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第02章四个重要的线性 PDE

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发表于 2023-5-27 15:11:34 | 显示全部楼层 |阅读模式

1、 本章介绍四个基本的线性 PDE:

(1)、 $\displaystyle \S 2.1$ 的传输方程

$$\begin{aligned} u_t+b\cdot Du=0, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

(2)、 $\displaystyle \S 2.2$ 的 Laplace 方程

$$\begin{aligned} \Delta u=0, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

(3)、 $\displaystyle \S 2.3$ 的热传导方程

$$\begin{aligned} u_t-\Delta u=0, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

(4)、 $\displaystyle \S 2.4$ 的波动方程

$$\begin{aligned} u_{tt}-\Delta u=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

它们的解都有明确的表达式.


2、 阅读本节之前请先看看附录 B,C 中关于不等式、分部积分、Green 公式, 卷积等的讨论. 其他的可以需要的时候再翻阅.

传输方程(2.1)


1、 最简单的 PDE 非’带常系数的传输方程‘莫属, 其具有形式

$$\begin{equation}\tag{02-1-01}\label{02-1-01}\begin{aligned} u_t+b\cdot Du=0, (x,t)\in\mathbb{R}^n\times (0,\infty). \end{aligned}\end{equation}$$
这里,

(1)、 $\displaystyle b=(b_1,\cdots,b_n)$$\displaystyle \mathbb{R}^n$ 中的常向量,

(2)、 $\displaystyle u=u(x,t): \mathbb{R}^n\times [0,\infty)\to \mathbb{R}$ 是未知函数,

$$\begin{aligned} Du=(u_{x_1},\cdots,u_{x_n}) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

为其关于空间变量 $\displaystyle x$ 的梯度.

(3)、 $\displaystyle x=(x_1,\cdots,x_n)\in\mathbb{R}^n$$\displaystyle \mathbb{R}^n$ 中的点,

(4)、 $\displaystyle t\geq 0$ 表示时间.


2、 怎么求解 $\displaystyle \eqref{02-1-01}$ 呢? 为此, 我们先假设 $\displaystyle u$ 是光滑的, 而尝试去求解它. 我们观察到 $\displaystyle \eqref{02-1-01}$ 蕴含了 $\displaystyle u$ 的某个时空方向导数为 $\displaystyle 0$. 事实上, 固定 $\displaystyle (x,t)\in \mathbb{R}^n\times (0,\infty)$, 并定义

$$\begin{aligned} z(s): =u(x+sb,t+s)\left(s\in\mathbb{R}\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \dot z(s)=Du(x+sb,t+s)\cdot b+u_t(x+sb,t+s)\stackrel{\eqref{02-1-01}}{=}0\left(\overset{\cdot}{ }=\frac{\mathrm{ d}}{\mathrm{ d} s}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

如此, $\displaystyle z(\cdot)$ 关于 $\displaystyle s$ 是常函数. 设 $\displaystyle \ell$ 为过 $\displaystyle (x,t)$、方向向量为 $\displaystyle \left(b,1\right)\in\mathbb{R}^{n+1}$ 的直线, 若已知 $\displaystyle u$$\displaystyle \ell$ 上某点的值, 则知 $\displaystyle u$$\displaystyle \ell$ 上任一点的值.

初值问题(2.1.1)


1、 为确定起见, 我们考虑如下初值问题

$$\begin{equation}\tag{02-1-02}\label{02-1-02}\begin{aligned} \left\{\begin{array}{llllllllllll}u_t+b\cdot Du=0,&(x,t)\in\mathbb{R}^n\times (0,\infty),\\ u|_{t=0}=g,&x\in\mathbb{R}^n.\end{array}\right. \end{aligned}\end{equation}$$
这里 $\displaystyle b\in\mathbb{R}^n$, $\displaystyle g: \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$ 已知, 问题在于解出 $\displaystyle u$. 对任意固定的 $\displaystyle (x,t)$, $\displaystyle \ell$ 的参数方程为
$$\begin{aligned} (x+sb,t+s), s\in\mathbb{R}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

而当 $\displaystyle s=-t$ 时, $\displaystyle \ell$ 交’平面‘ $\displaystyle \varGamma: =\mathbb{R}^n\times \left\{t=0\right\}$ 于点 $\displaystyle (x-tb,0)$. 因为 $\displaystyle U$$\displaystyle \ell$ 上为常数, 我们知

$$\begin{equation}\tag{02-1-03}\label{02-1-03}\begin{aligned} u(x,t)=u(x-tb,0)=g(t-tb)\left(x\in\mathbb{R}^n, t\geq 0\right). \end{aligned}\end{equation}$$
如此, 只要 $\displaystyle \eqref{02-1-02}$ 的解 $\displaystyle u$ 足够光滑, 那么它就由 $\displaystyle \eqref{02-1-03}$ 给出. 反过来, 容易知道, 如果 $\displaystyle g\in C^1$, 则由 $\displaystyle \eqref{02-1-03}$ 给出的 $\displaystyle u$ 就是 $\displaystyle \eqref{02-1-02}$ 的解.


2、 弱解. 如果 $\displaystyle g\not\in C^1$, 则 $\displaystyle \eqref{02-1-02}$ 没有 $\displaystyle C^1$ 解. 即便如此, $\displaystyle \eqref{02-1-03}$ 还是给出了 $\displaystyle \eqref{02-1-02}$ 的一个’在某种意义下‘满足方程 $\displaystyle \eqref{02-1-02}$ 的解. 我们称之为弱解. 即使 $\displaystyle g$ 不连续,

$$\begin{aligned} u(x,t)=u(x-tb,0)=g(t-tb)\left(x\in\mathbb{R}^n, t\geq 0\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

还是有意义的. 这种 PDE 的不光滑、甚至不连续的解将在 $\displaystyle \S 3.4$ 研究非线性传输现象中再次出现.

非齐次问题(2.1.2)


1、 现在我们考查相应的非齐次问题

$$\begin{equation}\tag{02-1-04}\label{02-1-04}\begin{aligned} \left\{\begin{array}{llllllllllll}u_t+b\cdot Du=f,&(x,t)\in\mathbb{R}^n\times (0,\infty),\\ u|_{t=0}=g,&x\in\mathbb{R}^n.\end{array}\right. \end{aligned}\end{equation}$$
仍固定 $\displaystyle (x,t)\in\mathbb{R}^n\times (0,\infty)$, 定义
$$\begin{aligned} z(s): =u(x+sb,t+s), s\in\mathbb{R} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

后,

$$\begin{aligned} \dot z(s)=&Du(x+sb,t+s)\cdot b+u_t(x+sb,t+s)=f(x+sb,t+s). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

从而

$$\begin{aligned} &u(x,t)-g(x-tb)=z(0)-z(-t)=\int_{-t}^0 \dot z(s)\mathrm{ d} s\\ =&\int_{-t}^0 f(x+sb,t+s)\mathrm{ d} s =\int_0^t f\left(x+(s-t)b,s\right)\mathrm{ d} s. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

此即

$$\begin{equation}\tag{02-1-05}\label{02-1-05}\begin{aligned} u(x,t)=g(x-tb)+\int_0^t f\left(x+(s-t)b,s\right)\mathrm{ d} s\left(x\in\mathbb{R}^n, t\geq 0\right). \end{aligned}\end{equation}$$
它就是 $\displaystyle \eqref{02-1-04}$ 的解.


2、 我们将在 $\displaystyle \S 2.4.1$ 中用上述公式求解一维波动方程.


3、 注记. 注意到我们在推导 $\displaystyle \eqref{02-1-03}, \eqref{02-1-05}$ 时, 是将 PDE 转化为了 ODE. 这其实是后面 $\displaystyle \S 3.2$ 特征线法的特例.

Laplace 方程(2.2)


1、 所有 PDE 中最终的无疑是 Laplace 方程

$$\begin{equation}\tag{02-2-01}\label{02-2-01}\begin{aligned} \Delta u=0 \end{aligned}\end{equation}$$
和 Poisson 方程 (为了与第 6 章一般二阶椭圆型方程类比, 我们在 $\displaystyle \Delta$ 前加了一个负号)
$$\begin{equation}\tag{02-2-02}\label{02-2-02}\begin{aligned} -\Delta u=f. \end{aligned}\end{equation}$$

(1)、 在 $\displaystyle \eqref{02-2-01}, \eqref{02-2-02}$ 中, $\displaystyle U\subset \mathbb{R}^n$ 是给定的开集, $\displaystyle u=u(x): \overline{U}\to \mathbb{R}$ 是未知函数.

(2)、 在 $\displaystyle \eqref{02-2-02}$ 中, $\displaystyle f: U\to \mathbb{R}$ 也是给定的.

(3)、 如附录 A.3 那样, Laplace 算子为

$$\begin{aligned} \Delta u=\sum_{i=1}^n u_{x_ix_i}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$


2、 定义. 满足 $\displaystyle \eqref{02-2-01}$$\displaystyle C^2$ 函数 $\displaystyle u$ 称为调和函数.


3、 物理解释. Laplace 方程源自诸多物理背景. 下面给出其中的一个解释. 设 $\displaystyle u$ 表示某个物理量 (比如化学浓度) 的稳态分布, 则对 $\displaystyle U$ 的任一光滑子区域 $\displaystyle V$, 通过 $\displaystyle \partial V$ 的净通量为 $\displaystyle 0$:

$$\begin{aligned} \int_{\partial V}\vec{F}\cdot \vec{\nu}\mathrm{ d} S=0, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

其中 $\displaystyle \vec{F}$ 表示通量密度, $\displaystyle \nu$ 是单位外法向量. 由 $\displaystyle \S C.2$ 的 Gauss-Green 公式知

$$\begin{aligned} \int_V \mathrm{ div} \vec{F}\mathrm{ d} x=\int_{\partial V}\vec{F}\cdot \vec{\nu}\mathrm{ d} S=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

$\displaystyle V$ 的任意性知

$$\begin{equation}\tag{02-2-03}\label{02-2-03}\begin{aligned} \mathrm{ div}\vec{F}=0, x\in U. \end{aligned}\end{equation}$$
很多物理现象中, 通量密度 $\displaystyle \vec{F}$$\displaystyle u$ 的梯度 $\displaystyle Du$ 成比例, 但方向相反 (为啥? 流体总是从密度高的地方流向密度低的地方), 也即
$$\begin{equation}\tag{02-2-04}\label{02-2-04}\begin{aligned} \vec{F}=-aDu\left(a\gt 0\right). \end{aligned}\end{equation}$$
将上式代入 $\displaystyle \eqref{02-2-03}$ 即得 Laplace 方程
$$\begin{aligned} \mathrm{ div}(Du)=\Delta u=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

(1)、 若 $\displaystyle u$ 表示化学浓度时, $\displaystyle \eqref{02-2-04}$ 就是 Fick 扩散定律,

(2)、 若 $\displaystyle u$ 表示温度时, $\displaystyle \eqref{02-2-04}$ 就是 Fourier 冷却 (热传导) 定律,

(3)、 若 $\displaystyle u$ 表示静电势时, $\displaystyle \eqref{02-2-04}$ 就是 Ohm 传导定律.

看看 文献 Feynman, Richard P.; Leighton, Robert B.; Sands, Matthew. The Feynman lectures on physics. Vol. 2: Mainly electromagnetism and matter. Addison-Wesley Publishing Co., Inc., Reading, Mass.-London 1964. 第 12 章, 你会发现 Laplace 方程在数学物理中无处不在. 当然, 在研究解析函数与布朗运动时, 也会有 Laplace 方程的影子.

