## 张祖锦2023年数学专业真题分类70天之第08天
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162、 1、 计算题, 每题 8 分, 共 40 分. (1)、 设极限 $\displaystyle \lim\_\{x\to+\infty\}\left(\sqrt\{x^2+4x+1\}-ax-b\right)=1$, 求 $\displaystyle a,b$ 的值. (重庆大学2023年数学分析考研试题) [函数极限 ]
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\begin\{aligned\} &\lim\_\{x\to+\infty\}\frac\{\sqrt\{x^2+4x+1\}-ax-b\}\{x\}\\\\ =&\left\\{\begin\{array\}\{llllllllllll\}\lim\_\{x\to+\infty\}\left(\sqrt\{x^2+4x+1\}-ax-b\right)\cdot\frac\{1\}\{x\}=1\cdot 0=0,\\\\ \lim\_\{x\to+\infty\} \left(\sqrt\{1+\frac\{4\}\{x\}+\frac\{1\}\{x^2\}\}-a-\frac\{b\}\{x\}\right)=1-a.\end\{array\}\right. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
故 $\displaystyle a=1$,
\begin\{aligned\} 1&=\lim\_\{x\to+\infty\}\left(\sqrt\{x^2+4x+1\}-x-b\right)\\\\ &=\lim\_\{x\to+\infty\}\frac\{4x+1\}\{\sqrt\{x^2+4x+1\}+x\}-b\stackrel\{\div x\}\{=\}\frac\{4\}\{2\}-b=2-b. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
于是 $\displaystyle b=1$.跟锦数学微信公众号. [在线资料](
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163、 2、 (10 分) 设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 的某邻域内可导, 且
\begin\{aligned\} \lim\_\{x\to 0\}\left\[1+x+\frac\{f(x)\}\{x\}\right\]^\frac\{1\}\{x\}=\mathrm\{e\}^3. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
求 $\displaystyle f(0), f'(0)$ 以及 $\displaystyle \lim\_\{x\to 0\}\left\[1+\frac\{f(x)\}\{x\}\right\]^\frac\{1\}\{x\}$. (重庆大学2023年数学分析考研试题) [函数极限 ]
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\begin\{aligned\} &\mathrm\{e\}^3=\lim\_\{x\to 0\}\left\[1+x+\frac\{f(x)\}\{x\}\right\]^\frac\{1\}\{x\} =\mathrm\{exp\}\left\\{\lim\_\{x\to 0\}\frac\{\ln \left\[1+x+\frac\{f(x)\}\{x\}\right\]\}\{x\}\right\\}\\\\ \Rightarrow& 3=\lim\_\{x\to 0\}\frac\{\ln \left\[1+x+\frac\{f(x)\}\{x\}\right\]\}\{x\}\\\\ \Rightarrow&\ln \left\\{\lim\_\{x\to 0\}\left\[1+x+\frac\{f(x)\}\{x\}\right\]\right\\} =\lim\_\{x\to 0\}\frac\{\ln \left\[1+x+\frac\{f(x)\}\{x\}\right\]\}\{x\}\cdot x=3\cdot 0=0\\\\ \Rightarrow&\lim\_\{x\to 0\}\left\[1+x+\frac\{f(x)\}\{x\}\right\]=1 \Rightarrow\lim\_\{x\to 0\}\frac\{f(x)\}\{x\}=0\\\\ \Rightarrow&\left\\{\begin\{array\}\{llllllllllll\} f(0)=\lim\_\{x\to 0\}f(x) =\lim\_\{x\to 0\}\frac\{f(x)\}\{x\}\cdot x=0\cdot 0=0\\\\ f'(0)=\lim\_\{x\to 0\}\frac\{f(x)-f(0)\}\{x\} =\lim\_\{x\to 0\}\frac\{f(x)\}\{x\}=0 \end\{array\}\right.. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
进一步, 由上式第 2 行知
\begin\{aligned\} 3&=\lim\_\{x\to 0\}\frac\{\ln \left\[1+x+\frac\{f(x)\}\{x\}\right\]\}\{x\} =\lim\_\{x\to 0\}\frac\{x+\frac\{f(x)\}\{x\}\}\{x\}\left(\ln (1+s)\sim s, s\to 0\right)\\\\ &=1+\lim\_\{x\to 0\}\frac\{f(x)\}\{x^2\} =1+\lim\_\{x\to 0\}\frac\{f'(x)\}\{2x\}\left(\mbox\{L'Hospital 法则\}\right)\\\\ &=1+\frac\{1\}\{2\}\lim\_\{x\to 0\}\frac\{f'(x)-f'(0)\}\{x\} =1+\frac\{1\}\{2\}f''(0). \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
故 $\displaystyle f''(0)=4$. 最终,
\begin\{aligned\} &\lim\_\{x\to 0\}\frac\{f(x)\}\{x^2\} =\lim\_\{x\to 0\}\frac\{f'(x)\}\{2x\}=\frac\{f''(0)\}\{2\}=2,\\\\ \mbox\{原式\}=&\mathrm\{exp\}\left\\{\lim\_\{x\to 0\}\frac\{1\}\{x\}\ln\left\[1+\frac\{f(x)\}\{x\}\right\]\right\\} \xlongequal[\tiny\mbox\{代换\}]\{\tiny\mbox\{等价\}\} \mathrm\{exp\}\left\\{\lim\_\{x\to 0\}\frac\{1\}\{x\}\cdot \frac\{f(x)\}\{x\}\right\\}=\mathrm\{e\}^2. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
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164、 (9)、 $\displaystyle \lim\_\{x\to 0\}\frac\{\sqrt\{x^2+p^2\}-p\}\{\sqrt\{x^2+q^2\}-q\}=\underline\{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \}$, 其中 $\displaystyle p > 0, q > 0$. (重庆师范大学2023年数学分析考研试题) [函数极限 ]
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\begin\{aligned\} \mbox\{原式\}=\lim\_\{x\to 0\}\frac\{\sqrt\{x^2+q^2\}+q\}\{x^2\}\cdot\frac\{x^2\}\{\sqrt\{x^2+p^2\}+q\}=\frac\{2q\}\{2p\}=\frac\{q\}\{p\}. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
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165、 2、 计算题. (1)、 $\displaystyle \lim\_\{x\to 0\}\left(\frac\{\sin x\}\{x\}\right)^\frac\{1\}\{x\ln(1+2x)\}$. (重庆师范大学2023年数学分析考研试题) [函数极限 ]
