张祖锦2023年数学专业真题分类70天之第16天
346、 3、 (15 分) 判断积分 $\displaystyle \int_0^{2\pi}\mathrm{e}^{-x^2}\cos x\mathrm{ d} x$ 的正负, 并给出理由. (华中科技大学2023年数学分析考研试题) [定积分 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /
$$\begin{aligned} \mbox{原式}=&\int_0^\pi +\int_\pi^{2\pi}\mathrm{e}^{-x^2}\cos x\mathrm{ d} x\\\\ \stackrel{x-\pi=t}{=}&\int_0^\pi \left[\mathrm{e}^{-x^2}-\mathrm{e}^{-(x+\pi)^2}\right]\cos x\mathrm{ d} x > 0! \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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347、 5、 (25 分) 求解下列问题. (1)、 证明: 方程 $\displaystyle (x+1)^{x+1}=\mathrm{e}\cdot x^x$ 只有唯一正实根. (2)、 若 $\displaystyle p(x)=\frac{x^2-x}{2}$, $\displaystyle f(x)$ 二阶可导, 则有
$$\begin{aligned} \int_k^{k+1} f(x)\mathrm{ d} x =\frac{f(k+1)+f(k)}{2} -\int_k^{k+1} f''(x)p(x-[x])\mathrm{ d} x, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
其中 $\displaystyle [x]$ 为取整函数; (3)、 若 $\displaystyle \beta$ 为 (1) 中方程的正实根, 计算
$$\begin{aligned} \lim_{n\to\infty}\left(\beta+\frac{1}{n}\right)\left(\beta+\frac{2}{n}\right)\cdots\left(\beta+\frac{n}{n}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(华中科技大学2023年数学分析考研试题) [定积分 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 设 $\displaystyle f(x)=(x+1)\ln(x+1)-1-x\ln x, x > 0$, 则 $\displaystyle f(0+0)=-1$,
$$\begin{aligned} \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\left[x\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)-1+\ln (x+1)\right] =+\infty. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由连续函数介值定理知 $\displaystyle f=0$ 在 $\displaystyle x > 0$ 至少有一个根. 又由 $\displaystyle f'(x)=\ln(x+1)-\ln x > 0$ 知 $\displaystyle f=0$ 有且仅有一个正根. (2)、
$$\begin{aligned} &\int_k^{k+1} f''(x)p(x-[x])\mathrm{ d} x\\\\ =&\frac{1}{2} \int_k^{k+1} f''(x)\left[(x-k)^2-(x-k)\right]\mathrm{ d} x\\\\ =&\frac{1}{2}\int_k^{k+1} [(x-k)^2-(x-k)]\mathrm{ d} f'(x)\\\\ \xlongequal[\tiny\mbox{积分}]{\tiny\mbox{分部}}& -\frac{1}{2}\int_k^{k+1} [2(x-k)-1]f'(x)\mathrm{ d} x\\\\ =&-\frac{1}{2} \int_k^{k+1} [2(x-k)-1]\mathrm{ d} f(x)\\\\ =&-\frac{1}{2}[f(k+1)-(-1)f(k)]+\int_k^{k+1} f(x)\mathrm{ d} x. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(3)、 在第 2 步中令 $\displaystyle f(x)=\ln \left(\beta+\frac{x}{n}\right)$, 则
$$\begin{aligned} \int_k^{k+1} \ln \left(\beta+\frac{x}{n}\right)\mathrm{ d} x=&\frac{\ln \left(\beta+\frac{k+1}{n}\right)+\ln \left(\beta+\frac{k}{n}\right)}{2}\\\\ &-\int_k^{k+1} \frac{-1}{n^2\left(\beta+\frac{x}{n}\right)^2} p(x-[x])\mathrm{ d} x. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
$\displaystyle k$ 从 $\displaystyle 0$ 到 $\displaystyle n-1$ 求和得
$$\begin{aligned} \int_0^n \ln \left(\beta+\frac{x}{n}\right)\mathrm{ d} x =&\frac{\ln \beta}{2}+\sum_{k=1}^{n-1}\ln \left(\beta+\frac{k}{n}\right) +\frac{\ln(\beta+1)}{2}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)\\\\ =&\frac{\ln \beta}{2}+\sum_{k=1}^n\ln \left(\beta+\frac{k}{n}\right) -\frac{\ln(\beta+1)}{2}+O\left(\frac{1}{n^2}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
