张祖锦2023年数学专业真题分类70天之第58天

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张祖锦2023年数学专业真题分类70天之第58天

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1312、 (3)、 (20 分) 设 $\displaystyle A$ 为 $\displaystyle n$ 阶实对称矩阵, $\displaystyle n\geq 2$,

$$\begin{aligned} W=\left\{X\in\mathbb{R}^n; X^\mathrm{T} AX=0\right\}, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

其中 $\displaystyle \mathbb{R}^n$ 为 $\displaystyle n$ 维实列向量空间. 证明: $\displaystyle W$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^n$ 的子空间当且仅当 $\displaystyle A$ 为半正定阵或半负定阵. (安徽大学2023年高等代数考研试题) [二次型 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle W$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^n$ 的一个子空间 $\displaystyle \Leftrightarrow A$ 半正定或半负定, 且 $\displaystyle \dim W=n-\mathrm{rank} A$. (3-1)、 $\displaystyle \Leftarrow$: 如有必要, 用 $\displaystyle -W$ 代替 $\displaystyle W$, 而可设 $\displaystyle W$ 半正定, 存在可逆矩阵 $\displaystyle P$ 使得

$$\begin{aligned} P^\mathrm{T} AP=\mathrm{diag}(E_r,0). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

于是

$$\begin{aligned} W&=\left\{X\in\mathbb{R}^n; X^\mathrm{T} AX=0\right\}\\\\ &=\left\{PY\in\mathbb{R}^n; Y^\mathrm{T} \mathrm{diag}(E_r,0)Y=0, Y\in\mathbb{R}^n\right\}\\\\ &=\left\{PY; y_1^2+\cdots+y_r^2=0\right\}\\\\ &=\left\{P(\underbrace{0,\cdots,0}_r,y_{r+1},\cdots,y_n)^\mathrm{T}; y_i\in\mathbb{R}, r+1\leq i\leq n\right\}\\\\ &=L(Pe_{r+1},\cdots, Pe_n). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

据此即知 $\displaystyle W$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}^n$ 的子空间, 且 $\displaystyle \dim W=n-r=n-\mathrm{rank} A$. (3-2)、 $\displaystyle \Rightarrow$: 用反证法. 若 $\displaystyle A$ 既不是半正定, 也不是半负定, 则存在可逆阵 $\displaystyle P$ 使得

$$\begin{aligned} P^\mathrm{T} AP=\mathrm{diag}(E_r,-E_s,0), r\geq 1, s\geq 1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

于是

$$\begin{aligned} W&=\left\{X\in\mathbb{R}^n; X^\mathrm{T} AX=0\right\}\\\\ &=\left\{PY; Y^\mathrm{T} \mathrm{diag}(E_r,-E_s,0)Y=0, Y\in\mathbb{R}^n\right\}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

由

$$\begin{aligned} &(e_1\pm e_{p+1})^\mathrm{T} \mathrm{diag}(E_r,-E_s,0)(e_1\pm e_{p+1}) =(\pm 1)^2-(\pm 1)^2=0,\\\\ &(2e_1)^\mathrm{T} \mathrm{diag}(E_r,-E_s,)(2e_1)=4\neq 0 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

知

$$\begin{aligned} P(e_1\pm e_{p+1})\in W, P(2e_1)=P(e_1+e_{p+1})+P(e_1-e_{p+1})\not\in W. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

这就证明了 $\displaystyle W$ 不是 $\displaystyle \mathbb{R}^n$ 的子空间. 故有结论.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

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1313、 4、 (15 分) 设 $\displaystyle f(x_1,x_2,x_3,x_4)=X^\mathrm{T} AX$ 为实系数二次型, 实对称矩阵 $\displaystyle A$ 的特征值为 $\displaystyle \lambda_1=1$ (二重), $\displaystyle \lambda_2=-1$ (二重), 且

$$\begin{aligned} \varepsilon_1=(1,1,0,0)^\mathrm{T}, \varepsilon_2=(1,1,0,1)^\mathrm{T} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

为属于特征值 $\displaystyle \lambda_1=1$ 的特征向量. 求二次型 $\displaystyle f(x_1,x_2,x_3,x_4)$ 的表达式. (北京科技大学2023年高等代数考研试题) [二次型 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle x$ 是 $\displaystyle A$ 的属于特征值 $\displaystyle \lambda_2=-1$ 的特征向量, 则

$$\begin{aligned} \varepsilon_i^\mathrm{T} x=0, i=1,2\Leftrightarrow Bx=0, B=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1&0&0\\\\ 1&1&0&1\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

由 $\displaystyle B\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1&0&0\\\\ 0&0&0&1\end{array}\right)$ 知取 $\displaystyle x_2,x_3$ 为自由变量后, $\displaystyle Bx=0$ 的基础解系为

$$\begin{aligned} \varepsilon_3=(-1,1,0,0)^\mathrm{T}, \varepsilon_4=(0,0,1,0)^\mathrm{T}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