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\begin\{aligned\} \mbox\{原式\}=&\mathrm\{exp\}\left\[\lim\_\{x\to 0\}\frac\{1\}\{x\ln(1+2x)\}\ln\frac\{\sin x\}\{x\}\right\] \xlongequal[\tiny\mbox\{代换\}]\{\tiny\mbox\{等价\}\} \mathrm\{exp\}\left\[\lim\_\{x\to 0\}\frac\{1\}\{x\cdot 2x\}\left(\frac\{\sin x\}\{x\}-1\right)\right\]\\\\ =&\mathrm\{exp\}\left\[\lim\_\{x\to 0\}\frac\{\sin x-x\}\{2x^3\}\right\] \xlongequal[\tiny\mbox\{展开\}]\{\tiny\mbox\{Taylor\}\} \mathrm\{exp\}\left\[\frac\{-\frac\{1\}\{6\}\}\{2\}\right\]=\mathrm\{e\}^\{-\frac\{1\}\{12\}\}. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
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166、 3、 证明题. (1)、 证明: $\displaystyle \lim\_\{x\to-\infty\}x\cos^2x$ 不存在. (重庆师范大学2023年数学分析考研试题) [函数极限 ]
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https://mp.weixin.qq.com/s/dWvpeJFKnFr0WYPoidXXMA) / 设 $\displaystyle f(x)=x\cos^2x$, 则
\begin\{aligned\} \lim\_\{k\to\infty\}f(-2k\pi)=\lim\_\{k\to\infty\}(-2k\pi)=-\infty, \lim\_\{k\to\infty\}f\left(-2k\pi+\frac\{\pi\}\{2\}\right)=\lim\_\{k\to\infty\}0=0. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
由归结原则即知 $\displaystyle \lim\_\{x\to-\infty\}f(x)$ 不存在.跟锦数学微信公众号. [在线资料](
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167、 3、 (10 分) 设 $\displaystyle f$ 为 $\displaystyle [a,b]$ 上的单调函数, 且 $\displaystyle f(x)$ 可取到 $\displaystyle f(a)$ 与 $\displaystyle f(b)$ 之间的一切值, 证明 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [a,b]$ 上的连续函数. (安徽大学2023年高等代数考研试题) [连续 ]
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https://mp.weixin.qq.com/s/dWvpeJFKnFr0WYPoidXXMA) / 不妨设 $\displaystyle f(x)$ 为区间 $\displaystyle [a,b]$ 上增函数, 则其值域为 $\displaystyle [f(a),f(b)]$. 则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,b]$ 上连续. 用反证法.
\begin\{aligned\} &\quad \quad \mbox\{ $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle [a,b]$ 上不连续\}\\\\ &\Rightarrow \mbox\{ $\displaystyle \exists\ x\_0\in [a,b],\mathrm\{ s.t.\} x\_0$ 是 $\displaystyle f$ 的间断点\}\\\\ &\Rightarrow \mbox\{不妨设 $\displaystyle x\_0\in (a,b)$, $\displaystyle x\_0$ 是 $\displaystyle f$ 的跳跃间断点\}\\\\ &\Rightarrow f(x\_0-0) < f(x\_0+0), f(x\_0-0)\leq f(x\_0)\leq f(x\_0+0)\\\\ &\Rightarrow f(x\_0-0) < f(x\_0)\mbox\{或\}f(x\_0) < f(x\_0+0)\\\\ &\Rightarrow \mbox\{ $\displaystyle [f(a),f(b)]$ 有子区间 $\displaystyle (f(x\_0-0),f(x\_0))$\}\\\\ &\quad \mbox\{ 或 $\displaystyle (f(x\_0),f(x\_0+0))$ 没有原像\}\\\\ &\left(\begin\{array\}\{ll\} x < x\_0&\Rightarrow f(x)\leq \sup\_\{x\in \mathring\{U\}\_-(x\_0)\}f(x)=f(x\_0-0)\\\\ x\geq x\_0&\Rightarrow f(x)\geq f(x\_0) \end\{array\}\right)\\\\ &\Rightarrow \mbox\{与 $\displaystyle f$ 的值域为 $\displaystyle [f(a),f(b)]$ 矛盾, 故有结论\}.\tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
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168、 1、 证明: 实直线 $\displaystyle \mathbb\{R\}$ 上的两个一致连续函数 $\displaystyle f(x)$ 和 $\displaystyle g(x)$ 的和函数 $\displaystyle f(x)+g(x)$ 是一致连续; 它们的乘积函数 $\displaystyle f(x)g(x)$ 是否仍一致连续? 若是, 请写出证明过程; 若不是, 请举出反例. (北京工业大学2023年数学分析考研试题) [连续 ]
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https://mp.weixin.qq.com/s/dWvpeJFKnFr0WYPoidXXMA) / (1)、 由 $\displaystyle f(x), g(x)$ 都在区间 $\displaystyle \mathbb\{R\}$ 上一致连续知 $\displaystyle \forall\ \varepsilon > 0$,
\begin\{aligned\} &\exists\ \delta\_1 > 0,\mathrm\{ s.t.\} \forall\ x,x'\in \mathbb\{R\}, |x-x'| < \delta\_1, |f(x)-f(x')| < \frac\{\varepsilon\}\{2\},\\\\ &\exists\ \delta\_2 > 0,\mathrm\{ s.t.\} \forall\ x,x'\in \mathbb\{R\}, |x-x'| < \delta\_2, |g(x)-g(x')| < \frac\{\varepsilon\}\{2\}. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
令 $\displaystyle \delta=\min\left\\{\delta\_1,\delta\_2\right\\} > 0$, 则当 $\displaystyle x,x'\in \mathbb\{R\}, |x-x'| < \delta$ 时,
\begin\{aligned\} |[f(x)+g(x)]-[f(x')+g(x')]| \leq& |f(x)-f'(x)|+|g(x)-g(x')|\\\\ < &\frac\{\varepsilon\}\{2\}+\frac\{\varepsilon\}\{2\}=\varepsilon. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
这就证明了 $\displaystyle f(x)+g(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb\{R\}$ 上一致连续. (2)、 $\displaystyle f(x)g(x)$ 未必连续. 比如 $\displaystyle f(x)=g(x)=x$ 一致连续, 但 $\displaystyle f(x)g(x)=x^2$ 不一致连续:
\begin\{aligned\} \lim\_\{n\to\infty\}\left\[\left(n+\frac\{1\}\{n\}\right)-n\right\]=0,\quad \left|\left(n+\frac\{1\}\{n\}\right)^2-n^2\right|\geq 2. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
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169、 2、 (15 分) 若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,b]$ 上连续. 证明:
\begin\{aligned\} M(x)=\max\_\{a\leq t\leq x\}f(t) \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
在 $\displaystyle [a,b]$ 上连续. (北京师范大学2023年数学分析考研试题) [连续 ]
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https://mp.weixin.qq.com/s/dWvpeJFKnFr0WYPoidXXMA) / 仅需证明 $\displaystyle M$ 在 $\displaystyle \forall\ x\_0\in (a,b)$ 处连续, $\displaystyle x\_a=a\mbox\{或\} b$ 处类似得到. 由 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle x\_0$ 处连续知
\begin\{aligned\} &\forall\ \varepsilon > 0,\exists\ \delta\in \left(0,\min\left\\{x\_0-a,b-x\_0\right\\}\right),\mathrm\{ s.t.\}\\\\ &\forall\ x\in U(x\_0;\delta), |f(x)-f(x\_0)| < \varepsilon. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
(1)、 先证 $\displaystyle M$ 在 $\displaystyle x\_0$ 右连续. 当 $\displaystyle x\in (x\_0,x\_0+\delta)$ 时,
\begin\{aligned\} M(x\_0)\leq M(x)=&\max\left\\{\max\_\{t\in [a,x\_0]\}f(t), \max\_\{t\in [x\_0,x]\}f(t)\right\\}\\\\ \leq&\max\left\\{M(x\_0),f(x\_0)+\varepsilon\right\\}\leq M(x\_0)+\varepsilon. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
(2)、 再证 $\displaystyle M$ 在 $\displaystyle x\_0$ 左连续. (2-1)、 若 $\displaystyle M(x\_0)$ 定义中的最大值在 $\displaystyle [a,x\_0)$ 内某 $\displaystyle \xi$ 处取得, 则
\begin\{aligned\} \xi\leq x\leq x\_0\Rightarrow M(x)=M(x\_0). \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
而 $\displaystyle M$ 在 $\displaystyle x\_0$ 左连续. (2-2)、 若 $\displaystyle M(x\_0)$ 定义中的最大值在 $\displaystyle x\_0$ 处取得, 即 $\displaystyle M(x\_0)=f(x\_0)$, 则当 $\displaystyle x\in (x\_0-\delta,x\_0)$ 时,
\begin\{aligned\} M(x\_0)\geq M(x)\geq f(x) > f(x\_0)-\varepsilon=M(x\_0)-\varepsilon. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
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170、 14、 已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1]$ 上可导, 且极限 $\displaystyle \lim\_\{x\to 0^+\}\sqrt\{x\}f'(x)$ 存在. 证明: $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1]$ 上一致连续. (北京邮电大学2023年数学分析考研试题) [连续 ]
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https://mp.weixin.qq.com/s/dWvpeJFKnFr0WYPoidXXMA) / 由极限 $\displaystyle \lim\_\{x\to 0^+\}\sqrt\{x\}f'(x)$ 存在知
\begin\{aligned\} \exists\ M > 0,\ \exists\ \delta\_1\in (0,a),\mathrm\{ s.t.\} \forall\ 0 < x < \delta\_1, \left|\sqrt\{x\}f'(x)\right|\leq M. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
于是
\begin\{aligned\} &\forall\ \varepsilon > 0,\exists\ \delta=\left(\frac\{\varepsilon\}\{2M\}\right)^2 > 0,\mathrm\{ s.t.\} \forall\ 0 < x,y\leq \delta\_1, |x-y| < \delta,\\\\ &\left|\frac\{f(x)-f(y)\}\{\sqrt\{x\}-\sqrt\{y\}\}\right| \xlongequal[\tiny\mbox\{中值\}]\{\tiny\mbox\{Cauchy\}\} \left|\frac\{f'(\xi)\}\{\frac\{1\}\{2\sqrt\{\xi\}\}\}\right|\leq 2M\\\\ &\Rightarrow |f(x)-f(y)|\leq 2M\left|\sqrt\{x\}-\sqrt\{y\}\right|\leq 2M \sqrt\{|x-y|\} < \varepsilon. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
这就证明了 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle (0,\delta\_1]$ 上一致连续. 又由 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle [\delta\_1,1]$ 上连续知其一致连续. 从而 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle (0,1]$ 上一致连续.跟锦数学微信公众号. [在线资料](
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171、
(10)、 设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上连续可微, $\displaystyle |f'(x)|\leq 1\ (x\geq 1)$. 求证: $\displaystyle \frac\{f(x)\}\{x\}$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上一致连续. (大连理工大学2023年数学分析考研试题) [连续 ]
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https://mp.weixin.qq.com/s/dWvpeJFKnFr0WYPoidXXMA) / 当 $\displaystyle x\geq 1$ 时,