基本解 (2.2.1)

基本解的推导


1、 求解任一 PDE 的一个好策略是先求出一些精确的解. 如果方程是线性的, 则可通过这些精确解得到所有的解! 而寻找的精确解通常具有某些对称性. 注意到 Laplace 方程在旋转下不变 (见问题 2), 这启发我们首先寻找对称解, 也即仅依赖于 $\displaystyle r=|x|$ 的解.


2、 令 $\displaystyle U=\mathbb{R}^n$, 我们尝试着找出 $\displaystyle \eqref{02-2-01}$ 的具有如下形式的解:

$$\begin{aligned} u(x)=v(r), r=|x|=\sqrt{x_1^2+\cdots+x_n^2}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \frac{\partial r}{\partial x_i}=\frac{1}{2}(x_1^2+\cdots+x_n^2)^{-\frac{1}{2}}\cdot 2x_i=\frac{x_i}{r}\left(x\neq 0\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

$$\begin{aligned} u_{x_i}=v'(r)\frac{x_i}{r}, u_{x_ix_i}=v''(r)\frac{x_i^2}{r^2}+v'(r) \left(\frac{1}{r}-\frac{x_i^2}{r^3}\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

$\displaystyle i=1,\cdots,n$. 从而

$$\begin{aligned} \Delta u=v''(r)+\frac{n-1}{r}v'(r). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

于是 $\displaystyle \Delta u=0$ 等价于

$$\begin{equation}\tag{02-2-05}\label{02-2-05}\begin{aligned} v''+\frac{n-1}{r}v'=0. \end{aligned}\end{equation}$$
如果 $\displaystyle v'\neq 0$, 则
$$\begin{aligned} \left[\ln\left(|v'|\right)\right]'=\frac{v''}{v'}=\frac{1-n}{r}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

从而存在某个常数 $\displaystyle a$ 使得 $\displaystyle v'(r)=\frac{a}{r^{n-1}}$. 如此, 当 $\displaystyle r\gt 0$ 时, 我们有

$$\begin{aligned} v(r)=\left\{\begin{array}{llllllllllll}b\ln r+c,&n=2,\\ \frac{b}{r^{n-2}}+c, &n\gt 3,\end{array}\right. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

其中 $\displaystyle b,c$ 为常数. 以上推导过程诱导我们引出


3、 定义. 定义在 $\displaystyle \mathbb{R}^n\backslash\left\{0\right\}$ 上的函数

$$\begin{equation}\tag{02-2-06}\label{02-2-06}\begin{aligned} \varPhi(x): =\left\{\begin{array}{llllllllllll}-\frac{1}{2\pi}\ln |x|,&n=2,\\ \frac{1}{n(n-2)\alpha(n)|x|^{n-2}},&n\gt 3\end{array}\right. \end{aligned}\end{equation}$$
称为 Laplace 方程的基本解.


4、 为啥 $\displaystyle \eqref{02-2-06}$ 中的常数如此选择过会你马上就会知道. 这里 $\displaystyle \alpha(n)$ 表示 $\displaystyle \mathbb{R}^n$ 中单位球的体积, 见附录 $\displaystyle \S A.2$.


5、 为了强调基本解的对称性, 我们有时也将 $\displaystyle \varPhi(x)$ 写成 $\displaystyle \varPhi(|x|)$. 另外, 我们有估计

$$\begin{equation}\tag{02-2-07}\label{02-2-07}\begin{aligned} |D\varPhi(x)|\leq \frac{C}{|x|^{n-1}}, |D^2\varPhi(x)|\leq\frac{C}{|x|^n}\left(x\neq 0\right), \end{aligned}\end{equation}$$
其中 $\displaystyle C$ 为一正常数.

Poisson 方程


1、 由上述构造我们知 $\displaystyle x\mapsto \varPhi(x)$$\displaystyle \mathbb{R}^n\backslash \left\{0\right\}$ 上调和. 将原点平移至 $\displaystyle y\in\mathbb{R}^n$, 我们知方程 $\displaystyle \eqref{02-2-01}$ 是不变的, 而 $\displaystyle x\mapsto \varPhi(x-y)$$\displaystyle \mathbb{R}^n\backslash\left\{y\right\}$ 上调和. 取定 $\displaystyle f: \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$ 后, 我们知

$$\begin{aligned} x\mapsto \varPhi(x-y)f(y) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

$\displaystyle \mathbb{R}^n\backslash\left\{y\right\}$ 上调和. 从而

$$\begin{aligned} x\mapsto \sum_{i=1}^m\varPhi(x-y_i)f(y_i) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

$\displaystyle \mathbb{R}^n\left\{y_1,\cdots,y_m\right\}$ 上调和, 其中 $\displaystyle y_1,\cdots,y_m$$\displaystyle \mathbb{R}^n$$\displaystyle m$ 个互异的点.


2、 上述推理过程引导我们证明

$$\begin{equation}\tag{02-2-08}\label{02-2-08}\begin{aligned} u(x)=&\int_{\mathbb{R}^n}\varPhi(x-y)f(y)\mathrm{ d} y\\ =&\left\{\begin{array}{llllllllllll}-\frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{R}^2}\ln |x-y|f(y)\mathrm{ d} y,&n=2,\\ \frac{1}{n(n-2)\alpha(n)}\int_{\mathbb{R}^n}\frac{f(y)}{|x-y|^{n-2}}\mathrm{ d} y,&n\gt 3\end{array}\right. \end{aligned}\end{equation}$$
就是 Laplace 方程 $\displaystyle \eqref{02-2-01}$ 的解. 但这并不对. 因为 $\displaystyle \eqref{02-2-07}$ 蕴含 $\displaystyle D^2\varPhi(x-y)$ 在其瑕点 $\displaystyle x=y$ 附近不是可和的 (Lebesgue 可积的), 所以单纯地积分号下求导是不严格的, 也是不对的. 我们要严格地计算 $\displaystyle \Delta u$!


3、 为方便起见, 我们设 $\displaystyle f\in C_c^2(\mathbb{R}^2)$, 也即 $\displaystyle f$ 是具有紧支集的、二次连续可微函数.


4、 定理 1. (Poisson 方程的解) 设 $\displaystyle u$$\displaystyle \eqref{02-2-08}$ 给出, 则

(1)、 $\displaystyle u\in C^2(\mathbb{R}^n)$,

(2)、 $\displaystyle -\Delta u=f, x\in \mathbb{R}^n$.

如此, $\displaystyle \eqref{02-2-08}$ 就给出了 $\displaystyle \mathbb{R}^n$ 上 Poisson 方程的求解公式.

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /

(1)、 首先我们有

$$\begin{equation}\tag{02-2-09}\label{02-2-09}\begin{aligned} u(x)=\int_{\mathbb{R}^n}\varPhi(x-y)f(y)\mathrm{ d} y=\int_{\mathbb{R}^n}\varPhi(y)f(x-y)\mathrm{ d} y, \end{aligned}\end{equation}$$
$$\begin{aligned} \frac{u(x+he_i)-h(x)}{h}=\int_{\mathbb{R}^n}\varPhi(y)\left[\frac{f(x+he_i-y)-f(x-y)}{h}\right]\mathrm{ d} y, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

其中 $\displaystyle h\neq 0, e_i=(\underbrace{0,\cdots,0,1}_i,0,\cdots,0)$. 因为

$$\begin{aligned} \frac{f(x+he_i-y)-f(x-y)}{h}\stackrel{h\to 0}{\rightrightarrows} f_{x_i}(x-y),\mbox{于}\mathbb{R}^n, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

我们得到

$$\begin{aligned} u_{x_i}(x)=\int_{\mathbb{R}^n} \varPhi(y)f_{x_i}(x-y)\mathrm{ d} y\left(i=1,\cdots,n\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

类似的,

$$\begin{equation}\tag{02-2-10}\label{02-2-10}\begin{aligned} u_{x_ix_j}(x)=\int_{\mathbb{R}^n}\varPhi(y)f_{x_ix_j}(x-y)\mathrm{ d} y\left(i,j=1,\cdots,n\right). \end{aligned}\end{equation}$$
由于 $\displaystyle \eqref{02-2-10}$ 右端的被积函数关于 $\displaystyle x$ 是连续的, 我们知 $\displaystyle u\in C^2(\mathbb{R}^n)$.

(2)、 因为 $\displaystyle \varPhi$ 在原点爆破, 在下面的计算过程中, 我们要挖掉含该奇点的一个小球. 固定 $\displaystyle \varepsilon\gt 0$, 我们有

$$\begin{equation}\tag{02-2-11}\label{02-2-11}\begin{aligned} \Delta u(x)=&\int_{B(0,\varepsilon)}\varPhi(y)\Delta_xf(x-y)\mathrm{ d} y +\int_{\mathbb{R}^n\backslash B(0,\varepsilon)}\varPhi(y)\Delta_xf(x-y)\mathrm{ d} y\\ =: &I_\varepsilon+J_\varepsilon. \end{aligned}\end{equation}$$
$\displaystyle \varPhi$ 的表达式知
$$\begin{equation}\tag{02-2-12}\label{02-2-12}\begin{aligned} |I_\varepsilon|\leq C\left\Vert D^2f\right\Vert _{L^\infty(\mathbb{R}^n)} \int_{B(0,\varepsilon)}|\varPhi(y)|\mathrm{ d} y \leq \left\{\begin{array}{llllllllllll}C\varepsilon^2|\ln \varepsilon|,&n=2,\\ C\varepsilon^2,&n\gt 3.\end{array}\right. \end{aligned}\end{equation}$$
而对 $\displaystyle J_\varepsilon$, $\displaystyle \S C.2$ 的分部积分公式蕴含
$$\begin{equation}\tag{02-2-13}\label{02-2-13}\begin{aligned} J_\varepsilon=&\int_{\mathbb{R}^n\backslash B(0,\varepsilon)}\varPhi(y)\Delta_yf(x-y)\mathrm{ d} y\\ =&-\int_{\mathbb{R}^n\backslash B(0,\varepsilon)}D\varPhi(y)\cdot D_yf(x-y)\mathrm{ d} y +\int_{\partial B(0,\varepsilon)} \varPhi(y)\frac{\partial f}{\partial \vec{\nu}}(x-y)\mathrm{ d} S(y)\\ =: &K_\varepsilon+L_\varepsilon, \end{aligned}\end{equation}$$
其中 $\displaystyle \vec{\nu}$$\displaystyle \partial B(0,\varepsilon)$ 的单位内法向量. 容易验证
$$\begin{equation}\tag{02-2-14}\label{02-2-14}\begin{aligned} |L_\varepsilon|\leq \left\Vert Df\right\Vert _{L^\infty(\mathbb{R}^n)} \int_{\partial B(0,\varepsilon)}|\varPhi(y)|\mathrm{ d} S(y) \leq \left\{\begin{array}{llllllllllll}C\varepsilon |\ln \varepsilon|, &n=2,\\ C\varepsilon,&n\gt 3.\end{array}\right. \end{aligned}\end{equation}$$

(3)、 对 $\displaystyle K_\varepsilon$, 我们再做一次分部积分得到

$$\begin{aligned} K_\varepsilon=&\int_{\mathbb{R}^n\backslash B(0,\varepsilon)}\Delta \varPhi(y)f(x-y)\mathrm{ d} y -\int_{\partial B(0,\varepsilon)}\frac{\partial\varPhi}{\partial \vec{\nu}}(y)f(x-y)\mathrm{ d} S(y)\\ =&-\int_{\partial B(0,\varepsilon)}\frac{\partial\varPhi}{\partial \vec{\nu}}(y)f(x-y)\mathrm{ d} S(y), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