设 $\displaystyle P=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3,\varepsilon_4)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1&-1&0\\\\ 1&1&1&0\\\\ 0&0&0&1\\\\ 0&1&0&0\end{array}\right)$, 则

$$\begin{aligned} &P^{-1}AP=\mathrm{diag}(1,1,-1,-1)\Rightarrow A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&1&0&0\\\\ 1&0&0&0\\\\ 0&0&-1&0\\\\ 0&0&0&1\end{array}\right)\\\\ \Rightarrow& f(X)=2x_1x_2-x_3^2+x_4^2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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1314、 3、 已知 $\displaystyle A$ 而二阶实对称矩阵, 且 $\displaystyle |A|=36, \mathrm{tr} A=13$. (1)、 证明: $\displaystyle A$ 为正定矩阵; (2)、 判断二次曲线 $\displaystyle X^\mathrm{T} AX=4$ 的形状, 其中 $\displaystyle X=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}x\\\\y\end{array}\right)$. (北京理工大学2023年高等代数考研试题) [二次型 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle A$ 的特征值为 $\displaystyle \lambda_1,\lambda_2\in\mathbb{R}$, 则由题设,

$$\begin{aligned} \lambda_1\lambda_2=36, \lambda_1+\lambda_2=13\Rightarrow \lambda_1=4, \lambda_2=9. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

故 $\displaystyle A$ 正定. 再者, 存在正交矩阵 $\displaystyle P$, 使得 $\displaystyle P^\mathrm{T} AP=\mathrm{diag}(4,9)$. 故经过正交线性替换 $\displaystyle X=PY$ 后, 二次曲线

$$\begin{aligned} 4=X^\mathrm{T} AX=4y_1^2+9y_2^2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

这是一个椭圆.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

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1315、 2、 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}4&4&4\\\\ 0&4&4\\\\ 0&0&4\end{array}\right)$. 用正交线性替换将二次型 $\displaystyle f(x)=x^\mathrm{T} Ax$ 化为标准形. (北京师范大学2023年高等代数与解析几何考研试题) [二次型 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle f$ 的矩阵为 $\displaystyle B=\frac{A^\mathrm{T}+A}{2}=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}4&2&2\\\\ 2&4&2\\\\ 2&2&4\end{array}\right)$. 易知 $\displaystyle A$ 的特征值为 $\displaystyle 8,2,2$. 由

$$\begin{aligned} 8E-A\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 1&0&-1\\\\ 0&1&-1\\\\ 0&0&0 \end{array}\right), 2E-A\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1&1\\\\ 1&1&1\\\\ 0&0&0 \end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

知 $\displaystyle A$ 的属于特征值 $\displaystyle 8,2$ 的特征向量分别为

$$\begin{aligned} \xi_1=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1\\\\1\\\\1 \end{array}\right), \xi_2=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-1\\\\1\\\\0 \end{array}\right), \xi_3=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-1\\\\0\\\\1 \end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

将 $\displaystyle \xi_1,\xi_2,\xi_3$ 标准正交化为 $\displaystyle \eta_1,\eta_2,\eta_3$. 令

$$\begin{aligned} P=(\eta_1,\eta_2,\eta_3)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\frac{1}{\sqrt{3}}&-\frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{6}}\\\\ \frac{1}{\sqrt{3}}&\frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{6}}\\\\ \frac{1}{\sqrt{3}}&0&\frac{2}{\sqrt{6}}\end{array}\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

则 $\displaystyle P$ 正交, 且

$$\begin{aligned} P^\mathrm{T} AP=P^{-1}AP=\mathrm{diag}(8,2,2). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

故经过正交线性替换 $\displaystyle x=Py$ 后, $\displaystyle f$ 化为了标准形 $\displaystyle 8y_1^2+2y_2^2+2y_3^2$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

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1316、 (2)、 用正交线性替换化二次型

$$\begin{aligned} f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+3x_2^2-x_3^2+4x_1x_3 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

为标准形, 写出所作正交线性替换以及标准形. (大连理工大学2023年高等代数考研试题) [二次型 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle f$ 的矩阵为 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&0&2\\\\ 0&3&0\\\\ 2&0&-1\end{array}\right)$. 易知 $\displaystyle A$ 的特征值为 $\displaystyle 3,3,-2$. 由

$$\begin{aligned} 3E-A\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 1&0&-2\\\\ 0&0&0\\\\ 0&0&0 \end{array}\right), -2E-A\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&\frac{1}{2}\\\\ 0&1&0\\\\ 0&0&0 \end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

知 $\displaystyle A$ 的属于特征值 $\displaystyle 3,-2$ 的特征向量分别为

$$\begin{aligned} \xi_1=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0\\\\1\\\\0 \end{array}\right), \xi_2=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2\\\\0\\\\1 \end{array}\right); \xi_3=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-1\\\\0\\\\2 \end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

将 $\displaystyle \xi_1,\xi_2,\xi_3$ 标准正交化为 $\displaystyle \eta_1,\eta_2,\eta_3$. 令

$$\begin{aligned} P=(\eta_1,\eta_2,\eta_3)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 0&\frac{2}{\sqrt{5}}&-\frac{1}{\sqrt{5}}\\\\ 1&0&0\\\\ 0&\frac{1}{\sqrt{5}}&\frac{2}{\sqrt{5}}\end{array}\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