\begin\{aligned\} |f(x)|&\leq |f(x)-f(1)|+|f(1)|\xlongequal[\tiny\mbox\{中值\}]\{\tiny\mbox\{Lagrange\}\} |f'(\xi\_x)(x-1)|+|f(1)|\\\\ &\leq (x-1)+|f(1)|\leq x+|f(1)|,\\\\ \frac\{|f(x)|\}\{x\}&\leq 1+|f(1)|\equiv L. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
于是当 $\displaystyle x,y\geq 1$ 时,
\begin\{aligned\} &\left|\frac\{f(x)\}\{x\}-\frac\{f(y)\}\{y\}\right| =\left|\frac\{xf(y)-yf(x)\}\{xy\}\right|\\\\ =&\frac\{\left|xf(y)-xf(x)+xf(x)-yf(x)\right|\}\{xy\}\\\\ \leq& \frac\{\left|f(y)-f(x)\right|\}\{y\} +\frac\{\left|x-y\right|\}\{y\}\frac\{\left|f(x)\right|\}\{x\} \leq \left|x-y\right|+\left|x-y\right|L\\\\ \leq& (1+L)|x-y|. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
故 $\displaystyle \forall\ \varepsilon > 0,\exists\ \delta=\frac\{\varepsilon\}\{1+L\} > 0,\mathrm\{ s.t.\}$
\begin\{aligned\} \forall\ x,y\geq 1, |x-y| < \delta, \left|\frac\{f(x)\}\{x\}-\frac\{f(y)\}\{y\}\right| < \varepsilon. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
这就证明了 $\displaystyle \frac\{f(x)\}\{x\}$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上一致连续.跟锦数学微信公众号. [在线资料](
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172、 (4)、 设函数 $\displaystyle g\in C[a,b]$, $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle g$ 的值域上有定义. 证明: 若 $\displaystyle f\circ g\in C[a,b]$, 则 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle g$ 的值域上连续. (电子科技大学2023年数学分析考研试题) [连续 ]
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https://mp.weixin.qq.com/s/Pt6\_h5MqtomrUDYiPEwkxg)/[pdf2](
https://mp.weixin.qq.com/s/dWvpeJFKnFr0WYPoidXXMA) / 用 $\displaystyle R(g)$ 表示 $\displaystyle g$ 的值域, 对 $\displaystyle t\_0\in R(g)$, 往用反证法证明 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle t\_0$ 处连续. 若不然, 由归结原则,
\begin\{aligned\} \exists\ R(g)\ni t\_n\to t\_0,\ |f(t\_n)-f(t\_0)|\geq \varepsilon\_0.\qquad(I) \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
而
\begin\{aligned\} \exists\ x\_n\in [a,b],\mathrm\{ s.t.\} g(x\_n)=t\_n. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
又由致密性定理,
\begin\{aligned\} &\exists\ n\_k, x\_0\in [a,b],\mathrm\{ s.t.\} \lim\_\{k\to\infty\}x\_\{n\_k\}=x\_0\\\\ \Rightarrow&t\_0\xlongequal[\tiny\mbox\{原理\}]\{\tiny\mbox\{归结\}\} \lim\_\{k\to\infty\}t\_\{n\_k\}=\lim\_\{k\to\infty\}g(x\_\{n\_k\}) \xlongequal[\tiny\mbox\{原理\}]\{\tiny\mbox\{归结\}\} g(x\_0). \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
由 $\displaystyle f\circ g\in C[a,b]$ 知 $\displaystyle \lim\_\{k\to\infty\}x\_\{n\_k\}=x\_0$ 蕴含
\begin\{aligned\} f(t\_0)=f\left(g(x\_0)\right) =\lim\_\{k\to\infty\}f\left(g(x\_\{n\_k\})\right) =\lim\_\{k\to\infty\}f(t\_\{n\_k\}). \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
这与 $\displaystyle (I)$ 中令 $\displaystyle n=n\_k$ 得到的结果矛盾. 故有结论.跟锦数学微信公众号. [在线资料](
https://mp.weixin.qq.com/s/F-TU-uzeo3EjxI5LzjUvRw)/[公众号](
https://mp.weixin.qq.com/s/pdC49P5WZXTEpRBa0JBfow)/
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173、 7、 讨论 $\displaystyle f(x)=\sin x^2$ 在 $\displaystyle \mathbb\{R\}$ 上的一致连续性. (东北大学2023年数学分析考研试题) [连续 ]
[纸质资料](
https://mp.weixin.qq.com/s/ycnPCSqWFlThEnq9ZZ6gBQ)/[答疑](
https://mp.weixin.qq.com/s/JGYZG5rsshf7Z2Amo2di8A)/[pdf1](
https://mp.weixin.qq.com/s/Pt6\_h5MqtomrUDYiPEwkxg)/[pdf2](
https://mp.weixin.qq.com/s/dWvpeJFKnFr0WYPoidXXMA) / 设 $\displaystyle x\_n=\sqrt\{2n\pi+\frac\{\pi\}\{2\}\}, y\_n=\sqrt\{2n\pi\}$, 则
\begin\{aligned\} \lim\_\{n\to\infty\}(x\_n-y\_n)=\lim\_\{n\to\infty\}\frac\{\frac\{\pi\}\{2\}\}\{x\_n+y\_n\}=0, |f(x\_n)-f(y\_n)|=|1-0|=1. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
故 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上不一致连续.跟锦数学微信公众号. [在线资料](
https://mp.weixin.qq.com/s/F-TU-uzeo3EjxI5LzjUvRw)/[公众号](
https://mp.weixin.qq.com/s/pdC49P5WZXTEpRBa0JBfow)/
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174、 8、 设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上连续, 且
\begin\{aligned\} \lim\_\{x\to+\infty\}[f(x)-g(x)]=0. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
证明: $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上一致连续当且仅当 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上一致连续. (东北师范大学2023年数学分析考研试题) [连续 ]
[纸质资料](
https://mp.weixin.qq.com/s/ycnPCSqWFlThEnq9ZZ6gBQ)/[答疑](