其中最后一步是因为 $\displaystyle \varPhi$ 除了原点为调和. 于是

$$\begin{aligned} &\left\{\begin{array}{llllllllllll}D\varPhi(y)=\frac{-1}{n\alpha(n)}\frac{y}{|y|^n}\left(y\neq 0\right)\\ \vec{\nu}=\frac{-y}{|y|}=-\frac{y}{\varepsilon}, y\in \partial B(0,\varepsilon)\end{array}\right.\\ \Rightarrow&\frac{\partial \varPhi}{\partial \vec{\nu}}(y) =\vec{\nu}\cdot D\varPhi(y) =\frac{1}{n\alpha(n)\varepsilon^{n-1}}, y\in \partial B(0,\varepsilon) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

蕴含

$$\begin{equation}\tag{02-2-15}\label{02-2-15}\begin{aligned} K_\varepsilon=&-\frac{1}{n\alpha(n)\varepsilon^{n-1}}\int_{\partial B(0,\varepsilon)}f(x-y)\mathrm{ d} S(y)\\ =&-\frac{1}{n\alpha(n)\varepsilon^{n-1}}\int_{B(x,\varepsilon)}f(y)\mathrm{ d} S(y) \xrightarrow{\varepsilon\to 0}-f(x). \end{aligned}\end{equation}$$

(4)、 联合 $\displaystyle \eqref{02-2-11}-\eqref{02-2-15}$, 并令 $\displaystyle \varepsilon\to 0$ 即得所证 $\displaystyle -\Delta u(x)=f(x)$.

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5、 对光滑性没那么高的 $\displaystyle f$, 定理 1 也是对的. 见 文献 Gilbarg, David; Trudinger, Neil S. Elliptic partial differential equations of second order. Second edition. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften -Fundamental Principles of Mathematical Sciences-, 224. Springer-Verlag, Berlin, 1983..


6、 基本解的解释. 我们有时写成

$$\begin{aligned} -\Delta\varPhi=\delta_0, x\in\mathbb{R}^n, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

其中 $\displaystyle \delta_0$$\displaystyle \mathbb{R}^n$ 上的只在原点赋以单位质量的 Dirac 测度. 利用这个记号, 我们可形式地计算如下

$$\begin{aligned} -\Delta u(x)=&\int_{\mathbb{R}^n}-\Delta_x \varPhi(x-y)f(y)\mathrm{ d} y\\ =&\int_{\mathbb{R}^n}\delta_x f(y)\mathrm{ d} y=f(x)\left(x\in\mathbb{R}^n\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

这与定理 1 相合.

平均值公式 (2.2.2)


1、 假设 $\displaystyle U\subset \mathbb{R}^n$ 是开集, $\displaystyle u: U\to\mathbb{R}$ 是调和函数. 我们将推导一个重要的平均值定理, 也即: 只要 $\displaystyle B(x,r)\subset U$, 则 $\displaystyle u(x)$ 等于 $\displaystyle u$ 在球面 $\displaystyle \partial B(x,r)$ 上的积分平均, 也等于 $\displaystyle u$ 在球 $\displaystyle B(x,r)$ 上的积分平均. 我们将立马看到它能引出许多重要结果.


2、 定理 2. (Laplace 方程的平均值定理). 设 $\displaystyle u\in C^2(U)$ 是调和的, 则对 $\displaystyle \forall\ B(x,r)\subset U$,

$$\begin{equation}\tag{02-2-16}\label{02-2-16}\begin{aligned} u(x)=\frac{1}{n\alpha(n)r^{n-1}}\int_{\partial B(x,r)}u\mathrm{ d} S =\frac{1}{\alpha(n)r^n}\int_{B(x,r)}u\mathrm{ d} y. \end{aligned}\end{equation}$$

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(1)、 设

$$\begin{aligned} \phi(r): =&\frac{1}{n\alpha(n)r^{n-1}}\int_{\partial B(x,r)}u(y)\mathrm{ d} S(y)\\ =&\frac{1}{n\alpha(n)}\int_{\partial B(0,1)}u(x+rz)\mathrm{ d} S(z). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \phi'(r)=\frac{1}{n\alpha(n)}\int_{\partial B(0,1)}Du(x+rz)\cdot z\mathrm{ d} S(z). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

利用 $\displaystyle \S C.2$ 的 Green 公式得

$$\begin{aligned} \phi'(r)=&\frac{1}{n\alpha(n)r^{n-1}}\int_{\partial B(x,r)}Du(y)\cdot \frac{y-x}{r}\mathrm{ d} S(y)\\ =&\frac{1}{n\alpha(n)r^{n-1}}\int_{\partial B(x,r)}\frac{\partial u}{\partial \vec{\nu}}\mathrm{ d} S(y)\\ =&\frac{1}{n\alpha(n)r^{n-1}}\int_{B(x,r)}\Delta u(y)\mathrm{ d} y=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

这表明 $\displaystyle \phi$ 是常值函数,

$$\begin{aligned} \phi(r)=\lim_{t\to 0}\phi(t)=\lim_{t\to 0}\left[\frac{1}{n\alpha(n)t^{n-1}} \int_{\partial B(x,t)}u(y)\mathrm{ d} S(y)\right]=u(x). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

(2)、 利用 $\displaystyle \S C.3$ 的极坐标公式, 我们有

$$\begin{aligned} &\int_{B(x,r)}u\mathrm{ d} y =\int_0^r\left[\int_{\partial B(x,s)}u\mathrm{ d} S\right]\mathrm{ d} s\\ =&\int_0^r \left[u(x)\cdot n\alpha(n)s^{n-1}\right]\mathrm{ d} s =\alpha(n)r^n u(x). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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3、 定理 3. (平均值性质的逆命题). 设 $\displaystyle u\in C^2(U)$ 满足

$$\begin{aligned} u(x)=\frac{1}{n\alpha(n)r^{n-1}}\int_{\partial B(x,r)} u\mathrm{ d} S, \forall\ B(x,r)\subset U, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

$\displaystyle u$ 是调和的.

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 用反证法. 若 $\displaystyle \Delta u\not\equiv 0$, 则不妨设存在 $\displaystyle B(x,r)\subset U$ 使得

$$\begin{aligned} \Delta u\gt 0, \mbox{于}B(x,r). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

对前文定义的 $\displaystyle \phi$, 我们有

$$\begin{aligned} 0=\phi'(r)=\frac{1}{n\alpha(n)r^{n-1}}\int_{B(x,r)}\Delta u(y)\mathrm{ d} y\gt 0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

这是一个矛盾. 故有结论. 跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

调和函数的性质 (2.2.3)


1、 现在我们来推导调和函数的一系列重要结论, 它们都是基于平均值公式. 以下总假设 $\displaystyle U\subset \mathbb{R}^n$ 是有界开集.

强极大模原理, 唯一性


1、 我们首先证明

(1)、 调和函数 $\displaystyle u$ 的最大值必在边界上达到;

(2)、 若 $\displaystyle U$ 是连通的, $\displaystyle u$ 是非常数的调和函数, 则它的最大值不能在内部达到.


2、 定理 4. (强最大模原理). 设 $\displaystyle u\in C^2(U)\cap C(\overline{U})$$\displaystyle U$ 上是调和的.

(1)、 则

$$\begin{aligned} \max_{\overline{U}}u=\max_{\partial U}u. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

(2)、 如果 $\displaystyle U$ 是连通的, 则

$$\begin{aligned} \exists\ x_0\in U, \mathrm{ s.t.} u(x_0)=\max_{\overline{U}}u, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

$\displaystyle u$ 为常值函数.

论断 (1) 称为 Laplace 方程的最大模原理, 论断 (2) 称为强最大模原理. 用 $\displaystyle -u$ 代替 $\displaystyle u$ 后, 我们能得到关于 $\displaystyle u$ 的最小值的类似论断.

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(1)、 先证论断 (2). 设

$$\begin{aligned} \exists\ x_0\in U,\mathrm{ s.t.} u(x_0)=M: =\max_{\overline{U}}u, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

则由平均值公式知

$$\begin{aligned} \forall\ 0\lt r\lt \mathrm{dist}(x_0,\partial U),M=u(x_0)=\frac{1}{\alpha(n)r^n}\int_{B(x_0,r)}u\mathrm{ d} y\leq M. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

这蕴含 $\displaystyle u\equiv M$$\displaystyle B(x_0,r)$. 从而

$$\begin{aligned} \left\{x\in U; u(x)=M\right\} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

是开集, 且相对于 $\displaystyle U$ 是闭集. 由 $\displaystyle U$ 的连通性知它等于 $\displaystyle U$. 论断 (2) 就证明完了.

(2)、 论断 (1) 直接就是论断 (2) 的推论.

(2-1)、 若 $\displaystyle M=\max_{\overline{U}}u$$\displaystyle U$ 的内部取得, 则由第 1 步知 $\displaystyle u$ 为常值函数, 而 $\displaystyle \max_{\overline{U}}u=\max_{\partial U}u$.

(2-2)、 若 $\displaystyle M$$\displaystyle \partial U$ 上取得, 则自然有 $\displaystyle \max_{\overline{U}}u=\max_{\partial U}u$.

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3、 正性. 由强最大模原理我们有如下结果. 如果 $\displaystyle U$ 是连通的, 且 $\displaystyle u\in C^2(U)\cap C(\overline{U})$ 满足

$$\begin{aligned} \left\{\begin{array}{llllllllllll}\Delta u=0,&x\in U,\\ u=g,&x\in \partial U,\end{array}\right. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

其中 $\displaystyle g\gt 0$. 再设 $\displaystyle g$$\displaystyle \partial U$ 上某点大于 $\displaystyle 0$, 则 $\displaystyle u$$\displaystyle U$ 上处处大于 $\displaystyle 0$.

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 用反证法. 若 $\displaystyle u$$\displaystyle U$ 内某点 $\displaystyle x_0$$\displaystyle u(x_0)\leq 0$, 则 $\displaystyle \min_{\overline{U}}u$ 必在 $\displaystyle U$ 的内部达到. 由强大模原理知 $\displaystyle u$ 为常数. 这与’$u(x_0)\leq 0$, $\displaystyle g$$\displaystyle \partial U$ 上某点大于 $\displaystyle 0$‘矛盾. 故有结论. 跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/


4、 极大模原理的一个重要应用就是证明 Poisson 方程边值问题的唯一性.


5、 定理 5. (唯一性). 设 $\displaystyle g\in C(\partial U), f\in C(U)$, 则边值问题

$$\begin{equation}\tag{02-2-17}\label{02-2-17}\begin{aligned} \left\{\begin{array}{llllllllllll}-\Delta u=f,&x\in U,\\ u=g,&x\in \partial U\end{array}\right. \end{aligned}\end{equation}$$
至多只有一个 $\displaystyle C^2(U)\cap C(\overline{U})$ 解.

