v)\mathrm{diag}\left(\frac{3}{2},\frac{1}{2}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}u\\\\v\end{array}\right)\\\\ =&\frac{3}{2}u^2+\frac{1}{2}v^2\geq \frac{1}{2}(u^2+v^2) =\frac{1}{2}(x^2+y^2). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故
$$\begin{aligned} g(x,y)-g(0,0)=&g(x,y) \leq -\frac{1}{2}(x^2+y^2)+o(x^2+y^2)\\\\ \leq& -\frac{1}{4}(x^2+y^2), x^2+y^2\ll 1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这表明 $\displaystyle g$ 在原点处取得极大值 $\displaystyle g(0,0)=0$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
619、 8、 设 $\displaystyle f(x,y)=\left\{\begin{array}{llllllllllll}\frac{\sin xy}{y},&y\neq 0,\\\\ 0,&y=0.\end{array}\right.$ 讨论其间断点, 并求间断点处的偏导数和方向导数. (湖南大学2023年数学分析考研试题) [多元函数微分学 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由
$$\begin{aligned} \lim_{(x,y)\to (x_0,0)}f(x,y) =\lim_{(x,y)\to (x_0,0)}\frac{\sin (x_0y)}{y} \xlongequal[\tiny\mbox{代换}]{\tiny\mbox{等价}} \lim_{(x,y)\to (x_0,0)}\frac{x_0y}{y}=x_0 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle (x_0,0)$ 是 $\displaystyle f$ 的可去间断点, 且
$$\begin{aligned} f_x(x_0,0)=&\lim_{x\to x_0} \frac{f(x,0)-f(x_0,0)}{x-x_0} =\lim_{x\to x_0} \frac{0-0}{x-x_0}=0,\\\\ f_y(x_0,0)=&\lim_{y\to 0}\frac{f(x_0,y)-f(x_0,0)}{y} =\lim_{y\to 0}\frac{\sin (x_0y)}{y^2} =\left\{\begin{array}{llllllllllll}0,&x_0=0,\\\\ \mbox{不存在},&x_0\neq 0.\end{array}\right. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
再者, 对任一方向向量 $\displaystyle \vec{l}=(\cos\alpha,\cos\beta)$,
$$\begin{aligned} &\frac{\partial f}{\partial \vec{l}}=\lim_{t\to 0^+}\frac{f(x_0+t\cos \alpha, t\cos \beta)-f(x_0,0)}{t}\\\\ =&\left\{\begin{array}{llllllllllll}0,&\cos\beta=0,\\\\ \lim_{t\to 0^+}\frac{\sin[(x_0+t\cos \alpha)t\cos \beta]}{t^2\cos\beta}\\\\ =\left\{\begin{array}{llllllllllll}\cos\alpha,&x_0=0,\\\\ \xlongequal{\tiny\mbox{对称性}} \lim_{t\to 0^+}\frac{x_0t\cos\beta}{t^2\cos\beta} =\lim_{t\to 0^+}\frac{x_0}{t}\mbox{不存在},&x_0\neq 0,\end{array}\right.&\cos\beta\neq 0.\end{array}\right. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
$$\begin{aligned} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
$$\begin{aligned} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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620、 5、 给定曲面 $\displaystyle f(ax-bz,ay-cz)=0$, 其中 $\displaystyle f$ 具有连续的偏导数, $\displaystyle a,b,c$ 是不同时为 $\displaystyle 0$ 的常数. 证明: 曲面在任意点处的切平面与某一定直线平行. (华东理工大学2023年数学分析考研试题) [多元函数微分学 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle F=f(ax-bz,ay-cz)$, 则由
$$\begin{aligned} \mathrm{ grad} F\cdot\left\{b,c,a\right\}=&\left\{af_1,af_2,-bf_1-cf_2\right\}\cdot \left\{b,c,a\right\}=0 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知曲面在任意点处的切平面的法向量都与 $\displaystyle \left\{b,c,a\right\}$ 垂直, 而与定直线 $\displaystyle \frac{x}{b}=\frac{y}{c}=\frac{z}{a}$ 平行.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
621、 6、 将函数 $\displaystyle f(x,y)=\frac{y}{x}$ 在点 $\displaystyle (1,1)$ 处展开为带 Peano 型余项的 Taylor 公式, 至三次项. (华东理工大学2023年数学分析考研试题) [多元函数微分学 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /
$$\begin{aligned} &f(x,y)=\frac{1+(y-1)}{1+(x-1)}=[1+(y-1)]\left[\begin{array}{c}1-(x-1)+(x-1)^2\\\\-(x-1)^3+o\left((x-1)^3\right)\end{array}\right]\\\\ =&1-(x-1)+(y-1)+(x-1)^2-(x-1)(y-1)+(x-1)^2(y-1)\\\\ &-(x-1)^3+o\left((x-1)^3+(y-1)^3\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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发表于 2023-3-5 09:10:21