张祖锦2023年数学专业真题分类70天之第57天
1289、 3、 (10 分) 设 $\displaystyle A,B,C$ 是 $\displaystyle n$ 阶方阵, 满足 $\displaystyle \mathrm{rank} A < \mathrm{rank} C$, 且 $\displaystyle BC=0$. 证明: 存在非零的 $\displaystyle n$ 维列向量 $\displaystyle X$, 使得 $\displaystyle AX=BX$. 这里 $\displaystyle \mathrm{rank} M$ 表示矩阵 $\displaystyle M$ 的秩. (中国矿业大学(徐州)2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 先证明一个结论. 设 $\displaystyle A$ 为 $\displaystyle m\times n$ 矩阵, $\displaystyle B$ 为 $\displaystyle n\times s$ 矩阵, 证明: 若 $\displaystyle AB=0$, 则
$$\begin{aligned} \mathrm{rank} A+\mathrm{rank} B\leq n. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
事实上, 设 $\displaystyle B=(\beta_1,\cdots,\beta_l)$, 它的极大无关组为 $\displaystyle \beta_{i_1},\cdots,\beta_{i_r}$, 其中 $\displaystyle r=\mathrm{rank} B$. 由 $\displaystyle AB=0$ 知 $\displaystyle \beta_{i_j}\left(1\leq j\leq r\right)$ 是 $\displaystyle Ax=0$ 的解. 于是
$$\begin{aligned} \left\{\beta_{i_1},\cdots,\beta_{i_r}\right\}\subset \left\{x; Ax=0\right\}\equiv V. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
又由 $\displaystyle \dim V=n-\mathrm{rank} A$, 我们知 $\displaystyle r\leq n-\mathrm{rank} A\Rightarrow \mathrm{rank} A+\mathrm{rank} B\leq n$. (2)、 回到题目. 由 $\displaystyle BC=0$ 及第 1 步知 $\displaystyle \mathrm{rank} B+\mathrm{rank} C\leq n$. 再设
$$\begin{aligned} V_1=\left\{X; AX=0\right\}, V_2=\left\{X; BX=0\right\}, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则
$$\begin{aligned} &\dim(V_1\cap V_2)=\dim V_1+\dim V_2-\dim(V_1+V_2)\\\\ \geq&\left[n-\mathrm{rank} A\right]+\left[n-\mathrm{rank} B\right]-n\\\\ =&n-\mathrm{rank} A-\mathrm{rank} B \geq \mathrm{rank} C-\mathrm{rank} A > 0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故
$$\begin{aligned} \exists\ 0\neq X\in V_1\cap V_2\Rightarrow AX=0=BX. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1290、 4、 (15 分) 设 $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle n$ 阶方阵, 且 $\displaystyle |A|=0$. 证明: 存在 $\displaystyle n$ 阶非零矩阵 $\displaystyle B$, 使得 $\displaystyle AB=BA=0$. (中国矿业大学(徐州)2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由 $\displaystyle |A|=0$ 知 $\displaystyle AX=0$ 有非零解 $\displaystyle \alpha$. 同理, $\displaystyle |A^\mathrm{T}|=0$ 蕴含 $\displaystyle A^\mathrm{T} X=0$ 有非零解 $\displaystyle \beta$. 令 $\displaystyle B=\alpha\beta^\mathrm{T}$, 则 $\displaystyle B$ 非零, 且
$$\begin{aligned} AB=A\alpha\beta^\mathrm{T}=0\beta^\mathrm{T}=0, BA=\alpha\beta^\mathrm{T} A=\alpha(A^\mathrm{T}\beta)^\mathrm{T} =\alpha 0^\mathrm{T}=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1291、 5、 (15 分) 设 $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle n$ 阶正定矩阵, $\displaystyle B$ 是 $\displaystyle n$ 阶半正定矩阵. (1)、 (10 分) 证明: $\displaystyle A$ 与 $\displaystyle B$ 可同时合同于对角阵; (2)、 (5 分) 证明: $\displaystyle |A+B|\geq |A|+|B|$. (中国矿业大学(徐州)2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由 $\displaystyle A$ 正定知存在可逆矩阵 $\displaystyle P$, 使得 $\displaystyle P^\mathrm{T} AP=E_n$. 又 $\displaystyle B$ 半正定 $\displaystyle \Rightarrow P^\mathrm{T} BP$ 半正定, 而存在正交阵 $\displaystyle Q$, 使得
$$\begin{aligned} Q^\mathrm{T} P^\mathrm{T} BPQ=\varLambda =\mathrm{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_n), \lambda_i\geq 0 \stackrel{|Q|^2=1}{\Rightarrow}|P|^2\cdot |B|=\lambda_1\cdots\lambda_n. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
设 $\displaystyle T=PQ$, 则 $\displaystyle T^\mathrm{T} AT=E_n, T^\mathrm{T} BT=\mathrm{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_n)$, 而 $\displaystyle A$ 与 $\displaystyle B$ 可同时合同于对角阵. 进一步,
$$\begin{aligned} &|Q^\mathrm{T} P^\mathrm{T} (A+B)PQ|=|E_n+\varLambda|=\prod_{k=1}^n (1+\lambda_k) \geq 1+\lambda_1\cdots \lambda_n\\\\ \stackrel{|Q|^2=1}{\Rightarrow}&|P|^2 |A+B|\geq 1+\lambda_1\cdots \lambda_n \Rightarrow |A+B|\geq |A|+|B|, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1292、 7、 (15 分) 记全体实数为 $\displaystyle \mathbb{R}$, 设 $\displaystyle \mathbb{R}^3$ 上的线性变换 $\displaystyle \sigma$ 在基
