张祖锦2023年数学专业真题分类70天之第01天
1、 2、 (20 分) 解答如下问题: (1)、 叙述区间套定理; (2)、 利用区间套定理证明聚点定理, 即实数集 $\displaystyle \mathbb{R}$ 中任意有界无穷子集至少有一个聚点. (安徽大学2023年数学分析考研试题) [实数理论 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 闭区间套定理. 设 $\displaystyle [a_{n+1},b_{n+1}]\subset [a_n,b_n], \lim_{n\to\infty}(b_n-a_n)=0$, 则
$$\begin{aligned} \exists\ |\ \xi\in \bigcap_{n=1}^\infty [a_n,b_n]. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2)、 用闭区间套定理证明聚点定理. 设 $\displaystyle S$ 是有界无限点集, 则
$$\begin{aligned} \exists\ a_0 < b_0,\mathrm{ s.t.} \forall\ n\geq 1, x_n\in [a_0,b_0]. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
一旦给出了 $\displaystyle [a_n,b_n]\ (n\geq 0)$, 则将它二等分, 则至少有个子区间含有 $\displaystyle S$ 中无限多个点, 记为 $\displaystyle [a_{n+1},b_{n+1}]$. 于是
$$\begin{aligned} [a_{n+1},b_{n+1}]\subset [a_n,b_n], b_{n+1}-a_{n+1}=\frac{1}{2}(b_n-a_n). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是 $\displaystyle \left\{[a_n,b_n]\right\}$ 是闭区间套. 由闭区间套定理知
$$\begin{aligned} \exists\ |\ \xi\in \bigcap_{n=1}^\infty [a_n,b_n]. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
对 $\displaystyle \forall\ \varepsilon > 0$, 由 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n=\xi$ 知
$$\begin{aligned} \exists\ N,\mathrm{ s.t.} \forall\ n\geq N, \xi-\varepsilon < a_n < b_n < \xi+\varepsilon \Rightarrow [a_n,b_n]\subset U(\xi;\varepsilon). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由 $\displaystyle [a_n,b_n]$ 的构造知它含有 $\displaystyle S$ 中无限多个点, 而 $\displaystyle U(\xi;\varepsilon)$ 中含有 $\displaystyle S$ 中无限多个点. 这就证明了 $\displaystyle \xi$ 是 $\displaystyle S$ 的聚点.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
2、 3、 设 $\displaystyle f(x),g(x)$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的有界函数. 证明:
$$\begin{aligned} \sup_{x\in\mathbb{R}}\left\{f(x)+g(x)\right\}&\leq \sup_{x\in\mathbb{R}}\left\{f(x)\right\} +\sup_{x\in\mathbb{R}}\left\{g(x)\right\};\\\\ \inf_{x\in\mathbb{R}}\left\{f(x)+g(x)\right\}&\geq \inf_{x\in\mathbb{R}}\left\{f(x)\right\} +\inf_{x\in\mathbb{R}}\left\{g(x)\right\}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(北京工业大学2023年数学分析考研试题) [实数理论 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 对 $\displaystyle \forall\ x\in\mathbb{R}$,
$$\begin{aligned} f(x)\leq \sup_\mathbb{R} f, g(x)\leq \sup_\mathbb{R} g \Rightarrow f(x)+g(x)\leq \sup_\mathbb{R} f+\sup_\mathbb{R} g. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle \sup_\mathbb{R} f+\sup_\mathbb{R} g$ 是 $\displaystyle f(x), x\in\mathbb{R}$ 的一个上界. 从而 $\displaystyle \sup_\mathbb{R} (f+g)\leq \sup_\mathbb{R} f+\sup_\mathbb{R} g$. 同理可证 $\displaystyle \inf_\mathbb{R} (f+g)\geq \inf_\mathbb{R} f+\inf_\mathbb{R} g$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
3、 3、 (15 分) 用确界原理证明定义在闭区间上的连续函数必然是有界的. (北京科技大学2023年数学分析考研试题) [实数理论 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle [a,b]$ 上连续,
$$\begin{aligned} A=\left\{c\in[a,b]; f\mbox{在 $\displaystyle [a,c]$ 上有界}\right\}, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则 $\displaystyle a\in A$. 由确界原理知 $\displaystyle \xi=\sup A$ 存在, 且 $\displaystyle a\leq \xi\leq b$. 往用反证法证明 $\displaystyle \xi=b$. 若 $\displaystyle \xi < b$, 则 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle [a,\xi]$ 上有界, 设界为 $\displaystyle M$. 由 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle x=\xi$ 处连续知
$$\begin{aligned} \exists\ \delta\in (0,\min\left\{\xi-a,b-\xi\right\}),\mathrm{ s.t.} \forall\ x\in U(\xi;\delta), |f(x)-f(\xi)| < 1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle \left[a,\xi+\frac{\delta}{2}\right]$ 上有界, 且界为 $\displaystyle \max\left\{M, |f(\xi)|+1\right\}$. 这就证明了
$$\begin{aligned} \xi+\frac{\delta}{2}\in A\Rightarrow \xi+\frac{\delta}{2}\leq \sup A=\xi\Rightarrow \delta\leq 0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这是一个矛盾. 故有结论.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
4、 9、 设 $\displaystyle S$ 为有界集, 且 $\displaystyle \sup S=a\not\in S$. 证明: 存在严格递增的数列 $\displaystyle \left\{x_n\right\}\subset S$, 使得 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n=a$. (北京邮电大学2023年数学分析考研试题) [实数理论 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 由上确界定义,
