张祖锦2023年数学专业真题分类70天之第40天

zhangzujin · 发表于 2023-3-5 09:15:49

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## 张祖锦2023年数学专业真题分类70天之第40天 --- 898、 2、判断题 (每题 5 分, 共 25 分). (1)、多项式 $\displaystyle x^4+1$ 在实数域上不可约. $\displaystyle \underline\{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \}$ (上海大学2023年高等代数考研试题) [多项式 ] [纸质资料](https://mp.weixin.qq.com/s/ycnPCSqWFlThEnq9ZZ6gBQ)/[答疑](https://mp.weixin.qq.com/s/JGYZG5rsshf7Z2Amo2di8A)/[pdf1](https://mp.weixin.qq.com/s/Pt6\_h5MqtomrUDYiPEwkxg)/[pdf2](https://mp.weixin.qq.com/s/dWvpeJFKnFr0WYPoidXXMA) / $\displaystyle \times$. 实数域上不可约的多项只有一次多项式和判别式小于 $\displaystyle 0$ 的二次多项式.跟锦数学微信公众号. [在线资料](https://mp.weixin.qq.com/s/F-TU-uzeo3EjxI5LzjUvRw)/[公众号](https://mp.weixin.qq.com/s/pdC49P5WZXTEpRBa0JBfow)/ --- 899、 (5)、 (15 分) 设 $\displaystyle p$ 是素数, $\displaystyle a$ 为正数, $\displaystyle f(x)=ax^p+px+1, p^2\mid (a+1)$. 求证: $\displaystyle f(x)$ 在有理数域上不可约. (上海大学2023年高等代数考研试题) [多项式 ] [纸质资料](https://mp.weixin.qq.com/s/ycnPCSqWFlThEnq9ZZ6gBQ)/[答疑](https://mp.weixin.qq.com/s/JGYZG5rsshf7Z2Amo2di8A)/[pdf1](https://mp.weixin.qq.com/s/Pt6\_h5MqtomrUDYiPEwkxg)/[pdf2](https://mp.weixin.qq.com/s/dWvpeJFKnFr0WYPoidXXMA) / \begin\{aligned\} f(x+1)=&a(x+1)^p+p(x+1)+1\\\\ =&ax^p+aC\_p^1 x^\{p-1\}+\cdots+aC\_p^\{p-2\}x^2 +(a+1)px+a+1+p. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\} 由 \begin\{aligned\} p\mid a&\Rightarrow a=ps, s\in\mathbb\{Z\} \Rightarrow p^2\mid (a+1)=ps+1\\\\ &\Rightarrow ps+1=p^2t\Rightarrow 1=p(pt-s)\Rightarrow p\mid 1,\mbox\{与 $\displaystyle p$ 是素数矛盾\} \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\} 知 $\displaystyle p\nmid a$. 又由 \begin\{aligned\} p\mid aC\_p^k\left(1\leq k\leq p-2\right), p\mid(a+1)p, p\mid (a+1+p), p^2\nmid (a+1+p) \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\} 及 Eisenstein 判别法知 $\displaystyle f(x+1)$ 在 $\displaystyle \mathbb\{Q\}$ 中不可约, 而 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb\{Q\}$ 中不可约.跟锦数学微信公众号. [在线资料](https://mp.weixin.qq.com/s/F-TU-uzeo3EjxI5LzjUvRw)/[公众号](https://mp.weixin.qq.com/s/pdC49P5WZXTEpRBa0JBfow)/ --- 900、 1、 (10 分) 解答如下问题. (1)、叙述一元整系数多项式的艾森斯坦判别法. (上海交通大学2023年高等代数考研试题) [多项式 ] [纸质资料](https://mp.weixin.qq.com/s/ycnPCSqWFlThEnq9ZZ6gBQ)/[答疑](https://mp.weixin.qq.com/s/JGYZG5rsshf7Z2Amo2di8A)/[pdf1](https://mp.weixin.qq.com/s/Pt6\_h5MqtomrUDYiPEwkxg)/[pdf2](https://mp.weixin.qq.com/s/dWvpeJFKnFr0WYPoidXXMA) / Eisenstein 判别法: 设 \begin\{aligned\} f(x)=a\_nx^n+a\_\{n-1\}x^\{n-1\}+\cdots+a\_0 \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\} 是整系数多项式, 若存在素数 $\displaystyle p$, 使得 \begin\{aligned\} p\nmid a\_n, p\mid a\_\{n-1\},a\_\{n-2\},\cdots,a\_0, p^2\nmid a\_0, \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\} 则 $\displaystyle f$ 在有理数域上不可约.跟锦数学微信公众号. [在线资料](https://mp.weixin.qq.com/s/F-TU-uzeo3EjxI5LzjUvRw)/[公众号](https://mp.weixin.qq.com/s/pdC49P5WZXTEpRBa0JBfow)/ --- 901、 (2)、 $\displaystyle x^4+x^3+x^2+x+1$ 在有理数域上是否可约, 为什么? (上海交通大学2023年高等代数考研试题) [多项式 ] [纸质资料](https://mp.weixin.qq.com/s/ycnPCSqWFlThEnq9ZZ6gBQ)/[答疑](https://mp.weixin.qq.com/s/JGYZG5rsshf7Z2Amo2di8A)/[pdf1](https://mp.weixin.qq.com/s/Pt6\_h5MqtomrUDYiPEwkxg)/[pdf2](https://mp.weixin.qq.com/s/dWvpeJFKnFr0WYPoidXXMA) / 不可约. 我们给出一般的结果. 设 $\displaystyle f(x)=x^\{p-1\}+x^\{p-2\}+\cdots+x+1$, $\displaystyle p$ 是素数. 则 $\displaystyle f(x)$ 在有理数域上不可约. 事实上, 由 $\displaystyle f(x)=\frac\{x^p-1\}\{x-1\}$ 知 \begin\{aligned\} f(x+1)=&\frac\{(x+1)^p-1\}\{x\} =x^\{p-1\}+C\_p^1 x^\{p-2\}+\cdots+C\_p^2 x+C\_p^1. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\} 由 \begin\{aligned\} p\nmid 1, p\mid C\_p^k\left(1\leq k\leq p-1\right), p^2\nmid C\_p^1 \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\} 及 Eisenstein 判别法知 $\displaystyle f(x+1)$ (而 $\displaystyle f(x)$) 在 $\displaystyle \mathbb\{Q\}$ 中不可约.