## 张祖锦2023年数学专业真题分类70天之第38天
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852、 8、 (15 分) 已知 $\displaystyle \int\_0^\infty \mathrm\{e\}^\{-y^2\}\mathrm\{ d\} y=\frac\{\sqrt\{\pi\}\}\{2\}$. 设
\begin\{aligned\} f(x)=\int\_0^\infty \mathrm\{e\}^\{-y^2\}\cos xy\mathrm\{ d\} y, x\in (-\infty,+\infty). \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
(1)、 证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上连续; (2)、 证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 有连续导函数; (3)、 求 $\displaystyle f(x)$. (中南大学2023年数学分析考研试题) [含参量积分 ]
[纸质资料](
https://mp.weixin.qq.com/s/ycnPCSqWFlThEnq9ZZ6gBQ)/[答疑](
https://mp.weixin.qq.com/s/JGYZG5rsshf7Z2Amo2di8A)/[pdf1](
https://mp.weixin.qq.com/s/Pt6\_h5MqtomrUDYiPEwkxg)/[pdf2](
https://mp.weixin.qq.com/s/dWvpeJFKnFr0WYPoidXXMA) / 由 $\displaystyle \int\_0^\infty \mathrm\{e\}^\{-y^2\}\cos xy\mathrm\{ d\} y$ 收敛, $\displaystyle \int\_0^\infty -y\mathrm\{e\}^\{-y^2\}\sin xy\mathrm\{ d\} y$ 在 $\displaystyle x\in\mathbb\{R\}$ 上一致收敛 [由 $\displaystyle |-y\mathrm\{e\}^\{-y^2\}\sin xy|\leq |y|\mathrm\{e\}^\{-y^2\}$ 及 Weierstrass 判别法] 知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 有连续导函数, 而自然有 $\displaystyle f$ 连续, 且
\begin\{aligned\} f'(x)&=-\int\_0^\infty y\mathrm\{e\}^\{-y^2\} \sin xy\mathrm\{ d\} y =\frac\{1\}\{2\}\int\_0^\infty \sin xy\mathrm\{ d\} \mathrm\{e\}^\{-y^2\}\\\\ &=-\frac\{1\}\{2\}\int\_0^\infty x\cos xy\cdot \mathrm\{e\}^\{-y^2\}\mathrm\{ d\} y =-\frac\{1\}\{2\}xf(x). \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
又由 $\displaystyle f(0)=\frac\{\sqrt\{\pi\}\}\{2\}$ 知
\begin\{aligned\} \frac\{\mathrm\{ d\} f\}\{f\}=-\frac\{1\}\{2\}x\mathrm\{ d\} x \Rightarrow \ln f(x)-\ln\frac\{\sqrt\{\pi\}\}\{2\}=-\frac\{x^2\}\{4\} \Rightarrow f(x)=\frac\{\sqrt\{\pi\}\}\{2\}\mathrm\{e\}^\{-\frac\{x^2\}\{4\}\}. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
跟锦数学微信公众号. [在线资料](
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853、 7、 (20 分) 设有含参变量的反常积分 $\displaystyle F(\alpha)=\int\_0^\infty x\mathrm\{e\}^\{-\alpha x\}\mathrm\{ d\} x$. (1)、 证明: $\displaystyle F(\alpha)=\int\_0^\infty x\mathrm\{e\}^\{-\alpha x\}\mathrm\{ d\} x$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上非一致收敛; (2)、 证明: 对任意的正常数 $\displaystyle \alpha\_0$, $\displaystyle F(\alpha)=\int\_0^\infty x\mathrm\{e\}^\{-\alpha x\}\mathrm\{ d\} x$ 在 $\displaystyle [\alpha\_0,+\infty)$ 上一致收敛; (3)、 证明: $\displaystyle F(\alpha)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上连续. (重庆大学2023年数学分析考研试题) [含参量积分 ]
[纸质资料](
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https://mp.weixin.qq.com/s/dWvpeJFKnFr0WYPoidXXMA) / 由
\begin\{aligned\} \sup\_\{\alpha\geq \alpha\_0\}\int\_A^\infty x\mathrm\{e\}^\{-\alpha x \}\mathrm\{ d\} x \xlongequal[\tiny\mbox\{积分\}]\{\tiny\mbox\{分部\}\}\sup\_\{\alpha\geq \alpha\_0\}\frac\{(1+A\alpha)\mathrm\{e\}^\{-A\alpha\}\}\{\alpha^2\} \stackrel\{\searrow\}\{=\}\frac\{(1+A\alpha\_0)\mathrm\{e\}^\{-A\alpha\_0\}\}\{\alpha\_0^2\}\xrightarrow\{A\to+\infty \}0 \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
知 $\displaystyle \int\_0^\infty x\mathrm\{e\}^\{-\alpha x\}\mathrm\{ d\} x$ 在 $\displaystyle [\alpha\_0,+\infty )$ 上一致收敛, 从而 $\displaystyle F(\alpha)$ 在 $\displaystyle [\alpha\_0,+\infty)$ 上连续. 由 $\displaystyle \alpha\_0 > 0$ 的任意性知 $\displaystyle F(\alpha)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上连续. 又由
\begin\{aligned\} &\forall\ B > A, \sup\_\{\alpha > 0\}\int\_A^\infty x\mathrm\{e\}^\{-\alpha x \}\mathrm\{ d\} x \geq \sup\_\{\alpha > 0\}\int\_A^B x\mathrm\{e\}^\{-\alpha x \}\mathrm\{ d\} x\\\\ &\geq \lim\_\{\alpha\to 0^+\}\int\_A^B x\mathrm\{e\}^\{-\alpha x\}\mathrm\{ d\} x =\frac\{B^2-A^2\}\{2\}\\\\ \Rightarrow&\sup\_\{\alpha > 0\}\int\_A^\infty x\mathrm\{e\}^\{-\alpha x \}\mathrm\{ d\} x=+\infty \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