$$\begin{aligned} \exists\ x_1\in S, \mathrm{ s.t.} a-1 < x_1\leq a. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
又 $\displaystyle a\not\in S$, 我们有 $\displaystyle a-1 < x_1 < a$. (2)、 若 $\displaystyle x_1,\cdots,x_k$ 已选出, 使得 $\displaystyle x_1 < x_2 < \cdots < x_k < a$, 则同第 1 步的论述,
$$\begin{aligned} \exists\ x_{k+1}\in S,\mathrm{ s.t.} x_k < x_{k+1} < a. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(3)、 如此就得到了 $\displaystyle x_n\in S, x_n$ 严 $\displaystyle \nearrow a$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
5、 17、 利用聚点定理证明闭区间上连续函数的有界性. (东南大学2023年数学分析考研试题) [实数理论 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle [a,b]$ 上连续, 往用反证法证明 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle [a,b]$ 上有界. 若 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle [a,b]$ 上无界, 则
$$\begin{aligned} \forall\ n\in\mathbb{Z}_+, \exists\ x_n\in [a,b], \mathrm{ s.t.} |f(x_n)| > n. \qquad(250601: wujie)\tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由聚点定理,
$$\begin{aligned} \exists\ n_k, x_0\in [a,b],\mathrm{ s.t.} \lim_{k\to\infty}x_{n_k}=x_0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
又 $\displaystyle f$ 连续保证了
$$\begin{aligned} f(x_0)=\lim_{k\to\infty}f(x_{n_k}). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
据数列极限的有界性知 $\displaystyle \left\{f(x_{n_k})\right\}$ 有界. 但这与 (250601: wujie) 矛盾. 故有结论.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
6、 (5)、 利用闭区间套定理证明: 有界数列必有收敛子列. (广西大学2023年数学分析考研试题) [实数理论 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle \left\{a_n\right\}$ 是一个有界数列, 则
$$\begin{aligned} \exists\ a_0 < b_0,\mathrm{ s.t.} \forall\ n\geq 1, x_n\in [a_0,b_0]. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
一旦给出了 $\displaystyle [a_n,b_n]\ (n\geq 0)$, 则将它二等分, 则至少有个子区间含有 $\displaystyle \left\{a_n\right\}$ 中无限多项, 记为 $\displaystyle [a_{n+1},b_{n+1}]$. 于是
$$\begin{aligned} [a_{n+1},b_{n+1}]\subset [a_n,b_n], b_{n+1}-a_{n+1}=\frac{1}{2}(b_n-a_n). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是 $\displaystyle \left\{[a_n,b_n]\right\}$ 是闭区间套. 由闭区间套定理知
$$\begin{aligned} \exists\ |\ \xi\in \bigcap_{n=1}^\infty [a_n,b_n]. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
对 $\displaystyle \forall\ \varepsilon > 0$, 由 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n=\xi$ 知
$$\begin{aligned} \exists\ N,\mathrm{ s.t.} \forall\ n\geq N, \xi-\varepsilon < a_n < b_n < \xi+\varepsilon \Rightarrow [a_n,b_n]\subset U(\xi;\varepsilon). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由 $\displaystyle [a_n,b_n]$ 的构造知它含有 $\displaystyle \left\{a_n\right\}$ 中无限多项, 而 $\displaystyle U(\xi;\varepsilon)$ 中含有 $\displaystyle \left\{a_n\right\}$ 中无限多项. 在 $\displaystyle U\left(\xi;\frac{1}{k}\right)$ 中取 $\displaystyle a_{n_k}$, 并使得 $\displaystyle n_k$ 关于 $\displaystyle k$ 严增, 则得到 $\displaystyle \lim_{k\to\infty}a_{n_k}=\xi$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
7、 3、 (10 分) 设 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [0,1]$ 上每点极限都存在, 证明: $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上有界. (合肥工业大学2023年数学分析考研试题) [实数理论 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由题设, $\displaystyle \forall\ x\in [0,1]$, $\displaystyle \lim_{x'\to x}f(x')=l_x$ 存在, 而
$$\begin{aligned} \exists\ \delta_x > 0,\mathrm{ s.t.} \forall\ x'\in U(x;\delta_x)\cap [0,1], &|f(x')-f(x)| < 1\\\\ \Rightarrow& |f(x')|\leq |f(x)|+1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由 $\displaystyle [0,1]\subset \bigcup_{x\in [0,1]}U(x;\delta_x)$ 及有限覆盖定理知
$$\begin{aligned} \left[0,1\right]\subset U(x_1;\delta_{x_1})\cup\cdots U(x_m;\delta_{x_m}). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
令 $\displaystyle M=\max_{1\leq i\leq m}|f(x_i)|+1$, 则
$$\begin{aligned} x\in [0,1]\Rightarrow&\exists\ i,\mathrm{ s.t.} x\in U(x_i; \delta_{x_i})\\\\ \Rightarrow&|f(x)|\leq |f(x_i)|+1\leq M. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这就证明了 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上有界, 且界为 $\displaystyle M$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
