张祖锦2023年数学专业真题分类70天之第52天
1174、 (3)、 设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&2&3\\\\ 4&5&6\\\\ 7&8&9\end{array}\right)$, $\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 是线性无关的 $\displaystyle 3$ 维列向量, 则
$$\begin{aligned} \mathrm{rank}(A\alpha_1,A\alpha_2,A\alpha_3)=\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(厦门大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由 $\displaystyle A\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&-1\\\\ 0&1&2\\\\ 0&0&0\end{array}\right)$ 知
$$\begin{aligned} \mathrm{rank}(A\alpha_1,A\alpha_2,A\alpha_3)=\mathrm{rank}\left[A(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)\right]=\mathrm{rank} A=2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1175、 (7)、 设 $\displaystyle \alpha,\beta$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{F}$ 上的 $\displaystyle n$ 维列向量, $\displaystyle \beta^\mathrm{T}\alpha=3$, 则 $\displaystyle \alpha\beta^\mathrm{T}$ 的特征值为 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (厦门大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /
$$\begin{aligned} (\alpha\beta^\mathrm{T})\alpha=(\beta^\mathrm{T} \alpha)\alpha=3\alpha. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
再由题设, $\displaystyle \alpha\neq 0, \beta\neq 0$, $\displaystyle \alpha\beta^\mathrm{T}\neq 0\Rightarrow \mathrm{rank} (\alpha\beta^\mathrm{T})\geq 1$. 但 $\displaystyle \mathrm{rank}(\alpha\beta^\mathrm{T})\leq \mathrm{rank} \alpha=1$. 故 $\displaystyle \alpha\beta^\mathrm{T} x=0$ 有两个线性无关的解向量 $\displaystyle \alpha_2,\cdots,\alpha_n$. 由于矩阵属于不同特征值的特征向量线性无关知 $\displaystyle P=(\alpha,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)$ 可逆, 且
$$\begin{aligned} P^{-1}(\alpha\beta^\mathrm{T})P=\mathrm{diag}(3,0,\cdots,0). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle A$ 的特征值为 $\displaystyle 3$ (单重), $\displaystyle 0$ ($n-1$ 重).跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1176、 (8)、 若 $\displaystyle n$ 阶方阵仅有特征值 $\displaystyle 1$ 且只有一个线性无关的特征向量, 则 $\displaystyle A$ 的不变因子为 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (厦门大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设题中矩阵为 $\displaystyle A$, 则 $\displaystyle A$ 的 Jordan 标准形 $\displaystyle J$ 的对角元为 $\displaystyle 1$. 又由 $\displaystyle A$ 只有一个线性无关的特征向量知 $\displaystyle J=J_n(1)$, 而 $\displaystyle A$ 的初等因子为 $\displaystyle (\lambda-1)^n$, 不变因子为 $\displaystyle 1,\cdots,1,(\lambda-1)^n$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1177、 3、 若 $\displaystyle A$ 是可逆实矩阵, 证明: 存在正交阵 $\displaystyle Q$, 使得 $\displaystyle QA$ 为上三角阵且对角元全为正数. (厦门大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle A=(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)$, 则由 $\displaystyle A$ 可逆知 $\displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_n$ 线性无关. 将它们施行 Gram-Schmidt 标准正交化过程,
$$\begin{aligned} \beta_1&=\frac{\alpha_1}{|\alpha_1|}=\frac{\alpha_1}{k_1},\\\\ \beta_2&=\frac{\alpha_2-(\alpha_2,\beta_1)\beta_1}{|\alpha_2-(\alpha_2,\beta_1)\beta_1|}=\frac{\alpha_2-(\alpha_2,\beta_1)\beta_1}{k_2},\cdots,\\\\ \beta_n&=\frac{\alpha_n-(\alpha_n,\beta_1)\beta_1-\cdots-(\alpha_n,\beta_{n-1})\beta_{n-1}}{|\alpha_n-(\alpha_n,\beta_1)\beta_1-\cdots-(\alpha_n,\beta_{n-1})\beta_{n-1}|}\\\\ &=\frac{\alpha_n-(\alpha_n,\beta_1)\beta_1-\cdots-(\alpha_n,\beta_{n-1})\beta_{n-1}}{k_n}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