则 $\displaystyle P$ 正交, 且

$$\begin{aligned} P^\mathrm{T} AP=P^{-1}AP=\mathrm{diag}\left(3,3,-2\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

故经过正交线性替换 $\displaystyle X=PY$ 后, $\displaystyle f$ 化为了标准形 $\displaystyle 3y_1^2+3y_2^2-2y_3^2$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

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1317、 3、 混合题. (1)、 已知 $\displaystyle A=(a_{ij})$ 为一个 $\displaystyle n$ 阶实矩阵, 对角元 $\displaystyle a_{ii}=a > 0\ (i=1,\cdots,n)$, 且对任意的 $\displaystyle 1\leq i\leq n$, 有

$$\begin{aligned} \sum_{j=1}^n (|a_{ij}|+|a_{ji}|) < 4a. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

设二次型 $\displaystyle f=X^\mathrm{T} AX$, 其中 $\displaystyle X$ 为实 $\displaystyle n$ 维列向量. (1-1)、 求二次型 $\displaystyle f$ 的矩阵 $\displaystyle B=(b_{ij})$; (1-2)、 证明: $\displaystyle b_{ii} > \sum_{j\neq i}|b_{ij}|, i=1,\cdots,n$; (1-3)、 证明: $\displaystyle f$ 是正定二次型. (大连理工大学2023年高等代数考研试题) [二次型 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由

$$\begin{aligned} f&=\sum_{i,j=1}^n a_{ij}x_ix_j =\sum_{j,i=1}^n a_{ji}x_jx_i\\\\ & =\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^n (a_{ij}+a_{ji})x_ix_j \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

知 $\displaystyle f$ 的矩阵为 $\displaystyle B=\frac{A+A^\mathrm{T}}{2}$. 由题意,

$$\begin{aligned} &b_{11}=\cdots=b_{nn}=a > 0; 1\leq i\leq n\\\\ \Rightarrow& \sum_{j=1}^n |b_{ij}| \leq \frac{1}{2}\sum_{j=1}^n (|a_{ij}|+|a_{ji}|) < 2a\\\\ \Rightarrow& \sum_{j=1,j\neq i}^n |b_{ij}| < a=|b_{ii}|. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

设 $\displaystyle \lambda$ 为 $\displaystyle B$ 的特征值, $\displaystyle \alpha=(a_1,\cdots,a_n)^T$ 为其对应的特征向量, 记 $\displaystyle |a_i|=\max_{1\leq j\leq n}|a_j|$, 则

$$\begin{aligned} &B\alpha =\lambda \alpha =\sum_{j=1}^n b_{ij}a_j=\lambda a_i\\\\ \Rightarrow& \lambda =\frac{1}{a_i} \sum_{j=1}^n b_{ij}a_j \geq b_{ii}-\sum_{j=1,j\neq i} |b_{ij}|\left|\frac{a_j}{a_i}\right| \geq b_{ii}-\sum_{j=1,j\neq i} |b_{ij}| > 0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

这就证明了实对称矩阵 $\displaystyle B$ 的特征值均大于零, 而 $\displaystyle B$ 正定, $\displaystyle f$ 的规范形为

$$\begin{aligned} y_1^2+\cdots+y_n^2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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1318、 (5)、 设实二次型

$$\begin{aligned} f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2-x_2^2+2ax_1x_3+4x_2x_3 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

的负惯性指数是 $\displaystyle 1$, 则 $\displaystyle a$ 的取值范围是 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (电子科技大学2023年高等代数考研试题) [二次型 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle f$ 的矩阵为 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&a\\\\ 0&-1&2\\\\ a&2&0\end{array}\right)$. 由

$$\begin{aligned} &P_1=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&-a\\\\ 0&1&0\\\\ 0&0&1\end{array}\right)\Rightarrow P_1^\mathrm{T} AP_1=A_1=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&0\\\\ 0&-1&2\\\\ 0&2&-a^2\end{array}\right),\\\\ &P_2=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&0\\\\ 0&1&2\\\\ 0&0&1\end{array}\right)\Rightarrow P_2^\mathrm{T} A_1P_2=\mathrm{diag}(1,-1,4-a^2) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

知 $\displaystyle 4-a^2\geq 0\Leftrightarrow -2\leq a\leq 2$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

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1319、 5、 设 $\displaystyle n\ ( > 1)$ 元实二次型

$$\begin{aligned} f(x_1,\cdots,x_n)=(x_1,\cdots,x_n)A\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}x_1\\\\\vdots\\\\x_n\end{array}\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