$$\begin{aligned} \varepsilon_1=(1,0,0)^\mathrm{T}, \varepsilon_2=(1,1,0)^\mathrm{T}, \varepsilon_3=(1,1,1)^\mathrm{T} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
下的矩阵是 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&1&2-a\\\\ -3&-2&a-2\\\\ 1&1&1\end{array}\right)$. (1)、 (5 分) 若 $\displaystyle \sigma$ 有三个线性无关的特征向量, 求 $\displaystyle a$ 的值. (2)、 (10 分) 若 $\displaystyle \alpha=(2,3,-2)^\mathrm{T}$ 是 $\displaystyle \sigma$ 的一个特征向量, 证明 $\displaystyle A$ 不可对角化, 并求 $\displaystyle A$ 的 Jordan 标准形. (中国矿业大学(徐州)2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 易知 $\displaystyle A$ 的特征值为 $\displaystyle 1,1,-1$. 由 $\displaystyle \sigma$ 有三个线性无关的特征向量知 $\displaystyle A$ 可对角化, 而
$$\begin{aligned} A\sim \mathrm{diag}(1,1,-1)\Rightarrow \mathrm{rank}(A-E)=1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由 $\displaystyle A-E\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1&0\\\\ 0&0&2-a\\\\ 0&0&0\end{array}\right)$ 即知 $\displaystyle a=2$. (2)、 由
$$\begin{aligned} (\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)=(e_1,e_2,e_3)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1&1\\\\ 0&1&1\\\\ 0&0&1\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知
$$\begin{aligned} \alpha=&(e_1,e_2,e_3)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2\\\\3\\\\-2\end{array}\right)=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1&1\\\\ 0&1&1\\\\ 0&0&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2\\\\3\\\\-2\end{array}\right)\\\\ =&(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-1\\\\5\\\\-2\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由题设, $\displaystyle \exists\ t\in\mathbb{R},\mathrm{ s.t.}$
$$\begin{aligned} \sigma(\alpha)=&\sigma(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-1\\\\5\\\\-2\end{array}\right) =(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)A\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-1\\\\5\\\\-2\end{array}\right)\\\\ =&\lambda\alpha=\lambda(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-1\\\\5\\\\-2\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故
$$\begin{aligned} \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2a-1\\\\ -2a-3\\\\ 2\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-1\\\\5\\\\-2\end{array}\right)=\lambda \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-1\\\\5\\\\2\end{array}\right)\Rightarrow a=1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
此时,
$$\begin{aligned} A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&1&1\\\\ -3&-2&-1\\\\ 1&1&1\end{array}\right)\Rightarrow A-E\to \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1&0\\\\ 0&0&1\\\\ 0&0&0\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle A$ 的 Jordan 标准形 $\displaystyle J$ 满足 ($J$ 的严格上三角部分一定有一个 $\displaystyle 1$, 否则 $\displaystyle \mathrm{rank}(J-E)=1$! 矛盾)
$$\begin{aligned} \mathrm{rank}(J-E)=\mathrm{rank}(A-E)=2\Rightarrow J=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1&\\\\ &1&\\\\ &&-1\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1293、 8、 (15 分) 设 $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle n$ 阶实矩阵, 且 $\displaystyle |A|\neq 0$. 证明: $\displaystyle A$ 可以分解为 $\displaystyle A=QT$, 其中 $\displaystyle Q$ 是正交矩阵, $\displaystyle T$ 是对角元全部大于 $\displaystyle 0$ 的上三角矩阵, 并证明分解唯一. (中国矿业大学(徐州)2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 一言以蔽之, 这就是 QR 分解的存在唯一性. (1)、 存在性. 设 $\displaystyle A=(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)$, 则由 $\displaystyle A$ 可逆知 $\displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_n$ 线性无关. 将它们施行 Gram-Schmidt 标准正交化过程,
