张祖锦2023年数学专业真题分类70天之第51天
1151、 9、 设矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&1&1&-1\\\\ 1&0&-1&1\\\\ 1&-1&0&1\\\\ -1&1&1&0\end{array}\right)$. 求正交矩阵 $\displaystyle U$, 使得 $\displaystyle U^\mathrm{T} AU$ 为对角矩阵. (南昌大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 易知 $\displaystyle A$ 的特征值为 $\displaystyle 1,1,1,-3$. 由
$$\begin{aligned} E-A\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&-1&-1&1\\\\ 0&0&0&0\\\\ 0&0&0&0\\\\ 0&0&0&0 \end{array}\right), -3E-A\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&0&-1\\\\ 0&1&0&1\\\\ 0&0&1&1\\\\ 0&0&0&0 \end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle A$ 的属于特征值 $\displaystyle 1,-3$ 的特征向量分别为
$$\begin{aligned} \xi_1=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1\\\\1\\\\0\\\\0 \end{array}\right), \xi_2=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1\\\\0\\\\1\\\\0 \end{array}\right), \xi_3=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-1\\\\0\\\\0\\\\1 \end{array}\right); \xi_4=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1\\\\-1\\\\-1\\\\1\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
将 $\displaystyle \xi_1,\xi_2,\xi_3,\xi_4$ 标准正交化为 $\displaystyle \eta_1,\eta_2,\eta_3,\eta_4$. 令
$$\begin{aligned} U=(\eta_1,\eta_2,\eta_3,\eta_4)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{6}}&-\frac{1}{2\sqrt{3}}&\frac{1}{2}\\\\ \frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{6}}&\frac{1}{2\sqrt{3}}&-\frac{1}{2}\\\\ 0&\frac{2}{\sqrt{6}}&\frac{1}{2\sqrt{3}}&-\frac{1}{2}\\\\ 0&0&\frac{\sqrt{3}}{2}&\frac{1}{2} \end{array}\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则 $\displaystyle U$ 正交, 且
$$\begin{aligned} U^\mathrm{T} AU=U^{-1}AU=\mathrm{diag}\left(1,1,1,-3\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1152、 10、 设 $\displaystyle A$ 是正定矩阵, $\displaystyle B$ 是实对称矩阵. 若 $\displaystyle |(1-t)A+B|=0$ 的根全大于 $\displaystyle 1$. 证明: $\displaystyle B$ 为正定矩阵. (南昌大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由 $\displaystyle A$ 正定知存在实可逆矩阵 $\displaystyle C$, 使得 $\displaystyle C^\mathrm{T} AC=E_n$. 于是
$$\begin{aligned} 0=&|C^\mathrm{T}|\cdot |(1-t)A+B|\cdot |C| =|(1-t)E_n+C^\mathrm{T} BC|\\\\ =&(-1)^n |(t-1)E_n-C^\mathrm{T} BC| \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
的根 $\displaystyle t_1,\cdots,t_n$ 都大于 $\displaystyle 1$. 于是 $\displaystyle |\lambda E_n-C^\mathrm{T} BC|=0$ 的根 $\displaystyle t_1-1, \cdots, t_n-1$ 都大于 $\displaystyle 0$. 既然实对称矩阵 $\displaystyle C^\mathrm{T} BC$ 的特征值都大于 $\displaystyle 0$, 而它正定. 进一步, $\displaystyle B$ 与 $\displaystyle C^\mathrm{T} BC$ 合同, 而 $\displaystyle B$ 也正定.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1153、 2、 $\displaystyle A$ 为 $\displaystyle n$ 阶实矩阵, 且 $\displaystyle A^3=2A+4E$, 求所有满足条件的 $\displaystyle A$. (南方科技大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由 $\displaystyle x^3-2x-4=(x-2)(x^2+2x+2)$ 知 $\displaystyle A$ 的最小多项式 (1)、 $\displaystyle m(x)=x-2\Rightarrow A=2E_n$. (2)、 $\displaystyle m(x)=x^2+2x+2$, $\displaystyle A$ 的有理标准型为
$$\begin{aligned} Q=\mathrm{diag}(D,\cdots,D), D=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&-2\\\\ 1&-2\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle A=PQP^{-1}$, 其中 $\displaystyle P$ 为任意 $\displaystyle n$ 阶可逆实矩阵. (3)、 $\displaystyle m(x)=(x-2)(x^2+2x+2)$, $\displaystyle A$ 的有理标准形为
$$\begin{aligned} Q=\mathrm{diag}(2E_r, D,\cdots,D). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle A=PQP^{-1}$, 其中 $\displaystyle P$ 为任意 $\displaystyle n$ 阶可逆实矩阵.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1154、 3、 $\displaystyle B$ 是 $\displaystyle n$ 阶可逆实方阵, $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E&B\\\\ B^\mathrm{T}&0\end{array}\right)$. 求 $\displaystyle A$ 的正、负和零特征值的个数. (南方科技大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 我们给出一个常用的行列式计算公式. 设 $\displaystyle A,B,C,D$ 为同级方阵且 $\displaystyle AC=CA$, 则
$$\begin{aligned} \left|\begin{array}{cccccccccc}A&B\\\\ C&D\end{array}\right|=|AD-CB|. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
事实上, (1-1)、 若 $\displaystyle A$ 可逆, 则由
$$\begin{aligned} \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc} E&0\\\\ -CA^{-1}&E\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc} A&B\\\\ C&D\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc} E&-A^{-1}B\\\\ 0&E\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc} A&0\\\\ 0&D-CA^{-1}B\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知
$$\begin{aligned} \left|\begin{array}{cccccccccc} A&B\\\\ C&D\end{array}\right|&=|A|\cdot |D-CA^{-1}B|\\\\ &=|A|\cdot |D-A^{-1}CB|\left(AC=CA\Rightarrow CA^{-1}=A^{-1}C\right)\\\\ &=|A(D-A^{-1}CB|\left(|AB|=|A|\cdot |B|\right)\\\\ &=|AD-CB|. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(1-2)、 若 $\displaystyle A$ 奇异, 则关于 $\displaystyle \lambda$ 的多项式 $\displaystyle |\lambda E+A|=0$ 至多有 $\displaystyle n$ 个复根 $\displaystyle \lambda_1,\cdots,\lambda_n$. 而
