张祖锦常用结论14反对称矩阵的合同标准形

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张祖锦常用结论反对称矩阵的合同标准形

设 $\displaystyle A$ 是反对称矩阵, 则 $\displaystyle A$ 合同于下列形状的分块矩阵:

$$\begin{aligned} \mathrm{diag}(\underbrace{S,\cdots,S}_r,0_{n-2r}),\quad S=\left(\begin{array}{cccccccccc}0&1\\\\ -1&0\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 对矩阵的阶数 $\displaystyle n$ 作数学归纳法. 当 $\displaystyle n=1$ 时, $\displaystyle A=(0)$, 结论自明. 当 $\displaystyle n=2$ 时, 若 $\displaystyle A=0$, 也结论也成立. 若 $\displaystyle A\neq 0$, 则可设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccc}0&a\\\\ -a&0\end{array}\right)$, $\displaystyle a\neq 0$. 由

$$\begin{aligned} \left(\begin{array}{cccccccccc}\frac{1}{a}&0\\\\ 0&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccc}0&a\\\\ -a&0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccc}\frac{1}{a}&0\\\\ 0&1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccccccc}0&1\\\\ -1&0\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

知 $\displaystyle A$ 合同于 $\displaystyle \left(\begin{array}{cccccccccc}0&1\\\\ -1&0\end{array}\right)$. 结论也得证. 假设对阶小于 $\displaystyle n$ 的矩阵结论成立, 现考虑 $\displaystyle n$ 阶反对称矩阵 $\displaystyle A$. 若 $\displaystyle A=0$, 则结论已成立. 若 $\displaystyle A\neq 0$, 则由反对称矩阵的主对角元为 $\displaystyle 0$ 知 $\displaystyle \exists\ i\neq j,\mathrm{ s.t.} a_{ij}\neq 0$. 将 $\displaystyle A$ 的第 $\displaystyle 1$ 行与第 $\displaystyle i$ 行对调, 第 $\displaystyle 1$ 列与第 $\displaystyle i$ 列对调; 第 $\displaystyle 2$ 行与第 $\displaystyle j$ 行对调, 第 $\displaystyle 2$ 列与第 $\displaystyle j$ 列对调; 第 $\displaystyle 1$ 行乘以 $\displaystyle \frac{1}{a_{ij}}$, 第 $\displaystyle 1$ 列乘以 $\displaystyle \frac{1}{a_{ij}}$, 最后得到的矩阵合同于 $\displaystyle A$, 且具有下列形状:

$$\begin{aligned} M=\left(\begin{array}{cccccccccc}S&B\\\\ -B^\mathrm{T}&A_{n-2}\end{array}\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

其中 $\displaystyle A_{n-2}$ 是 $\displaystyle n-2$ 阶反对称矩阵. 由 $\displaystyle S$ 可逆及

$$\begin{aligned} &\left(\begin{array}{cccccccccc}E_2&\\\\ B^\mathrm{T} S^{-1}&E_{n-2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccc}S&B\\\\ -B^\mathrm{T}&A_{n-2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccc}E_2&-S^{-1}B\\\\ &E_{n-2}\end{array}\right)\\\\ =&\left(\begin{array}{cccccccccc}S&0\\\\ 0&A_{n-2}+B^\mathrm{T} S^{-1} B\end{array}\right)\equiv N. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

易知 $\displaystyle A_{n-2}+B^\mathrm{T} S^{-1} B$ 反对称, 而由归纳假设, 它合同于 $\displaystyle \mathrm{diag}(S,\cdots,S,0)$. 因此, 分块矩阵 $\displaystyle N$ 合同于

$$\begin{aligned} \mathrm{diag}(\underbrace{S,\cdots,S}_r,0_{n-2r}),\quad S=\left(\begin{array}{cccccccccc}0&1\\\\ -1&0\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

结论得证. 跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/