知 $\displaystyle \int\_0^\infty x\mathrm\{e\}^\{-\alpha x \}\mathrm\{ d\} x$ 在 $\displaystyle (0,+\infty )$ 上不一致收敛.跟锦数学微信公众号. [在线资料](
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854、 (3)、 已知多项式 $\displaystyle f(x)=x^3-3x+a$ 有重根, 则 $\displaystyle a=\underline\{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \}$. (安徽大学2023年高等代数考研试题) [多项式 ]
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https://mp.weixin.qq.com/s/dWvpeJFKnFr0WYPoidXXMA) / 由
\begin\{aligned\} f(x)=&\frac\{x\}\{3\}f'(x)+r\_1(x), r\_1(x)=-2x+a,\\\\ f'(x)=&\left(-\frac\{3x\}\{2\}-\frac\{3a\}\{4\}\right)r\_1(x)+r\_2(x), r\_2(x)=\frac\{3a^2\}\{4\}-3 \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
知当且仅当 $\displaystyle \frac\{3a^2\}\{4\}-3=0\Leftrightarrow a=\pm 2$ 时, $\displaystyle (f,f')\neq 1\Leftrightarrow f$ 有重根.跟锦数学微信公众号. [在线资料](
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855、 2、 判断题, 判断对错并简要说明理由 (每题 5 分, 共 20 分). (1)、 设 $\displaystyle f$ 为数域 $\displaystyle \mathbb\{P\}$ 上的一元多项式, $\displaystyle f'(x)$ 为 $\displaystyle f(x)$ 的微商, $\displaystyle \alpha\in\mathbb\{P\}$, 则 $\displaystyle \alpha$ 为 $\displaystyle f(x)$ 的 $\displaystyle k$ 重根的充分必要条件是 $\displaystyle \alpha$ 为 $\displaystyle f'(x)$ 的 $\displaystyle k-1$ 重根, 其中 $\displaystyle k\geq 2$. $\displaystyle \underline\{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \}$ (安徽大学2023年高等代数考研试题) [多项式 ]
[纸质资料](
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https://mp.weixin.qq.com/s/JGYZG5rsshf7Z2Amo2di8A)/[pdf1](
https://mp.weixin.qq.com/s/Pt6\_h5MqtomrUDYiPEwkxg)/[pdf2](
https://mp.weixin.qq.com/s/dWvpeJFKnFr0WYPoidXXMA) / $\displaystyle \times$. 比如对 $\displaystyle f(x)=x^2-1$ 而言, $\displaystyle 0$ 是 $\displaystyle f'(x)=2x$ 的 $\displaystyle 1$ 重根, 但不是 $\displaystyle f(x)$ 的 $\displaystyle 2$ 重根.跟锦数学微信公众号. [在线资料](
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856、 (2)、 设
\begin\{aligned\} f(x)=&2x^5+5x^4+2x^3-3x^2-2x,\\\\ g(x)=&x^4+3x^3+2x^2-x-1, \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
求 $\displaystyle f(x)$ 与 $\displaystyle g(x)$ 的首一最大公因式 $\displaystyle \left(f(x),g(x)\right)$, 并求 $\displaystyle u(x),v(x)$, 使得
\begin\{aligned\} u(x)f(x)+v(x)g(x)=\left(f(x),g(x)\right). \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
(安徽大学2023年高等代数考研试题) [多项式 ]
[纸质资料](
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https://mp.weixin.qq.com/s/dWvpeJFKnFr0WYPoidXXMA) / 由
\begin\{aligned\} f(x)=&(2x-1)g(x)+r\_1(x), r\_1(x)=x^3+x^2-x-1,\\\\ g(x)=&(x+2)r\_1(x)+r\_2(x), r\_2(x)=x^2+2x+1,\\\\ r\_1(x)=&(x-1)r\_2(x) \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
知
\begin\{aligned\} (x+1)^2=&\left(f(x),g(x)\right)=r\_2(x)=g(x)-(x+2)r\_2(x)\\\\ =&g(x)-(x+2)[f(x)-(2x-1)g(x)]\\\\ =&-(x+2)f(x)+(2x^2+3x-1)g(x). \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
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857、 7、 (15 分) 证明: $\displaystyle f(x)=1+\frac\{x\}\{1!\}+\frac\{x^2\}\{2!\}+\cdots+\frac\{x^n\}\{n!\}$ 无重根. (北京科技大学2023年高等代数考研试题) [多项式 ]
[纸质资料](
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https://mp.weixin.qq.com/s/dWvpeJFKnFr0WYPoidXXMA) / 由
\begin\{aligned\} f'(x)=1+x+\cdots+\frac\{x^\{n-1\}\}\{(n-1)!\} \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
知
\begin\{aligned\} (f(x),f'(x))&=(f(x)-f'(x),f'(x))\\\\ &=\left(\frac\{x^n\}\{n!\}, 1+x+\cdots+\frac\{x^\{n-1\}\}\{(n-1)!\}\right) =1. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
故 $\displaystyle f(x)$ 无重根.跟锦数学微信公众号. [在线资料](
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858、 2、 求 $\displaystyle x^5-1$ 在实数域和复数域上的标准因式分解. (北京理工大学2023年高等代数考研试题) [多项式 ]
[纸质资料](
https://mp.weixin.qq.com/s/ycnPCSqWFlThEnq9ZZ6gBQ)/[答疑](
https://mp.weixin.qq.com/s/JGYZG5rsshf7Z2Amo2di8A)/[pdf1](
https://mp.weixin.qq.com/s/Pt6\_h5MqtomrUDYiPEwkxg)/[pdf2](