跟锦数学微信公众号. [在线资料](https://mp.weixin.qq.com/s/F-TU-uzeo3EjxI5LzjUvRw)/[公众号](https://mp.weixin.qq.com/s/pdC49P5WZXTEpRBa0JBfow)/ --- 902、 2、设 \begin\{aligned\} C\_x^r=\left\\{\begin\{array\}\{llllllllllll\}\frac\{x(x-1)\cdots(x-r+1)\}\{r!\},&r\geq 1,\\\\ 1,&r=0.\end\{array\}\right. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\} 设 $\displaystyle f(x)=\sum\_\{j=0\}^n c\_jC\_x^j\in \mathbb\{Q\}[x]$. 证明: 如果存在一个整数 $\displaystyle k\_0$, 使得对任意的正整数 $\displaystyle k\geq k\_0$, 都有 $\displaystyle f(k)$ 是整数, 那么 $\displaystyle c\_0,\cdots,c\_n$ 也都是整数. (首都师范大学2023年高等代数考研试题) [多项式 ] [纸质资料](https://mp.weixin.qq.com/s/ycnPCSqWFlThEnq9ZZ6gBQ)/[答疑](https://mp.weixin.qq.com/s/JGYZG5rsshf7Z2Amo2di8A)/[pdf1](https://mp.weixin.qq.com/s/Pt6\_h5MqtomrUDYiPEwkxg)/[pdf2](https://mp.weixin.qq.com/s/dWvpeJFKnFr0WYPoidXXMA) / 由题设, 当 $\displaystyle k\geq\max\left\\{k\_0,n\right\\}$ 时, \begin\{aligned\} f(i)=\sum\_\{j=0\}^n c\_jC\_i^j\in \mathbb\{Z\}, i=k,k+1,\cdots,k+n. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\} 此即 \begin\{aligned\} \left(\begin\{array\}\{cccccccccccccccccccc\}1&C\_k^1&\cdots&C\_k^n\\\\ 1&C\_\{k+1\}^1&\cdots&C\_\{k+1\}^n\\\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\\\ 1&C\_\{k+n\}^1&\cdots&C\_\{k+n\}^n\end\{array\}\right)\left(\begin\{array\}\{cccccccccccccccccccc\}c\_0\\\\c\_1\\\\\vdots\\\\c\_n\end\{array\}\right) =\left(\begin\{array\}\{cccccccccccccccccccc\}f(k)\\\\f(k+1)\\\\\vdots\\\\f(k+n)\end\{array\}\right). \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\} 注意到 $\displaystyle C\_\{i+1\}^j-C\_i^j=c\_i^\{j-1\}$, 我们可将上述线性方程组的系数矩阵 $\displaystyle A\_\{n+1\}$ 的第 $\displaystyle i$ 行 $\displaystyle \cdot(-1)$ 加到第 $\displaystyle i+1$ 行, $\displaystyle i=1,2,\cdots,n$, 得 \begin\{aligned\} |A\_\{n+1\}|=&\left|\begin\{array\}\{cccccccccc\}1&C\_k^1&C\_k^2&\cdots&C\_k^n\\\\ 0&C\_k^0&C\_k^1&\cdots&C\_k^\{n-1\}\\\\ 0&C\_\{k+1\}^0&C\_\{k+1\}^1&\cdots&C\_\{k+1\}^\{n-1\}\\\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\\\ 0&C\_\{k+n+1\}^0&C\_\{k+n+1\}^1&\cdots&C\_\{k+n-1\}^\{n-1\}\end\{array\}\right|\\\\ =&\left|\begin\{array\}\{cccccccccc\}C\_k^0&C\_k^1&\cdots&C\_k^\{n-1\}\\\\ C\_\{k+1\}^0&C\_\{k+1\}^1&\cdots&C\_\{k+1\}^\{n-1\}\\\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\\\ C\_\{k+n+1\}^0&C\_\{k+n+1\}^1&\cdots&C\_\{k+n-1\}^\{n-1\}\end\{array\}\right|\\\\ =&|A\_n|=\cdots=|A\_1|=1. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\} 注意到 $\displaystyle A\_\{n+1\}$ 是整数矩阵, 而 \begin\{aligned\} A\_\{n+1\}^\{-1\}=\frac\{A\_\{n+1\}^\star\}\{|A\_\{n+1\}|\}=A\_\{n+1\}^\star \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\} 的元素作为 $\displaystyle A$ 的元素的代数余子式, 也是整数. 故 \begin\{aligned\} (I)\Rightarrow \left(\begin\{array\}\{cccccccccccccccccccc\}c\_0\\\\c\_1\\\\\vdots\\\\c\_n\end\{array\}\right) =A\_\{n+1\}^\{-1\}\left(\begin\{array\}\{cccccccccccccccccccc\}f(k)\\\\f(k+1)\\\\\vdots\\\\f(k+n)\end\{array\}\right) \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\} 的元素也是整数. 证毕.跟锦数学微信公众号. [在线资料](https://mp.weixin.qq.com/s/F-TU-uzeo3EjxI5LzjUvRw)/[公众号](https://mp.weixin.qq.com/s/pdC49P5WZXTEpRBa0JBfow)/ --- 903、 1、 $\displaystyle n$ 是正整数, $\displaystyle f(x)=x^\{n+1\}+2x+6$. (1)、证明: $\displaystyle f(x)$ 在有理数域上不可约. (2)、写出数域 $\displaystyle \mathbb\{Q\}$ 上所有满足 $\displaystyle \frac\{g(x)\}\{\left(g(x),g'(x)\right)\}=f(x)$ 的多项式 $\displaystyle g(x)$ ($\left(g(x),g'(x)\right)$ 表示 $\displaystyle g(x)$ 与 $\displaystyle g'(x)$ 的首一最大公因式). (3)、 $\displaystyle x\_1,\cdots,x\_\{n+1\}$ 是 $\displaystyle f(x)$ 的全部复根, 求 $\displaystyle x\_1^2+\dots+x\_\{n+1\}^2$. (4)、设方阵 $\displaystyle A$ 的特征多项式为 $\displaystyle f(x)$, 复数 $\displaystyle a$ 满足 $\displaystyle |a|\geq 7$, 其中 $\displaystyle |a|$ 表示 $\displaystyle a$ 的模, 证明: $\displaystyle aI\_\{n+1\}-A$ 可逆, 其中 $\displaystyle I\_\{n+1\}$ 是单位阵. (四川大学2023年高等代数考研试题) [多项式 ] [纸质资料](https://mp.weixin.qq.com/s/ycnPCSqWFlThEnq9ZZ6gBQ)/[答疑](https://mp.weixin.qq.com/s/JGYZG5rsshf7Z2Amo2di8A)/[pdf1](https://mp.weixin.qq.com/s/Pt6\_h5MqtomrUDYiPEwkxg)/[pdf2](https://mp.weixin.qq.com/s/dWvpeJFKnFr0WYPoidXXMA) / (1)、取 $\displaystyle p=2$, 由 Eisenstein 判别法知 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle \mathbb\{Q\}$ 中不可约. (2)、先用反证法证明 $\displaystyle f$ 的根都是单根. 