$$\begin{aligned} &\forall\ \lambda\not\in \left\{\lambda_1,\cdots,\lambda_n\right\}, |\lambda E+A|\neq 0\\\\ \Rightarrow&\tilde{A}=\lambda E+A\mbox{可逆, 满足}\tilde{A} C=C\tilde{A}\\\\ \Rightarrow&\left|\begin{array}{cccccccccc} \tilde{A}&B\\\\ C&D\end{array}\right|=|\tilde{A} D-CB|\left(\mbox{由 (1)}\right)\\\\ \Rightarrow& \left|\begin{array}{cccccccccc} \lambda E+A&B\\\\ C&D\end{array}\right|=|(\lambda E+A)D-CB|. \qquad(210226: eq)\tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
设 $\displaystyle f(\lambda)\equiv \left|\begin{array}{cccccccccc} \lambda E+A&B\\\\ C&D\end{array}\right|-|(\lambda E+A)D-CB|$. 若 $\displaystyle f(\lambda)\not\equiv 0$, 则 $\displaystyle f(\lambda)$ 是次数 $\displaystyle \leq n$ 的多项式, 至多有 $\displaystyle n$ 个复根. 这与 (210226: eq) 矛盾. 故
$$\begin{aligned} &f(\lambda)\equiv 0, \forall\ \lambda\in\mathbb{C}\\\\ \Rightarrow&f(0)=0\Rightarrow \left|\begin{array}{cccccccccc}A&B\\\\ C&D\end{array}\right|=|AD-CB|. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2)、 回到题目. 由第 1 步知
$$\begin{aligned} |\lambda E-A|=\left|\begin{array}{cccccccccc}(\lambda-1)E&-B\\\\ -B^\mathrm{T}&\lambda E\end{array}\right|=|\lambda(\lambda-1)E-B^\mathrm{T} B|. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由 $\displaystyle B$ 可逆知 $\displaystyle Bx=0$ 只有零解, 而
$$\begin{aligned} x\neq 0\Rightarrow y=Bx\neq 0\Rightarrow x^\mathrm{T} (B^\mathrm{T} B)x=y^\mathrm{T} y > 0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle B^\mathrm{T} B$ 正定, 特征值 $\displaystyle \mu_1,\cdots,\mu_n$ 都为正实数. 于是 $\displaystyle A$ 的特征值为
$$\begin{aligned} \lambda^2-\lambda=\mu_i\Leftrightarrow \lambda=\frac{1\pm\sqrt{1+4\mu_i}}{2}, 1\leq i\leq n. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle A$ 的正特征值的个数为 $\displaystyle n$, 负特征值的个数为 $\displaystyle n$, 零特征值的个数为 $\displaystyle 0$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1155、 4、 若复方阵 $\displaystyle A,B$ 满足 $\displaystyle B^2=A$, 则称 $\displaystyle B$ 是 $\displaystyle A$ 的一个平方根. (1)、 举一个 $\displaystyle 2$ 阶复方阵无平方根的例子; (2)、 证明: 所有二阶可逆复方阵一定有平方根; (3)、 $\displaystyle n$ 阶 ($n\geq 3$) 可逆复方阵是否一定有平方根? 说明理由. (南方科技大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 二阶复方阵 $\displaystyle J_2(0)$ 没有平方根. 这可用反证法证得. 若存在 $\displaystyle B$ 使得 $\displaystyle B^2=J_2(0)$, 则 $\displaystyle B$ 的特征值全为 $\displaystyle 0$, $\displaystyle B$ 的 Jordan 标准形为 $\displaystyle 0$ 或 $\displaystyle J_2(1)$. 从而 $\displaystyle B^2=0$. 这与 $\displaystyle B^2=J_2(0)$ 矛盾. 故有结论. 我们分三步来证明第 3 问, 而第 2 问自然得证.设 $\displaystyle \lambda$ 是非零复数, $\displaystyle k$ 为正整数, $\displaystyle J_n(\lambda)$ 表示特征值为 $\displaystyle \lambda$ 的 $\displaystyle n$ 阶若当块. 则 (1)、 $\displaystyle (J_n(\lambda))^k$ 的若当标准形为 $\displaystyle J_n(\lambda^k)$. (2)、 $\displaystyle J_n(\lambda)$ 有 $\displaystyle k$ 次方根, 即存在 $\displaystyle n$ 阶复方阵 $\displaystyle B$ 使得 $\displaystyle B^k=J_n(\lambda)$; (3)、 任意 $\displaystyle n$ 阶可逆复方阵 $\displaystyle A$ 都有 $\displaystyle k$ 次方根. 事实上, (1)、 令
$$\begin{aligned} C=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 0&1&&\\\\ &\ddots&\ddots&\\\\ &&\ddots&1\\\\ &&&0\end{array}\right)_n, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则
$$\begin{aligned} (J_n(\lambda))^k&=(\lambda E_n+C)^k\\\\ &=\lambda^k I_n+C_k^1 \lambda^{k-1} C +C^2 \lambda^{k-2}C^2 +\cdots\\\\ &\quad +C_k^{\min\left\{k,n-1\right\}}\lambda^{k-\min\left\{k,n-1\right\}} C^{\min\left\{k,n-1\right\}}\\\\ &=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \lambda^k&k \lambda^{k-1}&C_k^2 \lambda^{k-2}&\cdots&\\\\ &\lambda^k&\ddots&\ddots&\vdots\\\\ &&\ddots&\ddots&C_k^2\lambda^{k-2}\\\\ &&&\ddots&k \lambda^{k-1}\\\\ &&&&\lambda^k \end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle (J_n(\lambda))^k$ 的特征值为 $\displaystyle \lambda^k$, 且
$$\begin{aligned} \mathrm{rank}(\lambda^k I_n-(J_n(\lambda))^k)=n-1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是 $\displaystyle (J_n(\lambda))^k$ 的 Jordan 标准形 $\displaystyle J$ 满足
$$\begin{aligned} \mathrm{rank}(\lambda^k I_n-J)=n-1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是 $\displaystyle J-\lambda^kI_n$ 的对角线上面有 $\displaystyle n-1$ 个 $\displaystyle 1$, 即
$$\begin{aligned} J=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \lambda^k&1&&\\\\ &\ddots&\ddots&\\\\ &&\ddots&1\\\\ &&&\lambda^k \end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2)、 由第 1 步, $\displaystyle (J_n(\sqrt[k]{\lambda}))^k$ 的 Jordan 标准形为 $\displaystyle J_n(\lambda)$, 而存在可逆矩阵 $\displaystyle P$ 使得
$$\begin{aligned} P^{-1}(J_n(\sqrt[k]{\lambda}))^kP=J_n(\lambda). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
令 $\displaystyle B=P^{-1}J_n(\sqrt[k]{\lambda})P$, 则 $\displaystyle B^k=J_n(\lambda)$. (3)、 由 Jordan 标准形理论, 存在可逆阵 $\displaystyle P$ 使得
$$\begin{aligned} A=P^{-1}JP, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
其中 $\displaystyle J=\mathrm{diag}(J_1,\cdots,J_s)$ 是 $\displaystyle A$ 的 Jordan 标准形, 对每一个 Jordan 块 $\displaystyle J_i$, 由第 2 步, 存在 $\displaystyle B_i$, 使得 $\displaystyle B_i^k=J_i$. 令
$$\begin{aligned} B=P^{-1}\mathrm{diag}(J_1,\cdots,J_s)P, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则 $\displaystyle B^k=A$. 取 $\displaystyle k=2$ 即知第 3 问得证.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1156、 6、 $\displaystyle A,B$ 是 $\displaystyle n$ 阶复方阵, 满足 $\displaystyle A+B=AB$. 求证: $\displaystyle AB=BA$. (南方科技大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /
$$\begin{aligned} &A+B=AB\Rightarrow (E-A)(E-B)=E \Rightarrow E-A\mbox{可逆}\\\\ \Rightarrow& (E-B)(E-A)=E\Rightarrow E-A-B+BA=E\\\\ \Rightarrow& AB=A+B=BA . \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1157、 3、 (15 分) 设 $\displaystyle A\in M_n(\mathbb{R})$. 已知 $\displaystyle A$ 的特征值为 $\displaystyle \lambda_1,\cdots,\lambda_n$, 求矩阵
$$\begin{aligned} \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A&4I_n\\\\ I_n&A\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
的特征值. (南京大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 我们给出一个常用的行列式计算公式. 设 $\displaystyle A,B,C,D$ 为同级方阵且 $\displaystyle AC=CA$, 则
$$\begin{aligned} \left|\begin{array}{cccccccccc}A&B\\\\ C&D\end{array}\right|=|AD-CB|. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
事实上, (1-1)、 若 $\displaystyle A$ 可逆, 则由
$$\begin{aligned} \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc} E&0\\\\ -CA^{-1}&E\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc} A&B\\\\ C&D\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc} E&-A^{-1}B\\\\ 0&E\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc} A&0\\\\ 0&D-CA^{-1}B\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知
$$\begin{aligned} \left|\begin{array}{cccccccccc} A&B\\\\ C&D\end{array}\right|&=|A|\cdot |D-CA^{-1}B|\\\\ &=|A|\cdot |D-A^{-1}CB|\left(AC=CA\Rightarrow CA^{-1}=A^{-1}C\right)\\\\ &=|A(D-A^{-1}CB|\left(|AB|=|A|\cdot |B|\right)\\\\ &=|AD-CB|. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(1-2)、 若 $\displaystyle A$ 奇异, 则关于 $\displaystyle \lambda$ 的多项式 $\displaystyle |\lambda E+A|=0$ 至多有 $\displaystyle n$ 个复根 $\displaystyle \lambda_1,\cdots,\lambda_n$. 而
$$\begin{aligned} &\forall\ \lambda\not\in \left\{\lambda_1,\cdots,\lambda_n\right\}, |\lambda E+A|\neq 0\\\\ \Rightarrow&\tilde{A}=\lambda E+A\mbox{可逆, 满足}\tilde{A} C=C\tilde{A}\\\\ \Rightarrow&\left|\begin{array}{cccccccccc} \tilde{A}&B\\\\ C&D\end{array}\right|=|\tilde{A} D-CB|\left(\mbox{由 (1)}\right)\\\\ \Rightarrow& \left|\begin{array}{cccccccccc} \lambda E+A&B\\\\ C&D\end{array}\right|=|(\lambda E+A)D-CB|. \qquad(210226: eq)\tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
设 $\displaystyle f(\lambda)\equiv \left|\begin{array}{cccccccccc} \lambda E+A&B\\\\ C&D\end{array}\right|-|(\lambda E+A)D-CB|$. 若 $\displaystyle f(\lambda)\not\equiv 0$, 则 $\displaystyle f(\lambda)$ 是次数 $\displaystyle \leq n$ 的多项式, 至多有 $\displaystyle n$ 个复根. 这与 (210226: eq) 矛盾. 故
$$\begin{aligned} &f(\lambda)\equiv 0, \forall\ \lambda\in\mathbb{C}\\\\ \Rightarrow&f(0)=0\Rightarrow \left|\begin{array}{cccccccccc}A&B\\\\ C&D\end{array}\right|=|AD-CB|. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2)、 回到题目. 由 Jordan 标准形理论知存在可逆阵 $\displaystyle P$ 使得
$$\begin{aligned} &P^{-1}AP=J=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\lambda_1&\star&\star\\\\ &\ddots&\star\\\\ &&\lambda_n\end{array}\right)\\\\ \Rightarrow&P^{-1}\left[(\lambda I_n-A)^2-4I_n\right]P=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}(\lambda-\lambda_1)^2-4&\star&\star\\\\ &\ddots&\star\\\\ &&(\lambda-\lambda_n)^2-4\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故
$$\begin{aligned} &\left|\lambda I_{2n}-\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A&4I_n\\\\ I_n&A\end{array}\right)\right|=\left|\begin{array}{cccccccccc}\lambda I_n-A&-4I_n\\\\ -I_n&\lambda I_n-A\end{array}\right|\\\\ \overset{\tiny\mbox{第1步}}{=}&|(\lambda I_n-A)^2-4I_n| =\prod_{k=1}^n [(\lambda-\lambda_k)^2-4]. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这表明 $\displaystyle \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A&4I_n\\\\ I_n&A\end{array}\right)$ 的特征值为 $\displaystyle \lambda_k\pm 2, 1\leq k\leq n$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1158、 4、 (15 分) 设
$$\begin{aligned} \alpha=(1,-1,1,-1)^\mathrm{T},\quad \beta=(1,3,2,-1)^\mathrm{T}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
求一个正定矩阵 $\displaystyle A$ 使得 $\displaystyle \beta=A\alpha$. (南京大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 我们给出一般结果. 设 $\displaystyle \alpha,\beta$ 为 $\displaystyle n$ 维欧氏空间 $\displaystyle \mathbb{R}^n$ 中的两个非零列向量, 则 $\displaystyle \alpha^\mathrm{T} \beta > 0$ 的充分必要条件是存在正定矩阵 $\displaystyle A$ 使得 $\displaystyle \beta=A\alpha$. 事实上, (1)、 $\displaystyle \Leftarrow$: $\displaystyle \alpha^\mathrm{T} \beta=\alpha^\mathrm{T} A\alpha > 0$. (2)、 $\displaystyle \Rightarrow$: (2-1)、 先设 $\displaystyle \alpha$ 具有形式 $\displaystyle (|\alpha|,0,\cdots,0)^\mathrm{T}, \beta=(b_1,\cdots,b_n)^\mathrm{T}$, 则
$$\begin{aligned} 0 < \alpha^\mathrm{T} \beta=|\alpha|b_1\Rightarrow \frac{b_1}{|\alpha|}=|\alpha|b_1\cdot \frac{1}{|\alpha|^2} > 0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
再令
$$\begin{aligned} A_1=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\frac{b_1}{|\alpha|}&\frac{b_2}{|\alpha|}&\cdots&\frac{b_n}{|\alpha|}\\\\ \frac{b_2}{|\alpha|}&a&&\\\\ \vdots&&\ddots&\\\\ \frac{b_n}{|\alpha|}&&&a\end{array}\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