其中 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&\cdots&0&0\\\\ 2a&1&\cdots&0&0\\\\ \vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\\\ 2a&2a&\cdots&1&0\\\\ 2a&2a&\cdots&2a&1\end{array}\right)$, $\displaystyle a\in \mathbb{R}$. 6、 求 $\displaystyle f$ 在正交线性替换下的标准形 (不用写出正交线性替换). 7、 若实二次型 $\displaystyle f$ 正定, 求 $\displaystyle a$ 的取值范围. (电子科技大学2023年高等代数考研试题) [二次型 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle f$ 的矩阵为 $\displaystyle B=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&a&\cdots&a\\\\ a&1&\cdots&a\\\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\\\ a&a&\cdots&1\end{array}\right)$. 设 $\displaystyle e=(1,\cdots,1)^\mathrm{T}$, 则

$$\begin{aligned} &|\lambda E-B|=|(\lambda-1+a)E-aee^\mathrm{T}|\\\\ =&|(\lambda-1+a)E|\cdot |E-(\lambda-1+a)^{-1}aee^\mathrm{T}|\\\\ =&(\lambda-1+a)^n [1-(\lambda-1+a)^{-1}ae^\mathrm{T} e]\\\\ =&(\lambda-1+a)^n [\lambda-1+a-na]. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

故 $\displaystyle B$ 的特征值为 $\displaystyle 1-a$ ($n-1$ 重), $\displaystyle (n-1)a+1$ (单重). $\displaystyle f$ 在正交线性替换下的标准形为

$$\begin{aligned} (1-a)(y_1^2+\cdots+y_{n-1}^2)+[(n-1)a+1]y_n^2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

$\displaystyle f$ 正定 $\displaystyle \Leftrightarrow 1-a > 0, (n-1)a+1 > 0\Leftrightarrow -\frac{1}{n-1} < a < 1$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

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1320、 (4)、 确定二次型

$$\begin{aligned} f(x_1,x_2,x_3)=4x_1x_2+4x_1x_3+4x_2x_3 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

的正负惯性指数. (福州大学2023年高等代数考研试题) [二次型 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle f$ 的矩阵为 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&2&2\\\\ 2&0&2\\\\ 2&2&0\end{array}\right)$, 易知 $\displaystyle A$ 的特征值为 $\displaystyle 4,-2,-2$, 而 $\displaystyle f$ 的正负惯性指数分别为 $\displaystyle 1,2$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

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1321、 (6)、 (12 分) 将二次型

$$\begin{aligned} f(x_1,x_2,x_3)=3x_1^2+3x_3^2+4x_1x_2+8x_1x_3+4x_2x_3 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

利用正交线性替换化为标准形, 并写出所用的正交线性替换和标准型. (福州大学2023年高等代数考研试题) [二次型 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle f$ 的矩阵为 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}3&2&4\\\\ 2&0&2\\\\ 4&2&3\end{array}\right)$. 易知 $\displaystyle A$ 的特征值为 $\displaystyle 8,-1,-1$. 由

$$\begin{aligned} 8E-A\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&-1\\\\ 0&1&-\frac{1}{2}\\\\ 0&0&0 \end{array}\right), -E-A\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&\frac{1}{2}&1\\\\ 0&0&0\\\\ 0&0&0 \end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

知 $\displaystyle A$ 的属于特征值 $\displaystyle 8,-1$ 的特征向量分别为

$$\begin{aligned} \xi_1=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2\\\\1\\\\2 \end{array}\right);\quad \xi_2=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-1\\\\2\\\\0 \end{array}\right), \xi_3=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-1\\\\0\\\\1 \end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

将 $\displaystyle \xi_1,\xi_2,\xi_3$ 标准正交化为 $\displaystyle \eta_1,\eta_2,\eta_3$. 令

$$\begin{aligned} P=(\eta_1,\eta_2,\eta_3)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\frac{2}{3}&-\frac{1}{\sqrt{5}}&-\frac{4}{3\sqrt{5}}\\\\ \frac{1}{3}&\frac{2}{\sqrt{5}}&-\frac{2}{3\sqrt{5}}\\\\ \frac{2}{3}&0&\frac{\sqrt{5}}{3}\end{array}\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

则 $\displaystyle P$ 正交, 且

$$\begin{aligned} P^\mathrm{T} AP=P^{-1}AP=\mathrm{diag}\left(8,-1,-1\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

故经过正交线性替换 $\displaystyle X=PY$ 后, $\displaystyle f$ 化为了标准形 $\displaystyle 8y_1^2-y_2^2-y_3^2$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

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1322、 (7)、 (14 分) 已知 $\displaystyle A=(a_{ij})_{n\times n}$ 为正定矩阵. 记

$$\begin{aligned} f(x_1,\cdots,x_n)=\left|\begin{array}{cccccccccc}0&x_1&\cdots&x_n\\\\ x_1&a_{11}&\cdots&a_{1n}\\\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\\\ x_n&a_{n1}&\cdots&a_{nn}\end{array}\right|. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

证明: $\displaystyle f(x_1,\cdots,x_n)$ 是一个负定二次型. (福州大学2023年高等代数考研试题) [二次型 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由

$$\begin{aligned} \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&-x^\mathrm{T} A^{-1}\\\\ 0&E\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&x^\mathrm{T}\\\\ x&A\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-x^\mathrm{T} A^{-1}x&0\\\\ x&A\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