此即
$$\begin{aligned} A=(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)=(\beta_1,\cdots,\beta_n) \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}k_1&(\alpha_2,\beta_1)&\cdots&(\alpha_n,\beta_1)\\\\ &k_2&\cdots&(\alpha_n,\beta_2)\\\\ &&\ddots&\vdots\\\\ &&&k_n\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
设 $\displaystyle Q=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\beta_1^\mathrm{T}\\\\\vdots\\\\\beta_n^\mathrm{T}\end{array}\right)$, 则
$$\begin{aligned} QA=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}k_1&(\alpha_2,\beta_1)&\cdots&(\alpha_n,\beta_1)\\\\ &k_2&\cdots&(\alpha_n,\beta_2)\\\\ &&\ddots&\vdots\\\\ &&&k_n\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1178、 4、 设 $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle n$ 阶复矩阵, $\displaystyle g(x)$ 是 $\displaystyle A$ 的最小多项式, $\displaystyle f(x)$ 是复多项式, 满足
$$\begin{aligned} \left(f(x),g(x)\right)=d(x). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
证明: (1)、 $\displaystyle \mathrm{rank} f(A)=\mathrm{rank} d(A)$; (2)、 $\displaystyle f(A)$ 可逆当且仅当 $\displaystyle d(x)=1$. (厦门大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、
$$\begin{aligned} &(f,g)=d\Rightarrow \exists\ u,v,\mathrm{ s.t.} uf+vg=d\\\\ \Rightarrow&d(A)=u(A)f(A)+v(A)g(A)=u(A)f(A)\qquad(I)\\\\ \Rightarrow& \mathrm{rank} d(A)\leq \mathrm{rank} f(A). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
另一方面,
$$\begin{aligned} d\mid f\Rightarrow \exists\ h,\mathrm{ s.t.} f=dh \Rightarrow f(A)=d(A)h(A)\Rightarrow \mathrm{rank} f(A)\leq \mathrm{rank} d(A). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle \mathrm{rank} f(A)=\mathrm{rank} d(A)$. (2)、 (2-1)、 $\displaystyle \Leftarrow$: 由 $\displaystyle (I)$ 知
$$\begin{aligned} E=d(A)=u(A)f(A)\Rightarrow \left[f(A)\right]^{-1}=u(A), f(A)\mbox{可逆}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2-2)、 $\displaystyle \Rightarrow$: 设 $\displaystyle f(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)\cdots(\lambda-\lambda_s)$, 其中 $\displaystyle \lambda_i$ 是 $\displaystyle f$ 的复根. 则
$$\begin{aligned} &0\neq \det f(A) =\det (A-\lambda_1E)\cdots \det (A-\lambda_sE)\\\\ \Rightarrow& \forall\ i, \det (A-\lambda_iE)\neq 0 \Rightarrow \forall\ i, \mbox{ $\displaystyle \lambda_i$ 不是 $\displaystyle A$ 的特征值}\\\\ \Rightarrow&\forall\ i,\mbox{ $\displaystyle \lambda_i$ 不是 $\displaystyle g(\lambda)$ 的根 (最小多项式以所有特征值为根)}\\\\ \Rightarrow&d(\lambda)=\left(g(\lambda),f(\lambda)\right)=1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
也可用反证法证明如下. 若 $\displaystyle \partial(d)\geq 1$, 则
$$\begin{aligned} \exists\ g_1, f_1,\mathrm{ s.t.} g=dg_1, f=df_1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是
$$\begin{aligned} 0=g(A)f_1(A)=d(A)g_1(A)f_1(A)=g_1(A)f(A). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由 $\displaystyle f(A)$ 可逆知 $\displaystyle g_1(A)=0$, 而找到了次数必 $\displaystyle g$ 更小的 $\displaystyle A$ 的零化多项式, 与 $\displaystyle g$ 是 $\displaystyle A$ 的最小多项式矛盾. 故有结论.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1179、 5、 设 $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle n$ 阶复矩阵, $\displaystyle 0 < \mathrm{rank} A < n$, $\displaystyle \mathrm{rank} A=\mathrm{rank}(A^2)$. 证明: 存在课内矩阵 $\displaystyle P$ 及可逆矩阵 $\displaystyle B$ 使得
$$\begin{aligned} A=P\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}B&0\\\\ 0&0\end{array}\right)P^{-1}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