8、 (2)、 叙述闭区间套及闭区间套定理. (河海大学2023年数学分析考研试题) [实数理论 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle [a_{n+1},b_{n+1}]\subset [a_n,b_n], \lim_{n\to\infty}(b_n-a_n)=0$, 则称 $\displaystyle \left\{[a_n,b_n]\right\}$ 为闭区间套, 且
$$\begin{aligned} \exists\ |\ \xi\in \bigcap_{n=1}^\infty [a_n,b_n]. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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9、 3、 (15 分) 叙述闭区间套定理, 并用其证明致密性定理. (河南大学2023年数学分析考研试题) [实数理论 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 闭区间套定理. 设 $\displaystyle [a_{n+1},b_{n+1}]\subset [a_n,b_n], \lim_{n\to\infty}(b_n-a_n)=0$, 则
$$\begin{aligned} \exists\ |\ \xi\in \bigcap_{n=1}^\infty [a_n,b_n]. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2)、 致密性定理. 有界序列定有一个收敛子列. (3)、 用闭区间套定理证明致密性定理. 设 $\displaystyle \left\{x_n\right\}$ 是一个有界序列, 则
$$\begin{aligned} \exists\ a_0 < b_0,\mathrm{ s.t.} \forall\ n\geq 1, x_n\in [a_0,b_0]. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
一旦给出了 $\displaystyle [a_n,b_n]\ (n\geq 0)$, 则将它二等分, 则至少有个子区间含有 $\displaystyle \left\{x_n\right\}$ 中无限多项, 记为 $\displaystyle [a_{n+1},b_{n+1}]$. 于是
$$\begin{aligned} [a_{n+1},b_{n+1}]\subset [a_n,b_n], b_{n+1}-a_{n+1}=\frac{1}{2}(b_n-a_n). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是 $\displaystyle \left\{[a_n,b_n]\right\}$ 是闭区间套. 由闭区间套定理知
$$\begin{aligned} \exists\ |\ \xi\in \bigcap_{n=1}^\infty [a_n,b_n]. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
对 $\displaystyle \forall\ \varepsilon > 0$, 由 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n=\xi$ 知
$$\begin{aligned} \exists\ N,\mathrm{ s.t.} \forall\ n\geq N, \xi-\varepsilon < a_n < b_n < \xi+\varepsilon \Rightarrow [a_n,b_n]\subset U(\xi;\varepsilon). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由 $\displaystyle [a_n,b_n]$ 的构造知它含有 $\displaystyle \left\{x_n\right\}$ 中无限多项, 而 $\displaystyle U(\xi;\varepsilon)$ 中含有 $\displaystyle \left\{x_n\right\}$ 中无限多项. 这就证明了 $\displaystyle \left\{x_n\right\}$ 有一个子列收敛于 $\displaystyle \xi$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
10、 9、 给出函数 $\displaystyle f(x)=2[x]-[2x]$ 的最小正周期并给予证明. (华东师范大学2023年数学分析考研试题) [实数理论 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由
$$\begin{aligned} \left[2x\right]=n\Leftrightarrow n\leq 2x < n+1\Leftrightarrow \frac{n}{2}\leq x < \frac{n+1}{2} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知
$$\begin{aligned} \left[2x\right]=2m\Leftrightarrow&m\leq x < m+\frac{1}{2}\Rightarrow [x]=m,\\\\ \left[2x\right]=2m+1\Leftrightarrow&m+\frac{1}{2}\leq x < m+1\Rightarrow [x]=m. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故
$$\begin{aligned} f(x)=\left\{\begin{array}{llllllllllll}2m-2m=0,&m\leq x < m+\frac{1}{2},\\\\ 2m-(2m+1)=-1,&m+\frac{1}{2}\leq x < m+1.\end{array}\right. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这表明 $\displaystyle f$ 的最小正周期为 $\displaystyle 1$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
11、 7、 叙述数列极限的柯西收敛准则, 并利用致密性定理证明该定理. (南昌大学2023年数学分析考研试题) [实数理论 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 数列极限的柯西收敛准则叙述如下. 数列 $\displaystyle \left\{x_n\right\}$ 收敛当且仅当它是 Cauchy 列, 即
$$\begin{aligned} \forall\ \varepsilon > 0,\exists\ N,\mathrm{ s.t.} \forall\ m > n\geq N, |x_m-x_n| < \varepsilon. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
证明如下. $\displaystyle \Rightarrow$: 由三角不等式即知. $\displaystyle \Leftarrow$: 设 $\displaystyle \left\{x_n\right\}$ 是 Cauchy 列, 则
$$\begin{aligned} \forall\ \varepsilon > 0, \exists\ N,\ \forall\ m,n\geq N,\ |x_m-x_n| < \frac{\varepsilon}{2}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由致密性定理知 $\displaystyle \left\{x_n\right\}$ 有一个收敛子列 $\displaystyle \left\{x_{n_k}\right\}$, 其极限为 $\displaystyle x$, 则
$$\begin{aligned} \exists\ K\geq N, \mathrm{ s.t.} \forall\ k\geq K, |x_{n_k}-x| < \frac{\varepsilon}{2}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是当 $\displaystyle n\geq n_K$ 时,