其中 $\displaystyle a > 0$ 待定. 设 $\displaystyle \gamma=\frac{(b_2,\cdots,b_n)^\mathrm{T}}{|\alpha|}$, 则
$$\begin{aligned} A_1=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\frac{b_1}{|\alpha|}&\gamma^\mathrm{T}\\\\ \gamma&aE_{n-1}\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由
$$\begin{aligned} &\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&-\frac{1}{a}\gamma^\mathrm{T}\\\\ 0&E_{n-1}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\frac{b_1}{|\alpha|}&\gamma^\mathrm{T}\\\\ \gamma&aE_{n-1}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0\\\\ -\frac{1}{a}\gamma&E_{n-1}\end{array}\right)\\\\ =&\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\frac{b_1}{|\alpha|}-\frac{1}{a}\gamma^\mathrm{T} \gamma&0\\\\ 0&aE_{n-1}\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知当 $\displaystyle a > \frac{|\alpha|}{b_1} \gamma^\mathrm{T} \gamma$ 时, $\displaystyle A_1$ 正定. 此时,
$$\begin{aligned} \beta=A_1\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}|\alpha|\\\\0\\\\\vdots\\\\0\end{array}\right) =|\alpha| \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\frac{b_1}{|\alpha|}\\\\ \vdots\\\\\frac{b_n}{|\alpha|}\end{array}\right)=\beta. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2-2)、 一般的, 将 $\displaystyle \eta_1=\frac{\alpha}{|\alpha|}$ 扩充为 $\displaystyle \mathbb{R}^n$ 的一组标准正交基 $\displaystyle \eta_1,\cdots,\eta_n$. 令
$$\begin{aligned} P=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\eta_1^\mathrm{T}\\\\\vdots\\\\\eta_n^\mathrm{T}\end{array}\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则 $\displaystyle P$ 正交, 且
$$\begin{aligned} P\alpha=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\eta_1^\mathrm{T}\\\\\vdots\\\\\eta_n^\mathrm{T}\end{array}\right)|\alpha|\eta_1=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}|\alpha|\\\\0\\\\\vdots\\\\0\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由第 1 步知存在正定矩阵 $\displaystyle A_1$ 使得
$$\begin{aligned} &A_1\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}|\alpha|\\\\0\\\\\vdots\\\\0\end{array}\right)=P\beta \Rightarrow A_1P\alpha=P\beta\Rightarrow(P^\mathrm{T} A_1P)\alpha=\beta. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
取 $\displaystyle A=P^\mathrm{T} A_1P$, 则 $\displaystyle A$ 正定, 且 $\displaystyle \beta=A\alpha$. 利用 Gram-Schdmit 标准正交过程, 从
$$\begin{aligned} &\eta_1=\frac{\alpha}{|\alpha|}=\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)^\mathrm{T}, \xi_2=(0,1,0,0)^\mathrm{T},\\\\ &\xi_3=(0,0,1,0)^\mathrm{T}, \xi_4=(0,0,0,1)^\mathrm{T} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
获得 $\displaystyle \mathbb{R}^4$ 的一组标准正交基 $\displaystyle \eta_1,\cdots,\eta_4$, 并设
$$\begin{aligned} P=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\eta_1^\mathrm{T}\\\\\vdots\\\\\eta_4^\mathrm{T}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\\ \frac{1}{2\sqrt{3}}&-\frac{\sqrt{3}}{2}&\frac{1}{2\sqrt{3}}&-\frac{1}{2\sqrt{3}}\\\\ -\frac{1}{\sqrt{6}}&0&\frac{2}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{6}}\\\\ \frac{1}{\sqrt{2}}&0&0&\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则
$$\begin{aligned} P\alpha=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2\\\\0\\\\0\\\\0\end{array}\right), \quad P\beta=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\frac{1}{2}\\\\\frac{13}{2\sqrt{3}}\\\\\frac{2}{\sqrt{6}}\\\\0\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由已有结论的构造过程知取
$$\begin{aligned} A_1=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\frac{1}{4}&\frac{13}{4\sqrt{3}}&\frac{1}{\sqrt{6}}&0\\\\ \frac{13}{4\sqrt{3}}&255&&\\\\ \frac{1}{\sqrt{6}}&&255&\\\\ 0&&&255\end{array}\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
$$\begin{aligned} A=P^\mathrm{T} A_1P=\frac{1}{6}\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 3067&1029&-1009&1013\\\\ 1029&3035&1025&-1029\\\\ -1009&1025&3075&1009\\\\ 1013&-1029&1009&3067 \end{array}\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则 $\displaystyle A$ 正定, 且 $\displaystyle A\alpha=\beta$. 另解如下. 设 $\displaystyle A=I_4-\frac{\alpha\alpha^\mathrm{T}}{\alpha^\mathrm{T} \alpha}+\frac{\beta\beta^\mathrm{T}}{\alpha^\mathrm{T}\beta}$, 则
$$\begin{aligned} A\alpha=\alpha-\frac{\alpha^\mathrm{T} \alpha}{\alpha^\mathrm{T} \alpha}\alpha+\frac{\beta^\mathrm{T} \alpha}{\alpha^\mathrm{T} \beta}\beta =\alpha-\alpha+\beta=\beta. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
对 $\displaystyle 0\neq x\in\mathbb{R}^n$,
$$\begin{aligned} x^\mathrm{T} Ax=&x^\mathrm{T} x-\frac{(\alpha^\mathrm{T} x)^\mathrm{T} (\alpha^\mathrm{T} x)}{\alpha^\mathrm{T} \alpha} +\frac{(\beta^\mathrm{T} x)^\mathrm{T} (\beta^\mathrm{T} x)}{\alpha^\mathrm{T} \beta}\\\\ =&\frac{\alpha^\mathrm{T} \alpha\cdot x^\mathrm{T} x-|\alpha^\mathrm{T} x|^2}{\alpha^\mathrm{T} \alpha} +\frac{|\beta^\mathrm{T} x|^2}{\alpha^\mathrm{T} \beta}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(1)、 若 $\displaystyle \alpha\parallel x$, 则 $\displaystyle \beta^\mathrm{T} \alpha=1 > 0\Rightarrow \beta^\mathrm{T} x\neq 0$, 而