https://mp.weixin.qq.com/s/JGYZG5rsshf7Z2Amo2di8A)/[pdf1](
https://mp.weixin.qq.com/s/Pt6\_h5MqtomrUDYiPEwkxg)/[pdf2](
https://mp.weixin.qq.com/s/dWvpeJFKnFr0WYPoidXXMA) / 设 $\displaystyle h=f-g$, 则由 $\displaystyle \lim\_\{x\to\infty\}h(x)=0$ 及 Cauchy 收敛准则知
\begin\{aligned\} \forall\ \varepsilon > 0,\exists\ X > 0,\mathrm\{ s.t.\} \forall\ |x|, |x'|\geq X, |h(x)-h(x')| < \varepsilon.\qquad(I) \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
又由 $\displaystyle h$ 在 $\displaystyle [-X-1,X+1]$ 上连续, 而一致连续, $\displaystyle \exists\ \delta\in (0,1),\mathrm\{ s.t.\}$
\begin\{aligned\} \forall\ |x|, |x'|\leq X+1, |x-x'| < \delta, |h(x)-h(x')| < \varepsilon.\qquad(II) \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
于是对 $\displaystyle \forall\ x < x' < x+\delta$, (1)、 若 $\displaystyle x\leq -X-1$, 则 $\displaystyle x' < -X$, 而由 $\displaystyle (I)$ 知 $\displaystyle |h(x)-h(x')| < \varepsilon$. (2)、 若 $\displaystyle -X-1 < x\leq X$, 则 $\displaystyle -X-1 < x < x' < X+1$, 而由 $\displaystyle (II)$ 知 $\displaystyle |h(x)-h(x')| < \varepsilon$. (3)、 若 $\displaystyle x > X$, 则由 $\displaystyle (I)$ 知 $\displaystyle |h(x)-h(x')| < \varepsilon$. 这就证明了 $\displaystyle h$ 在 $\displaystyle \mathbb\{R\}$ 上一致连续. 由 $\displaystyle f=g+h, g=f-h$ 即知结论得证.跟锦数学微信公众号. [在线资料](
https://mp.weixin.qq.com/s/F-TU-uzeo3EjxI5LzjUvRw)/[公众号](
https://mp.weixin.qq.com/s/pdC49P5WZXTEpRBa0JBfow)/
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175、 2、 (20 分) 证明闭区间 $\displaystyle [a,b]$ 上的连续函数 $\displaystyle f(x)$ 如果满足端点处函数值异号, 则 $\displaystyle f(x)$ 在开区间 $\displaystyle (a,b)$ 内存在零点, 即存在 $\displaystyle \xi\in (a,b)$, 使得 $\displaystyle f(\xi)=0$. (福州大学2023年数学分析考研试题) [连续 ]
[纸质资料](
https://mp.weixin.qq.com/s/ycnPCSqWFlThEnq9ZZ6gBQ)/[答疑](
https://mp.weixin.qq.com/s/JGYZG5rsshf7Z2Amo2di8A)/[pdf1](
https://mp.weixin.qq.com/s/Pt6\_h5MqtomrUDYiPEwkxg)/[pdf2](
https://mp.weixin.qq.com/s/dWvpeJFKnFr0WYPoidXXMA) / 设 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle [a,b]$ 上连续, $\displaystyle f(a)f(b) < 0$. 令 $\displaystyle [a\_0,b\_0]=[a,b]$. 将 $\displaystyle [a\_0,b\_0]$ 二等分, 则 $\displaystyle f(a)f\left(\frac\{a+b\}\{2\}\right)\leq 0$ 或 $\displaystyle f(b)f\left(\frac\{a+b\}\{2\}\right)\leq 0$. 若前一情形成立, 则取 $\displaystyle [a\_1,b\_1]=\left\[a,\frac\{a+b\}\{2\}\right\]$; 如后一情形成立, 则取 $\displaystyle [a\_1,b\_1]=\left\[\frac\{a+b\}\{2\},b\right\]$. 若 $\displaystyle [a\_n,b\_n]\ (n\geq 1)$ 以取得, 满足 $\displaystyle f(a\_n)f(b\_n)\leq 0$, 则将 $\displaystyle [a\_n,b\_n]$ 二等分. 我们有
\begin\{aligned\} f(a\_n)f\left(\frac\{a\_n+b\_n\}\{2\}\right)\leq 0\mbox\{或\} f(b\_n)f\left(\frac\{a\_n+b\_n\}\{2\}\right)\leq 0. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
若前一情形成立, 则取 $\displaystyle [a\_\{n+1\},b\_\{n+1\}]=\left\[a\_n,\frac\{a\_n+b\_n\}\{2\}\right\]$; 如后一情形成立, 则取 $\displaystyle [a\_\{n+1\},b\_\{n+1\}]=\left\[\frac\{a\_n+b\_n\}\{2\},b\_n\right\]$. 如此得到闭区间套
\begin\{aligned\} \left\\{[a\_n,b\_n]\right\\}: b\_n-a\_n=\frac\{1\}\{2^n\}(b-a)\xrightarrow\{n\to\infty\}0. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
由闭区间套定理知
\begin\{aligned\} &\exists\ |\ \xi\in \bigcap\_\{n=1\}^\infty [a\_n,b\_n] \Rightarrow \lim\_\{n\to\infty\}a\_n=\xi=\lim\_\{n\to\infty\}b\_n\\\\ \Rightarrow& [f(\xi)]^2=\lim\_\{n\to\infty\}f(a\_n)\cdot \lim\_\{n\to\infty\}f(b\_n) =\lim\_\{n\to\infty\}[f(a\_n)f(b\_n]\leq 0\Rightarrow f(\xi)=0. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
这就证明了零点存在定理.跟锦数学微信公众号. [在线资料](
https://mp.weixin.qq.com/s/F-TU-uzeo3EjxI5LzjUvRw)/[公众号](
https://mp.weixin.qq.com/s/pdC49P5WZXTEpRBa0JBfow)/
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176、 (2)、 用一致连续的定义证明: 若 $\displaystyle f,g$ 都在区间 $\displaystyle I$ 上一致连续, 则 $\displaystyle f+g$ 在 $\displaystyle I$ 上也一致连续. (广西大学2023年数学分析考研试题) [连续 ]
[纸质资料](
https://mp.weixin.qq.com/s/ycnPCSqWFlThEnq9ZZ6gBQ)/[答疑](
https://mp.weixin.qq.com/s/JGYZG5rsshf7Z2Amo2di8A)/[pdf1](
https://mp.weixin.qq.com/s/Pt6\_h5MqtomrUDYiPEwkxg)/[pdf2](
https://mp.weixin.qq.com/s/dWvpeJFKnFr0WYPoidXXMA) / 一言以蔽之, 一致连续函数的和还是一致连续. 由 $\displaystyle f(x), g(x)$ 都在区间 $\displaystyle I$ 上一致连续知 $\displaystyle \forall\ \varepsilon > 0$,
