张祖锦2023年数学专业真题分类70天之第08天
162、 1、 计算题, 每题 8 分, 共 40 分. (1)、 设极限 $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+4x+1}-ax-b\right)=1$, 求 $\displaystyle a,b$ 的值. (重庆大学2023年数学分析考研试题) [函数极限 ]
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$$\begin{aligned} &\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x^2+4x+1}-ax-b}{x}\\\\ =&\left\{\begin{array}{llllllllllll}\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+4x+1}-ax-b\right)\cdot\frac{1}{x}=1\cdot 0=0,\\\\ \lim_{x\to+\infty} \left(\sqrt{1+\frac{4}{x}+\frac{1}{x^2}}-a-\frac{b}{x}\right)=1-a.\end{array}\right. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle a=1$,
$$\begin{aligned} 1&=\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+4x+1}-x-b\right)\\\\ &=\lim_{x\to+\infty}\frac{4x+1}{\sqrt{x^2+4x+1}+x}-b\stackrel{\div x}{=}\frac{4}{2}-b=2-b. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是 $\displaystyle b=1$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
163、 2、 (10 分) 设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 的某邻域内可导, 且
$$\begin{aligned} \lim_{x\to 0}\left[1+x+\frac{f(x)}{x}\right]^\frac{1}{x}=\mathrm{e}^3. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
求 $\displaystyle f(0), f'(0)$ 以及 $\displaystyle \lim_{x\to 0}\left[1+\frac{f(x)}{x}\right]^\frac{1}{x}$. (重庆大学2023年数学分析考研试题) [函数极限 ]
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$$\begin{aligned} &\mathrm{e}^3=\lim_{x\to 0}\left[1+x+\frac{f(x)}{x}\right]^\frac{1}{x} =\mathrm{exp}\left\{\lim_{x\to 0}\frac{\ln \left[1+x+\frac{f(x)}{x}\right]}{x}\right\}\\\\ \Rightarrow& 3=\lim_{x\to 0}\frac{\ln \left[1+x+\frac{f(x)}{x}\right]}{x}\\\\ \Rightarrow&\ln \left\{\lim_{x\to 0}\left[1+x+\frac{f(x)}{x}\right]\right\} =\lim_{x\to 0}\frac{\ln \left[1+x+\frac{f(x)}{x}\right]}{x}\cdot x=3\cdot 0=0\\\\ \Rightarrow&\lim_{x\to 0}\left[1+x+\frac{f(x)}{x}\right]=1 \Rightarrow\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}=0\\\\ \Rightarrow&\left\{\begin{array}{llllllllllll} f(0)=\lim_{x\to 0}f(x) =\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}\cdot x=0\cdot 0=0\\\\ f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x} =\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}=0 \end{array}\right.. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
进一步, 由上式第 2 行知
$$\begin{aligned} 3&=\lim_{x\to 0}\frac{\ln \left[1+x+\frac{f(x)}{x}\right]}{x} =\lim_{x\to 0}\frac{x+\frac{f(x)}{x}}{x}\left(\ln (1+s)\sim s, s\to 0\right)\\\\ &=1+\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x^2} =1+\lim_{x\to 0}\frac{f'(x)}{2x}\left(\mbox{L'Hospital 法则}\right)\\\\ &=1+\frac{1}{2}\lim_{x\to 0}\frac{f'(x)-f'(0)}{x} =1+\frac{1}{2}f''(0). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle f''(0)=4$. 最终,
$$\begin{aligned} &\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x^2} =\lim_{x\to 0}\frac{f'(x)}{2x}=\frac{f''(0)}{2}=2,\\\\ \mbox{原式}=&\mathrm{exp}\left\{\lim_{x\to 0}\frac{1}{x}\ln\left[1+\frac{f(x)}{x}\right]\right\} \xlongequal[\tiny\mbox{代换}]{\tiny\mbox{等价}} \mathrm{exp}\left\{\lim_{x\to 0}\frac{1}{x}\cdot \frac{f(x)}{x}\right\}=\mathrm{e}^2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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164、 (9)、 $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x^2+p^2}-p}{\sqrt{x^2+q^2}-q}=\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$, 其中 $\displaystyle p > 0, q > 0$. (重庆师范大学2023年数学分析考研试题) [函数极限 ]