$$\begin{aligned} \beta_1&=\frac{\alpha_1}{|\alpha_1|}=\frac{\alpha_1}{k_1},\\\\ \beta_2&=\frac{\alpha_2-(\alpha_2,\beta_1)\beta_1}{|\alpha_2-(\alpha_2,\beta_1)\beta_1|}=\frac{\alpha_2-(\alpha_2,\beta_1)\beta_1}{k_2},\cdots,\\\\ \beta_n&=\frac{\alpha_n-(\alpha_n,\beta_1)\beta_1-\cdots-(\alpha_n,\beta_{n-1})\beta_{n-1}}{|\alpha_n-(\alpha_n,\beta_1)\beta_1-\cdots-(\alpha_n,\beta_{n-1})\beta_{n-1}|}\\\\ &=\frac{\alpha_n-(\alpha_n,\beta_1)\beta_1-\cdots-(\alpha_n,\beta_{n-1})\beta_{n-1}}{k_n}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
此即
$$\begin{aligned} A=(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)=(\beta_1,\cdots,\beta_n) \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}k_1&(\alpha_2,\beta_1)&\cdots&(\alpha_n,\beta_1)\\\\ &k_2&\cdots&(\alpha_n,\beta_2)\\\\ &&\ddots&\vdots\\\\ &&&k_n\end{array}\right)\equiv QT. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则 $\displaystyle Q$ 正交, $\displaystyle T$ 上三角, 且对角元大于 $\displaystyle 0$. (2)、 唯一性. 设 $\displaystyle A=QT=Q_1T_1$, 其中 $\displaystyle Q_1$ 正交, $\displaystyle T_1$ 上三角, 且对角元大于 $\displaystyle 0$, 则
$$\begin{aligned} Q_1^{-1}Q=T_1T^{-1}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
注意到正交 (上三角) 矩阵的逆还是正交 (上三角) 矩阵, 正交 (上三角) 矩阵的乘积还是正交 (上三角) 矩阵, 我们知上式左端是正交阵, 右端是上三角矩阵, 且对角元大于 $\displaystyle 0$. 作为正交阵的 $\displaystyle T_1T^{-1}$ 的第一列是单位向量, 而它只有第一个元素非零且为正数, 而 $\displaystyle =1$. 从而 $\displaystyle T_1T^{-1}$ 的第一行除了第一个元素外全为 $\displaystyle 0$. 继续看 $\displaystyle T_1T^{-1}$ 的第二列. 除了第二个元素非零且为正数. 由于第二列为单位为单位向量, 而它的第二元素也 $\displaystyle =1$. 如此这般即知 $\displaystyle T_1T^{-1}=E_n\Rightarrow T_1=T\Rightarrow Q_1=Q$. 唯一性证得.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1294、 (5)、 设 $\displaystyle A,B$ 是 $\displaystyle n$ 阶可逆方阵, $\displaystyle A^\star$ 是 $\displaystyle A$ 的伴随矩阵, 则 $\displaystyle (AB)^\star=B^\star A^\star$. (中国人民大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle \surd$.
$$\begin{aligned} (AB)^\star=&|AB| (AB)^{-1} =|A| |B| B^{-1}A^{-1}\\\\ =&|B|B^{-1}\cdot |A|A^{-1}=B^\star A^\star. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1295、 (6)、 对任意一个实矩阵 $\displaystyle A_{m\times n}$, 都有 $\displaystyle E_n+A^\mathrm{T} A$ 正定. (中国人民大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle \surd$. 对 $\displaystyle \forall\ 0\neq x\in \mathbb{R}^n$, 令 $\displaystyle y=Ax$, 则
$$\begin{aligned} x^\mathrm{T} (E_n+A^\mathrm{T} A)x=x^\mathrm{T} x+y^\mathrm{T} y\geq x^\mathrm{T} x > 0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle E_n+A^\mathrm{T} A$ 正定.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1296、 (5)、 若 $\displaystyle A,B$ 是 $\displaystyle 3\times 2$ 和 $\displaystyle 2\times 3$ 矩阵, 且 $\displaystyle AB=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}3&0&3\\\\ 0&6&0\\\\ 3&0&3\end{array}\right)$, 则 $\displaystyle A$ 的秩 $\displaystyle \mathrm{rank} A=\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (中国人民大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /
$$\begin{aligned} 2=\mathrm{rank}(AB)\leq \mathrm{rank} A\leq 2\Rightarrow \mathrm{rank} A=2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1297、 7、 设 $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle n\times m$ 矩阵, $\displaystyle B$ 是 $\displaystyle m\times n$ 矩阵. 如果 $\displaystyle E_n-AB$ 是可逆矩阵, 试讨论 $\displaystyle E_m-BA$ 的可逆性. (中国人民大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由
$$\begin{aligned} \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E_m&0\\\\ -A&E_n\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E_m&B\\\\ A&E_n\end{array}\right)&=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E_m&B\\\\ 0&E_n-AB\end{array}\right),\\\\ \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E_m&-B\\\\ 0&E_n\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E_m&B\\\\ A&E_m\end{array}\right)&=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E_m-BA&0\\\\ A&E_n\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知