\begin\{aligned\} &\exists\ \delta\_1 > 0,\mathrm\{ s.t.\} \forall\ x,x'\in I, |x-x'| < \delta\_1, |f(x)-f(x')| < \frac\{\varepsilon\}\{2\},\\\\ &\exists\ \delta\_2 > 0,\mathrm\{ s.t.\} \forall\ x,x'\in I, |x-x'| < \delta\_2, |g(x)-g(x')| < \frac\{\varepsilon\}\{2\}. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
令 $\displaystyle \delta=\min\left\\{\delta\_1,\delta\_2\right\\} > 0$, 则当 $\displaystyle x,x'\in I, |x-x'| < \delta$ 时,
\begin\{aligned\} |[f(x)+g(x)]-[f(x')+g(x')]| \leq& |f(x)-f'(x)|+|g(x)-g(x')|\\\\ < &\frac\{\varepsilon\}\{2\}+\frac\{\varepsilon\}\{2\}=\varepsilon. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
这就证明了 $\displaystyle f(x)+g(x)$ 在 $\displaystyle I$ 上一致连续.跟锦数学微信公众号. [在线资料](
https://mp.weixin.qq.com/s/F-TU-uzeo3EjxI5LzjUvRw)/[公众号](
https://mp.weixin.qq.com/s/pdC49P5WZXTEpRBa0JBfow)/
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177、 (3)、 求证 $\displaystyle y=x^\alpha$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上一致连续, 其中 $\displaystyle 0 < \alpha < 1$. (广西大学2023年数学分析考研试题) [连续 ]
[纸质资料](
https://mp.weixin.qq.com/s/ycnPCSqWFlThEnq9ZZ6gBQ)/[答疑](
https://mp.weixin.qq.com/s/JGYZG5rsshf7Z2Amo2di8A)/[pdf1](
https://mp.weixin.qq.com/s/Pt6\_h5MqtomrUDYiPEwkxg)/[pdf2](
https://mp.weixin.qq.com/s/dWvpeJFKnFr0WYPoidXXMA) / (3-1)、 当 $\displaystyle 0 < \alpha < 1$ 时, 由
\begin\{aligned\} x,y > 0&\Rightarrow 1=\frac\{x\}\{x+y\}+\frac\{y\}\{x+y\}\leq \left(\frac\{x\}\{x+y\}\right)^\alpha+\left(\frac\{y\}\{x+y\}\right)^\alpha\\\\ &\Rightarrow (x+y)^\alpha\leq x^\alpha+y^\alpha \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
知
\begin\{aligned\} x > y&\Rightarrow 0\leq x^\alpha-y^\alpha=\left\[(x-y)+y\right\]^\alpha-y^\alpha\leq(x-y)^\alpha. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
故
\begin\{aligned\} &\forall\ \varepsilon > 0,\exists\ \delta=\varepsilon^\frac\{1\}\{\alpha\} > 0,\mathrm\{ s.t.\}\forall\ x > y\geq 0, |x-y| < \delta,\\\\ &|x^\alpha-y^\alpha|\leq |x-y|^\alpha < \delta^\alpha=\varepsilon. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
这就证明了 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上一致连续.跟锦数学微信公众号. [在线资料](
https://mp.weixin.qq.com/s/F-TU-uzeo3EjxI5LzjUvRw)/[公众号](
https://mp.weixin.qq.com/s/pdC49P5WZXTEpRBa0JBfow)/
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178、 1、 判断以下命题正误, 正确请给出证明, 错误请给出反例. (1)、 函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续并且单调递增, 若 $\displaystyle f(x)$ 有上界, 则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续. (哈尔滨工业大学2023年数学分析考研试题) [连续 ]
[纸质资料](
https://mp.weixin.qq.com/s/ycnPCSqWFlThEnq9ZZ6gBQ)/[答疑](
https://mp.weixin.qq.com/s/JGYZG5rsshf7Z2Amo2di8A)/[pdf1](
https://mp.weixin.qq.com/s/Pt6\_h5MqtomrUDYiPEwkxg)/[pdf2](
https://mp.weixin.qq.com/s/dWvpeJFKnFr0WYPoidXXMA) / $\displaystyle \surd$. 由 $\displaystyle f\nearrow$ 有上界及单调有界定理知 $\displaystyle \lim\_\{x\to+\infty\}f(x)=\sup\_\{x\geq a\}f(x)\equiv A$ 存在. 由 $\displaystyle \lim\_\{x\to+\infty\}f(x)=A$ 及 Cauchy 收敛准则知
\begin\{aligned\} \{\color\{red\}\forall\ \varepsilon > 0\}, \exists\ R > a,\mathrm\{ s.t.\} \forall\ x\geq R, x'\geq R, |f(x')-f(x)| < \varepsilon. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
又 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle a\leq x\leq R+1$ 上连续, 而一致连续,
\begin\{aligned\} &\{\color\{red\}\exists\ \delta\in (0,1)\},\mathrm\{ s.t.\} \forall\ a\leq x\leq R+1, a\leq x'\leq R+1,\\\\ &|x'-x| < \delta, |f(x')-f(x)| < \varepsilon. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
故当 $\displaystyle \{\color\{red\}x,x'\in [a,+\infty), |x'-x| < \delta\}$ 时,
\begin\{aligned\} &\left\\{\begin\{array\}\{llllllllllll\} x\leq R\Rightarrow x'\leq x+|x'-x|\leq R+1\\\\ \mbox\{或\}x'\leq R\Rightarrow x\leq R+1\\\\ \mbox\{或\}x > R, x' > R \end\{array\}\right.\\\\ \Rightarrow&\{\color\{red\}|f(x')-f(x)| < \varepsilon\}. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
这就证明了 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续.跟锦数学微信公众号. [在线资料](
https://mp.weixin.qq.com/s/F-TU-uzeo3EjxI5LzjUvRw)/[公众号](
https://mp.weixin.qq.com/s/pdC49P5WZXTEpRBa0JBfow)/
