张祖锦2023年数学专业真题分类70天之第15天
323、 4、 (15 分) 计算不定积分. (1)、 (8 分) $\displaystyle \int \mathrm{e}^{\sin x}\sin 2x\mathrm{ d} x$; (新疆大学2023年数学分析考研试题) [不定积分 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /
$$\begin{aligned} \int \mathrm{e}^{\sin x}\sin 2x\mathrm{ d} x =&2\int \sin x\cdot \mathrm{e}^{\sin x}\cos x\mathrm{ d} x =2\int \sin x\mathrm{ d} \mathrm{e}^{\sin x}\\\\ =&2\left[\mathrm{e}^{\sin x}\sin x-\int \cos x\mathrm{e}^{\sin x}\mathrm{ d} x\right]\\\\ =&2\mathrm{e}^{\sin x}(\sin x-1). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
324、 (2)、 (7 分) $\displaystyle \int\frac{x-2}{x^2-7x+12}\mathrm{ d} x$. (新疆大学2023年数学分析考研试题) [不定积分 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /
$$\begin{aligned} \mbox{原式}=&\int\left(\frac{2}{x-4}-\frac{1}{x-3}\right)\mathrm{ d} x =2\ln |x-4|-\ln |x-3|+C. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
325、 (2)、 (10 分) 计算不定积分 $\displaystyle I_n=\int \frac{x^{2n-1}}{x^n+1}\mathrm{ d} x$, $\displaystyle n\in\mathbb{N}_+$. (长安大学2023年数学分析考研试题) [不定积分 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /
$$\begin{aligned} I_n=&\int \frac{x^n}{1+x^n}\cdot x^{n-1}\mathrm{ d} x \stackrel{x^n=t}{=}\frac{1}{n}\int \frac{t}{1+t}\mathrm{ d} t\\\\ =&\frac{1}{n}\int \left(1-\frac{1}{1+t}\right)\mathrm{ d} t =\frac{t-\ln (1+t)}{n}+C =\frac{x^n-\ln(1+x^n)}{n}+C. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
326、 2、 (10 分) 求不定积分 $\displaystyle \int \frac{x\ln x}{(1+x^2)^2}\mathrm{ d} x$. (郑州大学2023年数学分析考研试题) [不定积分 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /
$$\begin{aligned} \mbox{原式}=&\frac{-1}{2}\int \ln x\mathrm{ d} \frac{1}{1+x^2} \xlongequal[\tiny\mbox{积分}]{\tiny\mbox{分部}} -\frac{1}{2}\left[\frac{\ln x}{1+x^2}-\int \frac{1}{x}\cdot \frac{1}{1+x^2}\mathrm{ d} x\right]\\\\ &=-\frac{\ln x}{2(1+x^2)}+\frac{1}{2}\int\left(\frac{1}{x}-\frac{x}{1+x^2}\right)\mathrm{ d} x\\\\ &=-\frac{\ln x}{2(1+x^2)}+\frac{1}{2}\ln x-\frac{1}{4}\ln(1+x^2)+C\\\\ &=\frac{x^2\ln x}{2(1+x^2)}-\frac{1}{4}\ln (1+x^2)+C. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
327、 1、 (15 分) 计算积分. (1)、 (7 分) $\displaystyle \int\frac{1+x^4}{1+x^6}\mathrm{ d} x$. (中山大学2023年数学分析考研试题) [不定积分 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /
$$\begin{aligned} \mbox{原式}=&\frac{1}{3}\int \left[\frac{2}{1+x^2}+\frac{1+x^2}{1-x^2+x^4}\right]\mathrm{ d} x\\\\ =&\frac{2}{3}\arctan x+\frac{1}{3}\int \frac{\frac{1}{x^2}+1}{\frac{1}{x^2}-1+x^2}\mathrm{ d} x\\\\ =&\frac{2}{3}\arctan x+\frac{1}{3}\int \frac{\mathrm{ d} \left(x-\frac{1}{x}\right)}{1+\left(x-\frac{1}{x}\right)^2}\\\\ =&\frac{2}{3}\arctan x+\frac{1}{3}\arctan \left(x-\frac{1}{x}\right)+C. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
328、 (3)、 计算不定积分 $\displaystyle I=\int\frac{\ln \sin x}{\sin^2x}\mathrm{ d} x$. (重庆大学2023年数学分析考研试题) [不定积分 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /
$$\begin{aligned} \mbox{原式}=&\int \ln \sin x\cdot \csc^2x\mathrm{ d} x =-\int \ln \sin x\mathrm{ d} \cot x\\\\ =&-\left[\cot x\ln \sin x-\int\frac{\cos x}{\sin x}\cdot\cot x\mathrm{ d} x\right]\\\\ =&-\cot x\ln \sin x+\int\frac{1-\sin^2x}{\sin^2x}\mathrm{ d} x\\\\ =&-\cot x\ln \sin x-\cot x-x+C. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