知 $\displaystyle f(x)=-|A| x^\mathrm{T} A^{-1}x$. 再由 $\displaystyle A$ 正定知 $\displaystyle A^{-1}$ 正定, $\displaystyle -|A|A^{-1}$ 负定, 从而 $\displaystyle f$ 负定.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

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1323、 (5)、 设

$$\begin{aligned} f(x_1,x_2,x_3)=5x_1^2+5x_2^2+cx_3^2-2x_1x_2+6x_1x_3-6x_2x_3 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

的秩为 $\displaystyle 2$, 则 $\displaystyle c=\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (广西大学2023年高等代数考研试题) [二次型 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle f$ 的矩阵为 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}5&-1&3\\\\ -1&5&-3\\\\ 3&-3&c\end{array}\right)$. 由题设, $\displaystyle 0=|A|=24(c-3)\Rightarrow c=3$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

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1324、 8、 用正交变换将二次型

$$\begin{aligned} f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+5x_2^2+5x_3^2+4x_1x_2-4x_1x_3-8x_2x_3 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

化为标准形, 并写出所用的正交变换. (哈尔滨工程大学2023年高等代数考研试题) [二次型 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle f$ 的矩阵为

$$\begin{aligned} A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&2&-2\\\\ 2&5&-4\\\\ -2&-4&5\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

易知 $\displaystyle A$ 的特征值为 $\displaystyle 10,1,1$. 由

$$\begin{aligned} 10E-A\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&0&1\\\\ 0&1&1\\\\ 0&0&0\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

知 $\displaystyle A$ 的属于特征值 $\displaystyle 10$ 的特征向量为

$$\begin{aligned} \xi_1=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-1\\\\-2\\\\2\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

由

$$\begin{aligned} 1E-A\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&2&-2\\\\ 0&0&0\\\\ 0&0&0\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

知 $\displaystyle A$ 的属于特征值 $\displaystyle 1$ 的特征向量为

$$\begin{aligned} \xi_2=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-2\\\\1\\\\0\end{array}\right), \xi_3=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2\\\\0\\\\1\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

将 $\displaystyle \xi_1,\xi_2,\xi_3$ 标准正交化为 $\displaystyle \eta_1,\eta_2,\eta_3$, 并设

$$\begin{aligned} P=(\eta_1,\eta_2,\eta_3)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-\frac{1}{3}&-\frac{2}{\sqrt{5}}&\frac{2}{3\sqrt{5}}\\\\ -\frac{2}{3}&\frac{1}{\sqrt{5}}&\frac{4}{3\sqrt{5}}\\\\ \frac{2}{3}&0&\frac{\sqrt{5}}{3}\end{array}\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

则 $\displaystyle P$ 正交, 且

$$\begin{aligned} P^\mathrm{T} AP=\mathrm{diag}(10,1,1). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

故经过正交替换 $\displaystyle x=Py$ 后, $\displaystyle f$ 化为标准形 $\displaystyle 10y_1^2+y_2^2+y_3^2$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

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1325、 7、 若实对称矩阵 $\displaystyle A_{n\times n}$ 为二次型 $\displaystyle f(x_1,\cdots,x_n)$ 的矩阵. 证明: $\displaystyle f(x_1,\cdots,x_n)$ 半正定的充要条件为存在实对称矩阵 $\displaystyle B$, 使得 $\displaystyle A=B^2$. (哈尔滨工业大学2023年高等代数考研试题) [二次型 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 $\displaystyle \Leftarrow$: 由 $\displaystyle A=B^\mathrm{T} B$ 知

$$\begin{aligned} \forall\ x\in\mathbb{R}^n, x^\mathrm{T} Ax\stackrel{y=Bx}{=}y^\mathrm{T} y\geq 0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

故 $\displaystyle A$ (而 $\displaystyle f$) 半正定. (2)、 $\displaystyle \Rightarrow$: 由 $\displaystyle f$ 半正定知 $\displaystyle A$ 半正定, 而存在正交阵 $\displaystyle P$ 使得

$$\begin{aligned} A=P\mathrm{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_n)P^\mathrm{T}, \quad \lambda_i\geq 0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

令 $\displaystyle B=P\mathrm{diag}(\sqrt{\lambda_1},\cdots,\sqrt{\lambda_n})P^\mathrm{T}$, 则 $\displaystyle B$ 实对称, 且 $\displaystyle A=B^2$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

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1326、 3、 (1)、 设实二次型

$$\begin{aligned} f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+6x_3^2-2x_1x_2+2x_1x_3-6x_2x_3. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

