张祖锦2023年数学专业真题分类70天之第04天

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张祖锦2023年数学专业真题分类70天之第04天

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70、 4、 设 $\displaystyle a > 1$, 求 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{a}+\frac{2^2}{a^2}+\cdots+\frac{n^2}{a^n}\right)$. (上海财经大学2023年数学分析考研试题) [数列极限 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle b=\frac{1}{a}\in (0,1)$, 则

$$\begin{aligned} \mbox{原式}=&\sum_{n=1}^\infty n^2b^n =b^2\sum_{n=1}^\infty n(n-1)b^{n-2}+b\sum_{n=1}^\infty nb^{n-1}\\\\ =&b^2\left.\left(\sum_{n=1}^\infty x^n\right)''\right|_{x=b} +b\left.\left(\sum_{n=1}^\infty x^n\right)'\right|_{x=b} =b^2\frac{2}{(1-b)^3}+\frac{b}{(1-b)^2}\\\\ =&\frac{b(b+1)}{(1-b)^3}=\frac{a(a+1)}{(a-1)^3}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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71、 1、 解答如下问题: (1)、 用 ‘$\varepsilon-N$ 语言叙述``极限 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n=a$‘; (上海大学2023年数学分析考研试题) [数列极限 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle \forall\ \varepsilon > 0,\exists\ N,\mathrm{ s.t.} \forall\ n\geq N, |x_n-a| < \varepsilon$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

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72、 2、 计算下列极限: (1)、 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(\frac{n^2+1}{n^2-2}\right)^{n^2+2n}$; (上海大学2023年数学分析考研试题) [数列极限 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /

$$\begin{aligned} \mbox{原式}&=\mathrm{exp}\left[\lim_{n\to\infty}(n^2+2n)\ln\frac{n^2+1}{n^2-2}\right]\\\\ &\xlongequal[\tiny\mbox{代换}]{\tiny\mbox{等价}} \mathrm{exp}\left[\lim_{n\to\infty}(n^2+2n)\left(\frac{n^2+1}{n^2-2}-1\right)\right]\\\\ &=\mathrm{exp}\left[\lim_{n\to\infty}(n^2+2n)\frac{3}{n^2-2}\right]=\mathrm{e}^3. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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73、 3、 (20 分) 设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [0,1]$ 上可导, 其值域也是区间 $\displaystyle [0,1]$, 且存在 $\displaystyle 0 < \theta < 1$, 使得 $\displaystyle |f'(x)|\leq \theta$. 证明: $\displaystyle f(x)=x$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上存在唯一解. (上海交通大学2023年数学分析考研试题) [数列极限 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 这就是压缩映射原理. (1)、 存在性. 任取 $\displaystyle x_0\in [0,1]$, 定义 $\displaystyle x_{n+1}=f(x_n), n\geq 0$, 则由

$$\begin{aligned} |x_{n+1}-x_n|=&|f(x_n)-f(x_{n-1})| \leq \theta |x_n-x_{n-1}|\\\\ &\leq \cdots \leq \theta ^n|x_1-x_0| \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

知

$$\begin{aligned} |x_{n+p}-x_n|\leq&\sum_{k=n}^{n+p-1}|x_{k+1}-x_k| \leq \sum_{k=n}^{n+p-1}\theta ^k|x_1-x_0|\\\\ \leq& \sum_{k=n}^\infty \theta ^k|x_1-x_0| =\frac{\theta ^n}{1-\theta }|x_1-x_0|\xrightarrow{n\to\infty}0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