$$\begin{aligned} |x_n-x|&\leq |x_n-x_{n_K}|+|x_{n_K}-x|\\\\ & < \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}\left(n\geq n_K\geq K\geq N\right)\\\\ &=\varepsilon. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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12、 10、 解答如下问题: (1)、 叙述实数系完备性中的确界原理与闭区间套定理; (2)、 用闭区间套定理证明确界原理. (南京师范大学2023年数学分析考研试题) [实数理论 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 (1-1)、 确界原理: 非空有上界集有上确界. (1-2)、 闭区间套定理: 设 $\displaystyle [a_{n+1},b_{n+1}]\subset [a_n,b_n], \lim_{n\to\infty}(b_n-a_n)=0$, 则
$$\begin{aligned} \exists\ |\ \xi\in \bigcap_{n=1}^\infty [a_n,b_n]. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2)、 设 $\displaystyle A$ 是非空有上界集, 则
$$\begin{aligned} A\neq \varnothing&\Rightarrow \exists\ a_0\in A,\\\\ A\mbox{有上界}&\Rightarrow \exists\ b_0\in\mathbb{R},\mathrm{ s.t.} \forall\ x\in A, x\leq b_0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
设 $\displaystyle [a_n,b_n]\ (n\geq 0)$ 已给定, 则将其二等分. (2-1)、 若 $\displaystyle \exists\ x_0\in A,\mathrm{ s.t.} x_0 > \frac{a+b}{2}$, 则取 $\displaystyle [a_{n+1},b_{n+1}]=\left[\frac{a_n+b_n}{2},b_n\right]$; (2-2)、 若 $\displaystyle \forall\ x\in A, x\leq \frac{a_n+b_n}{2}$, 则取 $\displaystyle [a_{n+1},b_{n+1}] =\left[a_n,\frac{a_n+b_n}{2}\right]$. 如此得到一闭区间套 $\displaystyle \left\{[a_n,b_n]\right\}_{n=0}^\infty$, 其具有性质: (2-1)、 $\displaystyle \forall\ x\in A, x\leq b_n$; (2-2)、 $\displaystyle \exists\ x_n\in A,\mathrm{ s.t.} x_n\geq a_n$. 由闭区间套定理, $\displaystyle \exists\ |\ \xi\in \bigcap_{n=0}^\infty [a_n,b_n]$. 往证 $\displaystyle \xi=\sup A$. (2-1)、 在闭区间套的性质 i 中令 $\displaystyle n\to\infty$ 得 $\displaystyle \forall\ x\in A, x\leq \xi$; (2-2)、
$$\begin{aligned} &\lim_{n\to\infty}a_n=\xi\Rightarrow \forall\ \varepsilon > 0, \exists\ N,\mathrm{ s.t.} \forall\ n\geq N, |a_n-\xi| < \varepsilon\\\\ \Rightarrow& \forall\ \varepsilon > 0, \xi-\varepsilon < a_N\leq \xi\\\\ \Rightarrow& \forall\ \varepsilon > 0, \exists\ x_N\in A,\mathrm{ s.t.} \xi-\varepsilon < a_N\leq x_N\left(\mbox{闭区间套的性质 2}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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13、 5、 设 $\displaystyle S$ 为非空有界数集, 证明: $\displaystyle \sup_{x,y\in S}|x-y|=\sup S-\inf S$. (上海大学2023年数学分析考研试题) [实数理论 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle M=\sup S, m=\inf S$. 若 $\displaystyle M=m$, 则 $\displaystyle S$ 只有一个元素, 而结论自明. 若 $\displaystyle M > m$, 则
$$\begin{aligned} x,y\in S\Rightarrow& \left\{\begin{array}{llllllllllll}m\leq x\leq M\\\\ m\leq y\leq M\Rightarrow -M\leq -y\leq -m\end{array}\right.\\\\ \Rightarrow&m-M\leq x-y\leq M-m\Rightarrow |x-y|\leq M-m. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
再者, 对 $\displaystyle \forall\ 0 < \alpha < M-m$,
$$\begin{aligned} &\alpha+m < M=\sup S\Rightarrow \exists\ x\in S,\mathrm{ s.t.} \alpha+m < x\\\\ \Rightarrow&\exists\ x\in S, \mathrm{ s.t.} x-\alpha > m=\inf S \Rightarrow \exists\ x,y\in S,\mathrm{ s.t.} x-\alpha > y\\\\ \Rightarrow& \exists\ x,y\in S, |x-y|=x-y > \alpha. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故有结论.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
14、 4、 (20 分) 用有限覆盖定理证明有限区间 $\displaystyle [a,b]$ 上的连续函数一定一致连续. (上海交通大学2023年数学分析考研试题) [实数理论 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 我们先给出加强形式的覆盖定理. 如果 $\displaystyle \left\{I_\alpha\right\}$ 是区间 $\displaystyle [a,b]$ 的一个开覆盖, 则
$$\begin{aligned} \exists\ \delta > 0,\mathrm{ s.t.} \forall\ x',x''\in [a,b], \exists\ I_\beta\in\left\{I_\alpha\right\},\mathrm{ s.t.} x',x''\in I_\beta. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这个数 $\displaystyle \delta$ 称为开覆盖的 Lebesgue 数. 事实上, 由 $\displaystyle [a,b]\subset \bigcup_\alpha I_\alpha$ 及有限覆盖定理知
$$\begin{aligned} \left[a,b\right]\subset I_1\cup \cdots \cup I_n\left(I_i=I_{\alpha_i}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
将这有限个开区间的所有端点按大小顺序排列, 去掉其中可能重复的点, 记为
$$\begin{aligned} x_0 < x_1 < \cdots < x_N. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
并设这个端点集为 $\displaystyle A=\left\{x_0,\cdots,x_N\right\}$. 令
$$\begin{aligned} \delta=\min\left\{x_1-x_0,x_2-x_1,\cdots,x_N-x_{N-1}\right\}, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
