华南师范大学2021年高等代数考研试题参考解答

zhangzujin

  手机查看请在浏览器中打开, 到了支付页面请截图, 并用支付宝或微信扫描之, 稍等后获得金钱, 即可购买. 偶偶因为网络问题充值不成功, 请与微信 pdezhang 联系, 发送论坛昵称与付款时间即可处理, 稍安勿躁. 购买后刷新网页才能正常显示数学公式.

华南师范大学2021年高等代数考研试题参考解答

---

1、 (15 分) 证明 $\displaystyle x^2+x+1$ 整除 $\displaystyle x^{2021}+x^{1021}+x^{21}$ . fl: 多项式  

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle \omega_\pm=\frac{-1\pm\sqrt{3}\mathrm{ i}}{2}$ , 则 $\displaystyle \omega_\pm$ 是 $\displaystyle x^2+x+1=0$ 的所有根. 进而 $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} \omega_\pm^2+\omega_\pm+1=0, \omega_\pm^3=1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

由 $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} \left.(x^{2021}+x^{1021}+x^{21})\right|_{x=\omega_\pm} &=\omega_\pm^2+\omega_\pm+1=0 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

知 $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} x^2+x+1=(x-\omega_+)(x-\omega_-)\mid x^{2021}+x^{1021}+x^{21}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

---

---

2、 (15 分) 计算下列行列式 $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} \left|\begin{array}{cccccccccc}x_1-m&x_2&\cdots&x_n\\ x_1&x_2-m&\cdots&x_n\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ x_1&x_2&\cdots&x_n-m\end{array}\right|. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

fl:行列式  

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 若 $\displaystyle n=1$ , 则原式 $\displaystyle =x_1-m$ . 若 $\displaystyle n\geq 2$ , 则当 $\displaystyle m=0$ 时, 原式 $\displaystyle =0$ ; 当 $\displaystyle m\neq 0$ 时, $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} \mbox{原式}&=\left|\begin{array}{cccccccccc}1&x_1&x_2&\cdots&x_n\\ 0&x_1-m&x_2&\cdots&x_n\\ 0&x_1&x_2-m&\cdots&x_n\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&x_1&x_2&\cdots&x_n-m\end{array}\right|_{n+1}\\ &=\left|\begin{array}{cccccccccc}1&x_1&x_2&\cdots&x_n\\ -1&-m&&\cdots&\\ -1&x_1&-m&\cdots&\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ -1&x_1&&\cdots&-m\end{array}\right|_{n+1}\\ &=\left|\begin{array}{cccccccccc}1-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^n x_i&x_1&x_2&\cdots&x_n\\ 0&-m&&\cdots&\\ 0&x_1&-m&\cdots&\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&x_1&&\cdots&-m\end{array}\right|_{n+1}\\ &=(-m)^n \left(1-\frac{1}{m} \sum_{i=1}^n x_i\right) =(-m)^{n-1} \left(\sum_{i=1}^n x_i-m\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

不论何种情形, 总有原式 $\displaystyle =(-m)^{n-1} \left(\sum_{i=1}^n x_i-m\right)$ .  跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

---

---

3、 (15 分) 已知 $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&0\\ 1&0&1\\ 1&1&0\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

(1)、 证明: $\displaystyle A^n=A^{n-2}+A^2-I\ (n\geq 3)$ .

(2)、 求 $\displaystyle A^{2021}$ .

fl: 矩阵  

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 对 $\displaystyle n$ 作数学归纳法. 易知 $\displaystyle A$ 的特征多项式为 $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} f(\lambda) =\lambda^3-\lambda^2-\lambda+1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

据 Hamilton-Caylay 定理, $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} A^3-A^2-A+I=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

于是当 $\displaystyle n=3$ 时结论成立. 假设结论当 $\displaystyle n=k$ 时成立, 则 $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} A^{k+1}&=A^k\cdot A =(A^{k-2}+A^2-I)\cdot A =A^{k-1}+A^3-A\\ &=A^{k-1}+(A^2+A-I)-A =A^{k-1}+A^2-I. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

至此, 结论证毕. 往求 $\displaystyle A^{2021}$ : $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} A^{2021}&=\sum_{k=1}^{1010}(A^{2k+1}-A^{2k-1})+A =\sum_{k=1}^{1010}(A^2-I)+A\\ & =1010(A^2-I)+A =\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&0\\ 2021&0&1\\ 2021&1&0\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

---

---

4、 (15 分) 已知 $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} \alpha_1=(1,-1,1,0)^\mathrm{T}, \alpha_2=(1,1,0,1)^\mathrm{T}, \alpha_3=(3,1,1,2)^\mathrm{T}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

求一齐次线性方程组以 $\displaystyle L(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$ 为解空间. fl:线性方程组  

