张祖锦常用结论13两个正定矩阵的 Hadamard 积还是正定的

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张祖锦常用结论两个正定矩阵的 Hadamard 积还是正定的

设矩阵 $\displaystyle A=(a_{ij})_{n\times n}, B=(b_{ij})_{n\times n}, C=(c_{ij})_{n\times n}$, 其中 $\displaystyle c_{ij}=a_{ij}b_{ij}, i,j=1,2,\cdots,n$. 如果 $\displaystyle A, B$ 均为正定矩阵, 则 $\displaystyle C$ 也是正定矩阵.

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由 $\displaystyle A$ 正定知存在可逆阵 $\displaystyle T$ 使得 $\displaystyle A=T^\mathrm{T} T$. 于是对 $\displaystyle \forall\ 0\neq x\in\mathbb{R}^n$,

$$\begin{aligned} x^\mathrm{T} Cx=&\sum_{i,j}c_{ij}x_ix_j =\sum_{i,j}a_{ij}b_{ij}x_ix_j =\sum_{i,j,k} t_{ki}t_{kj}b_{ij}x_ix_j\\\\ \stackrel{y_{ki}=t_{ki}x_i}{=}&\sum_k \left[ \sum_{i,j}b_{ij}y_{ki}y_{kj}\right] \stackrel{y_k=(y_{k1},\cdots,y_{kn})^\mathrm{T}}{=}\sum_k y_k^\mathrm{T} B y_k\\\\ > &0\left((y_1,\cdots,y_n)=T\mathrm{diag}(x_1,\cdots,x_n)\Rightarrow \mbox{至少某}y_l\neq 0\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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