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle u$$\displaystyle \tilde{u}$ 都满足 $\displaystyle \eqref{02-2-17}$, 则 $\displaystyle w: =\pm(u-\tilde{u})$ 满足

$$\begin{aligned} \left\{\begin{array}{llllllllllll}\Delta w=0,&x\in U,\\ w=0,&x\in \partial U.\end{array}\right. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

由定理 4 知

$$\begin{aligned} 0=\min_{\partial U}w\leq \min_{\overline{U}}w\leq \max_{\overline{U}}w=\max_{\partial U}w=0 \Rightarrow w\equiv 0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

唯一性得证. 跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

正则性


1、 我们将证明如果 $\displaystyle u\in C^2$ 是调和的, 则 $\displaystyle u\in C^\infty$. 如此, 调和函数就无穷次可微了. 这种类型的断言称为正则性定理. 值得注意的是, 我们能从简单的

$$\begin{aligned} \Delta u=\sum_{i=1}^n u_{x_ix_i}=0 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

推导出 $\displaystyle u$ 的任意阶导数都存在, 即使它们本身不出现在上述方程中.


2、 定理 6. (光滑性). 设 $\displaystyle u\in C(U)$ 满足

$$\begin{aligned} u(x)=\frac{1}{n\alpha(n)r^{n-1}}\int_{\partial B(x,r)}u\mathrm{ d} S =\frac{1}{\alpha(n)r^n}\int_{B(x,r)}u\mathrm{ d} y, \forall\ B(x,r)\subset U, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

$\displaystyle u\in C^\infty(U)$. 注意: $\displaystyle u$$\displaystyle \partial U$ 上未必光滑, 甚至可能不连续.

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle \eta$$\displaystyle \S C.5$ 定义的标准磨光核, 它是径向对称的. 令

$$\begin{aligned} U_\varepsilon=&\left\{x\in U; \mathrm{dist}(x,\partial U)\gt \varepsilon\right\},\\ u^\varepsilon: =&\eta_\varepsilon\star u, x\in U_\varepsilon. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

$\displaystyle \S C.5$ 已经证明了 $\displaystyle u^\varepsilon\in C^\infty(U_\varepsilon)$. 我们将证明 $\displaystyle u\equiv u^\varepsilon, x\in U_\varepsilon$, 而得 $\displaystyle u$ 的光滑性. 事实上, 对 $\displaystyle x\in U_\varepsilon$,

$$\begin{aligned} u^\varepsilon(x)=&\int_U \eta_\varepsilon(x-y)u(y)\mathrm{ d} y\\ =&\frac{1}{\varepsilon^n}\int_{B(x,\varepsilon)}\eta\left(\frac{|x-y|}{\varepsilon}\right) u(y)\mathrm{ d} y\\ =&\frac{1}{\varepsilon^n}\int_0^\varepsilon \left[\eta\left(\frac{r}{\varepsilon}\right) \int_{\partial B(x,r)}u\mathrm{ d} S\right]\mathrm{ d} r\\ =&\frac{1}{\varepsilon^n}\int_0^\varepsilon \left[\eta\left(f{r}{\varepsilon}\right)\cdot n\alpha(n)r^{n-1}u(x)\right]\mathrm{ d} r\\ =&u(x)\int_{B(0,\varepsilon)}\eta_\varepsilon \mathrm{ d} y=u(x). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

如此, $\displaystyle u^\varepsilon=u$$\displaystyle U_\varepsilon$. 而 $\displaystyle u\in C^\infty(U_\varepsilon), \forall\ \varepsilon\gt 0$. 结论得证. 跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

调和函数的局部估计


1、 现在我们再用平均值公式导出调和函数各阶导数的点态估计. 这为将来推导调和函数的解析性带来方便.


2、 定理 7. (导数估计). 设 $\displaystyle u$$\displaystyle U$ 上的调和函数, 则

$$\begin{equation}\tag{02-2-18}\label{02-2-18}\begin{aligned} |D^\alpha u(x_0)|\leq \frac{C_k}{r^{n+k}} \left\Vert u\right\Vert _{L^1\left(B(x_0,r)\right)}, \forall\ B(x_0,r)\subset U, \forall\ \alpha\in\mathbb{N}^n: |\alpha|=k. \end{aligned}\end{equation}$$
这里,
$$\begin{equation}\tag{02-2-19}\label{02-2-19}\begin{aligned} C_0=\frac{1}{\alpha(n)}, C_k=\frac{(2^{n+1}nk)^k}{\alpha(n)}\left(k=1,2,\cdots\right). \end{aligned}\end{equation}$$

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /

(1)、 对 $\displaystyle k$ 作数学归纳法. 当 $\displaystyle k=0$ 时, 这就是平均值公式 $\displaystyle \eqref{02-2-16}$. 对 $\displaystyle k=1$, 用 $\displaystyle \frac{\partial}{\partial x_k}$ 作用 Laplace 方程知 $\displaystyle u_{x_i}\ (i=1,\cdots,n)$ 还是调和的. 从而

$$\begin{equation}\tag{02-2-20}\label{02-2-20}\begin{aligned} |u_{x_i}(x_0)|=&\left|\frac{1}{\alpha(n)\left(\frac{r}{2}\right)^n}\int_{B\left(x_0,\frac{r}{2}\right)}u_{x_i}\mathrm{ d} x\right|\\ =&\left|\frac{1}{\alpha(n)\left(\frac{r}{2}\right)^n}\int_{\partial B\left(x_0,\frac{r}{2}\right)} u\nu_i\mathrm{ d} S\right|\\ \leq&\frac{2n}{r}\left\Vert u\right\Vert _{L^\infty\left(B\left(x_0,\frac{r}{2}\right)\right)}. \end{aligned}\end{equation}$$
现在对 $\displaystyle \forall\ x\in \partial B\left(x_0,\frac{r}{2}\right), B\left(x,\frac{r}{2}\right)\subset B(x_0,r)\subset U$, 而
$$\begin{aligned} |u(x)|\leq \left|\frac{1}{\alpha(n)\left(\frac{r}{2}\right)^n}\int_{B\left(x,\frac{r}{2}\right)}u\mathrm{ d} y\right| \leq \frac{1}{\alpha(n)}\left(\frac{2}{r}\right)^n \left\Vert u\right\Vert _{L^1\left(B(x_0,r)\right)}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

将上述这些不等式合在一起得到

$$\begin{aligned} |D^\alpha u(x_0)|\leq \frac{2^{n+1}n}{\alpha(n)}\cdot \frac{1}{r^{n+1}} \left\Vert u\right\Vert _{L^1\left(B(x_0,r)\right)}, \forall\ |\alpha|=1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

至此, 结论对 $\displaystyle k=1$ 成立.

(2)、 设结论对 $\displaystyle k-1$ ($k\gt 2$) 成立, 则对 $\displaystyle \forall\ B(x_0,r)\subset U, \alpha\in\mathbb{N}^n: |\alpha|=k$,

$$\begin{aligned} \exists\ \beta\in\mathbb{N}^n, 1\leq i\leq n: |\beta|=k-1,\mathrm{ s.t.} D^\alpha u=(D^\beta u)_{x_i}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

类似于 $\displaystyle \eqref{02-2-20}$ 的计算, 我们得到

$$\begin{aligned} |D^\alpha u(x_0)|\leq \frac{nk}{r}\left\Vert D^\beta u\right\Vert _{L^\infty \left(\partial B\left(x_0,\frac{r}{k}\right)\right)}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

$\displaystyle x\in \partial B\left(x_0,\frac{r}{k}\right)$, $\displaystyle B\left(x,\frac{k-1}{k}r\right)\subset B(x_0,r)\subset U$, 而由归纳假设知

$$\begin{aligned} |D^\beta u(x)|\leq \frac{\left[2^{n+1}n(k-1)\right]^{k-1}}{\alpha(n)\left(\frac{k-1}{k}r\right)^{n+k-1}}\left\Vert u\right\Vert _{L^1\left(B(x_0,r)\right)}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

将上述两个估计联合起来, 并注意到

$$\begin{aligned} &\frac{nk}{r}\cdot \frac{\left[2^{n+1}n(k-1)\right]^{k-1}}{\alpha(n)\cdot \left(\frac{k-1}{k}r\right)^{n+k-1}} =\frac{n^k k^{n+k}}{r^{n+k}}\cdot\frac{2^{(n+1)(k-1)}}{\alpha(n)(k-1)^n}\\ =&\frac{(nk)^k 2^{(n+1)(k-1)}}{\alpha(n)r^{n+k}}\left(\frac{k}{k-1}\right)^n \lt \frac{(nk)^k 2^{(n+1)(k-1)}}{\alpha(n)r^{n+k}}\cdot 2^n \lt \frac{(2^{n+1}nk)^k}{\alpha(n)r^{n+k}} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

即得

$$\begin{equation}\tag{02-2-21}\label{02-2-21}\begin{aligned} |D^\alpha u(x_0)|\leq \frac{(2^{n+1}nk)^k}{\alpha(n)r^{n+k}}\left\Vert u\right\Vert )_{L^1\left(B(x_0,r)\right)}. \end{aligned}\end{equation}$$
归纳步证毕, 结论得证.

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Liouville 定理


1、 现在我们有能力断言: 没有非平凡的、定义在 $\displaystyle \mathbb{R}^n$ 上的有界调和函数.


2、 定理 8. (Liouville 定理). 设 $\displaystyle u: \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$ 是有界调和函数, 则 $\displaystyle u$ 是常数.

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle \forall\ x_0\in\mathbb{R}^n, r\gt 0$, 由定理 7 知

$$\begin{aligned} |Du(x_0)|=&\sqrt{\sum_{i=1}^n |u_{x_i}(x_0)|^2} \leq \sqrt{n}\cdot \frac{C_1}{r^{n+1}} \left\Vert u\right\Vert _{L^1\left(B(x_0,r)\right)}\\ \leq& \sqrt{n}\cdot \frac{C_1}{r^{n+1}} \cdot \alpha(n)r^n \left\Vert u\right\Vert _{L^\infty\left(\mathbb{R}^n\right)} \xrightarrow{r\to\infty}0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

$\displaystyle Du\equiv 0\Rightarrow u$ 是常值函数. 跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/


3、 定理 9. (求解公式). 设 $\displaystyle f\in C_c^2(\mathbb{R}^n), n\gt 3$, 则

$$\begin{aligned} -\Delta u=f \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

的任一有界解都具有形式

$$\begin{aligned} u(x)=\int_{\mathbb{R}^n} \varPhi(x-y)f(y)\mathrm{ d} y+C\left(x\in\mathbb{R}^n\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

其中 $\displaystyle C$ 为常数.

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 当 $\displaystyle n\gt 3$ 时,

$$\begin{aligned} \lim_{|x|\to\infty}\varPhi(x)=\lim_{|x|\to\infty}\frac{1}{n(n-2)\alpha(n)|x|^{n-2}}=0, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

则由定理 1 知

$$\begin{aligned} \tilde{u}(x): =\int_{\mathbb{R}^n}\varPhi(x-y)f(y)\mathrm{ d} y \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

$\displaystyle -\Delta u=f, x\in\mathbb{R}^n$ 的有界解, 设 $\displaystyle u$ 也是 $\displaystyle -\Delta u=f, x\in\mathbb{R}^n$ 的解, 则由 Liouville 定理知 $\displaystyle w: =u-\tilde{u}$ 是常数, 结论得证. 跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/


4、 注记. 当 $\displaystyle n=2$ 时, $\displaystyle \varPhi(x)=-\frac{1}{2\pi}\ln |x|$$\displaystyle |x|\to\infty$ 时无界, 从而 $\displaystyle \int_{\mathbb{R}^2}\varPhi(x-y)f(y)\mathrm{ d} y$ 也可能无界.

