张祖锦2023年数学专业真题分类70天之第46天
1036、 3、 方程组
$$\begin{aligned} (I): \left\{\begin{array}{rrrrrrrrrrrrrrrr}x_1&+&&&&&x_4&=&0,\\\\ ax_1&+&&+&a^2x_3&&&=&0,\\\\ &&ax_2&+&&&a^2x_4&=&0,\end{array}\right. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
方程组 $\displaystyle (II): x_1+x_2+x_3=0$. 若方程组 $\displaystyle (I)$ 的解都是方程组 $\displaystyle (II)$ 的解. (1)、 求 $\displaystyle a$. (2)、 求 $\displaystyle (I)$ 的通解. (武汉理工大学2023年高等代数考研试题) [线性方程组 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle (I),(II)$ 的系数矩阵分别为 $\displaystyle A,B$, 则
$$\begin{aligned} AX=0\Rightarrow BX=0, \mbox{而}AX=0\Leftrightarrow \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A\\\\B\end{array}\right)X=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是
$$\begin{aligned} &\left\{X; AX=0\right\}\Leftrightarrow \left\{X; \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A\\\\B\end{array}\right)X=0\right\}\\\\ \Rightarrow&\dim\left\{X; AX=0\right\}=\dim \left\{X; \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A\\\\B\end{array}\right)X=0\right\}\\\\ \Rightarrow&4-\mathrm{rank} A=4-\mathrm{rank} \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A\\\\B\end{array}\right) \Rightarrow \mathrm{rank} A=\mathrm{rank}\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A\\\\B\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这表明 $\displaystyle B$ 的行向量组可由 $\displaystyle A$ 的行向量线性表出. 由
$$\begin{aligned} &\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A\\\\B\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&0&1\\\\ a&0&a^2&0\\\\ 0&a&0&a^2\\\\ 1&1&1&0\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&0&1\\\\ a&0&a^2&0\\\\ 0&a&0&a^2\\\\ 0&1&1&-1\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
若 $\displaystyle a=0$, 则 $\displaystyle \mathrm{rank} A=1, \mathrm{rank}\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A\\\\B\end{array}\right)=2$. 这与 $\displaystyle \mathrm{rank} A=\mathrm{rank}\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A\\\\B\end{array}\right)$ 矛盾. 故 $\displaystyle a\neq 0$,
$$\begin{aligned} \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A\\\\B\end{array}\right)\to&\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&0&1\\\\ 1&0&a&0\\\\ 0&1&0&a\\\\ 0&1&1&-1\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&0&1\\\\ 0&0&a&-1\\\\ 0&1&0&a\\\\ 0&)&1&-1-a\end{array}\right)\\\\ \to&\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&0&1\\\\ 0&1&0&a\\\\ 0&0&a&-1\\\\ 0&0&0&\frac{1}{a}-1-a\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故
$$\begin{aligned} 3=\mathrm{rank} A=\mathrm{rank}\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A\\\\B\end{array}\right)\Rightarrow \frac{1}{a}-1-a=0\Rightarrow a=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(1)、 当 $\displaystyle a=\frac{-1+ \sqrt{5}}{2}$ 时,
$$\begin{aligned} A\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&0&1\\\\ 0&1&0&\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\\\\ 0&0&1&\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\\\\ 0&0&0&0\end{array}\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
而 $\displaystyle (I)$ 的通解为
$$\begin{aligned} k\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-1,\frac{1-\sqrt{5}}{2},\frac{1+\sqrt{5}}{2},1\end{array}\right)^\mathrm{T},\quad \forall\ k. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2)、 当 $\displaystyle a=\frac{-1- \sqrt{5}}{2}$ 时,
$$\begin{aligned} A\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&0&1\\\\ 0&1&0&\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\\\\ 0&0&1&\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\\\\ 0&0&0&0\end{array}\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
而 $\displaystyle (I)$ 的通解为
