北京大学2015年数学直博考试试题

zhangzujin

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北京大学2015年数学直博考试试题

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1、 (90 分) 设 $\displaystyle y=f(x)$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的 $\displaystyle C^\infty$ 函数, 对任意正数 $\displaystyle k\geq 0$, 记

$$\begin{aligned} M_k=\sup_{x\in\mathbb{R}} |f^{(k)}(x)|. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

设 $\displaystyle m$ 和 $\displaystyle n$ 为两整数, $\displaystyle 0\leq m < n$, 试分别就下列情况, 给出你的结论和证明.

(1)、 如果 $\displaystyle M_m$ 和 $\displaystyle M_n$ 均有界, 那么对哪些正数 $\displaystyle k$, $\displaystyle M_k$ 有界? 对哪些整数 $\displaystyle k$, $\displaystyle M_k$ 可以无界?

(2)、 如果 $\displaystyle \lim_{x\to+\infty} |f^{(m)}(x)|$ 存在有限极限, 而 $\displaystyle M_n$ 有界, 则对哪些自然数 $\displaystyle k$, 极限 $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}|f^{(k)}(x)|$ 也存在极限?

(3)、 如果 $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}|f^{(m)}(x)|$ 和 $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}|f^{(n)}(x)|$ 都存在有限极限, 则对哪些自然数 $\displaystyle k$, 极限 $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}|f^{(k)}(x)|$ 也存在极限?

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2、 (30 分) 判断级数 $\displaystyle \sum_{n=2}^\infty \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}+(-1)^{[\sqrt{n}]}}$ 的敛散性, 其中 $\displaystyle [x]$ 表示 $\displaystyle x$ 的取整.

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3、 (30 分) 证明

$$\begin{aligned} \int_0^1 \int_0^1 \frac{1}{(xy)^{xy}}\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y =\int_0^1 \frac{1}{x^x}\mathrm{ d} x=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^n}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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4、 (25 分) 设 $\displaystyle A$ 是一个 $\displaystyle n$ 阶方阵, 且 $\displaystyle n\geq 3$, $\displaystyle A^\star$ 是 $\displaystyle A$ 的伴随矩阵 (即 $\displaystyle A$ 的代数余子式所组成的矩阵). 试证明, 若 $\displaystyle (A^\star )^\star \neq 0$ (零矩阵), 则 $\displaystyle A$ 可逆, 且此时 $\displaystyle (A^\star )^\star$ 是 $\displaystyle A$ 的一个纯量倍.

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5、 (25 分) 设 $\displaystyle A$ 是一个 $\displaystyle 3$ 阶实方阵, 考虑 $\displaystyle A$ 所定义的线性变换 $\displaystyle \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3, \alpha\mapsto A\alpha$ ($\alpha$ 是列向量). 试证明: 若 $\displaystyle AA^\mathrm{T}=A^\mathrm{T} A$ (其中 $\displaystyle A^\mathrm{T}$ 是指 $\displaystyle A$ 的转置矩阵), 则上述线性变换必有一个 $\displaystyle 2$ 维不变子空间.

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6、 (25 分) 设 $\displaystyle A$ 和 $\displaystyle B$ 是复数域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上的两个 $\displaystyle n$ 阶方阵, 并且 $\displaystyle A$ 有 $\displaystyle n$ 个特征值 $\displaystyle 1,2,\cdots,n$, $\displaystyle B$ 也有 $\displaystyle n$ 个特征值 $\displaystyle \sqrt{p_1},\cdots, \sqrt{p_n}$, 其中 $\displaystyle p_1,\cdots,p_n$ 是前 $\displaystyle n$ 个素数 (比如 $\displaystyle p_1=2, p_2=3$ 等). 试证明: $\displaystyle M_n(\mathbb{C})$ 上的线性变换 $\displaystyle X\mapsto AXB$ 是可以对角化的.

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7、 (20 分) 设

$$\begin{aligned} A=\left(\begin{array}{cccccccccc}-2&1&3\\\\ -2&1&2\\\\ -1&1&2\end{array}\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

试找出两个没有常数项的多项式 $\displaystyle f(x)$ 和 $\displaystyle \varphi(x)$, 使得下列三个条件同时成立:

(1)、 $\displaystyle f(A)$ 可对角化;

(2)、 $\displaystyle \varphi(A)$ 是幂零矩阵;

(3)、 $\displaystyle A=f(A)+\varphi(A)$.

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8、 几何部分共 5 道小题, 每题 10 分.

(1)、 三维欧氏空间中共取定直角坐标系. 有一直线 $\displaystyle l$ 过点 $\displaystyle (1,0,0)$ 且方向向量为 $\displaystyle (0,1,1)$. $\displaystyle l$ 绕 $\displaystyle z$ 轴旋转生成一个二次曲面 $\displaystyle S$. 试写出此二次曲面的代数方程 (形如 $\displaystyle f(x,y,z)=0$).

(2)、 设有一固定平面 $\displaystyle \varSigma$, 具有以下性质: 上述直线 $\displaystyle l$ 在绕 $\displaystyle z$ 轴旋转过程中总是与 $\displaystyle \varSigma$ 相交. 考虑与 $\displaystyle \varSigma$ 平行的平面族 $\displaystyle \varSigma_t, t\in\mathbb{R}, \varSigma_0=\varSigma$. 试证明 $\displaystyle \varSigma_t\cap S$ 总是椭圆.

(3)、 试证明 $\displaystyle t$ 值变化过程中, 上述各椭圆的中心总落在一个过原点的空间定直线 $\displaystyle L$ 上.

(4)、 固定 $\displaystyle L$ 上任一点 $\displaystyle p$, 试证明: 由 $\displaystyle p$ 向曲面 $\displaystyle S$ 作的各条切线的切点都落在一条椭圆 $\displaystyle \varGamma_p$ 上, 且椭圆 $\displaystyle \varGamma_p$ 所在平面是 $\displaystyle \varSigma_t$ 之一.

(5)、 $\displaystyle S$ 把它在空间的补集分成内额外两个连通分支, 其中外部区域不包含原点. 取上一小题所述椭圆 $\displaystyle \varSigma$ 所在平面落在 $\displaystyle S$ 外部的一点 $\displaystyle \hat p$. 试证明: 从 $\displaystyle \hat p$ 向 $\displaystyle S$ 所作的各条切线之切点落在一条双曲线 $\displaystyle \hat \varGamma$ 上, 且 $\displaystyle \hat \varGamma$ 所在平面过 $\displaystyle p$ 点.