张祖锦2023年数学专业真题分类70天之第05天

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张祖锦2023年数学专业真题分类70天之第05天

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93、 1、 (5 分) 求数列极限 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}(1+2^n+3^n)^\frac{1}{n}$. (中国矿业大学(北京)2023年数学分析考研试题) [数列极限 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由 $\displaystyle 3\leq (1+2^n+3^n)^\frac{1}{n}\leq 3^\frac{1}{n}\cdot 3$ 及迫敛性知原式 $\displaystyle =3$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

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94、 1、 (15 分) 求极限

$$\begin{aligned} \lim_{n\to\infty}\left(\frac{\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}+\sqrt[n]{c}}{3}\right)^n, a > 0, b > 0, c > 0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

(中国人民大学2023年数学分析考研试题) [数列极限 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /

$$\begin{aligned} \mbox{原式}=&\mathrm{exp}\left[\lim_{n\to\infty}n\ln \frac{a^\frac{1}{n}+b^\frac{1}{n}+c^\frac{1}{n}}{3}\right]\\\\ \xlongequal[\tiny\mbox{代换}]{\tiny\mbox{等价}}& \mathrm{exp}\left[\lim_{n\to\infty}n \left(\frac{a^\frac{1}{n}+b^\frac{1}{n}+c^\frac{1}{n}}{3}-1\right)\right]\\\\ \xlongequal[\tiny\mbox{原理}]{\tiny\mbox{归结}}&\mathrm{exp}\left[\lim_{x\to 0}\frac{a^x+b^x+c^x-3}{3x}\right]\\\\ \xlongequal{\tiny\mbox{L'Hospital}}& \mathrm{exp}\left[\lim_{x\to 0}\frac{a^x\ln a+b^x\ln b+c^x\ln c}{3}\right]\\\\ =&\mathrm{exp}\left[\frac{\ln a+\ln b+\ln c}{3}\right]=\sqrt[3]{abc}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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95、 1、 填空题. (1)、 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n+\sqrt{1}}+\frac{1}{n+\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{n+\sqrt{n}}\right)=\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (重庆师范大学2023年数学分析考研试题) [数列极限 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由

$$\begin{aligned} 1=\sum_{k=1}^n \frac{1}{n} > \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+\sqrt{k}} > \frac{1}{n+\sqrt{n}}\sum_{k=1}^n 1=\frac{n}{n+\sqrt{n}} =\frac{1}{1+\frac{1}{\sqrt{n}}} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

及迫敛性知原式 $\displaystyle =1$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

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96、 (2)、 $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\displaystyle x-\int_0^x (1+\sin^2t)^2\mathrm{ d} t}{x^2\sin x}$. (安徽大学2023年数学分析考研试题) [函数极限 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /

$$\begin{aligned} \mbox{原式}\xlongequal[\tiny\mbox{代换}]{\tiny\mbox{等价}}&\lim_{x\to 0}\frac{\displaystyle x-\int_0^x (1+\sin^2t)^2\mathrm{ d} t}{x^3} \xlongequal{\tiny\mbox{L'Hospital}} \lim_{x\to 0}\frac{1-(1+\sin^2x)^2}{3x^2}\\\\ =&\frac{1}{3}\lim_{x\to 0}\frac{[1+(1+\sin^2x)][1-(1+\sin^2x)]}{x^2} =\frac{1}{3}\cdot 2\cdot (-1)=-\frac{2}{3}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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97、 1、 计算题 (每题 10 分, 共 40 分). (1)、 求极限 $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(\cos\frac{1}{x}\right)^{x^2}$. (北京科技大学2023年数学分析考研试题) [函数极限 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /

$$\begin{aligned} \mbox{原式}=&\mathrm{exp}\left[\lim_{t\to 0}\frac{1}{t^2}\ln \cos t\right] \xlongequal[\tiny\mbox{代换}]{\tiny\mbox{等价}} \mathrm{exp}\left[\lim_{t\to 0}\frac{1}{t^2}(\cos t-1)\right] \xlongequal[\tiny\mbox{代换}]{\tiny\mbox{等价}} \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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98、 1、 已知 $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\cos 2x-\sqrt{\cos 2x}}{x^k}=a\ (a\neq 0)$, 求 $\displaystyle a$ 和 $\displaystyle k$ 的值. (北京邮电大学2023年数学分析考研试题) [函数极限 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由

$$\begin{aligned} \cos 2x-\sqrt{\cos 2x}=&\frac{\cos^22x-\cos 2x}{\cos2x+\sqrt{\cos 2x}} \sim \frac{\cos 2x(\cos 2x-1)}{2}\\\\ \sim&\frac{1}{2} \left[-\frac{(2x)^2}{2}\right] =-x^2, x\to 0 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