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设所求齐次线性方程组的系数矩阵为 $\displaystyle A$ , 则 $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} &A(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)=0\\ \Rightarrow&BA^\mathrm{T}=0, B=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\alpha_1^\mathrm{T}\\\vdots\\\alpha_4^\mathrm{T}\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

故 $\displaystyle A$ 的行向量组的转置, 作为 $\displaystyle A^\mathrm{T}$ 的列向量组, 是 $\displaystyle Bx=0$ 的解向量. 由 $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} B=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&-1&1&0\\ 1&1&0&1\\ 3&1&1&2\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&0&1&1\\ 0&2&-1&1\\ 0&0&0&0\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

知 $\displaystyle Bx=0$ 的基础解系为 $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} (-1,1,2,0)^\mathrm{T}, (-1,-1,0,2)^\mathrm{T}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

故可取线性方程组 $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} Ax=0, A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-1&1&2&0\\ -1&-1&0&2\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

---

---

5、 (15 分) 已知 $\displaystyle A$ 为 $\displaystyle m\times n$ 的矩阵, $\displaystyle B$ 为 $\displaystyle k\times n$ 的矩阵, 证明: $\displaystyle A$ 与 $\displaystyle B$ 的行向量等价当且仅当方程组 $\displaystyle AX=0$ 与 $\displaystyle BX=0$ 同解. fl: 线性方程组  

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} &AX=0, BX=0\mbox{同解}\\ \Leftrightarrow&\left\{X; AX=0\right\}=\left\{X; BX=0\right\}\\ \Leftrightarrow&\left\{X; AX=0\right\}=\left\{X; \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A\\B\end{array}\right)X=0\right\}=\left\{X; BX=0\right\}\\ \Leftrightarrow&\dim\left\{X; AX=0\right\}= \dim\left\{X; \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A\\B\end{array}\right)X=0\right\}=\dim\left\{X; BX=0\right\}\\ \Leftrightarrow&\mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A\\B\end{array}\right)=\mathrm{rank}(B)\left(\mbox{线性方程组解空间的维数哦}\right)\\ \Leftrightarrow&\left\{\begin{array}{llllllllllll} \mbox{ $\displaystyle B$ 的行向量组可由 $\displaystyle A$ 的行向量组线性表出}\\ \mbox{ $\displaystyle A$ 的行向量组可由 $\displaystyle B$ 的行向量组线性表出} \end{array}\right.\\ \Leftrightarrow&\mbox{ $\displaystyle A$ 与 $\displaystyle B$ 的行向量等价}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

---

---

6、 (15 分) 已知矩阵 $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}4&2&2\\ 2&4&2\\ 2&2&4\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

(1)、 证明: $\displaystyle A$ 为正定矩阵;

(2)、 证明:  存在正定矩阵 $\displaystyle B$ , 使得 $\displaystyle A=B^2$ ;

(3)、 求矩阵 $\displaystyle B$ .

fl: 矩阵  

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由 $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} 0=|\lambda E-A|=(\lambda-2)^2(\lambda-8) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

知 $\displaystyle A$ 的特征值为 $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} \lambda_1=2\ (\mbox{二重}),\quad  \lambda_2=8\ (\mbox{单重}). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

故 $\displaystyle A$ 正定. 由 $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} \lambda_1E-A=\left(\begin{array}{ccc} -2&-2&-2\\ -2&-2&-2\\ -2&-2&-2 \end{array}\right)\rightarrow\left(\begin{array}{ccc} 1&1&1\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

知 $\displaystyle A$ 的属于 $\displaystyle \lambda_1=2$ 的特征向量为 $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} \alpha_1=\left(\begin{array}{ccc} -1\\ 1\\ 0 \end{array}\right),\quad  \alpha_2=\left(\begin{array}{ccc} -1\\ 0\\ 1 \end{array}\right); \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

由 $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} \lambda_2E-A=\left(\begin{array}{ccc} 4&-2&-2\\ -2&4&-2\\ -2&-2&4 \end{array}\right)\rightarrow\left(\begin{array}{ccc} 1&0&-1\\ 0&1&-1\\ 0&0&0 \end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

知 $\displaystyle A$ 的属于 $\displaystyle \lambda_2=8$ 的特征向量为 $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} \alpha_3=\left(\begin{array}{ccc} 1\\ 1\\ 1 \end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

对 $\displaystyle \alpha_3,\alpha_2,\alpha_1$ 施行 Schmidt 正交化有 $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} \beta_3=\frac{\alpha_3}{|\alpha_3|}=\left(\begin{array}{ccc} \frac{\sqrt{3}}{3}\\ \frac{\sqrt{3}}{3}\\ \frac{\sqrt{3}}{3} \end{array}\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