用可逆线性变换将 $\displaystyle f$ 化为规范形, 并求出所用的可逆线性替换, 并说明该二次型对应的矩阵 $\displaystyle A$ 是正定矩阵. (2)、 设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&-1&1\\\\ -1&2&-3\\\\ 1&-3&6\end{array}\right)$, 求可逆矩阵 $\displaystyle D$ 使得 $\displaystyle A=D^\mathrm{T} D$. (合肥工业大学2023年高等代数考研试题) [二次型 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 $\displaystyle f$ 的矩阵为 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&-1&1\\\\ -1&2&-3\\\\ 1&-3&6\end{array}\right)$. 由

$$\begin{aligned} P_1=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1&-1\\\\ 0&1&0\\\\ 0&0&1\end{array}\right)\Rightarrow P_1^\mathrm{T} AP_1=A_1=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&0\\\\ 0&1&-2\\\\ 0&-2&5\end{array}\right),\\\\ P_2=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&0\\\\ 0&1&2\\\\ 0&0&1\end{array}\right)\Rightarrow P_2^\mathrm{T} A_1P_2=E_3 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

知经过可逆线性替换

$$\begin{aligned} X=PY, P=P_1P_2=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1&1\\\\ 0&1&2\\\\ 0&0&0\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

后, $\displaystyle f$ 化为了规范形 $\displaystyle y_1^2+y_2^2+y_3^2$. 故 $\displaystyle f$ 正定. (2)、 由第 1 步知 $\displaystyle P^\mathrm{T} AP=E_3\Rightarrow A=P^{-\mathrm{T}}P^{-1}$. 故取 $\displaystyle D=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&-1&1\\\\ 0&1&-2\\\\ 0&0&1\end{array}\right)$, 则 $\displaystyle A=D^\mathrm{T} D$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

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1327、 8、 设 $\displaystyle A$ 为实可逆矩阵, (1)、 $\displaystyle f(x)=\left|\begin{array}{cccccccccc}0&-x^\mathrm{T}\\\\ x&A\end{array}\right|$, 求 $\displaystyle f$ 的矩阵; (2)、 $\displaystyle A$ 为实对称矩阵, 求 $\displaystyle A$ 与 $\displaystyle f$ 的正负惯性指数之间的关系. (河北工业大学2023年高等代数考研试题) [二次型 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 由

$$\begin{aligned} \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&-x^\mathrm{T} A^{-1}\\\\ 0&E_n\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&-x^\mathrm{T}\\\\ x&A\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-x^\mathrm{T} A^{-1}x&0\\\\ x&A\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

知

$$\begin{aligned} f(x)=-|A|\cdot x^\mathrm{T} A^{-1}x=x^\mathrm{T} A^\star x. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

故 $\displaystyle f$ 的矩阵为 $\displaystyle \frac{A^\star+(A^\star)^\mathrm{T}}{2}$. (2)、 由 $\displaystyle A$ 实对称知存在正交阵 $\displaystyle P$ 使得

$$\begin{aligned} &P^\mathrm{T} AP=\mathrm{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_n), \lambda_i\left\{\begin{array}{llllllllllll} > 0,&1\leq i\leq r,\\\\ < 0,&r+1\leq i\leq n\end{array}\right.\\\\ \Rightarrow&P^\mathrm{T} A^\star P=\mathrm{diag}\left(\frac{|A|}{\lambda_1},\cdots,\frac{|A|}{\lambda_n}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

(2-1)、 若 $\displaystyle |A| > 0$, 则 $\displaystyle A$ 与 $\displaystyle A^\star (f)$ 的正负惯性指数相同, 分别为 $\displaystyle r,n-r$. (2-2)、 若 $\displaystyle |A| < 0$, 则 $\displaystyle A$ 的正惯性指数 $\displaystyle =r=A^\star (f)$ 的负惯性指数, $\displaystyle A$ 的负惯性指数 $\displaystyle =n-r=A^\star (f)$ 的正惯性指数.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

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1328、

(10)、 使得二次型

$$\begin{aligned} q(x,y,z)=x^2+y^2+z^2+yz+xz+txy\left(t\in\mathbb{R}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

正定的 $\displaystyle t$ 的取值范围为 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (华东师范大学2023年高等代数考研试题) [二次型 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle q$ 的矩阵为 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&\frac{t}{2}&\frac{1}{2}\\\\ \frac{t}{2}&1&\frac{1}{2}\\\\ \frac{1}{2}&\frac{1}{2}&1\end{array}\right)$. 而 $\displaystyle q$ 正定

$$\begin{aligned} \Leftrightarrow 1 > 0, 1-\frac{t^2}{4} > 0, |A|=-\frac{1}{4}(t+1)(t-2) > 0\Leftrightarrow -1 < t < 2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

