北京大学2011年数学直博考试试题

zhangzujin

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北京大学2011年数学直博考试试题

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1、 $\displaystyle f(x)$ 是定义在 $\displaystyle [0,1]$ 上的凹函数, 经过点 $\displaystyle (0,0), (1,0), \left(\frac{1}{3},2\right)$, 并且 $\displaystyle f(x)$ 满足 $\displaystyle \int_0^1 f(x)\mathrm{ d} x=1$, 试作出 $\displaystyle y=f(x)$ 的图像.

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2、

(1)、 设 $\displaystyle f(x)\in C[0,1], f(0)=f(1)$. 证明:

$$\begin{aligned} \forall\ 0 < \alpha < 1, \frac{1}{\alpha}\in\mathbb{N}, \exists\ \xi\in [0,1-\alpha],\mathrm{ s.t.} f(\xi+\alpha)=f(\xi). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

(2)、 证明:

$$\begin{aligned} &\forall\ 0 < \alpha < 1, \frac{1}{\alpha}\not\in \mathbb{N}, \exists\ g(x)\in C[0,1], g(0)=g(1),\\\\ &\mathrm{ s.t.} \forall\ x\in [0,1-\alpha], g(x+\alpha)-g(x)\neq 0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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3、 设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x_0$ 的某个邻域内连续, 以下说法是否成立?

(1)、 若 $\displaystyle D_+f(x_0)$ 存在, 则 $\displaystyle D_0f(x_0)$ 存在,

(2)、 若 $\displaystyle D_0f(x_0)$ 存在, 则 $\displaystyle D_-f(x_0)$ 存在,

其中

$$\begin{aligned} D_+f(x_0)&=\lim_{x_1,x_2\to x_0\atop (x_1-x_0)(x_2-x_0) > 0} \frac{f(x_1)-f(x_1)}{x_1-x_2},\\\\ D_0f(x_0)&=\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0},\\\\ D_-f(x_0)&=\lim_{x_1,x_2\to x_0\atop (x_1-x_0)(x_2-x_0) < 0}\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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4、 设 $\displaystyle a_n\geq 0, \sum_{n=1}^\infty a_n^2$ 发散. 证明: 存在 $\displaystyle \left\{b_n\right\}, \left\{c_n\right\}$ 满足

$$\begin{aligned} b_n, c_n\geq 0, \sum_{n=1}^\infty b_n^2 < \infty, \sum_{n=1}^\infty c_n^2 < \infty, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

使得 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_nb_n < \infty$, $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_nc_n$ 发散.

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5、 设

$$\begin{aligned} f(x)&=x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_n,\\\\ g(x)&=x^m+b_1x^{m-1}+\cdots+b_{m-1}x+b_m, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

$\displaystyle A_{m+n}$ 为 $\displaystyle m+n$ 阶方阵, 前 $\displaystyle m$ 行是 $\displaystyle f(x)$ 的系数, 后 $\displaystyle n$ 行是 $\displaystyle g(x)$ 的系数, 即

$$\begin{aligned} \left(\begin{array}{cccccccccc} 1&a_1&a_2&\cdots&a_n&&&\\\\ &1&a_1&a_2&\cdots&a_n&&\\\\ &&\ddots&\ddots&\ddots&&\ddots&&\\\\ &&&1&a_1&a_2&\cdots&a_n\\\\ 1&b_1&b_2&\cdots&b_m&&&&\\\\ &1&b_1&b_2&\cdots&b_m&&&\\\\ &&\ddots&\ddots&\ddots&&\ddots&\\\\ &&&1&b_1&b_2&\cdots&b_m \end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

证明: $\displaystyle f(x)$ 和 $\displaystyle g(x)$ 的最大公因式的次数等于 $\displaystyle m+n-\mathrm{rank}(A_{m+n})$.

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6、

(1)、 设 $\displaystyle U$ 是 $\displaystyle ABX=0$ 的基础解系, 其中 $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle m\times n$ 矩阵, $\displaystyle B$ 是 $\displaystyle n\times p$ 矩阵, $\displaystyle X$ 是 $\displaystyle p\times 1$ 矩阵, $\displaystyle W$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}^n$ 的子空间,

$$\begin{aligned} W=\left\{Y=BX; X\in U\right\}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

证明: $\displaystyle W$ 的维数是 $\displaystyle \mathrm{rank}(B)-\mathrm{rank}(AB)$.

(2)、 证明: 对任意矩阵 $\displaystyle A,B,C$, 有

$$\begin{aligned} \mathrm{rank}(AB)+\mathrm{rank}(BC)\leq \mathrm{rank}(B)+\mathrm{rank}(ABC). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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7、 设 $\displaystyle A,B$ 是 $\displaystyle n$ 阶方阵, $\displaystyle A,B$ 可交换, $\displaystyle B$ 是幂零矩阵, 证明: $\displaystyle A+B$ 和 $\displaystyle A$ 有相同的特征多项式.

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8、 设 $\displaystyle \varGamma: x^2+y^2-z^2=1$, 平面 $\displaystyle \varSigma(\theta)$ 过直线 $\displaystyle \left\{\begin{array}{llllllllllll} x=1,\\\\ z=0,\end{array}\right.$ 与平面 $\displaystyle z=0$ 夹角为 $\displaystyle \theta$.

(1)、 当 $\displaystyle \theta$ 从 $\displaystyle 0$ 到 $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ 连续变化时, $\displaystyle \varSigma(\theta)\cap \varGamma$ 表示曲线是哪种类型?

(2)、 证明: 若平面 $\displaystyle Ax+By+Cz+D=0$ 与 $\displaystyle \varGamma$ 交线为两条直线, 则 $\displaystyle A^2+B^2=C^2+D^2$.

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9、 设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上有定义, $\displaystyle \int_0^{+\infty}f(x)\mathrm{ d} x$ 收敛, 依次验证下列条件是否能够推出 $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=0$.

(1)、 $\displaystyle f(x)\in C^\infty$;

(2)、 $\displaystyle \int_0^\infty |f(x)|^3\mathrm{ d} x$ 收敛;

(3)、 $\displaystyle \int_0^\infty |f'(x)|^2\mathrm{ d} x$ 收敛;

(4)、 $\displaystyle \int_0^\infty |f''(x)|\mathrm{ d} x$ 收敛.

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10、 求下面几何体的体积:

$$\begin{aligned} -1\leq x_1,x_2,\cdots, x_n\leq 1, -1\leq x_1+x_2+\cdots+x_n\leq 1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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11、 对任意 $\displaystyle n$ 维列向量 $\displaystyle \alpha,\beta, \alpha^\mathrm{T} A\beta=0$ 当且仅当 $\displaystyle \beta^\mathrm{T} A\alpha=0$. 证明: $\displaystyle A$ 对称或反对称.

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12、 平面上直线 $\displaystyle AA',BB',CC'$ 平行, $\displaystyle AB$ 和 $\displaystyle A'B'$ 交于点 $\displaystyle D$, $\displaystyle BC$ 与 $\displaystyle B'C'$ 交于点 $\displaystyle E$, $\displaystyle CA$ 与 $\displaystyle C'A'$ 交于点 $\displaystyle F$. 证明: $\displaystyle D,E,F$ 共线.