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$$\begin{aligned} \mbox{原式}=\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x^2+q^2}+q}{x^2}\cdot\frac{x^2}{\sqrt{x^2+p^2}+q}=\frac{2q}{2p}=\frac{q}{p}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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165、 2、 计算题. (1)、 $\displaystyle \lim_{x\to 0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^\frac{1}{x\ln(1+2x)}$. (重庆师范大学2023年数学分析考研试题) [函数极限 ]
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$$\begin{aligned} \mbox{原式}=&\mathrm{exp}\left[\lim_{x\to 0}\frac{1}{x\ln(1+2x)}\ln\frac{\sin x}{x}\right] \xlongequal[\tiny\mbox{代换}]{\tiny\mbox{等价}} \mathrm{exp}\left[\lim_{x\to 0}\frac{1}{x\cdot 2x}\left(\frac{\sin x}{x}-1\right)\right]\\\\ =&\mathrm{exp}\left[\lim_{x\to 0}\frac{\sin x-x}{2x^3}\right] \xlongequal[\tiny\mbox{展开}]{\tiny\mbox{Taylor}} \mathrm{exp}\left[\frac{-\frac{1}{6}}{2}\right]=\mathrm{e}^{-\frac{1}{12}}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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166、 3、 证明题. (1)、 证明: $\displaystyle \lim_{x\to-\infty}x\cos^2x$ 不存在. (重庆师范大学2023年数学分析考研试题) [函数极限 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle f(x)=x\cos^2x$, 则
$$\begin{aligned} \lim_{k\to\infty}f(-2k\pi)=\lim_{k\to\infty}(-2k\pi)=-\infty, \lim_{k\to\infty}f\left(-2k\pi+\frac{\pi}{2}\right)=\lim_{k\to\infty}0=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由归结原则即知 $\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)$ 不存在.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
167、 3、 (10 分) 设 $\displaystyle f$ 为 $\displaystyle [a,b]$ 上的单调函数, 且 $\displaystyle f(x)$ 可取到 $\displaystyle f(a)$ 与 $\displaystyle f(b)$ 之间的一切值, 证明 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [a,b]$ 上的连续函数. (安徽大学2023年高等代数考研试题) [连续 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 不妨设 $\displaystyle f(x)$ 为区间 $\displaystyle [a,b]$ 上增函数, 则其值域为 $\displaystyle [f(a),f(b)]$. 则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,b]$ 上连续. 用反证法.
$$\begin{aligned} &\quad \quad \mbox{ $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle [a,b]$ 上不连续}\\\\ &\Rightarrow \mbox{ $\displaystyle \exists\ x_0\in [a,b],\mathrm{ s.t.} x_0$ 是 $\displaystyle f$ 的间断点}\\\\ &\Rightarrow \mbox{不妨设 $\displaystyle x_0\in (a,b)$, $\displaystyle x_0$ 是 $\displaystyle f$ 的跳跃间断点}\\\\ &\Rightarrow f(x_0-0) < f(x_0+0), f(x_0-0)\leq f(x_0)\leq f(x_0+0)\\\\ &\Rightarrow f(x_0-0) < f(x_0)\mbox{或}f(x_0) < f(x_0+0)\\\\ &\Rightarrow \mbox{ $\displaystyle [f(a),f(b)]$ 有子区间 $\displaystyle (f(x_0-0),f(x_0))$}\\\\ &\quad \mbox{ 或 $\displaystyle (f(x_0),f(x_0+0))$ 没有原像}\\\\ &\left(\begin{array}{ll} x < x_0&\Rightarrow f(x)\leq \sup_{x\in \mathring{U}_-(x_0)}f(x)=f(x_0-0)\\\\ x\geq x_0&\Rightarrow f(x)\geq f(x_0) \end{array}\right)\\\\ &\Rightarrow \mbox{与 $\displaystyle f$ 的值域为 $\displaystyle [f(a),f(b)]$ 矛盾, 故有结论}.\tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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168、 1、 证明: 实直线 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的两个一致连续函数 $\displaystyle f(x)$ 和 $\displaystyle g(x)$ 的和函数 $\displaystyle f(x)+g(x)$ 是一致连续; 它们的乘积函数 $\displaystyle f(x)g(x)$ 是否仍一致连续? 若是, 请写出证明过程; 若不是, 请举出反例. (北京工业大学2023年数学分析考研试题) [连续 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 由 $\displaystyle f(x), g(x)$ 都在区间 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上一致连续知 $\displaystyle \forall\ \varepsilon > 0$,