$$\begin{aligned} &|E_m-BA|=\left|\begin{array}{cccccccccc}E_m-BA&0\\\\ A&E_n\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccccccccc}E_m&B\\\\ A&E_m\end{array}\right|\\\\ =&\left|\begin{array}{cccccccccc}E_m&B\\\\ 0&E_n-AB\end{array}\right|=|E_n-AB|. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle E_n-AB$ 可逆 $\displaystyle \Leftrightarrow |E_n-AB|\neq 0\Leftrightarrow |E_m-BA|\neq 0\Leftrightarrow E_m-BA$ 可逆.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1298、 8、 解答如下问题. (1)、 证明: 实对称矩阵正定的充分必要条件是所有顺序主子式都大于 $\displaystyle 0$. (中国人民大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 一言以蔽之, 实对称矩阵正定的充要条件是所有顺序主子式都大于零. (1-1)、 $\displaystyle \Rightarrow$: 设 $\displaystyle A$ 的 $\displaystyle k$ 阶顺序主子式为 $\displaystyle A_k$, 则对 $\displaystyle \forall\ 0\neq x=(x_1,\cdots,x_k)^\mathrm{T}\in\mathbb{R}^k$,
$$\begin{aligned} x^\mathrm{T} A_kx=\sum_{i,j=1}^k a_{ij}x_ix_j =(x,0_{1,n-k})^\mathrm{T} A\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}x\\\\0_{n-k,1}\end{array}\right) > 0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle A_k$ 正定, 行列式大于 $\displaystyle 0$. (1-2)、 $\displaystyle \Leftarrow$: 当 $\displaystyle n=1$ 时, $\displaystyle a_{11} > 0\Rightarrow A$ 正定, 结论自明. 假设结论对 $\displaystyle n-1$ 阶实对称矩阵成立, 则对 $\displaystyle n$ 阶矩阵 $\displaystyle A$, 设
$$\begin{aligned} B=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}a_{ij}\end{array}\right)_{1\leq i,j\leq n-1}, \alpha=(a_{1n},\cdots,a_{n-1,n})^\mathrm{T}, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}B&\alpha\\\\ \alpha^\mathrm{T}&a_{nn}\end{array}\right)$. 既然 $\displaystyle A$ 的顺序主子式大于 $\displaystyle 0$, 而 $\displaystyle B$ 的顺序主子式也大于 $\displaystyle 0$. 由归纳假设, $\displaystyle B$ 正定, 而存在可逆阵 $\displaystyle P$ 使得 $\displaystyle P^\mathrm{T} BP=E_{n-1}$. 令 $\displaystyle Q_1=\mathrm{diag}(P,1)$, 则
$$\begin{aligned} Q_1^\mathrm{T} AQ_1=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E_{n-1}&P^\mathrm{T} \alpha\\\\ \alpha^\mathrm{T} P&a_{nn}\end{array}\right) . \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
令 $\displaystyle Q_2=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E_{n-1}&-P^\mathrm{T} \alpha\\\\ 0&1\end{array}\right)$, 则
$$\begin{aligned} Q_2^\mathrm{T} Q_1^\mathrm{T} AQ_1Q_2=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E_{n-1}&\\\\ &a_{nn}-\alpha^\mathrm{T} PP^\mathrm{T} \alpha\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
令 $\displaystyle Q=Q_1Q_2, a=a_{nn}-\alpha^\mathrm{T} PP^\mathrm{T} \alpha$, 则
$$\begin{aligned} Q^\mathrm{T} AQ=\mathrm{diag}(E_{n-1},a)\stackrel{|A| > 0}{\Rightarrow}a > 0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
令 $\displaystyle Q_3=\mathrm{diag}\left(E_{n-1},\frac{1}{\sqrt{a}}\right)$, 则 $\displaystyle Q_3^\mathrm{T} QAQQ_3=E_n$. 这表明 $\displaystyle A$ 合同于单位矩阵, 是正定的.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1299、 (2)、 判断: 矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\frac{1}{i+j-1}\end{array}\right)_{n\times n}$ 的正定性. (中国人民大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 对 $\displaystyle \forall\ x=(x_1,\cdots,x_n)^\mathrm{T}\neq 0$,
$$\begin{aligned} x^\mathrm{T} Ax=&\sum_{i,j=1}^n \frac{1}{i+j-1}x_ix_j =\sum_{i,j=1}^n \int_0^1 t^{i+j-1}\mathrm{ d} t\cdot x_ix_j\\\\ =&\int_0^1 \left(\sum_{i=1}^n t^{i-\frac{1}{2}}x_i\right)^2\mathrm{ d} t > 0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
最后一步是因为 $\displaystyle t^\frac{1}{2},\cdots,t^{n-\frac{1}{2}}$ 线性无关, 而
$$\begin{aligned} x\neq 0\Rightarrow \sum_{i=1}^n x_i t^{i-\frac{1}{2}}\neq 0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这就证明了 $\displaystyle A$ 正定.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1300、 5、 (16 分) 设 $\displaystyle A_1,A_2,B_1,B_2$ 均是 $\displaystyle n$ 阶实矩阵, 且 $\displaystyle A_2,B_2$ 可逆. 证明: 存在可逆 矩阵 $\displaystyle P,Q$ 使得 $\displaystyle B_1=PA_1Q, B_2=PA_2Q$ 的充分必要条件是 $\displaystyle A_1A_2^{-1}$ 与 $\displaystyle B_1B_2^{-1}$ 相似. (中南大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 $\displaystyle \Rightarrow$:
$$\begin{aligned} &\left\{\begin{array}{llllllllllll}B_1=PA_1Q\\\\ B_2=PA_2Q\Rightarrow B_2^{-1}=Q^{-1}A_2^{-1}P^{-1}\end{array}\right.\\\\ \Rightarrow&B_1B_2^{-1}=PA_1A_2^{-1}P^{-1}\Rightarrow A_1A_2^{-1}\sim B_1B_2^{-1}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2)、 $\displaystyle \Leftarrow$: 由 $\displaystyle A_1A_2^{-1}\sim B_1B_2^{-1}$ 知存在可逆矩阵 $\displaystyle P$ 使得
$$\begin{aligned} B_1B_2^{-1}=P(A_1A_2^{-1})P^{-1}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
令 $\displaystyle Q=A_2^{-1}P^{-1}B_2$, 则 $\displaystyle Q$ 可逆, 且
$$\begin{aligned} &B_1=PA_1(A_2^{-1}P^{-1}B_2)=PA_1Q,\\\\ &PA_2Q=PA_2\cdot A_2^{-1}P^{-1}B_2=B_2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1301、 6、 (20 分) 设 $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle n$ 阶实对称正定矩阵, $\displaystyle B$ 是 $\displaystyle n$ 阶反对称矩阵. 证明: $\displaystyle \det(A+B) > 0$. (中南大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 一言以蔽之, 实正定矩阵与实反对称矩阵的和的行列式大于零. (1)、 设 $\displaystyle \lambda$ 是反对称实矩阵 $\displaystyle B$ 的特征值, 则存在 $\displaystyle \alpha\neq 0$ 使
$$\begin{aligned} &B \alpha =\lambda\alpha \\\\ \Rightarrow& \lambda \overline{\alpha} ^\mathrm{T}\alpha =\overline{\alpha} ^\mathrm{T} B \alpha =-\overline{\alpha} ^\mathrm{T} B ^\mathrm{T}\alpha =-\left(B \overline{\alpha} \right)^\mathrm{T}\alpha =-\left(\overline{B \alpha }\right)^\mathrm{T}\alpha =-\overline{\lambda} \overline{\alpha}^\mathrm{T}\alpha \\\\ \Rightarrow& \lambda=-\overline{\lambda} \Rightarrow\lambda=0\mbox{ 或纯虚数}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2)、 由 $\displaystyle A$ 正定知存在可逆矩阵 $\displaystyle P$ 使得 $\displaystyle P^\mathrm{T} AP=E_n$. 由第 1 步知可设实反对称矩阵 $\displaystyle P^\mathrm{T} BP$ 的特征值为
$$\begin{aligned} \underbrace{0,\cdots,0}_r, \pm b_1\mathrm{ i}, \cdots, \pm b_s \mathrm{ i}\left(0\neq b_i\in\mathbb{R}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle E+P^\mathrm{T} BP$ 的特征值为
$$\begin{aligned} \underbrace{1,\cdots,1}_r, 1\pm b_1\mathrm{ i}, \cdots, 1\pm b_s \mathrm{ i}\left(0\neq b_i\in\mathbb{R}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故
$$\begin{aligned} |P^\mathrm{T}(A+B)P|=|E+P^\mathrm{T} BP|=\prod_{i=1}^s (1+b_i^2) > 0 \Rightarrow |A+B| > 0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1302、 2、 (15 分) 已知矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}4&1&0&-1\\\\ 0&3&0&1\\\\ 0&0&4&0\\\\ 1&0&0&5\end{array}\right)$. (1)、 求 $\displaystyle A$ 的特征多项式 $\displaystyle f_A(x)$; (2)、 求 $\displaystyle A$ 的最小多项式 $\displaystyle m_A(x)$; (3)、 求 $\displaystyle A$ 的若尔当标准形. (中山大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由
$$\begin{aligned} &\lambda E-A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\lambda-4&-1&0&1\\\\ 0&\lambda-3&0&-1\\\\ 0&0&\lambda-4&0\\\\ -1&0&0&\lambda-5\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\lambda-4&&&\\\\ &\lambda-4&-1&1\\\\ &0&\lambda-3&-1\\\\ &-1&0&\lambda-5\end{array}\right)\\\\ \to&\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\lambda-4&&&\\\\ &0&-1&\lambda^2-9\lambda+21\\\\ &0&\lambda-3&-1\\\\ &-1&0&\lambda-5\end{array}\right) \to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\lambda-4&&&\\\\ &0&-1&\lambda^2-9\lambda+21\\\\ &0&0&(\lambda-4)^3\\\\ &1&0&0\end{array}\right)\\\\ \to&\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\lambda-4&&&\\\\ &0&1&0\\\\ &0&0&(\lambda-4)^3\\\\ &1&0&0\end{array}\right)\to \mathrm{diag}\left(1,1,\lambda-4,(\lambda-4)^3\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle A$ 的不变因子为 $\displaystyle 1,1,\lambda-4,(\lambda-4)^3$, 而初等因子为 $\displaystyle \lambda-4,(\lambda-4)^3$, Jordan 标准形为 $\displaystyle \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}4&1&&\\\\ &4&1&\\\\ &&4&\\\\ &&&4\end{array}\right)$, 最小多项式为 $\displaystyle (\lambda-4)^3$, 特征多项式为 $\displaystyle (\lambda-4)^4$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1303、 6、 (15 分) 设 $\displaystyle A,B$ 是 $\displaystyle n$ 阶复方阵, 证明: $\displaystyle A,B$ 有公共特征值当且仅当存在 $\displaystyle n$ 阶非零复方阵 $\displaystyle X$, 使得 $\displaystyle AX=XB$. (中山大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 $\displaystyle \Rightarrow$: 设 $\displaystyle \lambda$ 是 $\displaystyle A,B$ 的公共特征值, 则由 $\displaystyle |\lambda E-B|=|\lambda E-B^\mathrm{T}|$ 知 $\displaystyle \lambda$ 也是 $\displaystyle B^\mathrm{T}$ 的特征值. 