$$\begin{aligned} x^\mathrm{T} Ax=\frac{|\beta^\mathrm{T} x|^2}{\alpha^\mathrm{T} \beta} > 0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2)、 若 $\displaystyle \alpha\not\parallel x$, 则由 Schwarz 不等式等号成立的条件知
$$\begin{aligned} x^\mathrm{T} Ax\geq \frac{\alpha^\mathrm{T} \alpha\cdot x^\mathrm{T} x-|\alpha^\mathrm{T} x|^2}{\alpha^\mathrm{T} \alpha} > 0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle A$ 确实正定.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1159、 5、 (15 分) 设 $\displaystyle A\in M_{m\times n}(\mathbb{R}), \mathrm{rank} A=m < n$. 证明存在一个 $\displaystyle (n-m)\times n$ 矩阵 $\displaystyle B$ 使得 $\displaystyle \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A\\\\B\end{array}\right)$ 为 $\displaystyle n$ 阶可逆阵, 且 $\displaystyle AB^\mathrm{T}=0$. (南京大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由 $\displaystyle \mathrm{rank} A=m$ 知 $\displaystyle Ax=0$ 的基础解系有 $\displaystyle n-m$ 个线性无关的向量 $\displaystyle \eta_1,\cdots,\eta_{n-m}, \eta_i\in\mathbb{R}^n$. 设 $\displaystyle B=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\eta_1^\mathrm{T}\\\\\vdots\\\\\eta_{n-m}\end{array}\right)\in M_{(n-m)\times n}(\mathbb{R})$, 则设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\alpha_1\\\\\vdots\\\\\alpha_m\end{array}\right)$ 后,
$$\begin{aligned} A\eta_j=0\Rightarrow \alpha_i\eta_j=0, \forall\ i,j. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是
$$\begin{aligned} &\sum_i x_i\alpha_i+\sum_j y_j\eta_j^\mathrm{T}=0\\\\ \Rightarrow& 0=\left(\sum_i x_i\alpha_i+\sum_j y_j\eta_j^\mathrm{T}\right)\alpha_k^\mathrm{T} =\left(\sum_i x_i\alpha_i\right)\alpha_k^\mathrm{T}\\\\ \Rightarrow&\left\Vert \sum_i x_i\alpha_i\right\Vert ^2 =\sum_i x_i\alpha_i \sum_k x_k\alpha_k^\mathrm{T}=\sum_k x_k \left(\sum_i x_i\alpha_i\right)\alpha_k^\mathrm{T}=0\\\\ \Rightarrow&s\sum_i x_i\alpha_i=0\Rightarrow x_i=0, \forall\ i\Rightarrow y_j=0, \forall\ j. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A\\\\B\end{array}\right)$ 可逆, 且 $\displaystyle AB^\mathrm{T}=A(\eta_1,\cdots,\eta_{n-m})=0$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1160、 1、 已知三阶矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-1&-2&6\\\\ -1&0&a\\\\ -1&-1&4\end{array}\right)$, $\displaystyle f(x)=|xE-A|$ 是 $\displaystyle A$ 的特征多项式, 且 $\displaystyle (x-1)^2$ 是 $\displaystyle A$ 的最小多项式. (1)、 求 $\displaystyle a$ 及 $\displaystyle f(x)$; (2)、 求 $\displaystyle A$ 的初等因子; (3)、 $\displaystyle A$ 是否与对角矩阵相似? 请说明理由. (南京航空航天大学大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由 $\displaystyle A$ 的最小多项式为 $\displaystyle (x-1)^2$ 知 $\displaystyle A$ 的特征值全为 $\displaystyle 1$. 又由 $\displaystyle A$ 是三阶矩阵知 $\displaystyle f(x)=(x-1)^3$. 于是 $\displaystyle A$ 的 Jordan 标准形为 $\displaystyle J=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&&\\\\ &1&1\\\\ &&1\end{array}\right)$ [由最小多项式知 $\displaystyle J$ 一定含有 $\displaystyle J_2(1)$, 从而另一个 Jordan 块为 $\displaystyle J_1(1)$]. 这也表明 $\displaystyle A$ 不可对角化; $\displaystyle A$ 的初等因子为 $\displaystyle \lambda-1,(\lambda-1)^2$; $\displaystyle \mathrm{rank}(A-E)=1$. 由
$$\begin{aligned} A-E=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-2&-2&6\\\\ -1&-1&a\\\\ -1&-1&3\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1&-3\\\\ 0&0&a-3\\\\ 0&0&0\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
即知 $\displaystyle a=3$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1161、 2、 已知矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&1&1\\\\ a&2&1\\\\ 1&-1&b\end{array}\right)$ 有特征向量 $\displaystyle \beta=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1\\\\1\\\\-1\end{array}\right)$. (1)、 求 $\displaystyle a,b$ 的值; (2)、 求可逆矩阵 $\displaystyle P$, 使得 $\displaystyle P^{-1}AP$ 为对角阵; (3)、 求 $\displaystyle A^{2022}$. (南京航空航天大学大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 由题设,
$$\begin{aligned} \exists\ \lambda,\mathrm{ s.t.} A\beta=\lambda\beta \Rightarrow \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0\\\\1+a\\\\-b\end{array}\right)=\lambda\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1\\\\1\\\\-1\end{array}\right)\Rightarrow \lambda=0, a=-1, b=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2)、 易知 $\displaystyle A$ 的特征值为 $\displaystyle 1,1,0$. 由
$$\begin{aligned} E-A\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&-1&-1\\\\ 0&0&0\\\\ 0&0&0 \end{array}\right), 0E-A\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&1\\\\ 0&1&1\\\\ 0&0&0 \end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle A$ 的属于特征值 $\displaystyle 1,0$ 的特征向量分别为
$$\begin{aligned} \xi_1=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1\\\\1\\\\0 \end{array}\right), \xi_2=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1\\\\0\\\\1 \end{array}\right); \xi_3=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-1\\\\-1\\\\1\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是
