西北工业大学2024年高等代数考研试题参考解答

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西北工业大学2024年高等代数考研试题参考解答

一. 设 $\displaystyle A$ 是三阶复方阵,  且满足关于迹的等式 $\displaystyle \operatorname{tr}\left (A^{i}\right) =i (i=1, 2, 3)$ ,   求行列式 $\displaystyle \operatorname{det} A$ . fl: 行列式  

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle A$ 的特征值为 $\displaystyle \lambda_j\ (1\leq j\leq 3)$ , 则 $\displaystyle A^i$ 的特征值为 $\displaystyle \lambda_j^i\ (1\leq j\leq 3)$ . 按题意, $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} s_i\equiv \sum_{j=1}^4 \lambda_j^i=i,\quad  1\leq i\leq 3. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

设 $\displaystyle A$ 的特征多项式 $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} f(\lambda)=\prod_{j=1}^3 (\lambda-\lambda_j) =\lambda^3+a_1\lambda^2+a_2\lambda+a_3, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

则由 Newton 公式: $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} s_1+a_1=&0,\\ s_2+s_1a_1+2a_2=&0,\\ s_3+s_2a_1+s_1a_2+3a_3=&0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

将 $\displaystyle s_i=i$ 代入可依次求得 $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} a_1=-1,\quad  a_2=-\frac{1}{2},\quad  a_3=-\frac{1}{6}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

如此, $\displaystyle |A|=a_3=-\frac{1}{6}$ .  跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

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二. 设 $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle m \times n$ 矩阵,  且 $\displaystyle r (A) =r,  B$ 是 $\displaystyle m \times p$ 矩阵.   (1)  给出矩阵方程 $\displaystyle A X=B$ 有解的充要条件.   (2)  若 $\displaystyle X_{0}$ 是 $\displaystyle A X=B$ 的一个特解,  试求出 $\displaystyle A X=B$ 的通解. fl:线性方程组  

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(1)、 设 $\displaystyle B=(\beta_1,\cdots,\beta_p)$ , 则 $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} &\mbox{ $\displaystyle AX=B$ 有解}\Leftrightarrow Ax=\beta_i\left(\forall\ 1\leq i\leq m\right)\mbox{有解}\\ \Leftrightarrow& \forall\ 1\leq i\leq m, \beta_i\mbox{是 $\displaystyle A$ 的列向量组的线性组合} \Leftrightarrow \mathrm{rank} A=\mathrm{rank}(A,B). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

(2)、 由 $\displaystyle \mathrm{rank} A=r$ 知 $\displaystyle Ax=0$ 的基础解系有 $\displaystyle n-r$ 个向量 $\displaystyle \eta_1,\cdots,\eta_{n-r}$ . 再设 $\displaystyle X_0=(\alpha_1,\cdots,\alpha_p)$ , 则 $\displaystyle A\alpha_i=\beta_i$ , $\displaystyle Ax=\beta_i$ 的通解为 $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} x=k_{i1}\eta_1+\cdots+k_{i,n-r}\eta_{n-r}+\alpha_i. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

于是 $\displaystyle AX=B$ 的通解为 $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} X=&\left(k_{11}\eta_1+\cdots+k_{1,n-r}\eta_{n-r}+\alpha_1, \cdots, k_{p1}\eta_1+\cdots+k_{p,n-r}\eta_{n-r}+\alpha_p\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

$\displaystyle \forall\ k_{ij}, 1\leq i\leq p, 1\leq j\le n-r$ .

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三. 设 $\displaystyle A,  B$ 为数域 $\displaystyle F$ 上的 $\displaystyle m \times n,  n \times s$ 矩阵,  记 $\displaystyle W=\left\{B X \mid X \in F^{s},  A B X=0\right\}$ 是 $\displaystyle n$ 元 (列) 空间 $\displaystyle F^{n}$ 的子空间,  证明: $\displaystyle \dim W=\mathrm{rank} B-\mathrm{rank}(AB)$ . fl: 线性空间与线性变换  