往证此 $\displaystyle \delta$ 即为所求. 对 $\displaystyle \forall\ x',x''\in [a,b]$, $\displaystyle 0 < x''-x' < \delta$, (1-1)、 若 $\displaystyle [x',x'']$ 内没有端点集 $\displaystyle A$ 中的点, 则 $\displaystyle [x',x'']$ 被 $\displaystyle I_1,\cdots,I_n$ 中的某一个覆盖. (1-2)、 若 $\displaystyle [x',x'']$ 内有 $\displaystyle A$ 中的点, 则由 $\displaystyle \delta$ 的定义及 $\displaystyle |x''-x'| < \delta$ 知这样的点只有一个, 记为 $\displaystyle x_i$, 而 $\displaystyle x'\leq x_i\leq x''$. 由于 $\displaystyle x_i$ 是 $\displaystyle I_1,\cdots,I_n$ 中某个 $\displaystyle I_j$ 的端点, 而定有另外一个开区间 $\displaystyle I_k$ 盖住了 $\displaystyle x_i$. 既然 $\displaystyle [x,x'']$ 只含有 $\displaystyle A$ 中的 $\displaystyle x_i$, 而 $\displaystyle I_k$ 的左右端点必然分别小于 $\displaystyle x'$ 和大于 $\displaystyle x''$, 从而 $\displaystyle I_k\ni x',x''$. (2)、 回到题目. 一言以蔽之, 用有限覆盖定理证明连续函数的一致连续性. 设 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle [a,b]$ 上连续, 则 $\displaystyle \forall\ x\in[a,b]$,
$$\begin{aligned} \exists\ \delta_x > 0,\mathrm{ s.t.}\forall\ x',x''\in U(x;\delta_x)\cap [a,b], |f(x')-f(x'')| < \varepsilon. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由 $\displaystyle [a,b]\subset\bigcup_{x\in [a,b]}U\left(x;\delta_x\right)$ 及第 1 步知 $\displaystyle \exists\ \delta > 0,\mathrm{ s.t.} \forall\ x',x''\in [a,b]$,
$$\begin{aligned} \exists\ x\in [a,b],\mathrm{ s.t.} x',x''\in U(x;\delta_x) \Rightarrow |f(x')-f(x'')| < \varepsilon. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这就证明了 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle [a,b]$ 上一致连续.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
15、 4、 (本题 10 分) 设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,b]$ 上仅有第一类间断点, 证明: $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,b]$ 上有界. (四川大学2023年数学分析考研试题) [实数理论 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由题设, $\displaystyle \forall\ x\in [a,b], f(x+0), f(x-0)$ 都存在 (端点处紧考虑单侧极限). 由函数极限的定义知
$$\begin{aligned} \exists\ \delta_x > 0,\mathrm{ s.t.} \left\{\begin{array}{llllllllllll}\forall\ x'\in (x-\delta_x,x), |f(x')-f(x-0)| < 1,\\\\ \forall\ x'\in (x,x+\delta_x), |f(x)-f(x+0)| < 1.\end{array}\right. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
设 $\displaystyle M_x=\max\left\{|f(x-0)|+1, |f(x+0)|+1, |f(x)|\right\}$, 则
$$\begin{aligned} \forall\ x'\in U(x;\delta_x), |f(x')|\leq M_x. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
又由 $\displaystyle [a,b]\subset \bigcup_{x\in [a,b]}U(x;\delta_x)$ 及有限覆盖定理知
$$\begin{aligned} \left[a,b\right]\subset \bigcup_{i=1}^m U(x_i;\delta_{x_i}). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
令 $\displaystyle M=\max_{1\leq i\leq m}M_{x_i}$, 则
$$\begin{aligned} x\in [a,b]\Rightarrow&\exists\ i,\mathrm{ s.t.} x\in U(x_i;\delta_{x_i)}\Rightarrow |f(x)|\leq M_{x_i}\leq M. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这就证明了 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle [a,b]$ 上有界.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
16、 3、 (15 分) 设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,b]$ 上有定义, 且对任意的 $\displaystyle x\in [a,b]$, 存在 $\displaystyle \delta_x > 0$, 使得 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [x-\delta_x,x+\delta_x]\cap [a,b]$ 上递增. 证明: $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,b]$ 上递增. (西南大学2023年数学分析考研试题) [实数理论 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 我们先给出加强形式的覆盖定理. 如果 $\displaystyle \left\{I_\alpha\right\}$ 是区间 $\displaystyle [a,b]$ 的一个开覆盖, 则
$$\begin{aligned} \exists\ \delta > 0,\mathrm{ s.t.} \forall\ x',x''\in [a,b], \exists\ I_\beta\in\left\{I_\alpha\right\},\mathrm{ s.t.} x',x''\in I_\beta. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这个数 $\displaystyle \delta$ 称为开覆盖的 Lebesgue 数. 事实上, 由 $\displaystyle [a,b]\subset \bigcup_\alpha I_\alpha$ 及有限覆盖定理知
$$\begin{aligned} \left[a,b\right]\subset I_1\cup \cdots \cup I_n\left(I_i=I_{\alpha_i}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
将这有限个开区间的所有端点按大小顺序排列, 去掉其中可能重复的点, 记为
$$\begin{aligned} x_0 < x_1 < \cdots < x_N. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
并设这个端点集为 $\displaystyle A=\left\{x_0,\cdots,x_N\right\}$. 令