知 $\displaystyle k=2, a=-1$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

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99、 (3)、 计算极限

$$\begin{aligned} \lim_{x\to 1}\left(\frac{m}{1-x^m}-\frac{n}{1-x^n}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

(大连理工大学2023年数学分析考研试题) [函数极限 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /

$$\begin{aligned} \mbox{原式}=&\lim_{x\to 1}\frac{m(1-x^n)-n(1-x^m)}{(1-x^m)(1-x^n)}\\\\ =&\lim_{x\to 1}\frac{m-n-mx^n+nx^m}{(1-x)^2(1+x+\cdots+x^{m-1})(1+x+\cdots+x^{n-1})}\\\\ =&\frac{1}{mn}\lim_{x\to 1}\frac{m-n-mx^n+nx^m}{(1-x)^2}\\\\ \xlongequal{\tiny\mbox{L'Hospital}}& \frac{1}{mn}\lim_{x\to 1}\frac{-mnx^{n-1}+nmx^{m-1}}{2(x-1)} =\frac{1}{2}\lim_{x\to 1}\frac{x^{m-1}-x^{n-1}}{x-1}\\\\ \xlongequal{\tiny\mbox{L'Hospital}}& \frac{1}{2}\lim_{x\to 1}[(m-1)x^{m-2}-(n-1)x^{n-2}] =\frac{m-n}{2}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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100、 (2)、 $\displaystyle \lim_{x\to 0}(\cos x)^{x^{-2}}=\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (电子科技大学2023年数学分析考研试题) [函数极限 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /

$$\begin{aligned} \mbox{原式}=&\mathrm{exp}\left[\lim_{x\to 0}\frac{1}{x^2}\ln \cos x\right] \xlongequal[\tiny\mbox{代换}]{\tiny\mbox{等价}} \mathrm{exp}\left[\lim_{x\to 0}\frac{1}{x^2}(\cos x-1)\right] \xlongequal[\tiny\mbox{代换}]{\tiny\mbox{等价}} \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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101、 (3)、 $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{x^2}{\int_{\cos x}^1\mathrm{e}^{-\tau^2}\mathrm{ d} \tau}=\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (电子科技大学2023年数学分析考研试题) [函数极限 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /

$$\begin{aligned} \mbox{原式}\xlongequal{\tiny\mbox{L'Hospital}} \lim_{x\to 0}\frac{2x}{-\mathrm{e}^{-\cos x^2}\cdot (-\sin x)}=2\mathrm{e}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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102、 1、 计算极限

$$\begin{aligned} \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x\sin x}-\sqrt{\cos x}}{x\tan x}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

(东北大学2023年数学分析考研试题) [函数极限 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /

$$\begin{aligned} \mbox{原式}\xlongequal[\tiny\mbox{代换}]{\tiny\mbox{等价}}&\lim_{x\to 0}\frac{1+x\sin x-\cos x}{x^2}\cdot \frac{1}{\sqrt{1+x\sin x}+\sqrt{\cos x}}\\\\ =&\frac{1}{2}\lim_{x\to 0}\left(\frac{\sin x}{x}+\frac{1-\cos x}{x^2}\right) \xlongequal[\tiny\mbox{代换}]{\tiny\mbox{等价}} \frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{4}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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103、 (2)、 求 $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt[6]{x^6+x^5}-\sqrt[6]{x^6-x^5}\right)$. (东北师范大学2023年数学分析考研试题) [函数极限 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /

$$\begin{aligned} \mbox{原式}=&\lim_{x\to +\infty} x\left(\sqrt[6]{1+\frac{1}{x}}-\sqrt[6]{1-\frac{1}{x}}\right)\\\\ =&\lim_{t\to 0}\frac{\sqrt[6]{1+t}-\sqrt[6]{1-t}}{t} =2(\sqrt[6]{1+t})'|_{t=0} =\frac{1}{3}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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104、 5、 设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,b)$ 上严格单调, $\displaystyle x_n\in (a,b)$. 证明: 如果 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}f(x_n)=f(a)$, 则 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n=a$. (东北师范大学2023年数学分析考研试题) [函数极限 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 用反证法. 若 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n=a$ 不成立, 则 $\displaystyle \exists\ \varepsilon_0 > 0, n_k,\mathrm{ s.t.}$