由 Cauchy 收敛准则知 $\displaystyle \left\{x_n\right\}$ 收敛. 设极限为 $\displaystyle x$, 则在递推式中令 $\displaystyle n\to\infty$, 并注意到 $\displaystyle f$ 的 Lipschitz 连续性知 $\displaystyle x=f(x)$. (2)、 唯一性. 设 $\displaystyle y$ 也满足 $\displaystyle y=f(y)$, 则

$$\begin{aligned} &|x-y|=|f(x)-f(y)|\leq \theta |x-y|\\\\ \Rightarrow& (1-\theta )|x-y|\leq 0\Rightarrow |x-y|=0\Rightarrow x=y. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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74、 1、 (1)、 求极限 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}n^2\left(1-n\sin\frac{1}{n}\right)$. (首都师范大学2023年数学分析考研试题) [数列极限 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /

$$\begin{aligned} \mbox{原式}\xlongequal[\tiny\mbox{原理}]{\tiny\mbox{归结}}& \lim_{x\to 0}\frac{1-\frac{\sin x}{x}}{x^2} =\lim_{x\to 0}\frac{x-\sin x}{x^3}\\\\ \xlongequal[\tiny\mbox{展开}]{\tiny\mbox{Taylor}}& \lim_{x\to 0}\frac{x-\left[x-\frac{x^3}{6}+o(x^4)\right]}{x^3}=\frac{1}{6}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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75、 1、 计算下列极限 (每小题 8 分, 共 32 分). (1)、 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1^p+2^p+\cdots+n^p}{n^{p+1}}$ ($p > 0$). (四川大学2023年数学分析考研试题) [数列极限 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /

$$\begin{aligned} \mbox{原式}&\xlongequal{\tiny\mbox{Stolz}} \lim_{n\to\infty}\frac{n^p}{n^{p+1}-(n-1)^{p+1}} \xlongequal[\tiny\mbox{中值}]{\tiny\mbox{Lagrange}} \lim_{n\to\infty}\frac{n^p}{(p+1)\xi_n^p}=\frac{1}{p+1}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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76、 (2)、 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left[\frac{1}{\ln (n+1)-\ln n}-n\right]$. (四川大学2023年数学分析考研试题) [数列极限 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /

$$\begin{aligned} \mbox{原式}=&\lim_{n\to\infty}\left[\frac{1}{\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)}-\frac{1}{\frac{1}{n}}\right] \xlongequal[\tiny\mbox{原理}]{\tiny\mbox{归结}} \lim_{x\to 0}\left[\frac{1}{\ln(1+x)}-\frac{1}{x}\right]\\\\ =&\lim_{x\to 0}\frac{x\ln(1+x)}{x\ln(1+x)} \xlongequal[\tiny\mbox{展开}]{\tiny\mbox{Taylor}} \lim_{x\to 0}\frac{x-\left[x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)\right]}{x[x+o(x)]}=\frac{1}{2}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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77、 1、 (20 分) 求下列极限: (1)、 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^n$; (苏州大学2023年数学分析考研试题) [数列极限 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /

$$\begin{aligned} \mbox{原式}=\mathrm{exp}\left[\lim_{n\to\infty}n\ln\left(1+\frac{1}{n^2}\right)\right] \xlongequal[\tiny\mbox{代换}]{\tiny\mbox{等价}} \mathrm{exp}\left[\lim_{n\to\infty}n\frac{1}{n^2}\right]=\mathrm{e}^0=1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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78、 1、 求极限 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n^2}\right)\left(1+\frac{2}{n^2}\right)\cdots\left(1+\frac{n}{n^2}\right)$. (太原理工大学2023年数学分析考研试题) [数列极限 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 由

$$\begin{aligned} &x-\frac{x^2}{2} < \ln (1+x)\left(x > 0\right)\\\\ \Leftrightarrow&f(x)=\ln (1+x)-x+\frac{x^2}{2} > 0\left(x > -1\right)\\\\ \Leftarrow& f(0)=0, f'(x)=\frac{x^2}{1+x} > 0\left(x > -1\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

及

$$\begin{aligned} &\ln (1+x) < x\left(x > 0\right)\\\\ \Leftrightarrow&f(x)=\ln (1+x)-x < 0\left(x > 0\right)\\\\ \Leftarrow& f(0)=0, f'(x)=\frac{-x}{1+x} < 0\left(x > 0\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