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle U=\left\{X\in\mathbb{F}^s; BX=0\right\}, V=\left\{X\in\mathbb{F}^s; ABX=0\right\}$ , 则 $\displaystyle U\subset V$ . 再设 $\displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_r$ 是 $\displaystyle U$ 的一组基, 将其扩充为 $\displaystyle V$ 的一组基 $\displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_t$ . 则 $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} W=&\left\{BX; X\in V\right\} =\left\{\sum_{i=1}^t k_iB\alpha_i; X=\sum_{i=1}^t k_i\alpha_i\in V\right\}\\ =&\left\{\sum_{i=r+1}^t k_iB\alpha_i; X=\sum_{i=1}^t k_i\alpha_i\in V\right\}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

由 $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} &\sum_{i=r+1}^t k_iB\alpha_i=0 \Leftrightarrow B\left(\sum_{i=r+1}^t k_i\alpha_i\right)=0 \Leftrightarrow \sum_{i=r+1}^t k_i\alpha_i\in U\\ \Leftrightarrow& \sum_{i=r+1}^t k_i\alpha_i=-\sum_{i=1}^r k_i\alpha_i \Rightarrow k_i=0, \forall\ 1\leq i\leq t \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

知 $\displaystyle B\alpha_{r+1},\cdots,B\alpha_t$ 线性无关, 是 $\displaystyle W$ 的一组基. 于是 $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} \dim W=&t-r=\dim V-\dim U\\ =&[s-\mathrm{rank}(AB)]-[s-\mathrm{rank} B] =\mathrm{rank} B-\mathrm{rank}(AB). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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四. 求满足 $\displaystyle A^{\star }=A$ 的所有 $\displaystyle n (n \geq 2)$ 阶复方阵 $\displaystyle A$ ,   其中 $\displaystyle A^{\star }$ 是 $\displaystyle A$ 的伴随矩阵. fl:矩阵  

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(1)、 若 $\displaystyle n=2$ , 则 $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}a&b\\ c&d\end{array}\right)\Rightarrow A^\star=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}d&-b\\ -c&a\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

于是 $\displaystyle A^\star=A\Leftrightarrow a=d, b=c=0\Leftrightarrow A=aE_2$ .

(2)、 若 $\displaystyle n\geq 3$ , 则由 $\displaystyle \mathrm{rank} A^\star=\left\{\begin{array}{llllllllllll}n,&\mathrm{rank} A=n,\\ 1,&\mathrm{rank} A\leq n-1,\\ 0,&\mathrm{rank} A\leq n-2\end{array}\right.$ 知 $\displaystyle A^\star=A\Rightarrow \mathrm{rank} A^\star=\mathrm{rank} A$ , 而 $\displaystyle \mathrm{rank} A=n$ , $\displaystyle A$ 可逆, $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} A=A^\star\Rightarrow A^2=AA^\star=|A|E. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

取行列式得 $\displaystyle |A|^2=|A|^n\Rightarrow |A|^{n-2}=1$ .

(2-1)、 若 $\displaystyle n$ 是奇数, 则 $\displaystyle |A|=1$ , $\displaystyle A^2=E$ , 存在可逆矩阵 $\displaystyle P$ , 使得 $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} A=P\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E_r&\\ &-E_{n-r}\end{array}\right)P^{-1}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

注意到 $\displaystyle 1=|A|=(-1)^{n-r}$ , 我们知 $\displaystyle r$ 是奇数, 即 $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} A=P\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E_{2k+1}&\\ &-E_{n-2k-1}\end{array}\right)P^{-1}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

(2-2)、 若 $\displaystyle n$ 为偶数, 则 $\displaystyle |A|=\pm 1$ , $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} |A|=1\Rightarrow A^2=E\Rightarrow A=P\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E_{2r}&\\ &-E_{n-2r}\end{array}\right)P^{-1},\\ \mbox{或} |A|=-1\Rightarrow A^2=-E\Rightarrow A=P\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\mathrm{ i} E_r&\\ &-\mathrm{ i} E_{n-r}\end{array}\right)P^{-1}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

当 $\displaystyle |A|=-1$ 时, $\displaystyle -1=|A|=\mathrm{ i}^r (-\mathrm{ i})^{n-r}=(-1)^r\Rightarrow r$ 是奇数. 故 $\displaystyle A=P\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E_{2k}&\\ &-E_{n-2k}\end{array}\right)P^{-1}$ 或 $\displaystyle P\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\mathrm{ i} E_{2k+1}&\\ &-\mathrm{ i} E_{n-2k-1}\end{array}\right)P^{-1}$ .