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1329、 4、 $\displaystyle A$ 为 $\displaystyle n$ 阶正定矩阵, $\displaystyle B$ 为 $\displaystyle n$ 阶实可逆矩阵, 二次型 $\displaystyle f(X)$ 的矩阵为 $\displaystyle \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A&B^\mathrm{T}\\\\ B&0\end{array}\right)$. (1)、 证明: $\displaystyle B^\mathrm{T} A^{-1}B$ 是正定矩阵; (2)、 求 $\displaystyle f$ 的正负惯性指数. (华南理工大学2023年高等代数考研试题) [二次型 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 由 $\displaystyle A$ 正定知存在可逆阵 $\displaystyle P$, 使得 $\displaystyle P^\mathrm{T} AP=E$, 而 $\displaystyle P^\mathrm{T} B$ 可逆, $\displaystyle P^\mathrm{T} Bx=0$ 只有零解. 对 $\displaystyle \forall\ 0\neq \alpha\in\mathbb{R}^n$, $\displaystyle \beta=P^\mathrm{T} B\alpha\neq 0$, 而

$$\begin{aligned} \alpha^\mathrm{T}(B^\mathrm{T} A^{-1}B)\alpha=\alpha^\mathrm{T} B^\mathrm{T} PP^\mathrm{T} B\alpha=\beta^\mathrm{T} \beta > 0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

故 $\displaystyle B^\mathrm{T} A^{-1}B$ 正定. (2)、 第 1 问中用 $\displaystyle B^\mathrm{T}$ 代替 $\displaystyle B$ 得到 $\displaystyle BA^{-1}B^\mathrm{T}$ 正定. 再由

$$\begin{aligned} \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E&0\\\\ -BA^{-1}&E\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A&B^\mathrm{T}\\\\ B&0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E&-A^{-1}B^\mathrm{T}\\\\ 0&E\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A&0\\\\ 0&-BA^{-1}B^\mathrm{T}\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

知 $\displaystyle f$ 的正负惯性指数都为 $\displaystyle n$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

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1330、 5、 设二次型 $\displaystyle f(x_1,x_2,x_3,x_4)=\mu(x_1^2+x_2^2+x_3^2)+2x_1x_2-2x_1x_3-2x_2x_3+x_4^2$. (1)、 写出 $\displaystyle f(x_1,x_2,x_3,x_4)$ 的矩阵 $\displaystyle A$; (2)、 依据参数 $\displaystyle \mu$ 的值, 讨论 $\displaystyle f(x_1,x_2,x_3,x_4)$ 的秩, 正惯性指数和符号差. (华南师范大学2023年高等代数考研试题) [二次型 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle f$ 的矩阵为 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\mu&1&-1&0\\\\ 1&\mu&-1&0\\\\ -1&-1&\mu&0\\\\ 0&0&0&1\end{array}\right)$. $\displaystyle A$ 的特征值为 $\displaystyle \mu+2, \mu-1, \mu-1, 1$. 故

$$\begin{aligned} \begin{array}{cccccc} \mu&\mathrm{rank} f&\mbox{正惯性指数}&\mbox{符号差}\\\\ \mu < -2&4&1&-2\\\\ \mu=-2&3&1&-1\\\\ -2 < \mu < 1&4&2&0\\\\ \mu=1&2&2&2\\\\ \mu > 1&4&4&4 \end{array} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

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1331、 5、 二次型 $\displaystyle f(x,y,z)=\alpha x^2+2y^2-2z^2+2\beta xz\ (\beta > 0)$ 的矩阵为 $\displaystyle A$. 若 $\displaystyle A$ 的特征值之积为 $\displaystyle -12$, 和为 $\displaystyle 1$. 求 $\displaystyle \alpha,\beta$, 并求正交变换使之为标准形, 写出对应的正交矩阵. (暨南大学2023年高等代数考研试题) [二次型 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle f$ 的矩阵为 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\alpha&0&\beta\\\\ 0&2&0\\\\ \beta&0&-2\end{array}\right)$. 易知 $\displaystyle A$ 的特征值为 $\displaystyle 2,2,-3$. 由

$$\begin{aligned} 2E-A\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&-2\\\\ 0&0&0\\\\ 0&0&0 \end{array}\right), -3E-A\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&\frac{1}{2}\\\\ 0&1&0\\\\ 0&0&0 \end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

知 $\displaystyle A$ 的属于特征值 $\displaystyle 2,-3$ 的特征向量分别为

$$\begin{aligned} \xi_1=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0\\\\1\\\\0 \end{array}\right), \xi_2=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-1\\\\0\\\\2 \end{array}\right); \xi_3=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-1\\\\0\\\\2 \end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

将 $\displaystyle \xi_1,\xi_2,\xi_3$ 标准正交化为 $\displaystyle \eta_1,\eta_2,\eta_3$. 令

$$\begin{aligned} P=(\eta_1,\eta_2,\eta_3)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 0&\frac{2}{\sqrt{5}}&-\frac{1}{\sqrt{5}}\\\\ 1&0&0\\\\ 0&\frac{1}{\sqrt{5}}&\frac{2}{\sqrt{5}}\end{array}\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

则 $\displaystyle P$ 正交, 且

$$\begin{aligned} P^\mathrm{T} AP=P^{-1}AP=\mathrm{diag}\left(2,2,-3\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

故经过正交线性替换 $\displaystyle X=PY$ 后, $\displaystyle f$ 化为了标准形 $\displaystyle 2y_1^2+2y_2^2-3y_3^2$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