$$\begin{aligned} k\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-1,\frac{1+\sqrt{5}}{2},\frac{1-\sqrt{5}}{2},1\end{array}\right)^\mathrm{T},\quad \forall\ k. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1037、 4、 (15 分) (可能有误) 已知三阶矩阵 $\displaystyle A$ 的第一行是 $\displaystyle (a,b,c)$, $\displaystyle a,b,c$ 不全为零, 矩阵 $\displaystyle B=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&2&3\\\\ 2&4&6\\\\ 3&6&k\end{array}\right)$, 其中 $\displaystyle k$ 为常数, 且 $\displaystyle AB=0$, 求线性方程组 $\displaystyle AX=0$ 的通解. [题目不全, 跟锦数学微信公众号没法做哦.] (西安电子科技大学2023年高等代数考研试题) [线性方程组 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / [题目不全, 跟锦数学微信公众号没法做哦.]跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1038、 5、 已知齐次线性方程组
$$\begin{aligned} \left\{\begin{array}{rrrrrrrrrrrrrrrr} &&x_2&+&ax_3&+&bx_4&=&0,\\\\ -x_1&&&+&cx_3&+&dx_4&=&0,\\\\ ax_1&+&cx_2&&&-&ex_4&=&0,\\\\ bx_1&+&dx_2&-&ex_3&&&=&0 \end{array}\right. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
的通解以 $\displaystyle x_3,x_4$ 为自由未知量. (1)、 求系数 $\displaystyle a,b,c,d,e$ 满足的条件; (2)、 求该齐次线性方程组的基础解系. (西北大学2023年高等代数考研试题) [线性方程组 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 方程组的系数矩阵
$$\begin{aligned} &A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&1&a&b\\\\ -1&0&c&d\\\\ a&c&0&-e\\\\ b&d&-e&0\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&1&a&b\\\\ -1&0&c&d\\\\ 0&c&ac&ad-e\\\\ 0&d&bc-e&bd\end{array}\right)\\\\ \to&\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&-c&-d\\\\ 0&1&a&b\\\\ 0&c&ac&ad-e\\\\ 0&d&bc-e&bd\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&-c&-d\\\\ 0&1&a&b\\\\ 0&0&0&ad-bc-e\\\\ 0&0&bc-ad-e&0\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故当且仅当
$$\begin{aligned} ad-bc-e=0, bc-ad-e=0\Leftrightarrow ad-bc=0, e=0 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
时, 方程组的通解以 $\displaystyle x_3,x_4$ 为自由未知量. (2)、 由第 1 步即知方程组的基础解系为 $\displaystyle (c,-a,1,0)^\mathrm{T}, (d,-b,0,1)^\mathrm{T}$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1039、 (4)、 设 $\displaystyle A$ 为 $\displaystyle 3$ 阶方阵, $\displaystyle \beta=(9,0,0)^\mathrm{T}$. 若非齐次线性方程组 $\displaystyle AX=\beta$ 的通解为
$$\begin{aligned} a_1(2,1,-2)^\mathrm{T}+a_2(-2,1,2)^\mathrm{T}+(2,-2,1)^\mathrm{T}, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
其中 $\displaystyle a_1,a_2$ 为任意常数. 求矩阵 $\displaystyle A$. (西南交通大学2023年高等代数考研试题) [线性方程组 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由题设,
$$\begin{aligned} &A\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&-2&2\\\\ 1&1&-2\\\\ -2&2&1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&0&9\\\\ 0&0&0\\\\ 0&0&0\end{array}\right)\\\\ \Rightarrow& A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&0&9\\\\ 0&0&0\\\\ 0&0&0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&-2&2\\\\ 1&1&-2\\\\ -2&2&1\end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}3&0&3\\\\ 0&0&0\\\\ 0&0&0\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1040、 3、 设有齐次线性方程组
$$\begin{aligned} \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1+\lambda&2&3&\cdots&n\\\\ 1&2+\lambda&3&\cdots&n\\\\ 1&2&3+\lambda&\cdots&n\\\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\\\ 1&2&3&\cdots&n+\lambda\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}x_1\\\\x_2\\\\x_3\\\\\vdots\\\\x_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0\\\\0\\\\0\\\\\vdots\\\\0\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
讨论该方程组的解的情况. (湘潭大学2023年高等代数考研试题) [线性方程组 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 系数矩阵