https://mp.weixin.qq.com/s/dWvpeJFKnFr0WYPoidXXMA) / (1)、 我们给出一般的结果. 设 $\displaystyle n$ 为正整数, 则 $\displaystyle x^\{2n+1\}-1$ 在实数域 $\displaystyle \mathbb\{R\}$ 上的标准分解式为 $\displaystyle (x-1)\prod\_\{k=1\}^n \left(x^2-2x\cos\frac\{2k\pi\}\{2n+1\}+1\right)$. 事实上, 由 $\displaystyle x^\{2n+1\}-1$ 的全体复根为 $\displaystyle \mathrm\{e\}^\{\mathrm\{ i\} \frac\{2k\pi\}\{2n+1\}\}, -n\leq k\leq n$ 知
\begin\{aligned\} x^\{2n+1\}-1=&(x-1)\prod\_\{k=1\}^n \left\[\left(x-\mathrm\{e\}^\{\mathrm\{ i\} \frac\{2k\pi\}\{2n+1\}\}\right) \left(x-\mathrm\{e\}^\{-\mathrm\{ i\}\frac\{2k\pi\}\{2n+1\}\}\right)\right\]\\\\ =&(x-1)\prod\_\{k=1\}^n \left(x^2-2x\cos\frac\{2k\pi\}\{2n+1\}+1\right). \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
(2)、 取 $\displaystyle n=2$ 即知
\begin\{aligned\} x^5-1=&(x-1)\left(x-\mathrm\{e\}^\{\mathrm\{ i\}\frac\{2\pi\}\{5\}\}\right) \left(x-\mathrm\{e\}^\{-\mathrm\{ i\}\frac\{2\pi\}\{5\}\}\right)\left(x-\mathrm\{e\}^\{\mathrm\{ i\}\frac\{4\pi\}\{5\}\}\right) \left(x-\mathrm\{e\}^\{-\mathrm\{ i\}\frac\{4\pi\}\{5\}\}\right)\left(\mathbb\{C\}\mbox\{中\}\right)\\\\ =&(x-1)\left(x^2-2x\cos\frac\{2\pi\}\{5\}+1\right)\left(x^2-2x\cos\frac\{4\pi\}\{5\}+1\right)\left(\mathbb\{R\}\mbox\{中\}\right). \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
跟锦数学微信公众号. [在线资料](
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859、 3、 设 $\displaystyle c\in\mathbb\{C\}$ 是有理多项式 $\displaystyle f(x)$ 的复根, 命
\begin\{aligned\} J=\left\\{f(x)\in \mathbb\{Q\}[x]; f(c)=0\right\\}. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
证明: 存在 $\displaystyle p(x)\in J$, 使得
\begin\{aligned\} \forall\ f(x)\in J, \exists\ g(x)\in\mathbb\{Q\}[x],\mathrm\{ s.t.\} f(x)=g(x)p(x). \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
(北京师范大学2023年高等代数与解析几何考研试题) [多项式 ]
[纸质资料](
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https://mp.weixin.qq.com/s/JGYZG5rsshf7Z2Amo2di8A)/[pdf1](
https://mp.weixin.qq.com/s/Pt6\_h5MqtomrUDYiPEwkxg)/[pdf2](
https://mp.weixin.qq.com/s/dWvpeJFKnFr0WYPoidXXMA) / 设 $\displaystyle p(x)$ 是 $\displaystyle J$ 中次数最低的首一(非零)多项式, 则由带余除法,
\begin\{aligned\} \forall\ f(x)\in J,\ \exists\ g(x),r(x)\in\mathbb\{Q\}[x],\mathrm\{ s.t.\} f(x)=q(x)p(x)+r(x), \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
其中 $\displaystyle r(x)=0$ 或 $\displaystyle \deg r < \deg g$. 往用反证法证明 $\displaystyle \deg r < \deg g$ 不成立, 而 $\displaystyle r(x)=0\Rightarrow f(x)=q(x)p(x)$, 结论得证. 事实上, 若 $\displaystyle \deg r < \deg g$, 则
\begin\{aligned\} r(c)=f(c)-q(c)p(c)=0 \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
蕴含 $\displaystyle r(x)$ 是 $\displaystyle J$ 中次数比 $\displaystyle p(x)$ 更低的多项式. 设 $\displaystyle r(x)$ 的首项系数为 $\displaystyle A$, 则 $\displaystyle \frac\{r(x)\}\{A\}$ 是 $\displaystyle J$ 中次数比 $\displaystyle p(x)$ 更低的首一 (非零) 多项式, 与 $\displaystyle p(x)$ 的定义矛盾. 故有结论.跟锦数学微信公众号. [在线资料](
https://mp.weixin.qq.com/s/F-TU-uzeo3EjxI5LzjUvRw)/[公众号](
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860、 1、 证明: 在 $\displaystyle \mathbb\{Q\}[x]$ 中, 如果 $\displaystyle (x^2+1)\mid [f\_1(x^4)+xf\_2(x^4)]$, 那么 $\displaystyle 1$ 是 $\displaystyle f\_1(x), f\_2(x)$ 的根. (北京邮电大学2023年高等代数考研试题) [多项式 ]
[纸质资料](
https://mp.weixin.qq.com/s/ycnPCSqWFlThEnq9ZZ6gBQ)/[答疑](
https://mp.weixin.qq.com/s/JGYZG5rsshf7Z2Amo2di8A)/[pdf1](
https://mp.weixin.qq.com/s/Pt6\_h5MqtomrUDYiPEwkxg)/[pdf2](
https://mp.weixin.qq.com/s/dWvpeJFKnFr0WYPoidXXMA) / 令 $\displaystyle x=\pm \mathrm\{ i\}$, 则 $\displaystyle f\_1(1)\pm \mathrm\{ i\} f\_2(1)=0$. 解得 $\displaystyle f\_1(1)=f\_2(1)=0$. 故有结论.跟锦数学微信公众号. [在线资料](
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861、 (2)、 设 $\displaystyle p$ 是素数, $\displaystyle a$ 是整数, $\displaystyle p^2\mid(a+1)$. 证明: 多项式 $\displaystyle f(x)=ax^p+px+1$ 没有有理根. (大连理工大学2023年高等代数考研试题) [多项式 ]
[纸质资料](
https://mp.weixin.qq.com/s/ycnPCSqWFlThEnq9ZZ6gBQ)/[答疑](
https://mp.weixin.qq.com/s/JGYZG5rsshf7Z2Amo2di8A)/[pdf1](
https://mp.weixin.qq.com/s/Pt6\_h5MqtomrUDYiPEwkxg)/[pdf2](
