张祖锦2023年数学专业真题分类70天之第25天

zhangzujin

手机查看请在浏览器中打开, 到了支付页面请截图, 并用支付宝或微信扫描之, 稍等后获得金钱, 即可购买. 偶偶因为网络问题充值不成功, 请与微信 pdezhang 联系, 发送论坛昵称与付款时间即可处理, 稍安勿躁. 购买后刷新网页才能正常显示数学公式.

张祖锦2023年数学专业真题分类70天之第25天

---

553、 (8)、 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n+1)2^{2n+1}}=\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (西安交通大学2023年数学分析考研试题) [幂级数 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /

$$\begin{aligned} \mbox{原式}=&\left.\sum_{n=1}^\infty \frac{t^{2n+1}}{2n+1}\right|_{t=\frac{1}{2}} =\sum_{n=1}^\infty \int_0^\frac{1}{2}s^{2n}\mathrm{ d} s =\int_0^\frac{1}{2}\sum_{n=1}^\infty s^{2n}\mathrm{ d} s\\\\ =&\int_0^\frac{1}{2}\frac{s^2}{1-s^2}\mathrm{ d} s =\int_0^\frac{1}{2}\left(-1+\frac{1}{1-s^2}\right)\mathrm{ d} s\\\\ =&-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\int_0^\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1-s}+\frac{1}{1+s}\right)\mathrm{ d} s =-\frac{1}{2}+\left.\frac{1}{2}\ln\frac{1+s}{1-s}\right|_{s=0}^{s=\frac{1}{2}}\\\\ =&\frac{1}{2}\ln 3-\frac{1}{2}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

---

554、 8、 (15 分) 求函数 $\displaystyle f(x)=\arctan \frac{1-2x}{1+2x}$ 在 $\displaystyle x=0$ 处的幂级数展开式, 并求 $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1}$ 的和. (西北大学2023年数学分析考研试题) [幂级数 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由

$$\begin{aligned} f'(x)=-\frac{2}{1+4x^2} =-2\sum_{n=0}^\infty (-1)^n (4x^2)^n, |x| < \frac{1}{2} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

知

$$\begin{aligned} f(x)&=f(0)+\int_0^xf'(t)\mathrm{ d} t\\\\ &=\frac{\pi}{4}-2\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 4^nx^{2n+1}}{2n+1}, |x|\leq \frac{1}{2}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

令 $\displaystyle x=\frac{1}{2}$ 得

$$\begin{aligned} 0=\frac{\pi}{4}-2\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n\frac{1}{2}}{2n+1} \Rightarrow \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1}=\frac{\pi}{4}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

---

555、 2、 (20 分) 求级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{n^2+1}{\left(\frac{1}{2}\right)^n n!}x^n$ 的和函数. (西南财经大学2023年数学分析考研试题) [幂级数 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /

$$\begin{aligned} \mbox{原式}=&\sum_{n=0}^\infty \frac{n(n-1)+n+1}{n!}(2x)^n\\\\ =&4x^2\sum_{n=2}^\infty \frac{(2x)^{n-2}}{(n-2)!} +2x\sum_{n=1}^\infty \frac{(2x)^{n-1}}{(n-1)!} +\sum_{n=0}^\infty \frac{(2x)^n}{n!}\\\\ =&4x^2\mathrm{e}^{2x}+2x\mathrm{e}^{2x}+\mathrm{e}^{2x} =(4x^2+2x+1)\mathrm{e}^{2x}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

---

556、 5、 (15 分) 求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{2n+1}$ 的收敛域及和函数. (新疆大学2023年数学分析考研试题) [幂级数 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 已知级数的收敛域为 $\displaystyle (-1,1)$. 当 $\displaystyle |x| < 1$ 时,

$$\begin{aligned} \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{2n+1} &=\sum_{n=0}^\infty \int_0^x t^{2n}\mathrm{ d} t =\int_0^x \frac{1}{1-t^2}\mathrm{ d} t =\frac{1}{2}\ln \frac{1+x}{1-x}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

---

557、 (2)、 无穷级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty n\left(\frac{1}{2}\right)^n=\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (长安大学2023年数学分析考研试题) [幂级数 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /

$$\begin{aligned} \mbox{原式}=&\left. \sum_{n=1}^\infty nx^n \right|_{x=\frac{1}{2}} =\left. x\sum_{n=1}^\infty (x^n)' \right|_{x=\frac{1}{2}} =\left. x\left(\sum_{n=1}^\infty x^n\right)' \right|_{x=\frac{1}{2}}\\\\ =&\left. x\left(\sum_{n=0}^\infty x^n\right)' \right|_{x=\frac{1}{2}} =\left. \frac{x}{(1-x)^2} \right|_{x=\frac{1}{2}}=2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