[张祖锦注: 本题没有必要假设 $\displaystyle A$ 是复矩阵, 具体见参考解答] (厦门大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle \mathrm{rank} A=\mathrm{rank}(A^2)=r$. 令
$$\begin{aligned} V_1=\left\{\alpha\in\mathbb{F}^n;A\alpha=0\right\},\quad V_2=\left\{\alpha\in\mathbb{F}^n;A^2\alpha=0\right\}, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则 $\displaystyle V_1\subset V_2$,
$$\begin{aligned} \dim V_1=n-\mathrm{rank}(A)=n-\mathrm{rank}(A^2)=\dim V_2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle V_1=V_2$. 再令
$$\begin{aligned} W_1=\left\{A\alpha;\alpha\in\mathbb{F}^n\right\},\quad W_2=\left\{A^2\alpha;\alpha\in\mathbb{F}^n\right\}, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则 $\displaystyle W_2\subset W_1$,
$$\begin{aligned} \dim W_1=\mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}(A^2)=\dim W_2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle W_1=W_2$. 取 $\displaystyle V_1=V_2$ 的一组基 $\displaystyle \eta_1,\cdots,\eta_{n-r}$, 将其扩充为 $\displaystyle \mathbb{F}^n$ 的一组基 $\displaystyle \eta_1,\cdots,\eta_n$, 则 $\displaystyle A\eta_{n-r+1},\cdots,A\eta_n$ 是 $\displaystyle W_1$ 的一组基, $\displaystyle A^2\eta_{n-r+1},\cdots,A^2\eta_n$ 是 $\displaystyle W_2$ 的一组基. 因 $\displaystyle W_1=W_2$, 我们得到
$$\begin{aligned} A\eta_{n-r+1},\cdots,A\eta_n\mbox{与}A^2\eta_{n-r+1},\cdots,A^2\eta_n \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
等价, 而存在可逆矩阵 $\displaystyle B$ 使得
$$\begin{aligned} (A^2\eta_{n-r+1},\cdots,A^2\eta_n)=(A\eta_{n-r+1},\cdots,A\eta_n)B. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由
$$\begin{aligned} &\quad \sum_{i=1}^{n-r}k_i\eta_i+\sum_{j=n-r+1}l_jA\eta_j=0\\\\\ &\Rightarrow \sum_j l_jA^2\eta_j=0\quad \left(\mbox{用}A\mbox{作用}\right)\\\\ &\Rightarrow l_j=0\Rightarrow k_i=0 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle \eta_1,\cdots,\eta_{n-r},A\eta_{n-r+1},\cdots,A\eta_n$ 是 $\displaystyle \mathbb{F}^n$ 的一组基. 令
$$\begin{aligned} P=(A\eta_{n-r+1},\cdots,A\eta_n,\eta_1,\cdots,\eta_{n-r}), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则 $\displaystyle P$ 可逆, 且
$$\begin{aligned} AP=&(A^2\eta_{n-r+1},\cdots,A^2\eta_n,0,\cdots,0)\\\\ =&(A\eta_{n-r+1},\cdots,A\eta_n,0,\cdots,0) \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}B&0\\\\ 0&0\end{array}\right) =P\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}B&0\\\\ 0&0\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是 $\displaystyle {A=P\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}B&0\\\\ 0&0\end{array}\right)P^{-1}}$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1180、 6、 $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle n$ 阶实正定矩阵, 且非对角元均小于 $\displaystyle 0$. 证明: $\displaystyle A^{-1}$ 的所有元素都大于 $\displaystyle 0$. (厦门大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 对 $\displaystyle n$ 作数学归纳法. 当 $\displaystyle n=1$ 时, $\displaystyle A=(a)\Rightarrow A^{-1}=\left(\frac{1}{a}\right)$, 结论成立. 假设结论对 $\displaystyle n-1$ 阶矩阵成立, 则对 $\displaystyle n$ 阶正定矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}B&\alpha\\\\ \alpha^\mathrm{T}&a_{nn}\end{array}\right)$, 写出