https://mp.weixin.qq.com/s/dWvpeJFKnFr0WYPoidXXMA) /
\begin\{aligned\} f(x+1)=&a(x+1)^p+p(x+1)+1\\\\ =&ax^p+aC\_p^1 x^\{p-1\}+\cdots+aC\_p^\{p-2\}x^2 +(a+1)px+a+1+p. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
由
\begin\{aligned\} p\mid a&\Rightarrow a=ps, s\in\mathbb\{Z\} \Rightarrow p^2\mid (a+1)=ps+1\\\\ &\Rightarrow ps+1=p^2t\Rightarrow 1=p(pt-s)\Rightarrow p\mid 1,\mbox\{与 $\displaystyle p$ 是素数矛盾\} \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
知 $\displaystyle p\nmid a$. 又由
\begin\{aligned\} p\mid aC\_p^k\left(1\leq k\leq p-2\right), p\mid(a+1)p, p\mid (a+1+p), p^2\nmid (a+1+p) \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
及 Eisenstein 判别法知 $\displaystyle f(x+1)$ 在 $\displaystyle \mathbb\{Q\}$ 中不可约, 而 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb\{Q\}$ 中不可约, $\displaystyle f(x)$ 没有有理根.跟锦数学微信公众号. [在线资料](
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862、 (6)、 设
\begin\{aligned\} A=\left(\begin\{array\}\{cccccccccccccccccccc\}1&1\\\\ 3&-5\end\{array\}\right),\quad B=\left(\begin\{array\}\{cccccccccccccccccccc\}4&0&1\\\\ 0&2&0\\\\ 4&0&4\end\{array\}\right), \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
$\displaystyle f(x)$ 是使得 $\displaystyle f(A)=0$ 且 $\displaystyle f(B)=0$ 的次数最小的首项系数为 $\displaystyle 1$ 的多项式, 则 $\displaystyle f'(0)=\underline\{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \}$. (电子科技大学2023年高等代数考研试题) [多项式 ]
[纸质资料](
https://mp.weixin.qq.com/s/ycnPCSqWFlThEnq9ZZ6gBQ)/[答疑](
https://mp.weixin.qq.com/s/JGYZG5rsshf7Z2Amo2di8A)/[pdf1](
https://mp.weixin.qq.com/s/Pt6\_h5MqtomrUDYiPEwkxg)/[pdf2](
https://mp.weixin.qq.com/s/dWvpeJFKnFr0WYPoidXXMA) / $\displaystyle A$ 的特征多项式为 $\displaystyle f(x)=x^2+4x-8$, 没有重根, 而最小多项式就是 $\displaystyle f(x)$ 本身. 易知 $\displaystyle B$ 的特征值为 $\displaystyle 6,2,2$. 由
\begin\{aligned\} B-2E\to \left(\begin\{array\}\{cccccccccccccccccccc\}1&0&\frac\{1\}\{2\}\\\\ 0&0&0\\\\ 0&0&0\end\{array\}\right)\Rightarrow \mathrm\{rank\}(B-2E)=1 \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
知 $\displaystyle B\sim \mathrm\{diag\}(6,2,2)$, 而 $\displaystyle B$ 的最小多项式就是 $\displaystyle g(x)=(x-6)(x-2)$. 已知 $\displaystyle (f,g)=1$, 而应填
\begin\{aligned\} \left\[f,g\right\]=\frac\{fg\}\{(f,g)\}=(x^2+4x-8)(x-6)(x-2). \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
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863、 1、 多项式
\begin\{aligned\} f(x)=x^5-x^3-4x^2-3x-2 \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
在 $\displaystyle \mathbb\{R\}$ 上是否有重根? 若没有重根, 请说明理由; 若有重根, 请求出重根. (东北大学2023年高等代数考研试题) [多项式 ]
[纸质资料](
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https://mp.weixin.qq.com/s/JGYZG5rsshf7Z2Amo2di8A)/[pdf1](
https://mp.weixin.qq.com/s/Pt6\_h5MqtomrUDYiPEwkxg)/[pdf2](
https://mp.weixin.qq.com/s/dWvpeJFKnFr0WYPoidXXMA) / 由
\begin\{aligned\} f(x)=&\frac\{x\}\{5\}f'(x)+r\_1(x), r\_1(x)=-\frac\{2\}\{5\}x^3-\frac\{12\}\{5\}x^2-\frac\{12\}\{5\}x-2,\\\\ f'(x)=&\left(-\frac\{25\}\{2\}x+75\right)r\_1(x)+r\_2(x), r\_2(x)=147(x^2+x+1),\\\\ r\_1(x)=&\left(-\frac\{2x\}\{735\}-\frac\{2\}\{147\}\right)r\_2(x) \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
知 $\displaystyle \left(f(x),f'(x)\right)=x^2+x+1$, 而 $\displaystyle f$ 有重根 $\displaystyle \frac\{-1\pm \sqrt\{3\}\mathrm\{ i\}\}\{2\}$.跟锦数学微信公众号. [在线资料](
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864、 3、 (10 分) 设 $\displaystyle f(x)$ 是有理数域 $\displaystyle \mathbb\{Q\}$ 上的一个 $\displaystyle m$ 次多项式, $\displaystyle n$ 是大于 $\displaystyle m$ 的正整数. 证明 $\displaystyle \sqrt[n]\{2\}$ 不是 $\displaystyle f(x)$ 的根. (东北师范大学2023年高等代数与解析几何考研试题) [多项式 ]
[纸质资料](
https://mp.weixin.qq.com/s/ycnPCSqWFlThEnq9ZZ6gBQ)/[答疑](
https://mp.weixin.qq.com/s/JGYZG5rsshf7Z2Amo2di8A)/[pdf1](
https://mp.weixin.qq.com/s/Pt6\_h5MqtomrUDYiPEwkxg)/[pdf2](