---

558、 (3)、 求函数 $\displaystyle f(x)=\sin x$ 在 $\displaystyle x_0=\frac{\pi}{6}$ 处的 Taylor 级数, 并确定收敛范围. (中国海洋大学2023年数学分析考研试题) [幂级数 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /

$$\begin{aligned} f(x)=&\sin x=\sin \left(x-\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{6}\right)\\\\ =&\sin \left(x-\frac{\pi}{6}\right)\frac{\sqrt{3}}{2}+\cos \left(x-\frac{\pi}{6}\right)\frac{1}{2}\\\\ =&\frac{\sqrt{3}}{2}\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)!}\left(x-\frac{\pi}{6}\right)^{2k+1}\\\\ &+\frac{1}{2}\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k)!}\left(x-\frac{\pi}{6}\right)^{2k}, |x| < \infty. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

---

559、 9、 (15 分) 若 $\displaystyle x$ 取值于 $\displaystyle \mathbb{R}$, 讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n}x^n$ 的收敛集合, 并给出证明. 若 $\displaystyle x$ 取值于 $\displaystyle \mathbb{C}$ 重复上面的问题. (中国科学技术大学2023年数学分析考研试题) [幂级数 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 当 $\displaystyle x\in\mathbb{R}$ 时, 由幂级数的收敛半径公式知 $\displaystyle R=1$, 从而收敛集合为 $\displaystyle (-1,1]$. (2)、 当 $\displaystyle x\in\mathbb{C}$ 时, 若 $\displaystyle |x| < 1$, 则幂级数收敛且为绝对收敛, 当 $\displaystyle x: |x|=1, x\neq -1$ 时, $\displaystyle x=\mathrm{e}^{\mathrm{ i}\theta}, -\pi < \theta < \pi$, 而

$$\begin{aligned} \mbox{原式}=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n}\mathrm{e}^{\mathrm{ i} n\theta} =\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n \cos n\theta}{n} +\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n \sin n\theta}{n}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

由 Dirichlet 判别法知即知原式收敛. 于是收敛集合为

$$\begin{aligned} \left\{x\in\mathbb{C}; |x|\leq 1, x\neq -1\right\}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

---

560、 7、 (15 分) 求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=2}^\infty \frac{x^{n-2}}{n\cdot 3^n}$ 的收敛域及和函数. (中国矿业大学(北京)2023年数学分析考研试题) [幂级数 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 易知收敛域为 $\displaystyle [-3,3)$. 当 $\displaystyle x\in [-3,0)\cup (0,3)$ 时,

$$\begin{aligned} \mbox{原式}=&\frac{1}{x^2}\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n}\left(\frac{x}{3}\right)^n =\frac{1}{x^2}\sum_{n=2}^\infty \int_0^\frac{x}{3}t^{n-1}\mathrm{ d} t =\frac{1}{x^2}\int_0^x \frac{t}{1-t}\mathrm{ d} t =\frac{-x-3\ln\frac{3-x}{3}}{3x^2}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

故原式 $\displaystyle =\left\{\begin{array}{llllllllllll}\frac{-x-3\ln\frac{3-x}{3}}{3x^2},&x\in [-3,0)\cup (0,3),\\\\ 0,&x=0.\end{array}\right.$跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

---

561、 3、 (15 分) 求 $\displaystyle f(x)=\frac{x^2}{(1+x^2)^2}$ 的幂级数展开式. (中山大学2023年数学分析考研试题) [幂级数 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /

$$\begin{aligned} f(x)=&\left. \frac{t}{(1+t)^2} \right|_{t=x^2}=\left. t\left(\sum_{n=0}^\infty (-1)^{n-1}t^n\right)' \right|_{t=x^2}\\\\ =&\left. t\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} nt^{n-1} \right|_{t=x^2} =\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} nx^{2n}, |x| < 1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