$$\begin{aligned} &\exists\ \delta_1 > 0,\mathrm{ s.t.} \forall\ x,x'\in \mathbb{R}, |x-x'| < \delta_1, |f(x)-f(x')| < \frac{\varepsilon}{2},\\\\ &\exists\ \delta_2 > 0,\mathrm{ s.t.} \forall\ x,x'\in \mathbb{R}, |x-x'| < \delta_2, |g(x)-g(x')| < \frac{\varepsilon}{2}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
令 $\displaystyle \delta=\min\left\{\delta_1,\delta_2\right\} > 0$, 则当 $\displaystyle x,x'\in \mathbb{R}, |x-x'| < \delta$ 时,
$$\begin{aligned} |[f(x)+g(x)]-[f(x')+g(x')]| \leq& |f(x)-f'(x)|+|g(x)-g(x')|\\\\ < &\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这就证明了 $\displaystyle f(x)+g(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上一致连续. (2)、 $\displaystyle f(x)g(x)$ 未必连续. 比如 $\displaystyle f(x)=g(x)=x$ 一致连续, 但 $\displaystyle f(x)g(x)=x^2$ 不一致连续:
$$\begin{aligned} \lim_{n\to\infty}\left[\left(n+\frac{1}{n}\right)-n\right]=0,\quad \left|\left(n+\frac{1}{n}\right)^2-n^2\right|\geq 2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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169、 2、 (15 分) 若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,b]$ 上连续. 证明:
$$\begin{aligned} M(x)=\max_{a\leq t\leq x}f(t) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
在 $\displaystyle [a,b]$ 上连续. (北京师范大学2023年数学分析考研试题) [连续 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 仅需证明 $\displaystyle M$ 在 $\displaystyle \forall\ x_0\in (a,b)$ 处连续, $\displaystyle x_a=a\mbox{或} b$ 处类似得到. 由 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle x_0$ 处连续知
$$\begin{aligned} &\forall\ \varepsilon > 0,\exists\ \delta\in \left(0,\min\left\{x_0-a,b-x_0\right\}\right),\mathrm{ s.t.}\\\\ &\forall\ x\in U(x_0;\delta), |f(x)-f(x_0)| < \varepsilon. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(1)、 先证 $\displaystyle M$ 在 $\displaystyle x_0$ 右连续. 当 $\displaystyle x\in (x_0,x_0+\delta)$ 时,
$$\begin{aligned} M(x_0)\leq M(x)=&\max\left\{\max_{t\in [a,x_0]}f(t), \max_{t\in [x_0,x]}f(t)\right\}\\\\ \leq&\max\left\{M(x_0),f(x_0)+\varepsilon\right\}\leq M(x_0)+\varepsilon. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2)、 再证 $\displaystyle M$ 在 $\displaystyle x_0$ 左连续. (2-1)、 若 $\displaystyle M(x_0)$ 定义中的最大值在 $\displaystyle [a,x_0)$ 内某 $\displaystyle \xi$ 处取得, 则
$$\begin{aligned} \xi\leq x\leq x_0\Rightarrow M(x)=M(x_0). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
而 $\displaystyle M$ 在 $\displaystyle x_0$ 左连续. (2-2)、 若 $\displaystyle M(x_0)$ 定义中的最大值在 $\displaystyle x_0$ 处取得, 即 $\displaystyle M(x_0)=f(x_0)$, 则当 $\displaystyle x\in (x_0-\delta,x_0)$ 时,
$$\begin{aligned} M(x_0)\geq M(x)\geq f(x) > f(x_0)-\varepsilon=M(x_0)-\varepsilon. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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170、 14、 已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1]$ 上可导, 且极限 $\displaystyle \lim_{x\to 0^+}\sqrt{x}f'(x)$ 存在. 证明: $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1]$ 上一致连续. (北京邮电大学2023年数学分析考研试题) [连续 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由极限 $\displaystyle \lim_{x\to 0^+}\sqrt{x}f'(x)$ 存在知
$$\begin{aligned} \exists\ M > 0,\ \exists\ \delta_1\in (0,a),\mathrm{ s.t.} \forall\ 0 < x < \delta_1, \left|\sqrt{x}f'(x)\right|\leq M. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是