令 $\displaystyle n\to\infty$ 得
$$\begin{aligned} &\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n \ln \left(\beta+\frac{k}{n}\right)\\\\ =&\frac{\ln (\beta+1)-\ln \beta}{2} -\lim_{n\to\infty}\int_0^n \ln \left(\beta+\frac{x}{n}\right)\mathrm{ d} t\\\\ =&\ln \sqrt{1+\frac{1}{\beta}} -\lim_{n\to\infty}n\int_0^1 \ln (\beta+t)\mathrm{ d} t\\\\ \xlongequal[\tiny\mbox{积分}]{\tiny\mbox{分部}}&\ln \sqrt{1+\frac{1}{\beta}} -\lim_{n\to\infty}n \left[(\beta+1)\ln(\beta+1)-\beta\ln \beta-1\right]\\\\ =&\ln \sqrt{1+\frac{1}{\beta}}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(\beta+\frac{1}{n}\right)\left(\beta+\frac{2}{n}\right)\cdots\left(\beta+\frac{n}{n}\right) =\ln \sqrt{1+\frac{1}{\beta}}$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
348、 (7)、 求定积分 $\displaystyle \int_0^1 \frac{x}{\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{1-x}}\mathrm{ d} x$. (吉林大学2023年数学分析考研试题) [定积分 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /
$$\begin{aligned} \mbox{原式}&\stackrel{1-x=t}{=}\int_0^1\frac{1-t}{\mathrm{e}^{1-t}+\mathrm{e}^t}\mathrm{ d} t\equiv J\\\\ &=\frac{1}{2}\left(\mbox{原式}+J\right)=\frac{1}{2}\int_0^1 \frac{1}{\mathrm{e}^{1-t}+\mathrm{e}^t}\mathrm{ d} t =\frac{1}{2}\int_0^1 \frac{\mathrm{e}^t}{\mathrm{e}+\mathrm{e}^{2t}}\mathrm{ d} t\\\\ &\stackrel{\mathrm{e}^t=s}{=}\frac{1}{2}\int_1^{\mathrm{e}}\frac{\mathrm{ d} s}{\mathrm{e}+s^2} \stackrel{s=\sqrt{\mathrm{e}}t}{=}\frac{1}{2}\int_{\frac{1}{\sqrt{\mathrm{e}}}}^{\sqrt{\mathrm{e}}} \frac{\sqrt{\mathrm{e}}\mathrm{ d} t}{\mathrm{e}(1+t^2)}\\\\ &=\frac{1}{2\sqrt{\mathrm{e}}}\left(\arctan \sqrt{\mathrm{e}}-\arctan \frac{1}{\sqrt{\mathrm{e}}}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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349、 3、 解答题. (0-22)、 求圆 $\displaystyle x^2+y^2=2y$ 内位于抛物线 $\displaystyle y=x^2$ 下方部分的面积. (吉林师范大学2023年(学科数学)数学分析考研试题) [定积分 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 所求面积
$$\begin{aligned} \xlongequal{\tiny\mbox{对称性}}&2\int_0^1 \left[x^2-\left[1-\sqrt{1-x^2}\right]\right]\mathrm{ d} x\\\\ \stackrel{x=\sin\theta}{=}&2\left(\frac{1}{3}-1+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\pi}{2}-\frac{4}{3}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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350、 (6)、 (可能有误) 求积分 $\displaystyle \int_{-1}^1 \frac{|x|^\frac{1}{3}\left(\sin \sqrt[3]{x}\cos \sqrt[3]{x}+\sin x\cos x\right)}{1+x^\frac{4}{3}}\mathrm{ d} x$. (暨南大学2023年数学分析考研试题) [定积分 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 被积函数关于 $\displaystyle x$ 是奇函数, 而积分为 $\displaystyle 0$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