---

562、 8、 (10 分) 求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{x^n}{n}$ 的收敛半径, 收敛域以及和函数, 并求 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n}$. (重庆大学2023年数学分析考研试题) [幂级数 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 易知收敛半径为 $\displaystyle 1$, 收敛域为 $\displaystyle (-1,1]$. 当

$$\begin{aligned} \mbox{原式}=&\sum_{n=1}^\infty \frac{(-x)^n}{n} =\sum_{n=1}^\infty \int_0^{-x}t^{n-1}\mathrm{ d} t =\int_0^{-x}\frac{\mathrm{ d} t}{1-t} =-\ln (1+x). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

故 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n}=\ln 2$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

---

563、 (5)、 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{4n-2}=\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. [题目有问题, 跟锦数学微信公众号没法做哦.] (重庆师范大学2023年数学分析考研试题) [幂级数 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / [题目有问题, 跟锦数学微信公众号没法做哦.]跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

---

564、 (3)、 求 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n}}x^n$ 的收敛区间和收敛域. (重庆师范大学2023年数学分析考研试题) [幂级数 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle a_n=\frac{1}{\sqrt{n}}$, 则 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=1$, 而原幂级数的收敛半径为 $\displaystyle R=1$, 收敛区间为 $\displaystyle (-1,1)$. 由 Leibniz 判别法知 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ 收敛, 而原幂级数的收敛域为 $\displaystyle [-1,1)$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

---

565、 5、 (15 分) (1)、 求函数 $\displaystyle f(x)=|x|, x\in [-\pi,\pi]$ 的傅里叶级数. (2)、 证明 $\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6}$. (北京科技大学2023年数学分析考研试题) [Fourier级数 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设

$$\begin{aligned} f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty (a_n\cos nx+b_n\sin nx), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

则由 $\displaystyle f(x)$ 为偶函数知 $\displaystyle b_n=0$,

$$\begin{aligned} a_0=&\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\mathrm{ d} x=\pi,\\\\ a_n=&\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos nx\mathrm{ d} x =\frac{2[-1+(-1)^n]}{\pi n^2}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

于是

$$\begin{aligned} f(x)\sim \frac{\pi}{2}+\sum_{k=1}^\infty \frac{-4}{\pi(2k-1)^2}\cos(2k-1)x. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

令 $\displaystyle x=0$, 即得 $\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(2k-1)^2}=\frac{\pi^2}{8}$,

$$\begin{aligned} S\equiv \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2}=&\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(2k-1)^2}-\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(2k)^2} =\frac{\pi^2}{8}-\frac{1}{4}S. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

解得 $\displaystyle S=\frac{\pi^2}{6}$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

---

566、 10、 (15 分, 其中第一问 9 分, 第二问 6 分) 解答下列问题, 其中 $\displaystyle a\in (0,1)$. (1)、 求 $\displaystyle f(x)=\cos ax$ 在 $\displaystyle [-\pi,\pi]$ 上傅里叶级数; (2)、 证明:

$$\begin{aligned} \pi=\int_0^\pi \frac{\sin x}{x}\mathrm{ d} x+\sum_{n=1}^\infty (-1)^n\int_0^\pi \frac{2x\sin x}{x^2-n^2\pi^2}\mathrm{ d} x. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

(北京师范大学2023年数学分析考研试题) [Fourier级数 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 由 $\displaystyle f$ 是偶函数知 $\displaystyle f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos nx$, 则

$$\begin{aligned} a_0&=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\mathrm{ d} x=\frac{2\sin \pi a}{\pi a},\\\\ n\geq 1\Rightarrow a_n&=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\cos nx\mathrm{ d} x =\frac{2(-1)^n a \sin \pi a}{\pi(a^2-n^2)}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

故 $\displaystyle f(x)\sim \frac{\sin \pi a}{\pi a} +\frac{2a \sin \pi a}{\pi}\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n }{a^2-n^2} \cos nx$. (2)、 令 $\displaystyle x=0$ 得

$$\begin{aligned} 1=&\frac{\sin \pi a}{\pi a}+\frac{2a\sin \pi a}{\pi}\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{a^2-n^2}\\\\ =&\frac{\sin \pi a}{\pi}\left[\frac{1}{a}+\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n 2a}{a^2-n^2}\right]. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

令 $\displaystyle a=\frac{x}{\pi}$ 得

$$\begin{aligned} 1=&\frac{\sin x}{\pi}\left[\frac{\pi}{x}+\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n \cdot 2\frac{x}{\pi}}{\frac{x^2}{\pi^2}-n^2}\right]\\\\ =&\frac{\sin x}{x}+\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n 2x\sin x}{x^2-n^2\pi^2}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