$$\begin{aligned} A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1+\lambda&2&\cdots&n\\\\ 1&2+\lambda&\cdots&n\\\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\\\ 1&2&\cdots&n+\lambda\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1+\lambda&2&\cdots&n\\\\ -\lambda&\lambda&\cdots&0\\\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\\\ -\lambda&0&\cdots&\lambda\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(1)、 若 $\displaystyle \lambda=0$, 则 $\displaystyle Ax=0$ 有无穷多解, 且通解为
$$\begin{aligned} k_2(-2e_1+e_2)+\cdots+k_n(-ne_1+e_n),\quad \forall\ k_2,\cdots,k_n. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2)、 若 $\displaystyle \lambda\neq 0$, 则第 $\displaystyle i$ 行 $\displaystyle \cdot \left(\frac{i}{\lambda}\right)$ 加到第 $\displaystyle 1$ 行, $\displaystyle 2\leq i\leq n$, 并将第 $\displaystyle i$ 行乘以 $\displaystyle \frac{1}{\lambda}$, $\displaystyle 2\leq i\leq n$, 得
$$\begin{aligned} A\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\lambda+\frac{n(n+1)}{2}&0&\cdots&0\\\\ -1&1&\cdots&0\\\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\\\ -1&0&\cdots&1\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2-1)、 若 $\displaystyle \lambda=-\frac{n(n+1)}{2}$, 则 $\displaystyle Ax=0$ 的通解为 $\displaystyle k(1,\cdots,1)^\mathrm{T}, \forall\ k$. (2-2)、 若 $\displaystyle \lambda\neq-\frac{n(n+1)}{2}$, 则 $\displaystyle Ax=0$ 只有零解.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1041、 5、 (10 分) 证明: 与基础解系等价的线性无关向量组也是基础解系. (新疆大学2023年高等代数考研试题) [线性方程组 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle \eta_1,\cdots,\eta_r$ 是齐次线性方程组 $\displaystyle Ax=0$ 的基础解系, 而 $\displaystyle \xi_1,\cdots,\xi_r$ 也是 $\displaystyle Ax=0$ 的基础解系, 则 $\displaystyle \eta_1,\cdots,\eta_r$ 与 $\displaystyle \xi_1,\cdots,\xi_r$ 都是线性空间 $\displaystyle \left\{x; Ax=0\right\}$ 的基, 而可相互线性表出, 是等价的.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1042、 2、 (15 分) 求方程组
$$\begin{aligned} \left\{\begin{array}{rrrrrrrrrrrrrrrr} x_1&-&x_2&&&&&=&2022,\\\\ &&x_2&-&x_3&&&=&2023,\\\\ &&&&x_3&-&x_4&=&-2023,\\\\ -x_1&&&&&+&x_4&=&-2022 \end{array}\right. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
的全部解. (云南大学2023年高等代数考研试题) [线性方程组 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 增广矩阵
$$\begin{aligned} (A,\beta)\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&-1&0&0&2022\\\\ 0&1&-1&0&2023\\\\ 0&0&1&-1&-2023\\\\ -1&0&0&1&-2022\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&0&-1&2022\\\\ 0&1&0&-1&0\\\\ 0&0&1&-1&-2023\\\\ 0&0&0&0&0\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
而方程组的通解为
$$\begin{aligned} k\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1\\\\1\\\\1\\\\1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2022\\\\0\\\\-2023\\\\0\end{array}\right),\quad \forall\ k. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1043、 4、 (10 分) 给定线性方程组
$$\begin{aligned} (I)\left\{\begin{array}{rrrrrrrrrrrrrrrr} a_{11}x_1&+&a_{12}x_2&+&\cdots&+&a_{1n}x_n&=&0,\\\\ a_{21}x_1&+&a_{22}x_2&+&\cdots&+&a_{2n}x_n&=&0,\\\\ \cdots&&\cdots&&\cdots&&\cdots&&\\\\ a_{n-1,1}x_1&+&a_{n-1,2}x_2&+&\cdots&+&a_{n-1,n}x_n&=&0. \end{array}\right. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
以 $\displaystyle M_i$ 表示其系数矩阵划去第 $\displaystyle i$ 列后所剩 $\displaystyle n-1$ 阶方阵的行列式. 证明: (0-9)、 $\displaystyle (M_1,-M_2,\cdots,(-1)^{n-1}M_n)^\mathrm{T}$ 是方程组的解; (0-10)、 若方程组系数矩阵的秩为 $\displaystyle n-1$, 则方程组的解全是
$$\begin{aligned} (M_1,-M_2,\cdots,(-1)^{n-1}M_n)^\mathrm{T} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
的倍数. (长安大学2023年高等代数考研试题) [线性方程组 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (0-11)、
$$\begin{aligned} \sum_{j=1}^n a_{ij}(-1)^{j-1}M_j =&(-1)^{i-1}\sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij}M_j\\\\ =&(-1)^{i-1}\left|\begin{array}{ccc} a_{11}&\cdots&a_{1n}\\\\ \vdots&&\vdots\\\\ a_{n-1,1}&\cdots&a_{n-1,n}\\\\ a_{i1}&\cdots&a_{in} \end{array}\right| =0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(0-12)、 由 $\displaystyle \mathrm{rank}(A)=n-1$ 知 $\displaystyle A$ 的列秩为 $\displaystyle n-1$, 而有一个 $\displaystyle n-1$ 阶子式不等于 $\displaystyle 0$,