$$\begin{aligned} P=(\xi_1,\xi_2,\xi_3)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1&-1\\\\ 1&0&-1\\\\ 0&1&1 \end{array}\right)\Rightarrow P^{-1}AP=\mathrm{diag}\left(1,1,0\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(3)、 由 $\displaystyle A\sim \mathrm{diag}(1,1,0)$ 知 $\displaystyle A$ 的最小多项式为 $\displaystyle (x-1)x$. 故
$$\begin{aligned} &A^2=A\Rightarrow A^k=A^{k-2}A^2=A^{k-2}A=A^{k-1}\left(\forall\ k\geq 2\right)\\\\ \Rightarrow& A^{2022}=A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&1&1\\\\ -1&2&1\\\\ 1&-1&0\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1162、 (2)、 设 $\displaystyle n$ 阶矩阵 $\displaystyle A$ 满足 $\displaystyle A^4=E$, 证明: 在复数域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上 $\displaystyle A$ 一定可对角化; (南京航空航天大学大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle A$ 的零化多项式 $\displaystyle x^4-1=(x-1)(x-\mathrm{ i})(x+1)(x+\mathrm{ i})$ 没有重根, 而可对角化.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1163、 (3)、 设 $\displaystyle A,B$ 是两个 $\displaystyle n$ 阶矩阵, 且满足 $\displaystyle \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A&\\\\ &B\end{array}\right)$ 在数域 $\displaystyle \mathbb{P}$ 上可对角化, 证明: 在数域 $\displaystyle \mathbb{P}$ 上, $\displaystyle A,B$ 均可对角化. (南京航空航天大学大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (3-1)、 先证明一个结论. 设 $\displaystyle \left\{A_i\right\}_{i\in I}, \left\{B_i\right\}_{i\in I}$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{F}$ 上两个矩阵集合, 称它们在 $\displaystyle \mathbb{F}$ 上相似: 如果存在 $\displaystyle \mathbb{F}$ 上与 $\displaystyle i\in I$ 无关的可逆矩阵 $\displaystyle P$ 使得
$$\begin{aligned} P^{-1}A_iP=B_i, \forall\ i\in I. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
设有数域 $\displaystyle \mathbb{K}, \mathbb{F}$, 且 $\displaystyle \mathbb{F}\subset \mathbb{K}$. 对数域 $\displaystyle \mathbb{F}$ 上两个矩阵集合 $\displaystyle \left\{A_i\right\}_{i\in I}, \left\{B_i\right\}_{i\in I}$, 如果它们在数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上相似, 则它们在数域 $\displaystyle \mathbb{F}$ 上也相似. 事实上, $\displaystyle \forall\ i\in I$, 考虑 $\displaystyle M_n(\mathbb{K})$ 的子空间
$$\begin{aligned} U_{i,\mathbb{K}}=\left\{T\in M_n(\mathbb{K}); A_iT=TB_i\right\}, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
及 $\displaystyle M_n(\mathbb{F})$ 的子空间
$$\begin{aligned} U_{i,\mathbb{F}}=\left\{T\in M_n(\mathbb{F}); A_iT=TB_i\right\}, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
其中 $\displaystyle M_n(\mathbb{K})$ 和 $\displaystyle M_n(\mathbb{F})$ 分别表示数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 和数域 $\displaystyle \mathbb{F}$ 上的 $\displaystyle n$ 阶方阵构成的线性空间. 令
$$\begin{aligned} U_\mathbb{K}=\bigcap_{i\in I}U_{i,\mathbb{K}}, U_\mathbb{F}=\bigcap_{i\in I}U_{i,\mathbb{F}}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则由题意知 $\displaystyle U_\mathbb{K}$ 包含了可逆矩阵. 又由所涉及的线性空间的维数都不超过 $\displaystyle n^2$. 因此 $\displaystyle U_\mathbb{K}$ 和 $\displaystyle U_\mathbb{F}$ 实际上可写成有限多个 $\displaystyle U_{i,\mathbb{K}}$ 和 $\displaystyle U_{i,\mathbb{F}}$ 的交集. 求 $\displaystyle U_{i,\mathbb{K}}$ 与 $\displaystyle U_{i,\mathbb{F}}$ 的基底实际上就是解线性方程组 $\displaystyle A_iT=TB_i$, 并且求它们的基础解系的步骤相同. 因此, 可以取到一组公共基底
$$\begin{aligned} T_1,\cdots,T_l. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
考虑多项式
$$\begin{aligned} f(x_1,\cdots,x_l)=\det \left(\sum_{i=1}^l t_kT_k\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则由 $\displaystyle U_\mathbb{K}$ 包含了可逆矩阵知
$$\begin{aligned} &\exists\ s_1,\cdots,s_l\in\mathbb{K},\mathrm{ s.t.} f(s_1,\cdots,s_n)\neq 0\\\\ \Rightarrow&\mbox{$f$ 作为 $\displaystyle \mathbb{F}$ 上的多项式不是零多项式}\\\\ \Rightarrow&\exists\ r_1,\cdots,r_l\in\mathbb{F},\mathrm{ s.t.} f(r_1,\cdots,r_l)\neq 0\\\\ \Rightarrow&\mbox{取 $\displaystyle P=\sum_{k=1}^n r_kT_k\in U_\mathbb{F}$ 可逆, 而 $\displaystyle \forall\ i\in I, P^{-1}A_iP=B_i$}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(3-2)、 设 $\displaystyle C=\mathrm{diag}(A,B)$, 则 $\displaystyle C$ 的特征值就是 $\displaystyle A,B$ 的特征值全体. 由 $\displaystyle C$ 在 $\displaystyle \mathbb{P}$ 中可对角化知 $\displaystyle C$ (而 $\displaystyle A,B$) 的特征值都在 $\displaystyle \mathbb{P}$ 中. 再设 $\displaystyle A,B,C$ 的最小多项式分别为 $\displaystyle m_A, m_B, m_C$. 将 $\displaystyle A,B$ 看成复矩阵, 则
$$\begin{aligned} &0=m_C(C)=\mathrm{diag}\left(m_C(A),m_C(B)\right)\\\\ \Rightarrow& m_C(A)=0, m_C(B)=0\Rightarrow m_A\mid m_C, m_B\mid m_C. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由 $\displaystyle C$ 可对角化知 $\displaystyle m_C$ 在复数域上没有重根. 而由上式知 $\displaystyle m_A, m_B$ 在复数域上也没有重根, 而可对角化, 分别相似于
$$\begin{aligned} \mathrm{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_n), \mathrm{diag}(\mu_1,\cdots,\mu_n), \lambda_i, \mu_j\in\mathbb{P}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
据第 i 步即知 $\displaystyle A,B$ 在 $\displaystyle \mathbb{P}$ 上也可对角化.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1164、 7、 设 $\displaystyle A,B$ 是两个 $\displaystyle n$ 阶矩阵, 且 $\displaystyle AB=A+B$. 证明: (1)、 $\displaystyle AB=BA$; (2)、 $\displaystyle \lambda=1$ 不是 $\displaystyle A$ 的特征值; (3)、 若 $\displaystyle A$ 相似于对角阵, 则存在可逆矩阵 $\displaystyle P$, 使得 $\displaystyle P^{-1}AP, P^{-1}BP$ 同时为对角阵. (南京航空航天大学大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、