知 $\displaystyle x-\frac{x^2}{2} < \ln (1+x) < x, x > 0$. (2)、 由

$$\begin{aligned} \sum_{k=1}^n \ln \left(1+\frac{k}{n^2}\right)& < \sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2}=\frac{1}{n^2}\frac{n(n+1)}{2}\to \frac{1}{2}\left(n\to\infty\right),\\\\ \sum_{k=1}^n \ln \left(1+\frac{k}{n^2}\right)& > \sum_{k=1}^n \left(\frac{k}{n^2}-\frac{k^2}{2n^4}\right)\\\\ &=\frac{1}{n^2}\cdot\frac{n(n+1)}{2}-\frac{1}{2n^4}\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\\\\ &\to \frac{1}{2}\left(n\to\infty\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

及迫敛性知 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n \ln \left(1+\frac{k}{n^2}\right)=\frac{1}{2}$, 而原式 $\displaystyle =\sqrt{\mathrm{e}}$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

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79、 8、 设数列 $\displaystyle \left\{x_n\right\}$ 满足

$$\begin{aligned} x_1 > 0, x_{n+1}=\ln(1+x_n), n=1,2,\cdots. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

证明: $\displaystyle \left\{x_n\right\}$ 收敛, 并求 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}nx_n$. (太原理工大学2023年数学分析考研试题) [数列极限 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由数学归纳法知 $\displaystyle x_n > 0$. 再由不等式

$$\begin{aligned} \ln(1+x) < x\left(x > -1, x\neq 0\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

知

$$\begin{aligned} x_{n+1}=\ln(1+x_n) < x_n. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

故 $\displaystyle \left\{x_n\right\}$ 递减有下界. 据单调有界定理及极限的保不等式性知

$$\begin{aligned} l=\lim_{n\to\infty}x_n\geq 0 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

存在. 在 $\displaystyle x_{n+1}=\ln (1+x_n)$ 中令 $\displaystyle n\to\infty$ 得

$$\begin{aligned} l=\ln (1+l)\Rightarrow l=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

进一步,

$$\begin{aligned} \lim_{n\to\infty}nx_n=&\lim_{n\to\infty}\frac{n}{\frac{1}{x_n}}\xlongequal{\tiny\mbox{Stolz}} \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\frac{1}{x_n}-\frac{1}{x_{n-1}}}\\\\ =&\lim_{n\to\infty}\frac{x_nx_{n-1}}{x_{n-1}-x_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{x_{n-1}\ln(1+x_{n-1})}{x_{n-1}-\ln(1+x_{n-1})}\\\\ \xlongequal[\tiny\mbox{原理}]{\tiny\mbox{归结}}&\lim_{x\to 0}\frac{x\ln(1+x)}{x-\ln(1+x)} \xlongequal[\tiny\mbox{展开}]{\tiny\mbox{Taylor}} \lim_{x\to 0}\frac{x\left[x+o(x)\right]}{x-\left[x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)\right]}=2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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80、 1、 计算题. (1)、 求极限 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\displaystyle\int_0^{n\pi}x|\sin x|\mathrm{ d} x}{n(n+1)}$. (武汉大学2023年数学分析考研试题) [数列极限 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /

$$\begin{aligned} \mbox{原式}&\xlongequal{\tiny\mbox{Stolz}} \lim_{n\to\infty}\frac{\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}x|\sin x|\mathrm{ d} x}{(n+1)(n+2)-n(n+1)} =\frac{1}{2}\lim_{n\to\infty}\frac{\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}x|\sin x|\mathrm{ d} x}{n+1}\\\\ &\xlongequal{\tiny\mbox{Stolz}} \frac{1}{2}\lim_{n\to\infty}\left[\int_{(n+1)\pi}^{(n+2)\pi}x|\sin x|\mathrm{ d} x -\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}x|\sin x|\mathrm{ d} x\right]\\\\ &\stackrel{x-\pi=t}{=}\frac{1}{2}\lim_{n\to\infty}\left[\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}(\pi+t)|\sin t|\mathrm{ d} t -\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}x|\sin x|\mathrm{ d} x\right]\\\\ &=\frac{\pi}{2}\lim_{n\to\infty}\int_{n\pi}^{(n+1)\pi} |\sin t|\mathrm{ d} t =\frac{\pi}{2} \sin t\mathrm{ d} t=\pi. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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81、 3、 证明题. (1)、 已知 $\displaystyle x_0 > 0$, 当 $\displaystyle n\geq 1$ 时, $\displaystyle x_n=\arctan x_{n-1}$, 证明: $\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n=0$. (武汉理工大学2023年数学分析考研试题) [数列极限 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由

$$\begin{aligned} \tan x > x, 0 < x < \frac{\pi}{2}\Rightarrow x > \arctan x, x > 0 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