$$\begin{aligned} (M_1,-M_2,\cdots,(-1)^{n-1}M_n)^\mathrm{T}\neq 0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
又 $\displaystyle Ax=0$ 的基础解系仅有一个线性无关的向量, 而
$$\begin{aligned} (M_1,-M_2,\cdots,(-1)^{n-1}M_n)^\mathrm{T} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
就是 $\displaystyle Ax=0$ 的一个基础解系, 方程组的解全是
$$\begin{aligned} (M_1,-M_2,\cdots,(-1)^{n-1}M_n)^\mathrm{T} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
的倍数.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1044、 1、 填空题. (1)、 设 $\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 是线性方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{rrrrrrrrrrrrrrrr}x_1&+&x_2&+&x_3&+&x_4&=&1,\\\\ &&&&&&&\end{array}\right.$ 的三个线性无关的向量, 则该线性方程组的系数矩阵的秩为 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. [虽然题目不全, 但还是可以做哦. 见参考解答.] (郑州大学2023年高等代数考研试题) [线性方程组 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle A_{s\times n}, \beta\neq 0$, 则 $\displaystyle Ax=\beta$ 有 $\displaystyle n-\mathrm{rank} A+1$ 个线性无关的解向量. 故而 $\displaystyle 4-\mathrm{rank} A+1=3\Rightarrow \mathrm{rank} A=2$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1045、 1、 填空题 (每空 6 分, 共 60 分). (1)、 参数 $\displaystyle \mu=\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$ 时, 方程组
$$\begin{aligned} \left\{\begin{array}{rrrrrrrrrrrrrrrr} \mu x_1&+&x_2&+&x_3&+&x_4&=&0,\\\\ x_1&+&\mu x_2&+&x_3&+&x_4&=&0,\\\\ x_1&+& x_2&+&\mu x_3&+&x_4&=&0,\\\\ x_1&+&x_2&+&x_3&+&\mu x_4&=&0 \end{array}\right. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
有非零解. (中国科学技术大学2023年高等代数考研试题) [线性方程组 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 方程组有非零解 $\displaystyle \Leftrightarrow$ 系数矩阵行列式
$$\begin{aligned} 0=\left|\begin{array}{cccccccccc}\mu&1&1&1\\\\ 1&\mu&1&1\\\\ 1&1&\mu&1\\\\ 1&1&1&\mu\end{array}\right|=(\mu+3)(\mu-1)^3\Leftrightarrow \mu=-3\mbox{或} 1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1046、 (2)、 克拉默法则仅适用于求解 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$ 的线性方程组的解.
A. 非齐次
B. 齐次
C. 方程个数等于未知量个数且系数矩阵可逆
D. 任何有解 (中国矿业大学(北京)2023年高等代数考研试题) [线性方程组 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle C$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1047、 4、 讨论非齐次线性方程组
$$\begin{aligned} \left\{\begin{array}{rrrrrrrrrrrrrrrr} \lambda x_1&+&\lambda x_2&+&(2\lambda+1)x_3&=&0,\\\\ x_1&+&(\lambda^2+1)x_2&+&2x_3&=&\lambda,\\\\ x_1&+&(2\lambda+1)x_2&+&2x_3&=&2 \end{array}\right. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
解的情况. (中国矿业大学(北京)2023年高等代数考研试题) [线性方程组 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 增广矩阵
$$\begin{aligned} (A,\beta)=&\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\lambda&\lambda&2\lambda+1&0\\\\ 1&\lambda^2+1&2&\lambda\\\\ 1&2\lambda+1&2&2\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&-2\lambda^2&1&-2\lambda\\\\ 0&\lambda^2-2\lambda&0&\lambda-2\\\\ 1&2\lambda+1&2&2\end{array}\right)\\\\ \to&\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&-4\lambda&1&-4\\\\ 0&\lambda^2-2\lambda&0&\lambda-2\\\\ 1&2\lambda+1&2&2\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&-4\lambda&1&-4\\\\ 0&0&\frac{\lambda-2}{4}&0\\\\ 1&2\lambda+1&2&2\end{array}\right)\\\\ \to&\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&2\lambda+2&2&2\\\\ 0&-4\lambda&1&-4\\\\ 0&0&\frac{\lambda-2}{4}&0\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(1)、 若 $\displaystyle \lambda=0$, 则上式最后一行蕴含 $\displaystyle Ax=\beta$ 无解. (2)、 若 $\displaystyle \lambda\neq 0$, (2-1)、 当 $\displaystyle \lambda=2$ 时, $\displaystyle (A,\beta)\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&\frac{21}{8}&-\frac{1}{2}\\\\ 0&1&-\frac{1}{8}&\frac{1}{2}\\\\ 0&0&0&0\end{array}\right)$, 而 $\displaystyle Ax=\beta$ 的通解为