$$\begin{aligned} &AB-A-B=0\Rightarrow (A-E)(B-E)=E\qquad(I)\\\\ \Rightarrow& (B-E)(A-E)=E\Rightarrow BA=A+B\xlongequal{\tiny\mbox{题设}} AB. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2)、 由 $\displaystyle (I)$ 知 $\displaystyle A-E$ 可逆, $\displaystyle |E-A|\neq 0$, 而 $\displaystyle \lambda=1$ 不是 $\displaystyle A$ 的特征值. (3)、
$$\begin{aligned} (I)\Rightarrow (A-E)(B-E)=E\Rightarrow B=E+(A-E)^{-1}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由题设, 存在可逆矩阵 $\displaystyle P$, 使得
$$\begin{aligned} &P^{-1}AP=\mathrm{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_n)\\\\ \Rightarrow&P^{-1}BP=P^{-1}\left[E+(A-E)^{-1}\right]P\\\\ &=\mathrm{diag} \left(1+\frac{1}{\lambda_1-1},\cdots, 1+\frac{1}{\lambda_n-1}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故有结论.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1165、 (3)、 $\displaystyle 4$ 阶矩阵 $\displaystyle A$ 的特征值为 $\displaystyle -2,-1,1,2$, 则 $\displaystyle |A^{-1}|=\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (南京理工大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle |A^{-1}|=|A|^{-1}=\frac{1}{(-2)\cdot(-1)\cdot 1\cdot 2}=\frac{1}{4}$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1166、 5、 (12 分) 设 $\displaystyle n$ 阶矩阵 $\displaystyle A$ 满足 $\displaystyle A^2=E$. 证明:
$$\begin{aligned} \mathrm{rank}(E-A)+\mathrm{rank}(E+A)=n. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(南京理工大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由
$$\begin{aligned} &\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A+E&0\\\\ 0&A-E\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A+E&A-E\\\\ 0&A-E\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2E&A-E\\\\ E-A&A-E\end{array}\right)\\\\ \to&\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2E&0\\\\ E-A&(A-E)+\frac{1}{2}(E-A)(E-A)\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E&0\\\\ 0&A^2-E\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知
$$\begin{aligned} &\mathrm{rank}(E-A)+\mathrm{rank}(E+A)=\mathrm{rank}(A+E)+\mathrm{rank}(A-E)\\\\ =&\mathrm{rank}(E_n)+\mathrm{rank}(A^2-E)=n. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1167、 7、 (12 分) 证明: 实反对称矩阵的特征值为 $\displaystyle 0$ 或纯虚数. (南京理工大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle 0\neq \alpha$ 是实反对称矩阵 $\displaystyle B$ 的属于特征值 $\displaystyle \lambda$ 的特征向量, 则由 $\displaystyle B\alpha=\lambda \alpha$ 知
$$\begin{aligned} \alpha^\star B\alpha=\left\{\begin{array}{llllllllllll} \alpha^\star \lambda \alpha=\lambda |\alpha|^2,\\\\ \alpha^\mathrm{T} B^\mathrm{T} \overline{\alpha} =-\alpha^\mathrm{T} B\overline{\alpha} =-\alpha^\mathrm{T} \overline{B\alpha} =-\alpha^\mathrm{T} \overline{\lambda \alpha}=\overline{\lambda}|\alpha|^2. \end{array}\right. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故
$$\begin{aligned} (\lambda+\overline{\lambda})|\alpha|^2=0\Rightarrow \lambda+\overline{\lambda}=0\Rightarrow \lambda=0\mbox{或纯虚数}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1168、 8、 (12 分) 设 $\displaystyle m\times n$ 阶矩阵 $\displaystyle A$ 的秩为 $\displaystyle r$, 证明: 存在 $\displaystyle m\times r$ 的列满秩矩阵 $\displaystyle F$ 和 $\displaystyle r\times n$ 的行满秩矩阵 $\displaystyle G$, 使得 $\displaystyle A=FG$. (南京理工大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 一言以蔽之, 这就是矩阵的满秩分解. 由 $\displaystyle \mathrm{rank} A=r$ 知存在可逆矩阵 $\displaystyle M,N$ 使得
$$\begin{aligned} A=M\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E_r&\\\\ &0\end{array}\right)N=M\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E_r\\\\ 0\end{array}\right)\cdot (E_r,0)N. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
令 $\displaystyle F=M\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E_r\\\\0\end{array}\right), G=(E_r,0)N$, 则 $\displaystyle F$ 是秩为 $\displaystyle r$ 的列满秩矩阵, $\displaystyle G$ 是秩为 $\displaystyle r$ 的行满秩矩阵, 且 $\displaystyle A=FG$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1169、 10、 (20 分) 设 $\displaystyle A$ 为三阶实对称矩阵, 齐次线性方程组 $\displaystyle (A-E)X=0$ 有一个非零解 $\displaystyle (1,-1,-1)^\mathrm{T}$, 齐次线性方程组 $\displaystyle AX=0$ 有两个线性无关的解. (1)、 求齐次线性方程组 $\displaystyle AX=0$ 的通解. (2)、 求矩阵 $\displaystyle A$. (南京理工大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 由实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交知 $\displaystyle A$ 的属于特征值 $\displaystyle 0$ 的特征向量 $\displaystyle X$ 满足
$$\begin{aligned} \alpha^\mathrm{T} X=0, \alpha=(1,-1,-1)^\mathrm{T}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
它的基础解系为
$$\begin{aligned} \beta=(1,1,0)^\mathrm{T}, \gamma= (1,0,1)^\mathrm{T}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这就是 $\displaystyle \left\{X; AX=0\right\}$ 的一组基, 而是 $\displaystyle AX=0$ 的基础解系. 故 $\displaystyle AX=0$ 的通解为
$$\begin{aligned} k(1,1,0)^\mathrm{T}+l(1,0,1)^\mathrm{T}, \quad \forall\ k,l. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2)、 由第 1 步及题设知