$$\begin{aligned} \delta=\min\left\{x_1-x_0,x_2-x_1,\cdots,x_N-x_{N-1}\right\}, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
往证此 $\displaystyle \delta$ 即为所求. 对 $\displaystyle \forall\ x',x''\in [a,b]$, $\displaystyle 0 < x''-x' < \delta$, (1-1)、 若 $\displaystyle [x',x'']$ 内没有端点集 $\displaystyle A$ 中的点, 则 $\displaystyle [x',x'']$ 被 $\displaystyle I_1,\cdots,I_n$ 中的某一个覆盖. (1-2)、 若 $\displaystyle [x',x'']$ 内有 $\displaystyle A$ 中的点, 则由 $\displaystyle \delta$ 的定义及 $\displaystyle |x''-x'| < \delta$ 知这样的点只有一个, 记为 $\displaystyle x_i$, 而 $\displaystyle x'\leq x_i\leq x''$. 由于 $\displaystyle x_i$ 是 $\displaystyle I_1,\cdots,I_n$ 中某个 $\displaystyle I_j$ 的端点, 而定有另外一个开区间 $\displaystyle I_k$ 盖住了 $\displaystyle x_i$. 既然 $\displaystyle [x,x'']$ 只含有 $\displaystyle A$ 中的 $\displaystyle x_i$, 而 $\displaystyle I_k$ 的左右端点必然分别小于 $\displaystyle x'$ 和大于 $\displaystyle x''$, 从而 $\displaystyle I_k\ni x',x''$. (2)、 回到题目. 对 $\displaystyle \forall\ a\leq c < d\leq b$, 由 $\displaystyle [c,d]\subset \bigcup_{x\in [c,d]}(x-\delta_x,x+\delta_x)$ 及第 1 步知
$$\begin{aligned} &\exists\ \delta > 0,\mathrm{ s.t.} \forall\ x',x''\in [c,d], x' < x'', \exists\ x\in [c,d],\mathrm{ s.t.} \\\\ &x',x''\in (x-\delta_x,x+\delta_x)\Rightarrow f(x')\leq f(x''). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
取 $\displaystyle n\in\mathbb{Z}_+$ 使得 $\displaystyle \frac{d-c}{n} < \delta$, 并将 $\displaystyle [c,d]$ $\displaystyle n$ 等分, 记分点为
$$\begin{aligned} c=x_0 < x_1 < \cdots < x_n < d, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则由 $\displaystyle x_i-x_{i-1}=\frac{d-c}{n} < \delta$ 知
$$\begin{aligned} f(c)=f(x_0)\leq f(x_1)\leq \cdots\leq f(x_n)=f(d). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这就证明了 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle [a,b]$ 上递增.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
17、 6、 叙述非空数集 $\displaystyle E$ 的下确界定义, 并证明: 若 $\displaystyle E$ 为有界非空数集, 实数 $\displaystyle \alpha=\inf E$ ($E$ 的下确界), 且 $\displaystyle \alpha\not\in E$, 则在 $\displaystyle E$ 中可选取严格单调递减数列 $\displaystyle \left\{x_n\right\}$, 使得 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n=\alpha$. (湘潭大学2023年数学分析考研试题) [实数理论 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 一言以蔽之, 下确界不属于集合时, 可严格递减逼近. (1)、 由 $\displaystyle \alpha=\inf E\not E$ 知 $\displaystyle \forall\ x\in E, x > \alpha$. (2)、 任取 $\displaystyle x_1\in E$. 若 $\displaystyle x_k (k\geq 1)$ 已给定, 则取 $\displaystyle \delta=\min\left\{x_k-\alpha,\frac{1}{k}\right\}$, 则
$$\begin{aligned} \exists\ x_{k+1}\in E,\mathrm{ s.t.} \alpha < x_{k+1} < \alpha+\delta\Rightarrow x_{k+1} < x_k, \alpha < x_{k+1} < \alpha+\frac{1}{k}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle x_k\mbox{严}\searrow , \to \alpha$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
18、 1、 (15 分)设 $\displaystyle f$ 是定义在集合 $\displaystyle I$ 上的实值函数. (1)、 (5 分) 叙述 $\displaystyle f$ 在集合 $\displaystyle I$ 上有上确界的定义; (2)、 (10 分) 设 $\displaystyle f$ 在集合 $\displaystyle I$ 上有界, 记 $\displaystyle M=\sup_{x\in I}f(x), m=\inf_{x\in I}f(x)$. 证明:
$$\begin{aligned} \sup_{x',x''\in I}|f(x')-f(x'')|=M-m. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(新疆大学2023年数学分析考研试题) [实数理论 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 $\displaystyle M=\sup_I f$ 当且仅当 $\displaystyle \forall\ x\in I, f(x)\leq M; \forall\ \varepsilon > 0,\exists\ x\in I,\mathrm{ s.t.} f(x) > M-\varepsilon$. (2)、 若 $\displaystyle M=m$, 则 $\displaystyle f$ 为常值函数, 结论自明. 若 $\displaystyle M > m$, 则 (2-1)、 先证 $\displaystyle M-m$ 是上界. 由
$$\begin{aligned} m=\inf_I f\leq f(x)\leq \sup_I f=M,\quad \forall\ x\in I \qquad(ch1z16: 1)\tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知
$$\begin{aligned} -M\leq -f(x)\leq -m,\quad \forall\ x\in I. \qquad(ch1z16: 2)\tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
在 (ch1z16: 1) 中取 $\displaystyle x=x'$, 在 (ch1z16: 2) 中取 $\displaystyle x=x''$ 后相加得
$$\begin{aligned} &m-M\leq f(x')-f(x'')\leq M-m\\\\ \Rightarrow&|f(x')-f(x'')|\leq M-m.\tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2-2)、 再证 $\displaystyle M-m$ 是最小上界.