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179、 4、 设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上连续, $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上一致连续且有界, 证明: $\displaystyle f\left(g(x)\right)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上一致连续. 若去掉’$g(x)$ 有界‘, 则 $\displaystyle f\left(g(x)\right)$ 是否一致连续? 正确请给出证明, 错误请给出反例. (哈尔滨工业大学2023年数学分析考研试题) [连续 ]
[纸质资料](
https://mp.weixin.qq.com/s/ycnPCSqWFlThEnq9ZZ6gBQ)/[答疑](
https://mp.weixin.qq.com/s/JGYZG5rsshf7Z2Amo2di8A)/[pdf1](
https://mp.weixin.qq.com/s/Pt6\_h5MqtomrUDYiPEwkxg)/[pdf2](
https://mp.weixin.qq.com/s/dWvpeJFKnFr0WYPoidXXMA) / (1)、 由 $\displaystyle g$ 有界知
\begin\{aligned\} \exists\ A > 0,\mathrm\{ s.t.\} \forall\ x\in \mathbb\{R\}, |g(x)|\leq A . \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
由 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle [-A,A]$ 上连续知其一致连续:
\begin\{aligned\} \forall\ \varepsilon > 0,\exists\ \delta\_1 > 0,\mathrm\{ s.t.\}\forall\ u,u'\in[-A, A], |u-u'| < \delta, |f(u)-f(u')| < \varepsilon. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
又由 $\displaystyle g$ 在 $\displaystyle \mathbb\{R\}$ 上一致连续知
\begin\{aligned\} &\exists\ \delta > 0,\mathrm\{ s.t.\}\forall\ x,x'\in\mathbb\{R\}, |x-x'| < \delta,\\\\ &|g(x)-g(x')| < \delta\_1\Rightarrow |f\left(g(x)\right)-f\left(g(x')\right)| < \varepsilon. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
故 $\displaystyle f\circ g$ 在 $\displaystyle \mathbb\{R\}$ 上一致连续. (2)、 若去掉’$g(x)$ 有界‘, 则 $\displaystyle f\left(g(x)\right)$ 未必一致连续. 比如 $\displaystyle f(x)=x^2, g(x)=x$. 由
\begin\{aligned\} x\_n=n, y\_n=n+\frac\{1\}\{n\}\Rightarrow \lim\_\{n\to\infty\}(x\_n-y\_n)=0, |f(x\_n)-f(y\_n)|\geq 2 \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
知 $\displaystyle f\circ g=f$ 在 $\displaystyle \mathbb\{R\}$ 上不一致连续.跟锦数学微信公众号. [在线资料](
https://mp.weixin.qq.com/s/F-TU-uzeo3EjxI5LzjUvRw)/[公众号](
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180、 (2)、 设 $\displaystyle f(x)\in C[a,b]$ 且 $\displaystyle f(x)\neq 0$, 则 $\displaystyle f(x)$ 必有正下界或负上界. (河海大学2023年数学分析考研试题) [连续 ]
[纸质资料](
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https://mp.weixin.qq.com/s/JGYZG5rsshf7Z2Amo2di8A)/[pdf1](
https://mp.weixin.qq.com/s/Pt6\_h5MqtomrUDYiPEwkxg)/[pdf2](
https://mp.weixin.qq.com/s/dWvpeJFKnFr0WYPoidXXMA) / $\displaystyle \surd$. 由连续函数介值定理知要么 $\displaystyle \forall\ x, f(x) > 0$, 要么 $\displaystyle \forall\ x, f(x) < 0$. 再由连续函数最值定理知若前一情形成立, 则 $\displaystyle f$ 有正下界 (正的最小值); 若后一情形成立, 则 $\displaystyle f$ 有负上界 (负的最大值).跟锦数学微信公众号. [在线资料](
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https://mp.weixin.qq.com/s/pdC49P5WZXTEpRBa0JBfow)/
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181、 (6)、 证明: $\displaystyle y=\ln x$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上不一致连续. (河南大学2023年数学分析考研试题) [连续 ]
[纸质资料](
https://mp.weixin.qq.com/s/ycnPCSqWFlThEnq9ZZ6gBQ)/[答疑](
https://mp.weixin.qq.com/s/JGYZG5rsshf7Z2Amo2di8A)/[pdf1](
https://mp.weixin.qq.com/s/Pt6\_h5MqtomrUDYiPEwkxg)/[pdf2](
https://mp.weixin.qq.com/s/dWvpeJFKnFr0WYPoidXXMA) / 由 $\displaystyle \lim\_\{n\to\infty\}\left(\frac\{1\}\{n\}-\frac\{1\}\{2n\}\right)=0, f\left(\frac\{1\}\{n\}\right)-f\left(\frac\{1\}\{2n\}\right)=\ln 2$ 知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上不一致连续.跟锦数学微信公众号. [在线资料](
https://mp.weixin.qq.com/s/F-TU-uzeo3EjxI5LzjUvRw)/[公众号](
https://mp.weixin.qq.com/s/pdC49P5WZXTEpRBa0JBfow)/
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182、 9、 设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1]$ 上可导, 且极限 $\displaystyle \lim\_\{x\to 0^+\} \sqrt\{x\}f'(x)$ 存在. 证明: $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1]$ 上一致连续. (华东理工大学2023年数学分析考研试题) [连续 ]
[纸质资料](
https://mp.weixin.qq.com/s/ycnPCSqWFlThEnq9ZZ6gBQ)/[答疑](
https://mp.weixin.qq.com/s/JGYZG5rsshf7Z2Amo2di8A)/[pdf1](
https://mp.weixin.qq.com/s/Pt6\_h5MqtomrUDYiPEwkxg)/[pdf2](
https://mp.weixin.qq.com/s/dWvpeJFKnFr0WYPoidXXMA) / 由 $\displaystyle \lim\_\{x\to0^+\}\sqrt\{x\}f'(x)=A$ 存在知