$$\begin{aligned} \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E&-a_{nn}^{-1}\alpha\\\\ 0&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}B&\alpha\\\\ \alpha^\mathrm{T}&a_{nn}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E&0\\\\ -a_{nn}^{-1}\alpha^\mathrm{T}&1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}B-a_{nn}^{-1}\alpha\alpha^\mathrm{T}&0\\\\ 0&a_{nn}\end{array}\right)\quad (I) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
后知 $\displaystyle \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}B-a_{nn}^{-1}\alpha\alpha^\mathrm{T}&0\\\\ 0&a_{nn}\end{array}\right)$ 正定. 注意到 $\displaystyle a_{nn}^{-1}\alpha\alpha^\mathrm{T}$ 的元素都大于 $\displaystyle 0$, 而 $\displaystyle B-a_{nn}^{-1}\alpha\alpha^\mathrm{T}$ 的非对角元都小于 $\displaystyle 0$. 按归纳假设, $\displaystyle C=(B-a_{nn}^{-1}\alpha\alpha^\mathrm{T})^{-1}$ 的元素均大于 $\displaystyle 0$. 继续由 $\displaystyle (I)$ 知
$$\begin{aligned} A^{-1}=&\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E&0\\\\ -a_{nn}^{-1}\alpha^\mathrm{T}&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}C&\\\\ &a_{nn}^{-1}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E&-a_{nn}^{-1}\alpha\\\\ 0&1\end{array}\right)\\\\ =&\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}C&-a_{nn}^{-1}\alpha C\\\\ -a_{nn}^{-1}\alpha C^{-1}&a_{nn}^{-1}+a_{nn}^{-2}\alpha^\mathrm{T} C\alpha\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由 $\displaystyle C$ 的元素都大于 $\displaystyle 0$, $\displaystyle \alpha$ 的元素都小于 $\displaystyle 0$, 而 $\displaystyle A^{-1}$ 的元素都大于 $\displaystyle 0$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1181、 3、 设 $\displaystyle A,B$ 为 $\displaystyle n$ 阶矩阵且 $\displaystyle A+B=AB$, 求 $\displaystyle A-E$ 的逆矩阵, 并证明 $\displaystyle AB=BA$. (山东大学2023年高等代数与常微分方程考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /
$$\begin{aligned} &A+B=AB\Rightarrow (A-E)(B-E)=E\\\\ \Rightarrow& A-E\mbox{可逆, 且}(A-E)^{-1}=B-E\\\\ \Rightarrow& (B-E)(A-E)=E\Rightarrow BA-A-B=0\\\\ \Rightarrow& AB=A+B=BA . \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1182、 4、 求 $\displaystyle n$ 阶矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&0&\cdots&0\\\\ a&1&0&\cdots&0\\\\ a^2&a&1&\cdots&0\\\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\\\ a^{n-1}&a^{n-2}&a^{n-3}&\cdots&1\end{array}\right)$ 的逆矩阵. (山东大学2023年高等代数与常微分方程考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle N=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&&&\\\\ 1&\ddots&&\\\\ &\ddots&\ddots&\\\\ &&1&0\end{array}\right)$, 则
$$\begin{aligned} A=E+aN+a^2N^2+\cdots+a^{n-1}N^{n-1}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由 $\displaystyle (E-aN)A=E$ 知 $\displaystyle A^{-1}=E-aN=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&&&\\\\ -a&\ddots&&\\\\ &\ddots&\ddots&\\\\ &&-a&1\end{array}\right)$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1183、 5、 设 $\displaystyle A,B$ 均为 $\displaystyle n$ 阶正定矩阵, 证明 $\displaystyle AB$ 正定的充要条件为 $\displaystyle AB=BA$. (山东大学2023年高等代数与常微分方程考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 $\displaystyle \Rightarrow$:
$$\begin{aligned} BA=B^\mathrm{T} A^\mathrm{T} =(AB)^\mathrm{T}=AB . \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2)、 $\displaystyle \Leftarrow$: 由 $\displaystyle AB=BA$ 知
$$\begin{aligned} (AB)^\mathrm{T}=B^\mathrm{T} A^\mathrm{T} =BA=AB, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
而 $\displaystyle AB$ 为实对称矩阵. 进一步,