$$\begin{aligned} 0 < \alpha < M-m&\Rightarrow \alpha+m < M=\sup_I f\\\\ &\Rightarrow \exists\ x_\alpha'\in I,\mathrm{ s.t.} f(x_\alpha') > \alpha+m\\\\ &\Rightarrow \exists\ x_\alpha'\in I,\mathrm{ s.t.} m < f(x_\alpha')-\alpha\\\\ &\Rightarrow \exists\ x_\alpha'\in I, x_\alpha''\in I,\mathrm{ s.t.} f(x_\alpha'') < f(x_\alpha')-\alpha\\\\ &\Rightarrow \exists\ x_\alpha'\in I, x_\alpha''\in I,\mathrm{ s.t.} f(x_\alpha')-f(x_\alpha'') > \alpha > 0\\\\ &\Rightarrow \exists\ x_\alpha'\in I, x_\alpha''\in I,\mathrm{ s.t.} |f(x_\alpha')-f(x_\alpha'')| > \alpha.\tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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19、 3、 (15 分) 设 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle [a,b]$ 上连续, 证明: $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,b]$ 上有界. (新疆大学2023年数学分析考研试题) [实数理论 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 对 $\displaystyle \forall\ x\in [a,b]$, 由 $\displaystyle \lim_{t\to x}f(t)=f(x)$ 及函数极限的局部保号性知
$$\begin{aligned} \exists\ M_x > 0, \exists\ \delta_x > 0,\mathrm{ s.t.} \forall\ t\in U(x;\delta_x)\cap [a,b], |f(t)|\leq M_x. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由 $\displaystyle [a,b]\subset \bigcup_{x\in [a,b]}U(x;\delta_x)$ 及有限覆盖定理知
$$\begin{aligned} [a,b]\subset \bigcup_{i=1}^m U(x_i;\delta_{x_i}). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
令 $\displaystyle M=\max_{1\leq i\leq m}M_{x_i}$, 则
$$\begin{aligned} x\in [a,b]&\Rightarrow \exists\ 1\leq i\leq m,\mathrm{ s.t.} x\in U(x_i; \delta_{x_i}) \Rightarrow |f(x)|\leq M_{x_i}\leq M. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这就证明了 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle [a,b]$ 上有界 $\displaystyle M$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
20、 9、 (20 分) 叙述闭区间套定理, 并应用其证明连续函数的零点存在定理. (云南大学2023年数学分析考研试题) [实数理论 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 闭区间套定理. 设 $\displaystyle [a_{n+1},b_{n+1}]\subset [a_n,b_n], \lim_{n\to\infty}(b_n-a_n)=0$, 则
$$\begin{aligned} \exists\ |\ \xi\in \bigcap_{n=1}^\infty [a_n,b_n]. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2)、 设 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle [a,b]$ 上连续, $\displaystyle f(a)f(b) < 0$. 令 $\displaystyle [a_0,b_0]=[a,b]$. 将 $\displaystyle [a_0,b_0]$ 二等分, 则 $\displaystyle f(a)f\left(\frac{a+b}{2}\right)\leq 0$ 或 $\displaystyle f(b)f\left(\frac{a+b}{2}\right)\leq 0$. 若前一情形成立, 则取 $\displaystyle [a_1,b_1]=\left[a,\frac{a+b}{2}\right]$; 如后一情形成立, 则取 $\displaystyle [a_1,b_1]=\left[\frac{a+b}{2},b\right]$. 若 $\displaystyle [a_n,b_n]\ (n\geq 1)$ 以取得, 满足 $\displaystyle f(a_n)f(b_n)\leq 0$, 则将 $\displaystyle [a_n,b_n]$ 二等分. 我们有
$$\begin{aligned} f(a_n)f\left(\frac{a_n+b_n}{2}\right)\leq 0\mbox{或} f(b_n)f\left(\frac{a_n+b_n}{2}\right)\leq 0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
若前一情形成立, 则取 $\displaystyle [a_{n+1},b_{n+1}]=\left[a_n,\frac{a_n+b_n}{2}\right]$; 如后一情形成立, 则取 $\displaystyle [a_{n+1},b_{n+1}]=\left[\frac{a_n+b_n}{2},b_n\right]$. 如此得到闭区间套
$$\begin{aligned} \left\{[a_n,b_n]\right\}: b_n-a_n=\frac{1}{2^n}(b-a)\xrightarrow{n\to\infty}0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由闭区间套定理知
$$\begin{aligned} &\exists\ |\ \xi\in \bigcap_{n=1}^\infty [a_n,b_n] \Rightarrow \lim_{n\to\infty}a_n=\xi=\lim_{n\to\infty}b_n\\\\ \Rightarrow& [f(\xi)]^2=\lim_{n\to\infty}f(a_n)\cdot \lim_{n\to\infty}f(b_n) =\lim_{n\to\infty}[f(a_n)f(b_n]\leq 0\Rightarrow f(\xi)=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这就证明了零点存在定理.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