$$\begin{aligned} &|x_{n_k}-a|\geq \varepsilon_0\Rightarrow x_{n_k} > a+\varepsilon_0 \stackrel{f\mbox{严}\nearrow }{\Rightarrow}f(x_{n_k}) > f(a+\varepsilon_0)\\\\ \stackrel{k\to\infty}{\Rightarrow}&f(a)\xlongequal{\tiny\mbox{题设}} \lim_{n\to\infty}f(x_n) \stackrel{\mbox{子列}}{=}\lim_{k\to\infty}f(x_{n_k})\geq f(a+\varepsilon) > f(a). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

这是一个矛盾. 故有结论.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

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105、 2、 求 $\displaystyle \lim_{x\to 0}\left[\cos x+\ln(1+x^2)\right]^\frac{1}{\sin^2x}$. (东南大学2023年数学分析考研试题) [函数极限 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /

$$\begin{aligned} \mbox{原式}=&\mathrm{exp}\left\{\lim_{x\to 0}\frac{\ln [\cos x+\ln (1+x^2)]}{\sin^2 x}\right\}\\\\ \xlongequal[\tiny\mbox{代换}]{\tiny\mbox{等价}}& \mathrm{exp}\left\{\lim_{x\to 0}\frac{\cos x+\ln (1+x^2)-1}{x^2}\right\} =\mathrm{exp}\left[-\frac{1}{2}+1\right]=\sqrt{\mathrm{e}}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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106、 2、 取定常数 $\displaystyle a,b$, 使得极限

$$\begin{aligned} \lim_{x\to 0}\frac{ax\cos x-b\sin x}{x^3} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

存在, 并求极限. (复旦大学2023年分析(第6,7,8,9,10题没做)考研试题) [函数极限 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由

$$\begin{aligned} ax\cos x\xlongequal[\tiny\mbox{展开}]{\tiny\mbox{Taylor}} ax\left[1-\frac{x^2}{2}+o(x^3)\right], b\sin x=b\left[x-\frac{x^3}{3!}+o(x^4)\right] \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

知

$$\begin{aligned} \mbox{原式}=\lim_{x\to 0}\frac{(a-b)x+\left(-\frac{a}{2}+\frac{b}{6}\right)x^3}{x^3}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

故当且仅当 $\displaystyle b=a$ 时, 原式存在, 且等于 $\displaystyle -\frac{a}{3}$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

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107、 1、 计算题 (每题 10 分, 共 90 分). (1)、 计算 $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\sin\frac{3}{x}\ln(1+2^x)$. (广西大学2023年数学分析考研试题) [函数极限 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /

$$\begin{aligned} \mbox{原式}&\xlongequal[\tiny\mbox{代换}]{\tiny\mbox{等价}} \lim_{x\to+\infty}\frac{3}{x}\ln(1+2^x) \xlongequal{\tiny\mbox{L'Hospital}} 3\lim_{x\to+\infty}\frac{2^x\ln 2}{1+2^x}=3\ln 2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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108、 2、 叙述题. 每题 5 分, 共 20 分. (1)、 叙述’$x\to x_0^+, f(x)\to A$‘的否定命题. (河海大学2023年数学分析考研试题) [函数极限 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle \exists\ \varepsilon_0 > 0,\ \forall\ \delta > 0, \exists\ x_0 < x < x_0+\delta,\mathrm{ s.t.} |f(x)-A|\geq \varepsilon_0$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