$$\begin{aligned} &\forall\ \varepsilon > 0,\exists\ \delta=\left(\frac{\varepsilon}{2M}\right)^2 > 0,\mathrm{ s.t.} \forall\ 0 < x,y\leq \delta_1, |x-y| < \delta,\\\\ &\left|\frac{f(x)-f(y)}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}\right| \xlongequal[\tiny\mbox{中值}]{\tiny\mbox{Cauchy}} \left|\frac{f'(\xi)}{\frac{1}{2\sqrt{\xi}}}\right|\leq 2M\\\\ &\Rightarrow |f(x)-f(y)|\leq 2M\left|\sqrt{x}-\sqrt{y}\right|\leq 2M \sqrt{|x-y|} < \varepsilon. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这就证明了 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle (0,\delta_1]$ 上一致连续. 又由 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle [\delta_1,1]$ 上连续知其一致连续. 从而 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle (0,1]$ 上一致连续.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
171、
(10)、 设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上连续可微, $\displaystyle |f'(x)|\leq 1\ (x\geq 1)$. 求证: $\displaystyle \frac{f(x)}{x}$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上一致连续. (大连理工大学2023年数学分析考研试题) [连续 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 当 $\displaystyle x\geq 1$ 时,
$$\begin{aligned} |f(x)|&\leq |f(x)-f(1)|+|f(1)|\xlongequal[\tiny\mbox{中值}]{\tiny\mbox{Lagrange}} |f'(\xi_x)(x-1)|+|f(1)|\\\\ &\leq (x-1)+|f(1)|\leq x+|f(1)|,\\\\ \frac{|f(x)|}{x}&\leq 1+|f(1)|\equiv L. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是当 $\displaystyle x,y\geq 1$ 时,
$$\begin{aligned} &\left|\frac{f(x)}{x}-\frac{f(y)}{y}\right| =\left|\frac{xf(y)-yf(x)}{xy}\right|\\\\ =&\frac{\left|xf(y)-xf(x)+xf(x)-yf(x)\right|}{xy}\\\\ \leq& \frac{\left|f(y)-f(x)\right|}{y} +\frac{\left|x-y\right|}{y}\frac{\left|f(x)\right|}{x} \leq \left|x-y\right|+\left|x-y\right|L\\\\ \leq& (1+L)|x-y|. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle \forall\ \varepsilon > 0,\exists\ \delta=\frac{\varepsilon}{1+L} > 0,\mathrm{ s.t.}$
$$\begin{aligned} \forall\ x,y\geq 1, |x-y| < \delta, \left|\frac{f(x)}{x}-\frac{f(y)}{y}\right| < \varepsilon. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这就证明了 $\displaystyle \frac{f(x)}{x}$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上一致连续.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
172、 (4)、 设函数 $\displaystyle g\in C[a,b]$, $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle g$ 的值域上有定义. 证明: 若 $\displaystyle f\circ g\in C[a,b]$, 则 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle g$ 的值域上连续. (电子科技大学2023年数学分析考研试题) [连续 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 用 $\displaystyle R(g)$ 表示 $\displaystyle g$ 的值域, 对 $\displaystyle t_0\in R(g)$, 往用反证法证明 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle t_0$ 处连续. 若不然, 由归结原则,
$$\begin{aligned} \exists\ R(g)\ni t_n\to t_0,\ |f(t_n)-f(t_0)|\geq \varepsilon_0.\qquad(I) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
而
$$\begin{aligned} \exists\ x_n\in [a,b],\mathrm{ s.t.} g(x_n)=t_n. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
又由致密性定理,
$$\begin{aligned} &\exists\ n_k, x_0\in [a,b],\mathrm{ s.t.} \lim_{k\to\infty}x_{n_k}=x_0\\\\ \Rightarrow&t_0\xlongequal[\tiny\mbox{原理}]{\tiny\mbox{归结}} \lim_{k\to\infty}t_{n_k}=\lim_{k\to\infty}g(x_{n_k}) \xlongequal[\tiny\mbox{原理}]{\tiny\mbox{归结}} g(x_0). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由 $\displaystyle f\circ g\in C[a,b]$ 知 $\displaystyle \lim_{k\to\infty}x_{n_k}=x_0$ 蕴含