设 $\displaystyle 0\neq \alpha\in\mathbb{C}^n, 0\neq \beta\in\mathbb{C}^n$ 分别是 $\displaystyle A,B^\mathrm{T}$ 的属于特征值 $\displaystyle \lambda$ 的特征向量, 令 $\displaystyle X=\alpha\beta^\mathrm{T}\neq 0$, 则
$$\begin{aligned} AX=A\alpha\beta^\mathrm{T}=\lambda \alpha\beta^\mathrm{T}=\alpha(\lambda \beta)^\mathrm{T} =\alpha(B^\mathrm{T} \beta)^\mathrm{T}=XB. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2)、 设 $\displaystyle 0\neq X$ 使得 $\displaystyle AX=XB$, 则由
$$\begin{aligned} A^kX=XB^k\Rightarrow A^{k+1}X=A\cdot A^kX=AXB^k=XB^{k+1} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
及数学归纳法知 $\displaystyle A^kX=XB^k, \forall k\geq 1$. 令 $\displaystyle f(\lambda)=|\lambda E-A|=\prod_{i=1}^n (\lambda-\lambda_i)$ 是 $\displaystyle A$ 的特征多项式, 则
$$\begin{aligned} 0=0X=f(A)X=Xf(B). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由 $\displaystyle X\neq 0$ 知 $\displaystyle f(B)$ 不可逆,
$$\begin{aligned} 0=|f(B)|=\prod_{i=1}^n |B-\lambda_iE|\Rightarrow \exists\ k,\mathrm{ s.t.} |B-\lambda_kE|=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
此 $\displaystyle \lambda_k$ 就是 $\displaystyle A,B$ 的公共特征值.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1304、 7、 (15 分) 设 $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle n$ 阶矩阵, $\displaystyle A^2=A$. 证明: $\displaystyle \mathrm{rank} A+\mathrm{rank}(A-I)=n$. (中山大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由
$$\begin{aligned} \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A&\\\\ &A-E\end{array}\right)\to&\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A&A\\\\ &A-E\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A&A\\\\ -A&-E\end{array}\right)\\\\ \to&\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A-A^2&\\\\ -A&-E\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A-A^2&\\\\ &E\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知
$$\begin{aligned} \mathrm{rank}(A)+\mathrm{rank}(A-E)=\mathrm{rank}(A-A^2)+n. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故
$$\begin{aligned} \mathrm{rank}(A)+\mathrm{rank}(A-E)=n&\Leftrightarrow \mathrm{rank}(A-A^2)=0\\\\ &\Leftrightarrow A-A^2=0\Leftrightarrow A=A^2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1305、 8、 (15 分) 设 $\displaystyle A$ 为 $\displaystyle n$ 阶复方阵, $\displaystyle \lambda$ 为 $\displaystyle A$ 的特征值. 假设存在正数 $\displaystyle M$, 使得对任意正整数 $\displaystyle p$, $\displaystyle A^p$ 的所有元素模长都小于 $\displaystyle M$, 证明: $\displaystyle |\lambda|\leq 1$, 且当 $\displaystyle \lambda=1$ 时, $\displaystyle \lambda$ 的几何重数等于代数重数. (中山大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由 Jordan 标准形理论, 存在可逆矩阵 $\displaystyle P$ 使得
$$\begin{aligned} &P^{-1}AP=J=\mathrm{diag}\left(J_{n_1}(\lambda_1),\cdots,J_{n_s}(\lambda_s)\right)\\\\ \Rightarrow&P^{-1}A^pP=\mathrm{diag}\left(J_{n_1}^p(\lambda_1),\cdots,J_{n_s}^p(\lambda_s)\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
其中各 $\displaystyle \lambda_i\neq 0$, $\displaystyle J_{n_i}(\lambda_i)$ 是以 $\displaystyle \lambda_i$ 为对角元的 $\displaystyle n_i$ 阶 Jordan 块. 设 $\displaystyle P, P^{-1}$ 各元素的模长的上界为 $\displaystyle c$, 则由矩阵乘法知 $\displaystyle P^{-1}A^pP$ 的元素