329、 (2)、 $\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{2+4x}}\mathrm{ d} x$. (重庆师范大学2023年数学分析考研试题) [不定积分 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /
$$\begin{aligned} \mbox{原式}\stackrel{\sqrt{2+4x}=t, x=\frac{t^2-2}{4}}{=}\int \frac{1}{t}\cdot \frac{t}{2}\mathrm{ d} t=\frac{t}{2}+C =\frac{\sqrt{2+4x}}{2}+C. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
330、 2、 试问闭区间 $\displaystyle [a,b]$ 上的连续函数类 $\displaystyle C[a,b]$, 可导函数类 $\displaystyle D[a,b]$, 可积函数类 $\displaystyle R[a,b]$ 之间有什么关系? 请写出证明过程或举出反例. (北京工业大学2023年数学分析考研试题) [定积分 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle D(a,b)\subsetneq C[a,b]\subsetneq R[a,b]$. (1)、 $\displaystyle D(a,b)\subsetneq C[a,b]$. 设 $\displaystyle f\in D[a,b]$, 则 $\displaystyle \forall\ x_0\in [a,b]$,
$$\begin{aligned} \lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=0\Rightarrow \lim_{h\to 0}[f(x_0+h)-f(x_0)]=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
而 $\displaystyle f\in C[a,b]$. 但由 $\displaystyle f(x)=|x|\in C[-1,1]$ 不可导知 $\displaystyle D(a,b)\subsetneq C[a,b]$. (2)、 $\displaystyle C[a,b]\subsetneq R[a,b]$. 设 $\displaystyle f\in C[a,b]$, 则 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle [a,b]$ 上一致连续,
$$\begin{aligned} \forall\ \varepsilon > 0,\exists\ \delta > 0,\mathrm{ s.t.}\forall\ x,x'\in [a,b], |x-x'| < \delta, |f(x)-f(x')| < \varepsilon. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
取 $\displaystyle [a,b]$ 的分划 $\displaystyle T$, 使得 $\displaystyle \left\Vert T\right\Vert < \delta$, 则 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle T$ 的每个小区间的振幅 $\displaystyle \omega^f_i < \varepsilon$. 于是
$$\begin{aligned} \sum_i \omega^f_i\Delta x_i < \varepsilon \sum_i \Delta x_i=(b-a)\varepsilon. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle f\in R[a,b]$. 但由 $\displaystyle f(x)=[x]\in R[0,1]$ 不连续知 $\displaystyle C[a,b]\subsetneq R[a,b]$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
331、 6、 证明函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,b]$ 上可积的充分必要条件是: 任给 $\displaystyle c\in (a,b)$, $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,c]$ 和 $\displaystyle [c,b]$ 上都可积, 并证明
$$\begin{aligned} \int_a^b f(x)\mathrm{ d} x=\int_a^c f(x)\mathrm{ d} x+\int_c^b f(x)\mathrm{ d} x. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(北京工业大学2023年数学分析考研试题) [定积分 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 $\displaystyle \Rightarrow$: 设 $\displaystyle f\in R[a,b]$, 则对 $\displaystyle \forall\ \varepsilon > 0$, 存在 $\displaystyle [a,b]$ 的分划 $\displaystyle T$, 使得 $\displaystyle \sum_T \omega_i\Delta x_i < \varepsilon$. 在 $\displaystyle T$ 上再增加一个分点 $\displaystyle c$, 得到一个新的分划 $\displaystyle T^\star$. 由’区间越小蕴含振幅越小‘知
$$\begin{aligned} \sum_{T^\star}\omega_i^\star\Delta x_i^\star\leq \sum_T \omega_i\Delta x_i < \varepsilon. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
记 $\displaystyle T'=T^\star\cap [a,c], T''=T^\star\cap [c,b]$, 则