https://mp.weixin.qq.com/s/dWvpeJFKnFr0WYPoidXXMA) / 由 Eisenstein 判别法知 $\displaystyle g(x)=x^n-2$ 在 $\displaystyle \mathbb\{Q\}$ 上不可约. 从而 $\displaystyle g(x)$ 的因式只有 $\displaystyle c, cg(x)$, 其中 $\displaystyle c\neq 0$. 从而 $\displaystyle \left(f(x),g(x)\right)=1$ 或 $\displaystyle g(x)\mid f(x)$. 于是题设’$\deg f=m < n=\deg g$‘蕴含
\begin\{aligned\} (f,g)=1\Rightarrow \exists\ u,v,\mathrm\{ s.t.\} uf+vg=1\stackrel\{x=\sqrt[n]\{2\}\}\{\Rightarrow\} u(\sqrt[n]\{2\})f(\sqrt[n]\{2\})=1\Rightarrow f(\sqrt[n]\{2\})\neq 0. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
这表明 $\displaystyle \sqrt[n]\{2\}$ 不是 $\displaystyle f(x)$ 的根.跟锦数学微信公众号. [在线资料](
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865、 (2)、 设实系数多项式 $\displaystyle f(x)=x^3+px+q$ 有一个根 $\displaystyle 3+\sqrt\{-1\}$, 则 $\displaystyle p=\underline\{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \}$. (福州大学2023年高等代数考研试题) [多项式 ]
[纸质资料](
https://mp.weixin.qq.com/s/ycnPCSqWFlThEnq9ZZ6gBQ)/[答疑](
https://mp.weixin.qq.com/s/JGYZG5rsshf7Z2Amo2di8A)/[pdf1](
https://mp.weixin.qq.com/s/Pt6\_h5MqtomrUDYiPEwkxg)/[pdf2](
https://mp.weixin.qq.com/s/dWvpeJFKnFr0WYPoidXXMA) / 由题设, $\displaystyle 3\pm \mathrm\{ i\}$ 都是 $\displaystyle f(x)$ 的根, 而
\begin\{aligned\} \left\[x-(3+\mathrm\{ i\})\right\]\left\[x-(3-\mathrm\{ i\})\right\]=x^2-6x+10\mid f(x). \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
由带余除法知
\begin\{aligned\} f(x)=(x+6)(x^2-6x+10)+(p+26)x+q-60. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
故 $\displaystyle p=-26, q=60$.跟锦数学微信公众号. [在线资料](
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https://mp.weixin.qq.com/s/pdC49P5WZXTEpRBa0JBfow)/
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866、 (3)、 (12 分) 已知 $\displaystyle a,b,c,d$ 属于数域 $\displaystyle \mathbb\{F\}$, 且满足 $\displaystyle \left|\begin\{array\}\{cccccccccc\}a&b\\\\ c&d\end\{array\}\right|\neq 0$, $\displaystyle f(x),g(x)$ 是数域 $\displaystyle \mathbb\{F\}$ 上的多项式, 证明:
\begin\{aligned\} \left(af(x)+bg(x),cf(x)+dg(x)\right)=\left(f(x),g(x)\right). \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
(福州大学2023年高等代数考研试题) [多项式 ]
[纸质资料](
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https://mp.weixin.qq.com/s/JGYZG5rsshf7Z2Amo2di8A)/[pdf1](
https://mp.weixin.qq.com/s/Pt6\_h5MqtomrUDYiPEwkxg)/[pdf2](
https://mp.weixin.qq.com/s/dWvpeJFKnFr0WYPoidXXMA) / 设
\begin\{aligned\} u(x)=af(x)+bg(x),\quad v(x)=cf(x)+dg(x), \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
则
\begin\{aligned\} f(x)=\frac\{\mathrm\{ d\} u(x)-bv(x)\}\{ad-bc\},\quad g(x)=\frac\{av(x)-cu(x)\}\{ad-bc\}. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
这样,
\begin\{aligned\} d(x)\mid f(x),\ d(x)\mid g(x)\Leftrightarrow d(x)\mid u(x),\ d(x)\mid v(x). \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
于是 $\displaystyle f,g$ 的公因式与 $\displaystyle u,v$ 的公因式相同, 而有结论.跟锦数学微信公众号. [在线资料](
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867、 (4)、 记 $\displaystyle S$ 是形如 $\displaystyle x^2+ax+b$ 的多项式组成的集合, 且 $\displaystyle a,b$ 都是不大于 $\displaystyle 22$ 的非负整数, 则 $\displaystyle S$ 在 $\displaystyle \mathbb\{Q\}$ 上的不可约多项式有 $\displaystyle \underline\{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \}$ 个. [张祖锦擅自在题目上加上’非负‘, 否则是无限个] (复旦大学2023年代数(第4,6,7,8题没做)考研试题) [多项式 ]
[纸质资料](
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https://mp.weixin.qq.com/s/JGYZG5rsshf7Z2Amo2di8A)/[pdf1](
https://mp.weixin.qq.com/s/Pt6\_h5MqtomrUDYiPEwkxg)/[pdf2](
https://mp.weixin.qq.com/s/dWvpeJFKnFr0WYPoidXXMA) / $\displaystyle x^2+ax+b$ 的根为 $\displaystyle \frac\{-a\pm \sqrt\{a^2-4b\}\}\{2\}$, 它们 $\displaystyle \in \mathbb\{Q\}\Leftrightarrow a^2-4b$ 是完全平方数 $\displaystyle c^2, c\in\mathbb\{Z\}$. 此即
\begin\{aligned\} &0\leq a\leq 22, 0\leq b\leq 22, a^2-c^2=4b\\\\ \Leftrightarrow&0\leq a^2-c^2\leq 88, a,c\mbox\{具有相同的奇偶性\}\\\\ \Leftrightarrow&\left\\{\begin\{array\}\{llllllllllll\}0\leq c\leq a, &a^2 < 88,\\\\ \sqrt\{a^2-88\}\leq c\leq a, &a^2 > 88.\end\{array\}\right. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
