张祖锦常用结论05维数公式

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张祖锦常用结论维数公式 $\displaystyle \dim \ker\mathscr{A }+\dim \mathrm{im} \mathscr{A}=n$ 的证明过程非常有用

设 $\displaystyle U,V$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{F}$ 上的线性空间, $\displaystyle \dim U=n$, $\displaystyle \mathscr{A}: U\to V$ 是线性映射, 则

$$\begin{aligned} \dim \ker \mathscr{A}+\dim \mathrm{im} \mathscr{A}=n. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle \varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_r$ 是 $\displaystyle \ker \mathscr{A}$ 的一组基, 将其扩充为 $\displaystyle U$ 的一组基 $\displaystyle \varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n$, 则由

$$\begin{aligned} &\sum_{i=r+1}^n k_i\mathscr{A}\varepsilon_i=0\Rightarrow \mathscr{A}\left(\sum_{i=r+1}^n k_i\varepsilon_i\right)=0 \Rightarrow \sum_{i=r+1}^n k_i\varepsilon_i\in \ker \mathscr{A}\\\\ \Rightarrow& \exists\ 1\leq i\leq r,\mathrm{ s.t.} \sum_{i=r+1}^n k_i\varepsilon_i =-\sum_{i=1}^r k_i\varepsilon_i \Rightarrow k_i=0 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

知 $\displaystyle \mathscr{A}\varepsilon_{r+1},\cdots,\mathscr{A}\varepsilon_n$ 线性无关, 而是 $\displaystyle \mathrm{im} \mathscr{A}$ 的一组基. 于是

$$\begin{aligned} \dim \ker \mathscr{A}+\dim \mathrm{im} \mathscr{A}=r+(n-r)=n. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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