解析性


1、 我们将定理 6 精确化为


2、 定理 10. (解析性). 设 $\displaystyle u$$\displaystyle U$ 上的调和函数, 则 $\displaystyle u$$\displaystyle U$ 上的解析函数.

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /

(1)、 对任意固定的 $\displaystyle x_0\in U$, 我们将证明 $\displaystyle u$$\displaystyle x_0$ 的某个邻域内可以展成收敛的幂级数, 而结论得证. 令 $\displaystyle r: =\frac{1}{4}\mathrm{dist}(x_0,\partial U)$, 则

$$\begin{aligned} M: =\frac{1}{\alpha(n)r^n}\left\Vert u\right\Vert _{L^1\left(x_0,2r\right)}\lt \infty. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

(2)、 由

$$\begin{aligned} x\in B(x_0,r)\Rightarrow B(x,r)\subset B(x_0,2r)\subset U \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

及定理 7 知

$$\begin{aligned} x\in B(x_0,r)\Rightarrow |D^\alpha u(x)|\leq&\frac{(2^{n+1}n|\alpha|)^{|\alpha|}}{\alpha(n)r^{n+|\alpha|}} \left\Vert u\right\Vert _{L^1\left(B(x,r)\right)}\\ \leq&\frac{(2^{n+1}n|\alpha|)^{|\alpha|}}{\alpha(n)r^{n+|\alpha|}} \left\Vert u\right\Vert _{L^1\left(x_0,2r\right)}\\ \leq&\frac{(2^{n+1}n|\alpha|)^{|\alpha|}}{\alpha(n)r^{|\alpha|}}\cdot M. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

于是

$$\begin{aligned} \left\Vert D^\alpha u\right\Vert _{L^\infty\left(B(x_0,r)\right)} \leq M \left(\frac{2^{n+1}n}{r}\right)^{|\alpha|}|\alpha|^{|\alpha|}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

注意到

$$\begin{aligned} &\left\{\begin{array}{llllllllllll}\frac{k^k}{k!}\lt \mathrm{e}^k\Rightarrow |\alpha|^{|\alpha|}\lt \mathrm{e}^{|\alpha|}|\alpha|!\\ n^k=(1+\cdots+1)^k\stackrel{\small\mbox{$\S 1.5$ 多项式定理}}{=} \sum_{|\alpha|=k}\frac{|\alpha|!}{\alpha!} \Rightarrow n^{|\alpha|}=n^k\gt \frac{|\alpha|!}{\alpha!}\end{array}\right.\\ \Rightarrow&|\alpha|^{|\alpha|}\lt \mathrm{e}^{|\alpha|}\cdot n^{|\alpha|}\alpha!, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

我们有

$$\begin{equation}\tag{02-2-22}\label{02-2-22}\begin{aligned} \left\Vert D^\alpha u\right\Vert _{L^\infty\left(B(x_0,r)\right)} \leq M \left(\frac{2^{n+1}n}{r}\right)^{|\alpha|}\cdot \mathrm{e}^{|\alpha|}\cdot n^{|\alpha|}\alpha! =M \left(\frac{2^{n+1}n^2\mathrm{e}}{r}\right)^{|\alpha|}\alpha!. \end{aligned}\end{equation}$$

(3)、 $\displaystyle u$$\displaystyle x_0$ 处的 Taylor 展式为

$$\begin{aligned} \sum_{\alpha}\frac{D^\alpha u(x_0)}{\alpha!}(x-x_0)^\alpha. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

我们断言: 当

$$\begin{equation}\tag{02-2-23}\label{02-2-23}\begin{aligned} |x-x_0|\lt \frac{r}{2^{n+2}n^3\mathrm{e}} \end{aligned}\end{equation}$$
时, 上述幂级数收敛于 $\displaystyle u(x)$. 事实上,
$$\begin{aligned} R_N(x): =&u(x)-\sum_{k=0}^{N-1}\sum_{|\alpha|=k} \frac{D^\alpha u(x_0)(x-x_0)^\alpha}{\alpha!}\\ =&\sum_{|\alpha|=N}\frac{D^\alpha u\left(x_0+t(x-x_0)\right)(x-x_0)^\alpha}{\alpha!}, 0\lt t=t_x\lt 1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

最后一个等式可由 $\displaystyle g(t): =u\left(x_0+t(x-x_0)\right)$$\displaystyle t=0$ 处的 Taylor 展式得到. 于是

$$\begin{aligned} |R_N(x)|\leq&\sum_{|\alpha|=N} \frac{M \left(\frac{2^{n+1}n^2\mathrm{e}}{r}\right)^{|\alpha|}\alpha!\cdot \left(\frac{r}{2^{n+2}n^3\mathrm{e}}\right)^{|\alpha|}}{\alpha!} =M\sum_{|\alpha|=N}\frac{1}{(2n)^N}\\ \leq& \frac{M}{(2n)^N} \sum_{|\alpha|=N}\frac{|\alpha|!}{\alpha!} =\frac{M}{(2n)^N}\cdot n^N=\frac{M}{2^N}\xrightarrow{N\to\infty}0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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3、 更多关于解析函数与 PDE 的关系的介绍请看 $\displaystyle \S 4.6.2$.

Harnack 不等式


1、 看看 $\displaystyle \S A.2$, 我们记

$$\begin{aligned} V\subset\subset U\Leftrightarrow V\subset \overline{V}\subset U, \mbox{且} \overline{V}\mbox{是紧的}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$


2、 定理 11 (Harnack 不等式). 对任一连通集 $\displaystyle V\subset\subset U$, 存在仅依赖于 $\displaystyle V$ 的正数 $\displaystyle C$, 使得对任一 $\displaystyle U$ 上的非负调和函数 $\displaystyle u$, 成立

$$\begin{aligned} \sup_V u\leq C\inf_V u. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

特别地,

$$\begin{aligned} \frac{1}{C}u(y)\leq u(x)\leq Cu(y), \forall\ x,y\in V. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

此断言说明 $\displaystyle V$ 上的非负调和函数在任意两点的值可以相互比较: 除非 $\displaystyle u$ 全局充分小 (全局充分大), $\displaystyle u$ 在任何一点都不会太小 (太大). 这里的关键在于 $\displaystyle \mathrm{dist}(V,\partial U)\gt 0$, 从而让 Laplace 方程有足够的空间来平均化 $\displaystyle u$$\displaystyle V$ 上各点的值!

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(1)、 令 $\displaystyle r: =\frac{1}{4}\mathrm{dist}(V,\partial U)$. 对 $\displaystyle \forall\ x,y\in V, |x-y|\leq r$, 我们有

$$\begin{aligned} u(x)=&\frac{1}{\alpha(n)(2r)^n}\int_{B(x,2r)}u\mathrm{ d} z \stackrel{u\gt 0}{\gt} \frac{1}{\alpha(n)(2r)^n}\int_{B(y,r)}u\mathrm{ d} z =\frac{1}{2^n}u(y). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

如此,

$$\begin{aligned} x,y\in V, |x-y|\leq r\Rightarrow 2^nu(y)\gt u(x)\gt \frac{1}{2^n}u(y). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

(2)、 由 $\displaystyle V$ 连通, $\displaystyle \overline{V}$ 是紧的知 $\displaystyle \overline{V}$ 可被一串半径都为 $\displaystyle \frac{r}{2}$ 的球 $\displaystyle \left\{B_i\right\}_{i=1}^N$ 盖住, 且 $\displaystyle B_i\cap B_{i-1}\neq \varnothing, i=2,\cdots,N$. 通过相邻相交球中的点的衔接, 我们知

$$\begin{aligned} u(x)\gt \frac{1}{2^{nN}}u(y), \forall\ x,y\in V. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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Green 函数 (2.2.4)

$\displaystyle U$$\displaystyle \mathbb{R}^n$ 的有界开集, $\displaystyle \partial U\in C^1$. 我们将给出 Poisson 方程边值问题

$$\begin{aligned} \left\{\begin{array}{llllllllllll}-\Delta u=f,&x\in U,\\ u=g,&x\in \partial U\end{array}\right. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

解的表达式.

Green 函数的推导


1、 设 $\displaystyle u\in C^2(\overline{U})$ 是任一函数. 对任意固定的 $\displaystyle x\in U$, 取 $\displaystyle \varepsilon\gt 0$ 使得 $\displaystyle B(x,\varepsilon)\subset U$. 于 $\displaystyle V_\varepsilon: =U\backslash B(x,\varepsilon)$ 上对 $\displaystyle u(y), \varPhi(y-x)$ 应用 $\displaystyle \S C.2$ 的 Green 公式得到

$$\begin{equation}\tag{02-2-24}\label{02-2-24}\begin{aligned} &\int_{V_\varepsilon}\left[u(y)\Delta \varPhi(y-x) -\varPhi(y-x)\Delta u(y)\right]\mathrm{ d} y\\ =&\int_{\partial V_\varepsilon} \left[u(y)\frac{\partial\varPhi}{\partial \vec{\nu}}(y-x) -\varPhi(y-x)\frac{\partial u}{\partial\vec{\nu}}\right]\mathrm{ d} S(y), \end{aligned}\end{equation}$$
其中 $\displaystyle \vec{\nu}$ 表示 $\displaystyle \partial V_\varepsilon$ 的单位外法向量. 利用

(1)、

$$\begin{aligned} \Delta\varPhi(x-y)=0, \forall\ y\neq x, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

(2)、

$$\begin{aligned} \left|\int_{\partial B(x,\varepsilon)}\varPhi(y-x)\frac{\partial u}{\partial\vec{\nu}}\mathrm{ d} S(y)\right| \leq C\varepsilon^{n-1}\max_{\partial B(0,\varepsilon)}|\varPhi|=o(1), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

(3)、 类似定理 1 的证明计算那样,

$$\begin{aligned} \int_{\partial B(x,\varepsilon)}u(y)\frac{\partial\varPhi}{\partial \vec{\nu}}(y-x)\mathrm{ d} S(y) =&\frac{1}{n\alpha(n)\varepsilon^{n-1}}\int_{\partial B(x,\varepsilon)} u(y)\mathrm{ d} S(y)\\ \xrightarrow{\varepsilon\to 0^+}&u(x), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

我们可在 $\displaystyle \eqref{02-2-24}$ 中令 $\displaystyle \varepsilon\to 0^+$ 得公式

$$\begin{equation}\tag{02-2-25}\label{02-2-25}\begin{aligned} u(x)=&\int_{\partial U}\left[\varPhi(y-x)\frac{\partial u}{\partial \vec{\nu}}(y) -u(y)\frac{\partial\varPhi}{\partial \vec{\nu}}(y-x)\right]\mathrm{ d} S(y)\\ &-\int_U \varPhi(y-x)\Delta u(y)\mathrm{ d} y. \end{aligned}\end{equation}$$
上述公式对 $\displaystyle \forall\ x\in U, \forall\ u\in C^2(\overline{U})$ 都成立.


2、 由 $\displaystyle \eqref{02-2-25}$ 知只要知道了

(1)、 $\displaystyle u,\frac{\partial u}{\partial \vec{\nu}}$$\displaystyle \partial U$ 上的值,

(2)、 $\displaystyle \Delta u$$\displaystyle U$ 上的值,

就知道 $\displaystyle u$$\displaystyle U$ 上任一点的值. 但对于 Poisson 方程边值问题而言, $\displaystyle \left.\frac{\partial u}{\partial \vec{\nu}}\right|_{\partial U}$ 是未知的, 所以我们要想办法去掉 $\displaystyle \eqref{02-2-25}$ 中含 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial \vec{\nu}}$ 的项.


