张祖锦常用结论02摄动法示例

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张祖锦常用结论02摄动法示例

设 $\displaystyle |A|=|a_{ij}|$ 是一个 $\displaystyle n$ 阶行列式, $\displaystyle A_{ij}$ 是它的 $\displaystyle (i,j)$ 元素的代数余子式, 求证:

$$\begin{aligned} \left|\begin{array}{cccccccccc}A&x\\\\ y^\mathrm{T}&1\end{array}\right|=|A|-\sum_{i,j=1}^n A_{ij}x_iy_j, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

其中

$$\begin{aligned} x=(x_1,\cdots,x_n)^\mathrm{T}, y=(y_1,\cdots,y_n)^\mathrm{T}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /

(1)、 当 $\displaystyle A$ 可逆时,

$$\begin{aligned} \mbox{左端}&=\left|\begin{array}{cccccccccc}A&x\\\\ y^\mathrm{T}&1\end{array}\right|=|A|\left(1-y^\mathrm{T} A^{-1}x\right) =|A|-y^\mathrm{T} A^\star x =|A|-\sum_{i,j}y_j A_{ij}x_i. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

(2)、 当 $\displaystyle A$ 不可逆时, 设 $\displaystyle A$ 的非零特征值为 $\displaystyle \lambda_1,\cdots,\lambda_s$, 则对 (注意: 任意数域都包含有理数域)

$$\begin{aligned} \forall\ \varepsilon\in \left(0,\min_{1\leq i\leq s}|\lambda_i|\right)\cap \mathbb{Q}, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

$\displaystyle A^\varepsilon=A+\varepsilon E$ 可逆, 而由第 1 步知

$$\begin{aligned} \left|\begin{array}{cccccccccc}A^\varepsilon&x\\\\ y^\mathrm{T}&1\end{array}\right|=|A^\varepsilon|-\sum_{i,j}A^\varepsilon_{ij}x_iy_j. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

令 $\displaystyle \varepsilon\to 0^+$ 即知

$$\begin{aligned} \left|\begin{array}{cccccccccc}A&x\\\\ y^\mathrm{T}&1\end{array}\right|=|A|-\sum_{i,j=1}^n A_{ij}x_iy_j. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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