$$\begin{aligned} \sum_{T'}\omega_i'\Delta x_i'\leq \sum_{T^\star}\omega_i^\star < \varepsilon, \sum_{T''}\omega_i''\Delta x_i''\leq \sum_{T^\star}\omega_i^\star < \varepsilon. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle f\in R[a,c], f\in R[c,b]$, 且任取 $\displaystyle \xi_i^\star\in [x_{i-1}^\star,x_i^\star]$ 后,
$$\begin{aligned} \sum_{T^\star}f(\xi_i^\star)\Delta x_i^\star =\sum_{T'}f(\xi_i')\Delta x_i' +\sum_{T''}f(\xi_i'')\Delta x_i''. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
令 $\displaystyle \left\Vert T^\star\right\Vert \to 0$ 即得 $\displaystyle \int_a^b f(x)\mathrm{ d} x=\int_a^c f(x)\mathrm{ d} x+\int_c^b f(x)\mathrm{ d} x$. (2)、 $\displaystyle \Leftarrow$: 由 $\displaystyle f\in R[a,c], f\in R[c,b]$ 知对 $\displaystyle \forall\ \varepsilon > 0$, 存在 $\displaystyle [a,c]$ 的分划 $\displaystyle T'$, $\displaystyle [c,b]$ 的分划 $\displaystyle T''$, 使得
$$\begin{aligned} \sum_{T'}\omega'_i\Delta x'_i < \frac{\varepsilon}{2}, \sum_{T''}\omega''_i\Delta x_i'' < \frac{\varepsilon}{2}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
令 $\displaystyle T=T'\cup T''$, 则它是 $\displaystyle [a,b]$ 的一个分划, 且
$$\begin{aligned} \sum_T \omega_i\Delta x_i=\sum_{T'}\omega'_i\Delta x'_i+\sum_{T''}\omega''_i\Delta x_i'' < \varepsilon. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle f\in R[a,b]$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
332、 7、 已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,b]$ 上连续, 记 $\displaystyle F(x)=\int_a^x f(t)\mathrm{ d} t$. 证明: $\displaystyle F'(x)=f(x)$. (北京工业大学2023年数学分析考研试题) [定积分 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,b]$ 上连续知其一致连续:
$$\begin{aligned} \forall\ \varepsilon > 0,\exists\ \delta > 0,\mathrm{ s.t.} \forall\ s,t\in [a,b], |s-t| < \delta, |f(s)-f(t)| < \varepsilon. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是
$$\begin{aligned} 0 < |y-x| < \delta\Rightarrow \left|\frac{F(y)-F(x)}{y-x}-f(x)\right| =\left|\frac{\int_x^y [f(t)-f(x)]\mathrm{ d} t}{y-x}\right| \leq \varepsilon. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle F'(x)=f(x)$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
333、 2、 (15 分) 设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可微, 且对于任何 $\displaystyle x\in (0,1)$, 由 $\displaystyle |f'(x)|\leq M$. 证明: 对于任何正整数 $\displaystyle n$, 有
$$\begin{aligned} \left|\int_0^1 f(x)\mathrm{ d} x-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n f\left(\frac{i}{n}\right)\right|\leq\frac{M}{n}, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
其中 $\displaystyle M$ 是一个与 $\displaystyle x$ 无关的常数. [张祖锦注: $\displaystyle \frac{M}{n}$ 可改进为 $\displaystyle \frac{M}{2n}$, 具体见参考解答] (北京科技大学2023年数学分析考研试题) [定积分 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /
$$\begin{aligned} &\left|\int_0^1 f(x)\mathrm{ d} x-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n f\left(\frac{i}{n}\right)\right| =\left|\sum_{i=1}^n \int_\frac{i-1}{n}^\frac{i}{n} \left[f(x)-f\left(\frac{i}{n}\right)\right]\mathrm{ d} x\right|\\\\ \leq& \sum_{i=1}^n\int_\frac{i-1}{n}^\frac{i}{n} \left|f(x)-f\left(\frac{i}{n}\right)\right|\mathrm{ d} x =\sum_{i=1}^n\int_\frac{i-1}{n}^\frac{i}{n} |f'(\xi_n)|\cdot \left|x-\frac{i}{n}\right|\mathrm{ d} x\\\\ \leq& M\sum_{i=1}^n\int_\frac{i-1}{n}^\frac{i}{n}\left|x-\frac{i}{n}\right|\mathrm{ d} x=\frac{M}{2n}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