$$\begin{aligned} |\lambda_i^p|=|\left(P^{-1}A^pP\right)_{ii}| =\left|\sum_{k,l}(P^{-1})_{ik}(A^p)_{kl}(P)_{li}\right| \leq n^2 c^2 M, \forall\ p\geq 1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle |\lambda_i|\leq 1$. 若 $\displaystyle \lambda=1$, 往用反证法证明 $\displaystyle J$ 中以 $\displaystyle \lambda$ 为对角元的 Jordan 块的阶数都为 $\displaystyle 1$, 而 $\displaystyle \lambda$ 的几何重数等于代数重数. 若不然, $\displaystyle J$ 中含有
$$\begin{aligned} J_m(1)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1&&\\\\ &\ddots&\ddots&\\\\ &&\ddots&1\\\\ &&&1\end{array}\right), m\geq 2\Rightarrow J_m^p(1)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&p&\star&\star\\\\ &\ddots&\ddots&\star\\\\ &&\ddots&p\\\\ &&&1\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这与 $\displaystyle P^{-1}A^pP=J^p$ 的元素的模长一致有界矛盾. 故有结论.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1306、 4、 (12 分) 设 $\displaystyle A,B$ 是同解方阵且有公共特征值. 证明: 矩阵方程 $\displaystyle AX=XB$ 有非零解. (重庆大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle \lambda$ 是 $\displaystyle A,B$ 的公共特征值, 则由 $\displaystyle |\lambda E-B|=|\lambda E-B^\mathrm{T}|$ 知 $\displaystyle \lambda$ 也是 $\displaystyle B^\mathrm{T}$ 的特征值. 设 $\displaystyle \alpha\neq 0, \beta\neq 0$ 分别是 $\displaystyle A,B^\mathrm{T}$ 的属于特征值 $\displaystyle \lambda$ 的特征向量. 令 $\displaystyle X=\alpha\beta^\mathrm{T}\neq 0$, 则
$$\begin{aligned} AX=A\alpha\beta^\mathrm{T}=\lambda \alpha\beta^\mathrm{T} =\alpha(\lambda \beta)^\mathrm{T}=\alpha (B^\mathrm{T} \beta)^\mathrm{T} =\alpha\beta^\mathrm{T} B=XB. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle AX=XB$ 确有非零解.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1307、 5、 (15 分) 设 $\displaystyle A\in M_n(\mathbb{R})$ 且 $\displaystyle \det A\neq 0$. 证明: 存在唯一的 $\displaystyle Q$ 和 $\displaystyle T$ 使得 $\displaystyle A=QT$, 其中 $\displaystyle Q$ 为正交矩阵, $\displaystyle T$ 为上三角矩阵且对角线元素大于 $\displaystyle 0$. (重庆大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 一言以蔽之, 这就是 QR 分解的存在唯一性. (1)、 存在性. 设 $\displaystyle A=(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)$, 则由 $\displaystyle A$ 可逆知 $\displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_n$ 线性无关. 将它们施行 Gram-Schmidt 标准正交化过程,
$$\begin{aligned} \beta_1&=\frac{\alpha_1}{|\alpha_1|}=\frac{\alpha_1}{k_1},\\\\ \beta_2&=\frac{\alpha_2-(\alpha_2,\beta_1)\beta_1}{|\alpha_2-(\alpha_2,\beta_1)\beta_1|}=\frac{\alpha_2-(\alpha_2,\beta_1)\beta_1}{k_2},\cdots,\\\\ \beta_n&=\frac{\alpha_n-(\alpha_n,\beta_1)\beta_1-\cdots-(\alpha_n,\beta_{n-1})\beta_{n-1}}{|\alpha_n-(\alpha_n,\beta_1)\beta_1-\cdots-(\alpha_n,\beta_{n-1})\beta_{n-1}|}\\\\ &=\frac{\alpha_n-(\alpha_n,\beta_1)\beta_1-\cdots-(\alpha_n,\beta_{n-1})\beta_{n-1}}{k_n}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
此即
$$\begin{aligned} A=(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)=(\beta_1,\cdots,\beta_n) \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}k_1&(\alpha_2,\beta_1)&\cdots&(\alpha_n,\beta_1)\\\\ &k_2&\cdots&(\alpha_n,\beta_2)\\\\ &&\ddots&\vdots\\\\ &&&k_n\end{array}\right)\equiv QT. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则 $\displaystyle Q$ 正交, $\displaystyle T$ 上三角, 且对角元大于 $\displaystyle 0$. (2)、 唯一性. 设 $\displaystyle A=QT=Q_1T_1$, 其中 $\displaystyle Q_1$ 正交, $\displaystyle T_1$ 上三角, 且对角元大于 $\displaystyle 0$, 则
$$\begin{aligned} Q_1^{-1}Q=T_1T^{-1}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
注意到正交 (上三角) 矩阵的逆还是正交 (上三角) 矩阵, 正交 (上三角) 矩阵的乘积还是正交 (上三角) 矩阵, 我们知上式左端是正交阵, 右端是上三角矩阵, 且对角元大于 $\displaystyle 0$. 作为正交阵的 $\displaystyle T_1T^{-1}$ 的第一列是单位向量, 而它只有第一个元素非零且为正数, 而 $\displaystyle =1$. 从而 $\displaystyle T_1T^{-1}$ 的第一行除了第一个元素外全为 $\displaystyle 0$. 继续看 $\displaystyle T_1T^{-1}$ 的第二列. 除了第二个元素非零且为正数. 由于第二列为单位为单位向量, 而它的第二元素也 $\displaystyle =1$. 如此这般即知 $\displaystyle T_1T^{-1}=E_n\Rightarrow T_1=T\Rightarrow Q_1=Q$. 唯一性证得.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1308、 6、 (12 分) 证明: $\displaystyle \mathrm{rank} A+\mathrm{rank}(A-E)=n$ 的充要条件是 $\displaystyle A=A^2$, 其中 $\displaystyle A\in M_n(\mathbb{K})$. (重庆大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由