综上, $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} n=2\Rightarrow A=aE_2; n=2m+1\ (m\geq 1)\Rightarrow A= P\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E_{2k+1}&\\ &-E_{2m-2k}\end{array}\right)P^{-1};\\ n=2m\ (m\geq 2)\Rightarrow A= P\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E_{2k}&\\ &-E_{2m-2k}\end{array}\right)P^{-1}\mbox{或} P\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\mathrm{ i} E_{2k+1}&\\ &-\mathrm{ i} E_{2m-2k-1}\end{array}\right)P^{-1}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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六. 求实二次型 $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} f\left (x_{1},  x_{2},  \cdots,  x_{n}\right) =\left (x_{1}-\bar{x}\right) ^{2}+\left (x_{2}-\bar{x}\right) ^{2}+\cdots+\left (x_{n}-\bar{x}\right) ^{2}\tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

的规范标准形,  其中 $\displaystyle \bar{x}=\frac{1}{n}\left (x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}\right)$ . fl:二次型  

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} D_n(b,a)=\left|\begin{array}{cccccccccc}b&a&\cdots&a\\ a&b&\cdots&a\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a&a&\cdots&b\end{array}\right|_n, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

其中 $\displaystyle n\geq 2$ . 则易知 $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} D_n(b,a)=(b-a)^{n-1}[b+(n-1)a]. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

于是 $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} D_{n-1}\left(\frac{n-1}{n},-\frac{1}{n}\right)=\frac{n-1}{n}+(n-2)\left(-\frac{1}{n}\right)=\frac{1}{n}\neq 0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

作非退化线性替换 $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} y_1&=x_1-\frac{x_1+\cdots+x_n}{n},\\ \cdot&=\cdots,\\ y_{n-1}&=x_{n-1}-\frac{x_1+\cdots+x_n}{n},\\ y_n&=x_n, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

则 $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} y_1+\cdots+y_n&=x_1+\cdots+x_n-\frac{n-1}{n}(x_1+\cdots+x_n)\\ &=\frac{x_1+\cdots+x_n}{n},\\ x_n-\frac{x_1+\cdots+x_n}{n}&=y_n-(y_1+\cdots+y_n)\\ &=-y_1-\cdots-y_{n-1}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

而二次型 $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} f&=y_1^2+\cdots+y_{n-1}^2+(y_1+\cdots+y_{n-1})^2\\ &=2y_1^2+\cdots+2y_{n-1}^2+2\sum_{i\lt j}y_iy_j. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

其矩阵的顺序主子式 $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} D_k(2,1)=2+(k-1)=k+1\gt 0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

故 $\displaystyle f$ 作为 $\displaystyle y_1,\cdots,y_{n-1}$ 的二次型是正定, 而其规范形为 $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} z_1^2+\cdots+z_{n-1}^2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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七. 设 $\displaystyle \eta$ 是 $\displaystyle n$ 维 Euclid 空间 $\displaystyle V$ 的一个单位向量.   (1)  证明: $\displaystyle \mathscr{A}:  \alpha \mapsto \alpha-2 (\eta,  \alpha)  \eta (\forall \alpha \in V)$ 是 $\displaystyle V$ 上的正交变换 (也称镜面反射) .   (2)  若 $\displaystyle V$ 的正交变换 $\displaystyle \mathscr{B}$ 有特征值 1,  且特征子空间 $\displaystyle V_{1}$ 是 $\displaystyle n-1$ 维的,  证明:  $\displaystyle \mathscr{B}$ 是镜面反射. fl: 欧氏空间  

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(1)、 将 $\displaystyle \eta_1=\eta$ 扩充为 $\displaystyle V$ 的一组标准正交基 $\displaystyle \eta_1,\cdots,\eta_n$ , 则 $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} \mathscr{A}(\eta_1,\cdots,\eta_n)=(\eta_1,\cdots,\eta_n)A, A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-1&\\ &E_{n-1}\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

由 $\displaystyle A$ 正交知 $\displaystyle \mathscr{A}$ 是一个正交变换.