334、 5、 已知 $\displaystyle F(x)=\int_0^x (x-2t)f(t)\mathrm{ d} t$. (1)、 若 $\displaystyle f(x)$ 为偶函数, 证明 $\displaystyle F(x)$ 也是偶函数. (2)、 若 $\displaystyle f(x)$ 单调不增, 证明 $\displaystyle F(x)$ 单调不减. (北京邮电大学2023年数学分析考研试题) [定积分 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、
$$\begin{aligned} F(x)=&\int_0^{-x}(-x-2t)f(t)\mathrm{ d} t\stackrel{t=-s}{=}\int_0^x (-x+2s)f(-s)(-\mathrm{ d} s)\\\\ =&\int_0^x (x-2s)f(s)\mathrm{ d} s=F(x). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2)、 由题设, $\displaystyle f$ 递减, 而 $\displaystyle F(x)=x\int_0^x f(t)\mathrm{ d} t-2\int_0^x tf(t)\mathrm{ d} t$ 蕴含
$$\begin{aligned} F'(x)=&\int_0^x f(t)\mathrm{ d} t+xf(x)-2xf(x) =\int_0^x [f(t)-f(x)]\mathrm{ d} t\geq 0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle F$ 递增, 单调不减.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
335、 (6)、 设 $\displaystyle f(x)$ 连续,
$$\begin{aligned} g(x)=\frac{1}{n!}\int_a^x (x-t)^n f(t)\mathrm{ d} t. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
计算 $\displaystyle g^{(n+1)}(x)$. (大连理工大学2023年数学分析考研试题) [定积分 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 注意被积区间和被积函数中都含有 $\displaystyle x$. 于是
$$\begin{aligned} &g'(x)=\frac{1}{n!}\int_a^x n(x-t)^{n-1} f(t)\mathrm{ d} t,\\\\ &g''(x)=\frac{1}{n!}\int_a^x n(n-1)(x-t)^{n-2} f(t)\mathrm{ d} t,\\\\ &\cdots, g^{(n)}(x)=\int_a^x f(t)\mathrm{ d} t. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
336、 8、 设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,2]$ 上二阶连续可导, 且
$$\begin{aligned} \int_0^2 f(x)\mathrm{ d} x=4, f(2)=1, f'(2)=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
求 $\displaystyle \int_0^1 x^2f''(2x)\mathrm{ d} x$. (东南大学2023年数学分析考研试题) [定积分 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /
$$\begin{aligned} \mbox{原式}&\stackrel{2x=t}{=}\int_0^2 \frac{t^2}{4}f''(t)\frac{\mathrm{ d} t}{2} =\frac{1}{8}\int_0^2 t^2\mathrm{ d} f'(t) \xlongequal[\tiny\mbox{积分}]{\tiny\mbox{分部}} -\frac{1}{8}\int_0^2 2tf'(t)\mathrm{ d} t\\\\ =&-\frac{1}{4}\int_0^2 t\mathrm{ d} f(t) \xlongequal[\tiny\mbox{积分}]{\tiny\mbox{分部}} -\frac{1}{4}\left[2-\int_0^2 f(t)\mathrm{ d} t\right]=\frac{1}{2}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
337、 14、 设 $\displaystyle f: [a,b]\to\mathbb{R}$ 单调有界, 证明: $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle [a,b]$ 上可积. (东南大学2023年数学分析考研试题) [定积分 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 不妨设 $\displaystyle f$ 递增. 对 $\displaystyle [a,b]$ 的任一分划 $\displaystyle T$, $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle T$ 所属的每个小区间 $\displaystyle \Delta_i$ 上的振幅为
$$\begin{aligned} \omega_i=f(x_i)-f(x_{i-1}). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是
$$\begin{aligned} \sum_{i=1}^n \omega_i \Delta x_i\leq \sum_{i=1}^n [f(x_i)-f(x_{i-1})]\left\Vert T\right\Vert =[f(b)-f(a)]\left\Vert T\right\Vert . \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故