$$\begin{aligned} f(t_0)=f\left(g(x_0)\right) =\lim_{k\to\infty}f\left(g(x_{n_k})\right) =\lim_{k\to\infty}f(t_{n_k}). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这与 $\displaystyle (I)$ 中令 $\displaystyle n=n_k$ 得到的结果矛盾. 故有结论.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
173、 7、 讨论 $\displaystyle f(x)=\sin x^2$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的一致连续性. (东北大学2023年数学分析考研试题) [连续 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle x_n=\sqrt{2n\pi+\frac{\pi}{2}}, y_n=\sqrt{2n\pi}$, 则
$$\begin{aligned} \lim_{n\to\infty}(x_n-y_n)=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{\pi}{2}}{x_n+y_n}=0, |f(x_n)-f(y_n)|=|1-0|=1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上不一致连续.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
174、 8、 设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上连续, 且
$$\begin{aligned} \lim_{x\to+\infty}[f(x)-g(x)]=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
证明: $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上一致连续当且仅当 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上一致连续. (东北师范大学2023年数学分析考研试题) [连续 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle h=f-g$, 则由 $\displaystyle \lim_{x\to\infty}h(x)=0$ 及 Cauchy 收敛准则知
$$\begin{aligned} \forall\ \varepsilon > 0,\exists\ X > 0,\mathrm{ s.t.} \forall\ |x|, |x'|\geq X, |h(x)-h(x')| < \varepsilon.\qquad(I) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
又由 $\displaystyle h$ 在 $\displaystyle [-X-1,X+1]$ 上连续, 而一致连续, $\displaystyle \exists\ \delta\in (0,1),\mathrm{ s.t.}$
$$\begin{aligned} \forall\ |x|, |x'|\leq X+1, |x-x'| < \delta, |h(x)-h(x')| < \varepsilon.\qquad(II) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是对 $\displaystyle \forall\ x < x' < x+\delta$, (1)、 若 $\displaystyle x\leq -X-1$, 则 $\displaystyle x' < -X$, 而由 $\displaystyle (I)$ 知 $\displaystyle |h(x)-h(x')| < \varepsilon$. (2)、 若 $\displaystyle -X-1 < x\leq X$, 则 $\displaystyle -X-1 < x < x' < X+1$, 而由 $\displaystyle (II)$ 知 $\displaystyle |h(x)-h(x')| < \varepsilon$. (3)、 若 $\displaystyle x > X$, 则由 $\displaystyle (I)$ 知 $\displaystyle |h(x)-h(x')| < \varepsilon$. 这就证明了 $\displaystyle h$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上一致连续. 由 $\displaystyle f=g+h, g=f-h$ 即知结论得证.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
175、 2、 (20 分) 证明闭区间 $\displaystyle [a,b]$ 上的连续函数 $\displaystyle f(x)$ 如果满足端点处函数值异号, 则 $\displaystyle f(x)$ 在开区间 $\displaystyle (a,b)$ 内存在零点, 即存在 $\displaystyle \xi\in (a,b)$, 使得 $\displaystyle f(\xi)=0$. (福州大学2023年数学分析考研试题) [连续 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle [a,b]$ 上连续, $\displaystyle f(a)f(b) < 0$. 令 $\displaystyle [a_0,b_0]=[a,b]$. 将 $\displaystyle [a_0,b_0]$ 二等分, 则 $\displaystyle f(a)f\left(\frac{a+b}{2}\right)\leq 0$ 或 $\displaystyle f(b)f\left(\frac{a+b}{2}\right)\leq 0$. 若前一情形成立, 则取 $\displaystyle [a_1,b_1]=\left[a,\frac{a+b}{2}\right]$; 如后一情形成立, 则取 $\displaystyle [a_1,b_1]=\left[\frac{a+b}{2},b\right]$. 若 $\displaystyle [a_n,b_n]\ (n\geq 1)$ 以取得, 满足 $\displaystyle f(a_n)f(b_n)\leq 0$, 则将 $\displaystyle [a_n,b_n]$ 二等分. 我们有
$$\begin{aligned} f(a_n)f\left(\frac{a_n+b_n}{2}\right)\leq 0\mbox{或} f(b_n)f\left(\frac{a_n+b_n}{2}\right)\leq 0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
若前一情形成立, 则取 $\displaystyle [a_{n+1},b_{n+1}]=\left[a_n,\frac{a_n+b_n}{2}\right]$; 如后一情形成立, 则取 $\displaystyle [a_{n+1},b_{n+1}]=\left[\frac{a_n+b_n}{2},b_n\right]$. 如此得到闭区间套