351、 (3)、 设 $\displaystyle f(x)=\int_1^x \mathrm{e}^{-t^2}\mathrm{ d} t$, 求 $\displaystyle \int_0^1 x^2f(x)\mathrm{ d} x$. (南昌大学2023年数学分析考研试题) [定积分 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /
$$\begin{aligned} \mbox{原式}=&\int_0^1 f(x)\mathrm{ d} \frac{x^3}{3} \xlongequal[\tiny\mbox{积分}]{\tiny\mbox{分部}} f(1)\frac{1}{3}-\int_0^1 f'(x)\frac{x^3}{3}\mathrm{ d} x\\\\ =&-\frac{1}{3}\int_0^1 x^3\mathrm{e}^{-x^2}\mathrm{ d} x\stackrel{x^2=t}{=}\cdots\xlongequal[\tiny\mbox{积分}]{\tiny\mbox{分部}} \frac{2-\mathrm{e}}{6\mathrm{e}}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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352、 5、 设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,b]$ 上有界, $\displaystyle \left\{c_n\right\}\subset [a,b]$, 数列 $\displaystyle \left\{c_n\right\}$ 收敛. 证明: 若 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle [a,b]$ 上只有 $\displaystyle c_n\ (n=1,2,\cdots)$ 为其间断点, 则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,b]$ 上可积. (南昌大学2023年数学分析考研试题) [定积分 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 题中函数 $\displaystyle f$ 的不连续点只有一个聚点, 就是 $\displaystyle \left\{c_n\right\}$ 的极限. 我们证明一般的结论: 若有界函数的不连续点集只有有限多个聚点, 则 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle [a,b]$ 上黎曼可积. 具体来说: 设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a,b]$ 上有界, 且它的不连续点集只有有限个聚点, 则 $\displaystyle f(x)\in R[a,b]$. 事实上, 设 $\displaystyle f$ 的不连续点集 $\displaystyle D$ 的聚点为 $\displaystyle \left\{x_1,\cdots,x_r\right\}$, 则对 $\displaystyle \forall\ \varepsilon > 0, \eta > 0$, 取总长度小于 $\displaystyle \frac{\varepsilon}{2}$ 的 $\displaystyle r$ 个小区间 $\displaystyle I_i\left(i=1,\cdots,r\right)$ 盖住个 $\displaystyle x_i$. 则 $\displaystyle [a,b] \backslash \bigcup_{i=1}^r I_i$ 只有 $\displaystyle f$ 的有限多个不连续点, 又找总长度小于 $\displaystyle \frac{\varepsilon}{2}$ 的有限多个小区间 $\displaystyle \left\{J_j\right\}_{j=1}^s$ 盖住这些 $\displaystyle f$ 的不连续点. 如此, $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle [a,b]\backslash \bigcup_{i=1}^r I_i\backslash \bigcup_{j=1}^s J_j$ 上连续, 而一致连续, 可加上有限多个适当分点 $\displaystyle \left\{x_k\right\}$, 使得每个小区间的振幅都 $\displaystyle < \eta$. 将 $\displaystyle I_i,J_j$ 的端点并上 $\displaystyle \left\{x_k\right\}$ 得到分划 $\displaystyle T$, 则 $\displaystyle T$ 中振幅 $\displaystyle \geq \eta$ 的区间总长
$$\begin{aligned} \leq \sum_i |I_i|+\sum_j|I_j| < \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
据可积的第三充分必要条件即使 $\displaystyle f\in R[a,b]$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
353、 8、 (10 分) 比较 $\displaystyle \int_0^\pi \mathrm{e}^{\cos^2x}\mathrm{ d} x$ 与 $\displaystyle \frac{3}{2}\pi$ 的大小. (南京大学2023年数学分析考研试题) [定积分 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /
$$\begin{aligned} \int_0^\pi \mathrm{e}^{\cos^2x}\mathrm{ d} x > \int_0^\pi (1+\cos^2x)\mathrm{ d} x=\frac{3\pi}{2}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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354、 (2)、 求积分 $\displaystyle \int_0^\frac{\pi}{2}\frac{1}{1+\tan^{2023}x}\mathrm{ d} x$. (南京航空航天大学2023年数学分析考研试题) [定积分 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /
$$\begin{aligned} \mbox{原式}=&\int_0^\frac{\pi}{2}\frac{\cos^{2023}x}{\sin^{2023}x+\cos^{2023}x}\mathrm{ d} x \stackrel{\frac{\pi}{2}-x=t}{=}\int_0^\frac{\pi}{2}\frac{\sin^{2023}t}{\sin^{2023}t+\cos^{2023}t}\mathrm{ d} t\equiv I\\\\ =&\frac{1}{2}\left(\mbox{原式}+I\right)=\frac{1}{2}\int_0^\frac{\pi}{2}\mathrm{ d} t=\frac{\pi}{4}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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355、 (3)、 (20 分) 设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,b]$ 上可积, 且对 $\displaystyle [a,b]$ 上的任一连续函数 $\displaystyle g(x)$, 有 $\displaystyle \int_a^b f(x)g(x)\mathrm{ d} x=0$. 证明: $\displaystyle f(x)$ 在连续点的取值为 $\displaystyle 0$. (山东大学2023年数学分析考研试题) [定积分 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 用反证法. 若 $\displaystyle f$ 在其连续点 $\displaystyle x_0$ 处不为 $\displaystyle 0$, 则不妨设 $\displaystyle x_0\in (a,b)$ (端点处类似处理), 也不妨设 $\displaystyle f(x_0) > 0$ (若不然考虑 $\displaystyle -f$ 即可). 由 $\displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x)=f(x_0)$ 知 $\displaystyle \exists\ \delta\in \left(0,\min\left\{x_0-a,b-x_0\right\}\right),\mathrm{ s.t.}$
$$\begin{aligned} \forall\ x\in U(x_0;\delta), |f(x)-f(x_0)| < \frac{f(x_0)}{2}\Rightarrow f(x) > \frac{f(x_0)}{2}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
取 $\displaystyle g(x)=\left\{\begin{array}{llllllllllll}1,&x\in U\left(x_0;\frac{\delta}{2}\right),\\\\ 0,&x\in \left[a,x_0-\delta\right]\cup \left[x_0+\delta,b\right],\\\\ \mbox{线性连接},&\mbox{其他},\end{array}\right.$ 则
$$\begin{aligned} 0&\xlongequal{\tiny\mbox{题设}} \int_a^b f(x)g(x)\mathrm{ d} x=\int_{U(x_0;\delta)}f(x)g(x)\mathrm{ d} x\\\\ &\geq \int_{U\left(x_0;\frac{\delta}{2}\right)}f(x)g(x)\mathrm{ d} x \geq \frac{f(x_0)}{2}\cdot 1\cdot \delta. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这是一个矛盾. 故有结论.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
356、 (3)、 求抛物线 $\displaystyle y^2=x$ 与直线 $\displaystyle x-2y-3=0$ 所围区域的面积. (陕西师范大学2023年数学分析考研试题) [定积分 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 易知题中两曲线的交点为 $\displaystyle (1,-1), (9,3)$. 故所求
$$\begin{aligned} =\int_{-1}^3 [(2y+3)-y^2]\mathrm{ d} y=\frac{32}{3}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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357、 8、 (15 分) 设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,a]$ $\displaystyle (a > 1)$ 上连续. 证明:
$$\begin{aligned} \int_\frac{1}{a}^a f(x)\mathrm{ d} x=\frac{1}{2}\int_\frac{1}{a}^a \left[f(x)+\frac{1}{x^2}f\left(\frac{1}{x}\right)\right]\mathrm{ d} x. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(陕西师范大学2023年数学分析考研试题) [定积分 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /
$$\begin{aligned} &\int_\frac{1}{a}^a f(x)\mathrm{ d} x \stackrel{x=\frac{1}{t}}{=}\int_a^\frac{1}{a} f\left(\frac{1}{t}\right)\cdot \left(-\frac{1}{t^2}\right)\mathrm{ d} t\\\\ =&\frac{1}{2}\int_\frac{1}{a}^a \left[f(x)+\frac{1}{x^2}f\left(\frac{1}{x}\right)\right]\mathrm{ d} x\left(\mbox{上两式的算术平均}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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358、 10、 已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续, 且 $\displaystyle I=\int_0^1 f(x)\mathrm{ d} x\neq 0$. 证明: 存在 $\displaystyle x_1,x_2\in (0,1), x_1\neq x_2$, 使得
$$\begin{aligned} \frac{1}{f(x_1)}+\frac{1}{f(x_2)}=\frac{2}{I}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(上海财经大学2023年数学分析考研试题) [定积分 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle F(x)=\int_0^x f(t)\mathrm{ d} t$, 则 $\displaystyle F(0)=0, F(1)=I$. 据连续函数介值定理,
$$\begin{aligned} \exists\ \xi\in (0,1),\mathrm{ s.t.} F(\xi)=\frac{I}{2}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
再由积分中值定理,
$$\begin{aligned} \exists\ 0 < x_1 < \xi,\mathrm{ s.t.} \frac{I}{2}&=F(\xi)=\int_0^\xi f(t)\mathrm{ d} t=f(x_1)\xi,\\\\ \exists\ \xi < x_2 < 1,\mathrm{ s.t.} \frac{I}{2}&=F(1)-F(\xi)=\int_\xi^1 f(t)\mathrm{ d} t =f(x_2)(1-\xi). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
进而
$$\begin{aligned} \frac{1}{f(x_1)}+\frac{1}{f(x_2)}=\frac{2\xi}{I}+\frac{2(1-\xi)}{I} =\frac{2}{I}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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359、 9、 解答如下问题: (1)、 若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,b)$ 上连续且对任意的 $\displaystyle [\alpha,\beta]\subset (a,b)$, 有 $\displaystyle \int_\alpha^\beta f(x)\mathrm{ d} x=0$, 证明: $\displaystyle f(x)\equiv 0, \forall\ x\in (a,b)$; (上海大学2023年数学分析考研试题) [定积分 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 对 $\displaystyle \forall\ x\in (a,b)$, $\displaystyle \forall\ h\in \left(0,\min\left\{x-a,b-x\right\}\right)$,
$$\begin{aligned} \int_x^{x+h} f(t)\mathrm{ d} t=0\Rightarrow f(x)=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\int_x^{x+h}f(t)\mathrm{ d} t=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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360、 (2)、 若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,b]$ 上连续, $\displaystyle \int_a^b f(x)\mathrm{ d} x=0$ 且 $\displaystyle \int_a^b xf(x)\mathrm{ d} x=0$, 证明: 至少存在两个不同的点 $\displaystyle x_1,x_2\in (a,b)$, 使得 $\displaystyle f(x_1)=f(x_2)=0$. (上海大学2023年数学分析考研试题) [定积分 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle F(x)=\int_a^x f(t)\mathrm{ d} t$, 则 $\displaystyle F(a)=F(b)=0$,