$$\begin{aligned} \left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2},0\right)^\mathrm{T}+k\left(-21,1,8\right)^\mathrm{T},\quad \forall\ k. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2-2)、 当 $\displaystyle \lambda\neq 2$ 时, $\displaystyle |A|\neq 0$, $\displaystyle Ax=\beta$ 有唯一解, 经过计算知为 $\displaystyle \left(-\frac{1}{\lambda},\frac{1}{\lambda},0\right)^\mathrm{T}$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1048、 8、 $\displaystyle b$ 是一个非零向量, $\displaystyle \gamma_0$ 是方程组 $\displaystyle AX=b$ 的一个解, 导出组的基础解系为 $\displaystyle \eta_1,\cdots,\eta_t$. 证明: 向量组
$$\begin{aligned} \gamma_0,\gamma_0+\eta_1,\cdots,\gamma_0+\eta_t \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
是 $\displaystyle AX=b$ 解集的一个极大线性无关组. (中国矿业大学(北京)2023年高等代数考研试题) [线性方程组 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由
$$\begin{aligned} &k_0\gamma_0+\sum_{i=1}^t k_i(\gamma_0+\eta_i)=0\qquad(I)\\\\ \stackrel{A\cdot}{\Rightarrow}&0=\sum_{i=0}^t k_ib\stackrel{b\neq 0}{\Rightarrow}\sum_{i=0}^t k_i=0\\\\ \stackrel{(I)}{\Rightarrow}&\sum_{i=1}^t k_i\eta_i=0\Rightarrow k_1=\cdots=k_t=0 \stackrel{(I)}{\Rightarrow}k_0=0 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle \gamma_0,\gamma_0+\eta_1,\cdots,\gamma_0+\eta_t$ 线性无关. 再者, 对 $\displaystyle AX=b$ 的任一解 $\displaystyle X=\alpha$,
$$\begin{aligned} &A(\alpha-\gamma_0)=b-b=0\Rightarrow \alpha-\gamma_0=\sum_{i=1}^t x_i\eta_i\\\\ \Rightarrow& \alpha=\left(1-\sum_{i=1}^t x_i\right)\gamma_0+\sum_{i=1}^t x_i(\gamma_0+\eta_i). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这就证明了题中向量组是 $\displaystyle AX=b$ 解集的一个极大线性无关组.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1049、 (3)、 设 $\displaystyle A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)$ 为 $\displaystyle 4$ 阶方阵, 其中 $\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性无关,
$$\begin{aligned} \alpha_4=-\frac{2}{3}\alpha_1-\frac{2}{3}\alpha_2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
若向量 $\displaystyle \beta=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3+\alpha_4$, 则 $\displaystyle AX=\beta$ 的通解可以写为 $\displaystyle X=\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (中国矿业大学(徐州)2023年高等代数考研试题) [线性方程组 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由题设, $\displaystyle \mathrm{rank} A=3$, 而 $\displaystyle AX=0$ 的基础解系只有一个线性无关的向量 $\displaystyle \left(\frac{2}{3},\frac{2}{3},0,1\right)^\mathrm{T}$. 再者, $\displaystyle AX=\beta$ 有特解 $\displaystyle (1,1,1,1)^\mathrm{T}$. 故 $\displaystyle AX=\beta$ 的通解为
$$\begin{aligned} k\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2\\\\2\\\\0\\\\3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1\\\\1\\\\1\\\\1\end{array}\right),\quad \forall\ k. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1050、 3、 (16 分) 已知实线性方程组 $\displaystyle AX=b$ 有唯一解, 其中 $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle m\times n$ 实矩阵, 且 $\displaystyle m\geq n$. 证明: $\displaystyle A^\mathrm{T} A$ 可逆, 且 $\displaystyle AX=b$ 的唯一解为 $\displaystyle (A^\mathrm{T} A)^{-1}A^\mathrm{T} b$. (中南大学2023年高等代数考研试题) [线性方程组 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由 $\displaystyle AX=b$ 有唯一解知 $\displaystyle AX=0$ 只有零解, 而 $\displaystyle \mathrm{rank} A=n$. 由
$$\begin{aligned} &A^\mathrm{T} AX=0\Rightarrow X^\mathrm{T} A^\mathrm{T} AX=0\\\\ \stackrel{Y=AX}{\Rightarrow}&Y^\mathrm{T} Y=0\Rightarrow 0=Y=AX\Rightarrow X=0 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle A^\mathrm{T} AX=0$ 也只有零解, $\displaystyle \mathrm{rank}(A^\mathrm{T} A)=n$, 而 $\displaystyle A^\mathrm{T} A$ 可逆,