3、 我们的想法是对每个 $\displaystyle x\in U$, 引入校正函数 $\displaystyle \phi^x=\phi^x(y)$, 它满足

$$\begin{equation}\tag{02-2-26}\label{02-2-26}\begin{aligned} \left\{\begin{array}{llllllllllll}\Delta \phi^x=0,y\in U,\\ \phi^x(y)=\varPhi(y-x),&y\in \partial U.\end{array}\right. \end{aligned}\end{equation}$$
再次应用 Green 公式得
$$\begin{equation}\tag{02-2-27}\label{02-2-27}\begin{aligned} -\int_U \phi^x(y)\Delta u(y)\mathrm{ d} y=&\int_{\partial U}\left[u(y)\frac{\partial \phi^x}{\partial\vec{\nu}}(y) -\phi^(y)\frac{\partial u}{\partial\vec{\nu}}\right]\mathrm{ d} S(y)\\ =&\int_{\partial U}\left[u(y)\frac{\partial \phi^x}{\partial\vec{\nu}}(y) -\varPhi(y-x)\frac{\partial u}{\partial\vec{\nu}}\right]\mathrm{ d} S(y). \end{aligned}\end{equation}$$
如此, 我们引入如下


4、 定义. 有界开集 $\displaystyle U$ 的 Green 函数定义为

$$\begin{aligned} G(x,y): =\varPhi(y-x)-\phi^x(y)\left(x,y\in U, x\neq y\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$


5、 利用上述定义, 我们可将 $\displaystyle \eqref{02-2-25}, \eqref{02-2-27}$ 相加得

$$\begin{equation}\tag{02-2-28}\label{02-2-28}\begin{aligned} u(x)=-\int_{\partial U}\left[u(y)\frac{\partial G}{\partial \vec{\nu}}(x,y) \right]\mathrm{ d} S(y) -\int_U G(x,y)\Delta u(y)\mathrm{ d} y, \end{aligned}\end{equation}$$
其中
$$\begin{aligned} \frac{\partial G}{\partial \vec{\nu}}=D_y G(x,y)\cdot\nu(y) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

$\displaystyle G$$\displaystyle y\in \partial U$ 处的单位外法向量. 注意到 $\displaystyle \eqref{02-2-28}$ 中不再出现 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial \vec{\nu}}$, 我们的目的确实达到了.


6、 现设 $\displaystyle u\in C^2(\overline{U})$ 满足边值问题

$$\begin{equation}\tag{02-2-29}\label{02-2-29}\begin{aligned} \left\{\begin{array}{llllllllllll}-\Delta u=f,&x\in U,\\ u=g,&x\in\partial U,\end{array}\right. \end{aligned}\end{equation}$$
其中 $\displaystyle f,g$ 都是已知的连续函数. 将上述方程代入 $\displaystyle \eqref{02-2-28}$, 我们得


7、 定理 12. (解的 Green 函数表示) 设 $\displaystyle u\in C(\overline{U})$ 满足 $\displaystyle \eqref{02-2-29}$, 则

$$\begin{equation}\tag{02-2-30}\label{02-2-30}\begin{aligned} u(x)=-\int_{\partial U}\left[g(y)\frac{\partial G}{\partial \vec{\nu}}(x,y) \right]\mathrm{ d} S(y)+\int_U f(y)G(x,y)\mathrm{ d} y, \end{aligned}\end{equation}$$


8、 至此, 只要确定了给定有界开集 $\displaystyle U$ 上的 Green 函数 $\displaystyle G$, 就得到了边值问题 $\displaystyle \eqref{02-2-29}$ 的解的表达式. 但是, 除非 $\displaystyle U$ 具有简单的几何结构, 一般说来这个一个困难的问题. 未来两小节我们给出两个可以求出 $\displaystyle G$ 的区域.


9、 Green 函数的解释. 对任意固定的 $\displaystyle x\in U$, 将 $\displaystyle G$ 看成 $\displaystyle y$ 的函数, 则我们可以形式地写下

$$\begin{aligned} \left\{\begin{array}{llllllllllll}-\Delta G=\delta_x,&y\in U,\\ G=0,&y\in \partial U,\end{array}\right. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

其中 $\displaystyle \delta_x$$\displaystyle \mathbb{R}^n$ 上的只在 $\displaystyle x$ 赋以单位质量的 Dirac 测度.


10、 再给出特殊的例子之前, 我们先证明 $\displaystyle G$ 关于 $\displaystyle x,y$ 是对称的:


11、 定理 13. (Green 函数的对称性). 对 $\displaystyle \forall\ x,y\in U, x\neq y$,

$$\begin{aligned} G(y,x)=G(x,y). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 对任意固定的 $\displaystyle x,y\in U, x\neq y$, 令

$$\begin{aligned} v(z): =G(x,z), w(z): =G(y,z), \left.z\in U\right|. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \left\{\begin{array}{llllllllllll}\Delta v(z)=0\left(z\neq x\right)\quad \Delta w(z)=0\left(z\neq y\right),\\ v=w=0, z\in \partial U.\end{array}\right. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

对充分小的 $\displaystyle \varepsilon\gt 0$, 在 $\displaystyle V: =U\backslash\left[B(x,\varepsilon)\cup B(y,\varepsilon)\right]$ 上应用 Green 公式得

$$\begin{equation}\tag{02-2-31}\label{02-2-31}\begin{aligned} \int_{\partial B(x,\varepsilon)}\left[\frac{\partial v}{\partial\vec{\nu}}w-\frac{\partial w}{\partial \vec{\nu}}v\right]\mathrm{ d} S(z) =\int_{\partial B(y,\varepsilon)}\left[\frac{\partial w}{\partial\vec{\nu}}v-\frac{\partial v}{\partial \vec{\nu}}w\right]\mathrm{ d} S(z), \end{aligned}\end{equation}$$
其中 $\displaystyle \vec{\nu}$ 表示 $\displaystyle \partial B(x,\varepsilon)\cup \partial B(y,\varepsilon)$ 上的单位内法向量. 由 $\displaystyle w$$\displaystyle x$ 附近光滑知
$$\begin{aligned} \left|\int_{\partial B(x,\varepsilon)}\frac{\partial w}{\partial \vec{\nu}}v\mathrm{ d} S(z)\right| \leq C\varepsilon^{n-1} \sup_{\partial B(x,\varepsilon)}|v|=o(1), \varepsilon\to 0^+. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

此外, $\displaystyle v(z)=\varPhi(z-x)-\phi^x(z)$, 其中 $\displaystyle \phi^x$$\displaystyle U$ 上光滑, 而可像定理 1 的证明那般得到

$$\begin{aligned} \lim_{\varepsilon\to 0}\int_{\partial B(x,\varepsilon)}\frac{\partial v}{\partial\vec{\nu}}w\mathrm{ d} S =\lim_{\varepsilon\to 0}\int_{\partial B(x,\varepsilon)}\frac{\partial \varPhi}{\partial \vec{\nu}}(x-z)w(z)\mathrm{ d} S =w(x). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

这就证明了 $\displaystyle \eqref{02-2-31}$ 左端当 $\displaystyle \varepsilon\to 0$ 时趋于 $\displaystyle w(x)$. 同理, $\displaystyle \eqref{02-2-31}$ 右端当 $\displaystyle \varepsilon\to 0$ 时趋于 $\displaystyle v(y)$. 从而

$$\begin{aligned} G(y,x)=w(x)=v(y)=G(x,y). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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半空间上的 Green 函数


1、 本小节与下一小节将给出两个具有简单几何结构的区域 (即半空间 $\displaystyle \mathbb{R}^n_+$ 和单位球 $\displaystyle B(0,1)$) 的 Green 公式. 所有的结果都依赖于这些区域上校正问题 $\displaystyle \eqref{02-2-26}$ 的求解. 而求解方法则是用某些反射技巧.


2、 首先我们考虑半空间

$$\begin{aligned} \mathbb{R}^n_+=\left\{x=(x_1,\cdots,x_n)\in\mathbb{R}^n; x_n\gt 0\right\}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

虽然这个区域是无界的 (而以前的结果不能直接应用), 但我们还是可以利用以前的想法构造 Green 函数. 当然那最后我们要验证所得的表达式确为问题的解.


3、 定义. 设 $\displaystyle x=(x_1,\cdots,x_n)\in\mathbb{R}^n_+$, 则称

$$\begin{aligned} \tilde{x}=(x_1,\cdots,x_{n-1},-x_n) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

为它关于超平面 $\displaystyle \partial \mathbb{R}^n_+$ 的对称点.


4、 我们的想法是将 $\displaystyle \varPhi$ 的奇点 $\displaystyle x\in\mathbb{R}^n_+$ 发射到 $\displaystyle \tilde{x}\not\in \mathbb{R}^n_+$, 而令

$$\begin{aligned} \phi^x(y): =\varPhi(y-\tilde{x}) =\varPhi(y-x_1,\cdots,y_{n-1}-x_{n-1},y_n+x_n), \left(x,y\in\mathbb{R}^n_+\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

由对称性知

$$\begin{aligned} \phi^x(y)=\varPhi(y-x), \forall\ y\in \partial \mathbb{R}^n_+. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

从而确有

$$\begin{aligned} \left\{\begin{array}{llllllllllll}\Delta \phi^x=0,&y\in\mathbb{R}^n_+,\\ \phi^x=\varPhi(y-x),&y\in \partial \mathbb{R}^n_+.\end{array}\right. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$


5、 定义. 半空间 $\displaystyle \mathbb{R}^n_+$ 的 Green 函数为

$$\begin{aligned} G(x,y): =\varPhi(y-x)-\varPhi(y-\tilde{x})\left(x,y\in\mathbb{R}^n_+, x\neq y\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

$$\begin{aligned} G_{y_n}(x,y)=&\varPhi_{y_n}(y-x)-\varPhi_{y_n}(y-\tilde{x})\\ =&-\frac{1}{n\alpha(n)}\left[\frac{y_n-x_n}{|y-x|^n}-\frac{y_n+x}{|y-\tilde{x}|^n}\right] \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

$$\begin{aligned} y\in \partial\mathbb{R}^n_+\Rightarrow \frac{\partial G}{\partial\vec{\nu}}(x,y) =-G_{y_n}(x,y)=-\frac{2x_n}{n\alpha(n)}\frac{1}{|x-y|^n}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

$\displaystyle u$ 满足边值问题

$$\begin{equation}\tag{02-2-32}\label{02-2-32}\begin{aligned} \left\{\begin{array}{llllllllllll}\Delta u=0,&x\in\mathbb{R}^n_+,\\ u=g,&x\in\partial\mathbb{R}^n_+,\end{array}\right. \end{aligned}\end{equation}$$
则由 $\displaystyle \eqref{02-2-30}$ 知我们期待
$$\begin{equation}\tag{02-2-33}\label{02-2-33}\begin{aligned} u(x)=\frac{2x_n}{n\alpha(n)}\int_{\partial\mathbb{R}^n_+}\frac{g(y)}{|x-y|^n}\mathrm{ d} y\left(x\in\mathbb{R}^n_+\right) \end{aligned}\end{equation}$$
就是解的表达式. 这里, 函数
$$\begin{aligned} K(x,y): =\frac{2x_n}{n\alpha(n)}\frac{1}{|x-y|^n}\left(x\in\mathbb{R}^n_+, y\in \partial \mathbb{R}^n_+\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

称为 $\displaystyle \mathbb{R}^n_+$ 的 Poisson 核, 而 $\displaystyle \eqref{02-2-33}$ 称为 Poisson 公式.