$$\begin{aligned} \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A&\\\\ &A-E\end{array}\right)\to&\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A&A\\\\ &A-E\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A&A\\\\ -A&-E\end{array}\right)\\\\ \to&\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A-A^2&\\\\ -A&-E\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A-A^2&\\\\ &E\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知
$$\begin{aligned} \mathrm{rank}(A)+\mathrm{rank}(A-E)=\mathrm{rank}(A-A^2)+n. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故
$$\begin{aligned} \mathrm{rank}(A)+\mathrm{rank}(A-E)=n&\Leftrightarrow \mathrm{rank}(A-A^2)=0\\\\ &\Leftrightarrow A-A^2=0\Leftrightarrow A=A^2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1309、 7、 (12 分) 设 $\displaystyle A$ 为 $\displaystyle n$ 阶方阵, 且 $\displaystyle A^2=A$. 证明:
$$\begin{aligned} (A+E)^k=E+(2^k-1)A, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
其中 $\displaystyle E$ 为单位矩阵. (重庆师范大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 对 $\displaystyle k$ 作数学归纳法. 当 $\displaystyle k=1$ 时结论自然成立. 若结论对 $\displaystyle k$ 成立, 则
$$\begin{aligned} &(A+E)^{k+1}=(A+E)^k(A+E)\xlongequal{\tiny\mbox{归纳假设}} [E+(2^k-1)A] (A+E)\\\\ =&A+E+(2^k-1)A^2+(2^k-1)A \xlongequal{\tiny\mbox{题设}} A+E+(2^k-1)A+(2^k-1)A\\\\ =&E+(2^{k+1}-1)A. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
归纳步证毕.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1310、 11、 (15 分) 设 $\displaystyle f_i(x),g_i(x)$ 为数域 $\displaystyle \mathbb{P}$ 上的多项式, 且
$$\begin{aligned} \left(f_1(x)\cdots f_n(x),g_1(x)\cdots g_n(x)\right)=1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
再设 $\displaystyle \lambda E-A$ 与 $\displaystyle \lambda E-B$ 分别与
$$\begin{aligned} \mathrm{diag}(f_1g_1,\cdots,f_ng_n), \mathrm{diag}\left(f_{i_1}g_{i_1},\cdots,f_{i_n}g_{i_n}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
等价, 其中 $\displaystyle i_1\cdots i_n$ 是 $\displaystyle 12\cdots n$ 的一个排列. 证明: $\displaystyle A,B$ 相似. (重庆师范大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle P$ 是 $\displaystyle (j,i_j)$ 元为 $\displaystyle 1$, $\displaystyle 1\leq j\leq n$, 其余元为 $\displaystyle 0$ 的置换矩阵, 则
$$\begin{aligned} P^\mathrm{T} \mathrm{diag}(f_1g_1,\cdots,f_ng_n)P=\mathrm{diag}\left(f_{i_1}g_{i_1},\cdots,f_{i_n}g_{i_n}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
与题设联合即知 $\displaystyle \lambda E-A, \lambda E-B$ 等价, 从而 $\displaystyle A,B$ 相似.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1311、 (5)、 实二次型
$$\begin{aligned} f(x_1,x_2,x_3)=2x_1x_2+2x_1x_3-6x_2x_3 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
的规范形为 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (安徽大学2023年高等代数考研试题) [二次型 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle f$ 的矩阵为
$$\begin{aligned} A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&1&1\\\\ 1&0&-3\\\\ 1&-3&0\end{array}\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则
$$\begin{aligned} P_1=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1&0\\\\ 1&-1&0\\\\ 0&0&1\end{array}\right)\Rightarrow P_1^\mathrm{T} AP&=A_1=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&0&-2\\\\ 0&-2&4\\\\ -2&4&0\end{array}\right),\\\\ P_2=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&1\\\\ 0&1&2\\\\ 0&0&1\end{array}\right)\Rightarrow P_2^\mathrm{T} A_1P_2&=A_2=\mathrm{diag}(2,-2,6),\\\\ P_3=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&&\\\\ &&1\\\\ &1&\end{array}\right)\Rightarrow P_3^\mathrm{T} A_2P_3&=\mathrm{diag}(2,6,-2). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle f$ 的规范形为 $\displaystyle z_1^2+z_2^2-z_3^2$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
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