若不然, $\displaystyle \exists\ \lambda\_0\in\mathbb\{C\},\mathrm\{ s.t.\}$ \begin\{aligned\} &f(\lambda\_0)=\lambda\_0^\{n+1\}+2\lambda\_0+6=0, f'(\lambda\_0)=(n+1)\lambda\_0^n+2=0\\\\ \Rightarrow&0=\lambda\_0\left(-\frac\{2\}\{n+1\}\right)+2\lambda\_0+6=\frac\{2n\}\{n+1\}\lambda\_0+6\\\\ \Rightarrow&-\frac\{2\}\{n+1\}=\lambda\_0^n=\left\[-\frac\{3(n+1)\}\{n\}\right\]^n \Rightarrow n\mbox\{是奇数\}, \frac\{2\}\{n+1\}=\frac\{3^n(n+1)^n\}\{n^n\}\\\\ \Rightarrow& 2n^n=3^n(n+1)^\{n+1\},\mbox\{这与左端小于右端矛盾\}. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\} 回到题目. 往用反证法证明 $\displaystyle g(x)=f^r(x), r\geq 1$. 若不然, $\displaystyle g(x)=Af^r(x)h(x)$, 其中 $\displaystyle h$ 是次数大于等于 $\displaystyle 1$ 且首项系数为 $\displaystyle 1$ 的有理多项式, 且 $\displaystyle f\nmid h$. 由 $\displaystyle f$ 不可约知 $\displaystyle (f,h)=1$. 而 $\displaystyle x\_1,\cdots,x\_\{n+1\}$ 作为 $\displaystyle f$ 的复根, 都不是 $\displaystyle h$ 的复根. 可设 \begin\{aligned\} h(x)=\prod\_\{i=1\}^m (x-y\_i)^\{s\_i\}, y\_i\neq x\_j, y\_i\mbox\{互异\}, s\_i\geq 1. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\} 则 \begin\{aligned\} &g(x)=A \prod\_\{i=1\}^\{n+1\}(x-x\_i)\cdot \prod\_\{j=1\}^m (x-y\_j)^\{s\_j\}\\\\ \Rightarrow& f(x)\xlongequal\{\tiny\mbox\{题设\}\} \frac\{g\}\{(g,g')\}=\prod\_\{i=1\}^\{n+1\}(x-x\_i)\cdot \prod\_\{j=1\}^m (x-y\_j),\mbox\{这是一个矛盾. 故有结论.\} \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\} (3)、 \begin\{aligned\} \mbox\{原式\}=&=\sigma\_1^2-2\sigma\_2 =\left\\{\begin\{array\}\{llllllllllll\}(-2)^2-2\cdot 6=-8,&n=1,\\\\ (-0)^2-2\cdot 2=-4,&n=2,\\\\ (-0)^2-2\cdot 0=0,&n\geq 3.\end\{array\}\right. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\} (4)、设 $\displaystyle \lambda$ 是 $\displaystyle A$ 的任一特征值, 则 $\displaystyle 0=f(\lambda)$. 由 \begin\{aligned\} |z|\geq 7\Rightarrow |f(z)|&\geq |z|^\{n+1\}-2|z|-6 =|z|(|z|^n-2)-6\\\\ &\geq 7(7^1-2)-6 > 0 \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\} 知 $\displaystyle |\lambda| < 7$. 故 $\displaystyle aI\_\{n+1\}-A$ 的任一特征值 $\displaystyle a-\lambda\neq 0$, 而 $\displaystyle aI\_\{n+1\}-A$ 可逆.跟锦数学微信公众号. [在线资料](https://mp.weixin.qq.com/s/F-TU-uzeo3EjxI5LzjUvRw)/[公众号](https://mp.weixin.qq.com/s/pdC49P5WZXTEpRBa0JBfow)/ --- 904、 2、 (20 分) 复数 $\displaystyle \alpha$ 称为代数数, 若 $\displaystyle \alpha$ 是某个有理系数多项式的根. (1)、证明: $\displaystyle \sqrt\{2\}+\sqrt\{3\}$ 是代数数. (2)、证明: 复数 $\displaystyle \alpha$ 是代数数当且仅当 $\displaystyle \alpha$ 是某个有理矩阵的特征值. (苏州大学2023年高等代数考研试题) [多项式 ] [纸质资料](https://mp.weixin.qq.com/s/ycnPCSqWFlThEnq9ZZ6gBQ)/[答疑](https://mp.weixin.qq.com/s/JGYZG5rsshf7Z2Amo2di8A)/[pdf1](https://mp.weixin.qq.com/s/Pt6\_h5MqtomrUDYiPEwkxg)/[pdf2](https://mp.weixin.qq.com/s/dWvpeJFKnFr0WYPoidXXMA) / (1)、由 \begin\{aligned\} f(x)=&[x-(\sqrt\{2\}-\sqrt\{3\})] [x-(-\sqrt\{2\}+\sqrt\{3\})]\\\\ &[x-(\sqrt\{2\}+\sqrt\{3\})] [x-(-\sqrt\{2\}-\sqrt\{3\})]\\\\ =&x^4-10x^2+1 \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\} 知 $\displaystyle \sqrt\{2\}+\sqrt\{3\}$ 是有理系数多项式 $\displaystyle x^4-10x^2+1$ 的根, 而是代数数. (2)、 $\displaystyle \alpha$ 是代数书当且仅当存在不全为 $\displaystyle 0$ 的有理数 $\displaystyle a\_1,\cdots,a\_n$, 使得 \begin\{aligned\} \alpha^n+a\_1\alpha^\{n-1\}+\cdots+a\_n=0.\qquad(I) \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\} 注意到有理矩阵 \begin\{aligned\} \left(\begin\{array\}\{cccccccccccccccccccc\}&&&-a\_n\\\\ 1&&&-a\_\{n-1\}\\\\ &\ddots&&\vdots\\\\ &&1&-a\_1\end\{array\}\right) \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\} 的特征多项式为 $\displaystyle \lambda^n+a\_1\lambda^\{n-1\}+\cdots+a\_n$, 我们就知道 $\displaystyle (I)$ 可继续等价于 $\displaystyle \alpha$ 是某个有理矩阵的特征值.