P407练习2

zhangzujin

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P407练习2

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设

$$\begin{aligned} x_1=\frac{1}{2}, x_{n+1}=\frac{1}{2}-\frac{x_n^2}{2}\left(n=1,2,\cdots\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

(1)、 试证极限 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n=A$ 存在, 有限;

(2)、 证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty (x_n-A)$ 绝对收敛. (华中师范大学)

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(1)、 由数学归纳法知

$$\begin{aligned} &0 < x_n\leq\frac{1}{2}\Rightarrow |x_n+x_{n+1}|\leq 1\\\\ \Rightarrow&|x_{n+1}-x_n| =\frac{1}{2}|x_n^2-x_{n-1}^2| \leq \frac{1}{2}|x_n-x_{n-1}|\leq \cdots \leq\frac{1}{2^{n-2}}|x_2-x_1|\\\\ \Rightarrow&|x_{n+p}-x_n|\leq \sum_{k=n}^{n+p-1}|x_{k+1}-x_k| \leq\sum_{k=n}^\infty \frac{1}{2^{k-1}}|x_2-x_1| =\frac{1}{2^{n-2}}|x_2-x_1|\left(n\to\infty\right)\\\\ \Rightarrow&\lim_{n\to\infty}x_n=A\mbox{存在}\Rightarrow A=\frac{1}{2}-\frac{A^2}{2}\Rightarrow A=\sqrt{2}-1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

(2)、 由

$$\begin{aligned} \frac{|x_{n+1}-A|}{|x_n-A|}=\frac{\left|\frac{1}{2}-\frac{x_n^2}{2}-\left(\frac{1}{2}-\frac{A^2}{2}\right)\right|}{|x_n-A|} =\frac{|x_n+A|}{2}\xrightarrow{n\to\infty}|A| < 1 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

及 D'Alembert 判别法知级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty (x_n-A)$ 绝对收敛.

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