$$\begin{aligned} A,B\mbox{正定}&\Rightarrow \exists\ \mbox{可逆}P,Q,\mathrm{ s.t.} A=P^\mathrm{T} P, B=Q^\mathrm{T} Q\\\\ &\Rightarrow AB=P^\mathrm{T} P Q^\mathrm{T} Q\\\\ & \Rightarrow \left(P^\mathrm{T}\right)^{-1} ABP^\mathrm{T} =PQ^\mathrm{T} QP^\mathrm{T}=(QP^\mathrm{T})^\mathrm{T} QP^\mathrm{T}\\\\ &\Rightarrow \left(P^\mathrm{T}\right)^{-1} ABP^\mathrm{T}\mbox{正定}\left(\mbox{$QP^\mathrm{T}$ 可逆}\right)\\\\ &\Rightarrow \left(P^\mathrm{T}\right)^{-1} ABP^\mathrm{T}\mbox{的特征值均大于 $\displaystyle 0$}\\\\ &\Rightarrow AB\left(\sim \left(P^\mathrm{T}\right)^{-1} ABP^\mathrm{T}\right) \mbox{的特征值均大于 $\displaystyle 0$}\\\\ &\Rightarrow AB\mbox{正定}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1184、 4、 (15 分) 矩阵 $\displaystyle A$ 为 $\displaystyle 3$ 阶实对称矩阵, 它的秩为 $\displaystyle 2$, 且 $\displaystyle -2$ 是其二重特征值,
$$\begin{aligned} (1,0,0)^\mathrm{T}, (2,1,1)^\mathrm{T} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
为 $\displaystyle A$ 的属于 $\displaystyle -2$ 的特征向量. 求矩阵 $\displaystyle A$. (山西大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交知 $\displaystyle A$ 的属于特征值 $\displaystyle 2$ 的特征向量 $\displaystyle x$ 满足
$$\begin{aligned} Ax=0, A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&0\\\\ 2&1&1\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&0\\\\ 0&1&1\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故可取 $\displaystyle x=(0,-1,1)^\mathrm{T}$. 于是
$$\begin{aligned} P\equiv \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&1&2\\\\ -1&0&1\\\\ 1&0&1\end{array}\right)\Rightarrow AP=P\mathrm{diag}(2,-2,-2)\Rightarrow A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-2&0&0\\\\ 0&0&-2\\\\ 0&-2&0\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1185、 6、 (15 分) 求 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&1&0&0\\\\ 3&-4&0&0\\\\ -7&6&2&1\\\\ 7&6&1&0\end{array}\right)$ 的不变因子, 初等因子, 若当标准形和有理标准形. [题目有问题, 跟锦数学微信公众号没法做哦. 毕竟算出来有根号, 考试一般不会出现] (山西大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / [题目有问题, 跟锦数学微信公众号没法做哦. 毕竟算出来有根号, 考试一般不会出现]跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1186、 10、 (15 分) 证明下列结论. (1)、 $\displaystyle A$ 为 $\displaystyle n$ 阶实矩阵, 则 $\displaystyle A$ 为反对称矩阵的充分必要条件为 $\displaystyle AA^\mathrm{T}=-A^2$. (山西大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle \Rightarrow$: $\displaystyle AA^\mathrm{T}=A(-A)=-A^2$. $\displaystyle \Leftarrow$: 由
$$\begin{aligned} &\mathrm{tr}\left[(A^\mathrm{T}+A)^\mathrm{T}(A^\mathrm{T}+A)\right] =\mathrm{tr}\left[(A+A^\mathrm{T})(A^\mathrm{T}+A)\right]\\\\ =&\mathrm{tr}\left[AA^\mathrm{T}+A^2+(A^2)^\mathrm{T}+A^\mathrm{T} A\right] =\mathrm{tr}\left[(A^2)^\mathrm{T}+A^\mathrm{T} A\right]\\\\ \stackrel{\mbox{转置}}{=}&\mathrm{tr}(A^2+A^\mathrm{T} A) =\mathrm{tr}(A^2)+\mathrm{tr}(A^\mathrm{T} A)\\\\ =&\mathrm{tr}(A^2)+\mathrm{tr}(AA^\mathrm{T})=\mathrm{tr}(A^2+AA^\mathrm{T})=\mathrm{tr} 0=0 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle A^\mathrm{T}+A$ 的所有元素的平方和为 $\displaystyle 0$, 而 $\displaystyle A^\mathrm{T}+A=0$, $\displaystyle A$ 反对称.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1187、 (2)、 $\displaystyle A$ 为正定矩阵, 则存在正定矩阵 $\displaystyle B$, 使得 $\displaystyle A=B^2$. (山西大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由 $\displaystyle A$ 正定知存在正交阵 $\displaystyle P$ 使得
$$\begin{aligned} A=P^\mathrm{T} \mathrm{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_n)P, \lambda_i > 0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