$\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} \beta_2=\frac{\alpha_2-(\alpha_2,\beta_3)\beta_3 }{|\alpha_2-(\alpha_2,\beta_3)\beta_3| }=\left(\begin{array}{ccc} -\frac{\sqrt{2}}{2}\\ 0\\ \frac{\sqrt{2}}{2} \end{array}\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

$\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} \beta_1=\frac{\alpha_1-(\alpha_1,\beta_3)\beta_3-(\alpha_1,\beta_2)\beta_2 }{|\alpha_1-(\alpha_1,\beta_3)\beta_3-(\alpha_1,\beta_2)\beta_2| }=\left(\begin{array}{ccc} -\frac{\sqrt{6}}{6}\\ \frac{\sqrt{6}}{3}\\ -\frac{\sqrt{6}}{6} \end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

取 $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} P=(\beta_1,\beta_2,\beta_3)=\left(\begin{array}{ccc} -\frac{\sqrt{6}}{6}&-\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{\sqrt{3}}{3}\\ \frac{\sqrt{6}}{3}&0&\frac{\sqrt{3}}{3}\\ -\frac{\sqrt{6}}{6}&\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{\sqrt{3}}{3} \end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

则 $\displaystyle P$ 为正交阵, 且 $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} P^{-1}AP=\left(\begin{array}{ccc} 2&&\\ &2&\\ &&8 \end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

令 $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} B=P\mathrm{diag}(\sqrt{2},\sqrt{2},2\sqrt{2})P^{-1} =\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \frac{4\sqrt{2}}{3}&\frac{\sqrt{2}}{3}&\frac{\sqrt{2}}{3}\\ \frac{\sqrt{2}}{3}&\frac{4\sqrt{2}}{3}&\frac{\sqrt{2}}{3}\\ \frac{\sqrt{2}}{3}&\frac{\sqrt{2}}{3}&\frac{4\sqrt{2}}{3} \end{array}\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

则 $\displaystyle B$ 是特征值为正数的实对称矩阵, 而是正定矩阵, 且 $\displaystyle B^2=A$ .  跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

---

---

7、 (20 分) 已知 $\displaystyle A,B,C,D$ 均为 $\displaystyle n$ 阶方阵. 请解答如下问题:

(1)、 $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} \left|\begin{array}{cccccccccc}A&B\\ C&D\end{array}\right|=|AD-CB| \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

是否成立, 为什么?

(2)、 若上述不等式不成立, 那满足什么条件等式成立, 并证明结论.

fl:矩阵  

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /

(1)、 不一定成立. 比如 $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} &A=D=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&2\\ 5&6\end{array}\right), B=C=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}3&4\\ 78\end{array}\right)\\ \Rightarrow& \left|\begin{array}{cccccccccc}A&B\\ C&D\end{array}\right|=0\neq -64=|AD-CB|. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

(2)、 当 $\displaystyle AC=CA$ 时, 结论成立. 证明见数学考研竞赛00049.

跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

---

---

8、 (20 分) 解答如下问题:

(1)、 写出正交矩阵的定义.

(2)、 已知 $\displaystyle A$ 是特征值全为实数的 $\displaystyle n$ 阶矩阵.

(2-1)、 证明: 存在正交矩阵 $\displaystyle T$ , 使得 $\displaystyle T^{-1}AT$ 为上三角矩阵.

(2-2)、 若 $\displaystyle A$ 为正交矩阵, 则 $\displaystyle A$ 为对称矩阵.

fl: 矩阵  

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /

(1)、 若 $\displaystyle n$ 阶方阵 $\displaystyle A$ 满足 $\displaystyle A^\mathrm{T} A=E$ , 则称 $\displaystyle A$ 是正交矩阵.

(2)、

(2-1)、 设 $\displaystyle \alpha\neq 0$ 为 $\displaystyle A$ 的属于特征值 $\displaystyle \lambda_1$ 的特征向量. 将 $\displaystyle \alpha$ 作为第一列构造正交阵 $\displaystyle P_1$ , 则 $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} P_1^\mathrm{T} AP_1=\left(\begin{array}{cc} \lambda_1&\star \\ 0&B \end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

对 $\displaystyle B$ 用数学归纳法即知存在正交阵 $\displaystyle Q_2$ , 使得 $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} Q_2^\mathrm{T} BQ_2=\left(\begin{array}{ccc} \lambda_2&\star &\star \\ &\ddots&\star \\ &&\lambda_n \end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

取 $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} P=P_1\left(\begin{array}{cc} 1&\\ &Q_2 \end{array}\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

则 $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} P^\mathrm{T} AP=\left(\begin{array}{ccc} \lambda_1&\star &\star \\ &\ddots&\star \\ &&\lambda_n \end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

由 $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} |\lambda E-A|=|\lambda E-P_1^\star AP_1| =(\lambda-\lambda_1)|\lambda E-B| \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

即知 $\displaystyle A$ 的除 $\displaystyle \lambda_1$ 外的特征值都是 $\displaystyle B$ 的特征值.