(2)、 一言以蔽之, 属于特征值 $\displaystyle 1$ 的特征子空间的维数为 $\displaystyle n-1$ 的正交变换是镜面反射. 设 $\displaystyle \varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_{n-1}$ 是 $\displaystyle V_1$ 的一组标准正交基, 将其扩充为 $\displaystyle V$ 的一组标准正交基 $\displaystyle \varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n$ , 则 $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} \mathscr{B}(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n)=(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n)A, A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E_{n-1}&\alpha\\ 0&\lambda\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

由 $\displaystyle \mathscr{B}$ 是正交变换知 $\displaystyle A$ 是正交矩阵, 而 $\displaystyle A$ 的行向量都是单位向量, 故 $\displaystyle \alpha=0$ . 又由 $\displaystyle A$ 的特征值的模长为 $\displaystyle 1$ 知 $\displaystyle |\lambda|=1$ . 由于 $\displaystyle |\lambda E-A|$ 的虚特征值成对出现, 我们知 $\displaystyle \lambda\in \mathbb{R}\Rightarrow \lambda=\pm 1$ . 又由 $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} \lambda=1\Rightarrow V_1=V\Rightarrow \dim V_1=\dim V=n,\mbox{与题设矛盾} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

知 $\displaystyle \lambda=-1$ , 而 $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} \mathscr{B}(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n)=(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E_{n-1}&\\ &-1\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

这表明 $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} \mathscr{B}(\alpha)=\alpha-2(\varepsilon_n,\alpha)\varepsilon_n,\quad \forall\ \alpha\in V. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

而 $\displaystyle \mathscr{B}$ 是一个镜面反射.

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八. 在 $\displaystyle F^{n \times n}$ 中,  记 $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} W_{1}=&\left\{A \in F^{n \times n} \mid \operatorname{tr} (A) =0\right\},  \\ W_{2}=&\left\{\operatorname{diag}\left\{x_{1},  x_{2},  \cdots,  x_{n}\right\} \mid x_{1}=x_{2}=\cdots=x_{n} \in F\right\}.\tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

(1)  证明: $\displaystyle W_{1},  W_{2}$ 为 $\displaystyle F^{n \times n}$ 的子空间.   (2)  求 $\displaystyle W_{1},  W_{2}$ 的一个基和维数.   (3)  证明:  $\displaystyle F^{n \times n}=W_{1} \oplus W_{2}$ . fl: 线性空间与线性变换  

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(1)、 对 $\displaystyle \forall\ A,B\in W_1, \forall\ k,l\in\mathbb{F}$ , $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} \mathrm{tr}(kA+lB)=k\mathrm{tr} A+l\mathrm{tr} B=k0+l0=0\Rightarrow kA+lB\in W_1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

故 $\displaystyle W_1$ 是 $\displaystyle \mathbb{F}^n$ 的子空间. $\displaystyle W_2=L(E_n)$ 自然是 $\displaystyle \mathbb{F}^n$ 的子空间.

(2)、 设 $\displaystyle A=(a_{ij})\in W_1$ , 则 $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} a_{11}+\cdots+a_{nn}=0, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

而 $\displaystyle \dim V=n^2-1$ , 且 $\displaystyle W_1$ 有一组基 $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} -E_{11}+E_{22},-E_{11}+E_{33},\cdots,-E_{11}+E_{nn}, E_{ij}\left(i\neq j\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

再者, $\displaystyle W_2$ 有一组基 $\displaystyle E_n$ , $\displaystyle \dim W_2=1$ .

(3)、 由 $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} &\mathbb{F}^n\ni A=\left(A-\frac{\mathrm{tr} A}{n}E_n\right)+\frac{\mathrm{tr} A}{n}E_n\in W_1+W_2,\\ &A\in W_1\cap W_2\Rightarrow \mathrm{tr} A=0, A=aE_n\Rightarrow a=0, A=0 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

即知 $\displaystyle \mathbb{F}^{n\times n}=W_1\oplus W_2$ .