跟锦数学微信公众号. [在线资料](https://mp.weixin.qq.com/s/F-TU-uzeo3EjxI5LzjUvRw)/[公众号](https://mp.weixin.qq.com/s/pdC49P5WZXTEpRBa0JBfow)/ --- 905、 2、设首一多项式 $\displaystyle f(x), g(x)$ 满足 \begin\{aligned\} \deg f\leq 3, \deg g\leq 3, \mbox\{且\} f(x)\neq g(x), (x^4+x^2+1)\mid [f(x^3)+x^4g(x^3)]. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\} (1)、证明: $\displaystyle (x-1)\mid f(x), (x+1)\mid f(x), (x-1)\mid g(x), (x+1)\mid g(x)$; (2)、求 $\displaystyle \left(f(x),g(x)\right)$. (太原理工大学2023年高等代数考研试题) [多项式 ] [纸质资料](https://mp.weixin.qq.com/s/ycnPCSqWFlThEnq9ZZ6gBQ)/[答疑](https://mp.weixin.qq.com/s/JGYZG5rsshf7Z2Amo2di8A)/[pdf1](https://mp.weixin.qq.com/s/Pt6\_h5MqtomrUDYiPEwkxg)/[pdf2](https://mp.weixin.qq.com/s/dWvpeJFKnFr0WYPoidXXMA) / (1)、设 $\displaystyle x=\mathrm\{e\}^\{\mathrm\{ i\}\frac\{k\pi\}\{3\}\}, k=-2,-1,1,2$, 则 \begin\{aligned\} x\neq -1, x^4+x^2+1=\frac\{x^6-1\}\{x^2-1\}=0. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\} 代入题中整除关系知 \begin\{aligned\} &f(1)+\mathrm\{e\}^\{-\mathrm\{ i\}\frac\{2\pi\}\{3\}\}g(1)=0, f(-1)+\mathrm\{e\}^\{\mathrm\{ i\} \frac\{2\pi\}\{3\}\}g(-1)=0,\\\\ &f(-1)+\mathrm\{e\}^\{-\mathrm\{ i\}\frac\{2\pi\}\{3\}\}g(-1)=0, f(1)+\mathrm\{e\}^\{\mathrm\{ i\}\frac\{2\pi\}\{3\}\}g(1)=0. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\} 由第 $\displaystyle 1,4$ 步知 $\displaystyle f(1)=g(1)=0$. 由第 $\displaystyle 2,3$ 式知 $\displaystyle f(-1)=g(-1)=0$. 故有结论. (2)、由第 1 步知 \begin\{aligned\} (x^2-1)\mid f(x), (x^2-1)\mid g(x). \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\} 往用反证法证明 $\displaystyle (f,g)=x^2-1$. 若不然, $\displaystyle (f,g)$ 是首一三次多项式, $\displaystyle f=(f,g)=g$. 这与题设矛盾. 故有结论.跟锦数学微信公众号. [在线资料](https://mp.weixin.qq.com/s/F-TU-uzeo3EjxI5LzjUvRw)/[公众号](https://mp.weixin.qq.com/s/pdC49P5WZXTEpRBa0JBfow)/ --- 906、 1、 $\displaystyle m$ 为非负整数, $\displaystyle g(x)\in\mathbb\{Q\}[x]$ 且为 $\displaystyle m$ 次有理系数多项式, $\displaystyle n > m$ 为正整数, $\displaystyle p$ 为素数. 求证: (1)、若 $\displaystyle f(x)$ 是有理数域上的不可约多项式, $\displaystyle g(x)$ 与 $\displaystyle f(x)$ 至少有一个复公共根, 则有 $\displaystyle f(x)\mid g(x)$. (2)、 $\displaystyle \sqrt[n]\{p\}$ 不是 $\displaystyle g$ 的根. (天津大学2023年高等代数考研试题) [多项式 ] [纸质资料](https://mp.weixin.qq.com/s/ycnPCSqWFlThEnq9ZZ6gBQ)/[答疑](https://mp.weixin.qq.com/s/JGYZG5rsshf7Z2Amo2di8A)/[pdf1](https://mp.weixin.qq.com/s/Pt6\_h5MqtomrUDYiPEwkxg)/[pdf2](https://mp.weixin.qq.com/s/dWvpeJFKnFr0WYPoidXXMA) / (1)、由 $\displaystyle f$ 不可约知要么 $\displaystyle f\mid g$ 要么 $\displaystyle (f,g)=1$. 若 $\displaystyle (f,g)=1$, 则 \begin\{aligned\} \exists\ u,v,\mathrm\{ s.t.\} uf+vg=1. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\} 取 $\displaystyle x$ 就是 $\displaystyle f,g$ 的公共复根, 则左端 $\displaystyle =0$, 右端 $\displaystyle =1$. 这是一个矛盾. 故 $\displaystyle f\mid g$. (2)、设 $\displaystyle f(x)=x^n-p$, 则利用素数 $\displaystyle p$ 及 $\displaystyle p\nmid 1, p\mid (-p), p^2\nmid (-p)$, Eisenstein 判别法知 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle \mathbb\{Q\}$ 中不可约. 用反证法证明题目. 若 $\displaystyle \sqrt[n]\{p\}$ 是 $\displaystyle g$ 的根, 则它是 $\displaystyle f,g$ 的公共复根. 由第 1 步知 $\displaystyle f\mid g\Rightarrow n=\deg f\leq \deg g=m$. 这与题设矛盾. 故有结论.跟锦数学微信公众号. [在线资料](https://mp.weixin.qq.com/s/F-TU-uzeo3EjxI5LzjUvRw)/[公众号](https://mp.weixin.qq.com/s/pdC49P5WZXTEpRBa0JBfow)/ --- 907、 9、设 \begin\{aligned\} V=\mathbb\{Q\}[\sqrt[3]\{2\}]=\left\\{a+b\sqrt[3]\{2\}+c\sqrt[3]\{4\}; a,b,c\in\mathbb\{Q\}\right\\}. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\} 对 $\displaystyle x\in V$, 定义 \begin\{aligned\} \begin\{array\}\{cccc\} \phi\_x: &V&\to&V\\\\ &y&\mapsto&x\cdot y, \end\{array\} \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\} 其中 $\displaystyle x\cdot y$ 为数的乘法. (1)、求 $\displaystyle \phi\_\{1+\sqrt[3]\{2\}\}$ 在基 $\displaystyle 1,\sqrt[3]\{2\},\sqrt[3]\{4\}$ 下的矩阵 $\displaystyle A$, 并求出 $\displaystyle A$ 的极小多项式. (2)、对任意正整数 $\displaystyle m,n,l$, 证明: 存在首一整系数多项式 $\displaystyle f(x)$ 使得 \begin\{aligned\} f(m+n\sqrt[3]\{2\}+l\sqrt[3]\{4\})=0. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\} (天津大学2023年高等代数考研试题) [多项式 ] [纸质资料](https://mp.weixin.qq.com/s/ycnPCSqWFlThEnq9ZZ6gBQ)/[答疑](https://mp.weixin.qq.com/s/JGYZG5rsshf7Z2Amo2di8A)/[pdf1](https://mp.weixin.qq.com/s/Pt6\_h5MqtomrUDYiPEwkxg)/[pdf2](https://mp.weixin.qq.com/s/dWvpeJFKnFr0WYPoidXXMA) / (1)、由 \begin\{aligned\} \phi\_\{1+\sqrt[3]\{2\}\}(1)=1+\sqrt[3]\{2\}, \phi\_\{1+\sqrt[3]\{2\}\}(\sqrt[3]\{2\})=\sqrt[3]\{2\}+\sqrt[3]\{4\}, \phi\_\{1+\sqrt[3]\{2\}\}(\sqrt[3]\{4\})=\sqrt[3]\{4\}+2 \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\} 知 \begin\{aligned\} \phi\_\{1+\sqrt[3]\{2\}\}(1,\sqrt[3]\{2\},\sqrt[3]\{4\}) =(1,\sqrt[3]\{2\},\sqrt[3]\{4\})A, A=\left(\begin\{array\}\{cccccccccccccccccccc\}1&0&2\\\\ 1&1&0\\\\ 0&1&1\end\{array\}\right). \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\} 设 $\displaystyle |\lambda E-A|=\lambda^3-3\lambda^2+3\lambda-3\equiv f(\lambda)$, 则易知 $\displaystyle \left(f,f'\right)=1$, 而 $\displaystyle f$ 没有重根. 故 $\displaystyle A$ 的最小多项式就是 $\displaystyle A$ 的特征多项式 $\displaystyle \lambda^3-3\lambda^2+3\lambda-3$. (2)、由 $\displaystyle \sqrt[3]\{2\}$ 是 $\displaystyle x^3-2=0$ 的根, $\displaystyle \sqrt[3]\{4\}$ 是 $\displaystyle x^3-4=0$ 的根知 $\displaystyle \sqrt[3]\{2\},\sqrt[3]\{4\}$ 都是代数数. 再由代数数的和差积商 (分母不为零) 仍是代数数 [参考张禾瑞近世代数基础(修订本)第163页推论 4] 知对 $\displaystyle \forall m,n,l\in\mathbb\{Z\}\_+$, $\displaystyle m+n\sqrt[3]\{2\}+l\sqrt[3]\{4\}$ 还是代数数, 也就是某个首一整系数多项式的根. 结论得证.跟锦数学微信公众号. [在线资料](https://mp.weixin.qq.com/s/F-TU-uzeo3EjxI5LzjUvRw)/[公众号](https://mp.weixin.qq.com/s/pdC49P5WZXTEpRBa0JBfow)/ --- 908、 4、 (20 分) 证明: 有理数域 $\displaystyle \mathbb\{Q\}$ 上次数大于 $\displaystyle 1$ 的多项式 $\displaystyle f(x)$ 恒可表示为两个不可约有理系数多项式 $\displaystyle g(x)$ 与 $\displaystyle h(x)$ 之和. (武汉大学2023年高等代数考研试题) [多项式 ] [纸质资料](https://mp.weixin.qq.com/s/ycnPCSqWFlThEnq9ZZ6gBQ)/[答疑](https://mp.weixin.qq.com/s/JGYZG5rsshf7Z2Amo2di8A)/[pdf1](https://mp.weixin.qq.com/s/Pt6\_h5MqtomrUDYiPEwkxg)/[pdf2](https://mp.weixin.qq.com/s/dWvpeJFKnFr0WYPoidXXMA) / (1)、若 $\displaystyle f(x)$ 是整系数多项式, 则可设 \begin\{aligned\} f(x)=a\_nx^n+\cdots+a\_1x+a\_0, a\_n\neq 0, a\_i\in\mathbb\{Z\}, n\geq 1. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\} 则取一素数 $\displaystyle p$ 满足 $\displaystyle p > |a\_0|+1$ 后, \begin\{aligned\} f(x)=\left\[pf(x)+x^n+p\right\]+\left\[-x^n-p\right\]\equiv g(x)+h(x). \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\} 由 \begin\{aligned\} g(x)=&(pa\_n+1)x^n+pa\_\{n-1\}x^\{n-1\}+\cdots+pa\_1x+p(a\_0+1),\\\\ h(x)=&-x^n-p \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\} 及 Eisenstein 判别法知 $\displaystyle g(x),h(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb\{Q\}$ 中不可约.跟锦数学微信公众号. [在线资料](https://mp.weixin.qq.com/s/F-TU-uzeo3EjxI5LzjUvRw)/[公众号](https://mp.weixin.qq.com/s/pdC49P5WZXTEpRBa0JBfow)/ --- 909、 1、 (10 分) 设 $\displaystyle \mathbb\{R\}$ 为实数域, $\displaystyle \mathrm\{ i\}$ 为虚数单位, $\displaystyle f\_1(x),f\_2(x)\in\mathbb\{R\}[x]$, $\displaystyle f(x)=f\_1(x)+\mathrm\{ i\} f\_2(x)$, 并且 $\displaystyle \left(f\_1(x),f\_2(x)\right)=d(x)\neq 1$. 证明: $\displaystyle f(x)$ 与 $\displaystyle d(x)$ 的实根相同. (西安电子科技大学2023年高等代数考研试题) [多项式 ] [纸质资料](https://mp.weixin.qq.com/s/ycnPCSqWFlThEnq9ZZ6gBQ)/[答疑](https://mp.weixin.qq.com/s/JGYZG5rsshf7Z2Amo2di8A)/[pdf1](https://mp.weixin.qq.com/s/Pt6\_h5MqtomrUDYiPEwkxg)/[pdf2](https://mp.weixin.qq.com/s/dWvpeJFKnFr0WYPoidXXMA) / 由题设, $\displaystyle \exists\ u,v,\mathrm\{ s.t.\} uf\_1+vf\_2=d$. 于是对 $\displaystyle \forall\ x\_0\in\mathbb\{R\}$, \begin\{aligned\} f(x\_0)=0\Leftrightarrow f\_1(x\_0)=0, f\_2(x\_0)=0\Leftrightarrow d(x\_0)=0. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\} 这就证明了 $\displaystyle f(x)$ 与 $\displaystyle d(x)$ 的实根相同.