(2-2)、 我们先证结论1: 若 $\displaystyle A$ 为正交阵, 则 $\displaystyle A$ 的特征值的模长为 $\displaystyle 1$ . 事实上, 设 $\displaystyle \alpha\neq 0$ 为 $\displaystyle A$ 的属于特征值 $\displaystyle \lambda$ 的特征向量. 则 $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} |\alpha|^2=\left\lt A^\mathrm{T} A\alpha,\alpha\right\gt =\left\lt A\alpha,A\alpha\right\gt  =|A\alpha|^2=|\lambda|^2|\alpha|^2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

再证结论2:  若 $\displaystyle A$ 为正交阵, 则 $\displaystyle A^2$ 仍为正交阵. 事实上, $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} A^\mathrm{T} A=E\Rightarrow (A^2)^\mathrm{T} A^2=E. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

往证题目. 由结论 1 知 $\displaystyle A$ 的特征值的模长为 $\displaystyle 1$ . 又 $\displaystyle A$ 的特征值全为实数, 而 $\displaystyle A$ 的特征值为 $\displaystyle \pm 1$ , $\displaystyle A^2$ 的特征值为 $\displaystyle 1$ . 再由第 i 步, 存在正交阵 $\displaystyle P$ , 使得 $\displaystyle P^\mathrm{T} A^2P=U$ , 其中 $\displaystyle U$ 为上三角阵, 且对角元为 $\displaystyle 1$ . 据结论 2, $\displaystyle A^2$ 为正交阵, 而 $\displaystyle U$ 为正交阵. 既然 $\displaystyle U$ 的对角元为 $\displaystyle 1$ , 且其每行每列均为单位向量, 我们知道 $\displaystyle U=E$ , $\displaystyle A^2=E$ , $\displaystyle A^\mathrm{T}=A^{-1}=A$ .

跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

---

---

9、 (20 分) 已知 $\displaystyle A$ 是线性空间 $\displaystyle V$ 上的线性变换 $\displaystyle \sigma$ 在某一组基下的矩阵, 证明: $\displaystyle \mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}(A^2)$ 当且仅当 $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} V=\ker \sigma\oplus\mathrm{im} \sigma, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

其中 $\displaystyle \mathrm{rank}(A)$ 为 $\displaystyle A$ 的秩. fl: 线性空间与线性变换  

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /

(1)、 设 $\displaystyle \sigma$ 在 $\displaystyle V$ 的基 $\displaystyle \varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n$ 下的矩阵为 $\displaystyle A$ . 易知 $\displaystyle \ker \sigma\subset \ker\sigma^2$ . 由 $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} \dim \ker \sigma=n-\mathrm{rank}(A), \dim \ker \sigma^2=n-\mathrm{rank}(A^2) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

知 $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} \mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}(A^2)&\Leftrightarrow \dim \ker \sigma=\dim \ker \sigma^2 \Leftrightarrow \ker \sigma=\ker \sigma^2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

(2)、 $\displaystyle \Rightarrow$ : 由 $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} \alpha\in \ker \sigma\cap \mathrm{im} \sigma&\Rightarrow \left\{\begin{array}{llllllllllll}\sigma(\alpha)=0\\ \exists\ \beta\in V,\mathrm{ s.t.} \alpha=\sigma(\beta)\end{array}\right.\\ &\Rightarrow \sigma^2(\beta)=0\Rightarrow \beta\in \ker \sigma^2=\ker \sigma\\ &\Rightarrow \alpha=\sigma(\beta)=0 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

知 $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} &\ker\sigma\cap \mathrm{im}\sigma=\left\{0\right\}\\ \Rightarrow&\dim(\ker \sigma+\mathrm{im}\sigma)=\dim \ker \sigma+\dim \mathrm{im}\sigma-\dim(\ker \sigma\cap \mathrm{im}\sigma)=n\\ \Rightarrow&\ker \sigma+\mathrm{im}\sigma=V\Rightarrow \ker \sigma\oplus \mathrm{im}\sigma=V. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

(3)、 $\displaystyle \Leftarrow$ :  由第 1 步知仅需验证 $\displaystyle \ker\sigma^2\subset \ker \sigma$ . 事实上, $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} \alpha\in \ker \sigma^2&\Rightarrow \sigma^2(\alpha)=0 \Rightarrow \sigma(\alpha)\in \ker \sigma\cap \mathrm{im}\sigma=\left\{0\right\}\\ &\Rightarrow \sigma(\alpha)=0\Rightarrow \alpha\in \ker \sigma. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

---