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109、 3、 计算题. 每题 10 分, 共 50 分. (1)、 计算极限 $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\mathrm{e}^x\sin x-x(1+x)}{(1+3x)^\frac{1}{x}(1-\cos x)\arctan x}$. (河海大学2023年数学分析考研试题) [函数极限 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /

$$\begin{aligned} \mbox{原式}&\xlongequal[\tiny\mbox{代换}]{\tiny\mbox{等价}} \lim_{x\to 0}\frac{\mathrm{e}^x\sin x-x(1+x)}{\left[(1+3x)^\frac{1}{3x}\right]^3\cdot\frac{x^2}{2}\cdot x} =\frac{2}{\mathrm{e}^3}\lim_{x\to 0}\frac{\mathrm{e}^x\sin x-x(1+x)}{x^3}\\\\ &\xlongequal[\tiny\mbox{展开}]{\tiny\mbox{Taylor}} \frac{2}{\mathrm{e}^3}\lim_{x\to 0}\frac{\left[1+x+\frac{x^2}{2}+o(x^2)\right]\left[x-\frac{x^3}{6}+o(x^6)\right]-x(1+x)}{x^3}\\\\ &=\frac{2}{\mathrm{e}^3}\left(-\frac{1}{6}+\frac{1}{2}\right)=\frac{2}{3\mathrm{e}^3}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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110、 1、 计算题 (每小题 12 分, 共 72 分). (1)、 已知 $\displaystyle f(x)$ 二阶可导, $\displaystyle \lim_{x\to 0}\left[1+x+\frac{f(x)}{x}\right]^\frac{1}{x}=\mathrm{e}^3$, 求 $\displaystyle \lim_{x\to 0}\left[1+\frac{f(x)}{x}\right]^\frac{1}{x}$. (河南大学2023年数学分析考研试题) [函数极限 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /

$$\begin{aligned} &\mathrm{e}^3=\lim_{x\to 0}\left[1+x+\frac{f(x)}{x}\right]^\frac{1}{x} =\mathrm{exp}\left\{\lim_{x\to 0}\frac{\ln \left[1+x+\frac{f(x)}{x}\right]}{x}\right\}\\\\ \Rightarrow& 3=\lim_{x\to 0}\frac{\ln \left[1+x+\frac{f(x)}{x}\right]}{x}\\\\ \Rightarrow&\ln \left\{\lim_{x\to 0}\left[1+x+\frac{f(x)}{x}\right]\right\} =\lim_{x\to 0}\frac{\ln \left[1+x+\frac{f(x)}{x}\right]}{x}\cdot x=3\cdot 0=0\\\\ \Rightarrow&\lim_{x\to 0}\left[1+x+\frac{f(x)}{x}\right]=1 \Rightarrow\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}=0\\\\ \Rightarrow&\left\{\begin{array}{llllllllllll} f(0)=\lim_{x\to 0}f(x) =\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}\cdot x=0\cdot 0=0\\\\ f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x} =\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}=0 \end{array}\right.. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

进一步, 由上式第 2 行知

$$\begin{aligned} 3&=\lim_{x\to 0}\frac{\ln \left[1+x+\frac{f(x)}{x}\right]}{x} =\lim_{x\to 0}\frac{x+\frac{f(x)}{x}}{x}\left(\ln (1+s)\sim s, s\to 0\right)\\\\ &=1+\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x^2} =1+\lim_{x\to 0}\frac{f'(x)}{2x}\left(\mbox{L'Hospital 法则}\right)\\\\ &=1+\frac{1}{2}\lim_{x\to 0}\frac{f'(x)-f'(0)}{x} =1+\frac{1}{2}f''(0). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

故 $\displaystyle f''(0)=4$. 最终,

$$\begin{aligned} &\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x^2} =\lim_{x\to 0}\frac{f'(x)}{2x}=\frac{f''(0)}{2}=2,\\\\ \mbox{原式}=&\mathrm{exp}\left\{\lim_{x\to 0}\frac{1}{x}\ln\left[1+\frac{f(x)}{x}\right]\right\} \xlongequal[\tiny\mbox{代换}]{\tiny\mbox{等价}} \mathrm{exp}\left\{\lim_{x\to 0}\frac{1}{x}\cdot \frac{f(x)}{x}\right\}=\mathrm{e}^2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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111、 1、 求 $\displaystyle \lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{\mathrm{e}^x-1}\right)$. (黑龙江大学2023年数学分析考研试题) [函数极限 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /

$$\begin{aligned} \mbox{原式}=\lim_{x\to 0}\frac{\mathrm{e}^x-1-x}{x(\mathrm{e}^x-1)} \xlongequal[\tiny\mbox{展开}]{\tiny\mbox{Taylor}} \lim_{x\to 0}\frac{\frac{x^2}{2}+o(x^2)}{x\cdot x}=\frac{1}{2}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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112、 1、 求极限. (1)、 求 $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\mathrm{e}^{\alpha x^2}\cos^{2\alpha}x-1}{x^2}$. (华东理工大学2023年数学分析考研试题) [函数极限 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 若 $\displaystyle \alpha=0$, 则极限 $\displaystyle =0$. 若 $\displaystyle \alpha\neq 0$, 则

$$\begin{aligned} \mbox{原式}=&\lim_{x\to 0}\left[\frac{\mathrm{e}^{\alpha x^2}(\cos^{2\alpha}x-1)}{x^2}+\frac{\mathrm{e}^{\alpha x^2}-1}{x^2}\right] \xlongequal[\tiny\mbox{代换}]{\tiny\mbox{等价}} \lim_{x\to 0}\frac{\cos^{2\alpha}x-1}{x^2}+\alpha\\\\ \xlongequal[\tiny\mbox{展开}]{\tiny\mbox{Taylor}}&\lim_{x\to 0}\frac{\left[1-\frac{x^2}{2}+o(x^2)\right]^{2\alpha}-1}{x^2}+\alpha\\\\ \xlongequal[\tiny\mbox{展开}]{\tiny\mbox{Taylor}}& \lim_{x\to 0}\frac{2\alpha\left(-\frac{x^2}{2}\right)+o(x^2)}{x^2}+\alpha=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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113、 7、 设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上可导, 且 $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}[f(x)+xf'(x)\ln x]=a$. 证明: $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=a$. (华东理工大学2023年数学分析考研试题) [函数极限 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /

$$\begin{aligned} \lim_{x\to+\infty}f(x)=&\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)\ln x}{\ln x} \xlongequal{\tiny\mbox{L'Hospital}} \lim_{x\to+\infty}\frac{f'(x)\ln x+f(x)\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}\\\\ =&\lim_{x\to+\infty}\left[f(x)+xf'(x)\ln x\right]=a. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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114、 1、 计算极限

$$\begin{aligned} \lim_{x\to 0^+}\frac{\sqrt{1-\mathrm{e}^{-x}}-\sqrt{1-\cos x}}{\sqrt{\sin x}}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

(华东师范大学2023年数学分析考研试题) [函数极限 ]

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$$\begin{aligned} \mbox{原式}=&\lim_{x\to 0}\frac{\cos x-\mathrm{e}^{-x}}{\sqrt{\sin x}}\cdot \frac{1}{\sqrt{1-\mathrm{e}^{-x}+\sqrt{1-\cos x}}}\\\\ \xlongequal[\tiny\mbox{展开}]{\tiny\mbox{Taylor}}&\lim_{x\to 0}\frac{[1+o(x)]-[1-x+o(x)]}{\sqrt{x}}\cdot \frac{1}{\sqrt{1-\mathrm{e}^{-x}}+\sqrt{1-\cos x}}\\\\ =&\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1-\mathrm{e}^{-x}}+\sqrt{1-\cos x}} =\lim_{x\to 0}\frac{1}{\sqrt{\frac{1-\mathrm{e}^{-x}}{x}}+\sqrt{\frac{2\sin^2\frac{x}{2}}{x}}}\\\\ =&\frac{1}{1+0}=1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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115、 1、 求极限 $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt[m]{x^m+x^{m-1}}-\sqrt[m]{x^m-x^{m-1}}\right)$. (华南理工大学2023年数学分析考研试题) [函数极限 ]

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$$\begin{aligned} \mbox{原式}=&\lim_{x\to+\infty}x\left[\sqrt[m]{1+\frac{1}{x}}-\sqrt[m]{1-\frac{1}{x}}\right] =\lim_{t\to 0}\frac{\sqrt[m]{1+t}-\sqrt[m]{1-t}}{t}\\\\ =&\lim_{t\to 0} \left[\frac{\sqrt[m]{1+t}-1}{t}-\frac{\sqrt[m]{1-t}-1}{-t}\right]\\\\ =&\left.\frac{\mathrm{ d}}{\mathrm{ d} t}\right|_{t=0} (1+t)^\frac{1}{m} +\left.\frac{\mathrm{ d}}{\mathrm{ d} s}\right|_{s=0} (1+s)^\frac{1}{m}=\frac{2}{m}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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