$$\begin{aligned} AX=b\Rightarrow A^\mathrm{T} AX=A^\mathrm{T} b\Rightarrow X=(A^\mathrm{T} A)^{-1}A^\mathrm{T} b. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这就是 $\displaystyle AX=b$ 的唯一解.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1051、 4、 (16 分) 设 $\displaystyle AX=0$ 的基础解系是 $\displaystyle \eta_1,\cdots,\eta_{n-r}$, 其中 $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle m\times n$ 实矩阵. 设 $\displaystyle B=(\eta_1,\cdots,\eta_{n-r})$, 若 $\displaystyle n\times t$ 实矩阵 $\displaystyle C$ 满足 $\displaystyle AC=0$, 证明: 存在唯一的 $\displaystyle D$, 使得 $\displaystyle C=BD$. (中南大学2023年高等代数考研试题) [线性方程组 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle C=(\xi_1,\cdots,\xi_t)$, 则 $\displaystyle AC=0\Rightarrow A\xi_i=0, 1\leq i\leq t$. 由基础解系的定义知
$$\begin{aligned} &\exists\ |\ d_{ij},\mathrm{ s.t.} \xi_i=\sum_{j=1}^{n-r} d_{ji}\eta_j =(\eta_1,\cdots,\eta_{n-r})\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}d_{1i}\\\\ \vdots\\\\ d_{n-r,i}\end{array}\right)=B\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}d_{1i}\\\\ \vdots\\\\ d_{n-r,i}\end{array}\right)\\\\ \Rightarrow&C=(\xi_1,\cdots,\xi_t)=B\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}d_{11}&\cdots&d_{1t}\\\\ \vdots&&\vdots\\\\ d_{n-r,1}&\cdots&d_{n-r,t}\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
令 $\displaystyle D=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}d_{11}&\cdots&d_{1t}\\\\ \vdots&&\vdots\\\\ d_{n-r,1}&\cdots&d_{n-r,t}\end{array}\right)$, 则 $\displaystyle C=BD$, 且 $\displaystyle D$ 是唯一的.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1052、 8、 (18 分) 设 $\displaystyle n$ 阶实矩阵 $\displaystyle A,B,C,D$ 两两可换, 且 $\displaystyle E=AC+BD$, 其中 $\displaystyle E$ 是 $\displaystyle n$ 阶单位矩阵. 设齐次线性方程组 $\displaystyle ABX=0, AX=0, BX=0$ 的解空间分别为 $\displaystyle W,V_1,V_2$. 证明: $\displaystyle W=V_1\oplus V_2$. (中南大学2023年高等代数考研试题) [线性方程组 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 易知 $\displaystyle V_1,V_2\subset W$. 由
$$\begin{aligned} &\alpha\in W\Rightarrow AB\alpha=0\\\\ \Rightarrow&\alpha=BD\alpha+AC\alpha\in V_1+V_2\left(\left\{\begin{array}{llllllllllll} ABD\alpha=DAB\alpha=0\\\\ BAC\alpha=CAB\alpha=0 \end{array}\right.\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle W=V_1+V_2$. 又由
$$\begin{aligned} \alpha\in V_1\cap V_2\Rightarrow&A\alpha=0, B\alpha=0\\\\ \Rightarrow&\alpha=AC\alpha+BD\alpha=CA\alpha+DB\alpha=0 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle V_1\cap V_2=\left\{0\right\}$, 而 $\displaystyle W=V_1\oplus V_2$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1053、 3、 (14 分) 设 $\displaystyle A=(a_{ij})_{n\times n}$ 是线性方程组 $\displaystyle AX=B\neq 0$ 的系数矩阵, 且线性方程组有解, $\displaystyle \mathrm{rank} A=r$. (1)、 证明: 方程组有 $\displaystyle n-r+1$ 个线性无关的解向量; (2)、 用两种形式表示线性方程组 $\displaystyle AX=B\neq 0$ 的通解. (重庆大学2023年高等代数考研试题) [线性方程组 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle \overline{A}=(A,B)$. 由 $\displaystyle \mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}(\overline{A})=r$ 知 $\displaystyle AX=b$ 有特解 $\displaystyle \gamma_0$, $\displaystyle AX=0$ 有基础解系 $\displaystyle \beta_1,\cdots,\beta_{n-r}$. 令
$$\begin{aligned} \gamma_i=\beta_i+\gamma_0,\quad i=1,2,\cdots,n-r, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则由
$$\begin{aligned} &k_0\gamma_0+k_1\gamma_1+\cdots+k_{n-r}\gamma_{n-r}=0\\\\ \Rightarrow&0=A(k_0\gamma_0+k_1\gamma_1+\cdots+k_{n-r}\gamma_{n-r}) =k_0b+k_1b+\cdots+k_{n-r}b\\\\ \Rightarrow&k_0+k_1+\cdots+k_{n-r}=0\\\\ \Rightarrow&0=k_0\gamma_0+\cdots+k_{n-r}\gamma_{n-r}\\\\ & =(k_0+k_1+\cdots+k_{n-r})\gamma_0+k_1\beta_1+\cdots+k_{n-r}\beta_{n-r}\\\\ & =k_1\beta_1+\cdots+k_{n-r}\beta_{n-r}\\\\ \Rightarrow&k_1=\cdots=k_{n-r}=0\Rightarrow k_0=-\sum_{i=1}^{n-r}k_i=0 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle \gamma_0,\cdots,\gamma_{n-r}$ 线性无关, 都是 $\displaystyle AX=B$ 的解. 据此即知