令 $\displaystyle B=P^\mathrm{T} \mathrm{diag}\left(\sqrt{\lambda_1},\cdots,\sqrt{\lambda_n}\right)P$, 则 $\displaystyle B$ 正定, 且 $\displaystyle A=B^2$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1188、 4、 (15 分) 设 $\displaystyle A=(a_{ij})\in\mathbb{R}^{n\times n}$, 已知
$$\begin{aligned} a_{ii} > 0, a_{ij} < 0\left(i\neq j\right), \sum_{j=1}^n a_{ij}=0\left(1\leq i\leq n, 1\leq i\neq j\leq n\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
证明: $\displaystyle \mathrm{rank} A=n-1$. (陕西师范大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 我们先证明一个结论. 设矩阵 $\displaystyle A=(a_{ij})$ 是一个 $\displaystyle n$ 级实矩阵, 对任意的 $\displaystyle i=1,2,\cdots,n$, 均有
$$\begin{aligned} a_{ii} > \sum_{j\neq i} |a_{ij}|. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则 $\displaystyle \det A > 0$. 事实上, 设 $\displaystyle \lambda$ 是 $\displaystyle A$ 的实特征值, 则
$$\begin{aligned} &\exists\ x\neq 0,\mathrm{ s.t.} Ax=\lambda x\\\\ \Rightarrow&\sum_{j=1}^n a_{kj}x_j=\lambda x_k\left(|x_k|=\max_{1\leq i\leq n}|x_i| > 0\right)\\\\ \Rightarrow& (\lambda-a_{kk})x_k=\sum_{j\neq k} a_{kj}x_j\\\\ \Rightarrow& |\lambda-a_{kk}|\leq \sum_{j\neq k} |a_{kj}|\frac{|x_j|}{|x_k|} \leq \sum_{j\neq k} |a_{kj}|\\\\ \Rightarrow&\lambda \geq a_{kk}-\sum_{j\neq k} |a_{kj}| > 0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
又 $\displaystyle A$ 是实矩阵, 其虚特征值成对出现, 而可设它的全部特征值为
$$\begin{aligned} \lambda_1,\cdots,\lambda_s, a_1+b_1\mathrm{ i}, a_1-b_1\mathrm{ i}, \cdots, a_{n-s}+b_{n-s}\mathrm{ i}, a_{n-s}-b_{n-s}\mathrm{ i}, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
其中 $\displaystyle \lambda_i\in\mathbb{R}, a_j,b_j\in\mathbb{R}, b_j\neq 0$. 如此,
$$\begin{aligned} |A|=\prod_{i=1}^s \lambda_i\cdot \prod_{j=1}^{n-s} (a_i^2+b_i^2) > 0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2)、 回到题目. 将 $\displaystyle A$ 的第 $\displaystyle i$ ($1\leq i\leq n-1$) 加到第 $\displaystyle n$ 行, 可将 $\displaystyle A$ 的第 $\displaystyle n$ 行化为 $\displaystyle 0$. 故 $\displaystyle \mathrm{rank} A\leq n-1$. 考虑 $\displaystyle A$ 的 $\displaystyle n-1$ 阶顺序主子阵
$$\begin{aligned} B=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}a_{11}&\cdots&a_{1,n-1}\\\\ \vdots&&\vdots\\\\ a_{n-1,1}&\cdots&a_{n-1,n-1}\end{array}\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则
$$\begin{aligned} 0 < a_{kk}=-\sum_{i=1, i\neq k}^n a_{ik} > \sum_{i=1,i\neq k}^{n-1}a_{ik}, 1\leq k\leq n-1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由第 1 步结果知 $\displaystyle 0 < |B^\mathrm{T}|=|B|$. 故 $\displaystyle \mathrm{rank} A=n-1$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1189、 8、 (15 分) 有一个 $\displaystyle 6$ 阶矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}a&-b&&&&\\\\ b&a&1&&&\\\\ &&a&-b&&\\\\ &&b&a&1&&\\\\ &&&&a&-b\\\\ &&&&b&a\end{array}\right)$, 其中 $\displaystyle a,b\in\mathbb{R}$, 且 $\displaystyle b\neq 0$. 求 $\displaystyle \lambda E-A$ 的不变因子与初等因子以及 $\displaystyle A$ 的若尔当标准形. (陕西师范大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle \lambda E-A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\lambda-a&b&&&&\\\\ -b&\lambda-a&-1&&&\\\\ &&\lambda-a&b&&\\\\ &&-b&\lambda-a&-1&&\\\\ &&&&\lambda-a&b\\\\ &&&&-b&\lambda-a\end{array}\right)$ 的右上角有一个 $\displaystyle 5$ 阶子式 $\displaystyle =b^3\neq 0$. 设 $\displaystyle |\lambda E-A|=D_6$, 则