跟锦数学微信公众号. [在线资料](https://mp.weixin.qq.com/s/F-TU-uzeo3EjxI5LzjUvRw)/[公众号](https://mp.weixin.qq.com/s/pdC49P5WZXTEpRBa0JBfow)/ --- 910、 8、对任意的 $\displaystyle p(x)\in\mathbb\{R\}[x]$, 证明: 存在唯一的 $\displaystyle q(x)\in\mathbb\{R\}[x]$, 使得 \begin\{aligned\} \left\[(x^2+3x-5)q(x)\right\]''=p(x), \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\} 其中 $\displaystyle f''(x)$ 表示 $\displaystyle f(x)$ 的二阶导数. (西安交通大学2023年高等代数考研试题) [多项式 ] [纸质资料](https://mp.weixin.qq.com/s/ycnPCSqWFlThEnq9ZZ6gBQ)/[答疑](https://mp.weixin.qq.com/s/JGYZG5rsshf7Z2Amo2di8A)/[pdf1](https://mp.weixin.qq.com/s/Pt6\_h5MqtomrUDYiPEwkxg)/[pdf2](https://mp.weixin.qq.com/s/dWvpeJFKnFr0WYPoidXXMA) / (1)、存在性. 设 $\displaystyle P(x)=\int p(x)\mathrm\{ d\} x, f(x)=\int P(x)\mathrm\{ d\} x$, 则 $\displaystyle f''(x)=p(x)$. 由带余除法知 \begin\{aligned\} \exists\ g(x)\in \mathbb\{R\}[x], a,b\in\mathbb\{R\},\mathrm\{ s.t.\} f(x)=(x^2+3x-5)q(x)+ax+b. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\} 于是 \begin\{aligned\} \left\[(x^2+3x-5)q(x)\right\]''=&\left\[(x^2+3x-5)q(x)+ax+b\right\]''\\\\ =&f''(x)=p(x). \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\} 存在性得证. (2)、唯一性. 用反证法. 若 $\displaystyle q\_1(x)\neq q\_2(x)$ 也满足题设, 则 \begin\{aligned\} &\left\[(x^2+3x-5)q(x)\right\]''=p(x)=\left\[(x^2+3x-5)q\_1(x)\right\]''\\\\ \Rightarrow&(x^2+3x-5)[q(x)-q\_1(x)]=ax+b, a,b\in\mathbb\{R\}\\\\ &\left(q\_1\neq q\Rightarrow a,b\mbox\{不全为 $\displaystyle 0$\}\right)\\\\ \Rightarrow&2\leq \deg (x^2+3x-2)+\deg [q(x)-q\_1(x)]=\deg (ax+b)\leq 1. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\} 这是一个矛盾. 故有结论.跟锦数学微信公众号. [在线资料](https://mp.weixin.qq.com/s/F-TU-uzeo3EjxI5LzjUvRw)/[公众号](https://mp.weixin.qq.com/s/pdC49P5WZXTEpRBa0JBfow)/ --- 911、 1、已知 $\displaystyle f(x)$ 是数域 $\displaystyle \mathbb\{P\}$ 上的一元多项式, $\displaystyle a,b\in\mathbb\{P\}, a\neq b$. 求多项式 $\displaystyle x^2-(a+b)x+ab$ 除 $\displaystyle f(x)$ 的余式. (西北大学2023年高等代数考研试题) [多项式 ] [纸质资料](https://mp.weixin.qq.com/s/ycnPCSqWFlThEnq9ZZ6gBQ)/[答疑](https://mp.weixin.qq.com/s/JGYZG5rsshf7Z2Amo2di8A)/[pdf1](https://mp.weixin.qq.com/s/Pt6\_h5MqtomrUDYiPEwkxg)/[pdf2](https://mp.weixin.qq.com/s/dWvpeJFKnFr0WYPoidXXMA) / $\displaystyle \frac\{[f(b)-f(a)]x+[bf(a)-af(b)]\}\{b-a\}$. 事实上, \begin\{aligned\} &f(x)=q(x)(x-a)(x-b)+Ax+B\left(\mbox\{辗转相除法\}\right)\\\\ \Rightarrow&\left\\{\begin\{array\}\{llllllllllll\} f(a)=Aa+B\\\\ f(b)=Ab+B \end\{array\}\right. \Rightarrow \left\\{\begin\{array\}\{llllllllllll\} A=\frac\{f(b)-f(a)\}\{b-a\}\\\\ B=\frac\{bf(a)-af(b)\}\{b-a\} \end\{array\}\right.. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\} 跟锦数学微信公众号. [在线资料](https://mp.weixin.qq.com/s/F-TU-uzeo3EjxI5LzjUvRw)/[公众号](https://mp.weixin.qq.com/s/pdC49P5WZXTEpRBa0JBfow)/ --- 912、 2、设 $\displaystyle k$ 为整数, 将 \begin\{aligned\} &x^8-4x^7+6x^6+(4k-4)x^5-(16k-2)x^4\\\\ &+(24k-4)x^3-(16k-6)x^2+(4k-4)x+1 \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\} 分解为有理数域上不可约多项式的乘积. (西北大学2023年高等代数考研试题) [多项式 ] [纸质资料](https://mp.weixin.qq.com/s/ycnPCSqWFlThEnq9ZZ6gBQ)/[答疑](https://mp.weixin.qq.com/s/JGYZG5rsshf7Z2Amo2di8A)/[pdf1](https://mp.weixin.qq.com/s/Pt6\_h5MqtomrUDYiPEwkxg)/[pdf2](https://mp.weixin.qq.com/s/dWvpeJFKnFr0WYPoidXXMA) / \begin\{aligned\} \mbox\{原式\}=&\cdots+k\cdots\left(\mbox\{$\cdots$ 是关于 $\displaystyle x$ 的多项式, 然后利用有理根判定因式分解\}\right)\\\\ =&(x^4+1)(x-1)^4+4kx(x-1)^4=(x-1)^4(x^4+4kx+1). \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\} 设 $\displaystyle g(x)=x^4+4kx+1$, 则 \begin\{aligned\} g(x+1)=x^4+4x^3+6x^2+(4k+4)x+4k+2. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\} 取素数 $\displaystyle p=2$, 由 Eisenstein 判别法即知 $\displaystyle g$ 在 $\displaystyle \mathbb\{Q\}$ 中不可约.跟锦数学微信公众号. [在线资料](https://mp.weixin.qq.com/s/F-TU-uzeo3EjxI5LzjUvRw)/[公众号](https://mp.weixin.qq.com/s/pdC49P5WZXTEpRBa0JBfow)/ --- 913、 4、 (20 分) 求 $\displaystyle t$ 为何值时, 多项式 $\displaystyle f(x)=x^3+6x^2+tx+8$ 有重根, 求出重根的值与重数. (西南财经大学2023年高等代数考研试题) [多项式 ] [纸质资料](https://mp.weixin.qq.com/s/ycnPCSqWFlThEnq9ZZ6gBQ)/[答疑](https://mp.weixin.qq.com/s/JGYZG5rsshf7Z2Amo2di8A)/[pdf1](https://mp.weixin.qq.com/s/Pt6\_h5MqtomrUDYiPEwkxg)/[pdf2](https://mp.weixin.qq.com/s/dWvpeJFKnFr0WYPoidXXMA) / \begin\{aligned\} f(x)=\frac\{x+2\}\{3\}f'(x)+r\_1(x), r\_1(x)=\frac\{2t-24\}\{3\}(x-1). \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\} (1)、若 $\displaystyle t=12$, 则 $\displaystyle (f,f')=f'\neq 1$, 而 $\displaystyle f$ 有重根. 