$$\begin{aligned} \forall\ \varepsilon > 0,\exists\ \delta=\frac{\varepsilon}{f(b)-f(a)+1} > 0,\mathrm{ s.t.} \forall\ T: \left\Vert T\right\Vert < \delta, \sum_T \omega_i \Delta x_i < \varepsilon. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这就证明了 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle [a,b]$ 上可积.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
338、 (3)、 求定积分 $\displaystyle \int_0^a x^2\sqrt{a^2-x^2}\mathrm{ d} x$, 其中 $\displaystyle a > 0$. (广西大学2023年数学分析考研试题) [定积分 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /
$$\begin{aligned} \mbox{原式}&\stackrel{x=a\sin\theta}{=}\int_0^\frac{\pi}{2} a^2\sin^2\theta a\cos\theta\cdot a\cos\theta\mathrm{ d} \theta\\\\ &=\frac{a^4}{4}\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^22\theta\mathrm{ d} \theta=\left.\frac{a^4}{8}\left(\theta+\frac{1}{4}\sin4\theta\right)\right|_0^\frac{\pi}{2}=\frac{\pi a^4}{16}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
339、 (4)、 求由抛物线 $\displaystyle y^2=x$ 与直线 $\displaystyle x-2y-3=0$ 所围平面图形的面积. (广西大学2023年数学分析考研试题) [定积分 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 易知题中两曲线的交点为 $\displaystyle (1,-1), (9,3)$. 故所求
$$\begin{aligned} =\int_{-1}^3 [(2y+3)-y^2]\mathrm{ d} y=\frac{32}{3}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
340、 9、 证明黎曼函数
$$\begin{aligned} R(x)=\left\{\begin{array}{llllllllllll}\frac{1}{q},&x\in(0,1)\mbox{且} x=\frac{p}{q}, (p,q)=1, p,q\in\mathbb{Z}_+,\\\\ 0,&x=0,1\mbox{或} x\in[0,1]\backslash \mathbb{Q}\end{array}\right. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
在 $\displaystyle [0,1]$ 上黎曼可积. (哈尔滨工程大学2023年数学分析考研试题) [定积分 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle \forall\ \varepsilon > 0, \eta > 0$, 又由 $\displaystyle [0,1]$ 中满足 $\displaystyle \frac{1}{q}\geq \varepsilon\Leftrightarrow 0 < q\leq\frac{1}{\varepsilon}$ 的有理数 $\displaystyle \frac{p}{q}$ 只有有限个 (设为 $\displaystyle m$ 个), 所以对 $\displaystyle [0,1]$ 的任意分划 $\displaystyle T$, $\displaystyle T$ 中包含这类点的小区间至多 $\displaystyle 2m$ 个, 在其上, $\displaystyle \omega_{k'}\geq \varepsilon$. 因此, 当 $\displaystyle \left\Vert T\right\Vert < \frac{\eta}{2m}$ 时, 满足 $\displaystyle \omega_{k'}\geq \varepsilon$ 的那些小区间的总长
$$\begin{aligned} \sum_{k'}\Delta x_{k'} \leq 2m\left\Vert T\right\Vert < \eta. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由可积性准则 III 即知 $\displaystyle R(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可积.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
341、 5、 设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,b]$ 上连续且不恒为零, 同时 $\displaystyle \int_a^b f(x)\mathrm{ d} x=0$. (1)、 证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,b)$ 上有一个零点; (2)、 若 $\displaystyle \int_a^b xf(x)\mathrm{ d} x=0$, 证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,b)$ 上至少有两个零点. (哈尔滨工业大学2023年数学分析考研试题) [定积分 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 设 $\displaystyle F(x)=\int_a^x f(t)\mathrm{ d} t$, 则 $\displaystyle F(a)=F(b)=0$. 由 Rolle 定理知
$$\begin{aligned} \exists\ \xi\in (a,b),\mathrm{ s.t.} 0=F'(\xi)=f(\xi). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(1-1)、 若 $\displaystyle f(x)\geq 0, \forall\ x\in [a,b]$, 则