知 $\displaystyle x_n\searrow, \geq 0$. 由单调有界定理知 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n=l$ 存在, 且

$$\begin{aligned} l=\arctan l, 0\leq l\leq 1\Rightarrow l=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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82、 1、 填空题. (1)、 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdots \frac{2n-1}{2n}\right)=\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (西安交通大学2023年数学分析考研试题) [数列极限 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由 $\displaystyle \frac{2k-1}{2k} < \frac{2k}{2k+1}$ 知

$$\begin{aligned} 0 < &\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdots \frac{2n-1}{2n}\right)^2\\\\ < &\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdots \frac{2n-1}{2n}\right)\left(\frac{2}{3}\cdot\frac{4}{5}\cdots \frac{2n}{2n+1}\right) =\frac{1}{2n+1}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

由迫敛性知原式 $\displaystyle =0$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

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83、 2、 证明题. (1)、 已知数列 $\displaystyle \left\{x_n\right\}$ 满足 $\displaystyle x_1=0, x_{n+1}=\cos x_n\ (n=1,2,\cdots)$. 证明: (1-1)、 $\displaystyle \left\{x_{2n}\right\}, \left\{x_{2n-1}\right\}$ 均单调; (1-2)、 $\displaystyle \left\{x_n\right\}$ 收敛. (西安交通大学2023年数学分析考研试题) [数列极限 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由 $\displaystyle x_0=0$,

$$\begin{aligned} 0\leq x_k\leq 1\Rightarrow 0\leq \cos 1\leq x_{k+1}=\cos x_k\leq \cos 0=1 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

及数学归纳法知 $\displaystyle 0\leq x_n\leq 1, \forall\ n\geq 1$. 设 $\displaystyle f(x)=\cos \cos x, 0\leq x\leq 1$, 则

$$\begin{aligned} f'(x)=-\sin \cos x(-\sin x)=\sin \cos x\cdot \sin x > 0, 0 < x < 1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

由 $\displaystyle x_{2n}=f(x_{2(n-1)}), x_{2n+1}=f(x_{2(n-1)+1})$ 即知 $\displaystyle \left\{x_{2n}\right\}, \left\{x_{2n-1}\right\}$ 均递增. 由单调有界定理知 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_{2n}=a, \lim_{n\to\infty}x_{2n-1}=b$ 都存在. 进而

$$\begin{aligned} &x_{2n}=\cos x_{2n-1}, x_{2n+1}=\cos x_{2n}\\\\ \Rightarrow& a=\cos b, b=\cos a \Rightarrow a=f(a), b=f(b). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

设 $\displaystyle g(x)=f(x)-x,0\leq x\leq 1$, 则 $\displaystyle g(0)=\cos 1 > 0, g(1)=\cos \cos 1-1 < 0, g'(x)=f'(x)-1 < 0$. 从而 $\displaystyle f$ 的不动点是唯一的, 即 $\displaystyle a=b\Rightarrow \lim_{n\to\infty}x_n=a$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