$$\begin{aligned} &P=(\alpha,\beta,\gamma)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1&1\\\\ -1&1&0\\\\ -1&0&1\end{array}\right)\\\\ \Rightarrow& AP=P\mathrm{diag}(1,0,0)\Rightarrow A=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&-1&-1\\\\ -1&1&1\\\\ -1&1&1\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1170、 5、 设 $\displaystyle A,B$ 均是正定矩阵. 证明: (1)、 方程 $\displaystyle |xA-B|=0$ 的根均大于 $\displaystyle 0$; (2)、 方程 $\displaystyle |xA-B|$ 的所有根都等于 $\displaystyle 1$ 当且仅当 $\displaystyle A=B$. (南京师范大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 由 $\displaystyle A$ 正定知存在实可逆矩阵 $\displaystyle C$ 使得 $\displaystyle C^\mathrm{T} AC=E_n$. 另外, 实对称矩阵 $\displaystyle C^\mathrm{T} BC$ 与正定矩阵 $\displaystyle B$ 合同, 而正定, 它的特征值全大于 $\displaystyle 0$, 即
$$\begin{aligned} &0=|xE_n-C^\mathrm{T} BC|=|xC^\mathrm{T} AC-C^\mathrm{T} BC|=|C^\mathrm{T}|\cdot |xA-B|\cdot |C|\\\\ \Leftrightarrow& 0=|xA-B| \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
的根全大于 $\displaystyle 0$. (2)、 (2-1)、 $\displaystyle \Leftarrow$: 若 $\displaystyle A=B$, 则
$$\begin{aligned} &0=|xA-B|=|xB-B|=|(x-1)B|=(x-1)^n|B|\\\\ \Leftrightarrow& (x-1)^n=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
它的根全为 $\displaystyle 1$. (2-2)、 $\displaystyle \Rightarrow$: 若
$$\begin{aligned} |xA-B|=0\Leftrightarrow 0=|C^\mathrm{T}|\cdot |xA-B|\cdot |C| =|xE_n-C^\mathrm{T} BC| \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
的根全为 $\displaystyle 1$, 则正定矩阵 $\displaystyle C^\mathrm{T} BC$ 的特征值全为 $\displaystyle 1$. 从而存在正交阵 $\displaystyle P$ 使得
$$\begin{aligned} P^\mathrm{T} (C^\mathrm{T} BC)P=E_n\Rightarrow C^\mathrm{T} BC=PP^\mathrm{T}=E_n=C^\mathrm{T} AC\Rightarrow B=A. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1171、 8、 证明: 不存在 $\displaystyle n$ 阶正交矩阵 $\displaystyle A,B$ 使得 $\displaystyle A^2=AB+B^2$. (南京师范大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 用反证法. 若存在满足 $\displaystyle A^2=AB+B^2$ 的正交矩阵 $\displaystyle A,B$, 则右乘 $\displaystyle B^\mathrm{T}$ 得
$$\begin{aligned} A^2B^\mathrm{T}=A+B; \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
左乘 $\displaystyle A^\mathrm{T}$ 得
$$\begin{aligned} A=B+A^\mathrm{T} B^2\Rightarrow A-B=A^\mathrm{T} B^2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由于正交矩阵的转置还是正交矩阵, 正交矩阵的乘积还是正交矩阵, 我们可由上述两式知道 $\displaystyle A\pm B$ 都是正交矩阵:
$$\begin{aligned} E&=(A+ B)^\mathrm{T}(A- B) =(A^\mathrm{T} + B^\mathrm{T})(A+ B)\\\\ &=2E+ A^\mathrm{T} B+ B^\mathrm{T} A,\\\\ E&=(A- B)^\mathrm{T}(A- B) =(A^\mathrm{T} - B^\mathrm{T})(A- B)\\\\ &=2E- A^\mathrm{T} B- B^\mathrm{T} A . \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
上述两个式子加起来得到 $\displaystyle 2E=4E\Rightarrow 2E=0$. 这是一个矛盾. 故有结论. 另证如下. 左乘 $\displaystyle A^\mathrm{T}$, 右乘 $\displaystyle B^\mathrm{T}$ 得
$$\begin{aligned} AB^\mathrm{T} =E+A^\mathrm{T} B.\qquad(I) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由迹的性质知
$$\begin{aligned} \mathrm{tr}(A^\mathrm{T} B)=\mathrm{tr}(BA^\mathrm{T})=\mathrm{tr}\left[(BA^\mathrm{T})^\mathrm{T}\right]=\mathrm{tr}(AB^\mathrm{T}), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle (I)$ 取迹后知 $\displaystyle 0=n$. 这是一个矛盾. 故有结论.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1172、 4、 (20 分) 如果矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}4&-3&0\\\\ 2&-1&0\\\\ a&-1&1\end{array}\right)$ 与矩阵 $\displaystyle B=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}4&-5&4\\\\ 2&-3&4\\\\ 1&-2&3\end{array}\right)$ 相似, 求实数 $\displaystyle a$ 的值. (南开大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 易知 $\displaystyle A,B$ 的特征值都为 $\displaystyle 2,1,1$. 由
$$\begin{aligned} E-A=&\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-3&3&0\\\\ -2&2&0\\\\ -a&1&0\end{array}\right),\\\\ E-B\to&\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&-2\\\\ 0&1&-2\\\\ 0&0&0\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知
$$\begin{aligned} A\sim B\Rightarrow \mathrm{rank}(E-A)=\mathrm{rank}(E-B)=2\Leftrightarrow a\neq 1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
反之, 若 $\displaystyle a\neq 1$, 则 $\displaystyle A,B$ 的 Jordan 标准形都是 $\displaystyle \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&&\\\\ &1&1\\\\ &&1\end{array}\right)$, 而在 $\displaystyle \mathbb{C}$ 中相似, 进而在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 中相似. 综上, $\displaystyle a\neq 1$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1173、 7、 (10 分) 是否存在矩阵 $\displaystyle A\in \mathbb{Q}^{2\times 2}$ 使得 $\displaystyle A^6=E$ (单位 矩阵), $\displaystyle A^3\neq E, A^2\neq E$, 且 $\displaystyle A$ 中的所有元素之和为 $\displaystyle 2023$? 如果存在, 请给出一个具体的例子; 如果不存在, 请说明理由. (南开大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 存在. 比如
$$\begin{aligned} A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1-\frac{1}{2023}&2023-1+\frac{1}{2023}\\\\ -\frac{1}{2023}&\frac{1}{2023}\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
其实可以构造所有元素和为任意非零数的满足题设的 $\displaystyle A$ 如下:
$$\begin{aligned} A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1-\frac{1}{a}&a-1+\frac{1}{a}\\\\ -\frac{1}{a}&\frac{1}{a}\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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发表于 2023-3-5 13:11:35