$$\begin{aligned} 0=\int_a^b xf(x)\mathrm{ d} x=\int_a^b x\mathrm{ d} F(x) \xlongequal[\tiny\mbox{积分}]{\tiny\mbox{分部}} -\int_a^b F(x)\mathrm{ d} x. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
再设 $\displaystyle G(x)=\int_a^x F(t)\mathrm{ d} t$, 则
$$\begin{aligned} &G(a)=G(b)=0, G'(a)=G'(b)=0\\\\ \stackrel{\mbox{Rolle}}{\Longrightarrow}&\exists\ a < \eta < b,\mathrm{ s.t.} G'(\eta)=0=G'(a)=G'(b)\\\\ \stackrel{\mbox{Rolle}}{\Longrightarrow}&\exists\ a < x_1 < \eta < x_2 < b,\mathrm{ s.t.} f(x_1)=G''(x_1)=G''(x_2)=f(x_2). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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361、 (2)、 Riemann 可积函数一定存在原函数. (上海交通大学2023年数学分析考研试题) [定积分 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle \times$. 比如 $\displaystyle f(x)=[x], x\in [0,1]$ Riemann 可积, 但因为由第一类间断点知 $\displaystyle f$ 一定没有原函数. 若不然, 与导数极限定理矛盾.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
362、 (4)、 函数 $\displaystyle |f|$ 在 $\displaystyle [a,b]$ 上 Riemann 可积, 则函数 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle [a,b]$ 上也 Riemann 可积. (上海交通大学2023年数学分析考研试题) [定积分 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle \times$. 比如 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{llllllllllll}1,&x\in [a,b]\cap \mathbb{Q},\\\\ -1,&x\in [a,b]\backslash \mathbb{Q}.\end{array}\right.$跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
363、 10、 (15 分) 设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶连续可微, 且 $\displaystyle f'(0)=0, f''(0)\neq 0$. 证明: 对任意的 $\displaystyle x\in (0,1)$, 存在 $\displaystyle \xi(x)\in (0,x)$, 使得
$$\begin{aligned} \int_0^x f(t)\mathrm{ d} t=f\left(\xi(x)\right)x, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
且 $\displaystyle \lim_{x\to 0^+}\frac{\xi(x)}{x}=\frac{1}{\sqrt{3}}$. (苏州大学2023年数学分析考研试题) [定积分 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle F(x)=\int_0^x f(t)\mathrm{ d} t$, 则
$$\begin{aligned} \int_0^x f(t)\mathrm{ d} t=F(x)-F(0)\xlongequal[\tiny\mbox{中值}]{\tiny\mbox{Lagrange}} F'\left(\xi(x)\right)x=f\left(\xi(x)\right)x, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
其中 $\displaystyle 0 < \xi(x) < x$. 由函数极限的保号性知若 $\displaystyle \lim_{x\to 0^+}\frac{\xi(x)}{x}$ 存在, 则它 $\displaystyle \geq 0$. 往证明这个极限存在, 并求出它的值. 据 Taylor 展式知
$$\begin{aligned} \int_0^x f(t)\mathrm{ d} t=&F(x)=F(0)+F'(0)x+\frac{F''(0)}{2}x^2 +\frac{F'''(0)}{6}x^3+o(x^3)\\\\ =&f(0)x+\frac{f''(0)}{6}x^3+o(x^3),\\\\ f\left(\xi(x)\right)x=&x\left[f(0)+f'(0)\xi(x)+\frac{f''(0)}{2}\xi^2(x)+o(x^2)\right]\\\\ =&f(0)x+\frac{f''(0)}{2}\xi^2(x)x+o(x^3). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
据题中等式知
$$\begin{aligned} &\frac{f''(0)}{6}x^3+o(x^3)=\frac{f''(0)}{2}\xi^2(x)x+o(x^3)\\\\ \Rightarrow&\frac{f''(0)}{6}+o(1)=\frac{f''(0)}{2}\left[\frac{\xi(x)}{x}\right]^2+o(1)\\\\ \stackrel{x\to 0^+}{\Rightarrow}&\lim_{x\to 0^+}\left[\frac{\xi(x)}{x}\right]^2=\frac{1}{3} \Rightarrow \lim_{x\to 0^+}\frac{\xi(x)}{x}=\frac{1}{\sqrt{3}}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