6、 现在我们来验证 $\displaystyle \eqref{02-2-33}$ 确为边值问题 $\displaystyle \eqref{02-2-32}$ 的解.


7、 定理 14 (半空间的 Poisson 公式). 设 $\displaystyle g\in C(\mathbb{R}^{n-1})\cap L^\infty(\mathbb{R}^{n-1})$, 而 $\displaystyle u$$\displaystyle \eqref{02-2-33}$ 给出, 则

(1)、 $\displaystyle u\in C^\infty(\mathbb{R}^n_+)\cap L^\infty(\mathbb{R}^n_+)$,

(2)、 $\displaystyle \Delta u=0, x\in \mathbb{R}^n_+$,

(3)、 $\displaystyle \lim_{\mathbb{R}^n_+\ni x\to x^0}u(x)=u(x^0), \forall\ x^0\in\partial \mathbb{R}^n_+$.

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /

(1)、 对任意固定的 $\displaystyle x$, 映射 $\displaystyle y\mapsto G(x,y)$ 除了点 $\displaystyle y=x$ 外是调和的. 由对称性: $\displaystyle G(x,y)=G(y,x)$$\displaystyle x\mapsto G(x,y)$ 除了点 $\displaystyle x=y$ 外是调和的. 如此, 核函数

$$\begin{aligned} \mathbb{R}^n_+\ni x\mapsto -\frac{\partial G}{\partial y_n}(x,y)=K(x,y) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

对任一 $\displaystyle y\in \partial \mathbb{R}^n_+$ 是调和的.

(2)、 对 $\displaystyle \forall\ x\in\mathbb{R}^n_+$,

$$\begin{equation}\tag{02-2-34}\label{02-2-34}\begin{aligned} &\int_{\partial \mathbb{R}^n_+}K(x,y)\mathrm{ d} y =\frac{2x_n}{n\alpha(n)}\int_{\partial \mathbb{R}^n_+}\frac{\mathrm{ d} y}{|x-y|^n}\\ =&\frac{2x_n}{n\alpha(n)}\int_{\mathbb{R}^{n-1}_+}\frac{\mathrm{ d} y_1\cdots \mathrm{ d} y_{n-1}}{\left[(x_1-y_1)^2+\cdots+(x_{n-1}-y_{n-1})^2+x_n^2\right]^\frac{n}{2}}\\ =&\frac{2x_n}{n\alpha(n)}\int_0^\infty \frac{1}{(r^2+x_n^2)^\frac{n}{2}} \cdot (n-1)\alpha(n-1)r^{n-2}\mathrm{ d} r\\ \stackrel{r=x_n\tan\theta}{=}& \frac{2x_n(n-1)\alpha(n-1)}{n\alpha(n)}\\ &\cdot \int_0^\frac{\pi}{2}\frac{1}{(x_n\sec \theta)^n}\cdot (x_n\tan \theta)^{n-2}\cdot x_n\sec^2\theta\mathrm{ d} \theta\\ =&\frac{2(n-1)\alpha(n-1)}{n\alpha(n)}\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^{n-2}\theta\mathrm{ d} \theta\\ =&\frac{2\alpha(n-1)}{\alpha(n)}\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^n\theta\mathrm{ d} \theta=1, \end{aligned}\end{equation}$$
其中最后一步是因为
$$\begin{aligned} \alpha(n)=&\int_{-1}^1 \alpha(n-1)(1-x_n^2)^\frac{n-1}{2}\mathrm{ d} x_n\\ \xlongequal{\tiny\mbox{对称性}}& 2\alpha(n-1)\int_0^1 (1-x_n^2)^\frac{n-1}{2}\mathrm{ d} x_n\\ \stackrel{x_n=\sin \theta}{=}&2\alpha(n-1)\int_0^\frac{\pi}{2}\cos^{n-1}\theta\cdot \cos\theta\mathrm{ d} \theta\\ \stackrel{\frac{\pi}{2}-\theta=\tau}{=}&2\alpha(n-1)\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^n\tau\mathrm{ d} \tau. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

$\displaystyle g$ 有界知由 $\displaystyle \eqref{02-2-33}$ 定义的 $\displaystyle u$ 也是有界的. 再者, 对 $\displaystyle y\in \partial \mathbb{R}^n_+$,

$$\begin{aligned} \mathbb{R}^n_+\ni x\mapsto K(x,y) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

是光滑的, 且它本身及其各阶偏导数在 $\displaystyle \mathbb{R}^n_+$ 上内闭一致收敛, 而由 $\displaystyle \eqref{02-2-33}$ 定义的 $\displaystyle u$ 可积分号下求任意阶导数, 且

$$\begin{aligned} \Delta u(x)=\int_{\partial \mathbb{R}^n_+}\Delta_x K(x,y)g(y)\mathrm{ d} y=0\left(x\in\mathbb{R}^n_+\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

这就说明了 $\displaystyle u\in C^\infty(\mathbb{R}^n_+)$ 且满足方程.

(3)、 现固定 $\displaystyle x^0\in \partial \mathbb{R}^n_+, \varepsilon\gt 0$. 由 $\displaystyle g$ 连续知存在 $\displaystyle \delta\gt 0$ 使得

$$\begin{equation}\tag{02-2-35}\label{02-2-35}\begin{aligned} y\in \partial \mathbb{R}^n_+: |y-x^0|\lt \delta\Rightarrow |g(y)-g(x^0)|\lt \varepsilon. \end{aligned}\end{equation}$$
所以当 $\displaystyle x\in\mathbb{R}^n_+: |x-x^0|\lt \frac{\delta}{2}$ 时,
$$\begin{equation}\tag{02-2-36}\label{02-2-36}\begin{aligned} &|u(x)-g(x^0)|=\left|\int_{\partial \mathbb{R}^n_+} K(x,y)[g(y)-g(x^0)]\mathrm{ d} y\right|\\ \leq& \int_{\partial \mathbb{R}^n_+\cap B(x^0,\delta)} K(x,y)|g(y)-g(x^0|\mathrm{ d} y\\ &+\int_{\partial \mathbb{R}^n_+\backslash B(x^0,\delta)} K(x,y)|g(y)-g(x^0|\mathrm{ d} y\\ =: &I+J. \end{aligned}\end{equation}$$
$\displaystyle \eqref{02-2-35}, \eqref{02-2-36}$
$$\begin{aligned} I\leq \varepsilon\int_{\partial \mathbb{R}^n_+}K(x,y)\mathrm{ d} y=\varepsilon. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

再注意到

$$\begin{aligned} &|x-x^0|\lt \frac{\delta}{2}, |y-x^0|\gt \delta\\ \Rightarrow&|y-x^0|\leq |y-x|+|x-x^0| \leq |y-x|+\frac{\delta}{2} \leq |y-x|+\frac{1}{2}|y-x^0|\\ \Rightarrow&|y-x|\gt \frac{1}{2}|y-x^0|, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

我们知

$$\begin{aligned} J\leq&2\left\Vert g\right\Vert _{L^\infty}\int_{\partial \mathbb{R}^n_+\backslash B(x^0,\delta)} K(x,y)\mathrm{ d} y\\ \leq&\frac{2^{n+1}\left\Vert g\right\Vert _{L^\infty}x_n}{n\alpha(n)}\int_{\partial \mathbb{R}^n_+\backslash B(x^0,\delta)}|y-x^0|^{-n}\mathrm{ d} y\\ \xrightarrow{x_n\to 0^+}&0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

将上述关于 $\displaystyle I,J$ 的估计代入 $\displaystyle \eqref{02-2-36}$ 即知只要 $\displaystyle |x-x^0|$ 充分小 (而 $\displaystyle x_n$ 充分小), 就有 $\displaystyle |u(x)-g(x^0)|\leq 2\varepsilon$.

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球上的 Green 函数


1、 为了得到 $\displaystyle B(0,1)$ 的 Green 函数, 我们考虑关于球面 $\displaystyle \partial B(0,1)$ 的反射.


2、 定义. 设 $\displaystyle x\in\mathbb{R}^n\backslash\left\{0\right\}$, 则称

$$\begin{aligned} \tilde{x}=\frac{x}{|x|^2} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

$\displaystyle x$ 关于单位球面 $\displaystyle \partial B(0,1)$ 的反演点. 而映射 $\displaystyle x\mapsto\tilde{x}$ 称为关于单位球面 $\displaystyle \partial B(0,1)$ 的反演变换.


3、 现在我们利用上述反演变换得到单位球 $\displaystyle U=B^\circ(0,1)$ 的 Green 函数. 回忆下, 对任意固定的 $\displaystyle x\in B^\circ (0,1)$, 我们要先找到校正函数 $\displaystyle \phi^x=\phi^x(y)$, 它满足

$$\begin{equation}\tag{02-2-37}\label{02-2-37}\begin{aligned} \left\{\begin{array}{llllllllllll}\Delta \phi^x=0,&y\in B^\circ (0,1),\\ \phi^x=\varPhi(y-x),&y\in \partial B(0,1).\end{array}\right. \end{aligned}\end{equation}$$
然后 Green 函数就是
$$\begin{equation}\tag{02-2-38}\label{02-2-38}\begin{aligned} G(x,y)=\varPhi(x-y)-\phi^x(y). \end{aligned}\end{equation}$$


4、 我们的想法就是将 $\displaystyle B^\circ(0,1)$ 中的奇点 $\displaystyle x$ 反演到 $\displaystyle \tilde{x}\not B(0,1)$. 我们先考虑 $\displaystyle n\gt 3$ 的情形. 此时, 映射

$$\begin{aligned} y\mapsto \varPhi(y-\tilde{x}) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

$\displaystyle y\neq \tilde{x}$ 处调和, 从而

$$\begin{aligned} y\mapsto |x|^{2-n}\varPhi(y-\tilde{x}) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

$\displaystyle y\neq \tilde{x}$ 处调和. 于是

$$\begin{equation}\tag{02-2-39}\label{02-2-39}\begin{aligned} \phi^x(y): =\varPhi\left(|x|(y-\tilde{x})\right) =|x|^{2-n}\varPhi(y-\tilde{x}) \end{aligned}\end{equation}$$
$\displaystyle U$ 上是调和的. 再者,
$$\begin{aligned} y\in \partial B(0,1), x\neq 0 \Rightarrow&|x|^2|y-\tilde{x}|^2 =|x|^2\left(|y|^2-\frac{2y\cdot x}{|x|^2}+\frac{1}{|x|^2}\right)\\ &=|x|^2-2y\cdot x+1=|x-y|^2\\ \Rightarrow&\left(|x|\cdot |y-\tilde{x}|\right)^{-(n-2)}=|x-y|^{-(n-2)} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

蕴含

$$\begin{equation}\tag{02-2-40}\label{02-2-40}\begin{aligned} \phi^x(y)=\varPhi(y-x)\left(y\in \partial B(0,1)\right). \end{aligned}\end{equation}$$


5、 定义. 单位球的 Green 函数为

$$\begin{equation}\tag{02-2-41}\label{02-2-41}\begin{aligned} G(x,y): =\varPhi(y-x)-\varPhi\left(|x|(y-\tilde{x})\right)\left(x,y\in B(0,1), x\neq y\right). \end{aligned}\end{equation}$$
$\displaystyle n=2$ 时, 上述公式还是成立的.