(4-1)、 当 $\displaystyle a^2 < 88$ 时, 共有 $\displaystyle \sum\_\{a=0\}^9 \left\[\frac\{a+2\}\{2\}\right\]=30$ 个. (4-2)、 当 $\displaystyle a^2 > 88$ 时,
\begin\{aligned\} a=10&\Rightarrow 4\leq c\leq 10;\\\\ a=11&\Rightarrow 6\leq c\leq 11;\\\\ a=12&\Rightarrow 8\leq c\leq 12;\\\\ a=13&\Rightarrow 9\leq c\leq 13;\\\\ a=14&\Rightarrow 11\leq c\leq 14;\\\\ a=15&\Rightarrow 12\leq c\leq 15;\\\\ a=16&\Rightarrow 13\leq c\leq 16;\\\\ a=17&\Rightarrow 15\leq c\leq 17;\\\\ a=18&\Rightarrow 16\leq c\leq 18;\\\\ a=19&\Rightarrow 17\leq c\leq 19;\\\\ a=20&\Rightarrow 18\leq c\leq 20;\\\\ a=21&\Rightarrow 19\leq c\leq 21;\\\\ a=22&\Rightarrow 20\leq c\leq 22. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
注意 $\displaystyle a,c$ 有相同的奇偶性知共有
\begin\{aligned\} 4+3+3+3+9\cdot 2=31 \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
个. 故不可约的有 $\displaystyle 2^\{23\}-61$ 个.跟锦数学微信公众号. [在线资料](
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868、 1、 填空题. (1)、 若 $\displaystyle f(x)=x^3-3x^2+tx-1$ 有重根, $\displaystyle t$ 为整数, 则 $\displaystyle t=\underline\{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \}$. (广西大学2023年高等代数考研试题) [多项式 ]
[纸质资料](
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https://mp.weixin.qq.com/s/JGYZG5rsshf7Z2Amo2di8A)/[pdf1](
https://mp.weixin.qq.com/s/Pt6\_h5MqtomrUDYiPEwkxg)/[pdf2](
https://mp.weixin.qq.com/s/dWvpeJFKnFr0WYPoidXXMA) /
\begin\{aligned\} f(x)=\frac\{x-1\}\{3\}f'(x)+r\_1(x), r\_1(x)=\frac\{t-3\}\{3\}(2x+1). \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
(1-1)、 若 $\displaystyle t=3$, 则 $\displaystyle (f,f')=f'\neq 1$, 而 $\displaystyle f$ 有重根. (1-2)、 若 $\displaystyle t\neq 3$, 则 $\displaystyle f$ 有重根
\begin\{aligned\} \Leftrightarrow& 1\neq (f,f')=\left(f(x)-\frac\{x-1\}\{3\}f'(x),f'(x)\right) =\left(2x+1,f'(x)\right)\\\\ \Leftrightarrow& 0=f'\left(-\frac\{1\}\{2\}\right)=t+\frac\{15\}\{4\}. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
由 $\displaystyle t\in\mathbb\{Z\}$ 知 $\displaystyle t=3$.跟锦数学微信公众号. [在线资料](
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869、 7、 设 $\displaystyle f(x)$ 是数域 $\displaystyle \mathbb\{F\}$ 上的一个次数大于 $\displaystyle 0$ 的一元多项式. 证明: $\displaystyle f(x)$ 是一个不可约多项式的方幂的充分必要条件是对数域 $\displaystyle \mathbb\{F\}$ 上的任意多项式 $\displaystyle g(x)$, 有 $\displaystyle \left(f(x),g(x)\right)=1$ 或者存在正整数 $\displaystyle m$, 使得 $\displaystyle f(x)\mid g^m(x)$. (广西大学2023年高等代数考研试题) [多项式 ]
[纸质资料](
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https://mp.weixin.qq.com/s/JGYZG5rsshf7Z2Amo2di8A)/[pdf1](
https://mp.weixin.qq.com/s/Pt6\_h5MqtomrUDYiPEwkxg)/[pdf2](
https://mp.weixin.qq.com/s/dWvpeJFKnFr0WYPoidXXMA) / (1)、 设 $\displaystyle p$ 是不可约多项式, 则
\begin\{aligned\} \forall\ f, (p,f)=1\mbox\{或\}p\mid f. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
(2)、 $\displaystyle \Rightarrow$: 设 $\displaystyle f=p^m, m\in\mathbb\{Z\}\_+$, 则 $\displaystyle \forall\ g$,
\begin\{aligned\} (p,g)=1\Rightarrow (p^m,g)=1\Rightarrow (f,g)=1 \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
或
\begin\{aligned\} p\mid g\Rightarrow p^m\mid g^m\Rightarrow f\mid g^m. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
(3)、 充分性用反证法. 若 $\displaystyle f$ 不是一个不可约多项式的方幂, 则由因式分解及唯一性定理,
\begin\{aligned\} f=cp\_1^\{s\_1\}\cdots p\_k^\{s\_k\},\quad s\_i > 0, \quad k > 1. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
取 $\displaystyle g=p\_2$, 则
\begin\{aligned\} &p\_2\mid f, p\_2\mid g\Rightarrow p\mid (f,g)\Rightarrow(f,g)=1\mbox\{不成立\},\\\\ &f\nmid g^m\left(\begin\{array\}\{c\}\mbox\{否则, \}f\mid g^m\Rightarrow F p\_1^\{s\_1\}\cdots p\_k^\{s\_k\}=p\_2^m\\\\ \Rightarrow p\_1\mid p\_2^\{s\_2\}, \mbox\{矛盾\}\end\{array\}\right). \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
与充分性假设矛盾. 故有结论.跟锦数学微信公众号. [在线资料](