关于 $\displaystyle x$ 在 $\displaystyle [0,\pi]$ 上积分, 并将求和与积分交换次序 (利用实变函数非负可测函数的逐项积分) 即知结论成立.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

---

567、 (6)、 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{llllllllllll}x,&x\in [-\pi,0),\\\\ 0,&x\in [0,\pi)\end{array}\right.$ 的 Fourier 级数的和函数 $\displaystyle S(x)=\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (电子科技大学2023年数学分析考研试题) [Fourier级数 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle \left\{\begin{array}{llllllllllll}x,&-\pi < x < 0,\\\\ 0,&0 < x < \pi,\\\\ -\frac{\pi}{2},&x=\pm \pi.\end{array}\right.$跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

---

568、 (8)、 将 $\displaystyle f(x)=\arcsin(\sin x)$ 展成傅里叶级数. (广西大学2023年数学分析考研试题) [Fourier级数 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle f$ 是奇函数, 且

$$\begin{aligned} 0\leq x\leq\frac{\pi}{2}\Rightarrow& f(x)=x,\\\\ \frac{\pi}{2}\leq x\leq \pi\Rightarrow& 0\leq \pi-x\leq \frac{\pi}{2}\Rightarrow f(x)=\arcsin \left(\sin (\pi-x)\right)=\pi-x. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

故 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{llllllllllll}x,&0\leq x\leq \frac{\pi}{2},\\\\ \pi-x,&\frac{\pi}{2}\leq x\leq \pi.\end{array}\right.$ 设 $\displaystyle f(x)\sim\sum_{n=1}^\infty b_n\sin nx$, 其中

$$\begin{aligned} b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\sin nx\mathrm{ d} x =\left\{\begin{array}{llllllllllll}0,&n=2k,\\\\ \frac{4(-1)^k}{\pi(2k+1)^2},&n=2k+1.\end{array}\right. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

则 $\displaystyle f(x)\sim\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin (2k+1)x$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

---

569、 8、 设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上可导, 若

$$\begin{aligned} f(x)=f(x+2k)=f(x+b), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

$\displaystyle k$ 为正整数, $\displaystyle b$ 为正无理数, 则 $\displaystyle f(x)$ 为一常数 (用傅里叶级数证明). (华中科技大学2023年数学分析考研试题) [Fourier级数 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 由 $\displaystyle f(x)=f(x+2k)$ 知 $\displaystyle f$ 是 $\displaystyle 2k$-周期函数. 又由 $\displaystyle f$ 可导知可设

$$\begin{aligned} f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty \left(a_n\cos \frac{n\pi}{k} x+b_n\sin \frac{n\pi}{k}x\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

其中

$$\begin{aligned} a_n=\int_{-k}^k f(x)\cos \frac{n\pi}{k}x\mathrm{ d} x, b_n=\int_{-k}^k f(x)\sin \frac{n\pi}{k} x\mathrm{ d} x. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

(2)、 由 $\displaystyle f(x)=f(x+b)$ 知

$$\begin{aligned} a_n&=\int_{-k}^k f(x+b) \cos \frac{n\pi}{k} x\mathrm{ d} x \stackrel{x+b=t}{=}\int_{-k+b}^{k+b} f(t)\cos \frac{n\pi}{k} (t-b)\mathrm{ d} t\\\\ &=\int_{-k+b}^{k+b}f(t)\left[\cos \frac{n\pi}{k} t\cos b\frac{n\pi}{k} +\sin \frac{n\pi}{k} t\sin b\frac{n\pi}{k}\right]\mathrm{ d} t\\\\ &=\cos b\frac{n\pi}{k} \int_{-k+b}^{k+b}f(t) \cos \frac{n\pi}{k} t\mathrm{ d} t +\sin b\frac{n\pi}{k} \int_{-k+b}^{k+b}f(t)\sin \frac{n\pi}{k} t\mathrm{ d} t\\\\ &=\cos b\frac{n\pi}{k} \int_{-k}^k f(t)\cos \frac{n\pi}{k} t\mathrm{ d} t +\sin b\frac{n\pi}{k} \int_{-k}^k f(t)\sin \frac{n\pi}{k} t\mathrm{ d} t\\\\ &=a_n\cos b\frac{n\pi}{k} +b_n\sin b\frac{n\pi}{k}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

同理,

$$\begin{aligned} b_n=b_n\cos b\frac{n\pi}{k}-a_n\sin b\frac{n\pi}{k}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