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九. 设实线性空间 $\displaystyle V$ 上的线性变换 $\displaystyle \mathscr{A}$ 在一组基 $\displaystyle \alpha_{1},  \alpha_{2},  \alpha_{3}$ 下满足 $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} \mathscr{A}\left (\alpha_{1},  \alpha_{2},  \alpha_{3}\right) =\left (\alpha_{1},  \alpha_{2},  \alpha_{3}\right) \left (\begin{array}{ccc} 3 & 4 & -5 \\ 6 & 3 & -4 \\ 6 & 4 & -6 \end{array}\right) .\tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

(1)  求 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的所有特征值和特征向量.   (2)  求 $\displaystyle \mathscr{B}=\mathscr{A}^{3}-5 \mathscr{A}$ 的一个非平凡不变子空间. fl:线性空间与线性变换  

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(1)、 设 $\displaystyle \lambda$ 是 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的特征值, $\displaystyle 0\neq \alpha\in V$ , 使得 $\displaystyle \mathscr{A}\alpha=\lambda\alpha$ , 则 $\displaystyle \lambda\in\mathbb{R}$ . 算出 $\displaystyle A$ 的实特征值, 只有 $\displaystyle 3$ . 由 $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} A-3E\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&-\frac{2}{3}\\ 0&1&-\frac{5}{4}\\ 0&0&0\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

知 $\displaystyle A$ 对应于特征值 $\displaystyle 3$ 的特征向量为 $\displaystyle (8,15,12)^\mathrm{T}$ , $\displaystyle \mathscr{A}$ 对应于特征值 $\displaystyle 3$ 的特征向量为 $\displaystyle 8\alpha_1+15\alpha_2+12\alpha_3$ .

(2)、 由 $\displaystyle A^3-5A=12E$ 知 $\displaystyle \mathscr{B}=12\mathscr{E}$ . 于是 $\displaystyle L(8\alpha_1+15\alpha_2+12\alpha_3)$ 就是 $\displaystyle \mathscr{B}$ 的非平凡的不变子空间.

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十. 设 $\displaystyle A,  C$ 为 $\displaystyle n$ 阶正定实对称矩阵,  证明: $\displaystyle A X+X A=C$ 存在唯一解 $\displaystyle B$ ,   且 $\displaystyle B$ 也是正定矩阵. fl: 矩阵  

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(1)、 由 $\displaystyle A$ 正定知存在正交矩阵 $\displaystyle P$ 使得 $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} P^\mathrm{T} AP=\mathrm{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_n), \lambda_i\gt 0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

于是 $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} AX+XA=C&\Leftrightarrow P^\mathrm{T} AP\cdot P^\mathrm{T} XP     +P^\mathrm{T} XP\cdot P^\mathrm{T} AP=P^\mathrm{T} CP\\     &\Leftrightarrow \mathrm{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_n)\tilde X+\tilde X\mathrm{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_n)=\tilde C\\     &\quad \left(\tilde X=P^\mathrm{T} XP, \tilde C=P^\mathrm{T} CP\right)\\     &\Leftrightarrow \lambda_i\tilde x_{ij}+\tilde x_{ij}\lambda_j=\tilde c_{ij}\\     &\Leftrightarrow \tilde x_{ij}=\frac{\tilde c_{ij}}{\lambda_i+\lambda_j}\\     &\Leftrightarrow X=P\left(\frac{\tilde c_{ij}}{\lambda_i+\lambda_j}\right)P^\mathrm{T}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

这就证明了 $\displaystyle AX+XA=C$ 解的存在唯一性.

(2)、 对 $\displaystyle AB+BA=C$ 取转置得 $\displaystyle B^\mathrm{T} A+A^\mathrm{T} C$ . 由 $\displaystyle AX+XA=C$ 解的唯一性知 $\displaystyle B^\mathrm{T} =B$ , 而 $\displaystyle B$ 对称. 为证 $\displaystyle B$ 正定, 仅需证明 $\displaystyle B$ 的任一特征值 $\displaystyle \lambda$ 均大于零. 设 $\displaystyle \alpha\neq 0$ 为 $\displaystyle B$ 的对应于 $\displaystyle \lambda$ 的特征向量, 则 $\displaystyle \tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} \alpha^\mathrm{T}  C\alpha &=\alpha^\mathrm{T} (AB+BA)\alpha =\alpha^\mathrm{T} A (B\alpha)+(B\alpha)^\mathrm{T}  A\alpha\\ &=\alpha^\mathrm{T}  A(\lambda \alpha)+(\lambda \alpha)^\mathrm{T}  A\alpha =2\lambda \alpha^\mathrm{T} A\alpha. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

而 $\displaystyle \lambda=\frac{\alpha^\mathrm{T} C\alpha}{2\alpha^\mathrm{T} A\alpha}\gt 0.$

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