\begin\{aligned\} \exists\ M > 0,\ \exists\ \delta\_1\in (0,a),\mathrm\{ s.t.\} \forall\ 0 < x < \delta\_1, \left|\sqrt\{x\}f'(x)\right|\leq M. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
于是
\begin\{aligned\} &\forall\ \varepsilon > 0,\exists\ \delta=\left(\frac\{\varepsilon\}\{2M\}\right)^2 > 0,\mathrm\{ s.t.\} \forall\ 0 < x,y\leq \delta\_1, |x-y| < \delta,\\\\ &\left|\frac\{f(x)-f(y)\}\{\sqrt\{x\}-\sqrt\{y\}\}\right| \xlongequal[\tiny\mbox\{中值\}]\{\tiny\mbox\{Cauchy\}\} \left|\frac\{f'(\xi)\}\{\frac\{1\}\{2\sqrt\{\xi\}\}\}\right|\leq 2M\\\\ &\Rightarrow |f(x)-f(y)|\leq 2M\left|\sqrt\{x\}-\sqrt\{y\}\right|\leq 2M \sqrt\{|x-y|\} < \varepsilon. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
这就证明了 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle (0,\delta\_1]$ 上一致连续. 又由 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle [\delta\_1,1]$ 上连续知其一致连续. 从而 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle (0,1]$ 上一致连续.跟锦数学微信公众号. [在线资料](
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https://mp.weixin.qq.com/s/pdC49P5WZXTEpRBa0JBfow)/
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183、 8、 设 $\displaystyle F(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上有定义且有界, $\displaystyle a,b$ 是大于 $\displaystyle 1$ 的常数, 对 $\displaystyle 0 < x < \frac\{1\}\{a\}$ 有 $\displaystyle F(ax)=bF(x)$. 证明: $\displaystyle F(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处右连续. (华南理工大学2023年数学分析考研试题) [连续 ]
[纸质资料](
https://mp.weixin.qq.com/s/ycnPCSqWFlThEnq9ZZ6gBQ)/[答疑](
https://mp.weixin.qq.com/s/JGYZG5rsshf7Z2Amo2di8A)/[pdf1](
https://mp.weixin.qq.com/s/Pt6\_h5MqtomrUDYiPEwkxg)/[pdf2](
https://mp.weixin.qq.com/s/dWvpeJFKnFr0WYPoidXXMA) / 题中等式令 $\displaystyle x=0$ 得 $\displaystyle F(0)=0$. 由题设,
\begin\{aligned\} \exists\ M > 0,\mathrm\{ s.t.\} \forall\ x\in [0,1], |F(x)|\leq M. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
从而对 $\displaystyle \forall\ \varepsilon > 0$, 取 $\displaystyle n=\left\[\log\_b\frac\{M\}\{\varepsilon\}\right\]+1\Rightarrow b^n > \frac\{M\}\{\varepsilon\}\Rightarrow \frac\{M\}\{b^n\} < \varepsilon$ 后, 令 $\displaystyle \delta=\frac\{1\}\{a^n\}$, 则当 $\displaystyle 0 < x < \delta$ 时,
\begin\{aligned\} |F(x)-F(0)|=|F(x)|=\frac\{1\}\{b\}\left|F(ax)\right| =\cdots=\frac\{1\}\{b^n\} \left|F(a^n x)\right| \leq\frac\{M\}\{b^n\} < \varepsilon. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
这就证明了 $\displaystyle F$ 在 $\displaystyle x=0$ 处右连续.跟锦数学微信公众号. [在线资料](
https://mp.weixin.qq.com/s/F-TU-uzeo3EjxI5LzjUvRw)/[公众号](
https://mp.weixin.qq.com/s/pdC49P5WZXTEpRBa0JBfow)/
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184、 3、 (15 分) 设函数 $\displaystyle f$ 在有限区间 $\displaystyle (a,b)$ 上一致连续. (1)、 证明: 函数 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle (a,b)$ 上有界; (2)、 试问上述结论对无界函数是否成立? 并说明理由. (华中师范大学2023年数学分析考研试题) [连续 ]
[纸质资料](
https://mp.weixin.qq.com/s/ycnPCSqWFlThEnq9ZZ6gBQ)/[答疑](
https://mp.weixin.qq.com/s/JGYZG5rsshf7Z2Amo2di8A)/[pdf1](
https://mp.weixin.qq.com/s/Pt6\_h5MqtomrUDYiPEwkxg)/[pdf2](
https://mp.weixin.qq.com/s/dWvpeJFKnFr0WYPoidXXMA) / (1)、 由 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,b)$ 上一致连续知
\begin\{aligned\} \forall\ \varepsilon > 0,\exists\ \delta > 0,\mathrm\{ s.t.\}\forall\ x,x'\in (a,b), |x-x'| < \delta, |f(x)-f(x')| < \varepsilon. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
特别地,
\begin\{aligned\} a < x,x' < a+\delta &\Rightarrow |f(x)-f(x')| < \varepsilon,\\\\ b-\delta < x,x' < b&\Rightarrow |f(x)-f(x')| < \varepsilon. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
据函数极限的 Cauchy 收敛准则知 $\displaystyle f(a+0), f(b-0)$ 均存在. 令
\begin\{aligned\} F(x)=\left\\{\begin\{array\}\{llllllllllll\} f(a+0), &x=a,\\\\ f(x),&a < x < b,\\\\ f(b-0),&x=b. \end\{array\}\right. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
则 $\displaystyle F$ 在 $\displaystyle [a,b]$ 上连续, 而有界. 特别地, $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,b)$ 上有界. (2)、 上述结论对无界函数不再成立. 比如 $\displaystyle f(x)=x, x\in\mathbb\{R\}$ 一致连续, 但无界!跟锦数学微信公众号. [在线资料](
https://mp.weixin.qq.com/s/F-TU-uzeo3EjxI5LzjUvRw)/[公众号](
https://mp.weixin.qq.com/s/pdC49P5WZXTEpRBa0JBfow)/
发表于 2023-3-5 08:44:25