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870、 1、 填空题. (1)、 设实系数多项式 $\displaystyle f(x)=x^3+ax^2+bx+10$ 有一个虚根 $\displaystyle 3+4\mathrm\{ i\}$, 则 $\displaystyle f(x)$ 的实根为 $\displaystyle \underline\{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \}$. (哈尔滨工程大学2023年高等代数考研试题) [多项式 ]
[纸质资料](
https://mp.weixin.qq.com/s/ycnPCSqWFlThEnq9ZZ6gBQ)/[答疑](
https://mp.weixin.qq.com/s/JGYZG5rsshf7Z2Amo2di8A)/[pdf1](
https://mp.weixin.qq.com/s/Pt6\_h5MqtomrUDYiPEwkxg)/[pdf2](
https://mp.weixin.qq.com/s/dWvpeJFKnFr0WYPoidXXMA) / 由题设知 $\displaystyle 3-4\mathrm\{ i\}$ 也是 $\displaystyle f$ 的根. 于是
\begin\{aligned\} \left\[x-(3+4\mathrm\{ i\})\right\]\left\[x-(3-4\mathrm\{ i\})\right\]=x^2-6x+25\mid f(x). \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
由
\begin\{aligned\} f(x)=(x+a+6)(x^2-6x+25)+(11+6a+b)x-(25a+140) \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
知
\begin\{aligned\} 11+6a+b=0, 25a+140=0\Rightarrow a=-\frac\{28\}\{5\}, b=\frac\{113\}\{5\}. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
跟锦数学微信公众号. [在线资料](
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871、 5、 设 $\displaystyle n$ 是正整数, $\displaystyle f\_1(x), f\_2(x), \cdots, f\_n(x)$ 是复数域上的多项式, 且
\begin\{aligned\} \left(x^n+x^\{n-1\}+\cdots+x+1\right) \mid\left\[f\_1(x^\{n+1\})+xf\_2(x^\{n+1\})+\cdots+x^\{n-1\}f\_n(x^\{n+1\})\right\]. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
求证: $\displaystyle (x-1)^n\mid f\_1(x)f\_2(x)\cdots f\_n(x)$. (哈尔滨工程大学2023年高等代数考研试题) [多项式 ]
[纸质资料](
https://mp.weixin.qq.com/s/ycnPCSqWFlThEnq9ZZ6gBQ)/[答疑](
https://mp.weixin.qq.com/s/JGYZG5rsshf7Z2Amo2di8A)/[pdf1](
https://mp.weixin.qq.com/s/Pt6\_h5MqtomrUDYiPEwkxg)/[pdf2](
https://mp.weixin.qq.com/s/dWvpeJFKnFr0WYPoidXXMA) / 由
\begin\{aligned\} \sum\_\{i=0\}^n x^i=\frac\{x^\{n+1\}-1\}\{x-1\} =\prod\_\{j=1\}^n (x-\omega\_j), \omega\_j=\mathrm\{e\}^\{\mathrm\{ i\} \frac\{2j\pi\}\{n+1\}\} \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
及充分性假设知
\begin\{aligned\} 0=\sum\_\{k=1\}^n \omega\_j^\{k-1\}f\_k(\omega\_j^\{n+1\}), j=1,\cdots,n. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
此即
\begin\{aligned\} \left(\begin\{array\}\{cccccccccccccccccccc\} 1&\omega\_1&\cdots&\omega\_1^\{n-1\}\\\\ 1&\omega\_2&\cdots&\omega\_2^\{n-1\}\\\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\\\ 1&\omega\_n&\cdots&\omega\_n^\{n-1\} \end\{array\}\right)\left(\begin\{array\}\{cccccccccccccccccccc\}f\_1(1)\\\\ f\_2(1)\\\\ \vdots\\\\ f\_n(1)\end\{array\}\right)=\left(\begin\{array\}\{cccccccccccccccccccc\}0\\\\0\\\\\vdots\\\\0\end\{array\}\right). \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
它的系数矩阵行列式非零即知它只有零解: $\displaystyle f\_k(1)=0\Rightarrow (x-1)\mid f\_k(x)\Rightarrow (x-1)^n\mid f\_1(x)f\_2(x)\cdots f\_n(x)$.跟锦数学微信公众号. [在线资料](
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872、 2、 设 $\displaystyle a\_1,\cdots,a\_n$ 是 $\displaystyle n$ 个不同的数, 且
\begin\{aligned\} F(x)=(x-a\_1)\cdots (x-a\_n). \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
对于任意 $\displaystyle n$ 个数 $\displaystyle b\_1,\cdots,b\_n$, 有多项式
\begin\{aligned\} L(x)=\sum\_\{i=1\}^n \frac\{b\_iF(x)\}\{(x-a\_i)F'(a\_i)\}. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
(1)、 证明: $\displaystyle L(a\_i)=b\_i, i=1,\cdots,n$; (2)、 证明: $\displaystyle L(x)$ 是满足 $\displaystyle L(a\_i)=b\_i, i=1,\cdots,n$ 的次数最低的多项式. (哈尔滨工业大学2023年高等代数考研试题) [多项式 ]
[纸质资料](
https://mp.weixin.qq.com/s/ycnPCSqWFlThEnq9ZZ6gBQ)/[答疑](
https://mp.weixin.qq.com/s/JGYZG5rsshf7Z2Amo2di8A)/[pdf1](
https://mp.weixin.qq.com/s/Pt6\_h5MqtomrUDYiPEwkxg)/[pdf2](
https://mp.weixin.qq.com/s/dWvpeJFKnFr0WYPoidXXMA) / (1)、 由 $\displaystyle \frac\{F(x)\}\{x-a\_i\}=\prod\_\{j\neq i\}(x-a\_j)$ 知