因式分解知 $\displaystyle f(x)=(x+2)^3$, 而重根是 $\displaystyle -2$, 重数为 $\displaystyle 3$. (2)、若 $\displaystyle t\neq 12$, 则 \begin\{aligned\} f'(x)=q\_1(x)r\_1(x)+r\_2(x), r\_2(x)=0\mbox\{或\} 1. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\} 故 $\displaystyle f$ 有重根 \begin\{aligned\} \Leftrightarrow r\_2(x)=0\Leftrightarrow r\_1(x)\mid f'(x)\Leftrightarrow f'(1)=0\Leftrightarrow t=-15. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\} 因式分解知 $\displaystyle f(x)=(x-1)^2(x+8)$, 而重根是 $\displaystyle 1$, 重数为 $\displaystyle 2$.跟锦数学微信公众号. [在线资料](https://mp.weixin.qq.com/s/F-TU-uzeo3EjxI5LzjUvRw)/[公众号](https://mp.weixin.qq.com/s/pdC49P5WZXTEpRBa0JBfow)/ --- 914、 1、设 \begin\{aligned\} f(x)=x^2+(k+6)x+4k+2,\quad g(x)=x^2+(k+4)x+2k. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\} 问: $\displaystyle k$ 为多少时, $\displaystyle f(x)$ 和 $\displaystyle g(x)$ 的最大公因式是一次因式, 并求这个最大公因式. (西南大学2023年高等代数考研试题) [多项式 ] [纸质资料](https://mp.weixin.qq.com/s/ycnPCSqWFlThEnq9ZZ6gBQ)/[答疑](https://mp.weixin.qq.com/s/JGYZG5rsshf7Z2Amo2di8A)/[pdf1](https://mp.weixin.qq.com/s/Pt6\_h5MqtomrUDYiPEwkxg)/[pdf2](https://mp.weixin.qq.com/s/dWvpeJFKnFr0WYPoidXXMA) / 由 \begin\{aligned\} f(x)=&g(x)+r\_1(x), r\_1(x)=2(x+k+1),\\\\ g(x)=&\frac\{x+3\}\{2\}r\_1(x)+(-k-3) \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\} 知当且仅当 $\displaystyle k=-3$ 时, $\displaystyle (f,g)$ 是一次因式, 且为 $\displaystyle x+k+1=x-2$.跟锦数学微信公众号. [在线资料](https://mp.weixin.qq.com/s/F-TU-uzeo3EjxI5LzjUvRw)/[公众号](https://mp.weixin.qq.com/s/pdC49P5WZXTEpRBa0JBfow)/ --- 915、 1、填空题 (每题 5 分, 共 25 分). (1)、已知 $\displaystyle (x+1)^2\mid (ax^4+bx^2+1)$, 则 $\displaystyle a=\underline\{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \}, b=\underline\{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \}$. (西南交通大学2023年高等代数考研试题) [多项式 ] [纸质资料](https://mp.weixin.qq.com/s/ycnPCSqWFlThEnq9ZZ6gBQ)/[答疑](https://mp.weixin.qq.com/s/JGYZG5rsshf7Z2Amo2di8A)/[pdf1](https://mp.weixin.qq.com/s/Pt6\_h5MqtomrUDYiPEwkxg)/[pdf2](https://mp.weixin.qq.com/s/dWvpeJFKnFr0WYPoidXXMA) / 设 $\displaystyle f(x)=ax^4+bx^2+1$, 则 $\displaystyle f(-1)=a+b+1=0, f'(-1)=-4a-2b=0$ 蕴含 $\displaystyle a=1, b=-2$.跟锦数学微信公众号. [在线资料](https://mp.weixin.qq.com/s/F-TU-uzeo3EjxI5LzjUvRw)/[公众号](https://mp.weixin.qq.com/s/pdC49P5WZXTEpRBa0JBfow)/ --- 916、 2、解答题. (1)、设 $\displaystyle f(x)$ 是数域 $\displaystyle \mathbb\{P\}$ 上次数小于 $\displaystyle 5$ 的一元多项式. 若 \begin\{aligned\} (x^2+1)\mid f(x), (x^3+x^2+1)\mid [f(x)+1], \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\} 求 $\displaystyle f(x)$. (西南交通大学2023年高等代数考研试题) [多项式 ] [纸质资料](https://mp.weixin.qq.com/s/ycnPCSqWFlThEnq9ZZ6gBQ)/[答疑](https://mp.weixin.qq.com/s/JGYZG5rsshf7Z2Amo2di8A)/[pdf1](https://mp.weixin.qq.com/s/Pt6\_h5MqtomrUDYiPEwkxg)/[pdf2](https://mp.weixin.qq.com/s/dWvpeJFKnFr0WYPoidXXMA) / 由 $\displaystyle (x^2+1)\mid f(x), \deg f(x) < 5$ 知可设 \begin\{aligned\} f(x)=&(ax^2+bx+c)(x^2+1)\\\\ \Rightarrow f(x)+1=&(ax-a+b)(x^3+x^2+1)\\\\ &+(2a-b+c)x^2+(b-a)x+a-b+c+1. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\} 再由 $\displaystyle (x^3+x^2+1)\mid [f(x)+1]$ 知 \begin\{aligned\} &2a-b+c=0, b-a=0, a-b+c+1=0\\\\ \Rightarrow&a=s, b=1, c=-1\Rightarrow f(x)=(x^2+x-1)(x^2+1). \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\} 跟锦数学微信公众号. [在线资料](https://mp.weixin.qq.com/s/F-TU-uzeo3EjxI5LzjUvRw)/[公众号](https://mp.weixin.qq.com/s/pdC49P5WZXTEpRBa0JBfow)/ --- 917、 1、 $\displaystyle f(x)$ 是一个整系数多项式, 且满足 $\displaystyle f(0)f(1)=2023$, 请问 $\displaystyle f(x)$ 是否有整数根? 