$$\begin{aligned} \int_0^1 f(x)\mathrm{ d} x=0\Rightarrow f(x)\equiv 0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
结论自明. 若 $\displaystyle f(x)\leq 0, \forall\ x\in [a,b]$, 则类似可得 $\displaystyle f\equiv 0$. (1-2)、 若
$$\begin{aligned} \exists\ x_0\neq x_1,\mathrm{ s.t.} f(x_0) < 0 < f(x_1). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则由连续函数介值定理知 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle (a,b)$ 上至少有一个零点 $\displaystyle \xi$. 往用反证法证明 $\displaystyle f$ 至少还有一个零点. 设 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle [a,b]$ 上只有这个零点 $\displaystyle \xi$, 则
$$\begin{aligned} f(x) < 0, \forall\ x < \xi; f(x) > 0, \forall\ x > \xi,\qquad(\star) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
或
$$\begin{aligned} f(x) > 0, \forall\ x < \xi; f(x) < 0, \forall\ x > \xi. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
不妨设 $\displaystyle (\star)$ 成立, 则
$$\begin{aligned} &(x-\xi)f(x) > 0, \forall\ x\neq \xi\\\\ \Rightarrow&0 < \int_a^b (x-\xi)f(x)\mathrm{ d} x=\int_a^b xf(x)\mathrm{ d} x-\xi\int_a^b f(x)\mathrm{ d} x=0\\\\ \Rightarrow&\mbox{矛盾, 故有结论}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
342、 3、 设 $\displaystyle k$ 为正整数, 求 $\displaystyle \int_0^{k\pi}|\cos x|\mathrm{ d} x$. (黑龙江大学2023年数学分析考研试题) [定积分 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /
$$\begin{aligned} \mbox{原式}=k\int_0^\pi |\cos x|\mathrm{ d} x =2k\int_0^\frac{\pi}{2}\cos x\mathrm{ d} x=2k. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
343、 14、 求曲线 $\displaystyle r=1+\cos\theta$ 围成的图形的面积. (黑龙江大学2023年数学分析考研试题) [定积分 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 所求面积
$$\begin{aligned} =\frac{1}{2}\int_0^{2\pi} r^2(\theta)\mathrm{ d} \theta=\frac{3\pi}{2}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
344、 2、 计算积分
$$\begin{aligned} \int_0^1 \frac{1}{x+\sqrt{1-x^2}}\mathrm{ d} x. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(华东师范大学2023年数学分析考研试题) [定积分 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /
$$\begin{aligned} \mbox{原式}&\stackrel{x=\sin\theta}{=}\int_0^\frac{\pi}{2}\frac{\cos\theta}{\sin \theta+\cos \theta}\mathrm{ d} \theta\equiv I\\\\ &\stackrel{\frac{\pi}{2}-\theta=s}{=}\int_0^\frac{\pi}{2}\frac{\sin s}{\cos s+\sin s}\mathrm{ d} s\equiv J\\\\ &=\frac{1}{2}(I+J) =\frac{1}{2}\int_0^\frac{\pi}{2}\mathrm{ d} \theta=\frac{\pi}{4}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
345、 (2)、 求定积分 $\displaystyle \int_0^\frac{\pi}{4}\frac{x\mathrm{ d} x}{1+\cos 2x}$. (华南师范大学2023年数学分析考研试题) [定积分 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /
$$\begin{aligned} \mbox{原式}=&\int_0^\frac{\pi}{4}\frac{x\mathrm{ d} x}{2\cos^2x} =\frac{1}{2}\int_0^\frac{\pi}{4} x\sec^2x\mathrm{ d} x\\\\ =&\frac{1}{2}\int_0^\frac{\pi}{4} x\mathrm{ d} \tan x =\frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{4}-\int_0^\frac{\pi}{4}\tan x\mathrm{ d} x\right)\\\\ =&\frac{\pi}{8}-\left.\frac{1}{2}(-\ln \cos x)\right|_0^\frac{\pi}{4} =\frac{\pi}{8}-\frac{1}{4}\ln 2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
/4 
|Archiver|小黑屋|小张的小站
( 赣ICP备2024047342号-1 )
发表于 2023-3-5 08:48:53