21、 4、 叙述实数的确界原理及有限覆盖定理, 并用确界原理证明有限覆盖定理. (中国矿业大学(徐州)2023年数学分析考研试题) [实数理论 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 确界原理: 数轴上任意非空有上界集合有上确界. 有限覆盖定理: $\displaystyle [a,b]$ 的任一开覆盖都有有限子覆盖. 往用确界原理证明有限覆盖定理. 设 $\displaystyle \left\{O_\alpha\right\}$ 是 $\displaystyle [a,b]$ 的一个开覆盖. 设
$$\begin{aligned} A=\left\{x\in [a,b]; [a,x]\mbox{在 $\displaystyle \left\{O_\alpha\right\}$ 中存在有限子覆盖}\right\}, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则由 $\displaystyle a\in [a,b]\subset\bigcup_\alpha O_\alpha$ 知
$$\begin{aligned} \exists\ \alpha,\mathrm{ s.t.} a\in O_\alpha\Rightarrow \exists\ \delta\in (0,b-a),\mathrm{ s.t.} [a,a+\delta)\subset O_\alpha. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是 $\displaystyle [a,a+\delta)\subset A\Rightarrow A\neq \varnothing$, 且 $\displaystyle A$ 有上界 $\displaystyle b$. 由确界原理知 $\displaystyle \xi=\sup A$ 存在, 且 $\displaystyle a+\delta\leq \xi\leq b$. (1)、 先证 $\displaystyle [a,\xi)\subset A$. 事实上, 对 $\displaystyle \forall\ x\in [a,\xi)$,
$$\begin{aligned} &x < \xi=\sup A\Rightarrow \exists\ y\in A,\mathrm{ s.t.} x < y\\\\ \Rightarrow&x\in [a,y]\mbox{在 $\displaystyle \left\{O_\alpha\right\}$ 中存在有限子覆盖}\\\\ \Rightarrow& [a,x]\mbox{在 $\displaystyle \left\{O_\alpha\right\}$ 中存在有限子覆盖}\Rightarrow x\in A . \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2)、 再者 $\displaystyle \xi\in A$. 事实上,
$$\begin{aligned} &\xi\in [a,b]\subset\bigcup_\alpha O_\alpha \Rightarrow \exists\ \alpha_0,\mathrm{ s.t.} \xi\in O_{\alpha_0}\\\\ \Rightarrow&\exists\ \delta_1\in \left\{0,\delta\right\},\mathrm{ s.t.} \xi\in \left(\xi-\delta_1,\xi+\delta_1\right)\subset O_{\alpha_0}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
又由第 1 步知 $\displaystyle \xi-\frac{\delta_1}{2}\in A\Rightarrow \left[a,\xi-\frac{\delta_1}{2}\right]$ 在 $\displaystyle \left\{O_\alpha\right\}$ 中存在有限子覆盖 $\displaystyle O_{\alpha_1},\cdots, O_{\alpha_m}$, 将其并上 $\displaystyle O_{\alpha_0}$ 就成为了 $\displaystyle [a,\xi]$ 的有限子覆盖. 这就证明了 $\displaystyle \xi\in A$. (3)、 往用反证法证明 $\displaystyle A\ni \xi=b$. 若不然, $\displaystyle \xi < b$. 则在第 2 步中取 $\displaystyle \delta_1=\left(0,\min\left\{\delta,b-\xi\right\}\right)$, 则 $\displaystyle \left\{O_{\alpha_i}\right\}_{i=0}^m$ 就是 $\displaystyle \left[a,\xi+\frac{\delta_1}{2}\right]$ 的有限子覆盖. 由 $\displaystyle A$ 的定义知
$$\begin{aligned} \xi+\frac{\delta_1}{2}\in A\Rightarrow \xi+\frac{\delta_1}{2}\leq \sup A=\xi. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这是一个矛盾. 故有结论.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
22、 1、 (15 分) 计算下列极限: (1)、 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n+\sqrt{1}}+\frac{1}{n+\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{n+\sqrt{n}}\right)$; (安徽大学2023年数学分析考研试题) [数列极限 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由
$$\begin{aligned} \frac{n}{n+\sqrt{n}}=\sum_{k=1}^n \frac{1}{n+\sqrt{n}} < \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+\sqrt{k}} < \sum_{k=1}^n \frac{1}{n}=1 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
及迫敛性知原式 $\displaystyle =1$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
23、 (3)、 计算 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2^2}} +\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^2+n^2}}\right)$. (北京科技大学2023年数学分析考研试题) [数列极限 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /
$$\begin{aligned} \mbox{原式}&=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{n^2+k^2}} =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{k}{n}\right)^2}} =\int_0^1 \frac{\mathrm{ d} x}{\sqrt{1+x^2}}\\\\ & \stackrel{x=\tan \theta}{=}\int_0^\frac{\pi}{4}\sec \theta\mathrm{ d} \theta=\left.\ln (\sec\theta+\tan \theta)\right|_0^\frac{\pi}{4} =\ln \left(\sqrt{2}+1\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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