并证明你的结论. (湘潭大学2023年高等代数考研试题) [多项式 ] [纸质资料](https://mp.weixin.qq.com/s/ycnPCSqWFlThEnq9ZZ6gBQ)/[答疑](https://mp.weixin.qq.com/s/JGYZG5rsshf7Z2Amo2di8A)/[pdf1](https://mp.weixin.qq.com/s/Pt6\_h5MqtomrUDYiPEwkxg)/[pdf2](https://mp.weixin.qq.com/s/dWvpeJFKnFr0WYPoidXXMA) / $\displaystyle f(x)$ 没有整数根. 用反证法. 若 $\displaystyle f(x)$ 有整数根, 则 \begin\{aligned\} &\exists\ k\in\mathbb\{Z\}, g(x)\in\mathbb\{Z\}[x],\mathrm\{ s.t.\} f(x)=(x-k)g(x)\\\\ \Rightarrow&2023=f(0)f(1)=k(k-1)g(0)g(1). \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\} 这与$k,k-1$ 是两个相邻整数 $\displaystyle \Rightarrow k(k-1)$ 一定是一个偶数''矛盾. 故有结论.跟锦数学微信公众号. [在线资料](https://mp.weixin.qq.com/s/F-TU-uzeo3EjxI5LzjUvRw)/[公众号](https://mp.weixin.qq.com/s/pdC49P5WZXTEpRBa0JBfow)/ --- 918、 1、 (10 分) 求多项式 $\displaystyle x^3+px+q$ 有重根的条件. (新疆大学2023年高等代数考研试题) [多项式 ] [纸质资料](https://mp.weixin.qq.com/s/ycnPCSqWFlThEnq9ZZ6gBQ)/[答疑](https://mp.weixin.qq.com/s/JGYZG5rsshf7Z2Amo2di8A)/[pdf1](https://mp.weixin.qq.com/s/Pt6\_h5MqtomrUDYiPEwkxg)/[pdf2](https://mp.weixin.qq.com/s/dWvpeJFKnFr0WYPoidXXMA) / (1)、若 $\displaystyle p=0$, 则当且仅当 $\displaystyle q=0$ 时, 题中多项式 $\displaystyle f(x)$ 有重根 $\displaystyle 0$, 且重数为 $\displaystyle 3$. (2)、若 $\displaystyle p\neq 0$, 则由 \begin\{aligned\} &f(x)=\frac\{x\}\{3\}f'(x)+r\_1(x), r\_1(x)=\frac\{2px\}\{3\}+q,\\\\ &f'(x)=\left(\frac\{qx\}\{2p\}-\frac\{27q\}\{4p^2\}\right)r\_1(x)+p+\frac\{27q^2\}\{4p^2\} \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\} 知 \begin\{aligned\} p+\frac\{27q^2\}\{4p^2\}= 0\Leftrightarrow \left(f(x),f'(x)\right)\neq 1\Leftrightarrow f(x)\mbox\{有重因式\}. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\} 此时, \begin\{aligned\} \left(f(x),f'(x)\right)=r\_1(x)=\frac\{2px\}\{3\}+q, \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\} 而 $\displaystyle x=-\frac\{3q\}\{2p\}$ 是 $\displaystyle f(x)$ 的二重因式 (因为它是 $\displaystyle f'(x)$ 的单因式). 综上, 当且仅当 $\displaystyle 4p^3+27q^2=0$ 时, $\displaystyle f(x)$ 有重因式, 且 $\displaystyle p=0$ 时, $\displaystyle 0$ 是 $\displaystyle f$ 的三重因式; $\displaystyle p\neq 0$ 时, $\displaystyle -\frac\{3q\}\{2p\}$ 是 $\displaystyle f$ 的二重因式.跟锦数学微信公众号. [在线资料](https://mp.weixin.qq.com/s/F-TU-uzeo3EjxI5LzjUvRw)/[公众号](https://mp.weixin.qq.com/s/pdC49P5WZXTEpRBa0JBfow)/ --- 919、 2、 (10 分) 证明多项式 $\displaystyle x^p+px+1$ ($p$ 为素数) 在有理数域上不可约. (新疆大学2023年高等代数考研试题) [多项式 ] [纸质资料](https://mp.weixin.qq.com/s/ycnPCSqWFlThEnq9ZZ6gBQ)/[答疑](https://mp.weixin.qq.com/s/JGYZG5rsshf7Z2Amo2di8A)/[pdf1](https://mp.weixin.qq.com/s/Pt6\_h5MqtomrUDYiPEwkxg)/[pdf2](https://mp.weixin.qq.com/s/dWvpeJFKnFr0WYPoidXXMA) / 设 $\displaystyle f(x)=x^p+px+1$, 则 \begin\{aligned\} f(x-1)&=(x-1)^p+p(x-1)+1\\\\ &=x^p-C\_p^1 x^\{p-1\}+\cdots-C\_p^\{p-2\}x^2+2px-p. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\} 对 $\displaystyle 1\leq i\leq p-1$, 由 \begin\{aligned\} &\left\\{\begin\{array\}\{llllllllllll\} C\_p^i=\frac\{p(p-1)\cdots(p-i+1)\}\{i!\}\in\mathbb\{Z\}\_+\Rightarrow i!\mid p(p-1)\cdots (p-i+1)\\\\ p\mid p(p-1)\cdots (p-i+1) \end\{array\}\right.\\\\ \Rightarrow&(pi!)\mid p(p-1)\cdots (p-i+1) \Rightarrow p\mid C\_p^i \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\} 及 Eisenstein 判别法即知 $\displaystyle f(x-1)$ (而 $\displaystyle f$) 在 $\displaystyle \mathbb\{Q\}$ 中不可约.跟锦数学微信公众号. [在线资料](https://mp.weixin.qq.com/s/F-TU-uzeo3EjxI5LzjUvRw)/[公众号](https://mp.weixin.qq.com/s/pdC49P5WZXTEpRBa0JBfow)/ --- 920、 (2)、包含 $\displaystyle \sqrt\{3\}$ 的最小数域为 $\displaystyle \underline\{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \}$. (云南大学2023年高等代数考研试题) [多项式 ] [纸质资料](https://mp.weixin.qq.com/s/ycnPCSqWFlThEnq9ZZ6gBQ)/[答疑](https://mp.weixin.qq.com/s/JGYZG5rsshf7Z2Amo2di8A)/[pdf1](https://mp.weixin.qq.com/s/Pt6\_h5MqtomrUDYiPEwkxg)/[pdf2](https://mp.weixin.qq.com/s/dWvpeJFKnFr0WYPoidXXMA) / $\displaystyle \mathbb\{Q\}[\sqrt\{3\}]=\left\\{a+b\sqrt\{3\}; a,b\in\mathbb\{Q\}\right\\}$.跟锦数学微信公众号. [在线资料](https://mp.weixin.qq.com/s/F-TU-uzeo3EjxI5LzjUvRw)/[公众号](https://mp.weixin.qq.com/s/pdC49P5WZXTEpRBa0JBfow)/

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