$$\begin{aligned} \left\{[a_n,b_n]\right\}: b_n-a_n=\frac{1}{2^n}(b-a)\xrightarrow{n\to\infty}0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由闭区间套定理知
$$\begin{aligned} &\exists\ |\ \xi\in \bigcap_{n=1}^\infty [a_n,b_n] \Rightarrow \lim_{n\to\infty}a_n=\xi=\lim_{n\to\infty}b_n\\\\ \Rightarrow& [f(\xi)]^2=\lim_{n\to\infty}f(a_n)\cdot \lim_{n\to\infty}f(b_n) =\lim_{n\to\infty}[f(a_n)f(b_n]\leq 0\Rightarrow f(\xi)=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这就证明了零点存在定理.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
176、 (2)、 用一致连续的定义证明: 若 $\displaystyle f,g$ 都在区间 $\displaystyle I$ 上一致连续, 则 $\displaystyle f+g$ 在 $\displaystyle I$ 上也一致连续. (广西大学2023年数学分析考研试题) [连续 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 一言以蔽之, 一致连续函数的和还是一致连续. 由 $\displaystyle f(x), g(x)$ 都在区间 $\displaystyle I$ 上一致连续知 $\displaystyle \forall\ \varepsilon > 0$,
$$\begin{aligned} &\exists\ \delta_1 > 0,\mathrm{ s.t.} \forall\ x,x'\in I, |x-x'| < \delta_1, |f(x)-f(x')| < \frac{\varepsilon}{2},\\\\ &\exists\ \delta_2 > 0,\mathrm{ s.t.} \forall\ x,x'\in I, |x-x'| < \delta_2, |g(x)-g(x')| < \frac{\varepsilon}{2}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
令 $\displaystyle \delta=\min\left\{\delta_1,\delta_2\right\} > 0$, 则当 $\displaystyle x,x'\in I, |x-x'| < \delta$ 时,
$$\begin{aligned} |[f(x)+g(x)]-[f(x')+g(x')]| \leq& |f(x)-f'(x)|+|g(x)-g(x')|\\\\ < &\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这就证明了 $\displaystyle f(x)+g(x)$ 在 $\displaystyle I$ 上一致连续.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
177、 (3)、 求证 $\displaystyle y=x^\alpha$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上一致连续, 其中 $\displaystyle 0 < \alpha < 1$. (广西大学2023年数学分析考研试题) [连续 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (3-1)、 当 $\displaystyle 0 < \alpha < 1$ 时, 由
$$\begin{aligned} x,y > 0&\Rightarrow 1=\frac{x}{x+y}+\frac{y}{x+y}\leq \left(\frac{x}{x+y}\right)^\alpha+\left(\frac{y}{x+y}\right)^\alpha\\\\ &\Rightarrow (x+y)^\alpha\leq x^\alpha+y^\alpha \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知
$$\begin{aligned} x > y&\Rightarrow 0\leq x^\alpha-y^\alpha=\left[(x-y)+y\right]^\alpha-y^\alpha\leq(x-y)^\alpha. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故
$$\begin{aligned} &\forall\ \varepsilon > 0,\exists\ \delta=\varepsilon^\frac{1}{\alpha} > 0,\mathrm{ s.t.}\forall\ x > y\geq 0, |x-y| < \delta,\\\\ &|x^\alpha-y^\alpha|\leq |x-y|^\alpha < \delta^\alpha=\varepsilon. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这就证明了 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上一致连续.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
178、 1、 判断以下命题正误, 正确请给出证明, 错误请给出反例. (1)、 函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续并且单调递增, 若 $\displaystyle f(x)$ 有上界, 则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续. (哈尔滨工业大学2023年数学分析考研试题) [连续 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle \surd$. 由 $\displaystyle f\nearrow$ 有上界及单调有界定理知 $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\sup_{x\geq a}f(x)\equiv A$ 存在. 由 $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=A$ 及 Cauchy 收敛准则知
$$\begin{aligned} {\color{red}\forall\ \varepsilon > 0}, \exists\ R > a,\mathrm{ s.t.} \forall\ x\geq R, x'\geq R, |f(x')-f(x)| < \varepsilon. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
又 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle a\leq x\leq R+1$ 上连续, 而一致连续,