$$\begin{aligned} \left\{k_0\gamma_0+k_1\gamma_1+\cdots+k_{n-r}\gamma_{n-r}; k_0,k_1,\cdots,k_{n-r}\in \mathbb{K}; \sum_{i=0}^{n-r}k_i=1\right\} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
中的元素满足 $\displaystyle AX=B$. 再若 $\displaystyle X$ 满足 $\displaystyle AX=B$, 则
$$\begin{aligned} X&=\gamma_0+\sum_{i=1}^{n-r} k_i\beta_i =\left(1-\sum_{i=1}^{n-r} k_i\right) \gamma_0+\sum_{i=1}^{n-r}k_i\gamma_i\\\\ &\in\left\{k_0\gamma_0+k_1\gamma_1+\cdots+k_{n-r}\gamma_{n-r}; k_0,k_1,\cdots,k_{n-r}\in \mathbb{K}; \sum_{i=0}^{n-r}k_i=1\right\}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这就证明了题中集合就是 $\displaystyle AX=B$ 的解集. 于是 $\displaystyle AX=B$ 的通解为
$$\begin{aligned} k_0\gamma_0+k_1\gamma_1+\cdots+k_{n-r}\gamma_{n-r}; k_0,k_1,\cdots,k_{n-r}\in \mathbb{K}; \sum_{i=0}^{n-r}k_i=1, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
或
$$\begin{aligned} \gamma_0+k_1\beta_1+\cdots+k_{n-r}\beta_{n-r}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1054、 11、 (13 分) 设 $\displaystyle A=(a_{ij})_{n\times n}$ 是实矩阵. 证明: 线性方程组 $\displaystyle AX=B$ 有解的充要条件是向量 $\displaystyle B$ 与齐次线性方程组 $\displaystyle A^\mathrm{T} X=0$ 的解空间正交. (重庆大学2023年高等代数考研试题) [线性方程组 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 对矩阵 $\displaystyle B$, 设 $\displaystyle L(B)$ 表示由 $\displaystyle B$ 的列向量组生成的子空间. (0-3)、 设 $\displaystyle A^\mathrm{T}=(\beta_1,\cdots, \beta_n)$, 则
$$\begin{aligned} \alpha\in L(A^\mathrm{T})^\perp&\Leftrightarrow \beta_i^\mathrm{T}\alpha=0, 1\leq i\leq n \Leftrightarrow \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\beta^\mathrm{T}\\\\\vdots\\\\\beta_n^\mathrm{T}\end{array}\right)\alpha=0 \Leftrightarrow A\alpha=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(0-4)、 设 $\displaystyle A=(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)$, 则由第 1 步知 $\displaystyle A^\mathrm{T} Y=0$ 的解空间是 $\displaystyle L\left((A^\mathrm{T})^\mathrm{T}\right)=L(A)$ 的正交补子空间, 而
$$\begin{aligned} &\mbox{ $\displaystyle B$ 与 $\displaystyle A^\mathrm{T} Y=0$ 的解空间正交}\Leftrightarrow B\in L(A)=L(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)\\\\ \Leftrightarrow& \exists\ X=(x_1,\cdots, x_n)^\mathrm{T},\mathrm{ s.t.} \sum_{i=1}^n x_i\alpha_i=B \Leftrightarrow AX=B\mbox{有解}X. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1055、 5、 (12 分) 设 $\displaystyle a\neq 0, b\neq ?$,
$$\begin{aligned} A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}a&b&\cdots&b\\\\ b&a&\cdots&b\\\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\\\ b&b&\cdots&a\end{array}\right), x=(x_1,\cdots,x_n)^\mathrm{T}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
考虑齐次线性方程组 $\displaystyle AX=0$. (1)、 $\displaystyle a,b$ 为何值时, 方程组仅有零解; (2)、 $\displaystyle a,b$ 为何值时, 方程组有无穷多解, 并求其基础解系. [题目不全, 但跟锦数学微信公众号还是全部做了.] (重庆师范大学2023年高等代数考研试题) [线性方程组 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 若 $\displaystyle a=b=0$, 则任一 $\displaystyle \mathbb{P}^n$ 中的向量都是解. 若 $\displaystyle a\neq 0, b=0$, 则方程组只有零解. 若 $\displaystyle b\neq 0$, 则设 $\displaystyle c=\frac{a}{b}$ 后有
$$\begin{aligned} A&=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}a&b&\cdots&b\\\\ b&a&\cdots&b\\\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\\\ b&b&\cdots&a\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}c&1&\cdots&1\\\\ 1&c&\cdots&1\\\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\\\ 1&1&\cdots&c\end{array}\right) \to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}c-1&0&\cdots&0&1-c\\\\ 0&c-1&\cdots&0&1-c\\\\ \vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\\\ 0&0&\cdots&c-1&1-c\\\\ 1&1&\cdots&1&c\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(1)、 若 $\displaystyle c=1\Leftrightarrow a=b$, 则