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1332、 6、 (15 分) 求 $\displaystyle n$ 元实二次型 $\displaystyle \sum_{1\leq i < j\leq n}x_ix_j$ 的负惯性指数. (南京大学2023年高等代数考研试题) [二次型 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 二次型的矩阵为 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&\frac{1}{2}&\cdots&\frac{1}{2}\\\\ \frac{1}{2}&0&\cdots&\frac{1}{2}\\\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\\\ \frac{1}{2}&\frac{1}{2}&\cdots&0\end{array}\right)$. 设 $\displaystyle e=(1,\cdots,1)^\mathrm{T}$, 则 $\displaystyle A=-\frac{1}{2}I_n+\frac{1}{2}ee^\mathrm{T}$,

$$\begin{aligned} &|\lambda I_n-A|=\left|\left(\lambda+\frac{1}{2}\right)I_n-\frac{1}{2}ee^\mathrm{T}\right|\\\\ =&\left|\left(\lambda+\frac{1}{2}\right)I_n\right|\cdot \left|I_n-\left(\lambda+\frac{1}{2}\right)^{-1}\frac{1}{2}ee^\mathrm{T}\right|\\\\ =&\left(\lambda+\frac{1}{2}\right)^n \left[1-\left(\lambda+\frac{1}{2}\right)^{-1}\frac{1}{2}e^\mathrm{T} e\right]\\\\ =&\left(\lambda+\frac{1}{2}\right)^{n-1}\left(\lambda+\frac{1}{2}-\frac{n}{2}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

故 $\displaystyle A$ 的特征值为 $\displaystyle -\frac{1}{2}$ ($n-1$ 重), $\displaystyle \frac{n-1}{2}$ (单重). 进而二次型的负惯性指数为 $\displaystyle n-1$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

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1333、 5、 设三阶实矩阵 $\displaystyle A$ 的 $\displaystyle 3$ 个列向量 $\displaystyle \alpha,\beta,\gamma$ 线性无关, 二次型

$$\begin{aligned} f(x)=(\alpha^\mathrm{T} x)^2+(\beta^\mathrm{T} x)^2+(\gamma^\mathrm{T} x)^2, x=(x_1,x_2,x_3)^\mathrm{T}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

(1)、 求此二次型的矩阵 $\displaystyle B$; (2)、 问: 此二次型是否正定? 并写出此二次型的规范形; (3)、 是否存在正定矩阵 $\displaystyle S$, 使得 $\displaystyle B=S^3$? 并说明理由. (南京航空航天大学大学2023年高等代数考研试题) [二次型 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 由

$$\begin{aligned} f(x)=&x^\mathrm{T} \alpha\alpha^\mathrm{T} x+x^\mathrm{T} \beta\beta^\mathrm{T} x+x^\mathrm{T} \gamma\gamma^\mathrm{T} x\\\\ =&x^\mathrm{T}(\alpha\alpha^\mathrm{T}+\beta\beta^\mathrm{T}+\gamma\gamma^\mathrm{T})x \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

知

$$\begin{aligned} B=\alpha\alpha^\mathrm{T}+\beta\beta^\mathrm{T}+\gamma\gamma^\mathrm{T}=(\alpha,\beta,\gamma)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\alpha^\mathrm{T}\\\\\beta^\mathrm{T}\\\\\gamma^\mathrm{T}\end{array}\right) =AA^\mathrm{T}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

(2)、 由 $\displaystyle A$ 可逆知 $\displaystyle A^\mathrm{T}$ 可逆, $\displaystyle A^\mathrm{T} x=0$ 只有零解, 而

$$\begin{aligned} x\neq 0\Rightarrow y=A^\mathrm{T} x\neq 0\Rightarrow f(x)=x^\mathrm{T} AA^\mathrm{T} x=y^\mathrm{T} y > 0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

故 $\displaystyle f$ 正定, 规范形为 $\displaystyle z_1^2+z_2^2+z_3^2$. (3)、 存在. 由第 2 步知 $\displaystyle B$ 正定, 而存在正交阵 $\displaystyle P$ 使得

$$\begin{aligned} B=P\mathrm{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_n)P^\mathrm{T}, 0 < \lambda_i\in\mathbb{R}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

取 $\displaystyle S=P\mathrm{diag}\left(\sqrt[3]{\lambda_1},\cdots,\sqrt[3]{\lambda_n}\right)P^\mathrm{T}$, 则 $\displaystyle S$ 正定, 且 $\displaystyle S^3=B$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

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1334、 (6)、 $\displaystyle t$ 满足条件 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$ 时, 二次型

$$\begin{aligned} f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+4x_2^2+2x_3^2+2tx_1x_2-2x_1x_3 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

正定. (南京理工大学2023年高等代数考研试题) [二次型 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle f$ 的矩阵为 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&t&-1\\\\ t&4&0\\\\ -1&0&2\end{array}\right)$, 而 $\displaystyle f$ 正定 $\displaystyle \Leftrightarrow A$ 的顺序主子式

$$\begin{aligned} 1 > 0, 4-t^2 > 0, |A|=4-2t^2 > 0\Leftrightarrow -\sqrt{2} < t < \sqrt{2}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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