$$\begin{aligned} &{\color{red}\exists\ \delta\in (0,1)},\mathrm{ s.t.} \forall\ a\leq x\leq R+1, a\leq x'\leq R+1,\\\\ &|x'-x| < \delta, |f(x')-f(x)| < \varepsilon. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故当 $\displaystyle {\color{red}x,x'\in [a,+\infty), |x'-x| < \delta}$ 时,
$$\begin{aligned} &\left\{\begin{array}{llllllllllll} x\leq R\Rightarrow x'\leq x+|x'-x|\leq R+1\\\\ \mbox{或}x'\leq R\Rightarrow x\leq R+1\\\\ \mbox{或}x > R, x' > R \end{array}\right.\\\\ \Rightarrow&{\color{red}|f(x')-f(x)| < \varepsilon}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这就证明了 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
179、 4、 设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上连续, $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上一致连续且有界, 证明: $\displaystyle f\left(g(x)\right)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上一致连续. 若去掉’$g(x)$ 有界‘, 则 $\displaystyle f\left(g(x)\right)$ 是否一致连续? 正确请给出证明, 错误请给出反例. (哈尔滨工业大学2023年数学分析考研试题) [连续 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 由 $\displaystyle g$ 有界知
$$\begin{aligned} \exists\ A > 0,\mathrm{ s.t.} \forall\ x\in \mathbb{R}, |g(x)|\leq A . \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle [-A,A]$ 上连续知其一致连续:
$$\begin{aligned} \forall\ \varepsilon > 0,\exists\ \delta_1 > 0,\mathrm{ s.t.}\forall\ u,u'\in[-A, A], |u-u'| < \delta, |f(u)-f(u')| < \varepsilon. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
又由 $\displaystyle g$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上一致连续知
$$\begin{aligned} &\exists\ \delta > 0,\mathrm{ s.t.}\forall\ x,x'\in\mathbb{R}, |x-x'| < \delta,\\\\ &|g(x)-g(x')| < \delta_1\Rightarrow |f\left(g(x)\right)-f\left(g(x')\right)| < \varepsilon. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle f\circ g$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上一致连续. (2)、 若去掉’$g(x)$ 有界‘, 则 $\displaystyle f\left(g(x)\right)$ 未必一致连续. 比如 $\displaystyle f(x)=x^2, g(x)=x$. 由
$$\begin{aligned} x_n=n, y_n=n+\frac{1}{n}\Rightarrow \lim_{n\to\infty}(x_n-y_n)=0, |f(x_n)-f(y_n)|\geq 2 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle f\circ g=f$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上不一致连续.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
180、 (2)、 设 $\displaystyle f(x)\in C[a,b]$ 且 $\displaystyle f(x)\neq 0$, 则 $\displaystyle f(x)$ 必有正下界或负上界. (河海大学2023年数学分析考研试题) [连续 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle \surd$. 由连续函数介值定理知要么 $\displaystyle \forall\ x, f(x) > 0$, 要么 $\displaystyle \forall\ x, f(x) < 0$. 再由连续函数最值定理知若前一情形成立, 则 $\displaystyle f$ 有正下界 (正的最小值); 若后一情形成立, 则 $\displaystyle f$ 有负上界 (负的最大值).跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
181、 (6)、 证明: $\displaystyle y=\ln x$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上不一致连续. (河南大学2023年数学分析考研试题) [连续 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{2n}\right)=0, f\left(\frac{1}{n}\right)-f\left(\frac{1}{2n}\right)=\ln 2$ 知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上不一致连续.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
182、 9、 设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1]$ 上可导, 且极限 $\displaystyle \lim_{x\to 0^+} \sqrt{x}f'(x)$ 存在. 证明: $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1]$ 上一致连续. (华东理工大学2023年数学分析考研试题) [连续 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由 $\displaystyle \lim_{x\to0^+}\sqrt{x}f'(x)=A$ 存在知