$$\begin{aligned} D_6=(\lambda-a)^2D_4+b^2D_4=\cdots=[(\lambda-a)^2+b^2]^3. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle A$ 的不变因子为 $\displaystyle 1,1,1,1,1, [(\lambda-a)^2+b^2]^3=[\lambda-(a+b\mathrm{ i})]^3[\lambda-(a-b\mathrm{ i})]^3$, 初等因子为 $\displaystyle [\lambda-(a+b\mathrm{ i})]^3,[\lambda-(a-b\mathrm{ i})]^3$, Jordan 标准形为
$$\begin{aligned} \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}a+b\mathrm{ i}&1&&&&\\\\ &a+b\mathrm{ i}&1&&&\\\\ &&a+b\mathrm{ i}&&&\\\\ &&&a-b\mathrm{ i}&1&\\\\ &&&&a-b\mathrm{ i}&1\\\\ &&&&&a-b\mathrm{ i}\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1190、 3、 已知 $\displaystyle A,B$ 为 $\displaystyle n$ 阶矩阵, $\displaystyle AB=BA$. 证明:
$$\begin{aligned} \mathrm{rank}(A+B)+\mathrm{rank}(AB)\leq \mathrm{rank} A+\mathrm{rank} B . \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(上海财经大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 取定 $\displaystyle \mathbb{F}^n$ 的一组基 $\displaystyle \varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n$, 并设线性变换 $\displaystyle \mathscr{A}, \mathscr{B}: \mathbb{F}^n\to\mathbb{F}^n$ 在该基下的矩阵分别为 $\displaystyle A,B$, 则
$$\begin{aligned} \mathscr{A}(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n)&=(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n)A,\\\\ \mathscr{B}(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n)&=(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n)B. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则
$$\begin{aligned} AB=BA&\Rightarrow \mathscr{A}\mathscr{B}=\mathscr{B}\mathscr{A}\\\\ &\Rightarrow \mathrm{im}(\mathscr{A}\mathscr{B})=\mathrm{im}(\mathscr{B}\mathscr{A}) \subset \mathrm{im} \mathscr{A}\cap \mathrm{im} \mathscr{B}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
据维数公式即知
$$\begin{aligned} \mathrm{rank}(AB)+\mathrm{rank}(A+B) &=\dim\mathrm{im}(\mathscr{A}\mathscr{B})+\dim \mathrm{im}(\mathscr{A}+\mathscr{B})\\\\ &\leq \dim (\mathrm{im} \mathscr{A}\cap \mathrm{im}\mathscr{B})+\dim\mathrm{im}(\mathscr{A}+\mathscr{B})\\\\ &=\dim \mathrm{im}\mathscr{A}+\dim \mathrm{im}\mathscr{B}\\\\ &=\mathrm{rank}(A)+\mathrm{rank}(B). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1191、 5、 设 $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle n$ 阶矩阵, 满足 $\displaystyle E_n-AA^\mathrm{T}$ 可逆. 证明: (1)、 $\displaystyle E_n-A^\mathrm{T} A$ 可逆; (2)、 $\displaystyle A^\mathrm{T}(E_n-AA^\mathrm{T})^{-1}=(E_n-A^\mathrm{T} A)^{-1}A^\mathrm{T}$. (上海财经大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 我们有如下常用公式: 由
$$\begin{aligned} \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E&0\\\\ B&E\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E&A\\\\ -B&E\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E&-A\\\\ 0&E\end{array}\right)=&\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E&0\\\\ 0&E+BA\end{array}\right),\\\\ \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E&-A\\\\ 0&E\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E&A\\\\ -B&E\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E&0\\\\ B&E\end{array}\right)=&\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E+AB&0\\\\ 0&E\end{array}\right)\qquad(I) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
即知
$$\begin{aligned} |E+BA|=|E+AB|. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2)、 回到题目. 由第 1 步知 $\displaystyle |E_n-A^\mathrm{T} A|=|E_n-AA^\mathrm{T}|\neq 0$, 而 $\displaystyle E_n-A^\mathrm{T} A$ 可逆.
