P317练习3

zhangzujin

手机查看请在浏览器中打开, 到了支付页面请截图, 并用支付宝或微信扫描之, 稍等后获得金钱, 即可购买. 偶偶因为网络问题充值不成功, 请与微信 pdezhang 联系, 发送论坛昵称与付款时间即可处理, 稍安勿躁. 购买后刷新网页才能正常显示数学公式.

---

P317练习3

设 $\displaystyle x\neq 0$, $\displaystyle f(x)=\int_0^x \sin\frac{1}{t}\mathrm{ d} t$, $\displaystyle f(0)=0$, 求证: $\displaystyle f'(0)=0$. (北京大学习题)

购书 / 答疑 / pdf1 / pdf2 /

$$\begin{aligned} \mbox{原式}=&\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0} =\lim_{x\to 0} \int_0^x t^2\cdot \frac{1}{t^2}\sin\frac{1}{t}\mathrm{ d} t =\lim_{x\to 0}\frac{1}{x}\int_0^x t^2\mathrm{ d} \cos\frac{1}{t}\\\\ &=\lim_{x\to 0}\frac{1}{x} \left[\left.t^2\cos\frac{1}{t}\right|_0^x -\int_0^x 2t\cos\frac{1}{t} \mathrm{ d} t\right] =\lim_{x\to 0}\frac{1}{x}\left[x^2\cos\frac{1}{x} -2\int_0^x t\cos\frac{1}{t}\mathrm{ d} t\right]\\\\ &\xlongequal[\tiny\mbox{分中值}]{\tiny\mbox{第一积}}\lim_{x\to 0}\left[x\cos \frac{1}{x}-\frac{2}{x}\cos\frac{1}{\xi_x} \int_0^x t\mathrm{ d} t\right] =\lim_{x\to 0}\left[x\cos\frac{1}{x}-x\cos\frac{1}{\xi_x}\right] \xlongequal[\tiny\mbox{无穷小}]{\tiny\mbox{有界 $\displaystyle \cdot$}} 0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

跟锦数学微信公众号. 在线资料 / 公众号 / 资料目录 / 视频 / 微信群