联立即可求得 $\displaystyle a_n=b_n=0\ (n\geq 1)$. 故 $\displaystyle f(x)=\frac{a_0}{2}$ 是常数.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

---

570、 (2)、 设 $\displaystyle f(x)=\pi^2-x^2, x\in (-\pi,\pi]$, 求 $\displaystyle f$ 的 Fourier 级数. (华中师范大学2023年数学分析考研试题) [Fourier级数 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由

$$\begin{aligned} a_0=\frac{2}{\pi} \int_0^\pi x^2\mathrm{ d} x=\frac{2\pi^2}{3},\quad n\geq 1\Rightarrow a_n=\frac{2}{\pi} \int_0^\pi x^2\cos nx\mathrm{ d} x =\frac{4(-1)^n}{n^2} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

知 $\displaystyle x^2\sim\frac{\pi^2}{3}+4\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^2}\cos nx.$ 故

$$\begin{aligned} f(x)\sim\frac{2\pi^2}{3}+4\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n^2}\cos nx. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

---

571、 7、 (15 分) 幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty c_nx^n$ 的收敛半径为 $\displaystyle +\infty$, 其和函数 $\displaystyle f(x)$ 是周期为 $\displaystyle 2\pi$ 的奇函数, $\displaystyle f(x)$ 的傅里叶级数为 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty b_n\sin nx$. 求证: (1)、 (5 分) $\displaystyle c_{2k}=0, \forall\ k\in\mathbb{N}$. (2)、 (10 分) $\displaystyle \forall\ k\in\mathbb{N}, \sum_{n=1}^\infty n^k |b_n|$ 收敛, 并求 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty n^{2k-1}b_n$. (用幂级数系数表示) (南京大学2023年数学分析考研试题) [Fourier级数 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 由题设, $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^\infty c_nx^n$ 是奇函数, 而

$$\begin{aligned} &\sum_{n=1}^\infty c_n(-x)^n=f(-x)=-f(x)=-\sum_{n=1}^\infty c_nx^n\\\\ \Rightarrow&\sum_{k=1}^\infty c_{2k}x^{2k}=-\sum_{k=1}^\infty c_{2k}x^{2k} \Rightarrow 2\sum_{k=1}^\infty c_{2k}x^{2k}=0\Rightarrow c_{2k}=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

(2)、 由第 1 步知

$$\begin{aligned} &\sum_{k=0}^\infty c_{2k+1}x^{2k+1} =f(x)=\sum_{n=1}^\infty b_n \sin nx\\\\ =&\sum_{n=1}^\infty b_n \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)!}(nx)^{2k+1} =\sum_{k=0}^\infty \left[\sum_{n=1}^\infty n^{2k+1}b_n \frac{(-1)^k}{(2k+1)!}\right] x^{2k+1}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

故

$$\begin{aligned} &c_{2k+1}=\sum_{n=1}^\infty n^{2k+1}b_n \frac{(-1)^k}{(2k+1)!}\\\\ \Rightarrow& \sum_{n=1}^\infty n^{2k+1}b_n=(-1)^k (2k+1)!c_{2k+1}\\\\ \Rightarrow&\sum_{n=1}^\infty n^{2k-1}b_n=(-1)^{k-1} (2k-1)!c_{2k-1}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

于是

$$\begin{aligned} \lim_{n\to\infty}n^{2k+3}sb_n=0\Rightarrow \lim_{n\to\infty}\frac{n^kb_n}{\frac{1}{n^{k+3}}}=0 \stackrel{\mbox{比较判别法}}{\Rightarrow}\sum_{n=1}^\infty n^k |b_n| < \infty. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

---

572、 8、 将 $\displaystyle f(x)=1-x^2\ (0\leq x\leq \pi)$ 展开为余弦级数, 并求 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^2}$. (南京航空航天大学2023年数学分析考研试题) [Fourier级数 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle g(x)=x^2$,

$$\begin{aligned} g(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos nx, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

其中

$$\begin{aligned} a_0&=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi g(x)\mathrm{ d} x=\frac{2\pi^2}{3},\\\\ n\geq 1\Rightarrow a_n&=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi g(x)\cos nx\mathrm{ d} x=\frac{4(-1)^n}{n^2}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

故

$$\begin{aligned} g(x)&\sim \frac{\pi^2}{3}+4\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n\cos nx}{n^2},\\\\ f(x)&\sim 1-\frac{\pi^2}{3}-4\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n\cos nx}{n^2}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