$$\begin{aligned} A^\mathrm{T}(E_n-AA^\mathrm{T})=A^\mathrm{T}-A^\mathrm{T} A\cdot A^\mathrm{T}=(E_n-A^\mathrm{T} A)A^\mathrm{T}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
左乘 $\displaystyle (E_n-A^\mathrm{T} A)^{-1}$, 右乘 $\displaystyle (E_n-AA^\mathrm{T})^{-1}$ 即得
$$\begin{aligned} A^\mathrm{T}(E_n-AA^\mathrm{T})^{-1}=(E_n-A^\mathrm{T} A)^{-1}A^\mathrm{T}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1192、 6、 设 $\displaystyle A,B$ 是 $\displaystyle n$ 阶正定矩阵. 证明: (1)、 $\displaystyle A+2023B$ 正定; (2)、 $\displaystyle |A+2023B| > |A|$. (上海财经大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 $\displaystyle A+2023B$ 实对称, 且对 $\displaystyle \forall\ 0\neq x\in\mathbb{R}^n$,
$$\begin{aligned} x^\mathrm{T} Ax > 0, x^\mathrm{T} Bx > 0\Rightarrow x^\mathrm{T}(A+2023B)x=x^\mathrm{T} Ax+2023x^\mathrm{T} Bx > 0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle A+2023B$ 正定. (2)、 由 $\displaystyle B$ 正定知存在可逆阵 $\displaystyle P$, 使得
$$\begin{aligned} P^\mathrm{T} BP=E\Rightarrow |P^\mathrm{T} P|=\frac{1}{|B|}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
而 $\displaystyle P^\mathrm{T} AP$ 仍半正定, 存在正交阵 $\displaystyle Q$, 使得
$$\begin{aligned} Q^\mathrm{T} P^\mathrm{T} APQ=\mathrm{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_n), \lambda_i > 0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是
$$\begin{aligned} &|Q^\mathrm{T} P^\mathrm{T} (A+2023B)PQ|=|\mathrm{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_n)+2023E|\\\\ &=\prod_{i=1}^n(2023+\lambda_i) > \lambda_1\cdots \lambda_n=|P^\mathrm{T} AP|. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
化简即知 $\displaystyle |A+2023B| > |A|$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1193、 (3)、 设 $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle n$ 阶反对称矩阵, 且为正交矩阵, 则 $\displaystyle A^2=\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (上海大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由 $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle n$ 阶反对称矩阵知 $\displaystyle A$ 的特征值为 $\displaystyle 0$ 或纯虚数. 又由 $\displaystyle A$ 为正交矩阵知 $\displaystyle A$ 的特征值的模长为 $\displaystyle 1$. 联合 $\displaystyle A$ 的虚特征值成对出现知 $\displaystyle A$ 的特征值为 $\displaystyle \pm \mathrm{ i}$ (重数相同). 于是实对称矩阵 $\displaystyle A^2$ 的特征值都是 $\displaystyle -1$. 从而存在正交阵 $\displaystyle P$ 使得
$$\begin{aligned} A^2=P\mathrm{diag}(-1,\cdots,-1)P^\mathrm{T}=-E_n. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1194、 (5)、 设 $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle n$ 阶正定矩阵, $\displaystyle \alpha$ 为非零 $\displaystyle n$ 维列向量, 则实对称矩阵 $\displaystyle \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A&\alpha\\\\ \alpha^\mathrm{T}&0\end{array}\right)$ 的正负惯性指数差为 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (上海大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由
$$\begin{aligned} \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E&0\\\\ -\alpha^\mathrm{T} A^{-1}&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A&\alpha\\\\ \alpha^\mathrm{T}&0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E&-A^{-1}\alpha\\\\ 0&1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A&\\\\ &-\alpha^\mathrm{T} A^{-1}\alpha\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A&\alpha\\\\ \alpha^\mathrm{T}&0\end{array}\right)$ 的正负惯性指数差为 $\displaystyle n-1$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1195、 (2)、 若实对称矩阵 $\displaystyle A,B$ 相似, 则 $\displaystyle A,B$ 未必合同; 反之, 若 $\displaystyle A,B$ 合同, 则 $\displaystyle A,B$ 一定相似. $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$ (上海大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle \times$. 若实对称矩阵 $\displaystyle A,B$ 相似, 则它们正交相似, 而 $\displaystyle A,B$ 未必合同.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1196、 (3)、 设 $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle n$ 阶矩阵, 若 $\displaystyle A^3=A$, 则 $\displaystyle A$ 与对角矩阵相似. $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$ (上海大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle \surd$. $\displaystyle A$ 的最小多项式整除 $\displaystyle \lambda^3-\lambda$, 而没有重根, 可对角化.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
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