6、 现在我们来求解边值问题

$$\begin{equation}\tag{02-2-42}\label{02-2-42}\begin{aligned} \left\{\begin{array}{llllllllllll}\Delta u=0,&x\in B^\circ (0,1),\\ u=g,&x\in \partial B(0,1).\end{array}\right. \end{aligned}\end{equation}$$
利用 $\displaystyle \eqref{02-2-30}$, 我们知
$$\begin{equation}\tag{02-2-43}\label{02-2-43}\begin{aligned} u(x)=-\int_{\partial B(0,1)}g(y)\frac{\partial G}{\partial \vec{\nu}}(x,y)\mathrm{ d} S(y). \end{aligned}\end{equation}$$
$\displaystyle \eqref{02-2-41}$
$$\begin{aligned} G_{y_i}(x,y)=\varPhi_{y_i}(y-x)-\varPhi\left(|x|(y-\tilde{x})\right)_{y_i}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

注意到

(1)、

$$\begin{aligned} \varPhi_{y_i}(x-y)=\frac{1}{n\alpha(n)}\cdot\frac{y_i-x_i}{|x-y|^n}; \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

(2)、 当 $\displaystyle y\in \partial B(0,1)$,

$$\begin{aligned} \varPhi\left(|x|(y-\tilde{x})\right)_{y_i} =&\left[\frac{1}{n(n-2)\alpha(n)}(|x|\cdot|y-\tilde{x}|)^{2-n}\right]_{y_i}\\ =&\frac{-1}{n\alpha(n)}\cdot \left(|x|\cdot|y-\tilde{x}|\right)^{1-n} \cdot |x|\frac{y_i-\tilde{x}_i}{|y-\tilde{x}|}\\ =&\frac{-1}{n\alpha(n)}\cdot \frac{|x|^2y_i-x_i}{\left(|x|\cdot|y-\tilde{x}|\right)^n} =-\frac{1}{n\alpha(n)}\cdot \frac{y_i|x|^2-x_i}{|x-y|^n}, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

我们知

$$\begin{aligned} &\frac{\partial G(x,y)}{\partial \vec{\nu}}(x,y)=\sum_{i=1}^n y_iG_{y_i}(x,y)\\ =&\frac{-1}{n\alpha(n)}\cdot \frac{1}{|x-y|^{n-1}} \sum_{i=1}^n y_i\left[(y_i-x_i)-y_i|x|^2+x_i\right]\\ =&\frac{-1}{n\alpha(n)}\cdot \frac{1-|x|^2}{|x-y|^n}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

最终由 $\displaystyle \eqref{02-2-43}$ 我们得到

$$\begin{aligned} u(x)=\frac{1-|x|^2}{n\alpha(n)}\int_{\partial B(0,1)}\frac{g(y)}{|x-y|^n}\mathrm{ d} S(y). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$


7、 现在考虑边值问题

$$\begin{equation}\tag{02-2-44}\label{02-2-44}\begin{aligned} \left\{\begin{array}{llllllllllll}\Delta u=0,&x\in B^\circ(0,r),\\ u=g,&x\in \partial B(0,r),\end{array}\right. \end{aligned}\end{equation}$$
其中 $\displaystyle r\gt 0$. 则 $\displaystyle \tilde{u}(x)=u(rx)$ 满足 $\displaystyle \eqref{02-2-42}$, 当然 $\displaystyle g$ 要用 $\displaystyle \tilde{g}(x)=g(rx)$ 代替. 通过变量变换可得 Poisson 公式
$$\begin{equation}\tag{02-2-45}\label{02-2-45}\begin{aligned} u(x)=&\tilde{u}\left(\frac{x}{r}\right) =\frac{1-\left|\frac{x}{r}\right|^2}{n\alpha(n)}\int_{\partial B(0,1)} \frac{\tilde{g}(y)}{\left|\frac{x}{r}-y\right|^n}\mathrm{ d} S(y)\\ \stackrel{ry=z}{=}&\frac{r^2-|x|^2}{n\alpha(n)r^2}\int_{\partial B(0,r)}\frac{g(z)}{\left|\frac{x}{r}-\frac{z}{r}\right|^n}\cdot\frac{\mathrm{ d} S(z)}{r^{n-1}}\\ =&\frac{r^2-|x|^2}{n\alpha(n)r}\int_{\partial B(0,r)}\frac{g(y)}{|x-y|^n}\mathrm{ d} S(y)\left(x\in B^\circ(0,r)\right). \end{aligned}\end{equation}$$
函数
$$\begin{aligned} K(x,y): =\frac{r^2-|x|^2}{n\alpha(n)r}\cdot\frac{1}{|x-y|^n}\left(x\in B^\circ (0,r), y\in \partial B(0,r)\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

称为球 $\displaystyle B(0,r)$ 的 Poisson 核.


8、 至此, 我们证明了如果 $\displaystyle \eqref{02-2-44}$ 的光滑解 $\displaystyle u$ 存在, 则它必具有形式 $\displaystyle \eqref{02-2-45}$. 现在我们证明反之亦然, 即 $\displaystyle \eqref{02-2-45}$ 确为 $\displaystyle \eqref{02-2-44}$ 的解.


9、 定理 15. (球上的 Poisson 公式). 设 $\displaystyle g\in C\left(\partial B(0,r)\right)$, 且 $\displaystyle u$$\displaystyle \eqref{02-2-45}$ 给出, 则

(1)、 $\displaystyle u\in C^\infty \left(B^\circ (0,r)\right)$;

(2)、 $\displaystyle \Delta u=0, x\in B^\circ (0,r)$;

(3)、 $\displaystyle \forall\ x^0\in \partial B(0,r)$, $\displaystyle \lim_{B^\circ (0,r)\ni x\to x^0} u(x)=g(x^0)$.

定理 15 的证明与定理 14 的证明类似, 留作练习.

能量方法 (2.2.5)


1、 到目前所有关于调和函数的分析都是基于’由基本解、 Green 函数得到的‘解的表达式. 在最后一小节, 我们引入能量方法, 也即考虑各种量的 $\displaystyle L^2$ 范数. 这将对以后第 II/III 部分的理论发展起到关键作用.

唯一性


1、 首先考虑边值问题

$$\begin{equation}\tag{02-2-46}\label{02-2-46}\begin{aligned} \left\{\begin{array}{llllllllllll}-\Delta u=f,&x\in U,\\ u=g,&x\in \partial U.\end{array}\right. \end{aligned}\end{equation}$$
我们已经在 $\displaystyle \S 2.2.3$ 中用最大模原理得到了它的解的唯一性. 这里我们给出另外一个证明. 设 $\displaystyle U$ 是有界开集, $\displaystyle \partial U\in C^1$.


2、 定理 16. (唯一性). $\displaystyle \eqref{02-2-46}$ 至多只有一个解 $\displaystyle u\in C^2(\overline{U})$.

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle \tilde{u}$ 也是 $\displaystyle \eqref{02-2-46}$ 的解, 则 $\displaystyle w: =u-\tilde{u}$ 满足

$$\begin{aligned} \left\{\begin{array}{llllllllllll}-\Delta w=0,&x\in U,\\ w=0,&x\in \partial U.\end{array}\right. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

从而

$$\begin{aligned} 0=-\int_U w\Delta w\mathrm{ d} x\xlongequal[\tiny\mbox{积分}]{\tiny\mbox{分部}} \int_U |Dw|^2\mathrm{ d} x. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

如此, $\displaystyle Dw=0, x\in U$. 由 $\displaystyle w|_{\partial U}=0$ 即知 $\displaystyle w\equiv 0$. 结论得证. 跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

Dirichlet 原理


1、 我们现在验证 $\displaystyle u$$\displaystyle \eqref{02-2-46}$ 的解当且仅当它是某个泛函的极小函数. 为此, 我们定义能量泛函

$$\begin{aligned} I[w]: =\frac{1}{2}\int_U \left[\frac{1}{2}|Dw|^2-wf\right]\mathrm{ d} x, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

其中 $\displaystyle w$ 属于容许集

$$\begin{aligned} \mathscr{A}: =\left\{w\in C^2(\overline{U}); w=g, x\in \partial U\right\}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$


2、 定理 17. (Dirichlet 原理). 设 $\displaystyle u\in C^2(\overline{U})$$\displaystyle \eqref{02-2-46}$ 的解, 则

$$\begin{equation}\tag{02-2-47}\label{02-2-47}\begin{aligned} I[u]=\min_{w\in\mathscr{A}}I[w]. \end{aligned}\end{equation}$$
反过来, 如果 $\displaystyle u\in\mathscr{A}$ 满足 $\displaystyle \eqref{02-2-47}$, 则 $\displaystyle u$$\displaystyle \eqref{02-2-46}$ 的解. 换言之, 如果 $\displaystyle u\in \mathscr{A}$, 则 $\displaystyle u$ 满足 PDE $\displaystyle -\Delta u=f$ 等价于 $\displaystyle u$ 是能量泛函 $\displaystyle I[\cdot]$ 的极小函数.

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /

(1)、 对任一 $\displaystyle w\in \mathscr{A}$, 由 $\displaystyle \eqref{02-2-46}$

$$\begin{aligned} 0=\int_U (-\Delta u-f)(u-w)\mathrm{ d} x. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

$\displaystyle (u-w)|_{\partial U}=(g-g)|_{\partial U}=0$ 及分部积分得

$$\begin{aligned} 0=&\int_U\left[Du\cdot D(u-w)-f(u-w)\right]\mathrm{ d} x. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

进而

$$\begin{aligned} \int_U \left[|Du|^2-uf\right]\mathrm{ d} x =&\int_U \left[Du\cdot Dw-wf\right]\mathrm{ d} x\\ \stackrel{\tiny\mbox{Schwarz}}{\leq}& \int_U \frac{1}{2}|Du|^2\mathrm{ d} x +\int_U \left[\frac{1}{2}|Dw|^2-wf\right]\mathrm{ d} x. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

整理即得

$$\begin{equation}\tag{02-2-48}\label{02-2-48}\begin{aligned} I[u]\leq I[w]\left(w\in \mathscr{A}\right). \end{aligned}\end{equation}$$

(2)、 反之, 若 $\displaystyle \eqref{02-2-47}$ 成立, 则对 $\displaystyle \forall\ v\in C_c^\infty(U)$, 命

$$\begin{aligned} i(\tau): I[u+\tau w]\left(\tau\in\mathbb{R}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

$\displaystyle u+\tau v\in \mathscr{A}$$\displaystyle \eqref{02-2-47}$ 知如果 $\displaystyle i'(0)$ 存在, 则

$$\begin{aligned} i'(0)=0\left({}'=\frac{\mathrm{ d}}{\mathrm{ d} \tau}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

写出

$$\begin{aligned} i(\tau)=&\int_U\left[\frac{1}{2}|Du+\tau Dv|^2-(u+\tau v)f\right]\mathrm{ d} x\\ =&\int_U \left[\frac{1}{2}|Du|^2 +\tau Du\cdot Dv +\frac{\tau^2}{2}|Dv|^2 -(u+\tau v)f\right]\mathrm{ d} x \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

后即知

$$\begin{aligned} 0=i'(0)=\int_U \left[Du\cdot Dv-vf\right]\mathrm{ d} x \stackrel{\mbox{Green}}{=} \int_U (-\Delta u-f)v\mathrm{ d} x. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

$\displaystyle v\in C_c^\infty(U)$ 的任意性即知 $\displaystyle -\Delta u=f$$\displaystyle U$ 中成立.

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3、 Dirichlet 原理是第 8 章中变分学直接作用于 Laplace 方程的一个特例.

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