令 $\displaystyle x=0$ 得

$$\begin{aligned} 1=1-\frac{\pi^2}{3}-4\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^2} \Rightarrow \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^2}=-\frac{\pi^2}{12}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

---

573、 12、 把函数 $\displaystyle f(x)=x\ (0\leq x\leq \pi)$ 展开为余弦级数, 并指出收敛性, 再利用该级数求 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$. (上海大学2023年数学分析考研试题) [Fourier级数 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设

$$\begin{aligned} f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos nx, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

其中

$$\begin{aligned} a_0&=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\mathrm{ d} x=\pi,\\\\ n\geq 1\Rightarrow a_n&=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\cos nx\mathrm{ d} x=\left\{\begin{array}{llllllllllll}0,&n=2k,\\\\ -\frac{4}{(2k-1)^2\pi},&n=2k-1.\end{array}\right. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

故 $\displaystyle f(x)\sim\frac{\pi}{2}-\frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^\infty \frac{\cos (2k-1)x}{(2k-1)^2}$. 令 $\displaystyle x=0$ 得

$$\begin{aligned} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(2k-1)^2}=\frac{\pi^2}{8}\Rightarrow& S\equiv \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}=\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(2k)^2}+\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(2k-1)^2} =\frac{1}{4}S+\frac{\pi^2}{8}\\\\ \Rightarrow& \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}=S=\frac{\pi^2}{6}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

---

574、 4、 设 $\displaystyle f(x)=|x|, x\in [-\pi,\pi]$. (1)、 求 $\displaystyle f(x)$ 的 Fourier 展开式, 并证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$; (2)、 求 $\displaystyle \int_0^\frac{1}{2}\frac{\ln(1+2x)}{x}\mathrm{ d} x$. (天津大学2023年数学分析考研试题) [Fourier级数 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 可设

$$\begin{aligned} f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos nx, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

其中

$$\begin{aligned} a_0&=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi |f(x)|\mathrm{ d} x=\pi,\\\\ n\geq 1\Rightarrow a_n&=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi |f(x)|\cos nx\mathrm{ d} x=\left\{\begin{array}{llllllllllll}0,&n=2k,\\\\ -\frac{4}{(2k-1)^2\pi},&n=2k-1.\end{array}\right. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

故 $\displaystyle f(x)\sim \frac{\pi}{2}-4\sum_{k=1}^\infty \frac{\cos(2k-1)x}{(2k-1)^2}$. 令 $\displaystyle x=0$ 得 $\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(2k-1)^2}=\frac{\pi^2}{8}$,

$$\begin{aligned} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}=\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(2k-1)^2}+\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(2k)^2} =\frac{\pi^2}{8}+\frac{1}{4}\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}\Rightarrow \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

(2)、

$$\begin{aligned} \mbox{原式}&\stackrel{2x=t}{=}\int_0^1 \frac{\ln (1+t)}{t}\mathrm{ d} t =\int_0^1 \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{t^n}{n+1}\mathrm{ d} t\\\\ =&\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n+1}\int_0^1 t^n\mathrm{ d} t =\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(n+1)^2} =\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(2k-1)^2}-\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(2k)^2}\\\\ =&\frac{\pi^2}{8}-\frac{1}{4}\cdot\frac{\pi^2}{6}=\frac{\pi^2}{12}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

这里积分与级数可交换是因为由 Abel 判别法, $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n+1}\cdot t^n$ 关于 $\displaystyle t\in [0,1]$ 一致收敛.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

---

575、 6、 (15 分) 把函数 $\displaystyle f(x)=(x-\pi)^2$ 在 $\displaystyle (0,\pi)$ 上展开成余弦级数, 并进一步证明

$$\begin{aligned} \frac{\pi^2}{6}=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

(新疆大学2023年数学分析考研试题) [Fourier级数 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设

$$\begin{aligned} f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos nx, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

其中

$$\begin{aligned} a_0&=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\mathrm{ d} x=\frac{2\pi^2}{3},\\\\ n\geq 1\Rightarrow a_n&=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\cos nx\mathrm{ d} x=\frac{4}{n^2}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

故 $\displaystyle f(x)\sim\frac{\pi^2}{3}+4\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos nx}{n^2}$. 令 $\displaystyle x=0$ 得

$$\begin{aligned} \pi^2=\frac{\pi^2}{3}+4\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}\Rightarrow \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/