$$\begin{aligned} A\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1&\cdots&1\\\\ 0&0&\cdots&0\\\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\\\ 0&0&\cdots&0\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
而 $\displaystyle Ax=0$ 有无穷多解, 且通解为
$$\begin{aligned} \sum_{i=2}^n k_i(-e_1+e_i), \forall\ k_2,\cdots,k_n. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2)、 若 $\displaystyle c\neq 1\Leftrightarrow a\neq b$, 则
$$\begin{aligned} A\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&\cdots&0&-1\\\\ 0&1&\cdots&0&-1\\\\ \vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\\\ 0&0&\cdots&1&-1\\\\ 1&1&\cdots&1&c\end{array}\right) \to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&\cdots&0&-1\\\\ 0&1&\cdots&0&-1\\\\ \vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\\\ 0&0&\cdots&1&-1\\\\ 0&0&\cdots&0&c+n-1\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2-1)、 若 $\displaystyle c+n-1=0\Leftrightarrow a+(n-1)b=0$, 则 $\displaystyle Ax=0$ 有无穷多解, 且通解为
$$\begin{aligned} k(1,\cdots,1)^\mathrm{T}, \quad \forall\ k. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2-2)、 若 $\displaystyle c+n-1\neq 0\Leftrightarrow a+(n-1)b\neq 0$, 则 $\displaystyle |A|\neq 0$, $\displaystyle Ax=0$ 只有零解.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1056、 1、 填空题 (每题 5 分, 共 30 分). (1)、 已知 $\displaystyle 3$ 阶矩阵 $\displaystyle A$ 的伴随矩阵 $\displaystyle A^\star=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&0\\\\ 2&1&0\\\\ 1&2&1\end{array}\right)$, 则 $\displaystyle A=\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (安徽大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /
$$\begin{aligned} &AA^\star=|A|E\Rightarrow 1=|A^\star|=|A|^{n-2}=|A|\Rightarrow AA^\star=E\\\\ \Rightarrow& A=(A^\star)^{-1} =\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&0\\\\ -2&1&0\\\\ 3&-2&1\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1057、 (2)、 矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&a_1&0&\cdots&0&0\\\\ 0&0&a_2&\cdots&0&0\\\\ 0&0&0&\cdots&0&0\\\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\\\ 0&0&0&\cdots&0&a_{n-1}\\\\ a_n&0&0&\cdots&0&0\end{array}\right)$, 其中 $\displaystyle a_i\neq 0\ (i=1,\cdots,n)$, 则 $\displaystyle A^{-1}=\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (安徽大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由
$$\begin{aligned} \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}&B\\\\ a&\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&a^{-1}\\\\ B^{-1}&0\end{array}\right)=E \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle A^{-1}=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}&&&a_n^{-1}\\\\ a_1^{-1}&&&\\\\ &\ddots&&\\\\ &&a_{n-1}^{-1}&\end{array}\right)$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1058、 (6)、 设 $\displaystyle A$ 的初等因子为 $\displaystyle \lambda,\lambda,\lambda^2,(\lambda-1)^2,\lambda+1,(\lambda+1)^2$, $\displaystyle E$ 与 $\displaystyle A$ 同阶, 则 $\displaystyle \lambda$-矩阵 $\displaystyle \lambda E-A$ 的所有不变因子为 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (安徽大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle 1+1+2+2+1+2=9$ 阶方阵. 将 $\displaystyle A$ 的初等因子
$$\begin{aligned} \begin{array}{rrr} \lambda&\lambda&\lambda^2,\\\\ &&(\lambda-1)^2,\\\\ &\lambda+1&(\lambda+1)^2 \end{array} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
乘起来, 并补上一些 $\displaystyle 1$ 即得 $\displaystyle \lambda E-A$ 的不变因子为
$$\begin{aligned} 1,1,1,1,1,1,\lambda,\lambda(\lambda+1),\lambda^2(\lambda+1)^2(\lambda-1)^2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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