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84、 (2)、 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[n]{(n+1)(n+2)\cdots(n+n)}}{n}$. (西北大学2023年数学分析考研试题) [数列极限 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /

$$\begin{aligned} \mbox{原式}=\mathrm{exp}\left[\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \ln \left(1+\frac{1}{k}\right)\right] =\mathrm{exp}\left[\int_0^1 \ln (1+x)\mathrm{ d} x\right] \xlongequal[\tiny\mbox{积分}]{\tiny\mbox{分部}}\frac{4}{\mathrm{e}}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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85、 2、 (20 分) 设 $\displaystyle 0 < x_0 < \frac{\pi}{2}$, 作迭代序列 $\displaystyle x_n=\sin x_{n-1}\ (n=1,2,\cdots)$. (1)、 证明: $\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n=0$; (2)、 证明: $\displaystyle \left\{nx_n^2\right\}$ 收敛, 并求其极限. (西北大学2023年数学分析考研试题) [数列极限 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 易知 $\displaystyle x_n\searrow, > 0$. 由单调有界定理知 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n=\ell$ 存在, 且 $\displaystyle \ell=\sin \ell, \ell\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right)\Rightarrow \ell=0$. (2)、

$$\begin{aligned} \mbox{原式}=&\lim_{n\to\infty}\frac{n}{\frac{1}{x_n^2}} \xlongequal{\tiny\mbox{Stolz}}\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\frac{1}{x_{n+1}^2}-\frac{1}{x_n^2}} =\lim_{n\to\infty}\frac{x_n^2x_{n+1}^2}{x_n^2-x_{n+1}^2}\\\\ =&\lim_{n\to\infty}\frac{x_n^2\sin^2x_n}{x_n^2-\sin^2x_n} \xlongequal[\tiny\mbox{原理}]{\tiny\mbox{归结}}\lim_{x\to 0}\frac{x^2\sin^2x}{x^2-\sin^2x}\\\\ \xlongequal[\tiny\mbox{代换}]{\tiny\mbox{等价}}&\lim_{x\to 0}\frac{x^4}{(x-\sin x)(x+\sin x)} =\frac{1}{\frac{1}{3!}\cdot 2} =3. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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86、 1、 计算题. (1)、 (10 分) 求极限 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}n^2\left(1-n\sin\frac{1}{n}\right)$. (西南大学2023年数学分析考研试题) [数列极限 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /

$$\begin{aligned} \mbox{原式}\xlongequal[\tiny\mbox{原理}]{\tiny\mbox{归结}}&\lim_{x\to 0}\frac{1-\frac{1}{x}\sin x}{x^2} =\lim_{x\to 0}\frac{x-\sin x}{x^3}\xlongequal[\tiny\mbox{展开}]{\tiny\mbox{Taylor}} \frac{1}{6}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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87、 1、 (10 分) 若 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=a$, 证明: $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{a_1+\cdots+a_n}{n}=a$. (西南交通大学2023年数学分析考研试题) [数列极限 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=a$ 知

$$\begin{aligned} \forall\ \varepsilon > 0,\exists\ N_1,\mathrm{ s.t.} \forall\ n\geq N_1, |a_n-a| < \frac{\varepsilon}{2}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

又由 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{N_1} |a_k-a|=0$ 知

$$\begin{aligned} \exists\ N_2,\mathrm{ s.t.} \forall\ n\geq N_2, \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{N_1}|a_k-a| < \frac{\varepsilon}{2}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

于是当 $\displaystyle n\geq N=\max\left\{N_1,N_2\right\}$ 时,

$$\begin{aligned} &\left|\frac{a_1+\cdots+a_n}{n}-a\right|\leq \frac{|a_1-a|+\cdots+|a_n-a|}{n}\\\\ \leq& \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{N_1}|a_k-a| +\frac{1}{n}\sum_{k=N_1+1}^n |a_k-a| < \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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88、 (3)、 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\right)^\frac{1}{n}$. (湘潭大学2023年数学分析考研试题) [数列极限 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /

$$\begin{aligned} \mbox{原式}&=\mathrm{exp}\left[\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\ln \left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\right)\right]\\\\ &\xlongequal{\tiny\mbox{Stolz}} \mathrm{exp}\left\{\lim_{n\to\infty}\left[\ln \left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n+1}\right) -\ln \left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\right)\right]\right\}\\\\ &=\mathrm{exp}\left[\lim_{n\to\infty}\ln \left(1+\frac{\frac{1}{n+1}}{1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}}\right)\right] =\mathrm{exp}\left[\ln 1\right]=1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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89、 4、 证明题. (1)、 (14 分) 解答如下问题. (1-1)、 设 $\displaystyle a_n > 0, n\in\mathbb{N}_+$, 且 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=+\infty$, 证明: $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}=+\infty$. (长安大学2023年数学分析考研试题) [数列极限 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle b_n=\frac{1}{a_n} > 0$, 则只要证 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_n=0\Rightarrow \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{b_1\cdots b_n}=0$. 由均值不等式及迫敛性知仅需验证 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{b_1+\cdots+b_n}{n}=0$. 一般的, 我们有如下结论. 若 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_n=b$, 则$\lim_{n\to\infty}\frac{b_1+\cdots+b_n}{n}=b$. 事实上, 由 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_n=b$ 知

$$\begin{aligned} \forall\ \varepsilon > 0,\exists\ N_1,\mathrm{ s.t.} \forall\ n\geq N_1, |b_n-b| < \frac{\varepsilon}{2}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

又由 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{N_1} |b_k-b|=0$ 知

$$\begin{aligned} \exists\ N_2,\mathrm{ s.t.} \forall\ n\geq N_2, \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{N_1}|b_k-b| < \frac{\varepsilon}{2}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

于是当 $\displaystyle n\geq N=\max\left\{N_1,N_2\right\}$ 时,

$$\begin{aligned} &\left|\frac{b_1+\cdots+b_n}{n}-b\right|\leq \frac{|b_1-b|+\cdots+|b_n-b|}{n}\\\\ \leq& \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{N_1}|b_k-b| +\frac{1}{n}\sum_{k=N_1+1}^n |b_k-b| < \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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90、 2、 (15 分) 求极限. (1)、 (8 分) $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(\frac{n}{n^2+1^2} +\frac{n}{n^2+2^2}+\cdots+\frac{n}{n^2+n^2}\right)$. (中国科学技术大学2023年数学分析考研试题) [数列极限 ]

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$$\begin{aligned} \mbox{原式}=&\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n \frac{n}{n^2+k^2} =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \frac{1}{1+\left(\frac{k}{n}\right)^2}\\\\ =&\int_0^1 \frac{1}{1+x^2}\mathrm{ d} x=\frac{\pi}{4}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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91、 1、 (1)、 求极限 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(\frac{2+\sqrt[n]{64}}{3}\right)^{2n+1}$. (中国科学院大学2023年数学分析考研试题) [数列极限 ]

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$$\begin{aligned} \mbox{原式}=&\mathrm{exp}\left[\lim_{n\to\infty}(2n+1)\ln \frac{2+\sqrt[n]{64}}{3}\right] \xlongequal[\tiny\mbox{代换}]{\tiny\mbox{等价}} \mathrm{exp}\left[\lim_{n\to\infty}(2n+1)\frac{\sqrt[n]{64}-1}{3}\right]\\\\ =&\mathrm{exp}\left[\lim_{n\to\infty}(2n+1)\frac{\mathrm{e}^{\frac{1}{n}\ln 64}-1}{3}\right] \xlongequal[\tiny\mbox{代换}]{\tiny\mbox{等价}} \mathrm{exp}\left[\lim_{n\to\infty}(2n+1) \frac{\ln 64}{3n}\right]\\\\ =&\mathrm{exp}\left[\frac{2}{3}\cdot 6\ln 2\right]=16. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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92、 (2)、 证明: 数列

$$\begin{aligned} a_n=1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}-\ln n \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

收敛. (中国科学院大学2023年数学分析考研试题) [数列极限 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由

$$\begin{aligned} a_{n+1}-a_n=&\frac{1}{n+1}-\ln \left(1+\frac{1}{n}\right) < 0 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

知 $\displaystyle a_n\searrow$. 又由

$$\begin{aligned} \ln \left(1+\frac{1}{k}\right) < \frac{1}{k}, 1\leq k\leq n. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

相加即知

$$\begin{aligned} 0 < \ln (n+1)-\ln n < a_n. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

据单调有界定理知 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n$ 存在.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/