\begin\{aligned\} &\left.\frac\{F(x)\}\{x-a\_i\}\right|\_\{x=a\_k\} =\left\\{\begin\{array\}\{llllllllllll\}0,&k\neq i,\\\\ \prod\_\{j\neq i\}(a\_i-a\_j)=F'(a\_i),&k=i.\end\{array\}\right.\\\\ \Rightarrow&\left.\frac\{F(x)\}\{(x-a\_i)F'(a\_i)\}\right|\_\{x=a\_k\}=\delta\_\{ki\}=\left\\{\begin\{array\}\{llllllllllll\}0,&k\neq i\\\\ 1,&k=i\end\{array\}\right.\Rightarrow L(a\_k)=b\_k. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
(2)、 由第 1 步知
\begin\{aligned\} L(x)=\sum\_\{i=1\}^n b\_i \prod\_\{j\neq i\}\frac\{x-a\_j\}\{a\_i-a\_j\} \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
是 $\displaystyle n-1$ 次多项式. 往用反证法证明 $\displaystyle L$ 是满足 $\displaystyle L(a\_i), i=1,\cdots,n$ 的次数最低的多项式. 若不然, 存在 $\displaystyle f(x)$ 也是满足 $\displaystyle f(a\_i)=b\_i, i=1,\cdots,n$ 且 $\displaystyle \deg f < n-1$. 设 $\displaystyle g(x)=f(x)-L(x)$ 后,
\begin\{aligned\} \deg g\leq n-1, g(a\_i)=0, i=1,\cdots,n \Rightarrow g(x)=A(x-a\_1)\cdots (x-a\_n). \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
若 $\displaystyle A\neq 0$, 则 $\displaystyle n-1\geq \deg g=\deg \left\[\prod\_\{i=1\}^n (x-a\_i)\right\]=n$. 这是一个矛盾. 故 $\displaystyle A=0\Rightarrow g=0\Rightarrow f(x)=L(x)$. 这与 $\displaystyle \deg f < n-1$ 矛盾. 故有结论.跟锦数学微信公众号. [在线资料](
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873、 3、 若 $\displaystyle f(x),g(x)$ 为复数域上非常数多项式, 证明以下命题等价: (1)、 $\displaystyle f(x)$ 与 $\displaystyle g(x)$ 有公共根; (2)、 存在复数域上的多项式 $\displaystyle u(x), r(x)$, 使得
\begin\{aligned\} f(x)u(x)=g(x)r(x), \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
其中 $\displaystyle \deg r < \deg f, \deg u < \deg g$. (哈尔滨工业大学2023年高等代数考研试题) [多项式 ]
[纸质资料](
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https://mp.weixin.qq.com/s/JGYZG5rsshf7Z2Amo2di8A)/[pdf1](
https://mp.weixin.qq.com/s/Pt6\_h5MqtomrUDYiPEwkxg)/[pdf2](
https://mp.weixin.qq.com/s/dWvpeJFKnFr0WYPoidXXMA) / (1)、 $\displaystyle (1)\Rightarrow (2)$: 设 $\displaystyle \alpha$ 是 $\displaystyle f,g$ 的公共根, 则 $\displaystyle \exists\ \deg r < \deg f, \deg u < \deg g,\mathrm\{ s.t.\}$
\begin\{aligned\} f(x)=(x-\alpha)r(x), g(x)=(x-\alpha)u(x). \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
于是
\begin\{aligned\} f(x)u(x)=(x-\alpha)r(x)u(x)=g(x)r(x). \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
(2)、 $\displaystyle (2)\Rightarrow (1)$: 用反证法. 若 $\displaystyle f,g$ 没有公共根, 则
\begin\{aligned\} &(f,g)=1\Rightarrow \exists\ p,q,\mathrm\{ s.t.\} pf+qg=1\\\\ \Rightarrow&r=pfr+qgr=pfr+qfu=(pr+qu)f\Rightarrow f\mid r.\qquad(I) \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
由 $\displaystyle \deg r < \deg f$ 知 $\displaystyle r\neq 0$. 这与 $\displaystyle (I)$ 矛盾. 故有结论.跟锦数学微信公众号. [在线资料](
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874、 4、 证明: $\displaystyle p(x)$ 为不可约多项式当且仅当对任意的多项式 $\displaystyle f(x),g(x)$, 若 $\displaystyle p(x)\mid f(x)g(x)$, 则 $\displaystyle p(x)\mid f(x)$ 或 $\displaystyle p(x)\mid g(x)$. (合肥工业大学2023年高等代数考研试题) [多项式 ]
[纸质资料](
https://mp.weixin.qq.com/s/ycnPCSqWFlThEnq9ZZ6gBQ)/[答疑](
https://mp.weixin.qq.com/s/JGYZG5rsshf7Z2Amo2di8A)/[pdf1](
https://mp.weixin.qq.com/s/Pt6\_h5MqtomrUDYiPEwkxg)/[pdf2](
https://mp.weixin.qq.com/s/dWvpeJFKnFr0WYPoidXXMA) / (1)、 $\displaystyle \Rightarrow$: 由 $\displaystyle p(x)$ 不可约知其因式只能为 $\displaystyle c$ 或 $\displaystyle cp(x)$, 其中 $\displaystyle c\neq 0$. 进而
\begin\{aligned\} \left(p(x),f(x)\right)=\left\\{\begin\{array\}\{llllllllllll\}1\Rightarrow p(x)\mid g(x),\\\\ \mbox\{或\} p(x)\Rightarrow p(x)\mid f(x).\end\{array\}\right. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
(2)、 $\displaystyle \Leftarrow$: 用反证法. 若 $\displaystyle p(x)$ 可约, 则
\begin\{aligned\} \exists\ f,g: 1\leq \partial(f),\partial(g) < \partial(p),\mathrm\{ s.t.\} p=fg. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
但由 $\displaystyle 1\leq \partial(f),\partial(g) < \partial(p)$ 知 $\displaystyle p\nmid f, p\nmid g$. 而与充分性假设矛盾. 故有结论.跟锦数学微信公众号. [在线资料](
https://mp.weixin.qq.com/s/F-TU-uzeo3EjxI5LzjUvRw)/[公众号](
https://mp.weixin.qq.com/s/pdC49P5WZXTEpRBa0JBfow)/
发表于 2023-3-5 09:14:49