注意最后一步我们用了如下用定义可以直接验证的结论: $\displaystyle \lim_{x\to x_0} g(x)=0, g(x)\geq 0\Rightarrow \lim_{x\to x_0} \sqrt{g(x)}=0$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
364、 3、 求定积分 $\displaystyle \int_0^1 \frac{\ln(1+x)}{1+x^2}\mathrm{ d} x$. (太原理工大学2023年数学分析考研试题) [定积分 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /
$$\begin{aligned} \mbox{原式}&\stackrel{x=\tan\theta}{=}\int_0^\frac{\pi}{4}\ln (1+\tan \theta)\mathrm{ d} \theta =\int_0^\frac{\pi}{4}\ln(\sin\theta+\cos\theta)\mathrm{ d} \theta-\int_0^\frac{\pi}{4}\ln \cos\theta\mathrm{ d} \theta\\\\ &=\int_0^\frac{\pi}{4}\ln \left[\sqrt{2}\sin\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)\right]\mathrm{ d} \theta -\int_0^\frac{\pi}{4}\ln\cos\theta\mathrm{ d} \theta\\\\ &\stackrel{\theta+\frac{\pi}{4}=\tau}{=}\frac{1}{2}\ln 2\cdot\frac{\pi}{4} +\int_\frac{\pi}{4}^\frac{\pi}{2}\ln \sin\tau\mathrm{ d} \tau -\int_0^\frac{\pi}{4}\ln \cos\theta\mathrm{ d} \theta\\\\ &\stackrel{\frac{\pi}{2}-\theta=\tau}{=}\frac{\pi}{8}\ln 2+\int_\frac{\pi}{4}^\frac{\pi}{2}\ln \sin\tau\mathrm{ d} \tau -\int_\frac{\pi}{4}^\frac{\pi}{2}\ln \sin\tau\mathrm{ d} \tau=\frac{\pi}{8}\ln 2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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365、 6、 曲线 $\displaystyle y=ax^2\ (a > 0, x\geq 0)$ 与 $\displaystyle y=1-x^2$ 交于点 $\displaystyle A$, 过原点 $\displaystyle O$ 和点 $\displaystyle A$ 的直线与 $\displaystyle y=ax^2$ 围成平面区域. 问 $\displaystyle a$ 为何值时, 该平面图形绕 $\displaystyle x$ 轴旋转一周所得旋转体体积最大? (太原理工大学2023年数学分析考研试题) [定积分 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 容易求得 $\displaystyle A\left(\frac{1}{\sqrt{1+a}},\frac{a}{1+a}\right)$. 而过原点 $\displaystyle O$ 和点 $\displaystyle A$ 的直线为 $\displaystyle y=\frac{a}{\sqrt{1+a}}x$. 故旋转体的体积
$$\begin{aligned} V(a)=&\int_0^\frac{1}{\sqrt{1+a}} \pi\left[\frac{a^2x^2}{1+a}-a^2x^4\right]\mathrm{ d} x =\frac{2\pi a^2}{15(1+a)^\frac{5}{2}}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由 $\displaystyle V'(a)=\frac{\pi a(4-a)}{15(1+a)^\frac{7}{2}}$ 知 $\displaystyle \max V=V(4)=\frac{32\pi}{375\sqrt{5}}$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
366、 2、 计算题. (1)、 求 $\displaystyle \int_0^\pi\frac{\mathrm{ d} x}{3+\sin^2x}$. (武汉大学2023年数学分析考研试题) [定积分 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /
$$\begin{aligned} \mbox{原式}&\stackrel{x-\frac{\pi}{2}=t}{=}\int_{-\frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2} \frac{\mathrm{ d} t}{3+\cos^2t} \xlongequal{\tiny\mbox{对称性}} 2\int_0^\frac{\pi}{2}\frac{\mathrm{ d} t}{3+\cos^2t}\\\\ &=2\int_0^\frac{\pi}{2}\frac{\sin^2t+\cos^2t}{4\cos^2t+3\sin^2t}\mathrm{ d} t =2\int_0^\frac{\pi}{2}\frac{\mathrm{ d} \tan t}{4+3\tan^2t}\\\\ &\stackrel{\sqrt{3}\tan t=2s}{=}2\int_0^\infty \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}\mathrm{ d} s}{4(1+s^2)} =\frac{\pi}{2\sqrt{3}}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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367、 (3)、 问是否存在 $\displaystyle [0,5]$ 上的函数 $\displaystyle f(x)$ 满足下列条件, 并说明理由. (3-1)、 $\displaystyle f(x)$ 连续可微; (3-2)、 $\displaystyle f(0)=f(5)=1$; (3-3)、 $\displaystyle |f'(x)|\leq\frac{2}{5}$; (3-4)、 $\displaystyle \left|\int_0^5 f(x)\mathrm{ d} x\right|\leq \frac{5}{2}$. (武汉大学2023年数学分析考研试题) [定积分 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 不存在. 用反证法. 若存在满足题设的 $\displaystyle f$, 则当 $\displaystyle 0\leq x\leq \frac{5}{2}$ 时,
$$\begin{aligned} f(x)=f(x)-f(0)+f(0)\xlongequal[\tiny\mbox{中值}]{\tiny\mbox{Lagrange}} f'(\xi_x)x+1\geq -\frac{2}{5}x+1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
当 $\displaystyle \frac{5}{2}\leq x\leq 1$ 时,
$$\begin{aligned} f(x)=&f(x)-f(5)+f(5)\xlongequal[\tiny\mbox{中值}]{\tiny\mbox{Lagrange}} f'(\eta_x)(x-5)+1\\\\ \geq& \frac{2}{5}(x-5)+1 =\frac{2}{5}x-1\geq 0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故
$$\begin{aligned} &\frac{5}{2}\geq \left|\int_0^5 f(x)\mathrm{ d} x\right| =\int_0^5 f(x)\mathrm{ d} x\\\\ \geq& \int_0^\frac{5}{2}\left(1-\frac{2}{5}x\right)\mathrm{ d} x +\int_\frac{5}{2}^5 \left(\frac{2}{5}x-1\right)\mathrm{ d} x=\frac{5}{2}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这表明
$$\begin{aligned} f(x)=\left\{\begin{array}{llllllllllll}1-\frac{2}{5}x,&0\leq x\leq\frac{5}{2}\\\\ \frac{2}{5}x-1,&\frac{5}{2}\leq x\leq 5\end{array}\right.\Rightarrow f'\left(\frac{5}{2}\right)=\left\{\begin{array}{llllllllllll}f'_+\left(\frac{5}{2}\right)=\frac{2}{5},\\\\ f'_-\left(\frac{5}{2}\right)=-\frac{2}{5}.\end{array}\right. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这是一个矛盾. 故有结论.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
368、 7、 (15 分) 设 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的连续可微函数, 且
$$\begin{aligned} f(x)=x+x\int_0^1 f(t)\mathrm{ d} t+x^2\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
求 $\displaystyle f(x)$. (西南大学2023年数学分析考研试题) [定积分 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle A=\int_0^1 f(t)\mathrm{ d} t, B=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}$, 则
$$\begin{aligned} f(x)=x+Ax+Bx^2\Rightarrow B=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}=A+1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
上式的一个式子对 $\displaystyle x$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上积分得
$$\begin{aligned} A=(A+1)\frac{1}{2}+B\frac{1}{3}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
解得 $\displaystyle A=5, B=6$, $\displaystyle f(x)=6x(1+x)$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
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