$$\begin{aligned} \exists\ M > 0,\ \exists\ \delta_1\in (0,a),\mathrm{ s.t.} \forall\ 0 < x < \delta_1, \left|\sqrt{x}f'(x)\right|\leq M. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是
$$\begin{aligned} &\forall\ \varepsilon > 0,\exists\ \delta=\left(\frac{\varepsilon}{2M}\right)^2 > 0,\mathrm{ s.t.} \forall\ 0 < x,y\leq \delta_1, |x-y| < \delta,\\\\ &\left|\frac{f(x)-f(y)}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}\right| \xlongequal[\tiny\mbox{中值}]{\tiny\mbox{Cauchy}} \left|\frac{f'(\xi)}{\frac{1}{2\sqrt{\xi}}}\right|\leq 2M\\\\ &\Rightarrow |f(x)-f(y)|\leq 2M\left|\sqrt{x}-\sqrt{y}\right|\leq 2M \sqrt{|x-y|} < \varepsilon. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这就证明了 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle (0,\delta_1]$ 上一致连续. 又由 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle [\delta_1,1]$ 上连续知其一致连续. 从而 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle (0,1]$ 上一致连续.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
183、 8、 设 $\displaystyle F(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上有定义且有界, $\displaystyle a,b$ 是大于 $\displaystyle 1$ 的常数, 对 $\displaystyle 0 < x < \frac{1}{a}$ 有 $\displaystyle F(ax)=bF(x)$. 证明: $\displaystyle F(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处右连续. (华南理工大学2023年数学分析考研试题) [连续 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 题中等式令 $\displaystyle x=0$ 得 $\displaystyle F(0)=0$. 由题设,
$$\begin{aligned} \exists\ M > 0,\mathrm{ s.t.} \forall\ x\in [0,1], |F(x)|\leq M. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
从而对 $\displaystyle \forall\ \varepsilon > 0$, 取 $\displaystyle n=\left[\log_b\frac{M}{\varepsilon}\right]+1\Rightarrow b^n > \frac{M}{\varepsilon}\Rightarrow \frac{M}{b^n} < \varepsilon$ 后, 令 $\displaystyle \delta=\frac{1}{a^n}$, 则当 $\displaystyle 0 < x < \delta$ 时,
$$\begin{aligned} |F(x)-F(0)|=|F(x)|=\frac{1}{b}\left|F(ax)\right| =\cdots=\frac{1}{b^n} \left|F(a^n x)\right| \leq\frac{M}{b^n} < \varepsilon. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这就证明了 $\displaystyle F$ 在 $\displaystyle x=0$ 处右连续.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
184、 3、 (15 分) 设函数 $\displaystyle f$ 在有限区间 $\displaystyle (a,b)$ 上一致连续. (1)、 证明: 函数 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle (a,b)$ 上有界; (2)、 试问上述结论对无界函数是否成立? 并说明理由. (华中师范大学2023年数学分析考研试题) [连续 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 由 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,b)$ 上一致连续知
$$\begin{aligned} \forall\ \varepsilon > 0,\exists\ \delta > 0,\mathrm{ s.t.}\forall\ x,x'\in (a,b), |x-x'| < \delta, |f(x)-f(x')| < \varepsilon. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
特别地,
$$\begin{aligned} a < x,x' < a+\delta &\Rightarrow |f(x)-f(x')| < \varepsilon,\\\\ b-\delta < x,x' < b&\Rightarrow |f(x)-f(x')| < \varepsilon. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
据函数极限的 Cauchy 收敛准则知 $\displaystyle f(a+0), f(b-0)$ 均存在. 令
$$\begin{aligned} F(x)=\left\{\begin{array}{llllllllllll} f(a+0), &x=a,\\\\ f(x),&a < x < b,\\\\ f(b-0),&x=b. \end{array}\right. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则 $\displaystyle F$ 在 $\displaystyle [a,b]$ 上连续, 而有界. 特别地, $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,b)$ 上有界. (2)、 上述结论对无界函数不再成立. 比如 $\displaystyle f(x)=x, x\in\mathbb{R}$ 一致连续, 但无界!跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
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